Tema 1. Estadística Descriptiva

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1 RELACIÓN DE PROBLEMAS MATEMÁTICAS II Curso 2017/2018 Escuela Técnica Superior de Ingeniería Agronómica Departamento de Matemática Aplicada I Tema 1. Estadística Descriptiva 1.1. Consideremos los siguientes veinte datos: (a) Construir la distribución de frecuencia y la distribución acumulada de los datos. (b) Representar los datos en un diagrama de barras Los siguientes datos se refieren al número de dientes por hoja en bulbos de ajo: (a) Construir la tabla de distribución de frecuencias y representarla gráficamente. (b) Representar los datos en un diagrama de barras y en un polígono de frecuencia. (c) Cuál es el porcentaje de hojas con menos de dos dientes? (d) Cuál es el porcentaje de hojas con más de dos dientes? (e) Hallar la media muestral, la mediana, la varianza y la desviación típica para el número de dientes por hoja En un examen de Estadística se obtuvieron las siguientes notas: (a) Hallar la distribución de frecuencia clasificando los datos en cuatro clases (cerradas a la izquierda y abiertas a la derecha): 60-70, 70-80, 80-90, , y representar los resultados en un histograma. (b) Hallar la media muestral, la mediana, la varianza y la desviación típica para los resultados obtenidos en el examen de Estadística A cada finca de una empresa fresera, asisten 20, 50, 30 y 100 trabajadores, respectivamente. (a) Calcular la media y la desviación típica del número de trabajadores.

2 2 Matemáticas II (b) Si un día fuerte de campaña acuden 5 trabajadores más a cada finca, qué efecto tendrá sobre la media y la desviación típica? 1.5. Hallar los percentiles P 21, P 40 y P 75 de los siguientes datos: La mediana, el primer y el tercer cuartil de una distribución que mide (de 1 a 100 puntos) la aptitud para el desempeño de la poda de árboles en un grupo de trabajadores son, respectivamente, Me = 46, Q 1 = 31 y Q 3 = 67. Completar las siguientes afirmaciones, razonando las respuestas: (a) El 75% tiene un aptitud superior o igual a. (b) El 25% tiene una aptitud superior o igual a. (c) El (d) El (e) El % tiene una aptitud igual o menor a 46 puntos. % tiene una aptitud superior o igual a 46 e inferior o igual a 67 puntos. % tiene una aptitud superior o igual a 31 e inferior o igual a 67 puntos Los diámetros de los troncos de una tala, medidos en cm, proporcionan la siguiente tabla: Clases [20,24) [24,28) [28,32) [32,36) [36,40) [40,44) [44,48) [48,52) [52,56) [56,60) n i (a) Calcular media aritmética, los cuartiles, la moda, el percentil 85 y la desviación típica. (b) Se ha vendido el 65% de la tala, los de mayor diámetro, cuál es el diámetro mínimo de los vendidos? 1.8. La nota media de los aprobados en un examen de Matemáticas ha sido 6.8 y la de los suspensos 3.5. Calcula la nota media de la clase sabiendo que hubo 35 aprobados y 15 suspensos La estatura media de los 38 setos de hibisco y pacífico de un jardín es de 168 cm. Las de hibisco, que son 17, miden 162 cm de media. Calcula la estatura media de los setos de pacífico Completa la tabla de esta distribución de la que sabemos que su media es 2.7. x i n i 3 7 5

3 Estadística Descriptiva Completa la siguiente tabla estadística donde n i, N i y f i representan, respectivamente, la frecuencia absoluta, la frecuencia absoluta acumulada y la frecuencia relativa. x n i N i f i Un agricultor observa el número de tomates picados en cada planta de un terreno sembrado con 100 tomateras y obtiene los resultados resumidos en esta tabla: n o picados frecuencia absoluta y 15 x frecuencia relativa z (a) Completa la tabla obteniendo x, y, z. (b) Calcula el número medio de tomates picados en cada planta El número medio de años necesarios para terminar los estudios de Grado en Ingeniería Agrícola es 5, con una desviación típica de un año. Por otra parte, los alumnos utilizan una media de 7 años para concluir los estudios de Arquitectura, con una desviación típica de 1.5 años. Si un alumno ha tardado 6 años en convertirse en graduado en ingeniería agrícola y otro 8 años en convertirse en arquitecto, cuál ha terminado la carrera con mayor rapidez, comparando con los alumnos de su propia titulación? El precio medio por kilo de carne en un comercio minorista es de 6.23 euros, con una desviación típica de 2.3 euros, mientras que en una gran superficie, el kilo cuesta de media 5.2 euros con una desviación típica de 1.3 euros. Manuel ha comprado hoy un kilo de carne en un comercio minorista por 6.84 euros y su hermana Elena ha pagado 6.31 en una gran superficie. A quién le ha salido más cara la compra, comparativamente? Consideremos la distribución bidimensional: x y a) Representa los puntos de la distribución en el diagrama de dispersión. b) Cuánto vale el coeficiente de correlación? c) Cómo son las dos rectas de regresión? Escribe su ecuación.

