SEMINARIO DE SISTEMAS DINÁMICOS. En torno a la fórmula de Pesin

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1 FACULTAD DE ATEÁTICAS PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE SEINARIO DE SISTEAS DINÁICOS En torno a la fórmula de Pesin Expositor: Felipe Riquelme Resumen El objetivo de este charla es estudiar relaciones entre la geometría de una variedad Riemanniana suave compacta, las propiedades ergódicas entregadas por un difeomorfismo de la variedad en sí misma. Nuestro punto de partida será el teorema de Oseledets, el cual nos proporciona una descomposición del espacio tangente en direcciones asintoticamente contractantes expansivas. A continuación, utilizando esta descomposición, buscaremos mesurar la entropía métrica respecto a medidas borelianas de probabilidad, invariantes por el difeomorfismo. Demostraremos usaremos la desigualdad de Ruelle para maorar la entropía métrica por un término que depende de los exponentes de Lapunov. Será de particular interés responder a la siguiente pregunta: Bajo qué condiciones existe igualdad en la desigualdad de Ruelle? Concluiremos la charla con una respuesta precisa, dando lugar entonces a la fórmula de Pesin.

2 . Preliminares.. Teorema de Oseledets Durante todo este documento, denotará una variedad Riemanniana compacta de clase C f : un difeomorfismo de clase C. Decimos que x es un punto regular de f si existen números λ x) >... > λ m x) subespacios vectoriales de T x, E x),..., E m x), tales que T x = E x)... E m x) lím n log D xf n )u = λ j x) para todo u E j x), no nulo, para todo j m. En tal caso, los números la descomposición son únicos, por lo que llamamos a los λ j x) exponentes de Lapunov a los espacios E j x) espacios característicos. Definición... Sea X un espacio métrico compacto T : X X una aplicación continua. Decimos que un conjunto medible Λ X es de medida total, si para toda medida µ T X) se tiene µλ) =. Una primera aproximación para entender la dinámica del difeomorfismo, desde la perspectiva de la teoría ergódica, está dada por el siguiente teorema Teorema..2. Teorema de Oseledets) El conjunto Λ de puntos regulares de f es un boreliano de medida total. ás aún, las funciones x λ j x), x dime j x)), definidas sobre Λ, son medibles. Recordemos que una medida µ f ) se dice ergódica si se satisface una de las siguientes propiedades equivalentes ) Si A es un conjunto medible, invariante por f, entonces µa) {0, }. 2) Si g : R es una función que satisface g = g f, entonces g es constante µ-c.t.p. Por lo que, luego de la definición de punto regular de f, las aplicaciones x λ j x) x dime j x)) son f-invariantes, luego constantes casi en todas partes) para medidas ergódicas en f ). Para concluir esta subsección, introduciremos una función que será fundamental a lo largo de toda este documento. Definimos χ : R como λ j x)dime j x)), si ha exponentes de Lapunov positivos χx) = λ jx)>0 0,en otro caso la cual es uniformemente acotada superiormente debido a la continuidad de norma de la diferencial de f sobre, la cual es una variedad compacta. Proposición..3. Sea x Λ E u x) = λ jx)>0 E jx). Entonces lím n log det D xf n ) E u x)) = λ jx)>0 λ j x)dime j x))

