Slide 1 / 109. Nos otros, e n la As ocia ción de Educa ción de Nue va J enjea)

Transcripción

1 Slide 1 / 109 Ne w Je rs e y Ce nte r for Te aching and Le arning Iniciativa de Mate mática Progre s iva Es te ma te ria l e s tá dis ponible gra tuita me nte e n ww.njctl.org y e s tá pe ns a do pa ra e l us o no comede rcia l e s tudia nte s y profe s ore s. No pue de s e r utiliza pado ra cua lquie r propós ito come rcia l s in cons e l e ntimie nto por e s crito de s us propie ta rios. NJCTL ma ntie ne s u s itio we b por la convicción de profe s ore s que de s e a n ha ce r dis ponible s u trapa barajo otros profe s ore s, pa rticipa r e n una comunida d de a pre ndiza je profe s iona l virtua l, y /o pe rmitir a pa dre s, e s tudia nte s y otra s pe rs ona s e l a cce s o a los ma te ria le s de los curs os. Nos otros, e n la As ocia ción de Educa ción de Nue va J enjea) rs e y ( s omos funda dore s orgullos os y a poyonjctl de y la orga niza ción inde pe ndie nte s in fine s de lucro. NJEA a dopta la mis ión de NJCTL de ca pa cita r a profe s ore s pa ra dirigir e l me jora mie nto e s cola r pa ra e l be ne ficio de todos los e s tudia nte s. Click para ir al s itio we b:

2 Slide 2 / 109 8º Grado Matemática Teorema de Pitágoras Distancia y Punto Medio

3 Slide 3 / 109 Vínculo para preguntas de muestra PARCC Cálculo N 1

4 Slide 4 / 109 Tabla de Contenidos Click en un tema para ir a esta sección Teorema de Pitágoras Fórmula de Distancia Puntos Medios Glosario Common Core Standards: 8.G.6, 8.G.7, 8.G.8

5 Slide 5 / 109 Las palabras del vocabulario están indentificadas con un subrayado de guiones. Algunas veces, cuando restas fracciones, encuentras que no puedes hacerlo porque el primer numerador es menor que el segundo! Cuando esto sucede, necesitas reagrupar para formar un número entero. (Haz click sobre el subrayado.) Cuántos tercios es en un entero? Cuántos quintos hay en un entero? Cuántos novenos hay en un entero? El subrayado está vinculado al glosario al final de la presentación. Estas palabras pueden ser impresas para armar una "pared de palabras".

6 Slide 6 / 109 El cuadro tiene 4 partes 1 Factor Vocabulario Un número entero que puede dividir a otro número sin dejar resto 15 3 Ejemplos/ Contraejemplos Su significado Un número entero que multiplicado con otro número forma un tercer número (Cómo se utiliza en esta lección) 5 R es un factor de x 5 = 15 3 y 5 son factores de 15 3 no es un factor de 16 4 Volver al tema Vínculo para volver a la página del tema.

7 Slide 7 / 109 Teorema de Pitágoras Click para volver a la tabla de Contenidos

8 Slide 8 / 109 Teorema de Pitágoras Este es un teorema que se utiliza para los triángulos rectángulos. Fue conocido primero en la antigua Babilonia y Egipto a partir de 1900 A.C. Sin embargo, no fue conocido extensamente hasta que Pitágoras lo declaró. Pitágoras vivió en el siglo 6 A.C. en la isla de Samos en el Mar Egeo. También vivió en Egipto, Babilonia, y el sur de Italia. Fue un filósofo y un profesor.

9 Slide 9 / 109 Lados de un Triángulo Rectángulo click para revelar c a Hipotenusa - Opuesto al angulo recto - El mas largo de revelar los 3 lados click para b Catetos click para revelar - 2 lados que forman el ángulo recto click para revelar

10 Slide 10 / 109 En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de la longitud de los catetos (a y b) es igual a el cuadrado de la longitud de la hipotenusa (c). a2 + b 2 = c2 Cliquea sobre los links de abajo para ver varias animaciones de prueba Demostración con agua Mueve el cursor para mostrar c2 Movimiento de cuadrados

11 Slide 11 / 109 Cateto que falta 15 pies 5 pies a 2 + b 2 = c2 Escribe la Ecuación 52 + b2 = 152 Sustituye los números 25 + b2 = 225 Eleva al cuadrado -25 Sustrae b2 = Encuentra la Raíz Cuadrada Marca la Respuesta

12 Slide 12 / 109 Cateto que falta pul gad as 9 pulgadas 18 a2 + b 2 = c b2 = 182 Escribe la Ecuación Sustituye los números Eleva al cuadrado 81 + b2 = b2 = Sustrae Encuentra la Raíz Cuadrada Marca la Respuesta

13 Slide 13 / 109 Hipotenusa que falta Escribe la Ecuación a 2 + b 2 = c2 Sustituye los números 7 pulgadas = c = c 2 65 = c2 4 pulgadas Eleva al cuadrados Suma Encuentra la Raíz Cuadrada Marca la Respuesta

14 Slide 14 / 109 Como usas la fórmula para encontrar los lados que faltan. Cateto que falta Hipotenusa que falta Escribe la Ecuación Escribe la Ecuación Sustituye los números Sustituye los números Eleva al cuadrado Eleva al cuadrado Sustrae Suma Encuentra la Raíz Cuadrada Encuentra la Raíz Cuadrada Marca la Respuesta Marca la Respuesta

