Lliçons 15: Suma de moltes variables independents: Llei dels Grans Nombres, Teorema del Limit Central; Aproximem distribucions

Transcripción

1 Lliçons 15: Suma de moltes variables independents: Llei dels Grans Nombres, Teorema del Limit Central; Aproximem distribucions Albert Satorra Probabilitat, UPF Albert Satorra ( Probabilitat, UPF ) AD/E-GRAU Tardor / 18

2 Continguts 1 Suma de variables independents Llei dels Grans Nombres Teorema del Límit Central 2 Aproximació de distribucions 3 Exemples Albert Satorra ( Probabilitat, UPF ) AD/E-GRAU Tardor / 18

3 Suma de variables independents Ens preguntem per la distribució aproximada (no exacte) de Y = X 1 + X X n quan n és gran, i les X j s són (mutuament) independents. Per exemple: la distribució aproximada de la binomial B(n, p) (que és suma de n de Bernouilli independents) quan n és gran; de la χ 2 n (que és la suma de N(0,1) al quadrat independents), quan n és gran; de la nota Y de Probabilitat que és el resultat de la suma de molts factors independents; etc. Albert Satorra ( Probabilitat, UPF ) AD/E-GRAU Tardor / 18

4 Esperances, variàncies Suposem X j s independents amb la mateixa mitjana µ i variància σ 2. En aquest cas, si Y = X 1 + X X n, clarament E(Y ) = nµ; V (Y ) = nσ 2 De fet, el valor esperat i variància del promitg X n = (X 1 + X X n )/n són E(X n ) = µ; V (X n ) = σ 2 /n Albert Satorra ( Probabilitat, UPF ) AD/E-GRAU Tardor / 18

5 Llei dels Grans Nombres Límit en probabilitat: Llei dels Grans Nombres Ens preguntem perl valor del promitg X n quan n és gran. Suposem: X j independents amb E(X j ) = µ i V (X j ) = σ 2. Per exemple, X 1,..., X j,... X n observacions independents de una X (n tirades d un dau i observar el no. X, de 1 a 6, de la cara). Llei dels Grans Nombres: Per tot ɛ > 0, lim P( X n µ > ɛ) = 0 n + Direm que X n tendeix a µ en probabilitat. Escriurem X n P µ Què vol dir??: Que el promitg d observacions independents de X tendeix a µ = E(X ) Albert Satorra ( Probabilitat, UPF ) AD/E-GRAU Tardor / 18

6 Llei dels Grans Nombres Exemple Tirem un dau 1000 vegades: X 1,... X 1000, X i és el número (1 a 6) de la cara del dau en la tirada i èssima. Preguntem X 1000 =? La llei dels grans nombres: X 1000 µ = E(X ) = ( )/6 = 3.5 X n tan proper de 3.5 com vulguem, només cal augmentar el nombre n de tirades? R: > mean(sample(1:6, 10, replace = T)) [1] 4 > mean(sample(1:6, 100, replace = T)) [1] 3.61 > mean(sample(1:6, 1000, replace = T)) [1] > mean(sample(1:6, 10000, replace = T)) [1] > mean(sample(1:6, , replace = T)) [1] > mean(sample(1:6, , replace = T)) [1] Albert Satorra ( Probabilitat, UPF ) AD/E-GRAU Tardor / 18

7 Teorema del Límit Central Teorema del Límit Central Si les X j tenen valor esperat µ i variància σ 2, són independents, i n és gran, la distribució de X n = (X 1 + X X n )/n és aproximadament Normal, amb valor esperat µ i variància σ 2 /n. Escriurem D σ 2 X n N(µ, n ), Direm que X n convergeix en distribució a N(µ, σ2 n ). Albert Satorra ( Probabilitat, UPF ) AD/E-GRAU Tardor / 18

8 Teorema del Límit Central Tenim l aproximació: X n N(µ, σ2 n ) Exemple: Tirem un dau 1000 vegades: X 1,... X 1000, X i és el número (1 a 6) de la cara del dau en la tirada i èssima. Preguntem X 1000 =? el TCL ens diu que X 1000 N(3.5, σ ) = N(3.5, ) ja que σ 2 = (5 7/ = (35/12)/1000 = = Probabilitat P(3.4 X ) = P( < X < ) = 1 2 pnorm( ) = Em emprat = = Albert Satorra ( Probabilitat, UPF ) AD/E-GRAU Tardor / 18

