Proporcionalidad geométrica

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1 Proporcionalidad geométrica EJERIIOS 00 Determina la longitud de estos segmentos. a) b) a) cm b), cm 00 Dibuja los segmentos y D, de longitudes 8 y mm, respectivamente. Halla su razón. D La razón entre los dos segmentos es el cociente de sus longitudes: D ), 8 00 Dibuja los segmentos G cm y MN cm. uál es su razón? Eplica el significado del resultado. La razón entre los dos segmentos es el cociente de sus longitudes: MN G El segmento MN es veces más largo que el segmento G. 00 La razón de dos segmentos y D es 0,. Si mide cm, calcula D. Dibuja los segmentos. D 0, D cm D El segmento D es el doble de. 00 La razón de dos segmentos G y MN es 0,. Si MN mide 0 mm, calcula la medida (en cm) de G. Dibuja los segmentos. G MN G 0, G mm, cm 0 El segmento G es el triple de MN. 006 Si la razón entre y D es, cuál es la razón entre D y? D D 0, La razón entre D y es 0,.

2 SOLUIONRIO 007 Indica si son proporcionales estos segmentos. a) 8 cm, D 0 mm, E 0 mm y GH mm b), cm, D cm, E, cm y GH 8 cm 80 0 a) omparando las razones:, por lo que son proporcionales. 0,, b) omparando las razones:, por lo que no son proporcionales Halla la longitud del segmento desconocido en estas proporciones. 8 a) b) c) 60 a) 8 c) b) Dados dos segmentos cm y D cm: a) alcula la razón de los segmentos y D. b) Escribe dos segmentos que sean proporcionales a ellos. ) a) 0, b) E 6 cm, GH 8 cm 00 Si la razón entre los segmentos y D es a, y la razón entre E y GH es b, qué condición se tiene que dar para que y D sean proporcionales a E y GH? Las razones deben ser iguales, por lo que a b. 0 alcula la longitud de O' y. O ' ' ' O cm, cm '', cm '' cm O, O' cm O' ' ' O', O O' 7, cm ' '

3 Proporcionalidad geométrica 0 0 alcula la longitud del segmento O en la figura del ejercicio anterior. O' +, + 8, cm O O' O O O,7 cm O' 8, Se puede hallar también sumando los tres segmentos que lo forman. O En esta figura sabemos que O,7 cm, cm y la razón,6. O' O alcula '', O y O'.,7 cm ' cm ' O,6 ' ', cm O' ' ' ' ' O O +,7 cm O O,7,6 O' 6,06 cm O' O' O' 0 Divide gráficamente un segmento de 7 cm en: a) partes iguales. b) partes, siendo una la mitad de la otra. a) b) cm cm 7 cm 7 cm 0 Divide un segmento de 0 cm en partes proporcionales a dos segmentos de cm y cm. uánto miden los segmentos resultantes? cm cm 0 cm Los segmentos miden cm y 6 cm. 6

4 SOLUIONRIO 06 Observa la siguiente figura. cm cm cm 0 cm uánto miden los segmentos P, PQ y Q? 0 P PQ Q plicando el teorema de Tales:. 8 P, cm P Q G PQ,7 cm Q cm 07 Dibuja tres pares de triángulos en posición de Tales. Indica cómo lo haces. Dibujamos un triángulo y luego trazamos la paralela a uno de sus lados, que corte a los otros dos. ' ' ' ' 08 Dibuja tres pares de triángulos semejantes que no estén en posición de Tales. Indica cómo lo haces. ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 0 Están los dos triángulos en posición de Tales? alcula E y si: 8 cm ED cm 6 cm D cm D E Los triángulos están en posición de Tales, ya que tienen en común el ángulo $ y los lados DE y son paralelos. D D DE 8 6 E cm E E cm 7