15 Slide 15 / Cuál es la longitud del tercer lado? x 7 4

16 Slide 15 (Answer) / 109 Cuál es la longitud del tercer lado? Respuesta 1 x = x = x 2 65 = x 2 [This object is a pull tab] 4

17 Slide 16 / Cuál es la longitud del tercer lado? x 41 15

18 Slide 16 (Answer) / 109 Cuál es la longitud del tercer lado? Respuesta 2 x = x = x = x 2 [This object is a pull tab] 15

19 Slide 17 / Cuál es la longitud del tercer lado? 7 4 z

20 Slide 17 (Answer) / 109 Cuál es la longitud del tercer lado? 7 Respuesta 3 x = 7 2 x = 49 x2 = 33 4 z [This object is a pull tab]

21 Slide 18 / Cuál es la longitud del tercer lado? x 3 4

22 Slide 18 (Answer) / 109 Cuál es la longitud del tercer lado? = x2 x = x2 25 = x2 5=x Respuesta 4 4 [This object is a pull tab]

23 Slide 19 / 109 Ternas Pitagóricas Hay combinaciones de números enteros que funcionan en el Teorema de Pitágoras. Estos conjuntos de números son conocidos como Ternas Pitagóricas es la más famosa de las ternas. Si reconoces los lados del triángulo como una terna (o múltiplo de una), no será necesario usar una calculadora!

24 Slide 20 / 109 Puedes encontrar otras Ternas Pitagóricas? Usa la lista de cuadrados para ver si cualquier otras ternas funcionan. 12 = 1 22 = 4 32 = 9 42 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 900

25 Slide 20 (Answer) / 109 Puedes encontrar otras Ternas Pitagóricas? Respuesta Ternas Usa la lista de cuadrados parapitagóricas ver si cualquier otras ternas funcionan = = = = = = 484 de esas 32 = 9 Múltiplos 132 = = =combinaciones = = 576 también 2 = = 25 [This 15object 252 = 625 funcionan! is a pull tab] 62 = = = = = = = = = = = = = = = 900

26 Slide 21 / Cuál es la longitud del tercer lado? 6 8

27 Slide 21 (Answer) / 109 Cuál es la longitud del tercer lado? = x = x2 100 = x2 10 = x Respuesta 5 8 ó 6 [This object is a pull tab] así que

28 Slide 22 / Cuál es la longitud del tercer lado? 5 13

29 Slide 22 (Answer) / 109 Cuál es la longitud del tercer lado? 5 Respuesta x2 = x2 = 169 x2 = x = 12 Ó [This object is a pull tab]

30 Slide 23 / Cuál es la longitud del tercer lado? 48 50

31 Slide 23 (Answer) / 109 Cuál es la longitud del tercer lado? 48 Respuesta 7 50 x = 502 x = 2500 x2 = 196 x = 14 Ó [This object is a pull tab]

32 Slide 24 / Los catetos de un triángulo rectángulo son 7.0 y 3.0, cuál es la longitud de la hipotenusa?

33 Slide 24 (Answer) / 109 Los catetos de un triángulo rectángulo son 7.0 y 3.0, cuál es la longitud de la hipotenusa? Respuesta = x = x2 58 = x2 [This object is a pull tab]

34 Slide 25 / Los catetos de un triángulo rectángulo son de 2 y 12 de longitud cuál es la longitud de la hipotenusa?

35 Slide 25 (Answer) / 109 Los catetos de un triángulo rectángulo son de 2 y 12 de longitud cuál es la longitud de la hipotenusa? Respuesta = x = x2 148 = x2 [This object is a pull tab]

36 Slide 26 / La hipotenusa de un triángulo rectángulo tiene una longitud de 4.0 y uno de sus catetos tiene una longitud de 2.5. Cuál es la longitud del otro cateto?

37 Slide 26 (Answer) / 109 La hipotenusa de un triángulo rectángulo tiene una longitud de 4.0 y uno de sus catetos tiene una longitud de 2.5. Cuál es la longitud del otro cateto? Respuesta 10 x = 42 x = 16 x2 = 9.75 [This object is a pull tab]

38 Slide 27 / La hipotenusa de un triángulo rectángulo tiene una longitud de 9.0 y uno de sus catetos tiene una longitud de 4.5. Cuál es la longitud del otro cateto?

39 Slide 27 (Answer) / 109 La hipotenusa de un triángulo rectángulo tiene una longitud de 9.0 y uno de sus catetos tiene una longitud de 4.5. Cuál es la longitud del otro cateto? Respuesta 11 x = 92 x = 81 x2 = [This object is a pull tab]

40 Slide 28 / 109 Este es un problema genial y bosqueja mucho de lo que hemos aprendido. Inténtalo en tus grupos. Luego trabajaremos en él paso a paso juntos para responder las preguntas que desglosan al problema en partes. En ΔABC, BD es perpendicular a AC. Las dimensiones se muestran en centímetros. Cuál es la longitud de AC? From PARCC sample test

41 Slide 29 / Qué hemos aprendido que nos ayudará a resolver este problema? A Teorema de Pitágoras B Terna pitagórica C Fórmula de distancia D Sólo A y B En ΔABC, BD es perpendicular a AC. Las dimensiones se muestran en centímetros. Cuál es la longitud de AC? From PARCC sample test

42 Slide 29 (Answer) / Qué hemos aprendido que nos ayudará a resolver este problema? Respuesta A Teorema de Pitágoras B Terna pitagórica C Fórmula de distancia D Sólo A y B D Sólo A y B En ΔABC, BD es perpendicular a AC. Las dimensiones se muestran en centímetros. [This object is a pull tab] Cuál es la longitud de AC? From PARCC sample test

43 Slide 30 / 109 Primero, observa que tenemos dos triángulos rectángulos (rectas perpendiculares forman ángulos rectos). Los triángulos están remarcados en rojo y azul en el diagrama de abajo. En Δ ABC, BD es perpendicular a AC. Las dimensiones se muestran en centímetros. Cuál es la longitud de AC?

