Modelo 6. OPCIÓN A EJERCICIO a) (1.5 puntos) Resuelva la ecuación matricial X+ = I X = 0 1

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1 Instrucciones: a) Duración: hora y 3 minutos. b) Elija una de las dos opciones propuestas y conteste los ejercicios de la opción elegida. c) En cada ejercicio, parte o apartado se indica la puntuación máxima que le corresponde. d) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. e) Si obtiene resultados directamente con la calculadora, explique con detalle los pasos necesarios para su obtención sin su ayuda. Justifique las respuestas. Modelo 6 OPCIÓN A EJERCICIO a) (.5 puntos) Resuelva la ecuación matricial X+ = I a+ c+ = a b a b b+ d = Sea X = + = a=, b=, c=, d = c d c d a+ c= b+ d+ = X = a b b) ( punto) Dadas las matrices M = y A = calcule los valores de a y b para que se verifique la ecuación MA = A = a a b a b = b. = a=, b= a = = b EJERCICIO x 5, si x < Sea la función f( x) = x+ 4 3 x 3 x, si x a) (.5 puntos) Determine y represente gráficamente sus asíntotas. Calcule el punto donde la gráfica de la función f corta al eje de ordenadas..( 4) Como x+ 4= x= 4, f( 4) = = y lim f( x) = =±, la asíntota vertical es AV..: x= x Como lim f( x) = lim ( x 3 x ) = lim x = No hay asíntota horizontal en x x x x 5 x Como lim f( x) = lim = lim = La asíntota horizontal en es A. H.en : y= x x x+ 4 x x - Página -

2 . 5 5 Punto de corte con el eje de ordenadas ( ejey):(, f()) = (, ) = (, ) por cada asíntota y su gráfica,.3 por el punto de corte. b) ( punto) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en x = 3 x 5 3 En x= 3: Como 3 (,), f( x) = f ( x) = x+ 4 ( x+ 4).( 3) 5 3 rtg : y= f ( a).( x a) + f( a). Enestecaso, a= 3, f( a) = f( 3) = = ; f ( a) = f ( 3) = = ( 3+ 4) r : y= 3.( x+ 3) r : y= 3x+ 8 tg. por el punto de tangencia,.5 por la pendiente,.3 por la ecuación. EJERCICIO 3 Un estudio estadístico determina que la noche del 3 de diciembre conduce el 5% de la población, el % consume alcohol esa noche y el % conduce y consume alcohol. A= conducir Sean los sucesos ; Según el enunciado, p( A) =,5, p( B) =, y p( A B) =, B = consumir alcohol a) (.5 puntos) Son independientes los sucesos conducir y consumir alcohol? p(a B) =, y p(a). p(b) =,5., =,. Luego, A y B NO son independientes porque p(a B) p(a). p(b). tg b) ( punto) Qué porcentaje de la población no conduce ni consume alcohol esa noche? A c B c = (A U B) c, por una de las leyes de Morgan. Luego, p(a c B c ) = p[(a U B) c ] = p(a U B) = = [p(a) + p(b) p(a B)] = [,5 +,,]=,77 El 77% no conduce ni bebe c) ( punto) De las personas que consumen alcohol, qué porcentaje conduce esa noche? p( A B), Nos piden: p( A/ B) = = =, El % p( B), - Página -

3 EJERCICIO 4 El capital de las hipotecas constituidas sobre fincas urbanas en Andalucía es una variable aleatoria Normal con desviación típica. a) ( puntos) Se toma una muestra aleatoria de 9 hipotecas con los siguientes capitales (en euros): Construya un intervalo de confianza, al 95%, para el capital medio de dichas hipotecas. X = capital de las hipotecas; X N( µ ; ); desviación típica: σ = ; tamaño de la muestra: n= 9 ; Media muestral : x= 7888,89 9 σ Nivel de confianza : nc = 95% =,95. El int ervalo de confianza es I = ( x E, x+ E), siendo el error E= zα. n + nc zα cumple p( zα < Z < zα ) = nc φ( zα ) = nc φ( zα ) =, donde φ ( zα ) = p( Z < zα ) +,95,95 En este caso, el nivel de confianza nc =,95, luegoφ( zα ) = = =,975. Buscamos dentro dela tablade la N(,) el valor,975 y obtenemos z =,96 E=, , 33. Por tan to, el int ervalo de confianza es I = (7888, ,33; 7888, , 33) 9 I = (355,56; 44, ).5 por la media,.3 por valor crítico,. por el intervalo. b) (.5 puntos) Qué número mínimo de hipotecas deberíamos considerar en una muestra para que, con el mismo nivel de confianza, el error máximo en la estimación del capital medio sea de 4? σ E 4 zα. 4,96. 4,96. n 4,9 n 4, n n n 4 Luego, el tamaño mínimo de la muestra debe ser n= 5 OPCIÓN B EJERCICIO (.5 puntos) Se desea invertir en dos productos financieros A y B que tienen una rentabilidad del % y del.5% respectivamente. Se sabe que el producto B exige una inversión mínima de y, por cuestiones de riesgo, no se desea que la inversión en B supere el triple de lo invertido en A. Cuánto se debe invertir en cada producto para que el beneficio sea máximo y cuál sería dicho beneficio? Representamos en una tabla los datos del problema: cantidad a invertir ( ) rentabilidad o beneficio ( ) inversión en A x,x inversión en B y,5y total x + y,x +,5y Determinamos las restricciones y la función objetivo x+ y y Restricciones: Función objetivo: beneficio = F(x, y) =,x +,5y y 3x x y α - Página 3 -

