EJERCICIOS PROPUESTOS

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1 MATEMÁTICAS I Grados en Economía en A.D.E. U.D. Matemáticas para Economía Empresa Dpto. de Economía Aplicada Métodos Cuantitativos Facultad de Economía, Empresa Turismo CURSO 4-5 EJERCICIOS PROPUESTOS PARTE I: CÁLCULO DIFERENCIAL TEMA : FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL *. Supóngase que el costo en euros de fabricar q unidades de determinado artículo está dado por la función C( q) q q 5q.. Hallar Calcular el costo de producir unidades del artículo. b) Calcular el costo de producir la décima unidad. f( ) si f ( ) 5. *. Un estudio ambiental en cierta comunidad suburbana revela que el nivel medio diario de monóido de carbono en el aire será C( p).5p partes por millón cuando la población sea p miles. Se estima que dentro de t años la población de la comunidad será p( t).t miles. Epresar el nivel de monóido de carbono en el aire como una función del tiempo. b) Cuándo llegará a 6.8 partes por millón el monóido de carbono? 4. Hallar todos los puntos de intersección de las gráficas f ( ) g( ). *5. Un fabricante puede producir radios a un costo de $ la unidad estima que si se venden a dólares cada uno, los consumidores comprarán aproimadamente 8 radios cada mes. Epresar el beneficio mensual del fabricante como una función del precio, dibujar la gráfica de esta función determinar el precio al cual el beneficio del fabricante será maor. Eplicar las intersecciones con los ejes en términos económicos. *6. Sabiendo que el equilibrio de mercado tiene lugar cuando la cantidad ofertada coincide con la demandada ( QS QD), determine el precio cantidad de equilibrio en los siguientes mercados: Q p Q 5p. S b) Q 45 8p Q 5 p. S c) Q 7 p Q 8 9p. S *7.-Un club acepta ofrecer un banquete a los primeros huéspedes que se inscriban a un precio de 5$ cada uno a los huéspedes adicionales a $ cada uno. Eprese el coste del banquete en función de los huéspedes. 8. Calcular los límites de las siguientes funciones: D D D lim b) ( ) ( ) lim 5( ) 6 5( ) 5. c) lim 5.

2 d) g) 4 lim e. e) lime /. f) lim (ln ). h) lim f ( ); f ( ). i) lim ln. 9. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones clasificando sus puntos de discontinuidad: d) f( ) 9. b) f ( ) E f ( ) ln( ). lim sen,. c) f ( ),., *. La función de demanda de cierto producto lanzado al mercado, a lo largo del tiempo, puede aproimarse bastante bien por:, t D t at bt c t ( t) 9 e, t ( ), donde t viene epresado en meses D en millones de items. Calcular a, b c para que D sea continua en [, +). b) Estudiar la derivabilidad de la función resultante. *. Calcular las derivadas de primer segundo orden de las siguientes funciones: =5. b) =k (k). c) =k (k). d) =5 ++. e) =(+) 4. f) =e. g) =e. h) e. i). / e. j) =ln( +) 5. k) =()e. l) =( +)ln. m). n) ( ). o) e. e ln p).. Calcular la derivada de primer orden de las siguientes funciones en los puntos = =. Interpretar todos los resultados. =+. b) =. c) = +.. Probar que la función 6 4 es creciente para todo valor de /. *4. Calcular los valores de a b para que la función a b, ( ) sen sea continua derivable.