3 .2. Entropía Sean P Q dos particiones de, denotaremos por Px) al elemento átomo) de la partición P que contiene a x P Q la partición generada por P Q, es decir, que contiene a todas las intersecciones entre elementos de P Q. Definimos la entropía métrica de P respecto a la medida µ f ) como H µ P) = P P µp ) log µp ) la entropía de P relativa a Q como H µ P Q) = [ µq) ) ] µp Q) µp Q) log µq) µq) Q Q P P = ) µp Q) µp Q) log µq) P P,Q Q Bajo estas condiciones es posible probar que H µ P Q) = H µ Q) + H µ P Q). Decimos que P es más fina que Q si para todo elemento P de P existe un elemento Q de Q tal que P Q. Si P es más fina que otra partición R, entonces H µ P Q) H µ R Q) H µ Q P) H µ Q R). Definimos también la entropía de f relativa a P como h µ f, P) = lím n H µ n f j P. j=0 De lo anterior es posible mostrar que h µ f, P) = lím H µ n P f j P j= donde la secuencia {H µ P n j= f j P)} n es decreciente. Esto implica h µ f, P) H µ P f P). Finalmente definimos la entropía métrica de f como h µ f) = sup h µ f, P). P Un resultado que nos será útil es el siguiente. Consideremos una sucesión creciente de particiones P n ) n, tales que la σ-algebra generada por la unión de los elementos de las particiones P n es la σ-algebra boreliana, salvo por conjuntos de medida cero también conocida como sucesión generatriz). Entonces h µ f) = lím h µf, P n ). Otra forma de entender a la entropía métrica de una partición es la siguiente. Para una partición P se tiene H µ P) = log µpx))dµx). Si escribimos Pn a la particion n j=0 f j P, entonces tenemos la fórmula h µ f, P) = lím n log µpn x))dµx). El teorema de Shannon-cillan-Breiman asegura la convergencia en L de la sucesión de funciones /n log µp n x))) n N si la entropia métrica de P es finita. Esto implica que ) h µ f, P) = lím n log µpn x)) dµx). 2

4 2. Desigualdad de Ruelle Teorema Ruelle) Para toda medida µ f ) se tiene h µ f) χdµ ) La idea de la demostración consiste en trabajar sobre una sucesión generatriz de particiones adecuada, que permita medir el comportamiento de los exponentes de Lapunov. Ha tres pasos fundamentales, los cuales buscan maorar la entropía por términos que miden la dinámica aproximando linealmente. Demostración: La compacidad de permite reducirse al caso donde es una subvariedad inmersa isométricamente en R l. Afirmación : Existe una vecindad abierta U de un difeomorfismo f 0 : U f 0 U) U que extiende f que satisface D x f 0 )T x ) = T fx) ), D x f 0 ) Tx) /2 para todo x. En efecto, es cerrada en R l por lo que para cada R l existe x = π) en que verifica d, x) = d, ). Esto implica que pertenece al espacio afín T x ) ortogonal a T x que pasa por x. Escribimos entonces B ε T x ) ) como la bola de radio ε centrada en x contenida en ese espacio. Esto implica que para cada ε > 0, el conjunto ε = { R l d, ) < ε} es igual a ε = B ε T x ) ). x La continuidad del radio de inectividad de la exponencial normal sobre, la compacidad, permiten encontrar ε 0 > 0 tal que para todos x, x 2 distintos, se tiene B ε0 T x ) ) B ε0 T x2 ) ) =. La contrucción de f 0 resulta natural sobre el abierto ε0. Consideremos ahora la partición P n de R l, n, definida por los átomos de la forma donde q,..., q l ) Z l. q /n, q + )/n] q 2 /n, q 2 + )/n]... q l /n, q l + )/n] Afirmación 2: Podemos suponer que para todo n, P P n, se tiene µ P ) = 0. Consideremos un índice j fijo, x R notemos por T j x) la intersección de con el hiperplano definido por la ecuación x j = x. Escribimos Σ j = {x R µt j x)) 0}. Como µ es una medida de probabilidad, Σ j es a lo más numerable. Como R/Q es no numerable, podemos encontrar x = x,..., x l ) tal que para todo q Q todo j [, l], uno tenga µt j x j + q)) = 0. Si trasladamos de modo que x,..., x l ) sea el origen, entonces se tiene la afirmación buscada. La sucesión de particiones P n ) n genera entonces la tribu boreliana de, salvo por un conjunto de medida nula. Así, h µ f) = lím h µf, P n ). 3

