TEMA 5 Variables aleatòries: Generalitats
|
|
- Gerardo García Vargas
- hace 5 años
- Vistas:
Transcripción
1 TEMA 5 Variables aleatòries: Generalitats Dep. Estadística i Inv. Operativa Univ. de València
2 Definició de variable aleatòria Una variable aleatòria (v.a.) és una funció que a cada element de l espai mostral li fa correspondre un número real. X : ( ) Eemples Llancem tres daus i X = suma de les tres puntuacions. - Obtenim el resultat 25 aleshores X = 8. Mesurem l alçada H en metres d una persona i també la pesem P en kg definim Y = Índe de massa corporal = P/H 2. - Obtenim el resultat H =,85m i P = 78kg aleshores Y = 22,8 Seleccionem un número a l atzar de l al 0 definim X = número seleccionat - Ei el 4 aleshores X = 4. També H i P són v.a. X Totes les v.a. es representen per lletres llatines grans.
3 Tipus de variables aleatòries Les variables aleatòries poden ser discretes o contínues depenent de si X( ) és un conjunt discret o continu, respectivament. Eemples Llancem tres daus i X = suma de les tres puntuacions. X( )={3,4,5,...,8} és finit i per tant discret per tant X és discreta. Mesurem l alçada H en metres d una persona i també la pesem P en kg definim Y = Índe de massa corporal = P/H 2. X( ) = (0, ) és infinit continu per tant Y és contínua. Seleccionem un número a l atzar de l al 0 definim X = número seleccionat. X( ) = {,2,...,0} és discret per tant X és discreta.
4 Hem definit una v.a. com una funció Distribucions de probabilitat X : X ( ) és l espai mostral de cert eperiment aleatori que té definida una distribució de probabilitat digam. Aquesta distribució de probabilitat induei de forma natural una distribució de probabilitat de X. Eemple 5. Llancem tres daus i siga X = suma de les tres puntuacions. = {, 2, 3,...,666} = 6 3 = resultats equiprobables (distribució de probabilitat original). X pot prendre els valors 3, 4, 5,...,8. La distribució de probabilitat de X és la que permet determinar la probabilitat de cadascun dels valors possibles de X.
5 Distribucions de probabilitat (cont.) X= P(X=) 3 / / / / / / / / / / / / / / / /
6 Distribucions de probabilitat (cont.) La distribució de probabilitat de X = suma de les tres puntuacions, seria: P(X=) P(X=3)= P(X=8) = / P(X=4)= P(X=7) = 3/ P(X=5)= P(X=6) = 6/ P(X=6)= P(X=5) = 0/ P(X=7)= P(X=4) = 5/ P(X=8)= P(X=3) = 2/ P(X=9)= P(X=2) = 25/ P(X=0)= P(X=) = 27/ X LA SUMA DE TOTES HA DE VALDRE. Què es més probable traure un 7 ó traure un 5? Clarament traure un 7 és més probable [p(7) = 5/)]que traure un 5 [p(5)=6/]. Quina és la probabilitat de traure un número par? P( par ) = 0,5 (per simetria de les probabilitats entre pars i senars) Quina és la probabilitat de traure un número primer? P( primer ) = / + 6/ + 5/ + 27/ + 2/ + 3/ = 73/ = 0,338 Quina és la probabilitat de traure un 7 ó un? 42/ = 0,94.
7 La funció de probabilitat La funció de probabilitat és una funció que ens permet determinar la probabilitat de qualsevol valor possible d una v.a. discreta. En l eemple anterior p(3) p(8) p(4) p(7) 3 p(5) p(6) 6 p(6) p(5) 0 p(7) p(4) 5 p(8) p(3) 2 p(9) p(2) 25 p(0) p() 27 Per definició la funció de probabilitat d una v.a. discreta X és p() = P(X=) per a qualsevol valor possible de X. Per als valors impossibles de X, p() val zero. Eercici Considera l eperiment de llançar una moneda tres vegades. Si X = nombre de cares obtingudes a. Determina la seua funció de probabilitat i representa-la. b. Comprova que la suma de tots els valors de la funció de probabilitat val. c. Calcula la probabilitat de traure almenys una cara? I la de traure eactament una cara? d. Calcula la probabilitat de traure més d una cara.
8 La funció de densitat de probabilitat Quan la variable aleatòria és continua no és possible definir probabilitats punt a punt, com feiem amb les v.a. discretes. Si una v.a. X: R és contínua, el rang de possibles valors X( ) conté a un interval dels nombres reals, el qual té una quantitat infinita no numerable de valors..temps que funcionarà un component electrònic. X( ) = (0, ) 2. Distància des d un punt aleatori d un cercle al seu centre. X( ) = [0,r],on r > 0 és el radi del cercle 3.Temps que ha d esperar un client en la cúa d un hipermercat fins que el servisquen. X( ) = [0,L] on L > 0 és un límit superior. 4. Pes, alçada, pressió sistòlica, etc..d una persona seleccionada a l atzar d una població. Necessitem una ferramenta capaç de definir una distribució de probabilitat associada a una v.a. contínua X. Eia ferramenta rep el nom de funció de densitat de probabilitat (abreviadament funció de densitat).
9 La funció de densitat Siga una v.a. contínua X. Una funció de densitat de X és una funció f : R R f ( ) i) f ( ) 0 R complint ii) f ( ) d iii ) P( a X b) b f ( ) d [ a, b]interval en R a
10 Propietat Si X és una v.a. contínua, aleshores P(X=)=0 per a qualsevol punt real. Propietat 2 La funció de densitat (propietats) P( X ) f ( t) dt P( a X b) P( a X b) P( a X b) P( a X b) Ja que totes aquestes probabilitats es diferencien només en un punt. Dos esdeveniments que es diferencien només en un conjunt finit o infinit numerable de punts tindran idèntica probabilitat. 0 Àrea tancada per un segment és zero.