3 *5. Representar gráficamente las siguientes funciones: ( ) 5. b) e) i). ( ) *6. Representar gráficamente la función f) ( ) c) ln. d). g) e ( ) e /.. h). e e. Qué propiedades importantes observas?. *7. Dibujar la curva dada por: ( ) 9 Representa dicha ecuación una función? Por qué? 8. Sea la función a f ( ). Determinar a para que: * f() posea un mínimo en =. * f() posea un máimo en =. 9. Calcular los coeficientes a b de la parábola a b para que pase por el punto (,) tenga un máimo en el punto (5,5).. Calcular el desarrollo de Talor hasta el orden 4 de la función en desarrollo para calcular aproimadamente con una calculadora... Emplear este. Compara el resultado obtenido con el conseguido *. Epresar el desarrollo de Talor de las siguientes funciones en el entorno de =. sen b) ln(+) c) e. Utilizar los resultados anteriores para calcular aproimadamente sen(.5), ln(.),, e... Epresar el desarrollo de Talor de sen en el entorno de = *. Supóngase que el suministro de un artículo de consumo está relacionado con el precio por la ecuación a b c en la cual a>, b> c> son constantes determinadas. Demostrar que la curva de suministro es creciente para todos los valores de >c. Trace la curva para c. *4. En cierta industria el costo total de producir unidades de un producto está epresado por la función C( ) a b en la cual a,b> son constantes determinadas. Demostrar que la curva del costo C ( ) promedio, definida por CMe( ) es decreciente cuando aumenta. Trace la curva para >. *5. Sea p el precio de un bien Q(p) la cantidad demandada del mismo a este precio. Si sabemos que Q() 5,, Q(.).67, calcular aproimadamente cuánto cambia la Q demanda por unidad de cambio en el precio ( ) a partir de p p. b) Si sabemos que la función de demanda es: Qp ( ), calcular la función de demanda marginal p cuánto vale esta en p. Comparar el resultado con el obtenido en el apartado anterior..

4 6. La función precio-demanda para los departamentos de un proecto dado está epresada por p( ) 5 4,5 en la cual p es precio en dólares por mes, es el número de departamentos alquilados. Para qué número de departamentos alquilados el ingreso marginal de las rentas será cero? *7. Un economista que estudia varios modelos para representar la relación entre el precio p la demanda para diversos artículos de consumo obtiene lo siguiente: *Algodón en EE.UU..4 p.. *Mantequilla en Estocolmo p 8 Hallar los ingresos marginales respectivos. 8. Supóngase que el costo de producción de unidades de un producto viene epresado por C( ) 5 Cuál es la función de coste medio? b) Cuál es la función de coste marginal? c) Siempre que aumenta la producción aumenta el coste? d) Dónde se cortan las gráficas de a b? 9. Supóngase que la función de ingreso total en la producción de unidades de un producto se epresa como: I( ) 5 6 Cuál es la función precio-demanda?. b) Cuál es la función de ingreso marginal? c) Para qué producción se hacen máimos los ingresos? Qué precio se tiene en esta situación? *. La relación precio-demanda de un artículo viene dada por p, en la que ha una demanda de cuando el precio es p (nótese que no es la demanda sino el % de la demand. Encontrar la función de ingreso total. b) Encontrar la función de ingreso marginal.. Dadas las siguientes funciones de demanda de un bien, obtener las elasticidades para un precio p=5: q p p b) q. p. *. La función de demanda para un bien particular está dada por la epresión ( ) / para donde es el precio por unidad el número de unidades demandadas. Considérese el punto =, =. Si el precio disminue en un 6%, determinar el incremento correspondiente a la cantidad demandada una aproimación a la elasticidad de la demanda en el punto =, =. Comparar esa aproimación con la elasticidad eacta de la demanda en el punto indicado. *. La demanda de margarina está relacionada con el precio de la mantequilla por la epresión q 5 p donde q es la cantidad demandada de margarina (en cientos de kilos) p el precio de la mantequilla (en u.m. por kilo). Calcular, sin utilizar la derivada, la elasticidad de la demanda de margarina cuando el precio de la mantequilla varía de.8 u.m. a. u.m. el kilo. 4