44 Slide 31 / Cuál es la longitud del tercer lado en el triángulo rojo? A 3 cm B 6 cm C 9 cm D cm En Δ ABC, BD es perpendicular a AC. Las dimensiones se muestran en centímetros. Cuál es la longitud de AC?

45 Slide 31 (Answer) / Cuál es la longitud del tercer lado en el triángulo rojo? B 6 cm C 9 cm D cm Respuesta A 3 cm a = 102 a = 100 a2 = 36 a=6 En Δ ABC, BD es perpendicular a AC. Las dimensiones se B muestran en centímetros. [This object is a pull tab] Cuál es la longitud de AC?

46 Slide 32 / Cómo se relaciona AD a CD? A AD > CD B AD < CD C AD = CD D no hay suficiente información para relacionar esos segmentos En Δ ABC, BD es perpendicular a AC. Las dimensiones se muestran en centímetros. 6 Cuál es la longitud de AC?

47 Slide 32 (Answer) / 109 Respuesta 14 Cómo se relaciona AD a CD? A AD > CD B AD < CD C AD = CD C AD = CD Los dos triángulospara rectángulos son esos D no hay suficiente información relacionar segmentos iguales, de manera que sus ángulos correspondientes son iguales. También, si usas el Teorema de En Δ ABC, BD es perpendicular a AC. Las dimensiones se Pitágonas de nuevo, para calcular muestran en centímetros. CD, también será igual a 6. [This object is a pull tab] 6 Cuál es la longitud de AC?

48 Slide 33 / Cuál es la longitud de AC? Los alumnos escriben sus respuestas aquí En Δ ABC, BD es perpendicular a AC. Las dimensiones se muestran en centímetros. Cuál es la longitud de AC?

49 Slide 33 (Answer) / Cuál es la longitud de AC? Los alumnos escriben sus respuestas aquí Respuesta En Δ ABC, BD es perpendicular a AC. Las dimensiones se muestran en centímetros. Cuál es la longitud de AC? [This object is a pull tab]

50 Slide 34 / 109 Recíproco del Teorema de Pitágoras Si a y b son las medidas de los lados cortos de un triángulo, c es la medida del lado más largo, y c2 = a2 + b2, entonces el triángulo es rectángulo Si c2 a2 + b2, Entonces el triángulo no es un triángulo rectángulo. a = 3 pies c = 5 pies b = 4 pies

51 Slide 35 / 109 Corolario del Teorema de Pitágoras En otras palabras, puedes comprobar si un triángulo es un triángulo rectángulo al ver si el Teorema de Pitágoras es cierto. Prueba el Teorema de Pitágoras. Si la ecuación final es verdadera, entonces el triángulo es rectángulo. Si la ecuación final es falsa, entonces el triángulo no es rectángulo..

52 Slide 36 / pulg. 17 pulg. 15 pulg Es un Triángulo Rectángulo? a 2 + b 2 = c2 Escribe la Ecuación = 172 Sustituye los números = 289 Eleva al cuadrado 289 = 289 Simplifica ambos lados Si! Son iguales?

53 Slide 37 / Este triángulo es un triángulo rectángulo? Si No 6 pies 10 pies 8 pies

54 Slide 37 (Answer) / es 82 un = 10triángulo Ó rectángulo? Este triángulo = = 100 SI Si No Respuesta pies Terna Pitagórica 6 pies [This object is a pull tab] 8 pies

55 Slide 38 / Este triángulo es un triángulo rectángulo? Si No 36 pies 30 pies 24 pies

56 Slide 38 (Answer) / Este triángulo es un triángulo rectángulo? Si 36 pies No Respuesta 30 pies = = = 1296 NO [This object is a pull tab] 24 pies

57 Slide 39 / Este triángulo es un triángulo rectángulo? Si No 10 pulgadas 8 pulgadas 12 pugadas

58 Slide 39 (Answer) / 109 Este triángulo es un triángulo rectángulo? Si 10 pulgadas No 8 pulgadas 12 pugadas Respuesta = = = 196 NO [This object is a pull tab]

59 Slide 40 / Si Este triángulo es un triángulo rectángulo? 5 pies 13 pies No 12 pies

60 Slide 40 (Answer) / 109 Si No Este triángulo es un triángulo rectángulo? Respuesta pies 5 pies Si - Terna Pitagórica! pies [This object is a pull tab]

61 Slide 41 / Puedes construir un triángulo rectángulo con tres tablas de madera que miden 7.5 pulgadas, 18 pulgadas y 19.5 pulgadas? Si No

62 Slide 41 (Answer) / 109 Puedes construir un triángulo rectángulo con tres tablas de madera que miden 7.5 pulgadas, 18 pulgadas y 19.5 pulgadas? Si No Respuesta = = = SI [This object is a pull tab]

63 Slide 42 / 109 Pasos para los problemas de aplicación del Teorema de Pitágoras. 1. Dibuja un triángulo rectángulo para representar la situación. 2. Resuelve la longitud del lado desconocido. 3. Redondea a la décima más cercana.

