INTRODUCCIÓ ALS MODELS NO EXPONENCIALS I XARXES DE CUES

Transcripción

1 INTRODUCCIÓ ALS MODELS NO EXPONENCIALS I XARXES DE CUES INTRODUCCIÓ A LES XARXES DE CUES. Concepte de xarxa oberta i tancada. Xarxes obertes i Teorema de Jackson. MODELS NO EXPONENCIALS Cua M/G/: Fòrmula de Pollaczeck-Khintchine. Cua G/M/: casos Ek/M/, Hip/M/, Hyp/M/. Ús de QTS_EXCEL. APROXIMACIONS PER A CUES GI/G/s. Aproximació d Allen-Cuneen. Aproximacions per a cues congestionades (Heavy Traffic) TCiS. Grau-IU UB-UPC I.O.E. Diplomatura de Estadística INTRODUCCIÓ ALS MODELS NO EXPONENCIALS UPC

2 XARXES DE CUES EXPONENCIALS Sistemes de cues exponencials formant una xarxa de muntatge de ordenadors o cotxes, per exemple. Podem considerar dos tipus de xarxes de S.E.: a) OBERTES. reben entrades de clients procedents de una o varies poblacions externes i que tenen sortides cap a l exterior;. b) TANCADES. No reben entrades de poblacions externes ni tenen sortides a l exterior. Número constant de clientes circulant dins de la xarxa. Exemple. Xarxa oberta de S.E. Pobl. Exter. Exemple. Sistema M/M/s/./N: Pobl. Grau IU UB-UPC. Esteve Codina TCiS Xarxes de Cues. U P C

3 Xarxes Obertes. Teorema de Jackson Condicions sota les que les xarxes obertes de S.E. presenten propietats per efectuar una anàlisis per descomposició.. El S.E. (nodo) i té un número de servidors s i de característiques idèntiques entre sí. Els temps de servei de cada servidor tenen distribució exponencial de probabilitats amb capacitat individual de servei μ i.. La capacitat de la cua en cada S.E. és il limitada.. Els clients que han estat servits en el nus i es reparteixen entre els nusos j E(i), emergents del i i, amb probabilitats p ij > constants al llarg de tota l evolució del sistema. 4. el temps associat a l arc (i,j) és zero. Si totes les arribades externes estan distribuïdes poissonianament i es verifiquen les condicions anteriors llavors s anomenen xarxes de Jackson i sobre elles pot aplicar-se el resultat del teorema de Jackson (957). Grau IU UB-UPC. Esteve Codina TCiS Xarxes de Cues. U P C

4 U P C Grau IU UB-UPC. Esteve Codina TCiS Xarxes de Cues. Teorema de Jackson. Segui una xarxa oberta de S.E. verificant les condiciones per a la descomposició anteriors, amb solucions del sistema: N j p r N i ij i j j,, + tals que i i i s μ < per a tot S.E. i,,n. Llavors cada S.E. es comporta com una cua M/M/s i amb entrades de clientes con taxa i i que presentarà en estat estacionari una distribució de probabilitats pròpia de les cues M/M/s i independent de la dels altres sistemes dins de la xarxa. + N NN N N N N N p p p p p p r r

5 U P C Grau IU UB-UPC. Esteve Codina TCiS Xarxes de Cues / / / / / / / / / 5 Pobl. Pobl. Exter. / / / / r r 5

6 Per tant les xarxes de Jackson exhibeixen de la propietat que la distribució de probabilitats del número de clients en una estació i y el número mig de clients en la estació es pot calcular tractant l estació i como un modelo M/M/ s i amb taxa d arribades i i taxa de servei per servei μ i. El procediment d anàlisis consisteix en els següents punts:. Estableix la matriu d incidències entre nusos, P, constituïda per la probabilitat p ij de cada possible transició de nus.. Resoldre el sistema de equacions lineal: r + P.. Verificar que i < si μi para i,,n. 4. El número de clientes total en la xarxa, L Total estació de servei: N L Total L i. i, és la suma dels clientes en cada Grau IU UB-UPC. Esteve Codina TCiS Xarxes de Cues. U P C

7 L 5. El temps esperat de permanència al sistema es W Total on r i és el i número mig de clients que arriben des de l exterior al sistema per unitat de temps. Exemple. Es vol dimensionar la xarxa de S.E. anterior i es disposa de servidors con taxa individual de servei μ. Determinar en cada nus el número mínim de servidors de forma que la xarxa de S.E. presenti estat estacionari i calcular les demores mitjanes en tots els S.E. de la xarxa. Se sap que les entrades als S.E., i són respectivament:,, 45. Per tant:. Per al nus, si s, ρ /μ / <.. Per al nus, si s, ρ /μ / <.. Per al nus, cal dotar-lo de s 4 servidors i llavors ρ /(s μ ) 45/(4 ) <. Els nusos i amb un sol servidor són cues de tipus M/M/ amb les mateixes taxes d entrada: ρ L L L 5, W W / ρ P - ρ -/ /6; N Grau IU UB-UPC. Esteve Codina TCiS Xarxes de Cues. U P C

