ILI-280 Estadística Computacional Quices

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1 UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARÍA DEPARTAMENTO DE INFORMÁTICA VALPARAÍSO CHILE ILI-280 Estadística Computacional Quices Profesores: Ayudantes : Héctor Allende <hallende@inf.utfsm.cl> Rodrigo Salas <rsalas@inf.utfsm.cl> C. Becerra, A. Cañete, M. Levano, C. Rogel y C. Saavedra, 1. 2 do Semestre Se construye una muestra de la variable Z mezclando n 1 valores de X y n 2 valores de Y, obteniéndose {X 1,...,X n1,y 1,...,Y n2 }. a) Si X n1 = 10, n 1 = 100 y Y n2 = 15, n 2 = 200. Calcular Z b) Si n 1 = n 2 y W = X i +Y i. Calcular W y SW 2 c) Si U i = lnx i, X i > 0. Obtenga expresiones aproximadas de la media y varianza de U. 2. Una empresa informática tiene un registro de 47 productos de software al cual se les midió el número de errores encontrados Y medido en cientos de módulos, y el número de líneas de código X que posee medidos en miles de líneas. Los datos se encuentran resumidos en la siguiente tabla: Y/X a) Explique brevemente el contenido de la tabla. Existe alguna relación entre las variables? b) Encuentre Varianza Intra e Inter del número de errores encontrados, usando el número de líneas de código como variable estratificadora. Concluya c) Encuentre el coeficiente de correlación lineal de la muestra. d) Encuentre una recta de regresión. e) Se estima que el nuevo software que se desarrollará consiste en líneas de código. Cuanto tiempo tomaría reparar los errores si la empresa repara 10 módulos diariamente? 3. Problema TSP: Se tienen n ciudades y se quiere ir de una a otra haciendo un circuito sin pasar dos veces por la misma ciudad, y pasando por todas ellas. Cada ciudad esta conectada con todas las demás. a) Cuántas rutas existen? b) Si existe una única ruta de mínima distancia, cuál es la probabilidad de que se encuentre dicha solución al azar? c) Suponiendo que existen 5, 10, 100, 500 ciudades, y que se usa backtracking o algún algoritmo de búsqueda exhaustiva para encontrar la solución de menor costo. Cuánto tiempo tomaría en un computador de 1[GHz] evaluar todas las soluciones, suponiendo que el algoritmo tarda 10 2 segundos en evaluar cada solución? 4. Definir brevemente: Problema P, Problema NP, Problema NP Duro. 1

2 5. Buscar un problema NP o NP Duro y realizar un estudio combinatorial como el de la pregunta 1. (Ejemplos: time tabling, coloración de grafos, VRP, bipartición de grafos). 6. El diámetro exterior de un tubo, D; debe ser de 4 pulgadas. Supóngase que D es una variable aleatoria distribuida normalmente de modo que el porcentaje de tubos con diámetro 4,1645 es 5% y el porcentaje de tubos con diámetro menor que 3,9875 es 45%. Si el diámetro real se diferencia del valor especificado por más de 0,05 pulgadas pero en menos de 0,08 pulgadas, la pérdida del fabricante es de $ 0,50 por tubo. Si el diámetro real se diferencia del diámetro especificado en más de 0,08 pulgadas, la pérdida es de $ 1,00 por tubo. Se define la pérdida L como una variable aleatoria. a) Calcule E[L] b) En una muestra no destructiva de 20 tubos, calcule la probabilidad de que en a lo más 2 tubos el fabricante pierda por lo menos $ 0,50 por tubo. 2