11 b) c) f ( ) f ( ) k( ke Eemples Eemple 5.2: Calcular el valor de la constant k per a que les següents funcions siguen funcions de densitat (cal saber integrar una mica per a respondre). 2 a) f ( ) k si 0 4 ( 0 en altre cas) 2) si si 0 0 ( 2 ( 0 en altre 0 en altre cas) a) L únic valor de k és 3/64, per a que l àrea tancada siga. b) L únic valor de k és /6, per a que l àrea tancada siga. c) L únic valor de k és, per a que l àrea tancada siga. A més a més totes aquestes funcions són no-negatives. Eemple 5.3: Quin valor constant k pot convertir a la funció f ( ) k si en una funció de densitat? 3 0 en altre cas) cas) Com 3 és positiva quan > 0 i negativa quan < 0 no pot haver una constant que puga transformar-la en una funció no negativa. (
12 Càlculs amb funcions de densitat Aií com amb les funcions de probabilitat només havíem de sumar per a calcular probabilitats amb les funcions de densitat hem de saber integrar per a calcular probabilitats, en realitat el que hem de calcular són àrees sota la corba de densitat. Eemple 5.4: Si X és una v.a. amb funció de densitat f() = 3/64 2 si 0 < < 4, f() = 0 en altre cas, quina és la probabilitat de [X 2]? P( X 2) 0 0, Eemple 5.5: Si X és una v.a. amb funció de densitat f() = si 0 < <, f() = 0 en altre cas, quina és la probabilitat de [X>0,25]? P( X 0, 25) 0, 25 0, 75 0,25 0,25 f() Àrea 0,75 0 0,25
13 Paràmetres d una v.a. Qualsevol v.a. té característiques interessants que, de vegades, poden determinar la seua distribució de probabilitat, eies característiques reben el nom de paràmetres. Els paràmetres d una v.a. es representen per lletres gregues (igual que en les poblacions). Els més interessants són la mitjana µ i la variància σ 2 i la interpretació és idèntica, la mitjana és el centre de gravetat de la funció de probabilitat o de densitat (depenent del cas) i la variància / desviació típica és una mesura de la dispersió de la distribució respecte de la mitjana. Per a una variable discreta X p( ) p( ) p( ) Per a una variable contínua X f ( ) ( ) f ( ) f ( ) L analogia és total, només hem de canviar sumatori per integral i funció de probabilitat p() per funció de densitat f().
14 Càlculs: eemples Eemple 5.6: Calcular la mitjana, variància i desviació típica de la variable X = suma de tres llançaments d un dau. Ja sabem que la funció de probabilitat p() és: p(3) p(8) p(4) p(7) p(5) p(6) p(6) p(5) p(7) p(4) p(8) p(3) p(9) p(2) p(0) p() p( ) , p( ) p( ) , 25 8, , 75 2,96 ERA D ESPERAR QUE LA MITJANA VALGA 0,5. PER QUÈ?
15 Càlculs: eemples (cont.) Eemple 5.7: Calcular la mitjana, variància i desviació típica de la variable X que té la funció de densitat f() = 3/64 2 si 0 < < 4, f() = 0 en altre cas. 0,75 f() X , ,6 0,77 En aquest cas no és tan obvi que la mitjana valga 3.
16 La funció de distribució Una manera d unificar la forma de descriure una distribució de probabilitat és mitjançant una nova funció: La funció de distribució. La funció de distribució d una v.a. X (siga discreta o contínua) es definei com F() = P(X ) per a qualsevol valor. Es tracta d una funció monòtona no decreient ja que com més augmenta el valor, més val F(). Eemple 5.8: Considerem l eperiment de llançar tres vegades una moneda i siga X = nombre de cares. És fàcil comprovar que la funció de probabilitat de X és p(0) = P(X = 0) = /8; p() = P(X = ) = 3/8; p(2) = P(X = 2) = 3/8 i p(3) = P(X = 3) = /8. Per definició, la funció de distribució F() acumula tota la probabilitat des de - fins a (incloent-lo). Per tant F() = 0 si < 0 (no acumula res), F() = /8 si 0 < (només acumula p(0)), F() = 4/8 si < 2 (acumula p(0)+p()), F() = 7/8 si 2 < 3 (acumula p(0)+p()+p(2)) i F() = si 3 (ja que acumula tota la probabilitat). Si representem gràficament a F() observem que és una funció en forma d escala.
17 Eemple 5.8 (cont): La funció de distribució (cont) F() Funció de distribució del nombre de cares al llançar 3 vegades una moneda 0,875 Notem que F(2) = P(X 2) = 0,875 però que F(,99) = P(X,99) = 0,50 0,50 0, X LA FUNCIÓ DE DISTRIBUCIÓ TAMBÉ S ANOMENA FUNCIÓ ACUMULATIVA DE PROBABILITAT.
18 La funció de distribució (cont.) Si la variable aleatòria X és contínua, la funció de distribució F() també ho és. Com ja s ha dit la definició no canvia és a dir F() = P(X ) per a qualsevol valor. Amb l ajuda de F() és senzill calcular probabilitats d intervals: P(a < X b) = P(X b) P(X a) = F(b) F(a). P(X > a) = P(X a) = F(a). P(X < a) = P(X a) P(X = a) = F(a) 0 = F(a). Recordem que si la variable és contínua la probabilitat en un punt és zero. Eemple 5.9: Considerem la funció de distribució F() = 0 si 0, F() = e - Si > 0. Calcular les probabilitats següents: P(X<), P( X 2), P(X > -), P(X > 5). Solució: P(X < ) = - e - = 0,632 P( X 2) = F(2) F() = e - - e -2 = 0,233 P(X > -) = - F(-) = - 0 = P(X > 5) = - F(5) = - ( - e -5 ) = e -5 = 0,007
Una funció és una relació entre dues variables, de tal manera que al variar el valor d'una d'elles va variant el valor de l'altra.
