Fracciones Parciales en la Integración

Transcripción

1 Fracciones Parciales en la Integración Genaro Luna Carreto Octubre 206 Profesor de la Benemérita Universidad Autónoma de Puebla, México.

2 Resumen El método de fracciones parciales no es propiamente un método de integración, pues su objeto de estudio se centra en la descomposición de divisiones polinomiales p(x) en suma de fracciones simples. El Teorema fundamental del q(x) Álgebra, trae como consecuencia la factorización del denominador q(x) en términos lineales y cuadráticos irreducibles, cuya forma es útil en tal descomposición. Por esta razón, el material se ha dividido dos partes. En la primera, explico el sustento teórico, desde el Teorema Fundamental del Álgebra pasando por cuadráticos irreducibles, hasta las diversas formas de la descomposición factorial polinomial. En la segunda parte, a través de ejemplos explico la técnica de aplicación de fracciones parciales a la integración.

3 0.. Teorema Fundamental del álgebra Como siempre ocurre con ideas o conceptos importantes, éste teorema tiene una historia extensa. Se atribuye a Gauss la primera de sus demostraciones, por cierto, presentada en su tesis doctoral (799). Sin embargo, dicho trabajo presentó algunos errores muy controversiales, que estuvieron en discusión por mucho tiempo. Se puede escribir la enorme lista de los matemáticos que intentaron justificar plenamente dicho resultado: D Alembert, Lagrange, Laplace, Euler, etc. Fue hasta 84, cuando el matemático sueco, de padres franceses, Jean Robert Argand, tuvo la dicha de celebrar el reconocimiento general por presentar una demostración correcta de dicho teorema. A éste personaje poco conocido y reconocido, también le debemos la representación geométrica de los complejos en un plano. Teorema (Fundamental del Álgebra). Sea p(z) = a n z n + a n z n a z + a 0 un polinomio con coeficientes complejos donde a n 0 y n. Entonces p(z) tiene por lo menos un cero o raíz en los complejos, es decir, existe α C tal que p(α ) = 0. Teniendo la raíz α proporcionada por el TFA, aplicamos el Teorema del resto, el cual nos permite concluir que p(z) = a n (z α )q (z) + p(α ) pero p(α ) = 0, por lo tanto p(z) = a n (z α )q (z). Es posible aplicar otra vez el TFA al polinomio q (z) y obtener otra raíz α 2 y un polinomio q 2 (z) tal que p(z) = a n (z α )(z α 2 )q 2 (z). El polinomio q(z) disminuiría de grado en cada paso, hasta llegar a ser también lineal. Se obtendría una descomposición completa de p(z) en factores lineales complejos: p(z) = a n (z α )(z α 2 )...(z α n ) En consecuencia, p(z) tiene n raíces complejas, no necesariamente diferentes. Si hay raíces iguales y las agrupamos, digamos que α se repita m -veces, α 2 se repita m 2 -veces, etc., entonces podríamos distinguir r raíces diferentes: p(z) = a n (z α ) m (z α 2 ) m 2...(z α r ) mr Genaro Luna Carreto 2 Octubre 206

4 El número m i, es conocido como multiplicidad de α i. Consideremos el caso de polinomios p(x) de grado n, con dominio y coeficientes en el conjunto de los números reales. Por lo ya explicado, es posible hallar α, α 2,..., α n, posiblemente complejos tales que p(x) = a n (x α )(x α 2 )...(x α n ) Usando algunas propiedades sencillas del conjugado de complejos, a saber, z + w = z + w y z w = zw es fácil mostrar que si z es raíz de un polinomio entonces su conjugado z, también lo es. Si z es raíz de multiplicidad m, su conjugado será raíz con la misma multiplicidad. Agrupemos a las raíces reales con sus respectivas multiplicidades, en este caso denotadas por α, a las raíces complejas denotadas con β y sus correspondientes conjugados p(x) = a n (x α ) m (x α 2 ) m 2...(x α r ) mr... (x β ) k (x β ) k (x β 2 ) k 2 (x β 2 ) k 2... (x β s ) ks (x β s ) ks Tiene un forma muy aparatosa. Tomemos el producto (x β ) k (x β ) k : (x β ) k (x β ) k = (x 2 xβ β x + β β ) k () = (x 2 (β + β )x + β β ) k (2) = (x 2 (2Re(β ))x + β β ) k (3) Es claro que β β y Re(β ) son números reales. En consecuencia, se tiene un término cuadrático con coeficientes reales elevado a la potencia k, cuya factorización se da en términos de números complejos. Si escribimos Q = x 2 (2Re(β ))x + β β y eso lo hacemos para cada β entonces: p(x) = a n (x α ) m (x α 2 ) m 2...(x α r ) mr (Q ) k (Q 2 ) k 2...(Q s ) ks (4) Cada cuadrático Q i es llamado irreducible. Genaro Luna Carreto 3 Octubre 206

