Analisis del método de elementos finitos para la ecuación de la Elastostática y Poisson

Transcripción

1 Analisis del método de elementos finitos para la ecuación de la Elastostática y Poisson Maria Luisa Daza Torres Proyecto ecuaciones diferenciales parciales Centro de Investigación en Matematicas, CIMAT A.C. Diciembre 13,

2 1 Introducción El método de elementos finitos permite realizar un modelo matemático de cálculo del sistema real, más fácil y económico de modificar que un prototipo. Sin embargo no deja de ser un método aproximado de cálculo debido a las hipótesis básicas del método. 2

3 Contents 1 Introducción 3 2 Conceptos básicos 5 3 Método de Residuos Ponderado Método de Galerkin Método de Galerkin para la ecuación de Poisson Método de Galerkin para la ecuación de la Elastostática Construcción de subespacios del elemento finito Funciones polinomicas de forma

4 2 Conceptos básicos Definición.1 El Método de los Elementos Finitos (M.E.F.) es un procedimiento numérico para resolver ecuaciones diferenciales de manera aproximada. El método básicamente sigue los siguientes pasos El dominio en el que está definido el problema se divide en subdominios denominados elementos finitos. Se utilizan geometrías simples como triámgulos o rectángulos en caso de dominios 2D. La variable continua queda definida por sus valores aproximados en puntos discretos, denominados nodos. La aproximación de esta variable en puntos distintos de los nodos (dentro de cada elemento) se interpola mediante funciones de forma (generalmente polinómicas). Este método tiene las siguientes ventajas: Facilidad de analizar varios tipos de problemas Manejo de heterogeneidad en el dominio En particular cualquier forma de un dominio complejo puede ser manipulado con facilidad 3 Método de Residuos Ponderado Definición.2 El método consiste en aproximar una función u con una suma de funciones n u ū = U j ϕ j Donde las funciones ϕ j están definidas en el dominio y U j son coeficientes indeterminados. j=1 4

5 Para el método de elementos finitos ϕ j son polinomios que satisfacen condiciones de interpolación. Sea un conjunto abierto y conexo R n con frontera un operador diferencial A Se define una función u de un espacio U y operadores diferenciales B i, i = 1,..., k Suponemos que la frontera posee un unico vector normal n en cada punto, y se descompone en k partes i, i = 1,..., k talque: k i=1 i = Dadas las funciones f, g i, i = 1,..., k y i respectivamente, un problema matemático asociado a una ecuación diferencial parcial se describe por el sistema: A[u] = f, en (1) B i [u] = g i en i, i = 1,...k (2) Ahora con referencia a la expresión anterior definimos funciones w y w i, i = 1,..., k en y i respectivamente, tal que la cantidad escalar R propuesta por: R = w (A[u] f)d + Sea algebraicamente consistentes. k i=1 i w i (B i [u] g i ) Estas funciones se llaman funciones de ponderación y la ecuación escalar R es la forma débil ponderada de la ecuación diferencial. El objetivo es encontrar los coeficientes w y w j de tal manera que se minimize el residuo. El método de Galerkin, colocación y métodos de mínimos cuadrados, se derivan adecuadamente para restringir la forma admisible de las funciones de ponderación y la solución real. 3.1 Método de Galerkin Este método utiliza las funciones de peso como las funciones de interpolación. Un requisito es que estas funciones de interpolación sean miembros de un conjunto completo de funciones. Dentro de la formulación de Galerkin el residuo es forzado a ser cero. Permite obtener una solución aproximada de la formulación débil, consiste en: Encontrar u h U h, tal que para todo w h W h. B(w h, u h ) + (w h, f) + (w h, ˆq) Γq = 0 5

6 Donde U h y W h son subespacios de U y W respectivamente. U = {u H 1 () : u = ū en Γ u } W = {w H 1 () : w = 0 en Γ u } u u h = w = w h = N α I ϕ I (x 1, x 2 ) + ϕ 0 (x 1, x 2 ) I=1 N β I ψ I (x 1, x 2 ) I=1 Las funciones ϕ I (x 1, x 2 ) y ψ(x 1, x 2 ) son funciones dadas y ϕ 0 es escogida de tal manera que u h satisface la condición de frontera. 3.2 Método de Galerkin para la ecuación de Poisson Considere el dominio R n con frontera suave = Γ u Γ q y Γ u Γ q =, la forma fuerte de un problema de frontera es: (k u ) + (k u ) x 1 x 1 x 2 x 2 = f, en (3) k u n = q en Γ q (4) u = ū en Γ u (5) Donde u = u(x 1, x 2 ) es la solución en, K(x 1, x 2 ) funciones continuas. El dominio de la ecuación de laplace con condiciones de frontera de Dirichlet Γ u y condiciones de Neuman Γ q y f(x 1, x 2 ) = f definido en. Asi como las funciones continuas q = q(x 1, x 2 ) en Γ q y ū = ū(x 1, x 2 ) en Γ u, son datos del problema: Funciones residuales R, R q y R u se definen: R (x 1, x 2 ) = (k u ) + (k u ) f, en (6) x 1 x 1 x 2 x 2 R q (x 1, x 2 ) = k u n q en Γ q (7) R u (x 1, x 2 ) = u ū en Γ u (8) Introducimos funciones arbitrarias w = w (x 1, x 2 ) en, w q = w q (x 1, x 2 ) en Γ q y w u = w u (x 1, x 2 ) en Γ u. La formal residual se tiene: w R d + w q R q dγ + Γ q w u R u dγ Γ u = 0 (9) 6

