DDM sin Multiplicadores de Lagrange: Ecuación de Elasticidad. Dr. Ernesto Rubio Acosta IIMAS, UNAM

Transcripción

1 DDM sin Multiplicadores de Lagrange: Ecuación de Elasticidad Dr. Ernesto Rubio Acosta IIMAS, UNAM

2 Participantes Dr. Ismael Herrera Revilla Colaboradores Dr. Robert Yates Alumnos de doctorado: M. en C. Antonio Carrillo M. en C. Iván Contreras

3 Bibliografía Unified Multipliers-Free Theory of Dual-Primal Domain Decomposition Methods Ismael Herrera, Robert Yates Numerical Methods for Partial Differential Equations 2008, publicado online en:

4 Introducción DDM sin Multiplicadores de Lagrange

5 Introducción Modelos matemáticos continuos en ciencias e ingeniería: EDP Discretización: Sistemas de Ecuaciones Para aprovechar el cómputo en paralelo se requiere de algoritmos en paralelo : Métodos de Descomposición de Dominio (DDM) Una teoría general de FEM requiere de funciones totalmente discontinuas definidas por tramos

6 Introducción Antecedente: Métodos de subestructuración iterativos en dominios sin traslape Complemento de Schur FETI Neumann-Neumann FETI Precondicionado Funciones discontinuas con multiplicadores de Lagrange

7 Introducción Funciones discontinuas SIN multiplicadores de Lagrange Espacio Dual-Primal Formulación matricial discontinua SIN multiplicadores de Lagrange Métodos de un nivel Métodos de dos niveles: Algoritmos round-trip Matrices de proyección a y j Expresión discreta para el operador de Steklov-Poincaré

8 Ecuación de Elasticidad DDM sin Multiplicadores de Lagrange

9 Elastodinámica u ρ t ( ) 2 0 : = 2 0 C u ρ b ρ u u 2 i p 0 2 Cijpq = 0 t x j x q ρ b i para i=1,2,3 u( x) Desplazamiento ρ0 Densidad C Tensor elástico b Fuerzas de Cuerpo

10 Tensor Elástico C Tensor Elástico C C C ijpq ijpq ijpq = C = C = C jipq jiqp pqij Balance de Momento Angular Objetividad Proceso Isentrópico σ = C: u Tensor de Esfuerzos

11 Elastostática ( ) : 0 C u = ρ b C u p ijpq = x j x q ρ b 0 i para i=1,2,3

12 Caso Isotrópico ( ) C = λδ δ + μ δδ + δδ ijpq ij pq ip jq iq jp μ, λ Constantes de Lamé ( ) ( ) u + u = b 2 μ μ λ ρ0 u u + = x j x j x i x j j ( ) 0 i μ μ λ ρ b i para i=1,2,3

13 Forma Bilineal Integrando por partes y considerando que w=0 en Ω: Ω ( ) ( ) ( μ 2 μ λ ) w u + u dx= ( )( )( ) ( μ : μ λ ) = w u+ + w u dx Ω μwi ui ( μ+ λ) wi ( u) = x = i w μ μ+ λ + μ + μ+ λ x i ( w u ) ( ) ( w u) w u ( ) ( u) i i i i i xi i

14 FEM (convencional) DDM sin Multiplicadores de Lagrange

15 FEM Base de espacios de funciones de base y de peso: ( ) ( x) ( x) ( x) ϕi δ ϕ ( x) ϕ ij i δ ϕi δ 1 j 2 j 3 j i nodo; j= 1,2,3 donde ϕ i x representa una función chapeau de primer grado asociada al nodo i

16 FEM Aproximación de la solución: ( ) ϕ ( ) u x U x 3 i nodo j= 1 ij ij

17 FEM Sistema de ecuaciones: 3 U ij ij αβ i nodo j= 1 Ω ( ) 0 ϕ, ϕ = ϕ ρ b dx αβ para: i nodo j =1, 2,3 donde: ( ( )( )( )) ϕ, ϕ = μ ϕ : ϕ + μ + λ ϕ ϕ ij αβ αβ ij αβ ij Ω dx

18 Trasnformación FEM (convencional): Au = f Transformación biyectiva para soluciones continuas Espacio Dual-Primal: Au = f

19 Espacios Dual-Primal DDM sin Multiplicadores de Lagrange

20 Nodos Duales y Primales Nodo Grado de libertad Nodo Primal: 1 grado de libertad Nodo Dual: 2 ó más grados de libertad Ω= Z P Z Ω=Π Δ =Π Δ Z Π Δ : grados de libertad de un nodo : grados de libertad de nodos primales : grados de libertad de nodos duales

