Bloque IV. Ecuaciones Diferenciales de primer orden Tema 4 Métodos de Aproximación Numérica Ejercicios resueltos

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1 Bloque IV. Ecuaciones Diferenciales de primer orden Tema Métodos de Aproimación Numérica Ejercicios resueltos IV.- Usar el método de Euler para aproimar la solución del P.V.I. dado en los puntos =.,.,.,.,.5 usando tamaño de paso =.. a) =- d ( ) = b) = + d ( ) = = n + n + f ( n, n ) a) =- d ( ) = = = æ =, = + f (, ) = +, - = è ø æ, =, = + f (, ) = +, - =,9975 è ø æ, =, = + f (, ) =, , - =, 995 è, 9975ø æ, =, = + f (, ) =, 995 +, - =, è, 995ø æ, 5 =, 5 5 = + f (, ) =, +, - =,88 è,ø b) = + d ( ) = Matemáticas. Primer curso del Grado de CTA Bloque IV. E. D. de primer orden. Tema. Métodos de Aproimación Numérica Ejercicios resueltos

2 = = =, = + f (, ) = +, ( + ) =, =, = + f (, ) =,+, (,+,) =, =, = + f (, ) =,+, (,+,) =, =, = + f (, ) =, +, (, +, ) =,58 5 =, 5 5 = + f (, ) =,58 +, (, +,58) =,7 IV.- Usar el método de Euler para aproimar la solución del P.V.I. dado en =. Tomar diferentes pasos, =,.5,.5. = = = = + sen ( ) d ( ) = = = + f (, ) = + ( + ) = =.5 = = =, 5 = + f (, ) = +,5 ( + ) =,5 = = + f (, ) =,5 +,5 +,5 sen(,5,5) =,85 =.5 = = ( ) =, 5 = + f (, ) = +,5 ( + ) =,5 Matemáticas. Primer curso del Grado de CTA Bloque IV. E. D. de primer orden. Tema. Métodos de Aproimación Numérica Ejercicios resueltos

3 =, 5 = + f (, ) =,5 +,5 +,5 sen(,5,5) =,59 ( ) =, 75 = + f (, ) =,59 +,5 +,5 sen(,5,59) =,785 ( ) = = + f (, ) =,785 +,5 +,75 sen(,75,785) =,9 ( ) IV.- Usar el método de E uler mejorado con tamaño de paso =. para aproimar la solución del P.V.I. dado en los puntos =.,.,.,.,.5. = - d () = n+ = n + éf ( n, n) + f ( n +, n + f ( n n) ), ú = = =, é ë = +, 5 +, -. =.5 =, =,5 +, 5 é, -(,5) + f (,;,8) ú =,5 +, 5 é, (,5), (,8) ú =,77 =, =,77 +, 5 é, -(,77) + f (, ;,98) ëê ú =,77 +, 5 é, (,77), (,98) ëê ú =,89 =, =, 89 +, 5 é, -(, 89) + f (, ;,575) ú =, 89 +, 5 é, (, 89), (,575) ú =,5 5 =, 5 5 =, 5 +, 5 é, -(, 5) + f (,5;, 95) ú 5 =, 5 +, 5 é, (, 5), 5 (, 95) ú =,595 Matemáticas. Primer curso del Grado de CTA Bloque IV. E. D. de primer orden. Tema. Métodos de Aproimación Numérica Ejercicios resueltos

4 IV.- Usar el algoritmo de Euler mejorado para aproimar la solución del P.V.I. dado en = con tamaño de paso.5. = - - d ( ) = n+ = n + éf ( n, n) + f ( n +, n + f ( n n) ), ú = = =, 5, 5 [ ( )] ( ) = + +,5;,5,5,5,5,797 f = ë é ê ú =, 5 =, 5 =,797 + é -,797 -,797 + f (, 5;,5) ë, 5 =,797 +,797,797,5, é ë =, 5 =, 75 =, é -, , f (, 75;,55) ë, 5 =, , 7859, 7859,55,55,979 é ë =, 5 = =, é -, 979 -, f ( ;,5899) ë, 5 =, 979 +, 979, 979,5899,5899,557 é ë = IV.-5 Determinar las fórmulas recursivas del método de Talor de orden para el P.V.I. = cos( + ) d ( ) = p p n+ = n + f ( n, n) + f( n, n) + + fp( n, n )! p! Matemáticas. Primer curso del Grado de CTA Bloque IV. E. D. de primer orden. Tema. Métodos de Aproimación Numérica Ejercicios resueltos