UNITAT 7: FUNCIONS. Definició Una funció és una relació entre dues variables, de tal manera que al variar el valor d'una d'elles va variant el valor de l'altra. Eemple: Completa: f() g() - h() - - (-)
Más detallesTEMA 4: Equacions exponencials i logarítmiques
TEMA 4: Equacions exponencials i logarítmiques 4.1. EXPONENCIALS Definim exponencial de base a i exponent n:. Propietats de les exponencials: (1). (2) (3) (4) 1 (5) 4.2. EQUACIONS EXPONENCIALS Anomenarem
Más detalles3. Per quantificar la incertesa, és habitual establir un marge d'error del... a).0,025. b).0,050%. c).0,050. d).0,025%.
Autoavaluació: Decisió Estadística i Errors Associats a una Prova de Decisió 1 1. Volem decidir quin és el nivell d'ansietat estadística dels estudiants de psicologia a la població en base als nivells
Más detallesVariables aleatòries
Variables aleatòries 2009-10 Variables aleatòries Definicions bàsiques i propietats Funció (de massa) de probabilitat PF (o FP) Variables aleatòries discretes Funció de distribució (acumulativa) DF (o
Más detallesVariables aleatòries
Variables aleatòries 2010-11 Variables aleatòries Definicions bàsiques i propietats Variables aleatòries discretes, funció (de massa) de probabilitat, exemples, funció de distribució Variables aleatòries
Más detallesProves d accés a la universitat per a més grans de 25 anys Abril 2017
Pàgina 1 de Proves d accés a la universitat per a més grans de anys Abril 017 èrie 1 Part 1 Resoleu QUATRE de les cinc qüestions proposades. [4 punts: 1 punt per cada qüestió] Qüestió 1 Completeu la taula
Más detallesUPF, Curs Trimestre 1 Probabilitat i Estadística, Groups 1 a 4. Examen Final
UPF, Curs 2012-13 Trimestre 1 Probabilitat i Estadística, Groups 1 a 4 Examen Final Professors: Albert Satorra i Christian Brownlees Nom i Cognom..., Grup... NIA... Nom i Cognoms... 1 Test A Llegiu aquestes
Más detallesLlista 1. Probabilitat. (Amb solució)
Llista 1 Probabilitat (Amb solució 1 Descriu l espai mostral (Ω associat als següents experiments aleatoris: a Tirem dos daus distingibles i observem els números de les cares superiors b Tirem dos daus
Más detallesLA FUNCIÓ EXPONENCIAL I LA FUNCIÓ LOGARÍTMICA. FUNCIONS DEFINIDES A TROSSOS. Funció exponencial
LA FUNCIÓ EXPONENCIAL I LA FUNCIÓ LOGARÍTMICA. FUNCIONS DEFINIDES A TROSSOS. Funció eponencial La funció eponencial és de la forma f () = a, on a > 0, a 1 El valor a s anomena base de la funció eponencial.
Más detallesDERIVADES. TÈCNIQUES DE DERIVACIÓ
UNITAT 7 DERIVADES. TÈCNIQUES DE DERIVACIÓ Pàgina 56 Tangents a una corba y f (x) 5 5 9 4 Troba, mirant la gràfica i les rectes traçades, f'(), f'(9) i f'(4). f'() 0; f'(9) ; f'(4) 4 Digues uns altres
Más detallesTEMA 7: Estadística 7.1 CONCEPTES BÀSICS
TEMA 7: Estadística 7.1 CONCEPTES BÀSICS La Estadística tracta del record, ordenació y classificació de les dades obtingudes per les observacions, per poder fer comparacions i treure n conclusions Un estudi
Más detallesSOLUCIONARI Unitat 1. Exercicis. Comencem. 1. La gràfica velocitat-temps corresponent a dos mòbils és la que pots veure a la dreta (fig. 1.3).
SOLUCIONARI Unitat Comencem La funció f() és decreient en l interval (, ). Fes un raonament com el que em fet anteriorment per determinar on decrei amb més rapidesa, si ens movem prop de o si o fem prop
Más detallesUPF, Curs Trimestre 1 Probabilitat i Estadística, Examen Primer Trimestre, Probabilitat
UPF, Curs 2015-16 Trimestre 1 Probabilitat i Estadística, Examen Primer Trimestre, Probabilitat Professors: Albert Satorra, Christian Brownlees, Mireia Besalú Nom i Cognoms: DNI: Grup: Signeu aquí 1. Ompliu
Más detallesGuia docent. 1. Estimació puntual de paràmetres a. Característiques desitjables dels estimadors 2. Estimació per intervals dels paràmetres
Guia docent 1. Estimació puntual de paràmetres a. Característiques desitjables dels estimadors 2. Estimació per intervals dels paràmetres 1 1. Estimació puntual de paràmetres a. Característiques desitjables
Más detalles11 Límits de funcions. Continuïtat i branques infinites
Límits de funcions. Continuïtat i branques infinites Pàgina 7 A través d'una lupa a) A = + d " A = " + d A = 0 d "+ Soroll i silenci I = + d " 0 I = 0 d "+ Pàgina 75 a) Cert Cert Cert d) Cert e) Fals f)
Más detallesLliçons 15: Suma de moltes variables independents: Llei dels Grans Nombres, Teorema del Limit Central; Aproximem distribucions
Lliçons 15: Suma de moltes variables independents: Llei dels Grans Nombres, Teorema del Limit Central; Aproximem distribucions Albert Satorra Probabilitat, UPF Albert Satorra ( Probabilitat, UPF ) AD/E-GRAU
Más detallesFUNCIONS REALS. MATEMÀTIQUES-1
FUNCIONS REALS. 1. El concepte de funció. 2. Domini i recorregut d una funció. 3. Característiques generals d una funció. 4. Funcions definides a intervals. 5. Operacions amb funcions. 6. Les successions
Más detallesINTERACCIÓ GRAVITATÒRIA