5 TEMA : FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES REALES *. Sea la función de utilidad u dependiendo del consumo e de dos bienes, definida por u(, ) ( ). Hallar la epresión de la curva de indiferencia que se obtiene para una utilidad u=. b) Comprobar que si se consume =, =4 unidades, entonces estamos sobre la curva de indiferencia anterior. c) Obtener otra combinación de cantidades a consumir que proporcione la misma utilidad.. Estudiar la eistencia de límite en el origen de las siguientes funciones: f (, ) 4 b) e) f (, ) sen(/ ) f) f (, ) c) f (, ). Estudiar la continuidad de las siguientes funciones: f (, ) ( )sen( ) b) f (, ) d) g) f (, ) e e 5 f (, ) d) f (, ) sen( ) e) f (, ) 4. Estudiar la derivabilidad de z(, ) c) f (, ) ( ) f (, ) e h) f (, ). Puedes concluir algo para la diferenciabilidad?. 5. Dada la función z(, ) ( ). Calcular ' z (,), ' z (, ), '' '' z (,), z (,). *6. Calcular derivadas parciales de primer segundo orden de las siguientes funciones: z 4 b) z ( 4 ) c) z 4 d) z e) z ln( ) f) e z g) z h) e z ln 7. Calcular derivadas parciales de primer orden de las siguientes funciones: z ln( ) b) ( ) e z c) / z e d) z ln( ) a b cz e) z e sen f) u e z z, a,b,c g) u h) e ( u ) ( v ) ( w ) w *8. Hallar la diferencial primera segunda de las siguientes funciones: / /4 /5 a z. b) z sen cos 4. c) z e cosb, para a,b d) z e. Cuánto valen cada una de ellas en el punto (,)? Obtienes un valor numérico? 9. Dada z f (, ) sen( ), obtener sus dos primeras diferenciales totales en (/,) siendo =. e =-., utilizarlas para estimar f( Δ, Δ) en (/,). Calcular a continuación el verdadero valor estimar el error que se comete con el uso de las diferenciales. 5

6 6. Sin utilizar la calculadora calcular aproimadamente 65 ln(. ). Compara el resultado obtenido con el conseguido con una calculadora. *. Comprobar que para valores pequeños de e se puede escribir la igualdad aproimada siguiente: e ln( ) / *. Se lanza un nuevo producto al mercado. El volumen de ventas se incrementa como una función del tiempo t (en meses) de la cantidad A (en u.m.) gastada en publicidad según la ecuación: Calcular, t A 6, A (5 e )( e ). Evaluar estas derivadas cuando t= A=4 e interpretar su resultado.. Se estima que la producción semanal en cierta planta (unidades) está dada por la función Q(, ) 5, donde es el número de trabajadores cualificados e es el número de trabajadores no cualificados empleados en la planta. En la actualidad, la fuerza laboral está conformada por trabajadores cualificados 6 no cualificados. Aplicar el análisis marginal para calcular aproimadamente el cambio resultante en la producción semanal al adicionar un trabajador cualificado, si no cambia el número de trabajadores no cualificados. 4. Sea N el número de peticionarios de plaza en una universidad, p los costes por alimentación vivienda t el coste de la matrícula. Supongamos que N es una función de p t tal que N N,. Cómo interpreta el hecho de que ambas parciales sean negativas? p t *5. Dada una empresa que produce pañuelos según la siguiente función de producción: t Q( M, M, L) M M L M M L donde M es el tiempo de utilización de la máquina, M el de la máquina L la cantidad de mano de obra, calcular la productividad marginal de la producción respecto de las horas empleadas en cada máquina respecto de L e interpretar su significado.,7, *6. Dada la función de producción z 8L K, donde L> es el factor trabajo K> es el factor capital, calcular las productividades marginales respecto a cada uno de los factores productivos determinar si los factores son normales, competitivos o independientes entre sí. 7. Dada la función de producción z f (, ) K, con,> k,a,b constantes positivas, determinar: La productividad marginal de cada factor. b) El carácter creciente o decreciente de la respectiva productividad marginal de cada factor cuando cambia el propio factor, siendo el otro constante. c) Si la productividad marginal de cada factor depende o no de las cantidades aplicadas del otro. 8. Una empresa produce dos tipos de artículos en cantidades e, con una función de costes C(,), de manera que los precios a los que cobra dichos artículos en el mercado son, respectivamente, p p, conocidos para ella en cua determinación no interviene. Determinar la variación aproimada en su posible beneficio si las cantidades a producir eperimentaran modificaciones, respectivamente, d d, así como la epresión que permitiría conocer el carácter (si es creciente, decreciente o constante) de esa variación. a b

