Control en Cascada. Antonio Flores T./ Universidad Iberoamericana-Santa Fe. March 7, 2005

Transcripción

1 Control en Cascada Antonio Flores T./ Universidad Iberoamericana-Santa Fe March 7, 25 Introducción Existen algunas ocasiones en que el desempeño de un esquema de control feedback puede mejorarse notablemente mediante el empleo de un esquema de control denominado en cascada. La idea básica detrás del empleo de controladores en cascada la podemos explicar mejor empleando el siguiente ejemplo. En algunas ocasiones se acostumbra controlar la composición de los productos principales de una columna de destilación ejerciendo control sobre la temperatura de operación de algún plato seleccionado para este propósito; este esquema de control puede resultar conveniente sobre todo cuando no se dispone de analizadores de composición en línea o bien se dispone de estos medidores pero el retardo asociado el proceso de medición resulta demasiado grande de tal forma que crea problemas de estabilidad ymaldesempeño del esquema de control. En la figura se muestra el esquema de control indirecto de composición de los fondos de una columna de destilación controlando la temperatura de algún plato mediante la manipulación del flujo de vapor de calentamiento alimentado al rehervidor. AT Tm Gc set-point vapor Figura : Control de la temperatura de un plato de una columna de destilación manipulando el flujo de vapor. El anterior esquema de control feedback debería proporcionar control aceptable de la temperatura del plato seleccionado (suponiendo que el controlador esté sintonizado de manera adecuada). Esta situación es, normalmente, correcta excepto cuando ocurren variaciones importantes en la presión de suministro del vapor de calentamiento. Para

2 entender este comentario se debe recordar que la presión a la que se suministra el vapor determina el flujo de vapor que pasa a través de la válvula de control. El conflicto que surge es que, por un lado, el controlador G c fijaelflujodevaporquesedebeusar para mantener a la temperatura medida T m en el valor deseado. Sin embargo, como se explicó antes, debido a variaciones en la presión de suministro de vapor, la cantidad de vapor que pasa a través de la válvula pueder ser diferente del flujo de vapor demandado por el controlador. Como resultado el flujo de vapor no será el deseado por lo que el controlador sólo se percatará de esta situación (flujo de vapor no igual al deseado) hasta que la temperatura del plato no sea igual al set-point. Nótese claramente que este problema surge debido a que la variable manipulada (flujo de vapor) está sujeta a una perturbación (variación de la presión de vapor). Este problema de control se podría resolver si se emplea la estructura de control mostrada en la figura 2. AT Tm controlador Maestro set-point Gc T set-point controlador Esclavo Gc F vapor Figura 2: Control en cascada de la temperatura de un plato de una columna de destilación manipulando el flujo de vapor. Observese que hemos introducido un controlador adicional G CF. El propósito de este controlador adicional consiste en ejercer acción de control de manera practicamente inmediata cuando el flujo de vapor solicitado por el controlador G CT no es igual al que pasa a través de la válvula de control (medido un poco antes de que ingrese a la válvula). Es importante notar las siguientes diferencias entre las estructuras de control de tipo feedback convencional y cascada mostradas en las figuras y 2, respectivamente. El esquema de control feedback sólo emplea un controlador, mientras que en el esquema de control en cascada se emplean dos controladores. El controlador externo se llama controlador maestro (o primario), el controlador interno se llama controlador esclavo (o secundario). En el esquema de control feedback el controlador fija el flujo de vapor deseado para alcanzar el set-point en la temperatura del plato. En el esquema de control en cascada la función del controlador G CT es otra: fijar el set-point del flujo de vapor de calentamiento a emplear. 2

3 En el esquema de control feedback el set-point del controlador se fija externamente (normalmente lo fija el operador del proceso). En el esquema de control en cascada el set-point de la variable a controlador sigue siendo fijado de manera externa. Sin embargo, el set-point del controlador esclavo es fijado por el controlador maestro. Es decir, la salida o resultado que produce el controlador maestro es simplemente el set-point al que debe operar el controlador esclavo. En términos de diagramas de bloques, el esquema de control en cascada de la figura 2 se puede representar tal como se muestra en la figura 3. d r u T F Gc Gc Gp M E - - y Figura 3: Diagrama de bloques del esquema de control en cascada de la figura 2. Otro ejemplo de una situación práctica donde se puede utilizar el concepto de control cascada ocurre durante el control de la composición del destilado en una columna de destilación. Supongamos, por el momento, que se dispone de analizadores de composición en línea, de tal forma que la composición del destilado se controla manipulando el flujo del reflujo tal como se muestra en la figura 4. reflujo destilado AC Gc C Figura 4: Control de la composición del destilado manipulando el flujo del reflujo. Este esquema de control debería operar de manera adecuada (suponiendo que tanto el tipo de controlador como la sintonización de este se realizen de manera apropiada) 3