INTERACCIÓ GRAVITATÒRIA REPÀS FÓRMULES DE MOVIMENT MRU MRUA CAIGUDA LLIURE MRUA on MCU LLEIS DE KEPLER 1ª. Tots els planetes es mouen al voltant del sol seguint òrbites el líptiques. El Sol està a un dels
Más detalles3. Calcula la probabilitat d obtenir un 1 i una X entre els dos llançaments Tenint en compte el diagrama anterior
PROBLEMES DE PROBABILITAT. Escrivim en les cares d una dau tres uns, dues X i un 2. Llancem un dau, Quina és la probabilitat de treure un? I una X? I Un 2? Solució: Espai mostral E={,x,2} No són esdeveniments
Más detallesTEMA 5 : Resolució de sistemes d equacions
TEMA 5 : Resolució de sistemes d equacions 5.1. EQUACIÓ LINEAL AMB n INCÒGNITES Una equació lineal de n incògnites es qualsevol expressió de la forma: a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, on a i b son
Más detallesUnitat 2. POLINOMIS, EQUACIONS I INEQUACIONS
Unitat 2. POLINOMIS, EQUACIONS I INEQUACIONS 2.1. Divisió de polinomis. Podem fer la divisió entre dos monomis, sempre que m > n. Si hem de fer una divisió de dos polinomis, anirem calculant les divisions
Más detallesTEMA 4 : Matrius i Determinants
TEMA 4 : Matrius i Determinants MATRIUS 4.1. NOMENCLATURA. DEFINICIÓ Una matriu és un conjunt de mxn elements distribuïts en m files i n columnes, A= Aquesta és una matriu de m files per n columnes. És
Más detallesUPF, Curs Trimestre 1 Probabilitat i Estadística, Examen Primer Trimestre, Probabilitat
UPF, Curs 2015-16 Trimestre 1 Probabilitat i Estadística, Examen Primer Trimestre, Probabilitat Professors: Albert Satorra, Christian Brownlees, Mireia Besalú Nom i Cognoms: DNI: Grup: Signeu aquí 1. Ompliu
Más detallesQUÍMICA 2 BATXILLERAT. Unitat 1 CLASSIFICACIÓ DE LA MATÈRIA LES SUBSTÀNCIES PURES
QUÍMICA 2 BATXILLERAT Unitat 1 CLASSIFICACIÓ DE LA MATÈRIA LES SUBSTÀNCIES PURES Les substàncies pures dins la classificació de la matèria Les SUBSTÀNCIES PURES (també anomenades espècies químiques) només
Más detalles16 febrer 2016 Integrals exercicis. 3 Integrals
I. E. S. JÚLIA MINGUELL Matemàtiques 2n BAT. 16 febrer 2016 Integrals exercicis 3 Integrals 28. Troba una funció primitiva de les següents funcions: () = 1/ () = 3 h() = 2 () = 4 () = cos () = sin () =
Más detallesProporcionalitat i percentatges
Proporcionalitat i percentatges Proporcions... 2 Propietats de les proporcions... 2 Càlul del quart proporcional... 3 Proporcionalitat directa... 3 Proporcionalitat inversa... 5 El tant per cent... 6 Coneixement
Más detallesTEMA 4 : Programació lineal
TEMA 4 : Programació lineal 4.1. SISTEMES D INEQUACIONS DE PRIMER GRAU AMB DUES INCÒGNITA La solució d aquest sistema és l intersecció de les regions que correspon a la solució de cadascuna de les inequacions
Más detallesMATEMÀTIQUES Versió impresa ESTADÍSTICA
MATEMÀTIQUES Versió impresa ESTADÍSTICA 1. RepÀs d estadística unidimensional 1.1. Freqüències absoluta i relativa Si ho recordeu, una de les primeres magnituds que es calcula en un estudi estadístic és
Más detalles1. Continuïtat i ĺımit de funcions de vàries variables
Càlcul 2 1. Continuïtat i ĺımit de funcions de vàries variables Dept. de Matemàtica Aplicada I www.ma1.upc.edu Universitat Politècnica de Catalunya 12 Febrer 2012 Copyleft c 2012 Reproducció permesa sota
Más detallesEquacions i sistemes de segon grau
Equacions i sistemes de segon grau 3 Equacions de segon grau. Resolució. a) L àrea del pati d una escola és quadrada i fa 0,5 m. Per calcular el perímetre del pati seguei els passos següents: Escriu l
Más detallesInstitut d Educació Secundària Funcions IV i estadística d'una variable
Generalitat de Catalunya Departament d Educació Institut d Educació Secundària Jaume Balmes Departament de Matemàtiques 1MS Funcions IV i estadística d'una variable Nom: Grup: = a) Trobeu el domini i els
Más detallesPropietats de les desigualtats.
Inequacions Desigualtats Direm que a < b a és menor que b si b a és un nombre positiu. Gràficament, a queda a l esquerra de b. Direm que a > b a major que b si a b és un nombre positiu. Gràficament, a
Más detallesGeneralitat de Catalunya Departament d Ensenyament Institut Obert de Catalunya. Avaluació contínua. Cognoms. Centre: Trimestre: Tardor 11
Generalitat de Catalunya Departament d Ensenyament Institut Obert de Catalunya valuació contínua Qualificació prova TOTL Cognoms una lletra majúscula a cada casella: Nom: Centre: Trimestre: Tardor 11 M4
Más detalles2 desembre 2015 Límits i número exercicis. 2.1 Límits i número
I. E. S. JÚLIA MINGUELL Matemàtiques 2n BAT. 2 desembre 205 Límits i número exercicis 2. Límits i número 4. Repàs de logaritmes i exponencials: troba totes les solucions de cadascuna de les següents equacions:
Más detallesVECTORS I RECTES AL PLA. Exercici 1 Tenint en compte quin és l'origen i quin és l'extrem, anomena els següents vectors: D
VECTORS I RECTES AL PLA Un vector és un segment orientat que és determinat per dos punts, A i B, i l'ordre d'aquests. El primer dels punts s'anomena origen i el segons es denomina extrem, i s'escriu AB.