5 CONCLUSIÓN Un polinomio con coeficientes reales se puede descomponer en un producto de potencias de factores lineales reales con potencias de cuadráticos irreducibles Cuadráticos irreducibles Como ya se vio, los cuadráticos irreducibles son parte importante en la descomposición, sobre todo si no estamos interesados en trabajar con raíces complejas. Entonces, existen diferencias claras entre los cuadráticos irreducibles y los que no los son: los primeros no se pueden factorizar sin ocupar complejos, los segundos se pueden factorizar en lineales reales. Cómo saber si un cuadrático ax 2 + bx + c se puede factorizar en lineales reales? Cómo saber si el cuadrático ax 2 + bx + c es irreducible? Esto es sencillo, tiene que ver con el discriminante D = b 2 4ac. Si D 0, el cuadrático se puede factorizar en lineales reales. Si D < 0, el cuadrático es irreducible, esto es, no se puede factorizar en lineales reales. Ejemplo. Determine si x 2 + 2x + 2 es reducible o irreducible Sólo se realiza la operación: D = b 2 4ac = (2) 2 4()(2) = 4 48 = 44 El polinomio es irreducible. Ejemplo 2. x 2 4x + 4 es reducible o irreducible? Se calcula el discrimante D = b 2 4ac = ( 4) 2 4()(4) = 6 6 = 0 Este polinomio es reducible, de hecho, conocemos una factorización rápida en lineales repetidos: x 2 4x + 4 = (x 2)(x 2) Genaro Luna Carreto 4 Octubre 206

6 0.3. Fracciones parciales, cuál es su base? Hasta aquí se ha informado respecto a la forma de descomposición de un polinomio con coeficientes reales. Debido a que nuestro interés radica en las raíces reales, la factorización que estudiaremos corresponde a una multiplicación de términos lineales y cuadráticos irreducibles. Nos centraremos en divisiones de polinomios p(x) q(x) Algoritmo de la división Desde la educación básica es conocido el algoritmo de la división entre números enteros: Si a, b Z y b > 0, entonces existen enteros q, r tales que a = qb + r, donde 0 r < b (5) Si usamos la adorable casita de la primaria, a b ó a, se vería así b Ahora, si dividimos entre b la ecuación (5) se obtiene una forma interesante a b = q + r (6) b De manera que una división de números es resultado de sumar al cociente con el residuo entre el divisor. Sin duda, son conocimientos aritméticos básicos Enteros coprimos y el máximo común divisor Definición Sean a, b Z con a 0. Se dice que a divide a b si existe entero c tal que b = a c Genaro Luna Carreto 5 Octubre 206

7 Es usual escribir a b en vez de a divide a b. El máximo común divisor entre a y b, es un entero positivo denotado por mcd(a, b) que satisface lo siguiente:. d a y d b 2. Si c a y c b entonces c d. En realidad, la definición es motivada por un resultado que demuestra la existencia de un entero positivo d que divide tanto a como b, y que se escribe como d = ua + vy, para algunos enteros u, v. En consecuencia el mcd(a, b) se puede escribir como combinación lineal de a y b: mcd(a, b) = ua + vy Dicho resultado, se le atribuye a Étienne Bézout, matemático francés del siglo XVIII. En particular, si los enteros a, b, son coprimos, es decir, mcd(a, b) =, se tiene Observe que esto produce la igualdad ua + vb = (7) ab = u b + v (8) a Es bien sabido que los valores u, v en la ecuación (7), no son únicos. Basta con un ejemplo. Es obvio que mcd(3, 5) = y = 3(2) + 5( ) (9) = 3(7) + 5( 4) (0) Cocientes de polinomios descompuestos en fracciones simples Los conceptos de la secciones 0.3. y se han generalizado para el caso de funciones polinomiales. Genaro Luna Carreto 6 Octubre 206

