Què estudiarem a aquesta unitat?

Transcripción

1 Estadística Matemàtiques 1r batxillerat Ins. Eugeni d Ors

2 Què estudiarem a aquesta unitat? Anàlisi del tipus i grau de relació entre dues variables en contextos socials Estadística descriptiva: aprofundiment en l'organització, tractament i interpretació crítica de dades, gràfics i paràmetres. Distribucions bidimensionals. Relació entre variables qualitatives: taules creuades. Interpretació de fenòmens socials i econòmics en què intervenen dues variables i estudi del grau de relació que tenen: núvols de punts, correlació i regressió, interpolació i extrapolació mitjançant la recta de regressió. Ús de les calculadores i fulls de càlcul o programes estadístics per als càlculs dels paràmetres i les representacions gràfiques.

3 Estadística descriptiva

4 NOCIONS GENERALS L estadística té com a finalitat el desenvolupament de tècniques per al coneixement numèric d un conjunt de dades empíriques. Aquetes dades poden ser recollides mitjançant experiments o enquestes. Per fer qualsevol estudi estadístic cal conèixer prèviament alguns conceptes bàsics d estadística per a l anàlisi de la informació: Població: és el conjunt de tots els elements (persones, coses, períodes temporals) el coneixement dels quals ens interessa i que seran subjectes de l estudi estadístic. La població ha d estar perfectament determinada a l inici de l estudi. Individu: és cada un dels elements que formen la població o mostra. Un individu pot tenir existència real o abstracta: un treballador o una treballadora, una peça fabricada, un mes, la província de Barcelona,... Mostra: és un subconjunt d individus extret de la població, l estudi dels quals serveix per inferir característiques de tota la població, és a dir, generalitzar les conclusions a tota la població. Si la població és molt gran és impossible fer una enquesta a tota la població, per tant, s ha d escollir adequadament la mostra. Tècniques de mostreig:són els criteris que es fan servir per seleccionar una mostra.

5 NOCIONS GENERALS Per fer qualsevol estudi estadístic cal conèixer prèviament alguns conceptes bàsics d estadística per a l anàlisi de la informació: Població Individu Mostra Tècniques de mostreig Caràcter: és l aspecte, el fenomen o la qualitat que desitgem estudiar en cadascun dels individus d una població. Cada caràcter pot prendre diferents valors (quan els s expressen numèricament) o modalitats (si no s expressen numèricament). Hi ha dos tipus de caràcters: qualitatius i quantitatius. Qualitatius: quan les diferents modalitats no es poden determinar numèricament: el sexe, l estat civil, el color dels ulls, la nacionalitat. A la vegada es classifiquen en nominals, quan no són ordenables, o ordinals, quan es poden ordenar. Quantitatius: si els valors de les característiques dels individus es poden mesurar numèricament. Aquesta característica rep el nom de variable estadística.

6 NOCIONS GENERALS Per fer qualsevol estudi estadístic cal conèixer prèviament alguns conceptes bàsics d estadística per a l anàlisi de la informació: Població Individu Mostra Tècniques de mostreig Caràcter: qualitatius i quantitatius. Una variable estadística recorre tots els valors d un cert caràcter. Les variables es classifiquen en variables discretes i variables continues: Variable discreta: pren valors numèrics aïllats. Variable continua: pot prendre tots els valor numèrics d un interval.

7 NOCIONS GENERALS Per fer qualsevol estudi estadístic cal conèixer prèviament alguns conceptes bàsics d estadística per a l anàlisi de la informació: Població Individu Mostra Tècniques de mostreig Caràcter: qualitatius i quantitatius. Variables: variables discretes i variables continues Estadística descriptiva: tracta de descriure i analitzar alguns caràcters d una dels individus d un grup donat, sense extraure n conclusions per generalitzar a un grup més gran. Estadística inferencial: treballa amb mostres i pretén, a partir de les mostres generalitzar o inferir característiques a tota la població que només han sigut verificades per a casos particulars. Per la qual cosa cal parar molt de compte en la tria de la mostra i en el grau de confiança que es té dels resultats.

8 NOCIONS GENERALS Quan fem un estudi estadístic, fem el recompte de les dades i les organitzem en taules, comencem a treballar conceptes com la freqüència absoluta i relativa, freqüència absoluta acumulada, freqüència relativa acumulada, percentatge i percentatge acumulat. Freqüència absoluta: nombre d individus que presenta cada valor de la variable. Freqüència relativa: quocient entre la freqüència absoluta i el nombre total d individus que hi ha a la mostra (). = Freqüència absoluta acumulada del valor : és la suma de les freqüències absolutes dels valors de la variable ordenats de més petit a més gran fins a la que ocupa la posició i. = Freqüència relativa acumulada del valor : és la suma de les freqüències relatives, un cop hem ordenat els valors, fins a la que ocupa la posició i. F = Percentatge: és el tant per cent d individus que representa cada valor de la variable. p = 100 Percentatge acumulatdel valor : és la suma dels percentatges, un cop hem ordenat els valors, fins al que ocupa la posició i. P = p