4 excepto, probablemente, por una situación. Observese que cuando el controlador calcula el flujo del reflujo, que se debe usar para mantener la composición del destilado en el valor deseado, dicha acción de control no afecta de manera inmediata a la composición. Esto ocurre porque el reflujo debe descender a través de todos los platos hasta llegar al rehervidor. En el rehervidor parte del líquido alimentado se evapora. El vapor asciende, llega al condensador y entonces se retira parte del producto como destilado. Todo este circuito puede implicar que el tiempo transcurrido entre el instante en que el controlador decide modificar el flujo del reflujo y el cambio en la composición del destilado pudiera ser grande. La implicación, en téminosdelcontroldelacomposición, es que, debido al gran retardo inherente en este esquema de control, el desempeño del control a lazo cerrado se puede ver seriamente afectado. El anterior problema puede ser reducido, en alguna proporción, si se emplea el esquema de control en cascada que se muestra en la figura 5. reflujo destilado AC AT Gc T set-point Gc C Figura 5: Esquema de control en cascada de la composición del destilado manipulando el flujo del reflujo. La idea del anterior esquema de control consiste en explotar la relación que existe entre la temperatura y la composición del destilado. De esta manera, si el flujo del reflujo modifica la temperatura de algún plato de la columna seleccionado para este propósito, dicha temperatura nos permitiría conocer, de manera más rápida, el efecto que el reflujo tiene sobre la composición permitiendo, entonces, ejercer acciones de control menos lentas para corregir por desviaciones en la composición deseada. Este esquema de control supone que la relación entre temperatura y composición es única lo cual, estrictamente hablando, sólo es cierta en el caso de mezclas binarias. El diagrama de bloques del anterior esquema de control se muestra en la figura 6. Nótese en este diagrama que G representa la función de transferencia entre el reflujo y la composición del destilado, mientras que G 2 representa la función de transferencia entre el reflujo y la temperatura del plato. 4

5 - set-point C deseada C T Gc C Gc T reflujo G 2 d T medida - G d C medida Figura 6: Diagrama de bloques del esquema de control en cascada de la composición del destilado manipulando el flujo del reflujo. 2 Tipos de sistemas de control en cascada Hasta ahora se han propuesto dos tipos de esquemas de control en cascada: en serie y en paralelo; los dos tipos de control en cascada han sido discutidos en la sección anterior. 2. Serie. En este esquema la variable manipulada u tiene un efecto tipo domino sobre la variable a controlar y. El esquema de control se denomina en serie ya que u afecta a una variable intermedia y i la cual, a su vez, afecta a la variable que se desea controlar y tal como se muestra en la figura 7. u y i G G2 y Figura 7: Sistema en Serie: la variable manipulada afecta a una variable intermedia la cual entonces afecta a la variable a controlar. Un requisito importante para que la aplicación del esquema de control en cascada presente ventajas sobre un controlador feedback puro, es que la respuesta dinámica de la planta G 2 sea más rápida que la correspondiente respuesta dinámica de la planta G. Si este requisito se cumple entonces es muy probable mejorar el desempeño del esquema de control a lazo cerrado usando el concepto de control en cascada. Por esta razon se acostumbra emplear un controlador puramente proporcional para el control de la planta G 2 ; este controlador se sintoniza de manera tal que la respuesta obtenida de la planta G 2 sealomás rápida posible, sujeta a las restricciones de estabilidad sobre los valores de la ganancia del controlador. Para el control de la planta G podría emplearse un controlador PI o PID. 5