8 Suponga que tiene dos polinomios p(x), q(x). Su división polinomial se puede expresar p(x) q(x) = c(x) + r(x) q(x) () donde c(x), r(x) son el cociente de la división y el residuo de la misma respectivamente. Además, r(x) = 0 ó tiene grado menor que q(x). Tenemos una simplicación inicial de p(x) q(x). Según el párrafo anterior, al momento de simplificar una división de polinomios, resulta un polinomio más una división de polinomios donde el grado del numerador es estrictamente menor que el grado del denominador. una división polinomial donde grad(p(x)) < grad(q(x)). Según el Teorema fundamental del álgebra, q(x) tiene una descomposición en lineales por cuadráticos irreducibles. Supongamos que su descomposición es la más simple de todas, en un producto de dos factores lineales diferentes: q(x) = (x a)(x b). Esto trae como consecuencia que el grado de p(x), sea menor o igual a. Sea p(x) q(x) Definición Los polinomios f(x), g(x) son coprimos si mcd(f(x), g(x)) =, es decir, ningún polinomio de grado mayor o igual a divide al mismo tiempo f(x) y g(x). Es claro que mcd((x a), (x b)) =. Generalizando (7), existen polinomios u(x) y v(x) tales que esto es = u(x)(x a) + v(x)(x b) (2) (x a)(x b) = u(x) x b + v(x) (x a) (3) Genaro Luna Carreto 7 Octubre 206

9 ahora multipliquemos por p(x) p(x) (x a)(x b) = u(x)p(x) + v(x)p(x) x b (x a) (4) Se ha logrado descomponer al cociente p(x) en fracciones parciales, aunque q(x) no sabemos la naturaleza de los productos u(x)p(x) y v(x)p(x), que según (9), no son únicos. Con la finalidad de optimizar y dado que grad(p(x)), entonces basta con considerar el planteamiento siguiente p(x) (x a)(x b) = A x b + B (x a) donde A y B son constantes desconocidas. Realizando operaciones (5) p(x) = A(x a) + B(x b) (6) Si p(x) = Cx + D, entonces se generan un par de ecuaciones Cuyo determinante del sistema es: a b = b a 0 A + B = C (7) Aa + Bb = D (8) Sabemos, que lo anterior indica que, en las condiciones planteadas, las constantes A y B siempre existirán. Lo anterior sólo es una muestra, la cual motivó las descomposiciones planteadas en la siguiente sección Estudio de casos en la descomposición factorial Las integrales a resolver son aquellas que tienen la forma p(x) q(x) dx Genaro Luna Carreto 8 Octubre 206

10 donde p(x), q(x) son polinomios. Se pondrá atención especial en el grado de ambos polinomios y en la factorización de q(x) El grado de p(x) es más grande o igual que el grado de q(x) En este caso se realiza la división larga. Ejemplo 3. Resuelve la siguiente integral x 3 + x 2 + dx En este caso, el grado del numerador es más grande que el grado del denominador. Antes que nada, se debe realizar la división polinomial (vea imagen). Además, es necesario recordar que una fracción p(x) q(x) como p(x) r(x) = c(x) + se puede expresar, donde c(x) es el cociente de la división y r(x) el q(x) q(x) residuo. En este caso x 3 + x 2 + = x + x (9) x 2 + La función a integrar se descompuso en dos fracciones simples. Integremos en ambos lados la ecuación (9): x 3 + x 2 + dx = = ( x)dx xdx + x 2 + dx xdx + x 2 + xdx x 2 + (20) (2) = x2 2 + tan x 2 ln(x2 + ) + k (22) Genaro Luna Carreto 9 Octubre 206