5 f ( ) ( ) n, n = = ( cos( + ) ) =- ( + ) sen( + ) = =- ( + cos( + ) ) sen( + ) =- sen( + ) - cos( + ) sen( + ) + = + cos( + )- + cos( + ) sen +! ( ) ( ) n n n n n n n n IV.- Usar el método de Talor de orden con =.5 para aproimar la solución del P.V.I. dado en =. = + - d ( ) = Comparar esta aproimación con la solución verdadera, = + e -, evaluada en =. (, ) n+ = n + f n n + f( n, n)! ( ) ( ) ( ) ( ) f n, n = = + - = - =- + = = =, 5 = + f (, ) + f(, ) =, 5! =, 5 = + f (, ) + f(, ) =,5! =, 75 = + f (, ) + f(, ) =,8! = = + f (, ) + f(, ) =, 75! - - = + e () = + e =, 788 Matemáticas. Primer curso del Grado de CTA Bloque IV. E. D. de primer orden. Tema. Métodos de Aproimación Numérica Ejercicios resueltos 5

6 IV.-7 Usar el método de Runge-Kutta de cuarto orden con =.5 para aproimar la solución del P.V.I. dado en = : = - d ( ) = Comparar esta aproimación con la solución verdadera, =. = -e, evaluada en n = n + n+ = n + ( k + k + k + k ) + ü k = f ( n, n) ü æ k k = f n, n + + è ø æ k k = f n, + n + è ø k = f ( n +, n + k) n = = = n = =, 5 = + ( k + k + k + k) =-,9875 k = f (, ) =- ü æ k k = f,, + + =- 5 è ø æ k k = f,, =- è ø k = f ( +, + k) =-,55 n = =, 5 = + ( k + k + k + k) =-, 9 k = f (, ) =-,875 æ k k = f,, =- è ø æ k k = f,, + + =- è ø k = f ( +, + k) =-,7 n = =, 75 = + ( k + k + k + k) =- 5,95875 Matemáticas. Primer curso del Grado de CTA Bloque IV. E. D. de primer orden. Tema. Métodos de Aproimación Numérica Ejercicios resueltos

7 k = f (, ) =-,775 æ k k = f,, =- è ø æ k k = f,, =- è ø k = f ( +, + k) =-,5 n = = = + ( k + k + k + k) =-,779 k = f (, ) =-, 798 ü æ k k = f, 5, =- è ø æ k k = f, 5, + + =- 879 è ø k = f ( +, + k) =-7, 89 = -e ( ) = - e =-, 778 IV.-8 Usar el método de Runge-Kutta de cuarto orden con =.5 para aproimar la solución del P.V.I. dado en =. = + - d ( ) = n = n + n+ = n + ( k + k + k + k ) + ü k = f ( n, ) ü n æ k k = f n, n + + è ø æ k k = f n, + n + è ø k = f ( n +, n + k) n = = = n = =, 5 = + ( k + k + k + k) =, 88 Matemáticas. Primer curso del Grado de CTA Bloque IV. E. D. de primer orden. Tema. Métodos de Aproimación Numérica Ejercicios resueltos 7

8 k = f (, ) = ü æ k k = f,, = è ø æ k k = f,, = è ø k = f ( +, + k) =, 55 n = =, 5 = + ( k + k + k + k) =,5 k = f (, ) =, 559 æ k k = f,, = è ø æ k k = f,, = è ø k = f ( +, + k) =, 98 n = =, 75 = + ( k + k + k + k) =,8 k = f (, ) =, 98 æ k k = f,, = è ø æ k k = f,, = è ø k = f ( +, + k) =, n = = = + ( k + k + k + k) =, 789 k = f (, ) =,9 æ k k = f,, + + = è ø æ k k = f,,8 + + = è ø k = f ( +, + k) =,589 Matemáticas. Primer curso del Grado de CTA Bloque IV. E. D. de primer orden. Tema. Métodos de Aproimación Numérica Ejercicios resueltos 8