Probabilitat, probabilitat condicionada, independència

Transcripción

1 Probabilitat, probabilitat condicionada, independència Curs Continguts Conjunts Dels conjunts a la probabilitat Axiomes de la probabilitat; Conseqüències Mètodes de recompte Probabilitat condicionada i Independència Experiments seqüencials, independents 2 1

2 Conjunts (recordatori 1/4) Conjunts, relacions de pertinença i d inclusió l element x pertany al conjunt A l element y no pertany al conjunt A D és un subconjunt d A D no és un subconjunt d A conjunt nul (ø) no conté cap element i és subconjunt de qualsevol conjunt. conjunt universal 3 Conjunts (recordatori 2/4) 4 2

3 Conjunts (recordatori 3/4) Partició: subconjunts mútuament disjunts que units fan el conjunt (universal) 5 Conjunts (recordatori 4/4) Lleis de de Morgan Demo: I la llei dual per al complementari de la intersecció 6 3

4 Dels conjunts a la probabilitat Experiment Procediment + Observació + Model Sortida (Outcome) Una sortida (resultat) d un experiment és una observació (qualsevol) possible de l experiment. Espai de mostres (Sample space) Conjunt S de les sortides s possibles que són els elements Esdeveniment (Event) (Sub)conjunt d algunes sortides de S. Espai d esdeveniments (Event space) Partició de l espai de mostres. Exemples 7 Dels conjunts a la probabilitat Sigui un espai d esdeveniments B={B 1,B 2,...}, un esdeveniment qualsevol A de l espai de mostres i sigui Llavors, per a i j, els esdeveniments C i i C j són mútuament disjunts i 8 4

5 Axiomes de la probabilitat Axiomes de la probabilitat: Una mesura de probabilitat P[ ] és una funció que mapeja esdeveniments de l espai de mostres S a nombres reals de manera que Axioma 1. Per a qualsevol esdeveniment A, P[A] 0. Axioma 2. P[S]=1. Axioma 3. Per a qualsevol grup comptable A 1,A 2,... d esdeveniments mútuament exclusius P[A 1 A 2 ]=P[A 1 ]+P[A 2 ]+ 9 Conseqüències dels axiomes (1/3) Siguin dos esdeveniments A i B disjunts. Llavors P [A B]=P[A]+P[B]. Si B=B 1 B 2 B m i B i B j = φ per i j, llavors 10 5

6 Conseqüències dels axiomes (2/3) La probabilitat d un esdeveniment B={s 1,s 2,...,s m }, format per un nombre finit de sortides, és la suma de les probabilitats d aquestes com a esdeveniments [ ] = P { s i } P B m m [ ] = P s i [ ] i=1 i=1 En un experiment amb espai de mostres S={s 1,s 2,...s n } on cada sortida és equiprobable, [ ] = 1 n 1 i n P s i 11 Conseqüències dels axiomes (3/3) La mesura de probabilitat P[ ] satisfà P[φ]=0 i P[A c ]=1-P[A] Per a qualsevol parell d esdeveniments A i B, P[A B]=P [A]+P[B]-P[A B]. Aquesta fórmula es pot generalitzar a n esdeveniments. Si A B, llavors P[A] P[B]. Per qualsevol esdeveniment A i espai d esdeveniments {B 1,B 2,...,B m }, Exemples 12 6

7 Mètodes de recompte (1/2) Principi multiplicatiu Si l experiment A té n possibles sortides i l experiment B en té k, llavors hi ha n*k possibles sortides de l experiment combinat. El nombre de k permutacions d n objectes distingibles és Donats n objectes distingibles, hi ha n k maneres possibles de triar amb substitució (permutacions amb repetició) una mostra de k objectes. 13 Mètodes de recompte (2/2) El nombre de maneres (combinacions) de triar k objectes distingibles d n és n ( ) k = n k k! = n! k! ( n k)! Aquests nombres es denominen coeficients binomials, ja que apareixen a la fórmula del binomi (de Newton). El nombre de les combinacions amb repetició és 14 7

8 Probabilitat condicionada (1/3) Definició Probabilitat condicionada La probabilitat condicionada d un esdeveniment A donat un esdeveniment B és [ ] = P A B P A B [ ] P[ B] Remarquem que P(B) ha de ser diferent de 0 per a que la definició tingui sentit. 15 Probabilitat condicionada (2/3) La probabilitat condicionada P[A B] és una mesura de probabilitat, ja que té les propietats següents, que corresponen als axiomes de la definició de mesura de probabilitat: Axioma 1: P[A B] 0. Axioma 2: P[B B]=1 Axioma 3: Si A=A 1 A 2 amb A i A j =φ per i j, llavors P [A B]=P[A 1 B]+P[A 2 B]+ 16 8

9 Probabilitat condicionada (3/3) Llei de la probabilitat total Si B 1,B 2,...,B m és un espai d esdeveniments i P[B i ]>0 per i=1,2,...,m, llavors [ ] = P A B i P A m i=1 (de Bayes) [ ] = P A B P B A [ ]P B i [ ] [ ]P B P A [ ] [ ] 17 Independència (1/3) Definició Esdeveniments independents Dos esdeveniments A i B són independents si i només si P[ A B] = P[ A]P[ B] Llavors tenim P[ A B] = P[ A] i P[ B A] = P[ B] (el que correspon amb la noció intuïtiva d'independència) Si A i B són dos esdeveniments independents, llavors també ho són: A i B C; A C i B; A C i B C 18 9

10 Independència (2/3) Definició Tres esdeveniments independents A 1, A 2 i A 3 són esdeveniments independents si i només si A 1 i A 2 són independents A 2 i A 3 són independents A 1 i A 3 són independents Definició n esdeveniments independents Per n 3, la definició és per inducció; els conjunts A 1, A 2,..., A n són independents si i només si Tots els grups de n-1 conjunts agafats de A 1, A 2,..., A n són independents 19 Independència (3/3) A 1, A 2,..., A k tals que són independents si per a qualsevol dos subconjunts disjunts de subíndexs {i 1, i 2,..., i m } i {j 1, j 2,..., j l } de {1, 2,..., k} tenim que P Ai 1 Ai 2...Aim Aj 1 Aj 2...Ajl [ ] = P Ai 1 Ai 2...Aim [ ] 20 10

11 Independència condicional Definició Esdeveniments condicionalment independents A 1, A 2,..., A k són condicionalment independents donat B si per a qualsevol subconjunt de j subíndexs {i 1, i 2,..., i j } de {1, 2,..., k} tenim que P[ Ai 1 Ai... Aij 2 B] = P[ Ai 1 B]P[ Ai 2 B]...P[ Aij B] Si A 1, A 2, i B són tals que P[ A 1 B] > 0 Llavors A 1 i A 2 són condicionalment independents donat B si i només si P A2 A1 B [ ] = P[ A2 B] 21 Experiments seqüencials Exemple 0.8 G 2 G 1 G G R 2 G 1 R G 2 R 1 G R R 2 R 1 R

12 Experiments independents (1/3) Exemple Calculeu la probabilitat P[S 3,5 ] de tres encerts en cinc experiments independents amb probabilitat d encert p. 23 Experiments independents (2/3) Múltiples sortides Suposem n repeticions independents d un subexperiment amb r possibles sortides per a cadascun. P[s k ]=p k. L experiment consisteix en una seqüència d n proves. Volem trobar 24 12

13 Experiments independents (3/3) Tindrem una sortida que serà un reordenament de n 1 n 2 n r Aquests nombres es denominen coeficients multinomials 25 13