TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS

Transcripción

1 TRNSFRMINES GEMÉTRIS JETIVS onocer las diferentes transformaciones geométricas que facilitan la representación de las formas en el plano. 1 3 nalizar los criterios de transformación que pueden estable - cerse entre dos figuras, atendiendo a su disposición en el plano (criterios gráficos) o a su forma (criterios mé tricos). Entender los moimientos en el plano como las transforma - ciones geométricas que se obtienen al aplicar a una figura su cesias traslaciones, giros y/o simetrías. Una transformación es el resultado de un cambio (de forma, posición, tamaño ) producido en una forma «F» cuando pasa a ser «F». Las correspondencias entre elementos de «F» y «F» originan los diferentes tipos de transformaciones. Por tanto, las formas planas pueden ser transformadas en otras, mediante la aplicación de diersos criterios que relacionan geométricamente, de alguna manera, a ambas figuras. La relación entre dos figuras puede atender a su disposición en el plano criterios gráficos, caso de la traslación, el giro o la simetría, o a su forma criterios métricos caso de la igualdad, la equialencia y la homotecia. 1 MVIMIENTS EN EL PLN 1.1 Definición. Se entiende por moimientos a los cambios de posición que se consiguen al aplicar, sucesiamente, a una figura un número cualquiera de traslaciones, giros y/o simetrías. En todo moimiento se ha de contemplar la posición inicial (u original) de la figura en cuestión y la posición final (o imagen) resultado de la aplicación geométrica. En definitia, los moimientos son correspondencias biuníocas que permiten obtener una figura final congruente con la inicial, tal que a cada punto del original le corresponde un punto de la imagen final y iceersa. 1. Traslación. «Trasladar una figura plana es aplicar a la misma un moimiento rectilíneo según una dirección determinada». El ector guía (ector de traslación) marca la dirección, el sentido y la magnitud del desplazamiento (,, ). Una traslación, determinada por el ector, transforma un punto en otro tal que el ector =. Los segmentos homólogos conseran su longitud y dirección, las rectas se mantienen paralelas y los ángulos homólogos se conseran iguales. Designación: Traslación de ector : T ( ) 1.3 Giro. «Girar es modificar la posición de una figura respecto de la inicial, aplicándole un moimiento de rotación respecto a un punto fijo, llamado centro de giro o de rotación». Dicho centro () de giro, puede estar situado en el interior, en el contorno o en el exterior de la figura a transformar. El ángulo ( ϕ ) de giro puede ser positio o leógiro (contrario a las agujas del reloj) y negatio o dextrógiro (sentido según agujas del reloj). (ector de traslación) MVIMIENTS EN EL PLN ϕ ϕ 1. Traslación: T() 1.4 Simetría central: S() 1.3 Giro: G(, ) e e 1.5 Simetría axial: S(e) PRDUTS DE MVIMIENTS T( 1 ) T( ) = T() 1.7. G( 1, ) G(, ) = G(, ) Un giro determinado por el centro y una amplitud de ángulo ϕ transforma un punto en otro tal que = y = ϕ. Designación: G (, ϕ ) 1.4 Simetría central. «Es el moimiento que corresponde a un giro, cuyo ángulo ϕ ale 180 ( dextrógiro o leógiro ), con centro de rotación ( )». En una simetría central, dos puntos simétricos se encuentran alineados y son equidistantes del centro de simetría. Los segmentos simétricos resultan ser paralelos ( // ). Designación: Simetría de centro : S ( ) 1.5 Simetría axial. «Es el moimiento que corresponde a una figura que se separa del plano que la contiene para oler a él mediante una semirrotación alrededor de una recta fija (e) del plano inicial, llamada eje de simetría». Una simetría determinada por el eje e, transforma un punto en otro tal que dicho eje es la mediatriz del segmento. Notación: Simetría de eje e: S ( e) 1.6 Moimientos directos e inersos. Un moimiento es directo cuando se consera el sentido de giro de las figuras. Las traslaciones y giros (incluida la simetría central) son mo - imientos directos. Las figuras, así obtenidas, se dice que son directamente iguales. Un moimiento es inerso cuando no se consera el sentido de giro de las figuras, inirtiendo el sentido del plano, caso de las simetrías axiales. Las figuras que se obtienen por un moimiento inerso se dice son inersamente iguales. 1.7 Producto de moimientos. La aplicación sucesia de dos o más moimientos (traslaciones, giros y simetrías) es otro moimiento y se denomina producto de moimientos. El resultado es una figura «imagen» igual a la «original»; únicamente puede cambiar su posición en el plano Producto de dos traslaciones. El producto de dos traslaciones, de ectores 1 y, es otra traslación de ector Producto de dos giros. El producto de dos giros es otro giro, de centro la intersección de las mediatrices de los segmentos que unen puntos homólogos de las posiciones inicial y final. uando las rectas mediatrices son paralelas, el producto es una traslación. 75

