TAREA N 2 SEPARABILIDAD DE FILTROS Y TRANSFORMADA DE FOURIER

Transcripción

1 Universidad de Chile Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Departamento de Ingeniería Eléctrica EL7007 Introducción al Procesamiento Digital de Imágenes TAREA N 2 SEPARABILIDAD DE FILTROS Y TRANSFORMADA DE FOURIER Nombre Alumno : Profesor : Profesor Auxiliar : Ayudante de Laboratorio: Sebastián Gálvez Claudio Pérez Luis Castillo Alonso Astroza Fecha : 09/09/2014 Santiago, Chile.

2 Convolución P1.- Convolución El objetivo de esta sección de la tarea es estudiar la separabilidad de un filtro 2D en dos kernels 1D, evaluando costo computacional de los dos casos e implementando en Matlab la convolución en estas dos modalidades para verificar la teoría. a) Demostración de separabilidad de la convolución 2D. Dado un filtro 2D con kernel separable tal que, entonces la operación de convolución se puede separar de la siguiente manera: En efecto, dado que por definición se tiene que la convolución 2D es: que: Y utilizando la definición de convolución 1D para y en la variable, se tiene Ahora se identifica la convolución 1D entre y en la variable, por lo que finalmente se obtiene lo pedido. b) Costo computacional de la convolución 2D mediante kernel 2D. U. de Chile. FCFM. DIE ~1~

3 Convolución Suponio que el kernel es de dimensión, y la matriz objetivo es de tamaño, utilizando la definición de la convolución 2D para un punto de la matriz resultante: Es fácil ver que para calcular la convolución de un sólo punto de la matriz resultante de la convolución se requieren productos, y como se debe realizar para cada uno de los elementos de, en total se requieren multiplicaciones. c) Costo computacional de la convolución 2D mediante kernels 1D. En este caso para cada punto sólo se realizan productos por cada kernel, realizando en la convolución 1D vertical un total de productos por cada columna, con un total de columnas y en la convolución 1D horizontal la misma cantidad de multiplicaciones por cada fila, para las filas de. Así, el total de multiplicaciones realizadas es d) Filtro Rect de 11x11. Se implementaron en Matlab las funciones convolucion2d(img,h) y convolucion1d(img,h1,h2), que retornan la imagen de salida según la convolución con el filtro y el tiempo de cómputo calculado gracias a las funciones tic y toc. Para más detalles sobre el código dirigirse a la sección Anexos. En esta oportunidad se probará un filtrado mediante el kernel Rect de 11x11:, con [ ] A continuación se muestran en la Figura 1 los resultados obtenidos para las dos modalidades de convolución implementadas, junto a la Tabla 1 que compara los tiempos de cómputo de los dos métodos. U. de Chile. FCFM. DIE ~2~

4 Convolución FIGURA 1:(ARRIBA) IMAGEN ORIGINAL. (IZQUIERDA) RESULTADO DE CONVOLUCION USANDO KERNEL 2D. (DERECHA) RESULTADO DE CONVOLUCION USANDO KERNELS 1D. Como se muestra en la Tabla 1, los tiempos de cómputo de la operación que utiliza la separabilidad del kernel son considerablemente menores, producio un resultado en el cual no se pueden identificar diferencias. En promedio, se obtuvo una reducción al 22.19% del tiempo de cómputo de la convolución mediante kernel 2D. U. de Chile. FCFM. DIE ~3~

5 Convolución Tiempo de Computo para Filtro Rect de 11x11 N Prueba Convolucion Kernel 2D [s] Convolucion Kernels 1D [s] 1 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Tiempo Promedio 0, , TABLA 1: COMPARACIÓN DE TIEMPO DE CÓMPUTO PARA CONVOLUCION MEDIANTE KERNEL 2D Y KERNELS 1D PARA FILTRO RECT. e) Filtro Gussiano de 5x5. En esta ocasión se estudia la separabilidad del filtro gaussiano:, con [ ] En la Figura 2 se pueden observar los resultados obtenidos para las dos modalidades de convolución para el caso del filtro Gaussiano. Al igual que el caso anterior no existen diferencias notables entre una u otra modalidad. Además, en la Tabla 2 se muestran los tiempos de cómputo de cada caso para 20 pruebas distintas. En este caso se observa una mayor reducción de cómputo al utilizar la separabilidad, logrando el 12,89% del tiempo de cómputo respecto de la convolución por kernel 2D. U. de Chile. FCFM. DIE ~4~