5 Proporcionalidad geométrica 00 Los lados de un triángulo miden, y 8 cm, y los lados de otro,, 6 y 8 cm. omprueba si son semejantes. Sus lados no son proporcionales: no son semejantes. 6 8, y los triángulos 8 0 omprueba que un triángulo rectángulo de catetos de 8 y 6 cm es semejante a otro de catetos de y cm. La hipotenusa del primer triángulo es 0 cm y la del segundo es cm Sus lados son proporcionales:, y los triángulos son semejantes. 0 omprueba si estos triángulos isósceles son semejantes, e indica el criterio aplicado. a) 0 b) cm cm, cm 80 7, cm a) Los ángulos del primer triángulo miden 0, 80 y 80, y los ángulos del segundo triángulo miden 80, 0 y 0, por lo que no son semejantes, al no ser sus lados iguales. b) Los lados del primer triángulo miden cm, cm y cm, y los lados del segundo miden 7, cm, 7, cm y, cm. omo, los triángulos son semejantes por tener 7, 7,, sus lados proporcionales. 0 La sombra de un autobús a cierta hora del día mide 8 m. la misma hora, la sombra de un coche, que mide, m de altura, es de, m. Qué altura tiene el autobús?, m G 8 m, m Se forman dos triángulos semejantes, ya que sus ángulos son iguales: 8,,, m 8

6 SOLUIONRIO 0 Qué altura tiene el poste? m G 8, m 8 0 G G 8 m 8 m 0 alcula el valor de. y h cm cm 6 cm 0 cm h h cm 6 y 0 6 cm +,66 cm Dados estos rectángulos, resuelve. 0 cm 6 cm a) Son semejantes? b) uál es su razón de semejanza? 0 cm cm c) Determina las medidas de otro rectángulo que sea semejante a ellos. a) Son semejantes. b) La razón de semejanza es,. c) Por ejemplo, 0 cm y 8 cm. alcula el perímetro de los rectángulos del ejercicio anterior. uál es la razón entre sus perímetros? Qué relación tiene con la razón de semejanza? P R. Grande cm P R. Pequeño cm 00 La razón es:,. 80 La razón entre sus perímetros coincide con la razón de semejanza. uál es la razón entre las áreas del ejercicio anterior? Qué relación tiene con la razón de semejanza? R. Grande cm R. Pequeño 6 8 cm 600 La razón es:,6,. 8 La razón entre sus áreas es el cuadrado de la razón de semejanza.

7 Proporcionalidad geométrica 0 Observa el pentágono DE de la figura. onstruye un pentágono semejante, sabiendo que la razón de semejanza es. E' E D ' D' ' ' 00 Dibuja un pentágono semejante al anterior cuya razón de semejanza es 0,. E ' E' D' D ' ' 0 onstruye un polígono semejante, con razón de semejanza,, tomando como punto O un punto interior del polígono. Q' P' Q P Q P O M N M' M N N' 0 Qué figura obtienes como resultado al construir un polígono semejante a otro con razón de semejanza? Se obtiene un polígono idéntico al original. 0 Eplica qué significa cada escala. a) : 00 b) : c) : a) Una escala de : 00 significa que la distancia original es 00 veces mayor que la distancia del gráfico. sí, cm del gráfico equivale a m en el original. b) Una escala de : significa que la distancia original es veces mayor que la distancia del gráfico. sí, cm del gráfico equivale a 600 m en el original. c) Una escala de : significa que la distancia original es veces mayor que la distancia del gráfico. sí, cm del gráfico equivale a cm en el original. 60