9 Teorema del Límit Central Figure: TCL!"#$%&'()*(+(,+%-#"$*./((+(0(((1!"#$%&'!"!!"#!"#!"#!"#!"#!"#!"!!"#!"#!"#!"#!"#!"#$%&' Albert Satorra ( Probabilitat, UPF ) AD/E-GRAU Tardor / 18

10 Teorema del Límit Central Figure: TCL promitg de n uniformes, n = 3 Density promitg Albert Satorra ( Probabilitat, UPF ) AD/E-GRAU Tardor / 18

11 Teorema del Límit Central Figure: TCL!"#$%&'()*(+(,+%-#"$*./((+(0(((12!"#$%&'!!!!!!!!"#!"#!"#!"#!"#!"#!"#$%&' Albert Satorra ( Probabilitat, UPF ) AD/E-GRAU Tardor / 18

12 Aproximació de distribucions Aproximació Normal a la Binomial Pel TCL, si n és gran (depen de p, per en general per n = 25 l aproximació és bona) B(n, p) N(np, npq) de manera que P[a B(n, p) b] P[a 0.5 N(np, npq) b + 0.5] (on utilitzem el que s anomena correcció per continuitat. Si no restem/sumem 0.5 l aproximació tambés és bona si n és gran) Per exemple: Llancem 100 monedes. Sigui Y igual el # de cares obtingudes. Interesa calcular P[47 Y 52] (aproximacio normal sense correccio per continuitat) P[47 N(50, 25) 52] =.3811 (aproximacio normal amb correccio per continuitat) P[46.5 N(50, 25) 52.5] =.4495 valor exacte P[46.5 B(100, 0.05) 52.5] = Albert Satorra ( Probabilitat, UPF ) AD/E-GRAU Tardor / 18

13 Aproximació de distribucions Exemple: error d arrodoniment Exemple: Tenim 100 números de quatre decimals. Per sumar-los arrodonim al enter més proxim. Prob. que l error d arrodoniment sigui més gran que 5. Solució: E = e i N(0, 100σ 2 ) on e i U( 0.5, 0.5) i σ 2 = 1/12. Tenim que P( 5 < E < 5) = P( 5 < N(0, 100/12) < 5) = P( 5 10/ 12 < Z < 5 10/ ) = ( < Z < ) = 1 2P(Z 12 De manera que P(l error d arrodoniment sigui més gran que 5.) = 2 P(Z ) = 2*pnorm( )=0.083, un 8%. Albert Satorra ( Probabilitat, UPF ) AD/E-GRAU Tardor / 18

14 Aproximació de distribucions Exemplw: Tirades repetides d una moneda Tirem una moneda (no trucada) repetidament n = 200 vegades, probabilitat que el promitg de cares p sigui a l intèrval (.48,.52). p N(0.5, 0.25 n ), de manera que: P(0.48 p 0.52) P( n Z ) 0.25 n = Φ(0.56) Φ( 0.56) = Φ(0.56) (1 Φ(0.56)) = 2 Φ(0.56) 1 = 2 pnorm( ) 1 = és a dir, el 43%. Noteu que ( )/sqrt(0.25/200) = Albert Satorra ( Probabilitat, UPF ) AD/E-GRAU Tardor / 18

15 Aproximació de distribucions Tirades repetides d una moneda, quantes tirades calen? Quantes tirades cal per assegurar una probabilitat del 99% que el promitg p estigui a l intèrval (.48,.52)?; és a dir: P(48 < p < 52) = Seguint el raonament anterior, com que P( 3 < Z < 3) =.99, cal que = 0.02 = n n n = = = 3 n = n ( ) = Albert tirades! Satorra ( Probabilitat, UPF ) AD/E-GRAU Tardor / 18

16 Aproximació de distribucions Deures Feu Exercici 2 de la Llista 5! Albert Satorra ( Probabilitat, UPF ) AD/E-GRAU Tardor / 18