21 Espacios de Funciones en Ω d =Ω u ( u1,..., ud ) ( ) D Ω D ( Π) D ( Ω) D ( Δ) D ( Ω) Cardinalidad de Ω Vector o función Espacio lineal de vectores en Espacio lineal de vectores en Espacio lineal de vectores en Ω Π Δ D ( Ω ) = D ( Π) D ( Δ) (, ) = + u π D( Π) u Δ D( Δ) u u u u u π Δ π Δ

22 Espacio de Funciones Continuas u = u i, j Z i D j ( Ω) D ( Ω) Mismo valor para todos los grados de libertad asociados a un nodo Espacio lineal de vectores continuos en Ω D ( Π) D( Ω)

23 Matrices de Proyección (1) a: D ( Ω) D ( Ω) au = Proy D u D ( Ω) ad ( Ω) Matriz de proyección sobre D (Producto interior Euclidiano) j: D ( Ω) D ( Ω) j = I a Matriz de proyección sobre el complemento ortogonal de D (Producto interior Euclidiano) aj = ja= 0 Ambas matrices son simétricas, no negativas e idempotentes

24 Matrices de Proyección (2) Para su cálculo: 1 au = u j,si i Z i Z ( ) j Z ju = u au u D( Ω) au = u, ju = 0 u D ( Π) au = u, ju = 0 u D ( Ω) ju = ju Δ u au u ju

25 Espacios de Funciones en Δ (1) Definición: D ( ) ( ) ( ) 1 Δ jd Δ = jd Ω D ( Δ) ad ( Δ) 2 D ( ) 1 Δ D2( Δ) relativo a D ( Δ) D ( Δ ) = D ( Δ) D ( Δ) u u u Δ Δ1 Δ u Δ D ( Δ) u Δ D ( Δ)

26 Espacios de Funciones en Δ (2) { } { ( ) } ( ) ( ) D Δ = u D Ω au = = u D Ω ju = u 1 0 { } ( ) ( ) ( ) 2 0 { } D Δ = u D Δ ju = = u D Δ au = u D ( Ω ) = D ( Π) D ( Δ ) = D ( Π) D ( Δ) D ( Δ) u u + u + u π Δ1 Δ2 D( Ω ) = D ( Π) D 2 ( Δ) D ( Ω ) = D( Ω) D 1 ( Δ) 1 2

27 Fórmula de Green-Herrera DDM sin Multiplicadores de Lagrange

28 Producto Interior de Energía A: D ( Ω) D ( Ω) ( uw, ) = u Aw uw, D ( Ω) Matriz simétrica y positiva definida Producto Interior de Energía ( ) D Ω con ( uw, ) Espacio de Hilbert

29 Matriz A ( Π) ( Π) A : D D ππ A A A ππ Δπ A A πδ ΔΔ ( Δ) ( Π) A : D D πδ ( Π) ( Δ) A : D D Δπ ( Δ) ( Δ) A : D D ΔΔ

30 Matrices L y R L: D Ω ( ) D ( Π) R: D Ω ( ) D ( Δ) A L+ R L A A ππ 0 0 πδ R 0 0 A A Δπ ΔΔ R ar R jr R = j+ a R= R+ R ( )

31 Fórmula de Green-Herrera para Matrices ( ) w Lu u Lw= u Rw w Ru, u, w D Ω Fórmula de Green-Herrera para Matrices: w Lu u Rw+ w R u = u Lw w Ru+ u R w T D ( ) uw, Ω T T L R + R = L R + R Matriz simétrica

32 Operador Steklov-Poincaré FEM-OF aplicado a Laplace (cfh): w u u w w udx u w dx u wdx + = + w u dx n n n n L L Ω Γ Ω Γ w Lu u Rw+ w R u = u Lw w Ru+ u R w Equivalencias: L u u L u u u R u n u R u n

33 Operador Steklov-Poincaré Operador discreto de Steklov-Poincaré: R ar FEM-OF aplicado a Ecuación de Elasticidad: Equivalencia: C: u R u

34 Formulación Matricial Discontinua DDM sin Multiplicadores de Lagrange

35 Problema Original A aa Dado: encuéntrese: tal que: f D( Ω) u D( Ω) Au = f Problema Original f = f + f π Δ f = af = f f Δ1 Δ Δ Δ2 = j f = 0 Δ