7 9. Sabiendo que la función de demanda de un bien X es p Ln p siendo p=4 p=e respectivamente el precio de los bienes X e Y, estudiar la variación de la cantidad demandada cuando los precios respectivos aumentan en,,. Observa la utilidad de la diferencia l como medida aproimada de la variación de una función. *. Una empresa puede producir P unidades de su producto al utilizar L unidades de mano de obra K /4 /4 unidades de capital con P L K. Calcular la producción total cuando L=8 K=6. b) Aproime el efecto de reducir L a 8 e incrementar K a 7, sin necesidad de calcular el verdadero valor de la función en este nuevo punto.. Dada la función de producción P KL C donde P representa la producción, L el trabajo, C el capital K,, son constantes, determinar dp. Para qué puede servir dp? /. Dada la función de producción V ( K L ) donde V es la producción, K el capital, L el trabajo,, constantes, hallar dv. En qué conteto puedes utilizar este resultado? Pon un ejemplo. *. Suponiendo que la cantidad demandada q por un consumidor de determinado bien es función del precio de dicho bien p, del precio de un bien sustitutivo p de la renta disponible R: q 5 p p, R calcular las elasticidades de q respecto a p, p R cuando p=, p=8 R= Las investigaciones realizadas por una empresa han permitido determinar la función de demanda de su producto: d( p, A, r) p Ln A 8Lnr donde p es el precio unitario de venta, A las unidades monetarias anuales dedicadas a publicidad r la renta media de los consumidores. Hallar la epresión de las elasticidades parciales respecto a cada una de las variables de que depende la función. 4 6 *5. Dadas las funciones de demanda:, de dos bienes cuos precios son p q p q pq respectivamente, calcular las funciones de demanda marginal, las elasticidades parciales estudiar el tipo de relación eistente entre los bienes. 6. Una empresa oferta un bien A según la función q( p) p, con > donde p es el precio unitario de A. Un estudio de mercado permite conocer eplícitamente la función de demanda del bien: d( p) p, con > Calcular en función de el precio p* de equilibrio de mercado. b) Calcular p* p*, e interpretar gráficamente los resultados. 7

8 TEMA 4: FUNCIÓN COMPUESTA, IMPLÍCITA, INVERSA *. Hallar la función compuesta g[h()] si b) Si 5 f ( ) 4( ) g( u) u u h( ). hallar un par de funciones g(u) h() tal que f()=g[h()]. *. Dadas las siguientes funciones, calcular las derivadas de la función compuesta que se indica: b) c) 4, 6t z, z e sent, calcular:, e t d ( t ) dt., calcular:, t u, 4t u, calcular: dz ( t ) dt. z ' ( t, u ),, t ' u z ( t, u ). *. Dadas w=f(u,v) donde u z, v z, calcular: w,w, w z b) Primera diferencial de u de v en función de,, z. c) Primera diferencial de w en función de,, z. 4. Dada la función F(,)=f(u), siendo u, calcular ' ' ' ' ' ',,,, F F F F F F. 5. Sea la función z f ( a) g( a) donde a es una constante. Calcular que sean las funciones f g. ' ' ',, z z z, cualesquiera *6. Sea z=f(u,v), con u= +, v=-. Calcular dz(,) en = e =, sabiendo que z u(,)= z v(,)=-. 7. Sea f(u,v) una función continua derivable parcialmente en z una función de las variables,,t definida por la epresión: z f ( t, t). Si denotamos u t, v t, sabiendo que f(,)=, f u(,)=5, f v(,)=, calcular: dz(,,) b) Calcular aproimadamente z(,,.8) utilizando el desarrollo de Talor de º grado. Podrías conocer su valor eacto? 8. Sea C( ) la función de costes de una empresa, donde indica la cantidad producida, definida para >, C. Representa gráficamente la función de costes la función de producción, (C). b) Puedes obtener una epresión eacta para (C)? c) Calcula (C) (C). d) Calcula una epresión aproimada para (C) cerca de C=. 8