6 Convolución FIGURA 2:(IZQUIERDA) CONVOLUCIÓN USANDO KERNELS 1D. (DERECHA) CONVOLUCIÓN USANDO KERNEL 2D. Tiempo de Computo para Filtro Gaussiano de 5x5 N Prueba Convolucion Kernel 2D [s] Convolucion Kernels 1D [s] 1 1, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Tiempo Promedio 1, , TABLA 2: COMPARACIÓN DE TIEMPO DE CÓMPUTO PARA CONVOLUCION MEDIANTE KERNEL 2D Y KERNELS 1D PARA FILTRO GAUSSIANO. U. de Chile. FCFM. DIE ~5~

7 Transformada de Fourier P2.- Transformada de Fourier a) Respuesta en frecuencia de Filtros 2D Los filtros con respuesta al impulso [ ] [ ] poseen las siguientes respuestas de frecuencia, calculadas mediante la transformada de Fourier: { } [ ] { } [ ] Esto se condice con la noción de respuesta en frecuencia de una señal correspondiente a un impulso ideal, la cual es una señal rectangular, mientras que la respuesta en frecuencia de una señal rectangular es un impulso. Es así que para determinar la respuesta asociada a los filtros y, gracias a la linealidad de { } basta restar y sumar las respuestas calculadas previamente. Con esto se tiene que: { } [ ] { } [ ] b) Gráficos de Respuesta en frecuencia de Filtros 2D A continuación se muestran en las Figuras 3 y 4 los resultados obtenidos al aplicar las funciones fft2 y fftshift para calcular la respuesta en frecuencia de los filtros y. Claramente, el caso del filtro Resta presenta una característica de filtro pasa alto, permitio detectar variaciones rápidas de valores de pixeles en una imagen, como lo son los bordes, mientras que el filtro Suma realiza exactamente lo opuesto, actuando como un pasa bajos, al atenuar los cambios rápidos y dejar en la imagen resultante del filtrado las áreas de pixeles en donde no existen cambios bruscos en la tonalidad. U. de Chile. FCFM. DIE ~6~

8 Transformada de Fourier FIGURA 3: RESPUESTA EN FRECUENCIA DEL FILTRO RESTA FIGURA 4: RESPUESTA EN FRECUENCIA DEL FILTRO SUMA U. de Chile. FCFM. DIE ~7~

9 Transformada de Fourier c) Filtrado de imagen. Considerando los filtros Suma y Resta de las preguntas anteriores, al aplicarlos a la imagen de la Figura 5, previa normalización se obtuvieron los resultados mostrados en la Figura 6. Se utilizó la función de Matlab imfilter para realizar el filtrado. FIGURA 5: IMAGEN ORIGINAL A FILTRAR U. de Chile. FCFM. DIE ~8~ FIGURA 6:(IZQ.) IMAGEN FILTRADA CON RESTA. (DERECHA) IMAGEN FILTRADA CON SUMA.

10 Transformada de Fourier Es evidente que los resultados son consistentes con las hipótesis planteadas en la parte b). Además, no es tan sencillo visualizar los efectos del filtro Suma debido a que se trata de un filtro de tamaño 3x3, aplicado en una imagen de 512x512, por lo que atenúa primordialmente detalles difíciles de percibir. a) Filtrado de imagen con redimensionamiento de filtros. Para estudiar los efectos de aumentar las dimensiones de los filtros Suma y Resta en 3,5 y 7 veces sobre la imagen de la Figura 5, se utilizó la función imresize con la opción nearest. De esta forma, se obtuvieron los resultados mostrados en las Figuras 7 y 8. FIGURA 7: (IZQUIERDA) RESULTADO USANDO FILTRO RESTA 9X9. (CENTRO)RESULTADO USANDO FILTRO RESTA 15X15. (DERECHA)RESULTADO USANDO FILTRO RESTA 21X21. FIGURA 8: (IZQUIERDA) RESULTADO USANDO FILTRO SUMA 9X9. (CENTRO)RESULTADO USANDO FILTRO SUMA 15X15. (DERECHA)RESULTADO USANDO FILTRO SUMA 21X21. U. de Chile. FCFM. DIE ~9~