7 Es equivalente a la forma fuerte con valor de frontera, siempre que las funciones de ponderación son arbitrarias de dentro de la consistencia y la unidad de definición adecuada de las integrales. Una serie de hipótesis se introducen al derivar el metodo de Galerkin. En primer lugar suponemos que la condición de contorno (3) se cumple desde el principio, es decir que la solución u se pide sobre un conjunto de funciones candidatas que satisfacen (3). Por tanto, la integral de de la tercera parte de la izquierda de (7) desaparece y la elección de w u se vuelve irrelevante. Al observar que los dos terminos restantes de (7) sean consistentes en unidades, a condición de que w, w q tengan las mismas unidades, introducir el segundo supuesto lleva a una formulación llamada Galerkin, se trata de una elección particular de las funciones w y w q según la cual: w = w en (10) w q = w en Γ q (11) La sustitución de las expresiones anteriores para las funciones de ponderación en la forma residual ponderada (7) nos queda: w( (k u ) + (k u ) f)d w(k u + q )dγ = 0 (12) x 1 x 1 x 2 x 2 Γ q n Hacemos ahora integración por partes, w( x 1 (k u x 1 ) + x 2 (k u x 2 ))d = w w( x 1 (k u x 1 ) + w x 2 (k u x 2 ))d + u w k( x 1 n 1 + u x 2 n 2 )dγ Reemplazando (11) en (10) ( w (k u ) + w (k u ) + wf)d + w k( u n 1 + u n 2 )dγ w(k u + q )dγ = 0 (13) x 1 x 1 x 2 x 2 x 1 x 2 Γ q n Recordemos que la proyección del gradiente u en la dirección unidad hacia el exterior normal n esta dada por: Asi (12) nos queda ( w (k u ) + w (k u ) + wf)d + x 1 x 1 x 2 x 2 u n = u n 1 + u n 2 (14) x 1 x 2 Teniendo en cuenta que = Γ u Γ q simplificamos w k u n dγ w(k u + q )dγ = 0 (15) Γ q n ( w (k u ) + w (k u ) + wf)d + w k u x 1 x 1 x 2 x 2 Γ u n dγ w q dγ = 0 (16) Γ q 7

8 Ahora adicionamos un supuesto, w = 0 sobre Γ u Esta ultima expresión conduce a la ecuación residual ponderada: ( w (k u ) + w (k u ) + wf)d + w q dγ = 0 (17) x 1 x 1 x 2 x 2 Γ q Que se conoce como la formulación de Galerkin del problema original. El problema residual ponderado (16) se puede expresar operacionalmente como sigue: Encontrar u U, tal que para todo w W B(w, u) + (w, f) + (w, q) Γq = 0 (18) Donde U = {u H 1 () : u = ū en Γ u }, W = {w H 1 () : w = 0 en Γ u } Obtenemos asi que B(w, u) es una forma bilineal simétrica, definida: ( w (k u ) + w (k u ) + wf)d x 1 x 1 x 2 x 2 Mientras que (w, f) y (w, q) son formas lineales definidas respectivamente como: (w, f) = (w, q) = wf d Γ q w q dγ La identificación de la solución admisible en el campo U y el campo de funciones de ponderación W esta sujeta por las restricciones impuestas durante la derivación de (16). Una aproximación finito dimensional del método de Galerkin se obtiene mediante la reformulación del problema residual ponderado de la siguiente manera: Encontrar u h U h, tal que para todo w h W h B(w h, u h ) + (w h, f) + (w h, q) Γq = 0 Donde U h y W h son subespacios de U, W respectivamente tal que: u u h = w w h = N α I ϕ I (x 1, x 2 ) + ϕ 0 (x 1, x 2 ) (19) I=1 N β I ψ I (x 1, x 2 ) (20) I=1 Donde ϕ I y ψ I, I = 1, 2,..., N son funciones dadas llamadas interpolación o base tal que se anulan en Γ u y ϕ 0 es escogida de tal manera que u h 8