4 4 Matemáticas II El coeficiente de correlación de una distribución bidimensional es Si los valores de las variables se multiplican por 10, cuál será el coeficiente de correlación de esta nueva distribución? Hemos calculado la covarianza de una cierta distribución y ha resultado negativa. Justifica por qué podemos afirmar que, tanto el coeficiente de correlación como las pendientes de las dos rectas de regresión, son números negativos La altura media de 100 arbustos de un jardín es de 155 cm con una desviación típica de 15.5 cm. La recta de regresión de la altura respecto a la anchura es y = x (x: anchura; y: altura). (a) Cuál es la anchura media de esos arbustos? (b) Cuál es el signo del coeficiente de correlación entre anchura y altura? Cómo interpretas este resultado? Se sabe que las rectas de regresión de y sobre x y de x sobre y son 5x+3y = 1 y x+2y = 3 (a) Es x+2y = 3 la recta de regresión de x sobre y? (b) Calcular r En un estudio sobre la relación entre la edad de un árbol (X en años) y el número de anillos (Y) en la sección transversal de su tronco, se determina que las dos rectas de regresión de estas variables son: x 0.51y = 5.8, 1.59x y = 4.78 (a) Determinar razonadamente cuál de las rectas anteriores es la recta de regresión de Y sobre X. (b) Estimar el número de anillos que tendrá un árbol de 15 años. (c) Determinar la edad aproximada de un árbol con 24 anillos. (d) Justificar razonadamente si las estimaciones anteriores son fiables Para una distribución bidimensional (X, Y) se sabe que el coeficiente de correlación lineal es 0.8, la desviación típica de X es 4, la media de Y es 2 y la recta de regresión de X sobre Y es y = 4x. Se pide: (a) Calcular los valores de la covarianza, la media de X y la desviación típica de Y. (b) Calcular la recta de regresión de Y sobre X.

5 Estadística Descriptiva En un experimento para evaluar la efectividad de un insecticida sobre dos especies de insectos A y B se obtuvieron las rectas de regresión para el porcentaje de mortalidad de cada especie (Y 1 e Y 2 respectivamente) sobre la concentración (X) de insecticida utilizado: Insecto A y 1 = x Insecto B y 2 = x Además se sabe que la desviación típica de la concentración de insecticida usado fue de 10 unidades y las del porcentaje de mortalidad de los insectos A y B fueron 10 y 22 respectivamente. Se pide, razonadamente: (a) Sabiendo que usando la concentración media de insecticida la eficacia es la misma para ambos insectos, cuál es dicho valor medio de concentración de insecticida? Cuáles son los valores medios del porcentaje de mortalidad para cada variedad de insecto? (b) Estimar el porcentaje de mortalidad en cada especie si se usara una concentración de insecticida de 30 unidades. Serían fiables dichas predicciones? La siguiente tabla muestra el número de gérmenes patógenos por centímetro cúbico de un determinado cultivo según el tiempo transcurrido: n o de horas n o de gérmenes (a) Calcula la recta de regresión para predecir el número de gérmenes por cm 3 en función del tiempo. (b) Qué cantidad de gérmenes por cm 3 es predecible encontrar cuando hayan transcurrido 6 horas? Es una buena predicción? En un depósito cilíndrico, la altura del agua que contiene varía conforme pasa el tiempo según la siguiente tabla: tiempo (h) altura (m) (a) Halla el coeficiente de correlación lineal entre el tiempo y la altura e interprétalo. (b) Cuál será la altura del agua cuando hayan transcurrido 40 h? (c) Cuando la altura del agua es de 2 m, suena una alarma. Qué tiempo ha de pasar para que avise la alarma? Una empresa aceitera tuvo contratado unos consultores durante el período En la siguiente tabla se recogen los beneficios PREVISTOS (X) por los consultores y los beneficios REALES (Y) expresados en porcentajes:

6 6 Matemáticas II Año X (en %) Y (en %) X 2 Y 2 X Y Sumas , (a) Determinar los beneficios medios previstos y reales. Podríamos haber predicho de manera fiable los resultados reales en función de los previstos? Razona la respuesta. (b) No contenta la empresa con los resultados para ese quinquenio, decidió cambiar de empresa consultora para el período No se disponen de todos los datos de dicho período, pero se sabe que la previsión media fue de 24 y que la recta de regresión que permitió estimar los beneficios reales en términos de la previsión fue y = 0.68x Además, las desviaciones típicas para los beneficios previstos y reales fueron de y 9.57 respectivamente. Se pide: (b.1) Determinar el beneficio medio real obtenido. (b.2) Ante los beneficios obtenidos, la empresa aceitera decide continuar con los mismos consultores. Si la previsión para 2018 es de 4, se podría estimar el beneficio real para este año de manera fiable? Cuál sería dicha estimación? Se quiere estudiar la relación entre el rendimiento del trigo respecto de la fertilización utilizada. Para ello, se han medido las toneladas por hectárea de trigo (Y) obtenidas usando determinados niveles de nitrógeno (N) y potasio (K). En la siguiente tabla se recoge los valores obtenidos para las variables N e Y. N Y Por otra parte, se sabe que la variable K tiene una desviación típica de 30.5 y que la recta de regresión lineal de Y sobre K es y = x. (a) Obtener la recta de regresión que permite estimar el rendimiento de trigo en función del nivel de nitrógeno aplicado. (b) Determinar qué tipo de fertilizante tiene una correlación lineal más fuerte con el rendimiento del trigo. Estimar de la forma más fiable posible el rendimiento de trigo que se obtendría con un nivel 75 de nitrógeno y 70 de potasio El dueño de una pequeña empresa decide ampliar su horario comercial y contrata un empleado durante algunas horas al día para poder atender mejor su negocio. En la

