Solució de l Examen final 22 de juny de 2012

Transcripción

1 ETS d Enginyeria de Telecomunicació de Barcelona PROBABILITAT, PROCESSOS ESTOCÀSTICS I ESTADÍSTICA Solució de l Examen final 22 de juny de 22. En un sistema multiprocessador amb n processadors P,P 2,...,P n i m memòries M, M 2,..., M m, cada processador demana, independentment dels altres i amb igual probabilitat, accés a alguna memòria. Es demana: (a) Sigui X la variable aleatòria que denota el nombre de processadors que demanen accés a la memòria M. Calcula la seva funció de probabilitat. De quina variable aleatòria es tracta? Quina és la probabilitat que la memòria M estigui ocupada (és a dir, accedida per al menys un processador)? Quin és el nombre mitjà de processadors que demanen accés a la memòria M? Comenta el resultat. (b) Sigui Y la variable aleatòria que correspon al nombre de memòries ocupades, i I j, j =, 2,..., m, les variables aleatòries indicadores tals que I j = si la memòria M j està ocupada i I j = altrament. Expressa Y en termes de les variables I j i calcula el nombre mitjà de memòries ocupades (anomenat ample de banda B del sistema). A quins valors tendeix B quan m és molt gran (amb n finit) i quan n és molt gran (amb m finit)? Raona els resultats. (c) Si el nombre m de memòries és molt gran (m ), i el temps d accés a la memòria M j és una variable aleatòria exponencial de paràmetre λ = j, calcula la probabilitat P(T > ), on T és un temps d accés determinat (escollit al atzar). Comenta la lògica del resultat obtingut. (d) Per a m molt gran i donat que un determinat temps d accés ha sigut T >, quina és la probabilitat que es tractés de la memòria M? Solució: (a) La probabilitat que el procesador P i, i =, 2,..., n, accedeixi a la memòria M és m (degut a l equiprobabilitat). Per tant, el nombre de processadors que demanen accés a aquesta memòria és una variable aleatória binomial amb paràmetres N = n i p = m : ( )( ) n x ( P X (x) = n x, x =,,..., n. x m m) Així, ( la probabilitat que la memoria M estigui ocupada és: P(X > ) = n m), i el nombre mitjà de processadors que demanen accés a la memòria M és: E(X) = m n, que es pot interpretar diguent que els n processadors és distribueixen equitativament entre les m memòries. (b) De les definicions resulta que Y = m j= I j. Per tant, m m B = E(Y ) = E = E(I j ) = j= I j me(i ) = mp(x > ) = m [ j= ( m ) n ], que tendeix a m quan n, i a n quan m. En efecte, quan n és molt gran, la probabilitat que les m memòries estiguin ocupades és molt alta; mentre que, si m és molt gran, no hi haurà conflictes entre els processadors i cada un demanarà accés a una sola memòria.

2 (c) Per la fórmula de la probabilitat total, P(T > ) = = m m P(T > M j )P(M j ) = m j= m e j ( ) m e = j= m j= je jt dt m(e ). Resultat obvi si pensem que el temps mitjà d accés de la memòria M j és j. (d) Apliquem Bayes:. P(P T > ) = P(T > M )P(M ) P(T > ) = e m m(e ) = e =,632. 2

3 2. En la superfície de cert material apareixen defectes en forma de rectangle d amplada X i d alçada Y, on (X, Y ) és una variable bidimensional uniforme a la regió Ω XY = {(x, y) : x, y 6}. Considerem també la variable aleatòria A corresponent a l àrea dels rectangles. (a) Són X i Y independents? Troba els moments conjunts m r,s = E(X r Y s ). (b) Calcula el coeficient de correlació ρ entre A i X. Podem concloure n alguna cosa sobre la independència entre A i X? Indicació: pots fer servir els moments calculats a l apartat (a). (c) Dibuixa el domini de la variable (X, A), Ω XA, i calcula la seva funció de densitat conjunta, f XA (x, a). (d) Calcula la millor estimació de X donada A, ˆX = E(X A = a). Solució: (a) Una justificació geomètrica: són independents ja que són variables uniformes en un domini quadrat. Una justificació algebràica: Sabem que f XY (x, y) = /36, llavors f X (x) = f Y (y) = i f X (x)f Y (y) = f XY (x, y). Els moments, m r,s = E(X r Y s ) = E(X r )E(Y s ) = f XY (x, y)dy = 6, < x < 6, f XY (x, y)dx = 6, < y < 6, x r f X (x)dx y s f Y (y)dy = on la segona igualtat és certa ja que les variables X i Y són independents. (b) Podem escriure A = XY. Aleshores, ρ = Cov(X, A) σ(x)σ(a) = E(XA) E(A)E(X) E(X 2 ) E(X) 2 E(A 2 ) E(A) 2 6 r+s (r + )(s + ), = m 2, m, m, m 2, m 2, m 2,2 m 2, = 3 7, (c) El domini de la variable X és Ω X = (, 6). Donada un x (, 6), tenim que a 6x. Per tant, Ω XA = {(x, a) : a 6x 36}. El dibuix apareix a la Figura. El càlcul de f XA (x, a) es pot fer de dues maneres: Tenim el següent canvi de variables, { X = X A = XY 3

