Variables aleatòries

Transcripción

1 Variables aleatòries

2 Variables aleatòries Definicions bàsiques i propietats Funció (de massa) de probabilitat PF (o FP) Variables aleatòries discretes Funció de distribució (acumulativa) DF (o FD) Variables aleatòries contínues Funció densitat de probabilitat 2

3 Definicions bàsiques Definició Variable aleatòria Donat un espai de mostres S sobre el qual hi ha definida una probabilitat P, una variable aleatòria X és una funció que assigna un nombre real a cada sortida dins S. Definició Variable aleatòria discreta X és una v.a. discreta si el seu rang X(S) és un conjunt comptable, X(S)=S x ={x 1,x 2,...}. En cas contrari, es diu que és contínua (encara que més endavant exigirem una condició addicional). Definició Variable aleatòria finita X és finita si tots els valors amb probabilitat diferent de zero estan en un conjunt finit S x ={x 1,x 2,..., x n } 3

4 Funció (de massa) de probabilitat Definició Funció (de massa) de probabilitat La funció (de massa) de probabilitat PF (of FP) d una v.a. discreta és P X (x)=p[x=x]. Notem que el que representem com X=x és el conjunt de sortides de S que tenen són la anti-imatge per X del nombre real x. És un esdeveniment i, per tant, té una probabilitat. Teorema Donada una v.a. discreta X amb pf (o fp) P X (x) i rang S x : Per a qualsevol x, P X (x) 0 x S x P X(x)=1 Per a qualsevol B S x, la probabilitat de l esdeveniment anti-imatge de B per X,que representem com X B és: 4

5 Exemples de v.a. discretes Definició Variable aleatòria de Bernoulli X és una v.a. de Bernoulli si la seva pf (o fp) és de la forma (amb 0<p<1) 5

6 Exemples de v.a. discretes Definició Variable aleatòria geomètrica X és una v.a. geomètrica si la seva pf (o fp) és de la forma (amb 0<p<1) 6

7 Exemples de v.a. discretes Definició Variable aleatòria binomial X és una v.a. binomial si la seva pf (o fp) és de la forma (amb 0<p<1 i n 1) 7

8 Exemples de v.a. discretes Definició Variable aleatòria de Pascal X és una v.a. de Pascal si la seva pf (o fp) és de la forma (amb 0<p<1 i k 1) 8

9 Exemples de v.a. discretes Definició Variable aleatòria discreta uniforme X és una v.a. discreta uniforme si la seva pf (o fp) és de la forma (amb k<l) 9

10 Exemples de v.a. discretes Definició Variable aleatòria de Poisson X és una v.a de Poisson de paràmetre α>0 si la seva pf (o fp) és de la forma 10

11 Funció de distribució (acumulativa) Definició Funció de distribució (acumulativa) La funció de distribució (acumulativa) DF (o FD) d una v. a. discreta (o contínua ) és 11

12 Propietats de la df (o fd) d una v.a. discreta Teorema Per a qualsevol v.a. discreta X amb rang S X ={x 1,x 2,...} tal que x 1 x 2... F X (- )=0 i F X ( )=1 (en sentit de límits) Si x x, F X (x ) F X (x): la df (o fd) és no decreixent Per x i S X, i per ε un nombre positiu arbitràriament petit, F X (x i )-F X (x i - ε)=p X (x i ) F X (x)=f X (x i ) per a tot x tal que x i x<x i+1 Teorema Per a tot b a, F X (b)-f X (a)=p[a<x b] 12

13 Propietats de la df (o fd) per a v.a. en general Teorema Per a qualsevol v.a. X (discreta o contínua) F X (x) és no decreixent en x F X (- )=0 (en sentit de límit) F X (+ )=1 (en sentit de límit) P[x 1 <X x 2 ]=F X (x 2 )-F X (x 1 ) P[X>x]=1- F X (x) 13

14 V.a. contínues i funció densitat de probabilitat Definició Variable aleatòria contínua X és una v.a. contínua (en sentit estricte) si la seva df (o fd) F X (x) es pot obtenir d una funció de densitat de probabilitat PDF (o FDP), és a dir, hi ha una funció f(x), no negativa i no necessàriament única, tal que per a qualsevol dos nombres reals x 1 x 2 es verifica: 14

15 Propietats de la DF i PDF Definició F X (x + ) i F X (x - ) són els límits per la dreta i l esquerra de la df. Teorema Per a qualsevol v.a. X contínua amb pdf (o fdp) f X (x) f X (x) 0 per a tot x F X (x) = F X (x + ) (la df és contínua per la dreta) P(X<x) = F X (x - ) 15

16 V.a. contínues uniformes Definició v.a. uniforme X és una v.a. uniforme si la seva densitat de probabilitat és de la forma (on b>a)

17 V.a. normals o gaussianes Definició V.a. normal o gaussiana Una v.a. X és normal o gaussiana de paràmetres µ X i σ X >0 si la seva densitat de probabilitat és Es pot comprovar que, efectivament, la suma de probabilitat és 1. 17

18 V.a. exponencial Definició V.a. exponencial X és una v.a. exponencial de paràmetre β>0 si la seva densitat de probabilitat és de la forma 18

19 Quantils d una v.a. contínua Definició Quantil d una v.a. contínua Si, a més de contínua, la df d una v.a. contínua X és 1-1, a F -1 (p) (0<p<1) la coneixem com a funció quantil de X; i també denominem F -1 (p) el 100p percentil de X. 19