8 SOLUIONRIO 0 Qué escala se ha utilizado al dibujar un objeto si cm del dibujo equivalen a dm reales? cm dm cm 0 cm. La escala es : Realizamos el plano de una casa a escala : 7. a) Qué razón de semejanza se aplica? b) Qué medida real tiene una línea del plano de cm de longitud? c) uánto mide en el plano una longitud de, cm?, a) La razón de semejanza es. c) En el plano mide: 0,06 cm. 7 7 b) 7 7 cm TIVIDDES alcula la razón de estos segmentos. a) 6 cm D 8 cm c) dm D m b) 6 cm D m d) 0 m D m a) 0,7 b) 0,6 c) 0,67 d) Si la razón, calcula: D a), siendo D 76 cm b) D, siendo cm a) cm b) D cm Si la razón ; calcula: D,6 a), siendo D dm b) D, siendo,6 cm a), dm b) D 8, cm 0 Son proporcionales los segmentos, D, E y GH en las siguientes series? a) cm D cm E 6 cm GH 6 cm b) dm D m E cm GH cm c) 6 cm D 8 cm E m GH m d) m D m E dm GH 6 dm 6 6 a) No son proporcionales. c) No son proporcionales b) Son proporcionales. d) Son proporcionales

9 Proporcionalidad geométrica 00 HZLO SÍ ÓMO SE LUL UN SEGMENTO PROPORIONL OTROS TRES SEGMENTOS? Dados tres segmentos: cm, D cm y E cm, calcula la longitud de un cuarto segmento, GH, que sea proporcional a ellos. El segmento que queremos hallar se llama segmento cuarto proporcional. PRIMERO. Se aplica la definición de segmentos proporcionales. E D GH GH SEGUNDO. Se resuelve la ecuación. TERERO. Se comprueba la solución. D 6 GH GH, cm GH E, 6 6 GH, 0 alcula la longitud que debe tener el cuarto segmento proporcional a los segmentos, D y E. a) cm D 6 cm E cm b) m D 7 m E 8, m c) dm D dm E dm d) 0 cm D cm E cm a) 6 GH GH 8 cm c) b) 7 8, GH GH 8,7 m d) 0 GH dm GH GH 7, cm GH 0 La razón de dos segmentos es y la suma de sus longitudes es 8 cm. Halla la longitud de cada segmento. a + b 8 r Despejando a en la primera ecuación: a 8 b. La razón de proporcionalidad es: a 8 b (8 b) b b b 0 b b 0 8b b cm b cm a 8 cm 6

10 SOLUIONRIO 0 La razón de dos segmentos es y la diferencia de sus longitudes es 7 cm. alcula la longitud de cada segmento. a a b b a b b b 7 b, cm a, cm 0 alcula las longitudes desconocidas. a) d), cm cm cm 0,8 cm y z cm cm, cm 8 cm,,7 cm 0,8 y 0,8, z 0,8 8 cm y,6 cm z 6, cm b) cm e) 0 cm cm cm 8 cm cm, cm 0 6, cm 8 c) f) 8 cm,8 cm cm cm 6 cm cm 8 6 cm, cm,8 6

11 Proporcionalidad geométrica g) h) cm y 7 cm cm cm, cm 7 y, cm y 7 6,, cm cm y cm 6 cm 8 cm y, y,7 cm z 8,, z 0,8 cm 8, cm z 0 onsidera esta figura. ' ' ' O a) Si O cm O cm O',6 cm O',7 cm calcula: '', '', O' y. b) Si O' cm O cm O' cm O' 8 cm calcula: O,, '', '', O y. c) Si O cm O, cm O' 6 cm O' cm calcula: O', O,,, '' y ''. a) cm O O' ' ',6 ' ' ' ', cm O O O' O',6 O' O' 6, cm '' O' O',7 6,, cm O O' cm ' ',6, 6

12 SOLUIONRIO b) '' O' O' 8 cm '' O' O' 8 6 cm O O' ' ' O O' O O,, cm O O, c) O' 8cm O' O' O' 6 O O' O O O cm O' O 6cm O' 8 O O O, cm O' 8 O O O cm O' 8 O O 0 cm O O, 0, cm O 0 ' ' 6 cm O' ' ' 8 ' ' O, ' ' 0 cm O' ' ' 8 ' ' 06 O En la siguiente figura, la razón 0,8. O' ' ',8 cm, cm ' O, cm alcula O', y. O O' O O' 0,8, O' O',87 cm O O' ' ' 0,8,8, cm O O' ' ' 0,8,,6 cm 6