Más detalles1. Què tenen en comú aquestes dues rectes? Com són entre elles? 2. En què es diferencien aquestes dues rectes?
En la nostra vida diària trobem moltes situacions de relació entre dues variable que es poden interpretar mitjançant una funció de primer grau. La seva expressió algebraica és del tipus f(x)=mx+n. També
Más detallesFUNCIONS EXPONENCIALS I LOGARÍTMIQUES. MATEMÀTIQUES-1
FUNCIONS EXPONENCIALS I LOGARÍTMIQUES. 1. Funcions exponencials. 2. Equacions exponencials. 3. Definició de logaritme. Propietats. 4. Funcions logarítmiques. 5. Equacions logarítmiques. 1. Funcions exponencials.
Más detallesLÍMITS DE FUNCIONS. CONTINUÏTAT I BRANQUES INFINITES
LÍMITS DE FUNCIONS. CONTINUÏTAT I BRANQUES INFINITES Pàgina 7 REFLEIONA I RESOL Aproimacions successives Comprova que: f () = 6,5; f (,9) = 6,95; f (,99) = 6,995 Calcula f (,999); f (,9999); f (,99999);
Más detallesSOLUCIONS DE LES ACTIVITATS D APRENENTATGE
SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS D APRENENTATGE 3 Activitat Completa els productes següents. a) 0 = 5... e) 0 = 5... b)... = 5 3 f) 25 =... 5 c) 5 =... g) 55 = 5... d) 30 = 5... h) 40 =...... a) 0 = 5 0 e)
Más detallesTema 4. El model de regressió múltiple: Inferència. Joan Llull. Materials:
Tema 4. El model de regressió múltiple: Inferència Joan Llull Materials: http://pareto.uab.cat/jllull Tutories: dijous de 11:00 a 13:00h (concertar cita per email) Despatx B3-1132 joan.llull [at] movebarcelona
Más detallesExamen Final 17 de gener de 2013
MATEMÀTIQUES FIB-UPC Examen Final 7 de gener de 03 a) Representeu gràficament la corba definida per l equació y = x 5x. b) Determineu si el conjunt C = { x R x 5x 6 } és fitat superiorment inferiorment)
Más detallesCARACTERÍSTIQUES DE FUNCIONS ELEMENTALS
CARACTERÍSTIQUES DE FUNCIONS ELEMENTALS 1. FUNCIÓ CONSTANT (document d'ajuda: 1_funcio_constant.html ) Expressió algèbrica: f(x) = n. Gràfica: 2. FUNCIÓ LINEAL (document d'ajuda: 2_funcio_lineal.html )
Más detalles10 Àlgebra vectorial. on 3, -2 i 4 són les projeccions en els eixos x, y, y z respectivament.
10 Àlgebra vectorial ÀLGEBR VECTORIL Índe P.1. P.. P.3. P.4. P.5. P.6. Vectors Suma i resta vectorial Producte d un escalar per un vector Vector unitari Producte escalar Producte vectorial P.1. Vectors
Más detallesSI ÉS CONVEXA HA DE SER SIMPLE FME, UPC, 3/5/2017. Andreu Mas-Colell, UPF i Barcelona GSE
SI ÉS CONVEXA HA DE SER SIMPLE FME, UPC, 3/5/2017 Andreu Mas-Colell, UPF i Barcelona GSE Basada en recerca conjunta amb el Professor Sergiu Hart de la Universitat Hebrea de Jerusalem (vegis: Hart i Mas-Colell:
Más detallesPolinomis. Descomposició factorial i signe
Polinomis. Descomposició factorial i signe Ramon Nolla Departament de Matemàtiques IES Pons d Icart Introducció Recordem que anomenàvem polinomis de coeficients reals amb la indeterminada a les epressions
Más detallesUNITAT TAULES DINÀMIQUES
UNITAT TAULES DINÀMIQUES 3 Modificar propietats dels camps Un cop hem creat una taula dinàmica, Ms Excel ofereix la possibilitat de modificar les propietats dels camps: canviar-ne el nom, l orientació,
Más detalles1. SISTEMA D EQUACIONS LINEALS
1. SISTEMA D EQUACIONS LINEALS 1.1 Equacions lineals Una equació lineal està composta de coeficients (nombres reals) acompanyats d incògnites (x, y, z,t..o ) s igualen a un terme independent, i les solucions
Más detallesUnitat 2 EQUACIONS DE PRIMER GRAU. Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 5. TRANSFORMACIONS D EXPRESSIONS ALGEBRAIQUES UNITAT 2 EQUACIONS DE PRIMER GRAU
Unitat 2 EQUACIONS DE PRIMER GRAU 37 38 Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 5. TRANSFORMACIONS D EXPRESSIONS ALGEBRAIQUES UNITAT 2 QUÈ TREBALLARÀS? què treballaràs? En acabar la unitat has de ser capaç
Más detallesComparació de preus de l energia elèctrica amb Europa. Desembre 2013
Comparació de preus de l energia elèctrica amb Europa Desembre 2013 SÍNTESI En aquest document es recullen els preus de l energia elèctrica que paguen les empreses a i als països de la UE-15 i la seva
Más detalles1.- Sabem que el vector (2, 1, 1) és una solució del sistema ax + by + cz = a + c bx y + bz = a b c. . cx by +2z = b
Oficina d Organització de Proves d Accés a la Universitat Pàgina de 5 PAU 0 - Sabem que el vector (,, ) és una solució del sistema ax + by + cz = a + c bx y + bz = a b c cx by +z = b Calculeu el valor
Más detalles7. Calcula P (x ) Q (x ): P (x ) = 5x 4 + x 3 2x 2 5 Q (x ) = 7x 4 5x 2 + 3x + 2 P (x ) Q (x ) = 2x 4 + x 3 + 3x 2 3x 7
50 SOLUCIONARI 5. Operacions amb polinomis 1. POLINOMIS. SUMA I RESTA PENSA I CALCULA Donat el cub de la figura, calcula en funció de : a) L àrea. b) El volum. a) A ( ) = 6 2 b) V ( ) = 3 CARNET CALCULISTA
Más detallesProves d accés a la Universitat per a més grans de 25 anys Convocatòria 2013
Pàgina 1 de 5 Sèrie 3 Opció A A1.- Digueu de quin tipus és la progressió numèrica següent i calculeu la suma dels seus termes La progressió és geomètrica de raó 2 ja que cada terme s obté multiplicant
Más detallesDIAGRAMA DE FASES D UNA SUBSTANCIA PURA
DIAGRAMA DE FASES D UNA SUBSTANCIA PURA Que es una fase? De forma simple, una fase es pot considerar una manera d anomenar els estats: sòlid, líquid i gas. Per exemple, gel flotant a l aigua, fase sòlida
Más detallesPROBLEMA 1 "Especifiqueu les probabilitats que heu de calcular i justifiqueu formalment els passos."