9 *9. Razonar si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones: La función ( ) 4 tiene función inversa () para todo real. Además esta función inversa es derivable verifica que: b) La función ( ) '() 4. ( ) e tiene función inversa () para todo real, verificando que. Además esta función inversa es derivable verifica que: z '( ) c) La ecuación F(,, z) e z define a z como función implícita de e, verificando: z(, ). Además: z ' (,). d) La ecuación F(,, z) z z 6 define a z como función implícita de 4 e en un entorno del punto (,,) además z ' (,). *. Dada la función definida implícitamente por Puedes despejar en función de? e e. b) Comprueba que aunque no puedas despejar, puedes calcular (), (). Qué condición se tiene que verificar para que estén bien definidas? c) Calcular (), (). d) Encontrar una epresión eplícita aproimada para () en un entorno del origen a través de la fórmula de Talor.. Hallar z z para la función z=z(,) dada implícitamente por la epresión: z z.. Sabiendo que z=f(,) viene dada implícitamente por la epresión z. z e z 5, calcular z. Dada z=f(,) definida implícitamente por la ecuación z sen( z), calcular dz(,). Utiliza la diferencial para escribir una epresión lineal aproimada para z en un entorno del origen. *4. Sabiendo que z viene definida implícitamente por la ecuación: z z Calcular las derivadas parciales de primer orden en el punto (,). 5. Sea z(,) la función implícita definida por f ( z) g( z) siendo f g funciones suficientemente diferenciables. Calcular las derivadas parciales de z de primer orden. 6. Sea z=f(,) una función dada implícitamente por F( z, z) donde F es una función de dos variables diferenciable. Calcular las primeras derivadas parciales de z. 9

10 *7. Si la función de producción z viene dada de la forma siguiente: z 4 5, calcular las productividades marginales estudiar si son normales o sustitutivos los factores de producción. *8. Sabiendo que la ecuación F( q, p, p, ) pq 5q p 4 8 define una función implícita de demanda de un bien q=q(p,p,) donde p es el precio propio, p el precio de un bien relacionado e el ingreso, se pide hallar las elasticidades de la demanda respecto al propio precio las cruzadas en el punto (p,p,)=(,,). Qué clase de bienes son los bienes? Realizar este ejercicio también eplícitamente despejando q comparar los resultados. 9. La ecuación 4 5 representa la frontera de posibilidades de producción de dos bienes en cantidades e. Calcula la pendiente de esta frontera ( d d una unidad más de a partir de = ( ( ) ). d d ) el coste de oportunidad de producir

