Tema 7: El TBJ en alterna - Modelo para pequeña señal

Transcripción

1 Tema 7: El TBJ en alterna - Mdel para pequeña señal Cálcul de Ganancas e Impedancas 4º Parte 1

2 MODELO DEL TBJ. INTODUCCIÓN TEM 7 Las ecuacnes desarrlladas asta ara en ls derss mdels (Ebersy Mll, PPICE etc) representan al transstr bplar en tda su generaldad y cn cualquer tp de plarzacón. n embarg su fuerte carácter n lneal ace que cualquer crcut que se pretenda analzar mplque slucnes cmplcadas Per, baj adecuadas cndcnes, el transstr puede ser mdelad a traés de un crcut lneal que ncluye equalentes Téenn, Nrtny prncps de tería de crcuts lneales. El análss del cmprtament del transstr en amplfcacón se smplfca enrmemente cuand su utlza el llamadmdel de pequeña señal btend a partr del análss del transstr a pequeñas aracnes de tensnes y crrentes en sus termnales. El mdel de pequeña señal del transstr es a eces llamad mdel ncremental. Ls crcuts que se an a estudar aquí sn álds a frecuencas medas y para pequeñas señales. 2

3 INT. TEOI DE CUDIPOLO LINEL TEM 7 Desde un punt de sta general, cualquer transstr puede erse, en pequeña señal, cm un cuadrpl lneal, cn una entrada y una salda respect a un termnal cmún. Puede ser especfcad a traés de ds crrentes ( 1, 2 ) y ds tensnes ( 1, 2 ). En funcón de las ds psbles arables seleccnadas cm ndependentes, ese crcut lneal puede ser caracterzad medante cuatr tp de parámetrs ({}, {Y}, {H}, {G}), que en ntacón matrcal, se expresan de la sguente manera V V I I 1 r 1 2 f 2 I I Y Y Y Y V V 1 r 1 2 f 2 V I I V 1 r 1 2 f 2 I V g g g g V I 1 r 1 2 f 2 3

4 INT. TEOI DE CUDIPOLO LINEL TEM 7 Parámetr Independentes Ecuacnes g (brds) z (mpedancas) y (admtancas) Tensón de entrada Crrente de salda Crrente de entrada Tensón de salda Crrente entrada Crrente salda Tensón se entrada Tensón de salda 1 g 1 + g r 2 2 g f 1 + g r 2 2 f z 1 + z r 2 2 z f 1 + z 2 1 y 1 + y r 2 2 y f 1 + y 2 V I I V 1 r 1 2 f 2 Las cantdades, r, f y sn llamads parámetrs íbrds pr que n sn mgénes dmensnalmente 4

5 INT. TEOI DE CUDIPOLO LINEL TEM 7 Tambén se les llama: V I I V 1 r 1 2 f 2 V I1 I V 2 Para una cnfguracón en emsr cmún: V 1 V V 1 I B V I BE C CE e re fe e 5

6 INT. TEOI DE CUDIPOLO LINEL TEM 7 La lnealzacón de dspsts n lneales de tres termnales, es un prces de aprxmacón del mdel n lneal a un mdel lneal, truncand ls crrespndentes desarrlls en sere de Taylr a partr de lstérmnsde2ºorden unque el prces es áld para cualquer dspst de tres termnales, se a a partcularzar para el transstr bplar TBJ f, f I, V + f, + f, +... ( ) ( ) ( ) ( ) BE 1 B CE 1 BQ CEQ 1 B CE I, 1 BQ V B B CE CEQ IBQ, V CE CEQ B CE f, f I, V + f, + f, +... ( ) ( ) ( ) ( ) C 2 B CE 2 BQ CEQ 2 B CE I, 2 BQ V B B CE CEQ IBQ, V CE CEQ B CE Dnde: V BEQ ( ) f I V 1 BQ, CEQ be BE V BEQ I ( ) CQ f2 IBQ, VCEQ c C I CQ 6

7 INT. TEOI DE CUDIPOLO LINEL TEM 7 Llamand: B B f, f, ( ) ( ) 1 B CE I, 1 BQ V e B CE CEQ IBQ, V re CEQ CE f, f, ( ) ( ) 2 B CE I, 2 BQ V fe B CE CEQ IBQ, V e CEQ CE + be e b re ce + c fe b e ce Dnde ls Xe sn ls denmnads: Parámetrs ncrementales íbrds parámetrs referds a emsr cmún 7

