I.E.S. Historiador Chabás -1- Juan Bragado Rodríguez
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- María Pilar Soler Gutiérrez
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1 Problema La base de un triángulo isósceles mide 50 cm. y los lados iguales 40 cm. Calcula sus ángulos. 40 h 5 h h 3' 49 cm h 3' 49 sen sen 0' º º 77º 53 Problema Dada una circunferencia de 5 cm. de radio, trazamos dos rectas tangentes a ella desde un punto situado a 7 cm. del centro. Qué ángulo forman entre sí las tangentes? Como la recta tangente a la circunferencia forma con el radio de la misma un ángulo de 90º, se obtiene un triángulo rectángulo en el que se verifica: 5 sen 0' 74 45º º 00 Problema 3 La resultante de dos fuerzas de 0 N y 30 N es de 40 N. Qué ángulo forman las fuerzas entre sí? Qué ángulo forma cada una de ellas con la resultante? cos 04º º 75º 3 I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez
2 cos 8º cos 46º 34 3 Problema 4 Calcula el área de un dodecágono regular de 5 cm. de lado. 5 ' tg 5º a9'33cm a p a 5 9' 33 S 79' 9 cm Problema 5 Calcular los lados de un paralelogramo cuyas diagonales miden 0 cm. y 5 cm. y forman un ángulo de 4º. 0 7' 5 0 7' 5 cos 4º 669 ' cm y 0 7' 5 0 7' 5 cos 38º y 6' 36cm I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez
3 Problema 6 Julia y María caminan a una velocidad de 4 km/h. Llegan a un cruce de caminos rectos que forman entre sí un ángulo de 50º y cada una toma un camino. A qué distancia estará Julia de María al cabo de una hora? cos 50º 338 ' km Problema 7 Si el radio de la esfera inscrita en el cubo es, Cuánto mide la arista del cubo? Y el radio de la esfera circunscrita a él? La arista del cubo medirá el diámetro de la esfera inscrita, es decir. Problema 8 En la pirámide de Keops, cuadrangular, el lado de la base mide 30 m y el ángulo forma una cara con la base es de 5º. Calcula: I.E.S. Historiador Chabás -3- Juan Bragado Rodríguez
4 a) La altura de la pirámide. b) La altura de una cara. c) La arista. d) El ángulo que forma la arista con la base. e) El ángulo de la cara en la cúspide. f) El volumen de la pirámide. h a) tg 5º h4793 ' m 5 5 b) cos 5º a 86' 7909 m a c) a 5 86' ' 9' 35m h 47' 9 d) sen 0' 670 9' 35 4º e) sen 0' 54 9' 35 3º º 4 f) V h ' ' 333m 3 3 I.E.S. Historiador Chabás -4- Juan Bragado Rodríguez
5 Problema 9 Dos circunferencias secantes tienen radios de 0 cm. y 3 cm. Sus tangentes comunes forman un ángulo de 30º. Calcula la distancia entres sus centros. OB OA 3 sen 5º OB OB 50' cm 0 sen 5º OA OA 38' 63cm 50' 38' 63 ' 59cm Problema 0 Desde dos ciudades A y B que distan 80 km. se observa un avión. Las visuales desde el avión a A y a B forman ángulos de 9º y 43º con la horizontal, respectivamente. A qué altura está el avión? A qué distancia se encuentra de cada ciudad? Se pueden presentar las dos situaciones siguientes: ª Figura 80 57' 36 km sen 08º sen 43º 80 y y40' 78 km sen 08º sen 9º sen 9º h h ' 57' 36 h 7 80 km I.E.S. Historiador Chabás -5- Juan Bragado Rodríguez
6 ª Figura 80 5' 5 km sen 4º sen 37º 80 y y60' 3km sen 4º sen 9º sen 43º h h ' 60' 3 h y km Problema Hallar el área de un triángulo ABC sabiendo que a 5cm, b 8cm y que sen C 0'96 (C<45º). C arcsen 0' 96 73º 443 b 8 cm C 36º 5 a 5cm h sen 36º 5 h6' 8cm 8 S a h 5 6' 8 0cm Problema Halla los lados de un triángulo sabiendo que su área mide 8 cm y dos de sus ángulos A = 30º y B = 45º. 36 S c h8 c h36 h c h sen 45º ha sen 45º 0' 70 a a 36 h c h 0' 707a 36 0' 707a c I.E.S. Historiador Chabás -6- Juan Bragado Rodríguez
7 50' 9 50' 9 a c a c c c 98' 35cm c sena senc sen 30º sen 05º c9' 9cm a sen 30º 99 ' a 53 ' cm sen 05º b sen 45º 99 ' b 75 ' cm sen 05º Problema 3 Calcula el radio de la circunferencia de la izquierda y prueba que la situación que presenta la figura de la derecha es imposible. 3' cosa cos A 0' 065 sen A 0' ' sena 35 ' R R R ' 753 0' 998 En la ª figura tenemos: sen 36º 3' 4 Como R ' 753 3' 506 3' 4 3' 506 Es imposible I.E.S. Historiador Chabás -7- Juan Bragado Rodríguez