9 GRÀFICS ESTADÍSTICS Per tal que la información s entengui millor és útil resumir la informació en gràfics, ja que ofereixen a partir d una simple anàlisi visual una gran quantitat d informació sobre la variable estudiada. Diagrama de barres: variables discretes (la variable pot prendre només uns valors concrets). Barresd igual amplitud (estretes), que no es toquen, col locades sobre els valors de les variables. L alçàriade cada barra és igual a la freqüènciadel valor que representa. Histograma: variables continues (els valors de la variable s agrupen en intervals) Rectangles que ocupen tot el tram (interval), poden tenir distinta amplitud. La freqüènciano ve donada per l'alçària de les barres, sinó per l àrea.

10 TAULES DE FREQÜÈNCIES, PARÀMETRES ESTADÍSTICS,... Taulesdefreqüències:serveixenperordenariorganitzarlesdadesestadístiques Taulesambdadesaïllades Taulesambdadesagrupadesenintervals:quanelnombredevalorsqueprenlavariablesésmoltgran. Eslocalitzaelsvalorsextremsaibiestrobaladiferènciar=b-a Esdecideixelnombred intervalsenfunciódelesdadesqueesposseeixen,entre6i15intervals. Es pren un interval (r ) de longitud una mica més gran que el recorregut r i que sigui múltiple del nombre d intervals. Es formen els intervals de manera que l extrem inferior del primer sigui una mica més petit que a i l extrem superior de l últim sigui un amina superior a b. El punt mitjà de cada interval s anomena marca de classe, és el valor que representa a tot l interval enelcàlculd algunsparàmetres: =

11 Unicoosestadística: TAULES DE FREQÜÈNCIES, PARÀMETRES ESTADÍSTICS,... Dadesaïllades: Dadesenintervals:

12 TAULES DE FREQÜÈNCIES, PARÀMETRES ESTADÍSTICS,... Elsparàmetresestadísticsserveixenpersintetitzarlainformacióquedónaunataula. Dostipus: Centralització:indiquenalvoltantdequinvalor(centre)esdistribueixenlesdades. Mitjana = ( ) Mediana, : és el valor central de la distribució, un cop ordenat els valors de la variable en ordre creixent; la mediana divideix la distribució en dues parts iguals. Moda, :éselvalordelavariablequeésunafreqüènciaabsolutamésgran. Dispersió:indiquendecoms allunyendelcentreelsvalorsdedistribució. Variància:! = " = ( # ) $ Desviaciótípica:" =!&'(à*(& = $ Coeficientdevariació:+! =,

13 TAULES DE FREQÜÈNCIES, PARÀMETRES ESTADÍSTICS,... Paràmetresdeposicióperadadesaïllades: -. ( ) és un valor de la variable que supera el 25% de la població i, per tant, resta per sota de l altre 75%. :; < - = (>4?@A BCDEFGH)ésunvalordelavariablequesuperael50%delsindividus. - I (841J4E BCDEFGH) és un valor de la variable que supera el 75% dels individus i, per tant, resta per sota de l altre 25%. K;LFGH M < N;EO;LFGH N:sidividimlapoblacióen100partsiassenyalemelllocquehideixaasota,k,el valordelavariablecorresponentaaquestllocesdesignaperp Q. Per trobar el percentil N M en una taula de freqüències, s'obtenen les freqüències absolutes i s hi expressen en tat per cent. El percentil P Q és el valor per al qual la freqüència acumulada corresponent supera el k%. Enelcasquenocoincideixiambk%,esprencomaP Q elvalorintermedientreaquestielsegüent.

14 TAULES DE FREQÜÈNCIES, PARÀMETRES ESTADÍSTICS,... Paràmetresdeposicióperadadesagrupadesenintervals: Elsvalorsdelesfreqüènciesacumuladeshand assignar-sealsextremsuperiorsdelsintervals. Polígonsde freqüènciesacumulades:representaciódela freqüència acumulada en funciódelvalordels intervals.encadaintervallagràficacreixuniformementiaugmenta. Polígons de percentatge acumulats: representació del percentatge acumulat en funció del valor dels intervals.encadaintervallagràficacreixuniformementiaugmentar. Per trobar el percentil N M en un polígon de percentatges acumulats, es selecciona el percentatge corresponent, S, es localitza el punt corresponent a aquesta coordenada al polígon de percentatges acumulats i es determina la coordenada sobre l eix d'abscisses del punt. Pertrobarelpercentil N M numèricamentcalaplicarlainterpolaciólinealentreelsextremsdel interval.