8 El nus es comporta com una cua M/M/4: Si θ /μ 45/ llavors: 4 8,8 ( i P θ θ θ θ ρ + ) 5! 4! i 4!,656 Grau IU UB-UPC. Esteve Codina TCiS Xarxes de Cues. U P C

9 U P C Grau IU UB-UPC. Esteve Codina TCiS Xarxes de Cues. Exemple Es disposa de servidors amb taxa de servei μ. Per a la xarxa determinar: a) El número mínim de servidors en cada sistema de espera de forma que s arribi a l estat estacionari. b) La taxa de sortida de clients a l exterior per als S.E. i 4. Exter. 4 / / / / / / / / / + / / / / / / / / / / / / / / ,4,857,857 5,74 4

10 Per tant, per al sistema d espera són necessaris servidors, per al nus, servidors, per al nus són necessaris 7 servidors i per al nus 4, 9 servidors. Les sortides a l exterior per al nus,857/4,8. Les sortides per al nus 4 7,4/8,57. Per al nus, ρ /μ,95 θ /μ 5,74/,857 P + θ + θ + i θ ρ! i / Per al nus, ρ /μ,857/4,74, θ /μ,48 L q P θ ρ Lq.48 W +!( ρ ) μ. Grau IU UB-UPC. Esteve Codina TCiS Xarxes de Cues. U P C

11 El model M/G/ Els S.E. que responen a model M/G/ són aquelles que: o Les arribades segueixen un procés de Poisson amb taxa constant i igual a i són i.i.d. o Els temps de servei obeeixen a una distribució de probabilitat comuna qualsevol i són i.i.d, d esperança /μ i variança σ o Hi ha un únic servidor al sistema. Per aconseguir que s arribi a l estat estacionari n hi ha prou amb que el factor de càrrega sigui <. (ρ <) P - ρ TCiS. Grau-IU UB-UPC I.O.E. Diplomatura de Estadística INTRODUCCIÓ ALS MODELS NO EXPONENCIALS UPC

12 La fórmula de Pollaczek-Khintchine determina l esperança matemàtica de la longitud de cua en règim estacionari: Lq A partir de las fórmules de Little s obtenen la resta de magnituds, L, W, Wq. La fórmula reflecteix la influència de la dispersió dels temps de servei (variança σ ) en el comportament del S.E.: A major σ, major serà la longitud mitjana de cua Lq a igualtat de ρ i TCiS. Grau-IU UB-UPC I.O.E. Diplomatura de Estadística INTRODUCCIÓ ALS MODELS NO EXPONENCIALS UPC

13 Cas particular M/M/, tenemos σ /μ i la fórmula de Pollaczek- Khintchine es converteix en, coincidint amb el resultat trobat anteriorment. Cas particular M/Ek/: la distribució dels tempos de servei és Erlang de paràmetres k y μ /E[x], sa variança és /(kμ ), i en aplicar la fórmula de Pollaczek-Khintchine: TCiS. Grau-IU UB-UPC I.O.E. Diplomatura de Estadística INTRODUCCIÓ ALS MODELS NO EXPONENCIALS UPC

14 o En el cas M/D/, la distribució dels temps de servei és constant, de mitjana /μ unitats de temps (μ serveis per unitat de temps) y variança σ, la fórmula de Pollaczek-Khintchine determina l expressió de la longitud mitjana de la cua com, TCiS. Grau-IU UB-UPC I.O.E. Diplomatura de Estadística INTRODUCCIÓ ALS MODELS NO EXPONENCIALS UPC

15 QTS_EXCEL: CASOS M/Ek/, M/D/ M/E(k)/ system-size probabilities probability,,,8,6,4,, size M/D/ system-size probabilities probability,5,,5,,5,,5, size

16 APROXIMACIÓ DE LA CUA GI/G/s Fórmula d aproximació d Allen-Cuneen Exacta per a M/M/s, M/G/ Per a qualsevol sistema GI/G/s es verifica: TCiS. Grau-IU UB-UPC I.O.E. Diplomatura de Estadística INTRODUCCIÓ ALS MODELS NO EXPONENCIALS UPC

17 APROXIMACIÓ DE LA CUA GI/G/s Condicions properes a la saturació: heavy traffic Per a la cua GI/G/s, w q (v.a. temps d espera en cua) segueix una distr. aprox. exponencial i: TCiS. Grau-IU UB-UPC I.O.E. Diplomatura de Estadística INTRODUCCIÓ ALS MODELS NO EXPONENCIALS UPC

18 E(k)/M/ system-size probabilities CDF for E(k)/M/ line waiting times probability,,5,,5,,5, size cdf,,8,6,4,,,,,, time cdf CDF for E(k)/M/ system waiting times,,8,6,4,,,,,, time

19 CUA G/M/

20 CUA G/M/ TCiS. Grau-IU UB-UPC I.O.E. Diplomatura de Estadística INTRODUCCIÓ ALS MODELS NO EXPONENCIALS UPC

21

22 Pràctica 4: QTS_EXCEL: Aproximació d Allen-Cuneen

23 TCiS. Grau-IU UB-UPC I.O.E. Diplomatura de Estadística UPC