64 Slide 43 / 109 Trabaja con tus compañeros para completar: Para llegar desde la escuela secundaria a su casa, Jamal recorre 5.0 millas al este y luego 4.0 millas al norte. Cuando Sheila va a su casa desde la misma escuela secundaria, viaja 8.0 millas al este y 2.0 millas al sur. Cuál es la medida de la distancia más corta, expresada a la décima de milla, entre la casa de Jamal y la casa de Sheila? From the Ne w York S ta te Educa tion De pa rtme nt. Office of As s e s s me nt P olicy, De ve lopme nt a nd Adminis tra tion. Inte rne t. Ava ila ble from e dre ge nts.org/inte gra te dalge bra ; a cce s s e d 17, J une, 2011.

65 Slide 43 (Answer) / 109 Trabaja con tus compañeros para completar: Respuesta Para llegar desde la escuela secundaria a su casa, Jamal recorre 5.0 millas al este y luego 4.0 millas al norte. Cuando Sheila va a su casa desde la misma escuela secundaria, viaja 8.0 millas al este y 2.0 millas al sur. Cuál es la medida de la distancia más corta, expresada a la décima de milla, entre la casa de Jamal y la casa de Sheila? = x = x2 45 = x2 6.7 = x [This object is a pull tab] From the Ne w York S ta te Educa tion De pa rtme nt. Office of As s e s s me nt P olicy, De ve lopme nt a nd Adminis tra tion. Inte rne t. Ava ila ble from e dre ge nts.org/inte gra te dalge bra ; a cce s s e d 17, J une, 2011.

66 Slide 44 / 109 Trabaja con tus compañeros para completar: Un sorbete se coloca en una caja rectangular que tiene 3 pulgadas por 4 pulgadas por 8 pulgadas, como se muestra en el diagrama adjunto. Si el sorbete encaja exactamente en la caja en diagonal desde la esquina frontal inferior izquierda a la esquina trasera superior derecha, qué longitud tiene el sorbete, expresada a la décima de pulgada más cercana? From the Ne w York S ta te Educa tion De pa rtme nt. Office of As s e s s me nt P olicy, De ve lopme nt a nd Adminis tra tion. Inte rne t. Ava ila ble from e dre ge nts.org/inte gra te dalge bra ; a cce s s e d 17, J une, 2011.

67 Slide 44 (Answer) / 109 Trabaja con tus compañeros para completar: Respuesta Un sorbete se coloca en una caja rectangular que tiene 3 pulgadas por 4 pulgadas por 8 pulgadas, como se muestra en el diagrama adjunto. Si el sorbete encaja exactamente en la caja en diagonal desde la esquina frontal inferior izquierda a la esquina trasera superior derecha, qué longitud tiene el sorbete, expresada a la décima de pulgada más cercana? = 5 2 Terna pitagórica c=5 c2 + d 2 = e = e 2 89 = e2 9.4 = e e c a d b [This object is a pull tab] From the Ne w York S ta te Educa tion De pa rtme nt. Office of As s e s s me nt P olicy, De ve lopme nt a nd Adminis tra tion. Inte rne t. Ava ila ble from e dre ge nts.org/inte gra te dalge bra ; a cce s s e d 17, J une, 2011.

68 Slide 45 / 109 El teorema de Pitágoras puede aplicarse a Figuras de 3 Dimensiones En esta figura: a = altura inclnada (altura de la cara triangular ) b = 1/2 de la longitud de la base (del punto medio de lado de la base hacia el centro de la base de la pirámide) h = altura de la pirámide

69 Slide 46 / 109 Un triángulo rectángulo está formado entre tres longitudes. Si conoces dos de las medidas, puedes calcular la tercera. EJEMPLO: Encuentra la altura inclinada de la pirámide cuya altura es de 5 cm y cuya base tiene una longitud de 8 cm

70 Slide 46 (Answer) / 109 Un triángulo rectángulo está formado entre tres longitudes. Si conoces dos de las medidas, puedes calcular la tercera. Respuesta EJEMPLO: Encuentra la altura inclinada de la pirámide cuya altura es de 5 cm y cuya base tiene una longitud de 8 cm [This object is a pull tab]

71 Slide 47 / 109 Encuentra la altura inclinada de la pirámide, cuya longitud de la base es de 10 cm y la altura es de 12 cm. Coloca las medidas en el diagrama.

72 Slide 47 (Answer) / 109 Respuesta Encuentra la altura inclinada de la pirámide, cuya longitud de la base es de 10 cm y la altura es de 12 cm. Coloca las medidas en el diagrama. [This object is a pull tab]

73 Slide 48 / 109 Encuentra la longitud de la base de la pirámide, cuya altura es de 21 metros y la altura inclinada es de 29 m. Coloca las mediciones en el diagrama.

74 Slide 48 (Answer) / 109 Respuesta Encuentra la longitud de la base de la pirámide, cuya altura es de 21 metros y la altura inclinada es de 29 m. Coloca las mediciones en el diagrama. [This object is a pull tab]

75 Slide 49 / Los tamaños de monitores de televisión y de computadoras son dados en pulgadas. Sin embargo, estas dimensiones son en realidad la medida diagonal de la pantallas rectangulares. Supongamos que un monitor de computadora de 14 pulgadas tiene una longitud real de la pantalla de 11 pulgadas. Cuál es la altura de la pantalla?