Nom: EXAMEN FINAL PROBABILITAT I ESTADÍSTICA GENER 2014 PROBLEMA 1 "Especifiqueu les probabilitats que heu de calcular i justifiqueu formalment els passos." Tenim una moneda trucada de manera que la probabilitat
Más detallesEVOLUCIÓ DE LA VELOCITAT I LA FORÇA, EN FUNCIÓ DE L EDAT, L ESPORT I EL SEXE
EVOLUCIÓ DE LA VELOCITAT I LA FORÇA, EN FUNCIÓ DE L EDAT, L ESPORT I EL SEXE Autores: Andrea Lopez i Laia Uyà Curs: 1r ESO 1. INTRODUCCIÓ... 3 2. MARC TEÒRIC... 4 LA FORÇA... 4 LA VELOCITAT... 4 3. HIPÒTESIS...
Más detallesBloc 3. Full de Càlcul
Bloc 3 Full de Càlcul Exercici 1 Crea un document de full de càlcul com el de la figura següent. Quan hagis escrit totes les dades cal que facis que el programa calculi mitjançant fórmules el resultat
Más detallesTEMA 7: Estadística ACTIVITATS
TEMA 7: Estadística ACTIVITATS 1. Completa la taula amb la població i les característiques dels següents estudis estadístics: A. Pes dels alumnes de 1r d ESO del país. B. Moto preferida pels menors de
Más detallesESTADÍSTICA. L'Estadística és la ciència matemàtica relacionada amb la recopilació, anàlisi, interpretació i representació de dades.
Conceptes L'Estadística és la ciència matemàtica relacionada amb la recopilació, anàlisi, interpretació i representació de dades. Població: conjunt d'elements dels quals volem estudiar alguna característica
Más detallesLa recta. La paràbola
LA RECTA, LA PARÀBOLA I LA HIPÈRBOLA La recta Una recta és una funció de la forma y = m + n. m és el pendent de la recta i n és l ordenada a l origen. L ordenada a l origen ens indica el punt de tall amb
Más detallesTema 3. La restricció pressupostària. Montse Vilalta Microeconomia II Universitat de Barcelona
Tema 3. La restricció pressupostària Montse Vilalta Microeconomia II Universitat de Barcelona La restricció pressupostària Per desgràcia, no totes les cistelles de consum són assequibles al consumidor.
Más detallesLa tecnociència de l'ictíneo
Què pesa més? Un quilogram de palla o un quilogram de plom? En alguna ocasió t'hauran plantejat aquesta pregunta, que no deixa de ser un parany, en què es comparen dos materials de densitat diferent, però
Más detallesUNITAT 3: SISTEMES D EQUACIONS
UNITAT 3: SISTEMES D EQUACIONS 1. EQUACIONS DE PRIMER GRAU AMB DUES INCÒGNITES L equació x + y = 3 és una equació de primer grau amb dues incògnites : x i y. Per calcular les solucions escollim un valor
Más detalles( 2 3, utilitzeu la matriu inversa B 1 ( 1 4 ( 2 1. Matrius i determinants Sèrie 3 - Qüestió 4. Donada la matriu B =
1998 - Sèrie 3 - Qüestió 4 Donada la matriu B = ( 2 3, utilitzeu la matriu inversa B 1 1 1) B X B = ( 1 4 3 2). per trobar una matriu X tal que 2004 - Sèrie 1 - Qüestió 3 Considereu les matrius Trobeu
Más detalles2.5. La mesura de les forces. El dinamòmetre
D11 2.5. La mesura de les forces. El dinamòmetre Per mesurar forces utilitzarem el dinamòmetre (NO la balança!) Els dinamòmetres contenen al seu interior una molla que és elàstica, a l aplicar una força
Más detallesValor esperat, variància
Valor esperat, variància 2009-10 Esperança de v.a. discretes i contínues Definició Valor esperat Si X és una v.a. discreta, amb f(m)p P[x], l esperança o valor esperat d X és Si X és una v.a. contínua,
Más detalles.../... Atenció l'examen continua a l'altra pàgina
Generalitat de Catalunya Departament d Ensenyament Institut Jaume Balmes Departament de Matemàtiques 1r BATX MA 2n quadrimestral (Global del 2n BLOC) Nom i Cognoms: Grup: Data: Nota molt important: S han
Más detallesSèrie 5. Resolució: 1. Siguin i les rectes de d equacions. a) Estudieu el paral lelisme i la perpendicularitat entre les rectes i.
