ILI-280 Estadística Computacional Certámenes #1

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1 UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARÍA DEPARTAMENTO DE INFORMÁTICA VALPARAÍSO CHILE ILI-280 Estadística Computacional Certámenes #1 Profesores: Ayudantes : Héctor Allende <hallende@inf.utfsm.cl> Rodrigo Salas <rsalas@inf.utfsm.cl> C. Becerra, A. Cañete, M. Levano, C. Rogel y C. Saavedra, 1. 1 er Semestre Pedro quiere enviar una carta a María. La probabilidad de que Pedro escriba la carta es 0,8; la probabilidad de que el correo no la pierda es 0,9 y la probabilidad de que el cartero la entregue es 0,9. Si María no recibió la carta, Cuál es la probabilidad condicional de que Pedro no lo haya escrito? 2. Las ventas en un centro comercial de artículos deportivos tiene variación estacional. Se dispone de la información de ventas bimestrales. t V(t) a) Ajuste a los datos usando mínimos cuadrados el modelo b) Discuta el ajuste de los datos al modelo propuesto. V (t) = a + bsin(t) + ε t (1) 3. Una empresa recibe piezas de un proveedor en lotes de 2000 que se someten al siguiente control: se toman 20 piezas al azar y si hay más de una defectuosa se rechaza el lote; en otro caso se acepta. La calidad garantizada por el proveedor es un 8 por mil de defectuosos. Calcular la probabilidad de a) Aceptar un lote que contenga un 2% de defectuosos. b) Rechazar un lote que debería ser aceptado al tener sólo el 8 por mil de defectuosos. 1

2 2. 2 do Semestre Se escogen dos puntos de manera equiprobable e independiente en [0, 1]. Calcule la probabilidad de que estén a una distancia mayor que d, con 0 < d < 1, sabiendo que la suma de ambos es menor que 1. Justifique la construcción de su modelo de probabilidad! 2. Se han hecho las siguientes observaciones de los pesos de 10 muestras de metal al ser tratadas químicamente durante períodos de tiempo cambiantes. y Peso [lb] x Tiempo [seg] a) Ajustar una curva exponencial y = ab x b) Ajustar una curva de la forma y = 1 a+bx c) Seleccionar el mejor modelo entre los obtenidos anteriormente. 3. Un inversionista estima que la probabilidad de que un determinado proyecto sea rentable es de 0,65. Para asegurarse contrata a dos analistas que evalúen el proyecto en forma independiente. El historial del analista I, permite suponer que evaluará el proyecto como rentable cuando en realidad lo sea con probabilidad 0,90, mientras que la probabilidad que lo evalúe como rentable dado que no lo es, es de 0,05. Por otra parte el analista II garantiza que evalúa como rentables proyectos que si lo sean un 85% de las veces y evalúa como rentable aquellos que no lo son en un 10% a) Determine la probabilidad de que ambos analistas evalúen el proyecto como rentable. b) Si ambos analistas concluyen que el proyecto es rentable, cuál es la probabilidad que sí lo sea? c) Cuál es la probabilidad de que el proyecto sea rentable si sólo uno de los analistas lo evalúa como rentable? 2

3 3. 1 er Semestre Suponga que se tiene una muestra del tamaño n; x 1,...,x n, con media muestral x(n) y varianza muestral S 2 (n). Después de un tiempo se obtiene una observación más x n+1. Sean x(n + 1) y S 2 (n + 1) la media y varianza muestral cuando se emplean en el cálculo (n + 1) observaciones: a) Indique cómo obtener x(n + 1), utilizando x(n) y x n+1 (Fórmula recursiva). b) Obtener S 2 (n + 1) utilizando S 2 (n), x(n + 1) y x i s. c) Sea z i = x i con x i > 0, i = 1,...,n. Calcular z y S 2 z a partir de la media y varianza de los x s. Nota: S 2 (n) = 1 n 1 n i=1 (x i x n ) (2) 2. La siguiente tabla presenta un resumen de las características solicitadas en 940 órdenes de compra de computadores personales. Sean A y B eventos definidos por: Memoria Adicional No Sí Procesador No opcional alta Sí velocidad A: se solicita un procesador opcional de alta velocidad. B: se solicita memoria adicional. a) Calcular P(A B); P(A B) y P(A c B c ). b) Cuál es la Probabilidad de que en una orden se pida un procesador opcional de alta velocidad sabiendo que se pidió memoria adicional? c) Son independientes los eventos A y B? 3. Suponga que la máquina I produce el doble de artículos que la máquina II. Sin embargo, cerca del 4% de los artículos producidos por la Máquina I tiene defectos, mientras que sólo el 2% de los que produce la Máquina II están defectuosos. Supongamos que se combina la producción diaria de las dos Máquinas y se toma al azar una muestra de 20 artículos. Cuál es la probabilidad de que esta muestra contenga al menos un artículo defectuoso? 3