76 Slide 49 (Answer) / 109 Los tamaños de monitores de televisión y de computadoras son dados en pulgadas. Sin embargo, estas dimensiones son en realidad la medida diagonal de la pantallas rectangulares. Supongamos que un monitor de computadora de 14 pulgadas x = tiene 142 una longitud real de la pantalla de 11 pulgadas. Cuál es la altura de la pantalla? x = 196 x2 = 75 Respuesta 21 [This object is a pull tab]

77 Slide 50 / Calcula la altura de la pirámide, cuya longitud de la base es de 16 pulgadas y la altura inclinada es de 17 pulgadas Coloca las medidas en el diagrama.

78 Slide 50 (Answer) / 109 Calcula la altura de la pirámide, cuya longitud de la base es de 16 pulgadas y la altura inclinada es de 17 pulgadas Coloca las medidas en el diagrama. Respuesta 22 pulgadas [This object is a pull tab]

79 Slide 51 / Un árbol fue alcanzado por un rayo durante una tormenta. La parte del árbol que sigue en pie es de 3 metros de altura. La parte superior del árbol está ahora a 8 m contantdo desde la base del árbol y aún parcialmente unido a su tronco. Supongamos que el suelo es plano. Qué tan alto era el árbol originalmente?

80 Slide 51 (Answer) / 109 Un árbol fue alcanzado por un rayo durante una tormenta. La parte del árbol que sigue en pie es de 3 metros de altura. La parte superior del árbol está ahora a 8 m contantdo desde la base del árbol y aún parcialmente unido a su tronco. Supongamos que el suelo es plano. Qué tan alto era el árbol originalmente? Respuesta = x = x2 73 = x2 La base del árbol es 3 m, la parte que cayó es de 8.5 m de altura, de manera que la altura del árbol en total es de 11.5 m. [This object is a pull tab]

81 Slide 52 / Supón que tienes una escalera de 13 pies de longitud. Para poder subirte la colocas a 5 pies de distancia de la pared del edificio. Tienes que colocar un cartel arriba del edificio a 10 pies de altura sobre el nivel del suelo. Es suficientemente larga la escalera para que puedas llegar a la altura necesaria para colocar el cartel? Sí No

82 Slide 52 (Answer) / 109 Sí No Respuesta 24 Supón que tienes una escalera de 13 pies de longitud. Para poder subirte la colocas a 5 pies de distancia de la pared del edificio. Tienes que colocar un cartel arriba del edificio a 10 pies de altura sobre el nivel del suelo. Es suficientemente larga la escalera para que puedas llegar a la altura necesaria para colocar el cartel? p Sí pies [This object is a pull tab]

83 Slide 53 / Acabas de recoger una pelota en el suelo en la tercera base, y ves al jugador del otro equipo correr hacia primera base. Hasta dónde hay que tirar la pelota para conseguir que llegue de tercera base a la primera base, y sacar al corredor? (Un diamante de béisbol es un cuadrado) 2da base 90 pies. 90 pies. 1ra base 3ra base 90 pies. 90 pies Casa

84 Slide 53 (Answer) / 109 Acabas de recoger una pelota en el suelo en la tercera base, y ves al jugador del otro equipo correr hacia primera base. Hasta dónde hay que tirar la pelota para conseguir que llegue de tercera base a la primera base, y sacar al corredor? (Un diamante de béisbol es un cuadrado) 2da base = x = x2 90 pies. 16,200 = x2 90 pies. Respuesta 25 1ra base 3ra base 90 pies. 90 pies [This object is a pull tab] Casa

85 Slide 54 / Estás encerrado fuera de tu casa y la única ventana abierta está en el segundo piso, a 25 pies sobre el suelo. Hay arbustos al costado de tu casa, entonces tendrás que colocar una escalera a 10 pies de distancia de la casa. Qué longitud deberá tener la escalera para alcanzar la ventana?

86 Slide 54 (Answer) / 109 Respuesta Estás encerrado fuera de tu casa y la única ventana abierta está en el segundo piso, a 25 pies sobre el suelo. Hay arbustos al costado de tu casa, entonces tendrás que colocar una escalera a 10 pies de distancia de la casa. Qué longitud deberá tener la escalera para alcanzar la ventana? Respuesta = x = x2 325 = x2 [This object is a pull tab]

87 Slide 55 / Scott quiere nadar a través de un río que tiene 400 metros de ancho. Comienza a nadar perpendicular a la costa, pero termina 100 metros río abajo a causa de la corriente. Hasta qué punto nadó en realidad desde el punto de inicio?

88 Slide 55 (Answer) / 109 Scott quiere nadar a través de un río que tiene 400 metros de ancho. Comienza a nadar perpendicular a la costa, pero termina 100 metros río abajo a causa de la corriente. Hasta qué punto nadó en realidad desde el punto de inicio? 400 m 100 m Respuesta = x2 160, ,000 = x 2 170,000 = x 2 [This object is a pull tab]

89 Slide 56 / 109 Fórmula de Distancia Click para volver a la tabla de Contenidos

90 Slide 57 / 109 Si tienes dos puntos en un gráfico, como por ejemplo (5,2) y (5,6), puedes encontrar la distancia entre ellos simplemente contando las unidades en el gráfico, ya que se encuentran en una línea vertical La distancia entre esos dos puntos es 4 unidades. El punto más alto esta á 4 unidades por encima del punto más bajo

91 Slide 58 / Cuál es la distancia entre estos dos puntos?

92 Slide 58 (Answer) / 109 Cuál es la distancia entre estos dos puntos? Respuesta 28 La distancia es 5. El punto azuel está a cinco a la derecha del punto rojo. La distancia siempre es positiva. [This object is a pull tab]

93 Slide 59 / Cuál es la distancia entre estos dos puntos?

94 Slide 59 (Answer) / 109 Cuál es la distancia entre estos dos puntos? Respuesta 29 3 [This object is a pull tab]

95 Slide 60 / Cuál es la distancia entre estos dos puntos?

96 Slide 61 / 109 La mayoría de los conjuntos de puntos no se encuentran en una línea vertical u horizontal. Por ejemplo: Contando las unidades entre estos dos puntos es imposible. Así que los matemáticos han desarrollado una fórmula usando el teorema de Pitágoras para calcular la distancia entre dos puntos.