11 TEMA 5: FUNCIONES HOMOGÉNEAS *. Dadas las siguientes funciones, demostrar si son o no homogéneas caso de serlo, ratificarlo por el teorema de Euler: z(, ) b) f (, ) c) z(, ) e e d) 5 a z(, ) 6Ln( ) Ln(4 ) e) z(, ) f ( / ) f) z(, ) f ( / ) g( / ) n n. Dada la función n/ a n n / a z(, ) ( ), se pide: Estudiar su homogeneidad, calculando en su caso su grado. b) Calcular z. Es homogénea? c) Determinar el valor de la epresión z +z. *. Sabiendo que f es una función homogénea de grado / que f(,4)=6, calcular : f(/,) b) f (,)+f (,) c) Si además f (,)=, calcular f (,) +f (,) 4. Sabiendo que h(u,v) es homogénea de grado que h u(,)=7 h uu(,)=6, hallar h uv(4,4). 5. Dada la función z f ( / ) g( / ), comprobar si es homogénea obtener el valor de la epresión z +z + z sin calcular estas derivadas parciales. *6. Dada una función homogénea f(,). Es posible que la respuesta. f ' (, ) 4 ' 4 f (, ) 6? Razona b c 7. Sea u(, ) a (a,b,c constantes), se pide: Encontrar la relación que ha de eistir entre dichas constantes para que u(,) sea homogénea. b) Idem para que u(,) sea homogénea de grado. c) Aplíquese, si es posible, el teorema de Euler en ambos casos. 8. Razonar la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones: Si f: R R es homogénea de grado, entonces f f. b) Sean f,g:r R. Si f es homogénea de grado m g es homogénea de grado n, entonces el producto de las funciones, fg, es una función homogénea de grado m+n. f (, ) c) Si f(,) g(,) son dos funciones homogéneas de grado entonces 9 es homogénea g(, ) de grado. d) Si una función de producción Q=f(K,L) es homogénea entonces LQ L+KQ K=KQ. 9. Dada la función de producción P TK ln K siendo P,K, T respectivamente producción, capital T trabajo, comprobar que es homogénea de dos formas diferentes.

12 Q L *. Sea Q=Q(K,L) una función de producción dada implícitamente por la igualdad: f K, siendo f(u) una función cualquiera derivable: Calcular las productividades marginales Q K,, Q L. b) Es Q una función homogénea sea cual sea f(u)? Si a partir de determinado nivel de K L aumentamos ambos en un % qué ocurrirá con la producción? c) Sabiendo que Q(,)=5, calcular Q K(,) Q L(,) e interpretar económicamente el resultado. Utilizar la diferencial para aproimar la producción que se tendrá cuando K=9 L= (Q(9,)).. Dada la función de producción Q BL f ( K / L ) (, B constantes K, L factores productivos, L ), hallar, mediante el teorema de Euler, la relación entre para que Q sea homogénea cualquiera que sea la función f. Hallar el grado de homogeneidad razonar qué tipo de rendimientos a escala presenta Q. *. Dada la función de producción CES (elasticidad de sustitución constante) c c / c Q(, ) ( a b ), con a,b,c constantes positivas Cuál será el efecto sobre el nivel de producción de una variación proporcional en los factores productivos e? Qué propiedad podrías entonces atribuir a dicha función? *. Dada la función de producción de Cobb-Douglas Q( K, L) AK L (A,,>, K=capital, L=trabajo), se pide: Demostrar que es homogénea mediante el teorema de Euler b) Podemos afirmar que la función posee rendimientos a escala crecientes si la suma de las elasticidades respecto a los factores productivos es maor que? c) En general, en una función tipo Cobb-Douglas, podemos deducir el tipo de rendimientos a escala basándonos en la suma de las elasticidades? d) Se podría generalizar el enunciado anterior a una función homogénea cualquiera? Y a una función cualquiera no homogénea? 4. Sea la función de producción: / Q( K, L) L gk Le K L, con,g> ciertas constantes: Presenta rendimientos a escala? De qué tipo? Justifica económicamente el resultado. b) Epresar las funciones de productividad marginal en función de la relación capital/trabajo (h=k/l). c) Es cierto, según el teorema de Euler, que en tal situación la producción se distribue totalmente entre los factores productivos de acuerdo con la contribución de cada factor a la producción (esto es, según Q K Q L, respectivamente)? Por qué? 5. Sabiendo que la función de oferta de un bien A es Q f ( p, p ) dada por la epresión: A B A B A B Q 6p p p p, donde pa es el precio propio pb el precio de un bien B relacionado, demostrar que la suma de la elasticidad respecto al propio precio la cruzada es igual al grado de homogeneidad de la función sin calcular las elasticidades.