36 Problema equivalente (1) A aa= a( L+ R) = L+ ar= L+ R Au = f ( L+ R ) u = f + f π Δ Dado: encuéntrese: tal que: f D( Ω) u D( Ω) Lu = f π R u = ju = 0 f Δ Problema

37 Problema equivalente (2) T T ( ) R u = 0 jr u = 0 ju = 0 u D Ω Dado: encuéntrese: tal que: f D( Ω) u D( Ω) Lu = f π R u = f Δ T R u = 0 Problema

38 Problema equivalente (3) T G L R + R Matriz simétrica Dado: encuéntrese: tal que: f D( Ω) u D( Ω) T Gu L R + R u = f Problema

39 Vectores Armónicos DDM sin Multiplicadores de Lagrange

40 Espacio de Vectores Armónicos { 0 } D u D Ω L u = Definición: ( ) Propiedades: D ( ) Π D ( Ω ) = ( ) D D Π D Producto Interior de Energía: w Au D ( Ω ) = D ( Π) D( Δ) ( ) Proy D : D Δ D Uno a uno; se cubre D

41 Subespacios (1) { T } D u D R u 11 = 0 T D12 u D R u = 0 D21 u D Ru = 0 D22 u D R u = 0 { } { u D au 0} Δ = = { u D ju ju 0} Δ = = = { u D jru 0} = = { u D aru 0} = =

42 Subespacios (2) D =Proy D D 11 1 D =Proy D D 12 2 D= D11 D12 ( Δ) { } ( ) ( ) D1 Δ = u D Δ ju = u, au = 0 ( Δ) { } ( ) ( ) D2 Δ = u D Δ au = u, ju = 0 D ( Δ ) = D ( Δ) D ( Δ) 1 2

43 Propiedades (1) D D D D Producto Interior de Energía: w Au D= D11 D12 D= D21 D22 D 11 D 22 D= D11 D21 D= D12 D22 D 21 D 12

44 Propiedades (2) T w Au = w R au u D 12 Positiva definida en D 12 w Au = w jru u D 22 Positiva definida en D 22 T G L R j+ ar w Gu Positiva definida en D 12 Negativa definida en D 22 Silla en D

45 Métodos de un Nivel DDM sin Multiplicadores de Lagrange

46 Resumen Problema Original Problema en términos de Funciones Armónicas Métodos de un nivel Aproximación Dirichlet (Complemento de Schur) Aproximación Neumann (FETI)

47 Complemento de Schur (convencional) A11 A12 u1 f1 A A = u f Resolver: Su = f A A f donde: S = A A A A, Complemento de Schur Finalmente: u = A A u + A f A Aππ Aπ Δ = AΔ π A ΔΔ 1 S = AΔΔ AΔ π Aππ Aπ Δ

48 Problema en Términos de Funciones Armónicas (1) Problema original: ( ) T L+ ar R j u = f Constrúyase: Lu P = f π Sea: u = u+ u P Nótese que: Lu= 0, u es función armónica Problema en términos de Funciones Armónicas en D : ( T ) ( ) T ar R j u = f ar R j u P Δ

49 Problema en Términos de Funciones Armónicas (2) ( ) Δ ( ) ( ) T T w ar R j u = w f ar R j u P w D Propiedad: Av= ( L+ R) v= Rv= Sv Δ ( ) ( ) ( ) w as S j u = w f ar S j u P Δ Δ Δ Δ w D( Δ) Problema en términos de Funciones Armónicas en D( Δ) ( as Sj) u = f ( ar Sj) u Δ P u 1 π = Aππ Aπ ΔuΔ Δ

50 Aproximación Dirichlet (1) Constrúyase: P Lu = ju P = 0 f π ( u ) P = 0 Δ ( ) 1 up = A f π ππ π problema bien planteado

51 Aproximación Dirichlet (2) Problema en términos de Funciones Armónicas en D : ( T ) ( ) T ar R j u = f ar R j u P Δ Lu= 0 T R ju = 0 ju = 0 P ar u = f aru Δ

52 Aproximación Dirichlet (3) Problema en términos de Funciones Armónicas en D Δ : ( ) ( as Sj) u = f ( ar Sj) u Δ P Δ Matriz as es simétrica y positiva definida en D 12 Uso de CGM P asu = f aru Δ Δ 1 asu = f aa A f Δ Δ Δπ ππ π

53 Aproximación Neumann (1) Constrúyase: Lu P = f π ar u P = f Δ jr u P = 0-1 P = u A f problema bien planteado

54 Aproximación Neumann (2) Problema en términos de Funciones Armónicas en D : ( T ) ( ) T ar R j u = f ar R j u P Δ Lu= 0 ar u = 0 T T R ju = R ju ju = ju P P