5 Por otro lado, h µ f, P n ) H µ P n f P n )), entonces la concavidad de la función x logx) muestra H µ P n f µb f A)) µb f ) A)) P n )) = µa) log µa) µa) A P n B P n µa) log {B P n B f A) }. A P n Si escribimos ν f,n x) := {B P n B f A) } para x A, entonces h µ f, P n ) log ν f,n x)dµx). El teorema de convergencia dominada de Lebesgue muestra que para ν f x) = lím sup ν f,n x) se tiene h µ f) log ν f x)dµx). Si ahora consideramos f n prolongada por f0 n, la desigualdad anterior permanece siendo cierta, entonces h µ f) = n h µf n ) n log ν f nx)dµx). Como f0 n es un difeomorfismo sobre su imagen, entonces podemos usar la linearización de la aplicación para mostrar que, si Q 0 = [, ] l ν f nx) sup {P P + D x f0 n )Q 0 ) P }. Si considero un paralelepípedo Q que contiene a Q 0, el último término de la desigualdad anterior es maorado por ν f nx) sup {P P + D x f0 n )Q) P }. Afirmación 3: Si llamamos φa,..., a l ) el número maximal de átomos de P que pueden intersectar a un paralelepípedo de lados con largo a,..., a l, entonces φa,..., a l ) C a i> a i donde C es una constante que depende solo de l. La demostración de la afirmación anterior no es mu complicada de mostrar por lo que la asumiremos cierta. Consideremos entonces un paralelepípedo Q como antes donde los vectores {u,..., u l } que lo definen estén o bien en un espacio característico E i x) o bien en T x ). Esto implica que sup {P P + D x f n 0 )Q) P } C D xf n 0 )ui > D x f n 0 )u i por lo tanto lím sup n log ν f nx) λ ix)>0 λ i x)dime i x)) = χx). Nuevamente gracias al teorema de convergencia dominada de Lebesgue, es posible mostrar que h µ f) = lím n h µf n ) lím sup n log ν f nx)dµx) entonces h µ f) χx)dµx). 4

6 3. Teorema de Pesin Teorema Pesin) Sea una variedada Riemanniana compacta, de clase C f : un difeomorfismo de clase C +α, α > 0. Si µ f ) es absolutamente continua respecto a la medida de Lebesgue λ definida sobre, entonces h µ f) = χdµ 2) La demostración de este teorema consta esencialmente de dos etapas. Solo daremos un resumen de la prueba, dejando los detalles al lector. Primera Etapa: Consideremos µ f-invariante absolutamente continua respecto a otra medida ν. Sea además ρ : 0, ) función tal que log ρ es integrable respecto a µ. Se define Entonces S n f, ρ, x) = { 0 j n, df j x), f j )) ρf j x))} h ν f, ρ, x) = lím sup n log νs nf, ρ, x)). h µ f) h ν f, ρ, x)dµx). Para demostrar esto, consideramos r n = e n U n = {x r n+ ρx) < r n }. Ya que nµu n ) = U n ndµx) U n [ log ρx)]dµx), la integrabilidad de log ρ implica la convergencia de la serie de término general nµu n ). Uno construe entonces una partición P, utilizando la existencia de C > 0 tal que para todo 0 < r diam) existe una partición P r ) de con átomos de diámetro menor o igual a r tal que P r C ) dim. r Los átomos de P son entonces aquellos de la forma U n P ) para P P rn+. En este caso, para x U n, diampx) r n+ ρx), la convergencia de nµu n ) implica, junto a la concavidad de x log x, que P tiene entropía finita. Escribimos P n = n j=0 f j P, entonces h µ f) h µ f, P) = La continuidad absoluta de µ respecto a ν implica que µp n x)) lím νp n x)) = lím ) n log µpn x)) dµx). ) dµ x) dν en ν - casi todas partes. Así obtenemos lím n log µpn x)) ) = lím ) n log νpn x)) + lím ) n log µpn x)) νp n x)) luego lím ) n log µpn x)) = lím ) n log νpn x)) 5