11 Ejercicios. Resuelve la siguiente integral x 4 + 3x 3 + 5x 2 + 6x + 2 dx x 2 + 2x + 2 Solución: x + x2 2 + x tan (x + ) + ln x 2 + 2x k Grado de p(x) es más pequeño que el grado de q(x) Aquí se analiza la descomposición en factores del polinomio q(x) con la finalidad de que el cociente p(x) se descomponga en suma de fracciones más q(x) simples. Se pueden distinguir cuatro casos: CASO A: La descomposición sólo tiene factores lineales reales diferentes q(x) = a(x a )(x a 2 )...(x a n ) donde a 2, a 2,...a n son todos diferentes. Ejemplo 4. Resuelve la integral xdx (x + )(2x + ) (23) Es una división entre polinomios, donde el numerador tiene grado uno y el denominador grado 2. En primer lugar, la fracción polinómica se separará en fracciones simples, después se integrará. La técnica consiste en proponer una descomposición de la siguiente forma: x (x + )(2x + ) = A x + + B 2x + (24) donde las constantes A, B son desconocidas. Se toma al denominador del miembro izquierdo y lo pasamos multiplicando [ A x = x + + B ] (x + )(2x + ) 2x + Genaro Luna Carreto 0 Octubre 206

12 Al realizar la distribución se cancelarán varios términos: x = A(2x + ) + B(x + ) Después, es usual multiplicar y ordenar: x = A(2x + ) + B(x + ) (25) x = 2Ax + A + Bx + B (26) x = (2A + B)x + (A + B) (27) (28) La última igualdad, corresponde a una igualdad de polinomios. Si observa el polinomio del lado izquierdo, la variable x tiene coeficiente y término independiente cero. En el polinomio derecho, la variable x, tiene como coeficiente 2A + B y término independiente A + B. Debido a la igualdad, dichos polinomios tendrán coeficiente iguales, por ende 2A + B = (29) A + B = 0 (30) que es una sistema de dos ecuaciones básico. La solución la puede realizar por el método que guste. Es fácil obtener que A =, B =. Ahora coloquemos los valores en la igualdad (24) x (x + )(2x + ) = x + + 2x + (3) La técnica nos permitió escribir la función a integrar en forma sencilla. Integramos ambos lados de (3): xdx (x + )(2x + ) = x + dx 2x + (32) = ln x + ln 2x + + k (33) 2 NOTA Genaro Luna Carreto Octubre 206

13 Este caso se presta para otra solución, un poco cuestionable, donde las soluciones se hallan más rápido. Considera la expresión (25). Como se ha mencionado, es una igualdad de funciones. Si x =, entonces entonces A =. Si x = 2 : x = A(2x + ) + B(x + ) (34) = A(2( ) + ) + B( + ) (35) = A( ) (36) (37) x = A(2x + ) + B(x + ) (38) 2 = A(2( ) + ) + B( + ) (39) = B( 2 ) (40) (4) por lo tanto B =. Los valores de las constantes coinciden con las ya encontradas. Ejercicios 2. Resuelve la siguiente integral Solución: 5 ln ln x 2 8x + 7 x(x + )(3x ) dx ln 2 = 2.59 CASO B: La descomposición de q(x), sólo tiene factores lineales reales donde algunos se repiten q(x) = a(x a ) m (x a 2 ) m 2...(x a r ) mr En este caso, conviene poner una descomposición hipotética antes del ejemplo, donde se visualice el proceso: x + (2x 3)(x + 3) 4 = A 2x 3 + B x C (x + 3) + D E 2 (x + 3) 3 (x + 3) 4 Genaro Luna Carreto 2 Octubre 206

14 Observe que el término lineal x+3 tiene multiplicidad 4. Además, se mantienen constantes en el numerador y hay una fracción asociada a cada potencia de (x + 3), hasta agotar su multiplicidad. Ejemplo 5. Resuelve la integral xdx (x )(x + 2) dx 2 Se propone una descomposición de la forma x (x )(x + 2) = A 2 x + B x C (x + 2) 2 (42) Con el propósito de simplificar las operaciones, es conveniente, tomar el denomidador del miembro izquierdo y pasarlo multiplicando a la fracción del miembro derecho x = [ A x + B x Al distribuir, se cancelarán varios factores ] C (x )(x + 2) 2 (x + 2) 2 x = A(x + 2) 2 + B(x )(x + 2) + C(x ) Realicemos las operaciones: x = A(x + 2) 2 + B(x )(x + 2) + C(x ) (43) x = A(x 2 + 4x + 4) + B(x 2 + 2x x 2) + Cx C (44) x = Ax 2 + 4Ax + 4A + Bx 2 + Bx 2B + Cx C (45) x = (A + B)x 2 + (4A + B + C)x + (4A 2B C) (46) De aquí sale un sistema de ecuaciones: A + B = 0 (47) 4A + B + C = (48) 4A 2B C = 0 (49) (50) Genaro Luna Carreto 3 Octubre 206

