Generalitat de Catalunya Departament d Educació Institut d Educació Secundària Jaume Balmes

Transcripción

1 Genealitat de Catalunya Depatament d Educació Institut d Educació Secundàia Jaume Balmes Depatament de Matemàtiques 2n BATX MA Geometia Nom i Cognoms: Gup: Data: 5x y+ z= 0 1) Donat el pla π: ax 6y + 4z = 5 i la ecta : x y z = 4 a) Calculeu el valo de "a" pe al qual és paal lela al pla π b) Calculeu el valo de "a" pe al qual és pependicula al pla π c) Pe a=1 calculeu l'angle que fomen aquesta ecta i aquest pla. (2,5 punts) 2) Siguin les ectes: x = 2+ 3l 2x - y = 2 :{ i s: y = 2l " l R z =-2 z = 1 + l. Tobeu: a) Expesseu la ecta en foma paamètica. I doneu un paell de punts de la ecta i un vecto diecto. b) La posició elativa de les dues ectes i s c) La ecta pependicula a i s que les talla (pependicula comuna). (0,75 + 0,75+ 1 =2,5 punts) 3) Consideeu el paal lelogam ABCD. Sabent que B(5, 1, 1) i C( 2, 3, 1) i D( 4,4,2). a) Obteniu el quat vètex i el cente del paal lelogam. b) Calculeu l'àea del paal lelogam i del tiangle BCD. (0,75+0,75=1,5 punts) z 5 4) Donat el punt A(1, 0,1) i la ecta : x 3 = y+ 3= anem a toba el punt 3 simètic de A especte que anomenaem A'. Seguiu els passos següents a) Tobeu el pla π que passa pe A i que és pependicula a b) Tobeu la intesecció d'aquest pla π amb la ecta (aquest punt és la pojecció otogonal de A sobe la ecta ) c) Tobeu el punt A', és a di el simètic del punt A especte la ecta (0,75+0,75+0,5=2 punts) 5) a) Esciu l'equació del pla π deteminat pel punts A(0,2, 2), B(3,2,1) i C(2,3,2) b) Calcula el volum del tetàede limitat pels eixos de coodenades i el pla π. (0,5+1=1,5 punts)

2 Genealitat de Catalunya Depatament d Educació Institut d Educació Secundàia Jaume Balmes Depatament de Matemàtiques 2n BATX MA Geometia Nom i Cognoms: Gup: Data: 5x y+ z= 0 1) Donat el pla π: ax 6y + 4z = 5 i la ecta : x y z = 4 a) Calculeu el valo de "a" pe al qual és paal lela al pla π b) Calculeu el valo de "a" pe al qual és pependicula al pla π c) Pe a=1 calculeu l'angle que fomen aquesta ecta i aquest pla. (2,5 punts) a) Un vecto nomal al pla π és v π =(a, 6,4) i un vecto diecto de la ecta pot se i j k (, 5 11,)^(, 1 1, 1) = = (,, 26 4) o un múltiple seu pe exemple el v = (1,3, 2) Aa només cal imposa que v π Pe tant com cap dels dos és nul tenim que v π v =(a, 6,4) (1,3, 2)= a 18 8=0 a = 26 v π =(a, 6,4) i v =(1,3, 2) són pependiculas. v v π v =0 b) Aa pe tal que siguin pependiculas només cal que els vectos v π a 6 4 Linealment Dependents = = a = c) Si l'angle és α tenim que i v siguin v π v cos( 90º α) = = = = , v π v º-α =23,3965º α =66,6035º 2) Siguin les ectes: x = 2+ 3l 2x - y = 2 :{ i s: y = 2l " l R z =-2 z = 1 + l. Tobeu: a) Expesseu la ecta en foma paamètica. I doneu un paell de punts de la ecta i un vecto diecto. b) La posició elativa de les dues ectes i s c) La ecta pependicula a i s que les talla (pependicula comuna). (0,75 + 0,75+ 1 =2,5 punts) a) Es pot agafa com a paàmete la incògnita x i així les equacions paamètiques de la x = µ ecta (que és la solució del sistema) són: : y = 2 + 2µ µ R z = 2

3 Aleshoes és cla que els punts poden se P(0, 2, 2) ( µ = 0) i A(1,0, 2) ( µ = 1) i un vecto diecto pot se el v = (1,2,0), b) Consideem de la ecta el punt A(1,0, 2) i el v = (1,2,0) de la ecta s que B(2,0,1) s v s = (3,2,1) i aa calculant els angs Rang ( v, vs )=Rang = 2 i com det ( v, vs, AB ) = aleshoes Rang ( v, vs, AB )=Rang =3 pe tant i s es ceuen = 10 c) 1 mètode: sense toba els peus de la pependicula comú Si aquesta ecta és t sabem que podem agafa com vecto diecto el vt = v vs = (, 2 1, 4) I aleshoes només ens falta un punt pe on passa t. Sigui P(x,y,z) t aleshoes només cal que imposem que t talla a det ( v, v, AP )= = 0 8 X + 4 Y 5 Z 2 = t x 1 y z+ 2 t talla a s det ( v, v, BP )= = 0 7 X + 14 Y 7 Z + 21 = s t x 2 y z 1 Conclusió la ecta t és la ecta donada pe les equacions: 8 X + 4 Y 5 Z 2 = 0 X + 2 Y Z + 3 = 0 2n mètode: Si hem calculat els peus de la pependicula comuna R i S són els extems del segment pependicula a totes dues ectes. Un punt genèic de és R(1 + λ, 2λ, 2) i un punt genèic de s és S(2 + 3µ, 2µ, 1 + µ).