Oficina d Accés a la Universitat Pàgina 1 de 11 Sèrie 5 1. Siguin i les rectes de d equacions : 55 3 2 : 3 2 1 2 3 1 a) Estudieu el paral lelisme i la perpendicularitat entre les rectes i. b) Trobeu l
Más detallesGràficament: una funció és contínua en un punt si en aquest punt el seu gràfica no es trenca
Funcions contínues Funcions contínues Continuïtat d una funció Si x 0 és un nombre, la funció f(x) és contínua en aquest punt si el límit de la funció en aquest punt coincideix amb el valor de la funció
Más detallesDistribucions bivariants, independencia, covariància, correlació
Distribucions bivariants, independencia, covariància, correlació Albert Satorra UPF Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2015 1 / 29 Continguts 1 Variables aleatòries bivariants (discretes) Distribucions
Más detallesÀmbit de les matemàtiques, de la ciència i de la tecnologia M14 Operacions numèriques UNITAT 2 LES FRACCIONS
M1 Operacions numèriques Unitat Les fraccions UNITAT LES FRACCIONS 1 M1 Operacions numèriques Unitat Les fraccions 1. Concepte de fracció La fracció es representa per dos nombres enters que s anomenen
Más detallesUNITAT DIDÀCTICA 10 L ÍMITS DE FUNCIONS. CONTINUÏTAT I BRANQUES INFINITES
7 UNITAT DIDÀCTICA 0 Refleiona i resol Aproimacions successives El valor de la funció f () = + 5 0 per a = 5 no es pot obtenir directament perquè el denominador es fa zero. L obtindrem per aproimacions
Más detallesAl ser un quocient, el denominador no pot ser 0 i al ser una arrel d index senars no hi ha problema Dom = R\{x 3 +3x 2-6x-8=0}= R\{-4, 2, -1}.
Col legi Maristes Sants-Les Corts Departament de matemàtiques Codi Sol PsP..- Troba el domini de les següents funcions. d) f ( ) 6 És un quocient de polinomis Dom R\{ -6} R\{,}. f) f ( ) És un quocient
Más detallesCom és la Lluna? 1 Com és la Lluna? F I T X A D I D À C T I C A 4
F I T X A 4 Com és la Lluna? El divendres 20 de març tens l oportunitat d observar un fenomen molt poc freqüent: un eclipsi de Sol. Cap a les nou del matí, veuràs com la Lluna va situant-se davant del
Más detallesINTRODUCCIÓ ALS MODELS NO EXPONENCIALS I XARXES DE CUES
INTRODUCCIÓ ALS MODELS NO EXPONENCIALS I XARXES DE CUES INTRODUCCIÓ A LES XARXES DE CUES. Concepte de xarxa oberta i tancada. Xarxes obertes i Teorema de Jackson. MODELS NO EXPONENCIALS Cua M/G/: Fòrmula
Más detallesUNITAT FUNCIONS D ÚS AVANÇAT
UNITAT FUNCIONS D ÚS AVANÇAT 2 Funcions Matemàtiques i Estadístiques II Les funcions matemàtiques realitzen càlculs matemàtics sobre cel les en concret i sobre un rang de valors determinat. En aquest tema
Más detallesAVALUACIÓ DE QUART D ESO
AVALUACIÓ DE QUART D ESO FULLS DE RESPOSTES I CRITERIS DE CORRECCIÓ Competència matemàtica FULL DE RESPOSTES VERSIÓ AMB RESPOSTES competència matemàtica ENGANXEU L ETIQUETA IDENTIFICATIVA EN AQUEST ESPAI
Más detallesMatemàtiques 1 - FIB
Matemàtiques 1 - FIB 8-1-016 Examen F1 Grafs JUSTIFIQUEU TOTES LES RESPOSTES 1 (a) [05 punts] Doneu la definició de la matriu d incidències d un graf (b) [15 punts] Enuncieu i proveu el Lema de les encaixades
Más detallesUNITAT UNIFICAR ESTILS
UNITAT UNIFICAR ESTILS 2 Columnes Una altra de les opcions de format que ens ofereix Ms Word és poder canviar el nombre de columnes de tot el document o d una secció. Per defecte, quan creem un document
Más detallesLlei dels Grans Nombres, Teorema Central del Límit, distribucions asimptòtiques
Llei dels Grans Nombres, Teorema Central del Límit, distribucions asimptòtiques Albert Satorra Probabilitat, UPF Albert Satorra ( Probabilitat, UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2013 1 / 15 Continguts 1 Suma de variables
Más detallesINTEGRACIÓ: resolució exercicis bàsics ex res I.1
INTEGRACIÓ: resolució exercicis bàsics ex res I. R. Aplicant el teorema d integració per parts, calculeu les següents integrals: (a) π x cos xdx (b) π e x sin xdx eπ + (c) e ln xdx (d) π/ π/ e x cos xdx
Más detallesNom i Cognoms: Grup: Data:
n BATX MA ) Raoneu la certesa o falsedat de les afirmacions següents: a) Si A és la matriu dels coeficients d'un sistema d'equacions lineals i Ampl és la matriu ampliada del mateix sistema. Rang(A) Rang
Más detallesSigui un carreró 1, d amplada A, que gira a l esquerra i connecta amb un altre carreró, que en direm 2, que és perpendicular al primer i té amplada a.