4 4. 2 do Semestre Para decidir acerca de un proyecto de remodelación de un sector de una ciudad, la Corporación de Viviendas decide seleccionar al azar 20 unidades habitacionales de este sector. Si el 40% o más de ellas están en mal estado, se procederá a la remodelación; en caso contrario, esta remodelación no se hará. a) Cuál es la probabilidad de que se haga la remodelación si sólo el 36% de las viviendas de este sector están en mal estado? b) Cuál es la probabilidad de que no se haga la remodelación si el 50% de las viviendas están en mal estado? 2. Una persona tiene que efectuar una mantención diaria. El proceso tiene 24 horas de labor continuada. Debido a las pérdidas por no uso del sistema se saltan las mantenciones. Se sabe que el 5% de las veces el proceso ha tenido una falla en el primer período. Si ésta se produce hay un 25% que falle en el período siguiente, en caso contrario hay un 35% que falle. a) Cuál es la probabilidad que en tres períodos consecutivos el sistema falle dos veces? b) Si el sistema no falla en el tercer período. Cuál es la probabilidad que no haya fallado antes? 3. El estrógeno es una hormona que se utiliza en métodos anticonceptivos y otras aplicaciones. La siguiente tabla muestra a 50 pacientes en las que se le aplicó una cierta cantidad (C en mg) versus su edad (E en años). a) Cuál distribución marginal es más homogénea? E/C b) Comente la siguiente afirmación La cantidad de estrógeno aumenta con la edad. c) Cuál es la cantidad media en milígramos, para pacientes entre 35 y 45 años? d) Comente la siguiente afirmación: La variabilidad de la cantidad de estrógeno depende de la edad? 4

5 5. 1 er semestre Una fábrica posee tres plantas de producción (T 1,T 2,T 3 ), en la cual T 1 produce el triple de T 2 y T 3 produce la tercera parte de la producción conjunta de T 1 y T 2. Se conoce que el número de artículos defectuosos de T 3 es el doble de los que produce T 2, y T 1 produce el triple de artículos defectuosos de T 2. La proporción de artículos defectuosos de la fábrica es de 4,75%. Si un cliente compra dos artículos y le sale uno defectuoso. Cuál es la probabilidad de que no hayan sido producidos en T 2? 2. Se enseña a un mono a reconocer los colores al introducir una bola roja, una negra y una blanca en una caja de los mismos colores respectivamente. Si el mono no ha aprendido los colores y simplemente echa una bola en cada caja al azar, encuentre las probabilidades siguientes: a) No hay correspondencia en los colores. b) Hay exáctamente una correspondencia. 3. Se realiza una investigación acerca de la calidad del agua de dos localidades (A y B). Para esto se mide la concentración (en p.p.m.) de cierta sustancia tóxica en varias muestras de agua. Concentración en p.p.m Frecuencia A Frecuencia B 3,72-4, ,03-4, ,34-4, ,65-4, ,96-5, ,27-5, ,58-5, Totales a) Compare la distribución de la sustancia tóxica en ambas localidades usando: Medidas de tendencia central y variación apropiadas. b) Qué porcentaje de muestras de agua supera los 5,3% p.p.m en la localidad A?, en la localidad B?, en el total? c) Determine desde la tabla que % (app.) de la localidad A se encuentra en el intervalo X ± 2S. 5