13 Proporcionalidad geométrica 07 Determina las longitudes desconocidas. cm cm cm t cm z y 8 cm 8 z,8 cm z 6cm 6 8 y y,6 cm 08 Divide gráficamente un segmento, con 0 cm, en: a) partes iguales. b) 6 partes iguales. a) 0 cm b) 0 cm 0 Divide gráficamente un segmento, con 8 cm, en partes proporcionales a tres segmentos de medida: a) cm, cm y 6 cm b) cm, cm y 6 cm c) cm, cm y cm d) cm, 6 cm y cm alcula las longitudes de los segmentos y compara el resultado con la solución gráfica. 66

14 SOLUIONRIO a) y z 6,86 cm y 6, cm z 7,7 cm 8 cm b) y z 6 cm y 6cm z cm 8 cm c) y z, cm y 6 cm z 7, cm 8 cm d) y 6 z, cm y 6, cm z, cm 8 cm 67

15 Proporcionalidad geométrica 00 Observa la siguiente figura en la que se divide el segmento, de cm de longitud, en partes proporcionales a los segmentos a, b y c. alcula P, PQ y Q, teniendo en cuenta que: a b c P Q cm a) a 6 cm, b 8 cm y c cm c) a 8 cm, b 0 cm y c cm b) a cm, b 0 cm y c cm d) a cm, b cm y c cm a) P 6 PQ 8 Q P,6 cm PQ,8 cm Q, cm b) P PQ 0 Q P, cm PQ 6,67 cm Q cm c) P 8 PQ 0 Q P,6 cm PQ, cm Q,8 cm d) + + P PQ Q P cm PQ 7, cm Q, cm 0 Divide un segmento de cm en tres partes, cada una el triple de la anterior. cm 0 Divide un segmento de 0 cm en tres partes, cada una la mitad de la anterior. 0 cm 68

16 SOLUIONRIO 0 alcula la longitud de los lados desconocidos en los siguientes pares de triángulos semejantes. a) cm cm cm b) cm 8 cm 0 cm 6 cm c) 7 cm 6 cm cm cm d) cm cm cm, cm cm y a) 6,66 cm y cm Los lados miden cm y 6,66 cm b) 6 y 7, cm y, cm Los lados miden, cm y 7, cm. 6 y c) 0 cm y 8 cm Los lados miden 8 cm y 0 cm. d), y, cm y, cm Los dos lados miden, cm. 6

17 Proporcionalidad geométrica 0 Dos triángulos, y ''', son semejantes. Los lados de son: cm cm 6 cm alcula los lados de ''' y la razón de semejanza, si '' 7, cm. ) La razón de semejanza es: 0,. ' ' 7, '' ) cm '' ) 0,8 cm 0, 0, 0 La razón de semejanza de dos triángulos, y ''', es r. alcula los lados desconocidos de los dos triángulos, sabiendo que: a) cm, 8 cm y 0 cm b) '' 0 cm, '' cm y '' 6 cm c) cm, cm y '' 6 cm a) '' 0 cm '' 8 cm '' 0 0 cm b) 0 cm 6 cm 6 6, cm c) '' 6 cm '' 0 cm 6 cm 06 HZLO SÍ ÓMO SE REONOEN LOS TRIÁNGULOS EN POSIIÓN DE TLES? D Indica qué triángulos de la siguiente E figura están en posición de Tales. G PRIMERO. Se identifican todos los triángulos posibles. E G DE EG E G DE D SEGUNDO. Se toman los que tienen un ángulo común. y D tienen el ángulo $ en común. E, G y DE tienen el ángulo $ en común. E y G tienen el ángulo $ en común. TERERO. De cada grupo de triángulos con un ángulo en común se consideran los que tienen paralelos los lados opuestos a ese ángulo. y D tienen y D paralelos. G y DE tienen G y DE paralelos. E y G tienen E y G paralelos. Luego estos pares de triángulos están en posición de Tales. 70