55 Aproximación Neumann (3) Problema en términos de Funciones Armónicas en D Δ : ( ) ( as Sj) u = f ( ar Sj) u Δ P Δ S ju = S ju ju = ju Δ P Δ P

56 Aproximación Neumann (4) Au = ( L+ ar+ jr) u = jru = jsu Δ Au = λ con λ = jsu entonces Δ u = 1 A λ ja 1 Matriz es simétrica y positiva definida en D Δ ( ) 1 P juδ = ju 1 ja λ = ju P Uso de CGM

57 Reformulación Dirichlet T R ju = Encuéntrese u D12 D tal que 0 P ar u = f aru Δ Sea u = u21 + u22 Encuéntrese u21 D21 tal que ar u = f aru & jr u 21 Δ P 21 para alguna u22 D22

58 Reformulación Neumann ar u = 0 Encuéntrese u D22 D tal que T T R ju = R ju ju = ju P P Sea u = u11 + u12 Encuéntrese u11 D11 tal que ( ) = & = 0 ju11 jup a u11 Δ para alguna u12 D12

59 Métodos de dos Niveles DDM sin Multiplicadores de Lagrange

60 Matrices de Proyección (1) u σ αβ αβ D σ u = αβ αβ : D D αβ u αβ Vectores Matrices de proyección Aplicación

61 Problemas Abstractos Problema abstracto 1: u D Dado encuéntrese u D 12 tal que u = u21 + u22 para alguna u22 D22 Problema abstracto 2: u D Dado encuéntrese u D 22 tal que u = u11 + u12 para alguna u12 D12

62 Matrices de Proyección (2) 1: ( w, σ σ u) ( wu, ) ( σ w, σ u) = ( wu, ) ( w, σ σ u) = uw, D : ( w, σ σ u) = ( wu, ) + ( σ w, σ u) ( wu, ) ( w, σ σ u) = uw, D

63 Matrices de Proyección (3) 1: σ σ : D D matriz simétrica y positiva definida en D 12 2: σ σ : D D matriz simétrica y positiva definida en D 22

64 Matrices de Proyección (4) 1: T : D D D σ σ u = u σ σ u ( ) σ σ u = I + T u D Tu σ σ D u D 12 2: T : D D N T u σ σ N σ σ u = u σ σ u ( ) σ σ u = I + T u N u D 22

65 Matrices simétricas y positivas definidas. Uso de CGM Algoritmos Round-Trip Problema Abstracto 1: ( I + T ) u =σ u21 D 12 Primero Dirichlet Luego Neumann (Neumann-Neumann) Problema Abstracto 2: ( I + T ) u =σ u11 N 22 Primero Neumann Luego Dirichlet (FETI Precondicionado)

66 Primera Implementación (1) ( ) 11 1 v = A A jv ( ) 12 π ππ πδ 1 v = A A av π ππ πδ Δ Δ σ σ = A A j ππ 1 πδ = A A a ππ πδ v21 = 1 A arv σ 21 = 1 A ar 22 1 v = A jrv σ 22 = A 1 jr

67 Primera Implementación (2) Problema 1: P Calcular u : u 21 Calcular : Resolver: ( ) 1 ( ) 21 Δ P ( I σ σ ) u = σ u21 u ( u ) P = A f & P = 0 π ππ π Δ 1 u = A f aru Problema 2: P Calcular u : u 11 Calcular : Resolver: -1 P = u A f ( ) Δ 1 ( u ) = A A ju 11 π ππ π P A u = jru 11

68 Segunda Implementación (... y mejor) Problema 1: μ μ = as 1 as Resolver: 1 1 as asu = as f Δ2 Problema 2: μ μ = S 1 js j 1 1 Resolver: S js ju = S js ju P

69 Conclusión DDM sin Multiplicadores de Lagrange

70 Conclusión Libertad para elegir nodos duales y primales, resultando diferentes precondicionadores Los algoritmos se derivan directamente del planteamiento matricial, independientemente de la ecuación diferencial parcial o sistema que lo origina y del número de dimensiones del problema

71 Conclusión Problema FEM (convencional) Problema original Problema original en términos de funciones armónicas

72 Conclusión Métodos de un nivel Aproximación Dirichlet (Complemento de Schur) Aproximación Neumann (FETI)

73 Conclusión Métodos de dos nivel: Algoritmos round-trip Problema 1 (Dirichlet-Neumann) (Neumann-Neumann) Problema 2 (Neumann-Dirichlet) (FETI Precondicionado)