11 Transformada de Fourier Al observar los cambios producidos al aumentar la dimensión del filtro, se puede notar que se abarca una mayor banda en el espectro de frecuencia, por lo que el filtro Resta que es pasa alto, considera las variaciones rápidas con un rango mayor, llegando a resaltar bordes bastante gruesos. En el caso del filtro Suma como pasa bajos, se acentúa el efecto de suavizado, logrando una imagen un tanto borrosa al aumentar el tamaño en 21 veces. U. de Chile. FCFM. DIE ~10~

12 Anexos Anexos A continuación se anexa el código de las funciones implementadas y de los script utilizados para mostrar los resultados de cada pregunta. convolucion2d.m function [outimg,timeelapsed]=convolucion2d(img,h) %retorna convolucion 2D de img con kernel 2D h %tambien retorna tiempo de computo n=length(h(1,:)); [N,M]=size(img); newimg=zeros(n+n,m+n); outimg=zeros(n,m); timer=tic; %inicio timer newimg((n-1)/2 + (1:N),(n-1)/2 + (1:M) )=img; for u=1:n for v=1:m for i=1:n for j=1:n outimg(u,v)=outimg(u,v)+h(i,j)*newimg(u-i+n,v-j+n); timeelapsed=toc(timer); %obtengo tiempo de computo % disp(sprintf('tiempo de Convolucion Kernel 2D = %f [s]',timeelapsed)) convolucion1d.m function [outimg,timeelapsed]=convolucion1d(img,h1,h2) %retorna convolucion usando los kernels 1D h1 y h2 %tambien retorna tiempo de computo n=length(h1); if(n~=length(h2)) disp('error, kernels 1D de distinto largo') return [N,M]=size(img); newimg=zeros(n+n,m+n); vertconvimg=zeros(n,m); newimg((n-1)/2 + (1:N),(n-1)/2 + (1:M) )=img; timer=tic; %inicio timer U. de Chile. FCFM. DIE ~11~

13 Anexos for u=1:n for v=1:m for i=1:n vertconvimg(u,v)=vertconvimg(u,v)+h1(i)*newimg(u-i+n,v+(n- 1)/2); newimg((n-1)/2 + (1:N),(n-1)/2 + (1:M) )=vertconvimg; outimg=zeros(n,m); for u=1:n for v=1:m for j=1:n outimg(u,v)=outimg(u,v)+h2(j)*newimg(u+(n-1)/2,v-j+n); timeelapsed=toc(timer); %obtengo tiempo de computo % disp(sprintf('tiempo de Convolucion Kernels 1D = %f [s]',timeelapsed)) Tarea2p1.m %% Tarea2p1 %% p1 d) % 2D conv clear all; close all; I1=imread('I1.bmp'); h=(1/121)*ones(11,11); figure;imshow(i1);title('imagen Original') [I1_2D,t2D]=convolucion2D(I1,h); figure;imshow(uint8(i1_2d));title('convolucion con kernel 2D Rect de 11x11') % 1D conv h1=(1/11)*ones(11,1); h2=h1'; [I1_1D,t1D]=convolucion1D(I1,h1,h2); figure;imshow(uint8(i1_1d));title('convolucion con kernels 1D que componen filtro Rect de 11x11') disp(sprintf('tiempo Convolucion Kernel 2D = %f',t2d)) disp(sprintf('tiempo Convolucion Kernels 1D = %f',t1d)) % time measuring % t1d=zeros(20,1); % t2d=zeros(20,1); % for i=1:20 % [~,t2d(i)]=convolucion2d(i1,h); % [~,t1d(i)]=convolucion1d(i1,h1,h2); % % disp(sprintf('tiempo Convolucion Kernel 2D = %f',mean(t2d))) % disp(sprintf('tiempo Convolucion Kernels 1D = %f',mean(t1d))) U. de Chile. FCFM. DIE ~12~

