Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Matemática MATEM Modalidad bienal- IV EXAMEN PARCIAL Nombre: Colegio:

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Rocío Valenzuela Torres
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Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Matemática MATEM 2016 -Undécimo Año-

1 Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Matemática MATEM Undécimo Año- -Modalidad bienal- IV EXAMEN PARCIAL 2016 Nombre: código: Colegio: Sábado 28 de Mayo de 2016

2 INSTRUCCIONES 1. El tiempo máximo para resolver este examen es de 3 horas. 2. Lea cuidadosamente, cada instrucción y cada pregunta, antes de contestar. 3. Este examen consta de dos partes. La primera de ellas es de preguntas de selección única (25 puntos) y la segunda es de desarrollo (23 puntos). 4. Las respuestas de la parte de selección debe ser contestadas en la hoja de respuestas que se le dará para tal efecto. 5. En el desarrollo debe escribir, en el espacio indicado, su nombre, código y el nombre del colegio en el cual usted está matriculado. En caso de no hacerlo, usted asume la responsabilidad sobre los problemas que se pudieran suscitar por esta causa. 6. En los ítems de selección puede usar el espacio al lado de cada ítem del folleto de examen para escribir cualquier anotación que le ayude a encontrar la respuesta. Sin embargo, sólo se calificarán las respuestas indicadas en la hoja para respuestas. 7. En los ítems de desarrollo debe aparecer todo el procedimiento que justifique correctamente la solución y la respuesta de cada uno de ellos. Utilice únicamente bolígrafo de tinta azul o negra. 8. Trabaje con el mayor orden y aseo posible. Si alguna pregunta está desordenada, ésta no se calificará. 9. Recuerde que la calculadora que puede utilizar es aquella que contiene únicamente las operaciones básicas. 10. Trabaje con calma. Le deseamos el mayor de los éxitos. 11. Para ítems en los que no se indique el dominio de una función asuman que está definida en su dominio máximo.

3 I PARTE: SELECCIÓN ÚNICA. (Valor 25 puntos) INSTRUCCIONES: A continuación se le presentan 25 enunciados, cada uno con cuatro opciones de respuesta de las cuales solo una es correcta. Marque una equis (x) sobre la letra que antecede a la opción que completa de forma correcta cada enunciado. 1. Para las funciones f y g con f (x) = a) f y g son estrictamente crecientes. b) f y g son estrictamente decrecientes. ( ) 3 x y g(x) = 4 c) f es estrictamente creciente y g es estrictamente decreciente. d) f es estrictamente decreciente y g es estrictamente creciente. ( ) x 5 se cumple que 2 2. Sea f la función exponencial dada por f (x) = a x. Si f ( 2) > f (5), entonces un posible valor para a es el siguiente a) 2 b) 4 3 c) 9 4 d) La solución de la ecuación x 1 = 32 corresponde a a) 1 b) 2 c) 1 3 d) 4 3

4 4. Una solución de la ecuación (5 x ) x = 25 1 x corresponde a a) -2 b) 1 4 c) 3 1 d) La función f con criterio f (x) = log(10 2x) tiene una asíntota vertical en a) x = 5 b) x = 5 c) x = 10 d) x = 2 6. Para la función f dada por f (x) = log 1 5 x se cumple que a) f (x) = 0 para x = 3 2 b) f (x) < 0 para toda x > 3 2 c) f (x) < 0 para toda x ]0,1[ ] d) f (x) < 0 para toda x 0, 3 [ 2 7. Considere las siguientes proposiciones que se refieren a la función f dada por f (x) = log m x I. Si 0 < m < 1 entonces f (m + 1) < 0. II. La gráfica de f interseca el eje x en (m,0). De ellas, cuáles son verdaderas? a) Ambas b) Ninguna c) Solo la I d) Solo la II

5 8. La solución de la ecuación 3 3x+1 = 7 corresponde a ) ( 7 a) log 3 3 ( ) 7 b) log 3 9 c) log 3 ( 3 6) ( ) 3 7 d) log La expresión 2log 2 x 1 2 log 2 x 3 es equivalente a a) log 2 (x x) 3 b) log 2 (x x) 8 ( ) x x c) log 2 3 ( ) x x d) log La expresión log x x n + logx logy a) n + log y x es equivalente a b) 1 + log y x c) n + logx logy d) 1 + logx logy 11. La expresión ln(x 2 3x 4) ln(x 4) + ln(x + 1) es equivalente a) ln 2 (x + 1) b) 2ln(x + 1) c) 1 d) 0

6 12. La cantidad de carbono-14 presente en un organismo t años después de su muerte está dado por la ecuación A = A 0 e 0,000124t donde A 0 es la cantidad original de carbono-14 en el organismo. Si una hoja fosilizada contiene 70% de la cantidad original de carbono-14 entonces el fósil indica que la hoja es de hace aproximadamente en años a) e 0,7 0, b) ln(0,7) 0, c) d) ln(0, 7) 0, ln(70) 0, La energía E (en ergs) liberada durante un temblor de magnitud R en la escala Richter se puede calcular mediante la fórmula log E = 11, 4+1, 5R. La energía liberada en un temblor que tuvo una magnitud de 8,4 en la escala Richter es la siguiente a) 240 b) c) d) log(24) 14. Los radios de dos circunferencias miden, respectivamente, 14cm y 6cm. Si la distancia entre sus centros es mayor que 8 y menor que 20, entonces se clasifican como circunferencias a) secantes. b) concéntricas. c) tangentes interiormente. d) tangentes exteriormente.