6 Ejemplo Emplear control en cascada para el control a lazo cerrado del sistema representado por las siguientes funciones de transferencia:.2 G = s 3 2.s 2.2s. G 2 = s 2 2s probar el esquema de control para una perturbación unitaria estática. Comparar el desempeño del sistema de control en cascada contra el que se obtendría si se usa control feedback puro del tipo PI y PID. Considerar que la acción de control está restringida al rango [ 5, 5]. Como sabemos, la raiz negativa más cercana al eje imaginario (o más pequeña en valor absoluto) del polinomio del denominador es la que domina la respuesta dinámica de un sistema dado. En este caso la raiz más pequeña de G es. y de G 2 es, ambas en valor absoluto. Por lo tanto, las constantes de tiempo τ aproximadas de cada planta son: τ = 2π/. 63 τ 2 = 2π/. 6 entonces, como τ 2 <τ, en principio el sistema dinámico en cuestión parece ser un buen candidato para que, a través del uso de control en cascada, se pueda obtener mejor desempeño del esquema de control que usando sólo control feedback puro. En la figura 8 se muestra la respuesta del sistema dinámico a lazo abierto cuando la entrada de cada planta experimenta un cambio escalón. 2.5 Step Response 2.5 G Amplitude G Time (sec) Figura 8: Respuesta a lazo abierto ante un cambio unitario de las plantas G y G 2. Para diseñar el esquema de control en cascada empezaremos controlando primero la planta G 2, lo cual implica diseñar primero el controlador esclavo. Como se dijo 6

7 antes, para el control de la planta G 2 se empleará control proporcional. El margen de ganancia para G 2 es infinito lo cual implica que, aunque en principio se puede emplear cualquier valor de ganancia del controlador, sujeto sólo a la restricción de saturación de la válvula de control, diseñaremos este lazo de control para lograr un factor de amortiguamiento ξ igual a.4. Del diagrama del lugar de las raices (root locus) obtenemos que para ξ=.4 se debe usar una ganancia del controlador k c igual a 5. En la figura 9 se muestra la conducta dinámica a lazo cerrado de la planta G Respuesta (a) Tiempo U (b) Tiempo Figura 9: Respuesta a lazo cerrado de la planta G 2 ante una perturbación unitaria a la salida de la planta. Para diseñar ahora el lazo del controlador maestro debemos primero entender que la planta que el controlador maestro ve (G 3 ) está dada por el producto de la función de transferencia del lazo del controlador esclavo a lazo cerrado G cl E multiplicada por la función de transferencia de la planta asociada al lazo maestro G, donde: G 3 = G cl EG G cl k c G 2 E = k c G 2 usando G 3 como la función de transferencia del sistema a controlar, diseñemos un controlador PI usando la técnica de sintonización en el dominio de la frecuencia, donde especificamos que la altura máxima del pico resonante de la gráfica de ganancia del sistema sea de 2 db. De acuerdo a esta especificación, la ganancia k c y tiempo integral τ I del controlador maestro son.46 y 6.3, respectivamente. En la figura se muestra la respuesta del sistema de control a lazo cerrado empleando el esquema de control en cascada. Para comparar el desempeño del esquema de control en cascada se diseñaron controladores PI y PID sintonizados con el mismo criterio anterios, es decir, usando 2 db 7

8 .2..8 Respuesta (a) Tiempo U (b) Tiempo Figura : Respuesta a lazo cerrado del sistema de control ante una perturbación unitaria a la salida de la planta empleando control en cascada. como altura máxima de la curva de ganancia. Los parametros de sintonización determinados fueron: (a) PI k c =.56, τ I =.9949 (b) PID k c =.6548, τ I =.9949, τ D =2.77. En la figura se muestran los resultados a lazo cerrado para ambos controladores. 2.2 Paralelo. Existen algunos tipos de sistemas dinámicos donde hay una relación entre la variable manipulada u y alguna otra variable intermedia y i. Sin embargo, a diferencia del esquema en serie, la variable y i no afecta directamente a la variable controlada y. La variable controlada se ve afectada directamente por la variable manipulada tal como se muestra en la figura 2. Por comodidad redibujamos el diagrama de bloques del esquema de control en cascada en paralelo como se muestra en la figura 3. Para diseñar el esquema de control en cascada para sistemas en paralelo, procedemos como anteriormente se ha hecho para el correspondiente sistema de control de tipo cascada en serie. Es decir, primero diseñamos el controlador esclavo y, a continuación se diseña el controlador maestro. Sin embargo, debe notarse que cuando se diseña el controlador maestro la función de transferencia de la planta a controlar G 3 estará dada por: G 3 = G cl EG (2.) 8

9 .8.6 PI PID Respuesta (a) Tiempo PI PID.5 U (b) Tiempo Figura : Respuesta a lazo cerrado del sistema de control ante una perturbación unitaria a la salida de la planta empleando control PI y PID. G cl K 2 E = (2.2) K 2 G 2 el diagrama de bloques de este sistema reducido o transformado se muestra en la figura 4. Para derivar la ecuación 2.2 debemos primero notar que G cl E representa la función de transferencia entre la acción de control u y el set-point de la variable interna yi r. Entonces del diagrama de bloques de la figura 3: de donde, u y r i u = K 2 (yi r y i ) (2.3) = K 2 (yi r G 2 u) (2.4) = K 2 yi r K 2 G 2 u (2.5) (2.6) = G cl E = K 2 K 2 G 2 Ejemplo 2 Emplear control en cascada para el control a lazo cerrado del sistema representado por las siguientes funciones de transferencia: G = e 5s s 2 2s 9