7 para ν- casi todas partes. Finalmente, como diampx) ρx) se tiene P n x) S n f, ρ, x), por lo tanto lím /n log νpn x))) h ν f, ρ, x) lo que implica que h µ f) h ν f, ρ, x)dµx). Segunda Etapa: Supongamos ahora que f C +α que λ es la medida de Lebesgue. La demostración del teorema de Pesin se reduce a encontrar para cada ε > 0, un entero N, ρ : 0, ) un conjunto compacto K tales que log ρ sea µ-integrable, µk c ) ε h λ f N, ρ, x) N[χx) ε] 4NC ε ε para x K C 0. En efecto, en tal caso se tendría h µ f) = N h µf N ) h λ f N, ρ, x)dµx) N N[χx) ε] 4NC ε εdµx) N K K h λ f N, ρ, x)dµx) N χx)dµx) 4C ε ε N ε donde C es una cota superior para χx) en µ-casi todos x. K χx)dµx) ε Claramente, si lo anterior es cierto para todo ε > 0, la igualdad en 2) debe ser cierta. 4C ε + N + C + ) Las ideas principales de esta parte de la demostración son las siguientes: Primero debemos considerar E u x) = λ E ix)>0 ix) E 0 x) = λ E ix) 0 ix). Si escribimos Σ j = {x dime u x) = j} µ j A) = µa Σ j )/µσ j ) cuando µσ j ) 0, la linealidad de la entropía permite escribir h µ f) = µσ h j) 0 µ j f Σj ), por lo tanto, es suficiente reducirse al caso cuando = Σ j. Luego, usando el hecho que estos subespacios tienen dimensión constante en µ- casi todas partes sobre, podemos estudiar a asimilándolo a un espacio vectorial, bajo la elección de un atlas adecuado. Esto permite hablar de gráficos dispersión de aquellos gráficos. El hecho que λ sea la medida de Lebesgue, permite escribir λa) = Bx) λ +Eu x)a + E u x)))dλ E0 x)) E 0 x) donde λ E 0 x) λ +E u x) son las medidas de Lebesgue sobre los dos espacios afines Bx) es el ángulo entre aquellos dos espacios. Denotando por Λ n ) = S n f N, ρ, x) + E u x)) minorizando h λ f N, ρ, x) como sigue n ) log h λ f N, ρ, x) = lím sup lím sup lím sup n log ínf E 0 x) λ +E u x)λ n ))dλ E 0 x) E 0 x) ) sup E 0 x) λ +E u x)λ n )) ) n log λ +E u x)λ n )). 6

8 Considerando ε > 0 fijo, los teoremas de Egorov Birkhoff muestran la existencia de K, N, λ > β > tales que µk c ) ε, escribiendo g = f N se tiene, v E u x), D x g n )v λ n v, x K, n N, v E 0 x), D x g n )v β n v, /nn) log detd x g n ) E u x) χx) ε. Escogemos ahora c > 0 suficientemente pequeño tal que existe a > 0 con la propiedad siguiente: Si x K son tales que dx, ) < a, entonces para todo subespacio E T que es un E 0 x), E u x))-gráfico de dispersión c, satisface log detd g) E log detd x g) Eu x) ε. Si definimos entonces ρx) = mína, ξ Nx) ) donde Nx) = mín{n g n x) K} ξ es suficientemente pequeño, se tiene la propiedad de que si x K, g n x) K, E 0 x) Λ n ), entonces g n Λ n )) es un gráfico donde uno puede maorar la dispersión, entonces, es posible maorar su volumen. Esto implica C 0 detd z g n ) TzΛ n) dλz). Λ n) De esta forma, escribiendo S n = {0 j < n g j x) K}, n suficientemente grande, se deduce log detd z g n ) TzΛ n) = n log detd gj z)g) Tg j z) g j Λ n)) j=0 j S n ) log detd gj z)g) Tg j z) g j Λ n)) NC n S n ) log detdgj x)g) Eu g j x)) ) nε NC n S n ) j S n n log detdg j x)g) E u g j x)) ) nε 2NC n S n ) j=0 nnχx) ε) nε 2NC n S n ) nnχx) ε) nε 4NnC ε. donde C es una constante positiva adecuada. Así, C 0 > λλ n )) expnnχx) ε 4C ε) ε)) la conclusión es evidente pues en tal caso se tiene n log λλ n)) N[χx) ε] 4NC ε ε por lo tanto h λ f N, ρ, x) N[χx) ε] 4NC ε ε. Referencias [] Gilles, R., Formules) de Pesin, Séminaire de Théorie spectrale et géométrie, tome ), p [2] Ledrappier, F., Quelques propriétés des exposants caractéristiques, Ecole d Ete de Probabilites de Saint-Flour XII 985), [3] añé, R., A proof of Pesin s formula, Ergodic Theor Dnamical Sstems, vol., iss., pp , 98. [4] añé, R., Ergodic Theor and Differentiable Dnamics, Springer-Verlag, 987. [5] Walters, P., An Introduction to Ergodic Theor, Springer-Verlag,