15 La forma de solución es personal. Sugiero que en la primera ecuación despeje A = B. Sustituya el valor en las otras dos ecuaciones: de donde 4( B) + B + C = (5) 4( B) 2B C = 0 (52) (53) 3B + C = (54) 6B C = 0 (55) (56) Es fácil obtener B sumando ambas ecuaciones: B =. Es rutina encontrar A = y C = Sustituyendo los valores en (42) e integrando xdx (x )(x + 2) = dx 9 2 x + dx 2 9 x dx 3 (57) (x + 2) 2 = 9 ln x 9 ln x (x + 2) + k (58) Ejercicios 3. Calcula la siguiente integral utilizando fracciones parciales x 2 + 8x + 3 x 2 (3 x) dx Solución: ln x 3 (x 3) 4 x + k CASO C: La descomposición de q(x) tiene como factores, algunos cuadráticos irreducibles que no se repiten q(x) = a(x a ) m (x a 2 ) m 2...(x a r ) mr Q Q 2...Q s donde Q 2, Q 2,...Q s son todos diferentes. Ejemplo 6. Resuelve la integral x 2 3 (2x )(x 2 + x + 2) dx Genaro Luna Carreto 4 Octubre 206

16 El denominador incluye el cuadrático x 2 +x+2. Verifiquemos que se trata de un irreducible: b 2 4ac = () 2 4()(2) = 8 = 7 De manera que x 2 + x + 2 ya no puede factorizar más. En este caso, la técnica indica una descomposición como la siguiente: x 2 3 (2x )(x 2 + x + 2) = A 2x + Bx + C x 2 + x + 2 (59) Observe que el numerador asociado al cuadrático irreducible es una expresión lineal: Bx + C. A partir de aquí se procede en forma similar a las técnica anteriores. Se pasa multiplicando el denominador de la fracción ubicada en el miembro izquierdo: [ x 2 3 = A 2x + Bx + C ] (2x )(x 2 + x + 2) x 2 + x + 2 Las multiplicaciones generan una igualdad muy simple: x 2 3 = A(x 2 + x + 2) + (Bx + C)(2x ) Al momento de realizar las operaciones obtendrá: x 2 3 = x 2 (A + 2B) + x(a B + 2C) + 2A C Es momento de formar un sistema lineal de ecuaciones A + 2B = (60) A B + 2C = 0 (6) 2A C = 3 (62) (63) Con el fin de eliminar la incógnita C, multipliquemos la ecuación (62) por 2 y sumémosla a (6), resulta una nueva ecuación: 5A B = 6. Después Genaro Luna Carreto 5 Octubre 206

17 de las modificaciones, se ha logrado un sistema equivalente: A + 2B = (64) 5A B = 6 (65) (66) cuya solución es muy sencilla: A =, B =. Ya con estos valores, es fácil obtener C =. Se colocan las constantes en la igualdad (59) y se integra: x 2 3 (2x )(x 2 + x + 2) dx = 2x dx + x + x 2 + x + 2 dx Son integrales fáciles, pero aparatosas. La primera integral tiene como solución: 2x dx = ln 2x 2 Resolvamos la segunda integral por separado x + x 2 + x + 2 dx = x x 2 + x + 2 dx + dx (67) x 2 + x + 2 = 2x 2 x 2 + x + 2 dx + dx (68) x 2 + x + 2 = 2x + 2 x 2 + x + 2 dx + dx (69) x 2 + x + 2 = 2x + 2 x 2 + x + 2 dx + 2 x 2 + x + 2 dx + x 2 + x + 2 dx (70) = 2x + 2 x 2 + x + 2 dx + dx (7) 2 x 2 + x + 2 = 2 ln(x2 + x + 2) + dx ( 2 7 ) 2 (72) (x + 2 )2 + Finalmente = 2 ln(x2 + x + 2) + 2x + tan + k (73) 7 7 Genaro Luna Carreto 6 Octubre 206 2