8 INT. TEOI DE CUDIPOLO LINEL TEM 7 c be fe e b b + + e re ce ce e fe be c b b ce ce 0 0 re e c be ce ce b b 0 0 De estas ecuacnes lneales, se puede deducr el crcut ncremental equalente: 8

9 INT. TEOI DE CUDIPOLO LINEL TEM 7 c be fe e b b + + e re ce ce V I1 I V 2 e be be re b 0 ce 0 ce c c 21 fe 22 e b 0 ce 0 ce entrada salda f transferenca drecta r transferenca nersa b b 9

10 POCEDIMIENTO DE NÁLII DE CICUITO CON TNITOE EN PEQUEÑ EÑL NÁLII DEL CICUITO DE POLICIÓN: 1º) nular las fuentes de señal ; dejar las fuentes de plarzacón de cntnua, ya sea de tensón de crrente 2º) usttur ls cndensadres pr crcuts aberts, y las nductancas pr crtcrcuts(sal su resstenca nterna). 3º) Utlzar el mdel para DC del transstr 4º) Hallar el punt de peracón de cada transstr, utlzand las ecuacnes de plarzacón, y el mdel del transstr de DC en la..d. 10

11 POCEDIMIENTO DE NÁLII DE CICUITO CON TNITOE EN PEQUEÑ EÑL MODELO DE PEQUEÑ EÑL: 5º) De ser necesar, cn ls dats del punt de peracón de cada transstr, así cm de las característcas sumnstradas pr ls fabrcantes, calcular ls parámetrs ncrementales de ls transstres. NÁLII EN PEQUEÑ EÑL(EÑL INCEMENTL) 6º) nular las fuentes de plarzacón (fuentes deales de tensón cnstantes: crtcrcuts, fuentes deales de crrente cnstante: crcut abert). En el cas de n ser deales abrá que cnsderar su crrespndentes resstencas equalentes en alterna. 11

12 NÁLII DE CICUITO CON TNITOE EN PEQUEÑ EÑL NÁLII EN PEQUEÑ EÑL(EÑL INCEMENTL) 7º) usttur ls cndensadres de acple y desacple pr crtcrcuts,(s se an dseñad para ell) 8º) usttur ls transstres pr su mdel de pequeña señal, sea dbujar el mdel ncremental. 9º)plcarlaseñaldeentrada,yanalzarsurespuestaenlasalda. Ealuand en cada cas l que nterese: Gananca en tensón Gananca en crrente Gananca en ptenca Impedancas de entrada Impedanca de salda 12

13 NÁLII DE CICUITO CON TNITOE EN PEQUEÑ EÑL Cnfguracón mplfcadr cn Emsr Cmún 1.- Crcut cn plarzacón fja Mdel ncremental Cálcul de la Gananca de Tensón r O e V s b e b fe C s C + re << r C e V fe C e 13

14 NÁLII DE CICUITO CON TNITOE EN PEQUEÑ EÑL TEM 7 Cnfguracón Emsr Cmún Cálcul de la Gananca de Crrente O s >> B e s b << r C e b fe Cálcul de la Impedanca de Entrada del TBJ s n ntbj b s s Cálcul de la Impedanca de Entrada de la etapa n s fe B e B e B e e n B// e e b B + e 14

15 NÁLII DE CICUITO CON TNITOE EN PEQUEÑ EÑL TEM 7 Cnfguracón Emsr Cmún Cálcul de la Impedanca de salda ut r e e C r + e C ut re + C C r C TBJ r e TBJ r e 15

16 DIMENIONMIENTO DE LO CPCITOE DE L ETP TEM7 C esuncndensadrdeacplede la señal alterna de entrada a la base del transstr C E esuncndensadrdedesacple de la cmpnente alterna, para cnsegur más gananca C O esuncndensadrdeacplede laseñalarabledesaldaalacarga X X X C CE C 1 << ωc 1 << ωc E 1 << ωc O n E L 16