3 2. 2 do Semestre Dada una muestra aleatoria de tamaño n de una población bajo estudio, de la cual se estudian una característica: X la cual se divide en k clases. Demostrar la siguiente igualdad: n i=1 f i (x i x) 2 = n i=1 f i x 2 i x 2 (1) 2. Se realiza un estudio del peso en kilogramos de los recién nacidos en cuatro hospitales diferentes de la ciudad. Ud. realizó las mediciones en el hospital 1 obteniendo los pesos de 20 bebés: 3.120; 2.843; 2.539; 3.495; 3.044; 3.298; 3.270; 3.206; 2.898; 2.915; 3.087; 2.844; 2.883; 3.641; 3.216; 2.834; 3.187; 2.861; 2.795; a) Dibujar el gráfico de Box-Plot. Identificar y evaluar los puntos necesarios del gráfico. Detectar los datos considerados outliers. b) En los estudios realizados en los otros hospitales se obtuvieron las siguientes medidas para cada hospital: H1 H2 H3 H4 n X S Determinar el promedio y las varianzas totales, varianza intra e inter y el coeficiente de variación. Concluya a partir de los valores obtenidos. 3. Dada una muestra aleatoria de tamaño n de una población bajo estudio, de la cual se estudian dos características: X e Y, de la cual la variable X se divide en k clases mientras que la variable Y en r clases. Demostrar la siguiente igualdad: r k j=1 i=1 f i j (x i x)(y j y) = r k j=1 i=1 f i j x i y j x y (2) 4. Se realiza un estudio del peso en kilogramos de los recién nacidos en cuatro hospitales diferentes de la ciudad. Ud. realizó las mediciones en el hospital 1 obteniendo los pesos de 20 bebés: 3.104; 3.528; 2.637; 3.328; 3.468; 3.419; 3.373; 3.212; 6.403; 3.370; 3.123; 3.086; 3.111; 2.757; 3.129; 3.235; 3.294; 3.633; 3.094; a) Dibujar el gráfico de Box-plot. Identificar y evaluar los puntos necesarios del gráfico. Detectar los datos considerados outliers. b) En los estudios realizados en los otros hospitales se obtuvieron las siguientes medidas para cada hospital: H1 H2 H3 H4 n X S Determinar el promedio y las varianzas totales, varianza intra e inter y el coeficiente de variación. Concluya a partir de los valores obtenidos. 5. Un médico sabe que la meningitis provoca una rigidez en el cuello del paciente el 50% de las veces. El médico conoce también algunos hechos incondicionales: La probabilidad a priori de que un paciente sufra de meningitis es 1/50000 (1 en 50000) La probabilidad a priori de que un paciente padezca de rigidez en el cuello es de 1/20 (1 en 20). 3

4 Determinar la probabilidad de que un paciente padezca de meningitis si se sabe que padece de rigidez en el cuello. Interpreté sus resultados en términos de probabilidades priori y posteriori. 6. Una multitud de ropa por medio la internet (comercio electrónico), mantiene dos líneas de productos, una línea cara (2) y la otra barata (1). Una muestra de 1000 pedidos dió como resultado la siguiente tabla con datos faltantes: Sean los eventos siguientes A: El cliente es mujer B: El pedido es de la línea barata (1) Sexo \ Producto 1 2 Total M F 205 Total a) Completa la tabla podría afirmar Ud. que los eventos A y B son independientes probabilísticamente? b) Verificar usando el cálculo de probabilidades si se cumple que P(A B) = P(A) P(A B) 7. Considere la variable aleatoria X con función de densidad Pareto de parámetros a y b, dada por la siguiente ecuación: a) Para qué valores de x la función de densidad está bien definida? b) Encontrar la función de distribución. c) Encontrar la esperanza y varianza. d) Si a = 1 y b = 2, calcular P[X 1] y P[1,8 X 2,5] f (x) = aba x a+1 (3) 8. Considere la variable aleatoria X con función de densidad Logística de parámetros m y b, dada por la siguiente ecuación: f (x) = a) Para qué valores de b la función de densidad está bien definida? b) Encontrar la función de distribución. c) Encontrar la esperanza y varianza. d) Si m = 1 y b = 2, calcular P[X = 1] y P[0,5 X 1,2] e (x m)/b b(1 + e (x m)/b ) 2 (4) 9. Sea X una variable aleatoria continua e Y una variable aleatoria discreta tales que su función de densidad conjunta (X,Y ) está dada por f (x,y) = xy e 2x y! x > 0 y N 0 a) Encontrar f y (y) b) E[X Y = 2] 10. Sea X, Y dos variables aleatorias independientes distribuidas exponencialmente con parámetro θ. Sea Z = X 1 + X 2 obtener a) f Z (z) 4

5 b) P(x 1 + x 2 < 2 x 1 = 1) c) E[x 1 + x 2 x 1 = 1] 11. Un fabricante asegura que una determinada máquina posee una variabilidad dada por σ 2 0 = 500. Ud. desea comprar una máquina sólo si la variabilidad de esta es menor a la que el fabricante señala. Por lo tanto uno de sus trabajadores realizó una muestra de tamaño n = 7 obteniéndose los siguientes datos: , 105, 95, 115, 100, 90. Compraría ud. la máquina? Justifique sus resultados. 12. En un determinado experimento se contabilizan el número de éxitos sucesivos hasta que ocurre la primera falla. Sea X la variable aleatoria que cuenta el número de intentos hasta antes que ocurra la falla (0,1,2,3,...), es decir, X tiene distribución geométrica cuya función de cuantía es f (x) = p x (1 p), donde p es la probabilidad de éxito. Dada la siguiente dócima: H 0 : p = 0,7 v/s H 1 : p = 0,8 Se toma una muestra de tamaño 2, y se considera la siguiente región crítica C 1 = {(c 1,c 2 ) c 1 4,c 2 5}. Determinar la función de operación característica, función de potencia, error tipo I y II. 5