6 6. 1 er Semestre En el año 1982 se hizo un estudio para determinar la relación entre la cantidad de goles anotados y lacantidad de goles recibidos por nuestra selección de fútbol en los partidos de visita. En base a una muestra aleatoria de 22 partidos jugados se obtuvo la siguiente tabla de contingencia. G A /G R donde G R : Goles recibidos en un partido. G A : Goles anotados en un partido. La dirección nacional de fútbol asegura que en las eliminatorias actuales, la cantidad de goles recibidos como visita será un 20% menor; mientras que la cantidad de goles anotados se incrementará en un 30% más una unidad. en tales condiciones, a) Determine el coeficiente de variación de la cantidad de goles anotados como visita en las eliminatorias para el b) Determine en qué % se debe variar el número de goles anotados para que la covarianza entre goles recibidos y anotados disminuya en un 10% (en las eliminatorias actuales). 2. Sean A, B, C, D sucesos en un espacio de probabilidad. a) Sumpóngase que los sucesos A y B son disjuntos. Bajo qué condiciones A c y B c son disjuntos? b) Supóngase que los sucesos A y B son independientes. Bajo qué condiciones A c y B c son independientes? c) Qué condiciones debe cumplir dos sucsos C y D para que sean independientes y excluyentes a la vez? 3. Un cierto tipo de partícula nuclear, al chocar contra una barrera de absorción puede generar 0, 1 o 2 nuevas partículas del mismo tipo (las llamaremos sus descendientes), con probabilidad 1 4, 1 2 y 1 4 respectivamente. La partícula original es absorbida por la barrera. Este proceso continua de la misma forma y supongamos que las partículas individuales generadas actúan independientemente entre sí. Dada una partícula inicial, sea X 1 el número de sus descendientes, sea X 2 el número de descendientes de sus descendientes y X 3 el número de descendientes de los descendientes de sus descendientes. a) Encuentre la probabilidad de que X 2 > 0 b) Calcule la probabilidad condicional de que X 1 = 1 dado que X 3 = Se lanzan 3 monedas insesgadas distintas entre sí. Sea X: la cantidad de caras menos la cantidad de sellos. a) Cuál es el espacio muestral asociado al experimento? b) Calcule la probabilidad de que la distancia entre X y su valor esperado supere al triple de la desviación estandar de X. c) Obtenga y grafique F X (x) 6

7 7. 2 do Semestre El siguiente tabligrama nos muestras las calificaciones de 41 estudiantes de un curso de Estadística a) Calcular la moda, la media y la mediana (comente diferencias) b) Encontrar Q 1 y Q 3 c) Encontrar X 0,5 d) Usando Q 1, Q 2 y Q 3 construya un diagrama de caja (Box-Plot) e) Elegir una medida de dispersión entre V (X), IQR y MEDA. Justifique. 2. Considérese una variable aleatoria X con valores en N 0 y supongamos que a) Para qué valores de a la cuantía esta bien definida? b) Encuentre la Función de Distribución acumulada c) Encontrar E[x] y V [x] Pr[x = i] = (1 a)a i i N 0 (3) d) Verifique P[x > s +t x > s] = P[x t], para todo s, t N, con s < t. 3. Un número binario compuesto por n dígitos 0 y 1 tiene una probabilidad p de que aparezca un dígito incorrecto. Suponiendo que los errores en dígitos diferentes son independientes uno de otro Cuál es la probabilidad de formar un número incorrecto? 4. Una empresa tiene dos plantas enlatadoras de jugo de damasco, una en Buin y otra en Paine. Se tiene una lata de la cual se desea saber su procedencia, si es de la planta de Buin o de la planta de Paine. Se abren tres latas que se sabe son de Buin, y se les mide su acidez, en alguna escala apropiada. Se hace lo mismo con tres latas proveniente de la planta de Paine. Los resultados son los siguientes: Buin: 14, 17, 22 Paine: 18, 20, 21 La lata cuya procedencia se desea saber, resulta tener un grado de acidez de 19. Grafique los puntos. Asuma que pertenece a alguno de los grupos. Calcule los cuadrados medio INTER e INTRA, y calcule el coeficiente F para comparar ambas medidas. Repita el procedimiento asumiendo que pertenece al otro. Use ambos resultados para decidir a qué grupo pertenece la lata. Justifique su decisión. 7

8 8. 1 er Semestre Defina, según como usted lo entiende, qué un espacio muestral, señale características, relaciones De ejemplos de espacios muestrales con todas sus implicancias. Se exige claridad y precisión. Nota: definiciones que sean copia de las transparencias o libros no sirven: NO DAN PUNTOS!!! Es como si no hubiese contestado. 2. Suponga que la población de personas que trabajan se pueden clasificar en tres categorías de empleo. Una encuesta sobre salario de las tres categorías de empleo, una vez procesada, se presenta a continuación. Se supone que el número de personas encuestadas en cada tipo o categoría de empleo es proporcional a la proporción poblacional de dichos tipos de empleo en la población en cuestión. Salario Aseo, Porteros Empleados Maestros en miles de pesos y Auxiliares Administrativos y Técnicos Especializados 100 ó menos Usted debe escribir un pequeño ensayo para la revista de la Escuela comparando los salarios percibidos por cada una de las tres categorías de ocupación o empleo. Hint: compare los resultados característicos dentro y entre las categorías. 3. El tiempo registrado, en minutos, para la preparación (set up) de una máquina (tarea que necesariamente se debe hacer antes de que se pueda empezar a trabajar en una tarea) de una muestra aleatoria de órdenes de trabajo para dicha maquinaria, es la siguiente 25,8 26,2 24,0 21,7 21,3 25,4 26,2 26,1 25,7 23,0 32,2 26,4 38,1 19,7 22,7 24,2 24,5 28,3 17,0 25,3 23,1 24,5 Haga un análisis exploratorio de los datos. Describa en sus propias palabras que observa al hacer una análisis exploratorio de los datos 8