17 DIMENIONMIENTO DE LO CPCITOE DE L ETP TEM7 l ser las capacdades crcuts aberts para la cmpnente cntnua, ls punts de peracón n se en afectads. Nrmalmente las capacdades se dseñan para que a las frecuencas de trabaj se puedan cnsderar crtcrcuts. El prcedment de análss y dseñ de las msmas es sencll, aplcad análss frecuencal en módul y argument El mayr ncnenente del emple de capacdades es que la frecuenca nferr de crte está lmtada pr el alr de la capacdad. En cas de prcesament de señales de muy baja frecuenca que aríen muy lentamente (señales blógcas) n se pueden emplear. 17

18 NÁLII DE CICUITO CON TNITOE EN PEQUEÑ EÑL TEM 7 2.-Cnfguracón cn plarzacón ndependente de β Mdel ncremental 18

19 NÁLII DE CICUITO CON TNITOE EN PEQUEÑ EÑL 2.- Cnfguracón cn plarzacón ndependente de β TEM 7 Cálcul de la Gananca de Tensón V O s ( 1 ) ( 1 ) s b e e E b e b fe E b e fe E b fe C V fe C ( 1 ) + + e fe E 19

20 NÁLII DE CICUITO CON TNITOE EN PEQUEÑ EÑL 2.- Cnfguracón cn plarzacón ndependente de β TEM 7 Cálcul de la Gananca de Tensón Cálcul de la Gananca de Crrente de la etapa << r C e V β 100 O s V ( 1 ) ( 1 ) C E e fe C ( 1 β) + + s + b cn b // + 1+ e + + fe E s + 1. // B << r // + 1 E ( ) B e fe E C e b fe fe e fe E + + B b fe 20

21 NÁLII DE CICUITO CON TNITOE EN PEQUEÑ EÑL 2.- Cnfguracón cn plarzacón ndependente de β TEM 7 Cálcul de la Gananca de Crrente ( 1 ) e fe E // ( // ). ( // ) fe B fe B + + ( // B). fe + ( // ) fe E B e fe E B 1 21

22 TEOEM DE EDUCCIÓN TEM Fuente de tensón cntrlada pr tensón ( 1 ) educcón a la zquerda ( 1 ) ( 1 ) 2 1 Medante el Terema de reduccón, se pdrá reemplazará el generadr cntrlad 1 pr un crtcrcut s y sl s se cumple una de las sguentes cndcnes: 1. e multplcaráel alr de tdas las resstencas, nductancas y fuentes de tensón pr el factr (1+) en la red N1 (reduccón aca la zquerda) 2. e ddránel alr de tdas las resstencas, nductancas y fuentes de tensón pr el factr (1+) en la red N2 (reduccón aca la dereca) l acer alguna de estas reduccnes, se lgra acer desaparecer la fuente de tensón cntrlada pr tensón mantenend las crrentes cnstantes. + educcón a la dereca 22

23 TEOEM DE EDUCCIÓN TEM Fuente de crrente cntrlada pr crrente ( 1 ) Medante el Terema de reduccón, se pdrá reemplazará el generadr cntrlad 1 pr un crcut abert s y sl s se cumple una de las sguentes cndcnes: 1. e multplcaráel alr de tdas las resstencas, nductancas de la red N2 pr el factr (1+) (reduccón aca la dereca) y se ddrá las fuentes de crrentede N2 pr (1+) 2. e ddráel alr de tdas las resstencas, nductancas de la red N1 pr el factr (1+) (reduccón aca la zquerda) y se multplcará las fuentes de crrentede la red N1 pr el factr (1+) l acer alguna de estas reduccnes, se lgra acer desaparecer la fuente de crrente cntrlada pr crrente mantenend las tensnes cnstantes 23

24 TEOEM DE EDUCCIÓN TEM 7 ETICCIONE DEL TEOEM DE EDUCCIÓ: Para pder aplcar el terema de reduccón, se debe cumplr: 1. Las redes N1 y N2 sn de un sl par de termnales, es decr que n debe entrar n salr crrente de ellas pr el tr extrem. 2. La tensón de salda de la red N1 debe ser exactamente la tensón de cntrl de la fuente cntrlada para el cas 1 (cas 1) 3. La crrente de salda de la red N1 debe ser exactamente la crrente de cntrl de la fuente cntrlada para el cas 2 (cas 2) 4. En el cas 1, ls generadres de crrente, s ls ubera, NO se multplcan n dden pr el factr (1+), s n que permanecen cnstantes cuand se ace la reduccón. 5. En el cas 2, ls generadres de tensón, s ls ubera, NO se multplcan n dden pr el factr (1+), s n que permanecen cnstantes cuand se ace la reduccón. 6. El alr de es cualquer númer real pst negat. 24