10 u G 2 y i G y Figura 2: Sistema en Paralelo: la variable manipulada afecta a variable y i yala variable a controlar y. r d - y y r y C i T u i G 2 K K 2 - G d y Figura 3: Sistema control en cascada en paralelo. G 2 = s 2 2s probar el esquema de control para una perturbación unitaria estática. Comparar el desempeño del sistema de control en cascada contra el que se obtendría si se usa control feedback puro del tipo PI y PID. Considerar que la acción de control está restringida al rango [ 5, 5]. En este caso la planta G 2 es la misma que la usada anteriormente en el ejemplo. Por lo tanto, el diseño del controlador esclavo es el mismo que para dicho ejemplo (es decir, el controlador esclavo es proporcional con ganancia igual a 5). Para el diseño del controlador maestro empleamos un controlador PI sintonizado usando las reglas de Ziegler-Nichols. En la figura 5 se muestra el control a lazo cerrado del sistema empleando el esquema de control en cascada. Los valores de los parámetros de sintonización fueron.459 y para la ganancia y tiempo integral, respectivamente. Para comparar el desempeño del esquema de control en cascada, en la figura 6 se muestra la respuesta a lazo cerrado del sistema en cuestión usando un controlador PI sintonizado usando las reglas de ZN. La ganancia y el tiempo integral del controlador fueron.686 y , respectivamente.

11 y r r C y K i cl G E G 3 u G d y - Figura 4: Sistema control en cascada en paralelo reducido. 3 Control en cascada de un reactor continuo tanque agitado El objetivo de esta sección es proporcionar un ejemplo de un sistema no-lineal donde la aplicación del esquema de control en cascada, tanto en serie como en paralelo, resulta factible. El ejemplo es un tanto largo, pero muestra las características básicas o fundamentales que se deben considerar cuando se desea aplicar este tipo de esquemas de control a sistemas que presentan conducta no-lineal. En particular, el ejemplo descrito a continuación, presenta regiones de operación con multiplicidades de salida. A continuación se presenta la descripción del problema en cuestión. Supongamos que la reacción A B se lleva a cabo en un reactor continuo tipo tanque agitado. El modelo matemático (con las suposiciones usuales de mezclado perfecto, volumen constante y parámetros y propiedades físicas también constantes) que representa la conducta dinámica del proceso estádadopor: dc a dt dt dt dt c dt = Q V (Co a C a ) k o e E/RT C a = Q V (T o T ) UA ρv C p (T T c ) = Q c (Tc o T c ) UA (T T c ) V c ρ c V c C pc ( ) H k o e E/RT C a ρc p el modelo matemático representando por el anterior conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias no-lineales puede reescribirse en forma adimensional empleando, para este propósito, las variables de escalamiento mostradas en la siguiente tabla. x = C a /Ca o =(T T o )γ/t o x 3 =(T c Tc o )γ/tc o q c = Q c /Q o γ = E/RT o κ( )=exp ( ) /γ β = ( H)Co a ρc pt o δ = UA/ρC p Q o φ =(V/Q o )k o e γ q = Q/Q o τ =(Q o /V )t δ = V/V c δ 2 = ρc p /ρ c C pc x o = Ca/C o afo x o 2f =(T f Tfo)γ/T fo x o 3f =(T cf Tfo)γ/T fo usando las anteriores variables adimensionales el modelo original queda expresado de la

12 .2.4 Respuesta (a) Tiempo U (b) Tiempo Figura 5: Respuesta a lazo cerrado empleando un esquema de control en cascada en paralelo. siguiente manera. dx dt d dt dx 3 dt = q(x f x ) φx κ( ) = q(f ) δ( x 3 )βφx κ( ) = δ [q c (x 3f x 3 )δδ 2 ( x 3 )] los valores de todos los parámetros se muestran en la siguiente tabla. φ. β 7 δ.5 γ 2 q δ δ 2 x f f x 3f - q c.4 La variable manipulada es el flujo de agua de enfriamiento q c, la perturbación al proceso ocurre en la temperatura del agua de enfriamiento x 3f y la temperatura del reactor es la variable controlada. 2