4 Figura : Domini Ω XA. El determinant del Jacobià del canvi és, Aleshores tenim que (x, a) (x, y) = det ( x x a x x y a y ) = y x = x. ( ) dx dy (x, a) f XA (x, a) = f XY (x, y) dx da = f XY (x, y) = (x, y) 36x. L altre forma consisteix en calcular primer F XA (x, a), F XA (x, a) = Pr(X x A a) = x a/x 36 dydx + 36 dydx = = a ( ln() + lnx). 36 Per entendre millor els límits d integració vegeu la Figura 2. Per trobar la funció de densitat conjunta derivem F XA (x, a) respecte x i a, f XA (x, a) = (d) Tenim que la millor estimació ve donada per X X = E(X A = a) = Podem calcular la marginal de A, f A (a) = f XA (x, a)dx = 2 a x F XA(x, a) = 36x. xf X (x A = a)dx = x f XA(x, a) dx, f A (a) 36x dx = 8 ln 6 36 lna. 4

5 Figura 2: Càlcul de F XA (x, a). Tenim que, X = x 36x 8 ln 6 36 lnadx = 2 ln6 lna La millor estimació de X en funció de A (Figura 3) és X 36 A 6(2 ln6 ln A). dx = 36 a 6(2 ln6 ln a). Figura 3: Millor estimació de X respecte A. 5

6 3. El nivell de càrrega en un acumulador d energia ve donat pel procés estocàstic X(t) = At + B, per t, on A i B són variables aleatòries uniformes en [, 2], independents. (a) Calcula les funcions de valor mitjà, d autocorrelació i d autocovariància del procés X(t). Es tracta d un procés estacionari? (b) Degut a fluctuacions ambientals un indicador de càrrega dóna el valor Z(t) = X(t) + Y (t) on Y (t) és un procés de senyal telegràfic aleatori de paràmetre λ, independent del procés X(t). Calcula les funcions de valor mitjà i d autocorrelació de Z(t). Com difereixen la potència mitjana real (la de X(t)) i la potència mitjana en l indicador? (c) Calcula la millor estimació lineal no homogènia de X(t) donat Z(t). (d) Determina l error quadràtic mínim en l anterior estimació i fes-ne una gràfica comparant-lo amb l error que es tindria si s hagués estimat X(t) per una constant. Solució: (a) E[A] = E[B] = + 2 =, E[A 2 ) = E[B 2 ] = V [A] + E[A] 2 = 2 E[AB] = E[A]E[B] =. (2 ) = 4 3, m X (t) = E[X(t)] = E[A]t + E[B] = t +. R X (t, t 2 ) = E[X(t )X(t 2 )] = E[(At + B)(At 2 + B)] = E[A 2 ]t t 2 + E[B 2 ] + E[AB](t + t 2 ) = 4 3 t t t + t 2. C X (t, t 2 ) = R X (t, t 2 ) m X (t )m X (t 2 ) = 4 3 t t t +t 2 (t +)(t 2 +) = 3 (t t 2 +). El procés no és estacionari ja que m X (t) no és constant. (b) Pel senyal telegràfic, m Y (t) = i R Y (t, t 2 ) = e 2λ t 2 t. m Z (t) = E[Z(t)] = E[X(t) + Y (t)] = E[X(t)] + E[Y (t)] = t +. R Z (t, t 2 ) = E[Z(t )Z(t 2 )] = E[(X(t ) + Y (t ))(X(t 2 ) + Y (t 2 ))] = R X (t, t 2 ) + R Y (t, t 2 ) + m X (t )m Y (t 2 ) + m Y (t )m X (t 2 ) = 4 3 t t t + t 2 + e 2λ t 2 t. Pot X (t) = R X (t, t) = 4 3 (t2 + ) + 2t. Pot Z (t) = R Z (t, t) = 4 3 (t2 + ) + 2t +. La potència en l indicador és una unitat superior a la potència real. (c) X(t) = az(t) + b. Notem que E[X(t)Z(t)] = E[X(t) 2 ] + E[X(t)Y (t)] = 4 3 (t2 + ) + 2t. Pel principi d ortogonalitat: La solució és a = t2 + t { E[Z(t)(aZ(t) + b)] = E[Z(t)X(t)] E[ (az(t) + b)] = E[ X(t)] { a( 4 3 (t2 + ) + 2t + ) + b(t + ) = 4 3 (t2 + ) + 2t a(t + ) + b = t + i b = 3(t + ) t

7 (d) L error quadràtic mitjà és: ɛ min = E[(X(t) X(t))X(t)] = E[(X(t) az(t) b)x(t)] = 4 ( ) 3 (t2 + ) + 2t t (t + ) t (t2 + ) + 2t t (t + ) = t2 + t Estimant X(t) per una constant tenim un error igual la variància de X(t), és a dir ɛ min = C X (t, t) = 3 (t2 + ). La gràfica següent mostra els dos errors. 7