7 Estadística Descriptiva 7 siguiente tabla se detallan las ventas diarias (en miles de euros), el número de horas que atendió el dueño de la empresa y el número de horas que atendió el empleado. Ventas Dueño Empleado (a) Hallar el coeficiente de correlación lineal entre las variables Ventas-Dueño y Ventas-Empleado De qué tipo son cada una de estas correlaciones? (b) Conociendo las ventas de un determinado día, qué puede estimarse con más fiabilidad, el número de horas que atendió el negocio el dueño o el empleado? (c) Estimar con la mayor fiabilidad posible, el volumen de ventas de un día en el que el dueño atienda al público 7 horas y el empleado 6 horas. (d) Estimar las horas que habrá trabajado el dueño un día que se facturaron 7500 euros Para controlar la eficacia de un cierto pesticida se prueban sus efectos en 6 rosales y para cada uno de ellos, se mide el porcentaje de hojas enfermas antes del tratamiento (X) y el porcentaje de hojas enfermas pasado un periodo después de la aplicación del tratamiento (Y). Los datos obtenidos se recogen en la siguiente tabla: X Y (a) Determinar el porcentaje medio de hojas enfermas antes y después del tratamiento. (b) Determinar el porcentaje de plantas que presenta más del 50% de hojas enfermas antes del tratamiento. Y después del tratamiento? (c) Para una planta tratada que presenta el 15% de hojas enfermas, estimar la mejoría que ha conseguido el tratamiento. Justificar la fiabilidad de esta estimación. (d) Predecir cómo se reduciría el porcentaje de hojas enfermas de una planta con un 80% de hojas afectadas, tras aplicarle el tratamiento. (e) Para una planta que presenta el mismo porcentaje de hojas enfermas antes y después del tratamiento justificar razonadamente cuándo este porcentaje ha de considerarse superior Se han cortado treinta árboles de la misma especie. Las edades en años, X, y los diámetros máximos correspondientes, Y en dm, están recogidos en la siguiente tabla de frecuencias de la variable bidimensional (X, Y):

8 8 Matemáticas II Se pide: X\Y (a) Determinar la ecuación de la recta de regresión de los diámetros máximos sobre las edades. (b) Se podría estimar de manera fiable el diámetro máximo de un tronco conociendo la edad del árbol? En un curso escolar, se ha realizado un estudio sobre el número de horas diarias que los alumnos dedican a los videojuegos (X) y el número de asignaturas que aprueban por curso (Y), obteniendose los siguientes resultados: X \ Y (a) Determinar el número de horas tal que el 70% de los alumnos dedica menos de este tiempo diario a los videojuegos y el 30% restante le dedica más tiempo. (b) Cuántas asignaturas se estima que aprobará un alumno que juega 2 horas y media diarias? Es fiable esa estimación? Razona tu respuesta Una empresa agrícola ha recopilado la siguiente información sobre el número de tratamientos que se han realizado en 15 fincas distintas y las ventas que ha generado la producción de estas fincas (expresados en miles de euros): Euros(x)\T ratamientos(y) (a) Calcula el valor medio de las ventas generadas en cada finca. (b) Cuál es el coeficiente de correlación? (c) Obtén la recta de regresión de Y sobre X.

9 Estadística Descriptiva 9 (d) Si una finca ha generado una venta de euros, Cuántos tratamientos se dio a la plantación de dicha finca? Para estudiar la relación entre la densidad de siembra de maíz y el rendimiento obtenido, se planta maíz con distintas densidades de siembra en 32 parcelas de idénticas características y se obtienen los datos mostrados en la siguiente tabla para las variables X=densidad de siembra (en decenas de millar de plantas por hectárea) e Y = rendimiento (en toneladas por hectárea). X Y [130, 218) [218, 306) [306, 394) (a) Calcular el número de plantas por hectárea más habitual y el porcentaje de parcelas que producen menos de 306 toneladas por hectárea. (b) Calcular el número medio de plantas por hectárea y el rendimiento medio por hectárea. (c) A partir de los datos, se obtiene la recta de regresión de Y sobre X de ecuación y = x y los valores s 2 x = 1.14 y s2 y = Haciendo uso de esta información, estimar la rentabilidad que se obtendría con una densidad de siembra de plantas por hectárea y justificar si esta estimación sería o no fiable.