8 Problema 4 Las bases de un trapecio miden 7 cm. y 0 cm. y uno de sus lados 8 cm. El ángulo que forman las rectas sobre las que se encuentran los lados no paralelos es de 3º. Calcula lo que mide el otro lado y el área del trapecio º 65 sen 3º sen 4º º 65 0º º º 65 sen h Hay dos trapecios posibles con estos datos. Si 37º 65 0º ' 35c sen 0º 4335 sen 3º m h h sen h748 ' cm ' 35 S B b 7 0 h 7' 48 00' 98 cm Si 4º º 65 8 sen 565 º sen 4º 4335 ' cm h sen ( 80º ) sen 37º 65 ' 7 0 h073 ' cm S 073 ' 985 ' cm I.E.S. Historiador Chabás -8- Juan Bragado Rodríguez
9 Problema 5 Hallar el área del triángulo curvilíneo sombreado, sabiendo que los radios de las circunferencias son 7, 0 y 5 m. respectivamente cos A A 78' 58º 7 5 5cos C C 480 ' º B 80º A C 59' 6º ' º Área del sector circular correspondiente a A SA 33' 60m 360º 0 59' 6º Área del sector circular correspondiente a B SB 5' 0m 360º 5 4' 80º Área del sector circular correspondiente a C SC 8' 07 m 360º S p p a p triángulo a p a siendo p 7 5 ( ) ( ) ( ) 3 ST 3 ( 3 7) ( 3 ) ( 3 5) 83' 30m Scurvilíneo 83' 30 ( 33' 60 5' 0 8' 07) 5' 6 m Problema 6 Un barquero está remando en su barca en contra de la corriente para intentar atravesar el río perpendicularmente a la orilla con una velocidad de 36 Km/h. El agua del río fluye a una velocidad de 9 Km/h. Con qué velocidad debe impulsar la barca para intentar mantenerse perpendicularmente a la orilla? En qué dirección? I.E.S. Historiador Chabás -9- Juan Bragado Rodríguez
10 9 v ' 079 km / h tag 0' 5 arctag0' 5 4º 36 Debe impulsar la barca con una velocidad de 37'0 Km/h en contra de la corriente formando un ángulo de 4º con la perpendicular a la orilla. Problema 7 Un barco navega con una velocidad de 40 Km/h en dirección 30º Este, atravesando la corriente del golfo de 6'5 Km/h de velocidad media en dirección Norte. Al mismo tiempo sopla un viento en dirección -30º Este y con 0 Km/h de velocidad. En qué dirección y con qué velocidad se moverá el barco? Resolviendo triángulos 40 6' ' 5 cos 0º 43' 647 km / h 40 6' 5 43' 6 6' 5 43' 6 cos 5' 5844º 80º 0º 7º 4565 I.E.S. Historiador Chabás -0- Juan Bragado Rodríguez
11 60º 60º 5' 5844º ' 5844º y 43' ' 6 0 cos ' 58º y 48' 34 km/ h 0 48' 34 º 4 sen sen ' 5844º 30º 30º 6º 45 con la direc- Se moverá con una velocidad de 48'34 Km/h y formando un ángulo de ción Este. 6º 45 Por descomposición de fuerzas F 40cos 30º i 0cos 30º i 43' 30 i Fy 6' 5 j 40sen 30º j0sen 30º j Fy ' 5 i v F F y v F F 43' 30 ' 5 y 48' 34 km / h v 40' 30 i 5 ' j 5 ' tg 43' 307 6º 49 Problema 8 Un barco A pide socorro y las señales son recibidas por dos estaciones de radio B y C que distan entre sí 80 Km. La recta que une B y C forma con la dirección Norte un ángulo de 48º. B recibe señales con una dirección de 35º con el Norte, mientras que C las recibe con una dirección de 96º con el Norte. A qué distancia de cada estación se encuentra el barco? I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez
12 B48º 45º 93º C80º 48º 84º 48º A 80º 93º 48º 39º AB 80 sen 48º sen 39º AB 94' 46km AC 80 sen 93º sen 39º AC 6' 94 km Así pues, el barco se encuentra a 6'9 Km de la estación C y a 94'46 Km de la estación B. Problema 9 Calcula el área de los dos triángulos curvilíneos de la figura. La figura es un rombo formado por dos triángulos equiláteros de lado, en cada uno de los cuales hay tres sectores circulares iguales de radio /. I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez
13 El área del triángulo equilátero es: h S T El área del sector circular de radio y que abarca un ángulo de 60º es: S Sector 60º 360º h h h S T STcurvilíneo ST 3 SSector 3 0' Como hay dos triángulos curvilíneos iguales el área total es: A 0' 080 Problema 0 Sabemos que las medidas de los lados del célebre triángulo de las Bermudas son números enteros consecutivos tomando como unidad 00 Km. Además, el ángulo menor es la mitad del ángulo mayor. Sabrías hallar las medidas del triángulo de las Bermudas? Del enunciado se deduce la figura adjunta, teniendo en cuenta que al lado menor se le opone siempre el ángulo menor y que al lado mayor se le opone el ángulo mayor. Por el Teorema de los Senos tenemos: sen sen sen sen cos cos cos Por el Teorema del Coseno tenemos: ( ) ( ) ( ) ( ) cos ( ) ( ) ( ) ( ) I.E.S. Historiador Chabás -3- Juan Bragado Rodríguez
14 La solución válida es 4 Como la unidad son 00 Km, los lados del triángulo de las Bermudas miden: 400 km, 500 km, y 600 km Problema Uno de los lados de un triángulo mide 0. De los dos restantes se sabe que uno es el doble del otro. Prueba que estos datos no determinan un único triángulo pero que en cualquiera de ellos se tiene: sen A senc Se debe de verificar que un lado debe de ser menor que la suma de los otros dos, es decir: 0 a a Si a es demasiado grande, tampoco se forma triángulo. La figura muestra que ha de ser: aa0 a0 0 0 a a a 3 0 a 0 3 En este caso: a sen A a sen A sen C sen C I.E.S. Historiador Chabás -4- Juan Bragado Rodríguez
15 Problema La base de un triángulo es 0 y la suma de los otros dos lados es 5. Prueba que con estos datos pueden construirse infinitos triángulos. Para que eista solución, debe verificarse: Por tanto, para cada valor de que verifique la desigualdad anterior eiste triángulo. Problema 3 El triángulo de la figura es muy especial para cualquier valor de a. Qué se puede decir de él? Llamando al tercer lado, y aplicando el Teorema del Coseno obtenemos: a ( a) a ( a) cos 60º 5a a 3a a 3 Aplicando ahora el Teorema de los Senos: a a 3 sen A A 90º El triángulo es rectángulo. sena sen 60º I.E.S. Historiador Chabás -5- Juan Bragado Rodríguez
16 Problema 4 La figura muestra dos bola de billar, de radio r y separadas una distancia d. a) Prueba que el máimo ángulo de desviación con que puede lanzarse la primera y alcanzar a la segunda cumple que sen d r. Calcula si r r 5cm y d 50cm. b) A qué valor concreto se acerca si aproimamos indefinidamente las bolas? c) Supón que el radio de las bolas crece indefinidamente, pero que la distancia d es fija. A qué valor se aproima? a) En el triángulo rectángulo ABC se verifica: AB r sen CB d r Si r 5 y d 50 tenemos: 0 sen 9' 594 º 60 6 b) Si d 0 sen 90 º r c) sen d r d Si r sen 90º d r Problema 5 Se inscribe un triángulo en una circunferencia de radio 6. La longitud de uno de los lados es 9 y de los dos restantes se sabe que uno es doble que el otro. Resuelve el triángulo y calcula su área. I.E.S. Historiador Chabás -6- Juan Bragado Rodríguez
17 De la interpretación geométrica del Teorema de los Senos y teniendo en cuenta que es el ángulo opuesto al lado que mide 9, tenemos: 9 sen 9 R sen 4859 ' º 80º 48' 59º 34 ' º Aparecen pues dos situaciones que se reflejan en las siguientes figuras. 48' 59º 3' 4º Para la figura de la izquierda: Por el Teorema del Coseno: 9 a ( a) a ( a) cos 48' 59º a 5' 87 De la interpretación geométrica del Teorema de los Senos tenemos: a sen sen 0' ' 8º 80º 48' 59º 9' 8º 0' 3 º El área del triángulo es: S p ( pa) ( pb) ( pc) 3' 305 ( 3' 3055' 87) ( 3' 305' 74) ( 3' 3059) 5' 8 Para la figura de la derecha: I.E.S. Historiador Chabás -7- Juan Bragado Rodríguez