2 1.7.3 Producto de una traslación por un giro. El producto de una traslación por un giro (o iceersa) es un giro cuyo centro se determina como en el caso anterior; ya que una traslación es un giro de centro impropio Producto de dos simetrías axiales. El producto de dos simetrías axiales es un giro, cuyo centro es el punto intersección de los ejes de simetría. Si ambos ejes son paralelos el producto resulta ser una traslación, o lo que es lo mismo, un giro de centro impropio onclusiones generales. El producto de dos moimientos directos o in - ersos es otro moimiento directo. El producto de un moimiento directo por otro inerso inierte el sentido entre la figura inicial y la imagen final, las cuales no pueden relacionarse entre sí por un solo moimiento, a no ser se trate de casos particulares. HMTEI.1 Definición. Dado el punto fijo y un número real k 0, se llama homotecia a la transformación geométrica que hace corresponder a un punto otro, alineado con y con, tal que: / = k (cte.) l punto se le denomina centro de homotecia, y a la constante k razón de la homotecia. Designación: H (, k). - Si k >0: y están del mismo lado que. La homotecia se dice que es directa o positia. - Si k <0: y están a distinto lado que. La homotecia se dice que es inersa o negatia.. Propiedades de la homotecia...1 Propiedades generales. Una recta r que no pasa por el centro de homotecia se transforma en otra r paralela (fig..1.1). Existe proporcionalidad (Teorema de Thales) entre los triángulos y. La razón entre dos segmentos homólogos es igual a la razón de homotecia. Esto es: / = / = / = =k. Las rectas que pasan por el centro se transforman en sí mismas (son dobles). En la fig...1, las rectas a y b son dobles. Los ángulos homólogos son iguales, ya que sus lados son paralelos: = = α.... Propiedades de transformación. Si la razón de homotecia es igual a la unidad ( k =1), todos los puntos del plano son dobles (homólogos de sí mismos) y la transformación es una IDENTIDD. Si la razón de homotecia es k =-1, la transformación es una SIMETRÍ ENTRL de centro. Si el centro de homotecia se encuentra en el infinito (homotecia impropia) y la razón k = 1, la correspondencia geométrica se transforma en una TRSLIÓN. Homotecia directa o positia: k > 0 Homotecia inersa o negatia: k< 0 D / = k D 1 PRDUT DE MVIMIENTS T() G( 1, ) = G(, ) S(e 1 ) S(e ) = G(, ) α r s r HMTEI.1 Tipos de homotecia...1 Rectas y ángulos homotéticos... α s a a TRNSFRMINES HMTÉTIS b b Identidad ( k=1). Simetría central ( k= -1). Traslación ( k=1 y ). = k = 1 er 1- caso: o - caso: e 1 = k = 1 = k = - 3 e Trazado de figuras homotéticas. Para dibujar una figura homotética de otra, puede elegirse como centro de homotecia () cualquier punto interior a la figura, exterior o del contorno de la misma. nalicemos cada caso con un ejemplo..3.1 on el centro en un punto interior. - Datos: cuadrilátero D; centro de homotecia (en el interior de la figura) y razón de ho motecia: k = 1/. - onstrucción: Se define como punto homotético de, erificándose: / = k = 1/ ; =. Partiendo de conocer la posición del punto se trazan paralelas a los lados y se determina el polígono homotético D..3. on el centro en un punto exterior. - Datos: triángulo ; centro de homotecia (en el exterior de la figura) y razón de homotecia en los dos casos posibles: 1 er caso: k = 1/ (directa o positia). o caso: k =-/3 (inersa o negatia). - onstrucción: Se determina como homotético de, cumpliéndose que =. Seguidamente, se trazan paralelas a los lados homólogos hasta completar el triángulo homotético del dado. nálogamente, el értice se obtiene considerando que = 3/. El resto de értices que determina la figura homotética se consigue trazando, como siempre, paralelas por el punto preiamente determinado..3.3 on el centro en un értice de la forma. - Datos: pentágono D; centro de homotecia en el punto (értice de la figura) y razón de homotecia: k = 5/3. - onstrucción: omo en casos anteriores, se comienza por determinar el homotético de un értice (en la figura ) que erifica la relación: / = 5/3. omo siempre, una ez determinado se trazan paralelas a los lados homólogos, determinando el polígono homotético D. 3 1 FIGURS HMTÉTIS D = con el centro, interior al polígono..3. con el centro, exterior al polígono..3.3 con el centro en un értice. D 76