18 SOLUIONRIO 07 Identifica en las siguientes figuras todos los triángulos que estén en posición de Tales. a) E H G D b) c) d) G G J H I L J K E I E D D a) Los triángulos que están en posición de Tales son: G y DG, G y DEG, G y EG, G y DG. b) Los triángulos que están en posición de Tales son: J con I y EG, HD y GE, HD y HGI, HD y ED. c) Los triángulos que están en posición de Tales son: DG y H, DG y HG, DG e IEG, DG y D, HL y L, HL y LJK, LJK y L. d) Los triángulos que están en posición de Tales son: D y G, D y ED, D y GE, H y GEH. G H E D 08 Los lados de un triángulo miden mm, mm y mm, y los del triángulo ''' miden '' mm, '' mm y '' 0 mm. Son semejantes los dos triángulos? Los lados son proporcionales:, y son semejantes. 0 0 Determina si estos pares de triángulos son semejantes y eplica qué criterio aplicas en cada caso. a) a) omo, no tienen sus lados 6 80 proporcionales, y no son 80 semejantes. 6 7 b) b) omo, no tienen sus lados, 6 6 proporcionales, y no son, 7 semejantes. c) 7 7 8,8 7 7 c) omo, no tienen 8,,8 sus lados proporcionales, y no son semejantes., 7

19 Proporcionalidad geométrica d) 0 d) La hipotenusa del triángulo menor es y el cateto del triángulo mayor es 6. omo, no tienen sus lados 0 6 proporcionales, y no son semejantes. e) 0 e) Son semejantes, ya que sus ángulos son iguales (0, 0 y 0 ). 0 f) f) Son semejantes, pues sus ángulos son iguales (70, 0 y 60 ). 060 Los lados de un triángulo miden cm, cm y 6 cm. Halla la longitud de los lados de un triángulo semejante ''', sabiendo que: a) La razón de semejanza es r,. b) El perímetro de ''' es 0 cm. a) ' ',6 cm, ' ' cm, ' ' 6, cm, b) 0 ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' cm,7cm ' ' 6,cm 06 Dibuja dos cuadrados semejantes que tengan las siguientes razones de semejanza. a) r b) r c) r, d) r D' ' a) D c) ' ' D D' ' ' ' D b) D' ' d) ' ' D D' ' ' ' 7

20 SOLUIONRIO 06 Dibuja triángulos semejantes que tengan estas razones de semejanza respecto del dibujado. 6 cm 8 cm a) r c) r cm b) r d) r a) c) b) d) 06 Dibuja figuras semejantes a la siguiente que tengan como razón de semejanza r y r 0,. a) b) a) b) 06 Dos triángulos y ''' son semejantes y su razón de semejanza es. Las medidas de los lados del triángulo son 8 cm, 0 cm y cm. Halla las longitudes de los lados del otro triángulo. ' ' 8 cm ' ' 0, cm ' ', cm 06 Dos triángulos y ''' son semejantes y su razón de semejanza es. Las medidas de los lados del triángulo son 6 cm, 7 cm y, cm. Halla las longitudes de los lados del otro triángulo. '' 6 8 cm '' 7 cm '', 0, cm 7