25 CÁLCULO DE L GNNCI PLICNDO TEOEM DE EDUCCIÓN TEM7 2.- Cnfguracón cn plarzacón ndependente de β se despreca re, es equalente a: 25

26 CÁLCULO DE L GNNCI PLICNDO TEOEM DE EDUCCIÓN TEM7 2.- Cnfguracón cn plarzacón ndependente de β e puede aplcar el terema de reduccón de redes, el mdel queda: Cálcul de la Gananca de Tensón + + ( 1 ) e C V b e fe E O b fe re + C β 100 r >> e C V C E r 26

27 NÁLII DE CICUITO CON TNITOE EN PEQUEÑ EÑL TEM7 2.- Cnfguracón cn plarzacón ndependente de β b TBJ b ( 1 ) + + e fe E ( 1 ) + + TBJ e fe E s n s + // + 1+ Cálcul de la Impedanca de Entrada de la etapa y del TBJ ( ) B e fe E 1 1 s + // ( 1 ) + + B e fe E ( ) // // + 1+ n B e fe E 27

28 NÁLII DE CICUITO CON TNITOE EN PEQUEÑ EÑL TEM Cnfguracón cn plarzacón ndependente de β Cálcul de la Impedanca de salda ut + C + b e b e e E e b. + + e fe b e b e r e b e e E 28

29 NÁLII DE CICUITO CON TNITOE EN PEQUEÑ EÑL 2.- Cnfguracón cn plarzacón ndependente de β TEM 7 fe. b + b 1+ re b e re 1+ fe + + E r b e e e + 1+ re 1+ fe+ + E r e e C E e e E e Cálcul de la Impedanca de salda e e C. re 1+ fe + + E re e e e re 1+ fe C 1+ E re E 29

30 NÁLII DE CICUITO CON TNITOE EN PEQUEÑ EÑL TEM Cnfguracón cn realmentacón base-clectr Mdel ncremental 30

31 PÉNDICE: TEOEM DE MILLE TEM 3 V 1 V 2 Es equalente a: 1 K V K V 2 1 K. K 1 ( 1 K) V V V V V cn 1 K 1 K M1 M1 ( 1 1 ) V ( K 1 ) V V V K V cn M2 K. M2 K. K 1 31

32 NÁLII DE CICUITO CON TNITOE EN PEQUEÑ EÑL 3.- Cnfguracón cn realmentacón base-clectr TEM 7 plcand terema de Mller: Dnde se cumple que: K B M1 1 K K. B M2 B K 10 K 1 10 Cálcul de la Gananca de Tensón: sr B C V b e O b fe e B C B + C B C fe fe.. s + V C B C B C e e. 10. C fe e 32

33 NÁLII DE CICUITO CON TNITOE EN PEQUEÑ EÑL 3.- Cnfguracón cn realmentacón base-clectr TEM 7 ra se puede calcular M1 M1 B B e 1 fe 1 + C. e B fe C Cálcul de la Gananca ITBJ b fe b b // 2// C fe b e M C O de crrente ( r ) I Etapa I Etapa fe e b b b M1 M1 ( ) fe B// C 1 fe. 1 fec C C fe B B C 33

34 NÁLII DE CICUITO CON TNITOE EN PEQUEÑ EÑL TEM Cnfguracón cn realmentacón base-clectr Cálcul de la Impedanca de entrada TBJ n s b b. e s + M1 e TBJ e // 1 Cálcul de la Impedanca de salda n M e TBJ r e TBJ r e ut r // // ut e B C 34

35 NÁLII DE CICUITO CON TNITOE EN PEQUEÑ EÑL TEM Cnfguracón cn realmentacón base-clectr y resstenca de emsr Mdel ncremental 35

36 NÁLII DE CICUITO CON TNITOE EN PEQUEÑ EÑL TEM Cnfguracón cn realmentacón base-clectr y resstenca de emsr Mdel ncremental Mdel ncremental del crcut cn plarzacón ndependente de β K M1 B B M2 B 1 36