13 .8 Respuesta (a) Tiempo.2.4 U (b) Tiempo Figura 6: Respuesta a lazo cerrado empleando un esquema de control feedback de tipo PI.. Determinar el estado estacionario alrededor del cual opera el proceso. 2. Cuales son las funciones de transferencia que se requieren evaluar para la implementación lineal de los esquemas de control en serie y paralelo? Determinar dichas funciones de transferencia. 3. Implementar un controlador PI, sintonizados usando las reglas de ZN, para el control en cascada en serie de la temperatura del reactor; probar el esquema de control para cambio en la temperatura del agua de enfriamiento x 3f de - a -.2. Comparar el desempeño del esquema de control en cascada contra el que se obtendría usando un controlador PI feedback puro. En este caso, la implementación del control a lazo cerrado es lineal. 4. De manera semejante al caso anterior, implementar un controladore PI, sintonizados usando las reglas de ZN, para el control en cascada en paralelo de la temperatura del reactor; probar el esquema de control para cambio en la temperatura del agua de enfriamiento x 3f de - a -.2. Comparar el desempeño del esquema de control en cascada contra el que se obtendría usando un controladores PI feedback puro.. Bajo las condiciones de operación mostradas el estado estacionario del proceso 3

14 es único y está dadopor: x =.947, =4.43, x 3 = Para la implementación lineal del esquema de control en cascada en serie requerimos las siguientes funciones de transferencia: x 3 q c, mientras que para el correspondiente esquema en parelelo se requieren las siguientes funciones de transferencia: x 3 q c, x 3 q c en ambos casos, para probar cualquier esquema de control también requerimos las funciones de transferencia de la perturbaciones sobre los estados del sistema: x 3f, x 3 x 3f a continuación se muestran las funciones de transferencia. x 3 (s) = 3.7s2 86.9s 8.4 q c (s) (s) 5.8s = x 3 (s) 3.7s s 8.4 (s) 5.8s = q c (s) (s) 2s.27 = x 3f (s) x 3 (s) = 4s2.43s 5.7 x 3f (s) = s 3.86s s En la figura 7 se muestra el diagrama de bloques del esquema en serie del control cascada. Para el diseño del esquema en serie del control en cascada, primero se sintonizó el controlador del lazo esclavo empleando la función de transferencia x 3 (s)/q c (s). El controlador fue puramente proporcional con ganancia igual a -.5; esta parte del esquema de control se probó a lazo cerrado usando como perturbación la función de transferencia x 3 (s)/x 3f (s) cuya entrada fue modificada de - hasta -.2. A continuación se sintonizó ellazomaestro. Nótese que la planta usada para sintonizar el lazo maestro G 3 está dada por: G 3 = G cl EG 4

15 x 3f x 3f x 3 x 3f x 3f r K - - K 2 q c x 3 q c x 3 x 3 Figura 7: Diagrama de bloques del esquema en serie del control cascada. donde G cl K 2 G 2 E = K 2 G 2 G 2 = x 3(s) q c (s) G = (s) x 3 (s) además K 2 es la función de transferencia del controlador esclavo. Si el orden (grado del polinomio del denominador) de la planta G 3 es grande (en este caso el grado del polinomio del denominador fue 8), la determinación de la ganancia final K u y del periodo final de oscilación P u puede resultar complicado. Sin embargo, sin importar el orden de G 3,lamayoría de las veces será posible aproximar G 3 por una función de transferencia de primer orden con retardo G 4 con la cual determinamos K u y P u. Para determinar G 4 primero se realizó una simulación a lazo cerrado de G 3,después se registraron los datos de salida y el tiempo de simulación y finalmente su usó el programa ControlStation para realizar el ajuste. La planta resultante está dadapor: G 4 = s e.327s del diagrama de root-locus de G 4 obtenemos K u =4.994 y P u =.374; por lo tanto los parámetros de sintonización del controlador maestro son K c =6.838 y τ I =.38. Para sintonizar los controladores PI y PID, suponiendo control feedback puro, la función de transferencia (s) q c(s) se aproximó entéminos de una función de transferencia de primer orden con retardo G 5 dada por: G 5 = s e.2257s 5

16 los valores de la ganancia final K u y el periodo final de oscilación P u fueron y Los valores de los parámetros de sintonización fueron K c = y τ I = En la figura 8 se muestra el resultado del esquema en serie del control cascada a lazo cerrado; para propósitos de comparación también se incluye la respuesta a lazo cerrado usando un controlador feedback PI..2. Cascada PI Tiempo. q c..2.3 Cascada PI Tiempo Figura 8: Respuesta a lazo cerrado empleando un esquema en serie de control cascada. 6