18 x 2 3 (2x )(x 2 + x + 2) dx = 2 ln 2x + 2 ln(x2 +x+2)+ 2x + tan +k 7 7 Ejercicios 4. Resuelve la integral usando fracciones parciales 6x 3 2x 2 9x 3 x(x 3)(2x 2 + ) dx Solución: 2 tan ( 2 x) + ln x + 2 ln x 3 + k CASO D: La descomposición incluye lineales y cuadráticos que se repiten q(x) = a n (x α ) m (x α 2 ) m 2...(x α r ) mr (Q ) k (Q 2 ) k 2...(Q s ) ks Ejemplo 7. Resuelve la integral dx (x + )(x 2 + ) 2 El denominador incluye x 2 +, que es el cuadrático irreducible por excelencia. Siguiendo la tendencia de los casos anteriores, considere descomponer de la forma siguiente: (x + )(x 2 + ) = A 2 x + + Bx + C x Dx + E (x 2 + ) 2 El denomidador de la fracción izquierda lo pasa multiplicando [ A = x + + Bx + C x Dx + E ] (x + )(x 2 + ) 2 (x 2 + ) 2 Aplicando la propiedad distributiva = A(x 2 + ) 2 + (Bx + C)(x + )(x 2 + ) + (Dx + E)(x + ). Realicemos las multiplicaciones y reducciones necesarias: = A(x 2 + ) 2 + (Bx + C)(x + )(x 2 + ) + (Dx + E)(x + ) (74) = A(x 4 + 2x 2 + ) + (Bx 2 + Bx + Cx + C)(x 2 + ) + Dx 2 + Dx + Ex + E (75) = Ax 4 + 2Ax 2 + A + Bx 4 + Bx 2 + Bx 3 + Bx + Cx 3 + Cx + Cx 2 + C + Dx 2 + Dx + Ex + E (76) = x 4 (A + B) + x 3 (B + C) + x 2 (2A + B + C + D) + x(b + C + D + E) + A + C + E (77) (78) Genaro Luna Carreto 7 Octubre 206

19 De aquí se construye un sistema de ecuaciones lineales A + B = 0 (79) B + C = 0 (80) 2A + B + C + D = 0 (8) B + C + D + E = 0 (82) A + C + E = (83) (84) La solución del sistema es libre, puede recurrir a diversos métodos. Aquí aplicaré una técnica un tanto silvestre. Observe que si toma la ecuación (80) y (8) y la opera, obtendrá 2A + D = 0. En forma análoga, si hace álgebra con las ecuaciones (80) y (82), resulta: D + E = 0. A + B = 0 (85) B + C = 0 (86) 2A + D = 0 (87) D + E = 0 (88) A + C + E = (89) (90) Por otro lado, a partir de (80) y (79), se obtiene A C = 0 ó A = C. De (88), E = D. Si se sustituye en (89), entonces A + C D =, pero como A = C entonces 2A D =. Ésta última y (87) forman un sistema básico 2A + D = 0 (9) 2A D = (92) donde A = y D =. Es fácil ahora calcular las incógnitas restantes: 4 2 B =, C = y E = Se ha logrado una descomposición muy aceptable: (x + )(x 2 + ) = 4 2 x + + x x x (x 2 + ) 2 Genaro Luna Carreto 8 Octubre 206

20 En realidad el problema es integrar la expresión: dx (x + )(x 2 + ) = 2 4 x + dx + x + 4 x 2 + dx + x + 2 (x 2 + ) dx 2 La primera integral es fácil 4 x + dx = ln x + 4 En el caso de la segunda: 4 Ahora tratemos la última x + x 2 + dx = 4 x x x + 2 (x 2 + ) dx = x 2 2 = 4(x 2 + ) + 2 dx (93) x 2 + = 8 ln(x2 + ) + 4 tan x (94) (x 2 + ) dx (95) dx (96) (x 2 + ) 2 (x 2 + ) 2 (97) (98) Casi terminamos. La integral 2 (x 2 + ) 2 dx se resuelve por sustitución trigonométrica. Sea x = tan θ. Entonces dx = sec 2 θdθ Genaro Luna Carreto 9 Octubre 206