ENUNCIAT: Sigui un carreró 1, d amplada A, que gira a l esquerra i connecta amb un altre carreró, que en direm 2, que és perpendicular al primer i té amplada a. Dos transportistes porten un vidre de longitud
Más detallesLa porció limitada per una línia poligonal tancada és un
PLA Si n és el nombre de costats del polígon: El nombre de diagonals és La suma dels seus angles és 180º ( n 2 ). La porció limitada per una línia poligonal tancada és un Entre les seves propietats destaquem
Más detallesUn sistema lineal de dues equacions amb dues incògnites és un conjunt de dues equacions que podem representar de la manera:
Un sistema lineal de dues equacions amb dues incògnites és un conjunt de dues equacions que podem representar de la manera: ax + by = k a x + b y = k Coeficients de les incògnites: a, a, b, b. Termes independents:
Más detallesUNITAT PLANTILLES I FORMULARIS
UNITAT PLANTILLES I FORMULARIS 1 Plantilles Una plantilla és un patró d arxius que s utilitza per crear els documents de forma més ràpida i senzilla. Tot document creat amb Ms Word està basat en una plantilla.
Más detallesPolinomis i fraccions algèbriques
Tema 2: Divisivilitat. Descomposició factorial. 2.1. Múltiples i divisors. Cal recordar que: Si al dividir dos nombres enters a i b trobem un altre nombre enter k tal que a = k b, aleshores diem que a
Más detallesSOLUCIONS DE LES ACTIVITATS D APRENENTATGE
SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS D APRENENTATGE 59 Activitat 1 Llegeix atentament el teorema de Tales. Creus que també és certa la proporció següent? Per què? AB CD A B C D El teorema de Tales diu: AB (A B
Más detalles= 1+ β, essent α i β paràmetres reals. a la recta r 2. i el pla Π d equació
Problema A Setembre 0 + y z = En l espai es té la recta r i el pla Π d equacions r x + mz = 0, on x y z = 0 m és un paràmetre real a) Un vector director de la recta r b) El valor de m per al qual la recta
Más detallesACTIVITATS. a) b) c) d) INS JÚLIA MINGUELL 2n Batxillerat. dv, 18 de març Alumne:
INS JÚLIA MINGUELL 2n Batxillerat Matemàtiques Tasca Continuada 4 «Matrius i Sistemes d equacions lineals» Alumne: dv, 18 de març 2016 LLIURAMENT: dm, 5 d abril 2016 NOTA: cal justificar matemàticament
Más detallesProbabilitat, probabilitat condicionada, independència
Probabilitat, probabilitat condicionada, independència Curs 2010-11 Continguts Conjunts Dels conjunts a la probabilitat Axiomes de la probabilitat; Conseqüències Mètodes de recompte Probabilitat condicionada
Más detallesIntroducció a la probabilitat. Curs
Introducció a la probabilitat Curs 2009-10 Continguts Conjunts Dels conjunts a la probabilitat Axiomes de la probabilitat; Conseqüències Mètodes de recompte Probabilitat condicionada i Independència Experiments
Más detallesQUADERN d ESTUDI de RECTES TANGENTS
QUADERN d ESTUDI de RECTES TANGENTS per a les PAU i 2n de Batxillerat Autor: Pepe Ródenas Borja pepe.rodenas.borja@gmail.com http://manifoldo.weebly.com Descripció del material: Aquest quadern consisteix
Más detallesIndiqueu en quins punts Y = f(x) no és contínua, el tipus de discontinuïtats de cada cas i les asímptotes que presenta. (0,1 9 +0,8=1,7 punts)
Generalitat de Catalunya Departament d Ensenyament Institut Jaume Balmes Nom: 1.- Trobeu la funció inversa o recíproca de la funció recorregut de la funció yf(). f ( ) Departament de Matemàtiques 1MA:
Más detallesFUNCIONS. Característiques generals. 1) Indica el domini i el recorregut de les següents funcions: a) b) c)
4ES 4 B FUNCINS Característiques generals ) Indica el domini i el recorregut de les següents funcions: a) b) c) ) Indica els punts de discontinuïtat de les següents funcions: a) b) c) ) De cadascuna de
Más detallesOficina d Organització de Proves d Accés a la Universitat Pàgina 1 de 10 PAU 2010
Oficina d Organització de Proves d Accés a la Universitat Pàgina 1 de 10 SÈRIE 1 Pregunta 1 3 1 lim = 3. Per tant, y = 3 és asímptota horitzontal de f. + 3 1 lim =. Per tant, = - és asímptota horitzontal
Más detalles(1,2) (1,2) (1,3) (3,0) (0,3) (2,1) (3,0) (1,3) (1,3) (2,3) (3,1) (3,0) (0,3) (1,2) (1,3) (4,0) (3,1) (3,1) (1,2) (1,3)
1. DISTRIBUCIONS BIDIMENSIONALS Distribucions bidimensionals Moltes vegades interessa estudiar dues variables alhora dels elements d una població o mostra. En aquests casos, es recopilen dues dades per
Más detallesDistricte Universitari de Catalunya
Proves dʼaccés a la Universitat. Curs 2009-2010 Matemàtiques Sèrie 1 Responeu a CINC de les sis qüestions següents. En les respostes, expliqueu sempre què és el que voleu fer i per què. Cada qüestió val
Más detalles+ 1= 0 té alguna arrel real (x en radians).
Generalitat de Cataluna Departament d Educació Institut d Educació Secundària Jaume Balmes Departament de Matemàtiques n BATX MA Eamen r quadrimestre Nom i Cognoms: Grup: Data: ) Calculeu els its següents:
Más detallesExamen FINAL M2 FIB-UPC 12 de juny de 2015
Examen FINAL M FIB-UPC 1 de juny de 015 1. ( punts Sigui a R, calculeu els límits següents segons els valors d a: n + n n + a+ a+n a n n n, n n + n!.. ( punts Considereu la integral següent: I = 1.8 1
Más detalles