3 1 MVIMIENTS EN EL PLN ( I ) 1 GEMETRÍ MÉTRI PLID 3 TRNSFRMINES GEMÉTRIS 1. Dadas las rectas a y b no paralelas, te proponemos dibujes la PSIIÓN NTT con la recta, sabiendo que la dirección del moimiento exacta de un TRIÁNGUL EQUILÁTER de lado 35 mm., de forma forma 30 con la recta m, en su sentido ascendente. que un LD del mismo se sitúe en la recta a, estando el VÉRTIE 3. Dibuja los posibles SEGMENTS IGULES y PRLELS al segmento, PUEST a dicho lado en la recta b. de modo que sus extremos estén en las circunferencias de centros 1 y.. Se conoce el centro y el radio de una IRUNFERENI, así como 4. Dado el PENTÁGN REGULR ESTRELLD DE, dibuja su la situación de una RET m. Debes determinar, gráficamente, la FIGUR IMGEN resultado de aplicar las TRSLINES de ectores MGNITUD del RERRID realizado por la circunferencia hasta su u y, respectiamente. 1 b T m mm T a 60 MENTRI - El proceso consiste en dibujar un triángulo equilátero en una posición cualquiera con el lado sobre la recta a. Por el tercer értice se traza una recta paralela a la recta a, lo que determina la trayectoria del punto hasta su posición final, intersección con la recta b. - Por último, por se trazan paralelas a los lados del triángulo inicialmente dibujado, formando los lados de la solución buscada. MENTRI - El contacto se producirá cuando la circunferencia sea tangente a la recta o iceersa. Por tanto, por el punto, centro de la circunferencia dada, se traza una perpendicular a la recta m, determinando el punto T de la circunferencia. -Desde T, se lanza una trayectoria recta que forme 30 con la recta m, de tal manera que corta a dicha recta en el punto T. La longitud del segmento TT = determina el recorrido efectuado por la circunferencia, siendo, por tanto, igual al ector traslación aplicado a la circunferencia dada para llegar a la posición de contacto en el punto T con la recta m. 3 4 E P u u D M 1 R E E 1 1 N MENTRI - Recordemos que todos los segmentos paralelos a uno dado y que se apoyen en una circunferencia, se apoyarán también en otra circunferencia de igual radio, siendo el segmento determinado por sus centros correspondientes, igual y paralelo al segmento dado. - Por ello, aplicando una traslación (de ector ) a la circunferencia de centro 1, se obtiene la circunferencia de centro 1 que corta a la circunferencia de centro, en los puntos P y R, extremos de los segmentos solución: MP y NR. D T ( u) T ( ) = T ( ) D