21 2 (x 2 + ) dx = 2 2 = 2 = 2 = 2 = 2 (tan 2 θ + ) 2 sec2 θdθ (99) (sec 2 θ) 2 sec2 θdθ (00) sec 4 θ sec2 θdθ (0) dθ sec 2 θ (02) cos 2 θdθ (03) = + cos 2θ dθ 2 2 (04) = 4 θ + sin 2θ + k (05) 8 = 4 θ + sin θ cos θ + k ( Porqué?) 4 = x 4 tan x + 4(x 2 + ) + k ( Porqué?) (06) Finalmente, combinando nuestros resultados, la solución se escribiría así dx (x + )(x 2 + ) 2 = 4 ln x+ 8 ln(x2 +)+ 4 tan x+ 4(x 2 + ) + 4 tan x+ x 4(x 2 + ) +k (07) Con una última reducción dx (x + )(x 2 + ) 2 = 4 ln x + 8 ln(x2 + ) + 2 tan x + x + 4(x 2 + ) + k Ejercicios 5. Calcula la siguiente integral: x 2 + x(2x 2 + ) dx 2 Solución: ln x 2x (2x 2 + ) + k (08) Genaro Luna Carreto 20 Octubre 206

22 Ejemplo 8. Resuelve x 2 + x + 2 x 3 2x 2 + x 2 dx En este caso el denominador no se encuentra factorizado. Si tiene habilidad para observar relaciones, note que x 3 2x 2 + x 2 = x 2 (x 2) + (x 2) = (x 2)(x 2 + ) No es una forma sugerida, porque como se dijo, depende de la hablidad y algunas veces se pierde tiempo buscando relaciones, que pueden no existir. Recomiendo usar la técnica explicada en el texto Factorización básica y raíces, que puedes descargar libremente en Si quieres puedes omitir la lectura de teoremas y pasar directamente a los ejercicios. En ese texto, se menciona que si se tiene un polinomio cuyo coeficiente principal es uno, entonces si éste tiene raíces racionales, serán enteras y residirán en los divisores del término independiente, esto es, tenemos cuatro posibles raíces enteras: ±, ±2. Una forma ordenada, de investigar cual es raíz y cual no, es la Regla de Ruffini (vea el texto de factorización recomendado), pues al mismo tiempo se genera al cociente: El residuo de (x 3 2x 2 + x 2) (x + ) es 6, lo cual indica que, no es raíz. Intentemos con : El valor, no es raíz debido a que el residuo es 2. Genaro Luna Carreto 2 Octubre 206

23 Si hacemos lo mismo con El residuo es cero, de manera que 2 es raíz. En la línea final del diagrama, se puede leer el cociente de (x 3 2x 2 + x 2) (x 2), por lo tanto x 3 2x 2 + x 2 = (x 2)(x 2 + ) Regresemos a la integral a calcular, con nuestro denominador factorizado x 2 + x + 2 x 3 2x 2 + x 2 dx = x 2 + x + 2 (x 2)(x 2 + ) dx Busquemos la separación de la fracción polinomial en fracciones simples de la forma siguiente: x 2 + x + 2 (x 2)(x 2 + ) = A x 2 + Bx + C x 2 + Se deja como ejercicio al estudiante, mostrar que A = 8, B = 3, C = 5 5 Entonces 5. x x + 2 (x 2)(x 2 + ) dx = 5 x 2 dx + = 8 5 x 2 dx 5 3 x 5 5 dx (09) x 2 + 3x + dx (0) x 2 + Resolvamos por separado la segunda integral: 3x + x 2 + = 3 = 3 2 x x 2 + dx + 2x x 2 + dx + dx x 2 + () dx x 2 + (2) = 3 2 ln(x2 + ) + arctan(x) (3) Genaro Luna Carreto 22 Octubre 206

24 Así pues: x 2 + x + 2 x 3 2x 2 + x 2 = 8 5 ln x 2 [ ] ln(x2 + ) + arctan x + k Ejercicios 6. Calcula la integral 2 x 2 3x 3 + 2x 2 x dx Solución. 5 ln 2 2 ln 5 = Genaro Luna Carreto 23 Octubre 206