13 PARTE II: CÁLCULO INTEGRAL TEMA 6: LA INTEGRAL DE RIEMANN. Razonar la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones: La primitiva de una función integrable es única. b) Si f ()=g () entonces f()=g(). c) b f ( ) d a es una función de. d) Si f() es continua en ab entonces eje OX las rectas =a, =b. *. Resolver las siguientes integrales: b f ( ) d a representa el área acotada por la curva =f(), el e) 4 ( 5 )d b) /4 cos (sen ) e d f) 5 d c) 5 (5 6)d / sen cos d g) d) / /4 d tg h) /4 d cos d i) 6 e sen d j) ln d k) ed l) / cos d. Resolver las siguientes integrales haciendo el cambio de variable que se indica entre paréntesis: d (cambio de variable: 4 t ). b) d (cambio de variable: t ). *4. Calcular el área de la región limitada por las siguientes curvas: 4, b), c), d) 4, e), f) 4, g),, =, 5. Un negocio que no obtiene beneficios actualmente ha de aumentar sus beneficios gradualmente en los próimos cuatro años hasta alcanzar un ritmo de 6 millones de dólares por año. Al final del primer semestre el ritmo ha de ser de un cuarto de millón anual al final del segundo año de 4 millones anuales. En general, al cabo de t años (<t<4), su ritmo de beneficios ha de ser t millones anuales. Estimar el beneficio total durante los cuatro años si el plan cumple sus objetivos. 6. Dada la función de coste marginal C '( Q) Q 8Q, cuál es la disminución en el coste total C(Q) cuando la producción total fabricada se reduce de a unidades? *7. Si la tasa de ventas de un producto evoluciona según la función f( t) 7e t, t, donde t es el tiempo en días desde el comienzo de cierto año, hallar las ventas totales en los cinco primeros días. *8. Si el consumo marginal es una función del ingreso, como la dada por C '( ),6,, si el consumo autónomo (C) es 45 cuando el ingreso es cero, hallar la función de consumo C(). /

14 9. La función de ahorro marginal viene dada por S '( ),5, donde representa el ingreso. Ha un no-ahorro (desahorro) de,5 u.m. cuando =5. Determinar la función de ahorro S().. Sabiendo que la función de coste marginal de una empresa viene dada por costes fijos son 6, determinar la función de coste total. /,5 C'( Q) e Q que los. Sabiendo que la tasa de ventas de una empresa es una función del tiempo de la forma f( t) e, donde f(t) se mide en millones de u.m. t en meses, calcular el beneficio que se espera obtener durante los primeros 6 meses, sabiendo que el beneficio es la diferencia entre el % de las ventas menos los costes, que los costes ascienden a. u. m. en total a lo largo de este período. *. Si la tasa de ventas de un producto es f( t) 5( e ), calcular la tasa media de ventas en el intervalo,5.. Durante varias semanas el departamento de carreteras ha registrado la velocidad del tráfico que flue por cierta salida del centro de la ciudad. Los datos indican que entre la las 6 de la tarde de un día de trabajo la velocidad del tráfico en la salida es aproimadamente S( t) t t t km/hora donde t es el número de horas después del mediodía. Calcular la velocidad media del tráfico entre la las 6 de la tarde. 4. La tasa de ventas de un producto de temporada vienen dadas por el modelo: t S( t) 74,5 4,75sen( t / 6) donde S se mide en miles de unidades el tiempo t en meses, de forma que suponemos que el intervalo (,] corresponde al mes de Enero, el intervalo (,] al mes de Febrero, etc. Hallar las ventas promedio respectivamente durante el primer trimestre, el segundo trimestre el año entero. 5. Supóngase que el precio de la gasolina aumenta de acuerdo con la ecuación p( t),t,t donde p es el precio en euros por litro t representa el tiempo en años (t= representa el año ). Si se conduce un automóvil 5. km. al año recorre M km. por litro, el coste de combustible en el año t es de: 5. t C= C p( u)du M. t Calcular el coste de combustible anual en los años 5 b). *6. Sabiendo que la cantidad demandada el precio de equilibrio en un mercado de libre competencia vienen determinados, según el caso, por las funciones de demanda oferta respectivamente dadas por:,t p qd, p ( q s ) b) p, 4q d, p 4q s c) p q d, p 4q s 5 Determinar, en cada caso, gráfica analíticamente el ecedente del consumidor del productor, interpretando económicamente los resultados. 4