97 Slide 62 / 109 Dibuja el triángulo rectángulo en torno a estos dos puntos. A continuación, utilice el teorema de Pitágoras para encontrar la distancia en rojo. c b a

98 Slide 62 (Answer) / 109 Respuesta Dibuja el triángulo rectángulo en torno a estos dos puntos. A continuación, utilice el teorema de Pitágoras para encontrar la distancia en rojo. c 2 = a2 + b2 c 2 = c2 = c c = 25 b c=5 a La distancia entre los dos puntos (2,2) y (5,6) es 5 unidades [This object is a pull tab]

99 Slide 63 / 109 Ejemplo:

100 Slide 63 (Answer) / 109 Respuesta Ejemplo: c2 = a2 + b2 c2 = c2 = c2 = 45 La distancia entre los dos puntos (-3,8) y (-9,5) es aproximadamente 6.7 unidades [This object is a pull tab]

101 Slide 64 / 109 Intenta con este problema ahora

102 Slide 64 (Answer) / 109 Respuesta Intenta con este problema ahora 3 [This object is a pull tab]

103 Slide 65 / 109 Derivación de una fórmula para el cálculo de distancia...

104 Slide 66 / 109 Dibuja triángulo rectángulo alrededor de los dos puntos. Marca los puntos como se muestra. Luego sustituye en la fórmula de Pitágoras (x2, y2) d longitud = y2 - y1 (x1, y1) longitud = x2 - x1 c2 = a 2 + b 2 d2 = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 d = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 Esta es la fórmula de distancia, ahora sustituída en valores.

105 Slide 66 (Answer) / 109 Dibuja triángulo rectángulo alrededor de los dos puntos. Marca los puntos como se muestra. Luego sustituye en la fórmula de Pitágoras d= (5-2)2 + (6-2)2 (x, y ) 2 2 d= (3)2 + (4)2 d= d= d= d longitud = y2 - y1 (x1, y1) longitud = x2 - x1 [This object is a pull tab] c2 = a 2 + b 2 d2 = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 d = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 Esta es la fórmula de distancia, ahora sustituída en valores.

106 Slide 67 / 109 Fórmula de Distancia Puede encontrar la distancia d entre dos puntos (x1, y1) y (x2, y2) utilizando la siguiente fórmula. d= (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 distancia en la coordenada x-. distancia en la coordenada y.

107 Slide 68 / 109 Cuando solo damos dos puntos, usa la fórmula. Encuentra la distancia entre: Punto 1 (-4, -7) Punto 2 (-5, -2)

108 Slide 68 (Answer) / 109 Cuando solo damos dos puntos, usa la fórmula. Respuesta Encuentra la distancia entre: Punto 1 (-4, -7) Punto 2 (-5, -2) [This object is a pull tab]

109 Slide 69 / Encuentra la distancia entre (2,3) y (6,8). Redondea la respuesta a la décima más cercana. x1 Pista =2 y1 = 3 x2 = 6 y2 = 8

110 Slide 69 (Answer) / 109

111 Slide 70 / Encuentra la distancia entre (-7,-2) y (11,3). Redondea la respuesta a la décima más cercana. x1 = Pista -7 y1 = -2 x2 = 11 y2 = 3

112 Slide 70 (Answer) / 109

113 Slide 71 / Encuentra la distancia entre (4,6) y (1,5). Redondea la respuesta a la décima más cercana.

114 Slide 71 (Answer) / 109

115 Slide 72 / Encuentra la distancia entre (7,-5) y (9,-1). Redondea la respuesta a la décima más cercana

116 Slide 72 (Answer) / 109 Encuentra la distancia entre (7,-5) y (9,-1). Redondea la respuesta a la décima más cercana Respuesta 34 [This object is a pull tab]

117 Slide 73 / 109 Cómo podrías encontrar el perímetro de este rectángulo? Se puede hacer una cosa o la otra; contar las unidades o encontrar la distancia entre los puntos desde los pares ordenados.

118 Slide 73 (Answer) / 109 Cómo podrías encontrar el perímetro de este rectángulo? Respuesta Se puede hacer una cosa o la otra; contar las unidades o encontrar la distancia entre los puntos desde los pares ordenados. longitud = 8 ancho = = 28 [This object is a pull tab]

119 Slide 74 / 109 Podemos contar cuántas unidades de largo tiene cada segmento es en este cuadrilátero para encontrar el perímetro? D (3,3) A (0,-1) C (9,4) B (8,0)

120 Slide 75 / 109 Puedes usar la fórmula de distancia para resolver problemas de geometría. D (3,3) A (0,-1) C (9,4) B (8,0) Encuentra el perímetro de ABCD. Utiliza la fórmula de la distancia para encontrar las cuatro longitudes de los lados. A continuación, suma todos juntos AB = AB = BC = BC = CD = CD = DA = DA =