37 NÁLII DE CICUITO CON TNITOE EN PEQUEÑ EÑL TEM Cnfguracón cn realmentacón base-clectr y resstenca de emsr Calcul de la Gananca de Tensón V O s ( // ) ( // ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) s b e e E b e b fe E b e fe E b fe C B V fe C B C e fe E E ra se puede calcular M1 M1 B B E B 1 C 1+ + E C E 37

38 NÁLII DE CICUITO CON TNITOE EN PEQUEÑ EÑL TEM Crcut realmentacón base-clectr y resstenca de emsr Cálcul de la Gananca de Crrente I O s + cn s b b ( ) M1 e + 1+ fe E ( 1 ) e + + fe E s + 1. M1 << r C e b fe fe ( 1 ) + + e fe E M1 + 1 b fe 38

39 NÁLII DE CICUITO CON TNITOE EN PEQUEÑ EÑL 4.- Cnfguracón cn realmentacón base-clectr y resstenca de emsr TEM7 b TBJ b ( 1 ) + + e fe E ( 1 ) + + TBJ e fe E s n s + Cálcul de la Impedanca de Entrada de la etapa y del TBJ ( 1 ) M1 e fe E 1 1 s + ( 1 ) + + M1 e fe E ( ) // + 1+ n M1 e fe E

40 NÁLII DE CICUITO CON TNITOE EN PEQUEÑ EÑL TEM Cnfguracón cn realmentacón base-clectr y resstenca de emsr TBJ r e TBJ r e ut r // // ut e B C Cálcul de la Impedanca de salda de la etapa y del TBJ 40

41 NÁLII DE CICUITO CON TNITOE EN PEQUEÑ EÑL 5.- Cnfguracón Clectr Cmún TEM 7 Plarzacón: V V + I CC CE E E V V V + I B B CC BE E E + B Mdel ncremental 41

42 NÁLII DE CICUITO CON TNITOE EN PEQUEÑ EÑL 5.- Cnfguracón Clectr Cmún TEM 7 Mdel ncremental redbujad B Calcul de la Gananca de Tensón B B // e fe b C V O s ( 1 ) ( 1) ( fe+ 1) E + ( 1+ ) s b e fe E b fe E V /e E E etapa TBJ TBJ etapa 1 e fe E Mdel ncremental aplcand Terema de educcón etapa B B B // e TBJ r e (1+ fe ) C // r E e E E E (1+ fe ) 42

43 NÁLII DE CICUITO CON TNITOE EN PEQUEÑ EÑL 5.- Cnfguracón Clectr Cmún TEM 7 Calcul de la Gananca de Crrente del dspst y del amplfcadr ITBJ O e 1 + // r E e E s B E B e B // b fe E C etapa TBJ TBJ etapa I O s e s ( 1 ) s b e fe E I I O + + ( + ) ( ) fe+ 1 + ( 1+ ) 1 // ( ) // b b + b // s e fe E fe B B e fe E B 43

44 NÁLII DE CICUITO CON TNITOE EN PEQUEÑ EÑL 5.- Cnfguracón Clectr Cmún TEM 7 Calcul de la Impedanca de entrada del dspst y del amplfcadr b TBJ b ( 1 ) + + e fe E ( 1 ) + + TBJ e fe E // r E e E B E B e s n s + // + 1+ ( ) B e fe E 1 1 s + // ( 1 ) + + B e fe E ( ) // // + 1+ n B e fe E B // fe b 1/e E C 44 etapa TBJ TBJ etapa

45 NÁLII DE CICUITO CON TNITOE EN PEQUEÑ EÑL 5.- Cnfguracón Clectr Cmún TEM 7 Calcul de la Impedanca de entrada del dspst y del amplfcadr, aplcand Terema de educcón etapa B TBJ B B // e TBJ r e (1+ fe ) C b ( 1 ) + + TBJ e fe E E E (1+ fe ) n ( 1 + )// ( 1+ ) ( 1+ ) r E fe e fe E fe s ( ) // // + 1+ n B e fe E Obseracnes: se aplcó T. de reduccón, para calcular n se deben dejar narables ls parámetrs de N1. O sea se aplca reduccón aca la dereca, a N2. Para ell se multplca pr (1+fe) 45