4 VERIFIINES 1. Puede darse el caso de un producto de traslaciones NUL? Pon un ejemplo gráfico. u MENTRI En general, el producto de dos moimientos recíprocos es la identidad; por tanto, el producto de una traslación directa por otra inersa de igual magnitud (moimiento inolutio) es la identidad (imagen inicial). En la figura, el triángulo se transforma en el mediante el ector traslación u y, éste, uele a ocupar la posición mediante otra transformación (inersa) de ector traslación (idéntico al anterior pero de sentido contrario: - u ). = -u T (u) T (-u) = IDENTIDD. Sabiendo que el punto se DESPLZ a la posición, dibuja la IMGEN de la RIGINL (dada).. Sabiendo que el punto se DESPLZ a la posición, dibuja la IMGEN de la RIGINL (dada). 78

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6 VERIFIINES 1. Los TRES UDRDS dispuestos en en la la figura constituyen el el inicio de de una una SERIE. Se debe NTINUR la la SEUENI, con con nueos cuadrados, hasta hasta conseguir ERRRL º 10 15º Qué LETRS MYÚSULS se leen igual al REFLEJRSE en un espejo? Qué NÚMERS tienen esta PRPIEDD? ualquier signo que tenga simetría respecto a un eje ertical por su centro, poseerá igual lectura al reflejarse en un espejo (simetría especular). sí, en cuanto a las letras mayúsculas gozan de esta propiedad:, H, I, M,, T, U, V, W, X e Y. En cuanto a los números arábigos, traídos de la India por los árabes e introducidos en ccidente a principios del s. XII, se leen igual en el espejo el 8 y el 0, aunque también puede considerarse el 1, cuando le falta. Qué el rasgo LETRS inicial MYÚSULS y aparece únicamente se leen igual como al un REFLEJRSE pequeño segmento en un espejo? ertical. Qué NÚMERS tienen esta PRPIEDD? Y si nos referimos a la numeración romana: I, V, X y M. 80

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8 VERIFIINES 1. Toda HMTEI es una SEMEJNZ; pero, es es IERT lo lo NTRRI?. En Sobre la Semejanza una MES DE los ILLR puntos profesional homónimos (de longitud dos figuras el doble semejantes de su anchura), entre sí no hay están tres bolas alineados, y con, en ningún la situación centro, estableciéndose que especifica el la dibujo. relación Se entre pide: segmentos semejantes: ( )/() = k ; siendo k la razón de semejanza. En Representar, la Homotecia, sobre la ordenación la FIGUR DJUNT, entre las figuras la TRYETRI homotéticas seguida consera por existiendo la bola una para relación conseguir proporcional que, después tama- de ños UTR diferente RETES de cero. (uno Entre sobre ellas, cada los banda puntos de homotéticos la mesa, MENZND se encuentran por alineados la ND con IZQUIERD) el centro de impacte, homotecia, al mismo de modo tiempo, que se contra erifica: las ()/() otras DS LS = k ; siendo ( y ). k la En razón definitia, homotecia. conseguir lo que en el lance de este juego se llama hacer una «RML LIMPI».. Sobre una MES DE ILLR profesional (de longitud el doble de su anchura), hay tres bolas, y, en la situación que especifica el dibujo. Se pide: Representar, sobre la FIGUR DJUNT, la TRYETRI seguida por la bola para conseguir que, después de UTR RETES (uno sobre cada banda de la mesa, MENZND por la ND IZQUIERD) impacte, al mismo tiempo, contra las otras DS LS ( y ). En definitia, conseguir lo que en el lance de este juego se llama hacer una «RML LIMPI». 4 VIST EN PLNT DE L MES DE ILLR e 1 e 4 1 M e 3 e 3 8

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10 8TNGENISÁSIS. ENLES.