121 Slide 75 (Answer) / 109

122 Slide 76 / Encuentra el perímetro del EFG. Redondea la respuesta a la décima más cercana. F (3,4) G (1,1) E (7,-1)

123 Slide 76 (Answer) / 109

124 Slide 77 / Encuentra el perímetro del cuadrado Redondea la respuesta a la décima más cercana. H (1,5) K (-1,3) I (3,3) J (1,1)

125 Slide 77 (Answer) / Encuentra el perímetro del cuadrado Redondea la respuesta a la décima más cercana. H (1,5) K (-1,3) I (3,3) Respuesta J (1,1) La longitud de cada lado es #8 Entonces el perímetro es 4 veces #8 # 11.3 [This object is a pull tab]

126 Slide 78 / Encuentra el perímetro del paralelogramo. Redondea tu respuesta a la decena más cercana. L (1,2) O (0,-1) M (6,2) N (5,-1)

127 Slide 78 (Answer) / 109

128 Slide 79 / 109 Punto Medio Click para volver a la tabla de Contenidos

129 Slide 80 / 109 Encuentra el punto medio de este segmento. Qué es un punto medio? Como encontraste el punto medio? Cuáles son las coordenadas del punto medio? (2, 10) (2, 2)

130 Slide 81 / 109 Encuentra el punto medio de este segmento. Cuáles son las coordenadas del punto medio? Cómo se relaciona con las coordenadas de los puntos extremos? (3, 4) (9, 4)

131 Slide 81 (Answer) / 109 Encuentra el punto medio de este segmento. Cuáles son las coordenadas del punto medio? Cómo se relaciona con las coordenadas de los puntos extremos? Respuesta Punto medio = (6, 4) Está en el medio del segmento. (9, 4) (3, 4) Promedio de las coordenas X. Promedio de las coordenadas y. [This object is a pull tab]

132 Slide 82 / 109 Fórmula del Punto Medio Para calcular punto medio de un segmento con los puntos extremos (x1,y1) y (x2,y2) usa la fórmula: ( x1 + x2 y1 + y2, 2 2 ) Las coordenadas del punto medio de los ejes x e y son los promedios de las coordenadas de los puntos extremos de x e y, respectivamente.

133 Slide 83 / 109 El punto medio de un segmento AB es el punto M de AB a medio camino entre los extremos A y B. A (2,5) B (8,1) Mira la próxima página para la respuesta

134 Slide 84 / 109 El punto medio de un segmento AB es el punto M de AB a medio camino entre los extremos A y B. Usa la fórmula del punto medio: ( A (2,5) M B (8,1) x1 + x2 2, y1 + y2 2 )

135 Slide 84 (Answer) / 109 El punto medio de un segmento AB es el punto M de AB a medio camino entre los extremos A y B. Usa la fórmula del punto medio: ( A (2,5) B (8,1) Respuesta M x1 + x2 2, y1 + y2 2 ) Sustituye en valores: 2+8, Simplifica los numeradores: 10, Escribe fracciones simplificadas ( ) ( ) (5,3) es el punto medio de AB [This object is a pull tab]

136 Slide 85 / 109 Encuentra el punto medio de (1,0) y (-5,3) Usa la fórmula del punto medio: ( x1 + x2 2, y1 + y2 2 )

137 Slide 85 (Answer) / 109 Encuentra el punto medio de (1,0) y (-5,3) Usa la fórmula del punto medio: 2, y1 + y2 2 ) Sustituye en valores: , Simplifica los numeradores: -4, Escribe fracciones simplificadas: Answer Respuesta ( x1 + x2 ( ( ) ) (-2,1.5) es el punto medio [This object is a pull tab]

138 Slide 86 / Cuál es el punto medio del segmento que tiene puntos extremos de (2,10) y (6,-4)? A (3,4) B (4,7) C (4,3) D (1.5,3)

139 Slide 86 (Answer) / 109 Cuál es el punto medio del segmento que tiene puntos extremos de (2,10) y (6,-4)? A (3,4) B (4,7) C (4,3) D (1.5,3) Respuesta 38 C [This object is a pull tab]

140 Slide 87 / Cuál es el punto medio del segmento que tiene puntos extremos de (4,5) y (-2,6)? A (3,6.5) B (1,5.5) C (-1,5.5) D (1,0.5)

141 Slide 87 (Answer) / 109 Cuál es el punto medio del segmento que tiene puntos extremos de (4,5) y (-2,6)? A (3,6.5) B (1,5.5) C (-1,5.5) D (1,0.5) Respuesta 39 B [This object is a pull tab]

142 Slide 88 / Cuál es el punto medio del segmento que tiene puntos extremos de (-4,-7) y (-12,2)? A (-8,-2.5) B (-4,-4.5) C (-1,-6.5) D (-8,-4)

143 Slide 88 (Answer) / 109 Cuál es el punto medio del segmento que tiene puntos extremos de (-4,-7) y (-12,2)? A (-8,-2.5) B (-4,-4.5) C (-1,-6.5) D (-8,-4) Respuesta 40 A [This object is a pull tab]

144 Slide 89 / Cuál es el punto medio del segmento que tiene puntos extremos de (10,9) y (5,3)? A (6.5,2) B (6,7.5) C (7.5,6) D (15,12)

145 Slide 89 (Answer) / 109 Cuál es el punto medio del segmento que tiene puntos extremos de (10,9) y (5,3)? A (6.5,2) B (6,7.5) C (7.5,6) D (15,12) Respuesta 41 C [This object is a pull tab]