15 TEMA 7: EXTENSIONES DE LA INTEGRAL DE RIEMANN. Resolver las siguientes integrales: d. b) d. c) d. d) cos d. e) d, p>. f) p e p d, p. g) d. h) ln d. i) d p, p>. j) d p, < p<. k) d p, p>. l) d p, p>.. Razonar la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones: El área de la superficie encerrada por una función no negativa el eje, desde = hasta infinito, es siempre infinito. b) e d. c) Si hacemos el cambio de variable = se deduce que: d sen d) d es una integral impropia. t/7 e t *. Sea la función f() t 7. Demostrar que se verifica: t d d d f ( t)dt (Se dice entonces que f(t) es función de densidad de probabilidad). b) Hallar 5 f ( t )dt (Coincide con la probabilidad de que t esté entre 5) c) Hallar tf ( t)dt (Coincide con el valor esperado de t). 4. Si el flujo de dinero pudiera eistir permanentemente, el valor actual del flujo sería: rt VA= I( t) e dt, donde I(t) es el ritmo de flujo en el momento t r constante (<r<) es la tasa nominal. Calcular el valor actual del flujo en el caso de que I () t t, r=,. Si la tasa nominal r fuese maor el valor actual crecería o decrecería? Justifica tu respuesta. *5. Sabiendo que el coste de capitalización de un activo C durante n años viene dado por C C C( t) e dt donde C es la inversión original, t el tiempo en años, r el interés anual n rt compuesto continuamente C(t) el coste de mantenimiento actual, suponiendo C( t) 5(,8 t), r=,, C =65, calcular el coste de capitalización de un activo: Durante n=5 años. b) Para siempre. 5

16 6. Razonar si es verdadero o falso que una integral doble es el producto de dos integrales simples. 7. Calcular de dos formas diferentes las siguientes integrales dobles: * * b) c) d) ( )d d D etendida al recinto D limitado por las rectas =, =, = e =4. ( ) d d en el recinto D limitado por el eje de abscisas las rectas =, =. D ( )d d D en el recinto D={(,) /,, + }. 9 dd en el recinto D limitado por los ejes de coordenadas la recta +=. D * 8. Dibujar el dominio de integración en los siguientes casos plantear la integral que resulta al cambiar el orden de integración: f (, )dd b) 9. Dadas las integrales dobles u u c lnp f ( p, q )d q d p f ( u, v)dvdu c) (c). dd / Dibujar el recinto de integración. 4 ln b) Plantear la integral cambiando el orden de integración. c) Resolverla en cualquier orden. dd, se pide, para cada una de ellas: *. La función de utilidad de un consumidor viene dada por u, donde e representan las cantidades que se consumen de dos bienes determinados, teniendo en cuenta que la suma de ambas cantidades tiene que ser menor o igual a. Calcular en ese caso la utilidad media que puede recibir el consumidor. *. En Estadística, dadas dos variables aleatorias X, Y una función no negativa f (, ) (que se denomina función de densidad conjunta ), la probabilidad de que el par ordenado (X,Y) esté en una región R, viene dada por la fórmula. P (( X, Y ) R ) f (, )d d f (, )d d R Supongamos que la variable aleatoria X representa el tiempo (en minutos) durante el cual una persona hace cola en cierta entidad bancaria e Y representa el tiempo (en minutos) durante el cual una persona está sentada en la sala de espera de cierta gestoría. Si hemos adquirido una vivienda para ello necesitamos ir al banco a retirar cierta cantidad de dinero, que luego entregaremos en la gestoría para hacer una previsión de fondos, si f (, ) e es la función de densidad conjunta para X e Y, hallar la probabilidad de que el tiempo total de espera no sea superior a los minutos. R 6