9 9. 2 do Semestre Explique detalladamente qué es es lo que entiende por modelación de sistemas. De un ejemplo en el ámbito económico, social, biológico, urbano, químico, físico, ecológico, etc. 2. Extracto de Çómo somos los Chilenos (Revista Que Pasa 8 de Enero del 2000). Realice un completo análisis exploratorio de datos en base a los siguientes datos. Concluya. a) Distribución de edad: b) Nivel de educación: c) Nivel de ingresos (Estrato social?): Años Cantidad y más Tipo Porcentaje Básica incompleta 16.0 Básica completa 13.0 Media incompleta 17.5 Media completa 26.0 Técnica completa 9.5 Universitaria incompleta 4,5 Universitaria completa 13.5 Tipo Porcentaje ABC1 11 C3 28 C2 22 D En la tabla siguiente se encuentra el número de veces que se decretó alerta ambiental, pre-emergencia o emergencia en los últimos 11 años. Analice los datos. Hay algún tipo de inconsistencia en ellos?. Con estos datos realice un estudio de regresión proponiendo un modelo adecuado de ajuste. Concluya Alerta Ambiental Pre-Emergencia Emergencia Una cpu puede provenir de cualquiera de tres fabricantes con probabilidades: p 1 = 0,25, p 2 = 0,50; p 3 = 0,25. Las probabilidades de que la cpu funcione correctamente durante horas es 0,1, 0,2 y 0,4 respectivamente para los 3 fabricantes. a) Calcular la probabilidad de que un procesador elegido al azar funcione durante horas. b) Si el procesador funcionó correctamente durante el período de horas. Cuál es la probabilidad de que haya provenido del primer fabricante?, del primer o tercer fabricante?. 5. Cada urna u i, i = 1,...,n tiene α esferas blancas y β esferas negras. Se pasa una esfera de la urna u 1 a la urna u 2 y luego se pasa a la urna u 3 y así sucesivamente. Finalmente se saca una esfera de la urna u n. a) Si la primera esfera era blanca, cuál es la probabilidad que la última esfera sea blanca? b) Si la primera esfera era negra, cuál es la probabilidad que la última esfera sea blanca? c) Qué pasa cuando n? 9

10 10. 2 do Semestre Preguntas Cortas: a) Señale algunas ventajas y desventajas entre los modelos CART y las Redes Neuronales Artificiales. b) Verificar que la red que se presenta en la figura resuelve el problema de la función lógica XOR (oexclusivo). La función de activación de las neuronas escondida y de salida es la función signo f (z) = 0 si z < 0 y f (z) = 1 si z > 0 Llenar la siguiente tabla: X 1 X 2 Entrada Salida Entrada Salida Entrada Salida Neurona 1 Neurona 1 Neurona 2 Neurona 2 Neurona 3 Neurona c) Defina Muestreo Estratificado Aleatorio. 2. La Universidad decide realizar la compra de una maquinaria para un laboratorio. Para ello tiene que decidir si comprar la máquina al proveedor A o B. Para ello se realiza un estudio de calidad de la máquina en base a su punto de operación. Según los proveedores el punto de trabajo de la máquina A es 15 y la máquina B es 8. Después de realizar algunos experimentos en las máquinas se obtuvo la siguiente muestra: A 14,2 14,7 15,1 14,6 15,3 14,9 15,1 14,7 14,8 15,2 B 8,5 7,1 8,6 7,7 7,3 7,9 8,1 8,4 8,2 7,6 a) Cuál de las dos máquinarias es más exacta? b) Cuál de las dos maquinarias tiene mayor precisión? c) A qué proveedor le compraría la máquina? Señale sus razones. d) A la máquina por usted escogida en el punto anterior la hace trabajar en un punto de operación 20% superior al promedio muestral más 1. Cual sería el nuevo coeficiente de variación? 3. Uno de los problemas estudiado en genética clásica es el estudio de una cierta generación filial. Se hizo un experimento con cobayos negros de pelo corto con cobayos blancos de pelo largo. Si denominamos por N y n a los genes responsables del color Negro y Blanco respectivamente y C y c a los genes responsables del pelo corto y largo respectivamente. Además se sabe que el gene N domina a n y C domina a c, es decir, los cobayos con genotipo NN, nn y Nn son de color negro y nn es de color blanco, y CC, cc y Cc es de pelo corto y cc es de pelo largo. Asumiendo equiprobabilidad e independencia entre el cruzamiento de los genes y la posición del gene no importa (Nn = nn y Cc = cc). Si se primer cruzamiento realizado es entre un cobayo NnCC con un cobayo nncc y, luego, la primera generación es cruzada con un cobayo Nncc. (Nota el cruzamiento entre el genotipo A 1 A 2 y a 1 a 2 puede generar los genoripos A 1 a 1, A 1 a 2, A 2 a 1 y A 2 a 2 ) a) Cuál es la probabilidad de obtener un cobayo negro en la primera generación? 10