21 Proporcionalidad geométrica Razona si son ciertas las siguientes afirmaciones. a) Todos los cuadrados son semejantes. b) Todos los rectángulos son semejantes. c) Todos los pentágonos son semejantes. d) Todos los pentágonos regulares son semejantes. e) Todos los triángulos rectángulos son semejantes. a) Verdadera b) alsa c) alsa e) alsa d) Verdadera Halla el perímetro de un rectángulo que es semejante a otro rectángulo de lados 8 cm y cm, con estas razones de semejanza. a) r b) r 0, c) r d) r Qué relación eiste entre los perímetros del rectángulo original y el de los triángulos semejantes? a) Los lados serán 6 cm y 0 cm, por lo que su perímetro es cm. b) Los lados serán cm y, cm, por lo que su perímetro es 8 cm. c) Los lados serán 6 cm y,7 cm, por lo que su perímetro es, cm. d) Los lados serán 0 cm y, cm, por lo que su perímetro es 6 cm. La razón de los perímetros es la misma que la de los rectángulos. 068 HZLO SÍ QUÉ RELIÓN EXISTE ENTRE cm EL PERÍMETRO Y EL ÁRE cm DE DOS IGURS SEMEJNTES? 6 cm alcula el perímetro cm,6 cm y el área de estos dos cm trapecios semejantes. 8 cm Si dos polígonos son semejantes, se cumple que: Sus perímetros son proporcionales con razón r. Sus áreas son proporcionales con razón r. PRIMERO. Se calcula la razón de semejanza del primer polígono respecto del segundo. 6 8 Razón de semejanza SEGUNDO. Se obtiene el perímetro y el área del segundo polígono. P + + +,6,6 cm ( + b) h ( + ) cm TERERO. Multiplicando estos resultados por la razón y el cuadrado de la razón, se obtienen el perímetro y el área del primer polígono, respectivamente. P,6 r,6, cm r 6 cm 7

22 SOLUIONRIO 06 Halla el perímetro y el área de estos polígonos semejantes. a) Triángulo semejante a un triángulo rectángulo de lados cm, cm y cm y razón. b) uadrado semejante a un cuadrado de lado cm y razón. c) Rectángulo semejante a un rectángulo de lados cm y 6 cm y razón. a) P 6 cm cm b) P 8 cm cm c) P 0 0 cm 6 6 cm 070 Epresa, mediante una escala numérica. a) cm de un plano representan km reales. b) 0,8 dm de un plano representan 60 km reales. a) : b) : Epresa, mediante una escala numérica y una escala gráfica. a) cm en el plano equivale a km en la realidad. b) cm en el plano equivale a 0 km en la realidad km km a) b) G G cm cm 07 alcula la altura real de los objetos. Objeto Escala : 0 El armario en el gráfico mide cm, y en la realidad mide: 0 0 cm. : 0 La furgoneta en el gráfico mide, cm, y en la realidad mide:, 0 cm. : La casa en el gráfico mide, cm, y en la realidad mide:, 7, cm. 7

23 Proporcionalidad geométrica 07 Halla la distancia real entre dos pueblos separados cm en un mapa con esta escala Kilómetros 0 km cm La escala gráfica es : , de manera que cm en el plano equivalen a: cm 60 km reales. 07 La distancia real entre dos ciudades es de 0 km. Halla la distancia que las separa en un mapa realizado a escala : La escala : significa que cm de la realidad se representan en el plano con cm. omo cm km: km cm 0 km 0 0 cm 07 l representar la carretera que une dos pueblos en un mapa de escala : , su longitud mide 6 cm. uál sería la longitud de la carretera si la representamos en un plano de escala : ? En la escala : , la longitud de 6 cm en el mapa es: cm 0 km reales En la escala : , la longitud real de 0 km es: : cm en el plano El plano de una vivienda está realizado a escala : 60. a) Qué dimensiones reales tiene la cocina si en el plano mide cm de ancho y 7 cm de largo? b) El pasillo mide 7, m en la realidad. uánto mide de largo en el plano? a) ncho: 60 0 cm, m. Largo: cm, m. 70 b) Largo:, cm. 60 Un árbol mide m de altura y, a una determinada hora del día, proyecta una sombra de 6 m. Qué altura tendrá el edificio de la figura si a la misma hora proyecta una sombra de 0 m? m 6 m 6 0 8, m 0 m El edificio tiene 8, m de altura. 76