146 Slide 90 / Encuentra el centro del círculo con un diámetro que tiene puntos finales en (-4,3) y (0,2). Qué fórmula se debe utilizar para resolver este problema? A Fórmula Pitagórica B Fórmula de Distancia C Fórmula del Punto Medio D Fórmula del Área de un Círculo

147 Slide 90 (Answer) / 109 Encuentra el centro del círculo con un diámetro que tiene puntos finales en (-4,3) y (0,2). Qué fórmula se debe utilizar para resolver este problema? A Fórmula Pitagórica B Fórmula de Distancia C Fórmula del Punto Medio D Fórmula del Área de un Círculo Respuesta 42 C [This object is a pull tab]

148 Slide 91 / Encuentra el centro del círculo con un diámetro que tiene puntos finales en (-4,3) y (0,2). A (2.5,-2) B (2,2.5) C (-2,2.5) D (-1,1.5)

149 Slide 91 (Answer) / 109 Encuentra el centro del círculo con un diámetro que tiene puntos finales en (-4,3) y (0,2). A (2.5,-2) B (2,2.5) C (-2,2.5) D (-1,1.5) Respuesta 43 C [This object is a pull tab]

150 Slide 92 / Encuentra el centro del círculo con un diámetro que tiene puntos finales en (-12,10) y (2,6). A (-7,8) B (-5,8) C (5,8) D (7,8)

151 Slide 92 (Answer) / 109 Encuentra el centro del círculo con un diámetro que tiene puntos finales en (-12,10) y (2,6). A (-7,8) B (-5,8) C (5,8) D (7,8) Respuesta 44 B [This object is a pull tab]

152 Slide 93 / 109 Si el punto M es el punto medio entre los puntos P y Q. Encuentra las coordenadas del punto que falta. Q=? M (8,1) P (8,-6) Usa la fórmula del punto medio y resuelve para el desconocido. ( x1 + x2 y1 + y2, 2 2 ) Sustituye Multiplica ambos lados por 2 Suma o Resta (8, 8)

153 Slide 94 / Si el punto M es el punto medio entre los puntost P y Q. Cuáles son las coordenadas del punto que falta? A (-13,-22) B (-8.5,-9.5) C (-4.5,-7.5) D (-12.5,-6.5) P = (-4,3) M = (-8.5,-9.5) Q=?

154 Slide 94 (Answer) / 109 Si el punto M es el punto medio entre los puntost P y Q. Cuáles son las coordenadas del punto que falta? A (-13,-22) B (-8.5,-9.5) C (-4.5,-7.5) D (-12.5,-6.5) P = (-4,3) M = (-8.5,-9.5) Q=? Respuesta 45 A [This object is a pull tab]

155 Slide 95 / Si el punto M es el punto medio entre los puntost P y Q. Cuáles son las coordenadas del punto que falta? A (1,-1) B (-13,19) C (-8,11) D (-19,8) Q = (-6,9) M = (-7,10) P=?

156 Slide 95 (Answer) / 109 Si el punto M es el punto medio entre los puntost P y Q. Cuáles son las coordenadas del punto que falta? A (1,-1) B (-13,19) C (-8,11) D (-19,8) Respuesta 46 Q = (-6,9) M = (-7,10) P=? C [This object is a pull tab]

157 Slide 96 / 109 Glosario Click para volver a la tabla de Contenidos

158 Slide 97 / 109 Recíproco del Teorema de Pitágoras Si a y b son las medidas de los lados más cortos de un triángulo, c es la medida del lado más largo y equivale al cuadrado de b más el cuadrado de a, entonces ese triángulo es un triángulo rectángulo. Ejemplo: a2+b2 = c2 4 c a b 5 3 triángulo rectángulo = = = 25 Volver al tema

159 Slide 98 / 109 Distancia Longitud Es la medida de cuán alejados están dos puntos a lo largo de un espacio. Fórmula de distancia d= (x2 - x1) + (y2 - y1) 2 distancia en la coordenada distancia x-. en la coordenada y = Volver al tema

160 Slide 99 / 109 Hipotenusa El lado más largo de un triángulo rectángulo que es el opuesto al ángulo recto. Hipotenusa a2+b2 = c2 Volver al tema

161 Slide 100 / 109 Catetos 2 lados que forman el ángulo recto de un triángulo rectángulo. a2+b2 = c2 Catetos Volver al tema

162 Slide 101 / 109 Punto medio El medio de algo. Fórmula de punto medio: ( x1 + x2 y1 + y2, 2 2 ) El punto que está a la mitad de una recta. ( ( ( ) ) ) x1 + x2 y1 + y2, , , 12 2 ( 2 6), Volver al tema

163 Slide 102 / 109 Teorema de Pitágoras El un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de las longitudes de los lados (a y b) es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa (c). Fórmula: 4 Ejemplo: = = = Volver al tema

164 Slide 103 / 109 Ternas pitagóricas Combinaciones de números enteros que funcionan en el Teorema de Pitágoras = = = = = = = = = Volver al tema

165 Slide 104 / 109 Triángulo rectángulo Un triángulo que tiene un ángulo recto (90 ). Hipotenusa 60º Catetos 30º Escalera Vela 45º 45º Volver al tema

166 Slide 105 / 109 Volver al tema

167 Slide 106 / 109 Volver al tema

168 Slide 107 / 109 Volver al tema

169 Slide 108 / 109 Volver al tema

170 Slide 109 / 109