11 b) Cuál es la probabilidad de que el cobayo de la segunda generación sea de pelo largo si se sabe que sus padres son NnCc y Nncc? c) Cual es la probabilidad de que el cobayo nncc de la tercera generación tenga como padres 2 cobayos negros? 4. En el año 1905 Cushny-Pebles, midieron la prolongación del sueño en base a dos remedios. La diferencia de las medidas tomadas son: a) Calcular el promedio, la mediana, y la media con 10% truncada (se extrae el 10% más pequeño y el 10% más grande. b) Dibujar el gráfico de cajas (Box-plot) c) Basado en las preguntas anteriores, Qué se puede concluir de las medidas de localización?. Qué se puede decir de los datos?. 11

12 11. 2 do Semestre (20 puntos) Un administrador de la red informática de una empresa estima que la probabilidad de que en la red ingresen intrusos es de 0,01. Para asegurarse contrata a un hacker para que evalúe la seguridad de la red. El historial del hacker, permite suponer que evaluará la red como insegura cuando en realidad lo sea con probabilidad 0,90, mientras que la probabilidad que lo evalúe como segura dado que lo es, es de 0,97. a) (10 puntos) Determine la probabilidad de que el hacker evalúe la red como insegura. b) (10 puntos) Si el hacker concluye que la red es segura, cuál es la probabilidad que no lo sea? 2. (40 puntos) El tiempo de preparación del set up de máquinas en 4 plantas de un empresa se mide en horas. Se realizan mediciones en la planta 4 obteniendo los siguientes tiempos para sus 24 máquinas : 3.27;3.12; 2.84; 2.53; 3.49; 2.72; 3.04; 3.29; 3.27; 3.20; 2.31; 2.89; 2.91; 3.08; 2.84; 2.88; 3.64; 3.21; 3.68; 2.83; 3.18; 2.86; 2.79; a) (10 puntos) Calcular la media, varianza, mediana y rango intercuartílico (IQR) b) (10 puntos) Dibujar el gráfico de Box-Plot. Identificando datos considerados outliers. c) (20 puntos) En estudios realizados en las otras plantas se obtuvieron las siguientes medidas para cada de ellas : Planta P1 P2 P3 P4 N o Máquina Media Desv. estandar Determinar el promedio general de preparación del set -up de todas las máquinas y la varianza total desagregada en varianza intra e Inter. Discuta el grado de homogeneidad de los datos de cada planta. 3. (40 puntos) En la empresa en la cual ud. trabaja se realiza un estudio de los proyectos desarrollados y observa que el 30% de ellos se demoraron más de 20 días de lo pronosticado, mientras que sólo un 5% se demoraron menos de 10 días del día pronosticado. Suponga ud. un modelo gaussiano para la diferencia de tiempo entre la predicción de la empresa y el tiempo real de la demora de un proyecto. a) (10 puntos) Cuál es el número promedio y la desviación estandar de la diferencia de tiempos? b) (10 puntos) Cuál es la probabilidad de que la empresa desarrolle el proyecto en exactamente el tiempo que se predijo? Cuál es la probabilidad de demorarse entre 0 y 15 días después de lo pronosticado? c) (10 puntos) Suponga que un proyecto fracasa si se demora más de 30 días. Cuál es la probabilidad tener k proyectos exitosos y luego fracasar?. d) (10 puntos) La empresa implementa medidas correctivas en las predicciones, de manera tal que la diferencias de tiempo es una nueva variable aleatoria W con función generadora de momentos ϕ W (t) = e 5t ( 1 1 t ) 2. Cuál es el número promedio y la desviación estandar de la diferencia de tiempos? 12