18 9 a ( a) a( a) cos 3' 4º a 3' 5 De la interpretación geométrica del Teorema de los Senos tenemos: 3'5 sen 0' 888 5' 7º 80º 3' 4º 5' 7º 3' 88º sen Problema 6 Los lados de un triángulo miden, respectivamente 3 m, 4 m y 5 m. Calcula el seno y el coseno del ángulo menor y la superficie del triángulo. El ángulo menor es el opuesto al lado menor, por tanto: cos cos 0'6 sen cos 0'6 0' p S ( 3) ( 4) ( 5) 84 m Problema 7 Un taller consta de tres pabellones. Cada pabellón tiene m de ancho y 80 m de largo. El alero de uralita está inclinado 8º y los ventanales 80º. Calcula el área cubierta por la uralita y por el vidrio de los ventanales. La superficie cubierta por la uralita correspondiente a los tres pabellones es: S Uralita 80 La superficie cubierta por el vidrio correspondiente a los tres pabellones es: SVidrio y 80 I.E.S. Historiador Chabás -8- Juan Bragado Rodríguez
19 y ' 7807 m y0' 8598 m sen 7º sen 80º sen 7º sen 8º S Uralita 3 80 ' ' 368m S Vidrio ' ' 35 m Problema 8 El área de un triángulo ABC es S 4cm y dos lados miden: a cm y b 0cm. Calcula los demás elementos del triángulo y el radio de la circunferencia circunscrita. S a h a b senc 4 0 sen C 357 ' º C C 56'4º Si C 3'57º c b a bacos C c 0 0 cos 3' 57º c 4' 90cm. b c a c acos B 0 4' 90 4' 90 cos B B 54' 66º A 80º B C 80º 54' 66º 3' 57º 0' 77º Con estos datos comprobamos que el área es correcta: S c sen ' º m c senc 490 ' R R R 6' cm sen 3' 57º Si C 56' 4º c b a bacos C c 0 0 cos 56' 4º c ' 53cm. b c a c acos B 0 ' 53 ' 53 cos B B 0' 8º A 80º B C 80º 0' 8º 56' 4º ' 77º I.E.S. Historiador Chabás -9- Juan Bragado Rodríguez
20 Con estos datos comprobamos que el área es correcta: S c sen ' º m c senc ' 53 R R R 6' 9 cm sen 56' 4º Problema 9 Sean A y B dos puntos inaccesibles, pero visibles ambos desde otros puntos accesibles C y D, separados por la longitud 73 'm. Suponiendo que los ángulos ACD 80º ; BCD 43º 3 ; BDC 3º y ADC 3º4, determina la distancia AB. Representación gráfica de los datos del problema. 43º 3 80º 3º 3º 4 76º 34 04º 9 80º 3º 4 43º 3 3º AC 73' AC 9' 68m sen 3º 4 sen 76º 34 I.E.S. Historiador Chabás -0- Juan Bragado Rodríguez
21 BC sen 3º 73' sen 04º 9 BC 40 m AB AC BC AC BC cos( 80º 43º 3 ) 9' ' cos 36' 6833º AB 4 m Problema 30 a) Si sena 5. Cuánto vale cos a? 4 b) Calcula el área de un triángulo cuyos lados miden 5 m., 7 m. y 5 m. a) Imposible calcularlo. El seno de un ángulo no puede ser mayor que ni menor que - y en este caso sen a ' 5. b) No eiste triángulo con estos datos, ya que en todo triángulo se debe de cumplir que un lado debe de ser menor que la suma de los otros dos y en este caso Problema 3 Al constructor de una piscina se le ha encargado una triangular con los siguientes datos: A B, a 3 y b. Serías capaz de indicar cómo ha de ser la piscina y qué medidas debe tener? 3 3 sen B 3 sen B sen B sen B sen Bcos B 3 sen B cosb 3 Podemos simplificar por sen B ya que debe de ser distinto de cero porque en caso contrario no habría triángulo. cos B 3 B30º A B60º C80º A B90º c c sen 90º sen 30º La piscina será un prisma triangular con un ángulo recto. I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez
22 Problema 3 De una pared triangular se sabe que dos de sus ángulos e y cumplen estas condiciones: sen seny sen seny 0 Cuánto mide el tercer ángulo? sen sen y sen sen y0 sen sen 30º 50º Si 30º sen seny y y 30º z 0º 50º ( Imposible) si 50º sen seny y y º ( Imposible) 30º ( Imposible) Problema 33 El lado desigual de un triángulo isósceles inscrito en una circunferencia de radio 5 cm. mide 7 cm. Resolver el triángulo. 7 sen A R 5 A A 44º º 343 Si A 44º 537 Como B C A B 80º B C 67º 47 67º '. sen 44º 537 b b cm sen 67º 47 c 9' 578cm. I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez
23 Si A 35º 343 Como B C A B 80º B C º 49 º '. sen 44º 537 b b cm sen º 49 c ' cm. Problema 34 La anchura de un campo de fútbol es de 50 m. y la de la portería de 7 m. Bajo qué ángulo ve la portería un jugador situado en un punto de la banda lateral que está a 0 m. de la línea de fondo? 8' 5 tg 0 54º 564 ' 5 tg 0 47º º I.E.S. Historiador Chabás -3- Juan Bragado Rodríguez
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