14 Anexos %% p1 e) I1=imread('I1.bmp'); h1g=(1/12)*[1;3;4;3;1]; h2g=h1g'; hg=h1g*h2g; % 2D conv [I1_2Dg,t2Dg]=convolucion2D(I1,hg); figure;imshow(uint8(i1_2dg));title('convolucion con kernel 2D Gaussiano de 5x5') % 1D conv [I1_1Dg,t1Dg]=convolucion1D(I1,h1g,h2g); figure;imshow(uint8(i1_1dg));title('convolucion con kernels 1D que componen filtro Gaussiano de 5x5') disp(sprintf('tiempo Convolucion Kernel 2D = %f',t2dg)) disp(sprintf('tiempo Convolucion Kernels 1D = %f',t1dg)) % time measuring % t1dg=zeros(20,1); % t2dg=zeros(20,1); % for i=1:20 % [~,t2dg(i)]=convolucion2d(i1,hg); % [~,t1dg(i)]=convolucion1d(i1,h1g,h2g); % % disp(sprintf('tiempo Convolucion Kernel 2D = %f [s]',mean(t2dg))) % disp(sprintf('tiempo Convolucion Kernels 1D = %f [s]',mean(t1dg))) Tarea2p2.m %% Tarea2p2 clear all; ha=zeros(3,3); ha(2,2)=9; hb=ones(3,3); resta=ha-hb; suma=ha+hb; sumafilt=suma/sum(suma(:)); %% Respuesta en Freq p2a) y b) close all; F_ha=fftshift(abs(fft2(ha))); F_hb=fftshift(abs(fft2(hb))); % figure;imagesc(f_ha);colorbar; % figure;imagesc(f_hb);colorbar; U. de Chile. FCFM. DIE ~13~

15 Anexos F_resta=fftshift(abs(fft2(resta))); F_suma=fftshift(abs(fft2(suma))); figure h1 = bar3(f_resta); title('respuesta en frecuencia de h_a-h_b ') colorbar for k = 1:length(h1) zdata = get(h1(k),'zdata'); set(h1(k),'cdata',zdata,... 'FaceColor','interp') figure h2 = bar3(f_suma); title('respuesta en frecuencia de h_a+h_b ') colorbar for k = 1:length(h2) zdata = get(h2(k),'zdata'); set(h2(k),'cdata',zdata,... 'FaceColor','interp') %% p2 c) close all; I2=imread('I2.bmp'); figure;imshow(i2);title('imagen Original') figure; I2_resta=imfilter(I2,resta,'conv'); subplot(121);subimage(i2_resta);title('imagen Filtrada con h_a-h_b') I2_suma=imfilter(I2,sumafilt,'conv'); subplot(122);subimage(i2_suma);title('imagen Filtrada con h_a+h_b') %% p2 d) close all; resta_x3=imresize(resta,3,'nearest'); resta_x5=imresize(resta,5,'nearest'); resta_x7=imresize(resta,7,'nearest'); suma_x3=imresize(suma,3,'nearest'); suma_x3=suma_x3/sum(suma_x3(:)); suma_x5=imresize(suma,5,'nearest'); suma_x5=suma_x5/sum(suma_x5(:)); suma_x7=imresize(suma,7,'nearest'); suma_x7=suma_x7/sum(suma_x7(:)); I2=imread('I2.bmp'); I2_restax3=imfilter(I2,resta_x3,'conv'); I2_restax5=imfilter(I2,resta_x5,'conv'); I2_restax7=imfilter(I2,resta_x7,'conv'); I2_sumax3=imfilter(I2,suma_x3,'conv'); I2_sumax5=imfilter(I2,suma_x5,'conv'); I2_sumax7=imfilter(I2,suma_x7,'conv'); figure; subplot(131) subimage(i2_restax3); title('filtro Resta 9x9') subplot(132) subimage(i2_restax5);title('filtro Resta 15x15') U. de Chile. FCFM. DIE ~14~

16 Anexos subplot(133) subimage(i2_restax7);title('filtro Resta 21x21') figure; subplot(131) subimage(i2_sumax3);title('filtro Suma 9x9') subplot(132) subimage(i2_sumax5);title('filtro Suma 15x15') subplot(133) subimage(i2_sumax7);title('filtro Suma 21x21') U. de Chile. FCFM. DIE ~15~

17 Bibliografía Bibliografía Resumen_3 EL7007 Introducción al Procesamiento Digital de Imágenes Caludio A. Perez, Departamento de Ingeniería Eléctrica, Universidad de Chile, U. de Chile. FCFM. DIE ~16~