24 SOLUIONRIO 078 Si un palo mide m, y la sombra que proyecta a una determinada hora del día es de, m, cuánto mide un edificio que proyecta una sombra de 6 m a la misma hora? G h m G G 6 m, m omo son dos triángulos rectángulos semejantes: h 6 h m, 07 Un jugador de baloncesto de, m, que está situado a 6, m de la canasta, lanza el balón hacia la misma. alcula la altura a la que está el balón cuando va por la mitad del recorrido.,0 m, m 6, m mbos triángulos son semejantes, y como z es la mitad de 6, m, y será la mitad de, m: y 0,7 m. La altura a la que está el balón será:, + 0,7,7 m. z y 6, m z 080 La sombra que proyecta un padre que mide,8 m de altura, a las de la tarde, es de, m. Qué altura tendrá su hijo si la sombra que proyecta es de, m?,8, m,, 08 La sombra que proyecta Julia, que mide, m, a la de la tarde, es de, m. uánto mide su madre si en ese momento proyecta una sombra de, m?,,6 m,, 77

25 Proporcionalidad geométrica 08 l lado de un semáforo, la sombra de Juan mide, m y la sombra del semáforo mide 60 cm más que la de Juan. uál es la longitud del semáforo si Juan mide,7 m? 7,, m,, 08 HZLO SÍ ÓMO SE LUL L LTUR MEDINTE EL RELEJO EN UN RISTL? Para determinar la altura de un objeto inaccesible, colocamos un espejo en el suelo y nos alejamos la distancia necesaria para observar el punto más alto del objeto. Qué altura tiene el edificio? ' ' 8 m m,7 m PRIMERO. Se comprueba que los triángulos y '' son semejantes. En este caso son semejantes por ser triángulos rectángulos y por ser iguales los ángulos de refracción. SEGUNDO. Se aplica la proporcionalidad entre sus lados. ' ' ' ' ' 8 ' ',7 7 m,7 La altura del edificio es 7 m. 08 na está situada a m de la orilla de un río y ve reflejada una montaña en el agua. Si na mide,7 m y el río está a km de la montaña, qué altura tiene la montaña?,7. 00 m Se mide la sombra de un edificio en dos momentos del día alcula la altura del edificio. 6,67 m 0 m 78

26 SOLUIONRIO D omo los triángulos y D son semejantes: 6,67,, 6 m 0 La altura del edificio es,6 m. 086 Pedro está a m de un precipicio y ve alineado un pueblo con el borde del precipicio. qué distancia está el pueblo del precipicio?,6 m m 0 m,6 0 6, m La distancia del pueblo al precipicio es 6, m. 087 María, que mide, m, acude a un concierto de rock, y 80 cm por delante de ella, se sitúa Luis, que mide,6 m. alcula la altura del escenario si María ve el bordeiii del mismo justo por encima de Luis y Luis se encuentra a 0 m del escenario., m,6 m 0,8 m 0 m 0,8,6, 0,8 + 0, m es la altura sobre María. La altura del escenario es:, +,, m. 088 Razona las siguientes cuestiones. a) Dos polígonos con todos sus ángulos iguales, son semejantes? En qué tipo de polígonos es verdadera la afirmación? b) Dos polígonos con todos sus lados proporcionales, son semejantes? En qué tipo de polígonos es verdadera la afirmación? a) No es cierto en general, ya que la igualdad de los ángulos no supone que los lados sean proporcionales, por ejemplo en los rectángulos. Solo es cierto en el caso de los triángulos. b) No es cierto en general, ya que la proporcionalidad de los lados no implica la igualdad de los ángulos, por ejemplo un cuadrado y un rombo. Solo es cierto en el caso de los triángulos. 7