46 NÁLII DE CICUITO CON TNITOE EN PEQUEÑ EÑL 5.- Cnfguracón Clectr Cmún TEM 7 Cálcul de la Impedanca de salda de la etapa y del TBJ ut B B e B // // ut E TBJ C e // r // 1 + ut E e TBJ etapa fe b ' TBJ e ' fe + + TBJ e // 1 + e e e e fe r r 46

47 NÁLII DE CICUITO CON TNITOE EN PEQUEÑ EÑL 5.- Cnfguracón Clectr Cmún TEM 7 Cálcul de la Impedanca de salda de la etapa y del TBJ, aplcand Terema de reduccón B e /(1+ fe ) ( B // )/(1+ fe ) TBJ r e C e // 1 + E E TBJ etapa fe ut ut E e ut e // r // 1 + e 1 + fe fe Obseracnes: se aplcó T. de reduccón, para calcular se deben dejar narables ls parámetrs de N 2. O sea se aplca reduccón aca la zquerda, a N1. Para ell se dde en (1+fe) 47

48 NÁLII DE CICUITO CON TNITOE EN PEQUEÑ EÑL TEM 7 esumend: El amplfcadr en cnfguracón clectr cmún, tene: Gananca de tensón V 1, sea n gana en tensón. La tensón de salda y de entrada están en fase. Debd a ls ds punts anterres, se le llama segudr de tensón segudr ems. La mpedanca de entrada es muy alta. La mpedanca de salda es muy baja. Debd a ls punts anterres se l usa cm adaptadr de mpedancas. La gananca de crrente es eleada. 48

49 NÁLII DE CICUITO CON TNITOE EN PEQUEÑ EÑL TEM Cnfguracón Base Cmún Plarzacón: Idéntc al crcut cn plarzacón ndependente de β Mdel ncremental 49

50 NÁLII DE CICUITO CON TNITOE EN PEQUEÑ EÑL 6.- Cnfguracón Base Cmún TEM 7 a) e puede desprecar re Calcul de la Gananca de Tensón V O V O s b fe C b e fe C e Calcul de la Gananca de Crrente c I O s fe b e b fe I c e ( 1) fe 1 1+ fe + 50

51 NÁLII DE CICUITO CON TNITOE EN PEQUEÑ EÑL 6.- Cnfguracón Base Cmún TEM 7 a) e puede desprecar re Calcul de la Impedanca de entrada Cálcul de la be TBJ e 1 + ( 1+ ) e fe b ut ( ) Impedanca de salda 1+ ut fe fec 1+ fe fe b C C fe b 51

52 NÁLII DE CICUITO CON TNITOE EN PEQUEÑ EÑL 6.- Cnfguracón Base Cmún TEM 7 b) NO se puede desprecar re: 52

53 NÁLII DE CICUITO CON TNITOE EN PEQUEÑ EÑL 6.- Cnfguracón Base Cmún TEM 7 b) NO se puede desprecar re Calcul de la Gananca de Tensón E B E e B - + C C r e C etapa TBJ TBJ etapa r 1+ fe C b e r r µ fe e fe e b e +µ ( 1 ) O C V O s re + C V V e fe e C r + e e C 53

54 NÁLII DE CICUITO CON TNITOE EN PEQUEÑ EÑL 6.- Cnfguracón Base Cmún TEM 7 b) NO se puede desprecar re Calcul de la Gananca de Crrente I O s c e ( 1+ µ ) ( 1+ µ ) s s s c e b c re + C e re + C I I s + + ( 1+ µ ) re + C 1+ µ ( 1+ µ s ) r + + ( 1+ µ ) + r + s e C e e e C fere 1+ e r r fe e e C e e fe e <<r e y c <<r e : 1 I 1+ fe 54

55 NÁLII DE CICUITO CON TNITOE EN PEQUEÑ EÑL 6.- Cnfguracón Base Cmún TEM 7 E E B - e + r e C C C b) NO se puede desprecar re plcand Terema de reduccón aca la dereca (sre sl para calcular V, I y n ) etapa TBJ Calcul de la Impedanca de Entrada TBJ B TBJ etapa re C e// + 1+ µ 1+ µ re + TBJ e// r 1+ e // E TBJ C fe e µ Cálcul de la Impedanca de salda // r ut C e Cudad!!! Para el calcul de la mpedanca de salda, se debe realzar reduccón aca la zquerda r fe e e 55