4 F( A) =,.5+, 5.75= 375 F( B) =,.9+, 5.= 5 F( C) =,./3+,5.= 36,67 El máximo beneficio es 375 invirtiendo 5 en A y 75 en B Consideraciones sobre la puntuación de este ejercicio: Hasta.8 puntos por el planteamiento,.6 por el recinto,.6 por los vértices,. por el beneficio máximo y.3 por indicar cómo se alcanza.. EJERCICIO Se considera la función f, definida a trozos por la expresión x + + x 6, si x f( x) = x +, si x > a) (.5 puntos) Estudie la continuidad de la función. Para x, f es continua porque se compone de funciones polinómicas, que son continuas Estudio de la continuidad en x= f x = x + + = x x lim ( ) lim ( x 6) 4 ; f() = 4 f es continua en x=. Luego, f es continua en R lim f( x) = lim (x+ ) = 4 + x x b) (.5 puntos) Analice la derivabilidad de la función. Para x, f es derivable porque se compone de funciones polinómicas, que son derivables x+, si x< Además, para x f ( x) =, si x > Estudio de la derivabilidad en x=. f es continua en x= lim f ( x) = lim ( x+ ) = 3 x x f NO es derivable en x= lim f ( x) = lim= + x x porque no coinciden las derivadas laterales - Página 4 -

5 c) (.5 puntos) Represéntela gráficamente, determinando los extremos, los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los puntos de corte con los ejes. x + x+ 6, si x x+, si x < x+ = x= f( x) = f ( x) = ; f ( x) = x+, si x >, si x > = (Im posible) Intervalo (-, ) (,) (, ) f (x) x+ x+ Signo de f (x) + + Monotonía de f(x) creciente decreciente creciente Luego, f tiene un máximo relativo en x = ; f( )= = máximo relativo: M( 4,5 4 ) f tiene un mínimo relativo en x = ; f()= + + 6= 4 mínimo relativo: N(,4) Puntos de corte con los ejes: x + x+ 6= x=, x= 3 ( no válido, pues debe ser x< ) Eje X: f(x) = ; x + = x = corta al eje X en (,) Eje Y: (,f()) ; corta al eje Y en (,6) Hasta.5 por la gráfica, hasta punto por el resto. EJERCICIO 3 Una enfermedad puede estar provocada por solo una de estas tres causas: A, B o C. La probabilidad de que la causa sea A es.3, la de que sea B es. y la de que sea C es.5. El tratamiento de esta enfermedad requiere hospitalización en el % de los casos si está provocada por A, en el 55% si la causa es B y en el % si la causa es C. A= lacausa es A D= el enfermo requiere hospitalización Sean los sucesos B = la causa es B ; E = el enfermo no requiere hospitalización C = la causa es C - Página 5 -

6 a) (.5 puntos) Cuál es la probabilidad de que un enfermo con la citada enfermedad no necesite hospitalización? p( E) = p( A). p( E/ A) + p( B). p( E/B) + p( C). p( E/ C) =,3.,8 +,.,45+,5.,9=,78 78% b) ( punto) Si un enfermo está hospitalizado debido a esta enfermedad, cuál es la probabilidad de que la causa haya sido A? p( A D) p( A). p( D/ A),3., p( A/ D) =,77 7,7% p( D) = p( E) =, EJERCICIO 4 (.5 puntos) El peso medio de los pájaros de una determinada especie que habita en un parque natural se consideraba no inferior a g, pero los biólogos del parque sostienen ahora la hipótesis de que dicho peso medio ha disminuido a consecuencia del cambio climático. Se ha tomado una muestra de pájaros de esta especie y se ha obtenido un peso medio de 8 g. Se sabe que la variable que mide el peso de los pájaros de esta especie sigue una distribución Normal con desviación típica igual a 6 g. Plantee un contraste de hipótesis (H: μ ), con un nivel de significación del 5%, determine la región crítica de este contraste y, utilizando ésta, razone si con ese nivel se puede aceptar que los biólogos del parque están en lo cierto. Planteamos el contraste de hipótesis unilateral para la media, µ, de la v. a. normal X = peso de los pájaros H H : µ ( hipótesis nula) : µ < ( hipótesis alternativa) ( µ = ) Nivel de significación: α = 5% =,5; nivel de confianza: n : α =, 95 Re gión de aceptación: R= ( z, ) Re gión crítica: R = (, z ) α c α + nc zα cumple p( zα < Z < zα ) = nc φ( zα ) = nc φ( zα ) =, donde φ ( zα ) = p( Z < zα ) +,95,95 En este caso, φ( zα ) = = =,975. Buscamos dentro de la tabla de la N(,) el valor,975 y obtenemos z =,96 α c Re gión de aceptación: R= (,96 ; ) Re gión crítica: R c = ( ;,96) Tamaño muestral: n= ; Media muestral: x = 8 ; Desviavión típica: σ = 6 Estadístico de contraste z x µ σ 8 6 : = = = 3,33 n Como z= 3,33 R = ( ;,96), aceptamos la hipótesis alternativa. c Portan to, aceptamos que los biólogos tienen razón Consideraciones sobre la puntuación de este ejercicio:.5 por plantear el contraste,.75 por el estadístico de contraste, punto por la región de rechazo/aceptación,.5 por la conclusión. - Página 6 -