4 Un vecto genèic que tingui l'oigen en i l'extem en s és: ( 1+ 3µ λ, 2µ 2λ, + µ ) RS = 3 De tots els possibles vectos ectes: RS, busquem aquell que sigui pependicula a les dues RS RS ( 1, 2, 0) = µ λ + 4µ 4λ = 0 1 5λ + 7µ = 0 ( 3, 2, 1) = µ 3λ + 4µ 4λ µ = 0 6 7λ + 14µ = La solució és: λ =, µ = 3 21 Substituint a i s obtenim els punts R i S. 1 8 R,, S,, Així doncs la ecta pependicula a i s, és la ecta que passa pe R i S RS =,, x = λ La ecta que busquem és: y = + λ z = 2 + λ 21 3) Consideeu el paal lelogam ABCD. Sabent que B(5, 1, 1) i C( 2, 3, 1) i D( 4,4,2). a) Obteniu el quat vètex i el cente del paal lelogam. b) Calculeu l'àea del paal lelogam i del tiangle BCD. (0,75+0,75=1,5 punts) a) Com que es tacta d'un paal lelogam, tenim que AB = DC. Si A ( x, y, z) : (5 x, 1 y, 1 z) = (2, 1, 1) d'on: 5 x = 2, 1 y = 1, 1 z = 1 x= 3, y=0 i z=2 A(3,0,2) El cente del paal lelogam és el punt mitjà d'una de les dues diagonals, així: M =,, b) Àea del paal lelogam= i j k = CB^ CD = = ( 4, 7, 1) = = 66 u

5 Àea del tiangle BCD = CB^CD 66 = 2 2 u 2 z 5 4) Donat el punt A(1, 0,1) i la ecta : x 3 = y+ 3= anem a toba el punt 3 simètic de A especte que anomenaem A'. Seguiu els passos següents a) Tobeu el pla π que passa pe A i que és pependicula a b) Tobeu la intesecció d'aquest pla π amb la ecta (aquest punt és la pojecció otogonal de A sobe la ecta ) c) Tobeu el punt A', és a di el simètic del punt A especte la ecta (0,75+0,75+0,5=2 punts) 3+ λ 3+ λ λ 4= 0 11λ = 11 λ = 1 M (2, 4, 2) Tobem el pla π que conté el punt A i és pependicula a : n π = v = ( 113,, ) 1 (x 1) + 1 (y 0) + 3 (z 1) = 0 x + y +3 z 4 = 0 Busquem el punt de tall de i π: Un punt abitai de la ecta és P λ = ( 3+ λ, 3+ λ, 5+ 3λ) imposem que aquest punt veifica l'equació de π i tenim que: El punt A' (x,y,z) és el simètic de A especte de M, pe tant M és el punt mig del segment A'A x + 1 y z + 1,, = 2, 4, 2 x = 3, y = 8, z = 3 A' 3, 83, ) ( ) ( ) a) Esciu l'equació del pla π deteminat pel punts A(0,2, 2), B(3,2,1) i C(2,3,2) b) Calcula el volum del tetàede limitat pels eixos de coodenades i el pla π. (0,5+1=1,5 punts) a) El pla deteminat pe A,B,C= π( ABC,, ) = π( AAB ; ; AC) sempe que els dos vectos siguin Linealment Independents AB = OB OA = (,,) 321 (,, 02 2) = (,,) 303 que ho són ja que no són popocionals. AC = OC OA = (,,) 232 (,, 02 2) = (,,) 214 Així doncs l'equació del pla π= π( ABC,, ) = π( AAB ; ; AC) és x 3 2 y = 0 3(z+2)+6 (y 2) 3x 12 (y 2)=0 z z +6 +6y 12 3x 12 y +24=0 3x 6y +3z = 18 x 2y +z = 6

6 b) Aa hem de talla aquest pla amb els eixos coodenats. {Eix OX } π = {y=0; z=0; x 2y +z = 6} = el punt P(6,0,0) {Eix OY } π = {x=0; z=0; x 2y +z = 6} = el punt Q(0,3,0) {Eix OZ } π = {x=0; y=0; x 2y +z = 6} = el punt R(0,0, 6) Així doncs el tetàede del qual hem de toba el volum és el deteminat pels vètexs O(0,0,0), P(10,0,0), Q(0, 5,0) i R(0,0,10) det OP, OQ, OR = = = 18 u Així doncs V= ( ) 3