7 15. De acuerdo con los datos de la figura, si PQ es tangente a la circunferencia de centro O en P, PQ AB y PB = 6, entonces AB es igual a a) 2 b) 3 2 c) 6 2 d) De acuerdo con los datos de la figura, si RS y PQ son cuerdas equidistantes del centro NS = 2 3 y ON = 2, entonces. Cuál es la medida del radio? a) 2 b) 4 c) 6 d) De acuerdo con los datos de la figura, en la que las circunferencias de centro O y Q son tangentes exteriormente y las circunferencias de centro Q y R son tangentes interiormente, si OR = 12 y OQ = 7 entonces la medida del diámetro de la circunferencia de centro O es a) 2 b) 4 c) 5 d) 10

8 18. De acuerdo con los datos de la figura en la que se muestra dos circunferencias tangentes, si MN es tangente a la circunferencia de centro O en M y a la circunferencia de centro R en N, OM = MS = 2 RN y OS = 4 2, entonces la distancia entre los centros de ambas circunferencias es a) 6 b) 12 c) 6 2 d) Cuántos lados tiene un polígono en el que se pueden trazar nueve diagonales en total? a) 3 b) 6 c) 9 d) Cuál es la medida de la diagonal de un cuadrado circunscrito a una circunferencia cuyo diámetro mide 6? a) 6 b) 12 c) 3 2 d) 6 2

9 21. Si en un polígono regular la medida de cada uno de los ángulos internos es 162, entonces la medida de un ángulo central del polígono es a) 18 b) 72 c) 81 d) Si la medida de la apotema de un triangulo equilátero es 12 cm, entonces el perímetro del triangulo en cm es a) 24 3 b) 48 3 c) 54 3 d) La altura de un cilindro circular recto es 6 m. Si el radio de la base es congruente con la altura del cilindro, entonces cuál es el volumen en m 3 de dicho cilindro? a) 84π b) 216π c) 512π d) 729π 24. El área lateral de un cubo es 2 dm, Cuál es el volumen en dm 3 de dicho cubo? a) 1 8 b) 2 2 c) d)

10 25. La medida de la altura de un prisma recto de base cuadrada es 4. Si la medida de una de las diagonales del prisma es 5, entonces cual es el área lateral del prisma? a) 3 b) 9 c) 24 2 d) 48 2

11 -Undécimo Año Modalidad bienal- SOLUCIONARIO IV EXAMEN PARCIAL 2016 Sábado 28 de Mayo de 2016 Respuestas de la I parte: Selección Item Respuesta Item Respuesta Item Respuesta Item Respuesta Item Respuesta Puntos Selección Puntos Desarrollo Puntaje Total NOTA

12 III PARTE: DESARROLLO. (Valor 23 puntos) INSTRUCCIONES: A continuación se le presentan 4 ejercicios. Resuélvalos en forma clara, correcta y ordenada. Deben aparecer todos los procedimientos necesarios para obtener la respuesta correcta. 1. Resuelva la siguiente ecuación log 2 (2x 1) 2 log 2 (5x) 1 = log 2 4 y determine el conjunto solución.. Valor 5 puntos

13 2. Considere la función h : D h R, con criterio h(x) = log 3 (3 x) determine lo solicitado a continuación: a) El dominio máximo de h. Valor 1 punto b) Punto de intersección con el eje X. Valor 1 punto c) Punto de intersección con el eje Y. Valor 1 punto d) Ecuación de la asíntota. Valor 1 punto e) El criterio de la función inversa de h. Valor 2 puntos f ) Realice la gráfica de h en un plano cartesiano. Valor 2 puntos

14 3. De acuerdo con los datos de la figura, si AB = ED y AB CD. Determine el área del cuadrilátero ABCD. Valor 3 puntos

15 ( ) 1 x 4. Resuelva la siguiente inecuación < 2 x a partir de la gráfica de cada función y e datos mostrados en la figura adjunta. Valor 1 punto

16 5. En una esfera de radio 6 cm se tiene inscrito un cilindro de manera que el diámetro de la base del cilindro es igual al radio de la esfera. Calcule: a) Área total del cilindro. Valor 3 puntos b) Volumen del cilindro. Valor 3 puntos

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