Bloque II. Aproximación Numérica Tema 3 Resolución aproximada de ecuaciones Ejercicios resueltos

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1 Bloque II. Aproimación Numérica Tema 3 Resolución aproimada de ecuaciones Ejercicios resueltos II.3-1 Resuelve de forma aproimada la ecuación f() = 0 en cada uno de los casos sigui entes. Utili za el método de bisección en el intervalo que se indica y el de Newton-Rapson y Newton modificado a partir de un punto inicial adecuado. Para to dos los casos, se para cuando el valor de la función es menor que a) f ln I 0.5,1 I 1, 0 I 2, 3 I 0,1 b) f e c) f 3 7 d) f sin cos Solución a) f ln I 0.5,1 0,5 1 f() -0, punto 0,5 0,75 1 intervalo 1 función -0, , punto 0,5 0,625 0,75 intervalo 2 función -0, , , punto 0,5 0,5625 0,625 intervalo 3 función -0, , , Matemáticas. Primer curso del Grado de CTA Bloque II. Aproimación Numérica. Tema 3. Resolución aproimada de ecuaciones Ejercicios resueltos 1

2 punto 0,5625 0, ,625 intervalo 4 función -0, , , punto 0,5625 0, ,59375 intervalo 5 función -0, , , punto 0,5625 0, , intervalo 6 función -0, , , punto 0,5625 0, , intervalo 7 función -0, , , punto 0, , , intervalo 8 función -0, , , punto 0, , , intervalo 9 función -0, , , NEWTON-RAPSON: f() solución 0, , n función derivada n+1 n=0 0,75 0, , , n=1 0, , , , n=2 0, , f() solución 0, , NEWTON-MEJORADO: n función derivada n+1 n=0 0,75 0, , , n=1 0, , , , n=2 0, , , , n=4 0, , , , n=5 0, , f() solución 0, , Matemáticas. Primer curso del Grado de CTA Bloque II. Aproimación Numérica. Tema 3. Resolución aproimada de ecuaciones Ejercicios resueltos 2

3 b) f e I 1, f() -0, punto -1-0,5 0 intervalo 1 función -0, , punto -1-0,75-0,5 intervalo 2 función -0, , , punto -0,75-0,625-0,5 intervalo 3 función -0, , , punto -0,625-0,5625-0,5 intervalo 4 función -0, , , punto -0,625-0, ,5625 intervalo 5 función -0, , , punto -0, , ,5625 intervalo 6 función -0, , , punto -0, , ,5625 intervalo 7 función -0, , , punto -0, , ,5625 intervalo 8 función -0, , , punto -0, , , intervalo 9 función -0, , , punto -0, , , intervalo 10 función -0, , , Matemáticas. Primer curso del Grado de CTA Bloque II. Aproimación Numérica. Tema 3. Resolución aproimada de ecuaciones f() solución bisección: -0, , Ejercicios resueltos 3

4 NEWTON-RAPSON: n función derivada n+1 n=0-0,5 0, , , n=1-0, , , , n=2-0, ,9648E-07 f() solución -0, ,9648E-07 NEWTON-MODIFICADO: n función derivada n+1 n=0-0,5 0, , , n=1-0, , , , n=2-0, ,1786E-05 f() solución -0, ,17863E-05 c f ) 3 7 I 2, f() -1 2 punto 2 2,5 3 intervalo 1 función -1 0,5 2 punto 2 2,25 2,5 intervalo 2 función -1-0,25 0,5 punto 2,25 2,375 2,5 intervalo 3 función -0,25 0,125 0,5 punto 2,25 2,3125 2,375 intervalo 4 función -0,25-0,0625 0,125 punto 2,3125 2, ,375 intervalo 5 función -0,0625 0, ,125 punto 2,3125 2, ,34375 intervalo 6 función -0,0625-0, ,03125 Matemática s. Primer curso del Grado de CTA Bloque II. Aproimación Numérica. Tema 3. Resolución aproimada de ecuaciones Ejercicios resueltos 4

5 punto 2, , ,34375 intervalo 7 función -0, , ,03125 punto 2, , , intervalo 8 función -0, , , punto 2, , , intervalo 9 función -0, , , punto 2, , , intervalo 10 función -0, , , f() solución 2, , NEWTON-RAPSON: n función derivada n+1 n=0 2,5 0,5 3 2, n=1 2, f() solución 2, NEWTON-MODIFICADO: n función derivada n+1 n=0 2,5 0,5 3 2, n=1 2, f() solución 2, d) f sin cos I 0,1 0 1 f() -1 0, punto 0 0,5 1 intervalo 1 función -1-0, , Matemáticas. Primer curso de l Grado de CTA Bloque II. Aproimación Numérica. Tema 3. Resolución aproimada de ecuaciones Ejercicios resueltos 5

6 punto 0,5 0,75 1 intervalo 2 función -0, , , punto 0,75 0,875 1 intervalo 3 función -0, , , punto 0,75 0,8125 0,875 intervalo 4 función -0, , , punto 0,75 0, ,8125 intervalo 5 función -0, , , punto 0, , ,8125 intervalo 6 función -0, , , punto 0, , , intervalo 7 función -0, , , punto 0, , , intervalo 8 función -0, , , NEWTON-RAPSON: f() solución 0, , n función derivada n+1 n=0 0,5-0, , , n=1 0, , , , n=2 0, ,4226E-07 f() solución 0, ,4226E-07 NEWTON-MODIFICADO: n función derivada n+1 n=0 0,5-0, , , n=1 0, , , , n=2 0, , , , f() solución 0, , Matemáticas. Primer curso del Grado de CTA Bloque II. Aproimación Numérica. Tema 3. Resolución aproimada de ecuaciones Ejercicios resueltos 6

7 II.3-2 Supongamos una población que evoluciona según la siguiente función: t 2t pt () = 50e - 3 La variab le t representa un tiempo co ntinuo. Queremos evaluar aproimadamente el instante en que la población será de 800 individuos. Para ello seguir los siguientes pasos: a) Encontrar una función, f(t), de modo que la solución del problema se obtenga al resolver f(t) = 0. b) Comprobar que hay una sol ución en el intervalo [2; 3] y aplicar el método de Bisección dos veces para dar un punto inicial 0 para el método de Newton-Rapson. c) Partiendo de este punto inicia l, aplicar el método de Newton-Rapson -3 hasta conseguir un valor de la función menor que 10. Solución a) Queremos resolver el problema no lineal: t 2t pt ( )- 800 = 0 f () t = 50e = 0 3 b) t 2 3 f(t) -431, , c) punto 2 2,5 3 intervalo 1 función -431, , , punto 2,5 2,75 3 intervalo 2 función -192, , , punto 2,75 2,875 3 intervalo 3 función -19, , , t f(t) punto inicio Newton 2,875 84, tn función derivada tn+1 n=0 2,875 84, , , n=1 2, , , , n=2 2, , , , n=3 2, ,5405E-08 t f(t) solución newton: 2, , Matemáticas. Primer curso del Grado de CTA Bloque II. Aproimación Numérica. Tema 3. Resolución aproimada de ecuaciones Ejercicios resueltos 7