27 Proporcionalidad geométrica 08 Halla el área de la zona sombreada, sabiendo que: El cuadrado mide cm de lado. El punto E es el punto medio del lado D. El ángulo $ es recto. G D E omo G es igual a ED, el área buscada es igual al área del cuadrado menos el área de los dos triángulos más el área de la intersección (el triángulo G, que es semejante a D). E + G E cm G G DE D 0, 08, Área de G 0, cm Área total + 0,, cm G 0, cm 0,8 cm 00 El triángulo es isósceles, de área 8 cm. Si D y E son los puntos medios de los lados iguales, calcula el área del trapecio DE. El área del trapecio es el área de menos el área de DE. Los triángulos y DE son semejantes, de razón, y su área tiene como razón, por lo que el área de DE es: 8 : cm. El área del trapecio es: 8 6 cm. D E 0 Halla los datos que faltan. cm cm cm cm cm cm d b a c Por estar los triángulos en posición de Tales: d a d cm b b cm 6 a cm c, cm c + 80

28 SOLUIONRIO 0 Demuestra que la altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo genera otros dos semejantes. Por $ ser un triángulo rectángulo: 0 $. Por $ ser D un triángulo rectángulo: 0 $. D Por tanto, y D tienen los tres ángulos iguales, luego son semejantes. El razonamiento para D es semejante. EN L VID OTIDIN 0 rturo se va a mudar a un piso nuevo. Según el plano esta será su habitación. El plano está dibujado a escala y lo único que rturo sabe de su nueva habitación es que en realidad mide,6 m de largo. En esta habitación tendrá que distribuir los muebles que tiene. Para hacerse una idea de cómo los colocará, ha medido las dimensiones de todos. 0,6 m G G, m G m 0, m G G 0, m 0,8 m G Después, los va a dibujar a escala y los recortará. Estos recortes los colocará sobre el plano de la habitación y, haciendo pruebas, decidirá cuál será la colocación de los muebles. opia el plano en tu cuaderno y determina cómo se pueden distribuir los muebles. Podrá montar en su nueva habitación la maqueta completa de su tren eléctrico que mide,, m? 8

29 Proporcionalidad geométrica El largo de la habitación mide,6 m y está representado por 7,6 cm. 6 omo, la escala del plano es : 60. 7,6 60 El ancho de la habitación medirá:, cm,76 m. Las dimensiones de los muebles en el plano son: 00 0 ama: Largo, cm ncho, cm Escritorio: Largo, cm ncho ajonero: Largo, cm ncho 60 Las dimensiones de la maqueta del tren a escala son: Largo 0 60,7 cm ncho cm 0, cm La maqueta no cabe en la habitación, teniendo en cuenta el espacio para poder abrir la puerta., cm 0 Esta es la pieza que se va a fabricar para el enganche de vagones de tren. cm cm cm 6, cm Para programar la máquina que la fabricará hay que construir la misma pieza a una escala menor. olocando esa pieza sobre un escáner, e indicando la escala, la máquina fabricará todas las piezas que se encarguen. Si disponemos de una varilla de 6, cm de largo, y queremos hacer la pieza lo más grande posible, qué escala utilizaremos? cm E cm cm 6, cm D 8

30 SOLUIONRIO plicando el teorema de Pitágoras: 6 cm D,06,7 cm La longitud de la pieza es: + + 6, +,7 + + cm. Por tanto, la escala será : 6. 6, 6 0 En la esquina de la casa de Ricardo han puesto una farola muy alta. Ricardo cree que la altura de la farola incumple la normativa sobre contaminación lumínica y quiere averiguar cuánto mide eactamente., m l principio pensó hacerlo midiendo su sombra, pero como la farola está rodeada de plantas no la puede medir con eactitud. sí que ha decidido utilizar las medidas de dos señales de tráfico que hay junto a la farola. Para ello ha medido las sombras de las dos señales, que están alineadas con la farola, su altura y la separación entre ellas. uál es la altura de la farola? 0 cm G 0 cm, m 0 cm D Si llamamos h a la altura de la farola y a la distancia de la farola a la primera señal, tenemos que: h G H E Hay dos pares de triángulos semejantes: D con EG y D con H, por lo que obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. + 0 h h h 0 0 La altura de la farola es 7 m ( + 0) ( + 0) 0 cm 0 h h 700 cm 7 m 0 0 8