15 Distribucions bidimensionals

16 NÚVOLS DE PUNTS. CORRELACIÓ Experimentbidimensionalobivariableésaquellenqueduuatermeobservantdoscaràctersdelsindividusde la mostra. Es mostren els valors dels dos caràcters en taules de contingència o taules de doble entrada. Al marge superiors escriuenelsvalorsd unadelesvariablesialmargeesquerreelsvalorsdel altra.alescasellesdela taula s indiquen les freqüències absolutes, relatives o els percentatges de les dues variables simultàniament. Núvolsdepuntsodiagramadedispersió:gràficquepermetil lustrarlesdadesdeduesvariables. Permetvisualitzarelsvalorsobtingutsenlapresadedadesd unadistribucióbidimensional. Es representen els valors de les dos variables sobre els eixos de coordenades cartesians, es situen sobre l'eix d abscisses una variable i sobre l'eix d ordenades l altra. El valor de cadascuna de les dos variables componen les coordenades d un punt.

17 NÚVOLS DE PUNTS. CORRELACIÓ La forma del diagrama de dispersió o núvol de punts en permet intuir si existeix o no relació entre les dues variables estudiades: relació directa, inversa i la intensitat de la relació. Alumne a b c d e f g h i j k l Matemàtiques Física Es percep una relació entre les dues variables: a millora nota en matemàtiques millor nota en física i a pitjor nota en matemàtiques pitjor nota en física, però nomes a grans trets.

18 NÚVOLS DE PUNTS. CORRELACIÓ La forma del diagrama de dispersió o núvol de punts en permet intuir si existeix o no relació entre les dues variables estudiades: relació directa, inversa i la intensitat de la relació. Alumne a b c d e f g h i j k l Matemàtiques Física Alumne a b c d e f g h i j k l Matemàtiques Filosofia Es percep una relació més dèbil entre matemàtiques i filosofia que entre matemàtiques i física

19 NÚVOLS DE PUNTS. CORRELACIÓ La tendència a variar conjuntament les dues variables en una distribució bidimensional es marca mitjançant la rectaderegressió.comméspròximssiguinelspuntsalarectamésfortaéslacorrelació. Si el pendent de la recta de regressió és positiu o negatiu, la correlació s anomena positiva o negativa, respectivament.

20 DISTRIBUCIÓ BIDIMENSIONAL. RECTES DE REGRESSIÓ Unicoosdistribucióbidimensional:

21 MESURA DE LA CORRELACIÓ Centredegravetatd unadistribucióbidimensional:centredegravetatdeladistribució:elpunt(,uv) Mitjanadelavariablex:WX = W G L Mitjanadelavariabley:YX = Y G L Covariància:" Z = ( # )(Z #ZV) = Z UV Correlacióentrelesduesvariablesd unadistribuciódimensional(r): ' =, \], \, ] ; " ( " Z sónlesdesviacionstípiquesdecadavariable Lacorrelacióésadimensional 'estàcomprèsentre-1i1 Silacorrelacióésforta: ' éspròxima1. Silacorrelacióésdèbil: ' éspròxima0.

22 RECTA DE REGRESSIÓ Recta que millor s ajusta al núvol de punts, és a dir, que fa mínim el quadrat de lesdistanciesentreelspuntsilarecta. Hihaduesrectesderegressió. La recta passa pel centre de gravetat d una distribució bidimensional: el punt(, UV) RectaderegressiódeYsobreX: Elpendentdelarectaés: ^Z =, \], \ $ (coeficientderegressiódeysobrex) U = UV+, \], \ $ ( ) RectaderegressiódeXsobreY: Elpendentdelarectaés: ^Z =, \], ] $ (coeficientderegressiódexsobrey) = +, ] $, \] (U UV)

23 Posicionsdelesduesrectesderegressió: RECTA DE REGRESSIÓ Angle entre les dues rectes molt gran (pròxim a 90º) Correlació és quasi nul la Angle que formen les dues rectes és petit Correlació forta Rectes són quasi coincidents E és pròxim a 1

24 Larectaderegressióperferestimacions: RECTA DE REGRESSIÓ Ỳ W a és el valor estimat de y corresponent a W = W a sobre la recta de regressió. Ẁ Y a és el valor estimat de x corresponent a Y = Y a sobre la recta de regressió. L aproximacióésmoltmillorcommésgransigui '. Les estimacions només s han de fer dins de l interval de valors utilitzats.

25 TAULA DE DOBLE ENTRADA Lestaulesdedoblaentradas utilitzenendistribucionsbidimensionalsquanelnombrededadesésgran. Encadacasellaesposalafreqüènciacorresponentalparelldevalorsquedefineixenaquellacasella,elnombre devegadesperlaquex=...iy=... Distribuciómarginaldex:sumartoteslesfreqüènciesdeU peracada icrearlatauladefreqüènciesde Distribuciómarginaldey:sumartoteslesfreqüènciesde peracadau icrearlatauladefreqüènciesde Centredegravetat(,UV) Mitjanadelavariablex:WX = W G b G b G Mitjanadelavariabley:YX = Y G b G b G Correlació: ' =, \], \, ] " = ; " Z = U UV Covariància:" Z = Z b G UV

26 Estadística Matemàtiques 1r batxillerat Ins. Eugeni d Ors