9 satisface la condición de frontera (3), los parametros α I R se determinan mediante la invocación de (16) mientras que los parámetros β I R son arbitrarios. Una aproximación Bunov-Galerkin se obtiene mediante el establecimiento de ψ I = ϕ I para todo I = 1,..., N. Esta es la versión más popular del método de Galerkin, el uso de funciones ψ I ϕ I se conoce como una aproximación Bunov-Galerkin. Sustituyendo u h y w h en la forma residual ponderada (16) resulta: N β I I=1 [ ψi,1 ψ I,2 ] k ( N ó alternativamente: J=1 [ ] ϕj,1 ϕ J,2 J [ ]) ϕ0,1 + d + ϕ 0,2 N N β I ( K IJ α J F I ) = 0 I=1 J=1 Donde: K IJ = [ [ ] ϕj,1 ψi,1 ψ I,2 k ϕ J,2 F I = ψ I f d ] d N β I J=1 [ ] [ ] ϕ0,1 ψi,1 ψ I,2 k d ϕ 0,2 como los parametros β I son arbitrarios, se sigue que: O en forma matricial: N K IJ α J = F I J=1 Kα = F ψ I f d + Γ q ψ I q dγ Donde K es la matriz N N de rigidez, F el vector de forzamiento N 1, α es el vector N 1 de parámetros. El método de Galerkin transforma la ecuación integro- diferencial en un sistema de ecuaciones lineales algebraicas. N I=1 Γ q ψ I q dγ = 0 (21) Ejemplo.3 Considere la ecuación Laplace-Poisson en la forma: d 2 u dx 2 = 1 en = (0, 1) du dx = 2 en Γ q = 1 u = 0 en Γ u = 0 La forma residual ponderada nos queda: 1 0 ( dw u dx x + wdx + 2w x=1 9

10 Un parámetro Bunov-Galerkin de la aproximación puede ser obtenido tomando N = 1 en las ecuaciones (18), (19) y la elección: ϕ 0 (x 0 ), ϕ 1 (x) = x u h = α 1 x, w h = β 1 x, sustituyendo estos en (): 1 y como β 1 es arbitario se sigue que: 0 (β 1 α 1 + β 1 xdx + 2β 1 = 0 β 1 α 1 + β β 1 = 0 β 1 α 1 + 5β 1 2 = 0 α 1 = 5 2 Por lo tanto un parámetro Bunov-Galerkin de la solución de la ecuación diferencial es: u h (x) = 5 2 x Similarmente un segundo parárametro Bunov-Galerkin es obtenido por la escogencia de: ϕ 0 (x) = 0, ϕ 1 (x) = x, ϕ 2 (x) = x 2 Entonces: u h = α 1 ϕ 1 (x)+ϕ 0 (x)+α 2 ϕ 2 (x) = α 1 x+α 2 x 2, w h = β 1 x+β 2 x 2 Asi obtenemos: De donde se sigue que: 0 β 1 (α 1 + 2α 2 x)dx = 2β 1 2xβ 2 (α 1 + 2α 2 x)dx = 2β β 1 xdx β 2 x 2 dx α 1 + α 2 = 5 2 α α 2 = 7 3 Resolviendo el sistema tenemos α 1 = 3 y α 2 = 1 2. u h (x) = 3x x2 En este caso la solución aproximada coincide con la aproximación Bunov- Galerkin. 10

11 3.3 Método de Galerkin para la ecuación de la Elastostática Consideramos un cuerpo deformable que ocupa la región R 3 en su estado de referencia en el momento t = 0. Además la frontera de la región es suave con normal unitaria n hacia el exterior y se descompone en dos regiones Γ q y Γ p, tal que = Γ p Γ q. Por tanto supongamos que existe una función vectorial u : R + R 3, tal que el vector de posición y de un punto x del material en el tiempo t esta relacionado con el vector de posición del punto x del mismo material en el tiempo t = 0 por: y(x, t) = x + u(x, t) La función vectorial u se denomina el campo de desplazamiento. El cuerpo se supone que esta hecho de un material elástico y está sometido a la fuerza del cuerpo por unidad de volumen, superficie prescrito de tracciones t sobre Γ q, y prescritos desplazamientos ū, sobre Γ p. Todas las funciones de datos f, t y u se supone continua en sus respectivos dominios. La forma fuerte de la ecuación de la elastostática se describe como: Donde: σ es el tensor de estrés o tensión. f es la fuerza del cuerpo. t la tracción sometida al cuerpo es el dominio del problema. σ(x) + f(x) = 0 en (22) σn = t en Γ q (23) u = ū en Γ u (24) En este caso vamos a suponer que el material es isotrópico y homogéneo, entonces se puede expresar el tensor de estrés como: σ = λtr(ɛ)i + 2µɛ (25) En términos de las constante de Lamé λ y µ, el tensor de identidad I y el tensor infinitesimal de estrés ɛ. El ultimo se define como: ɛ = 1 2 ( u + ( u)t ) (26) La forma fuerte del problema lineal de la elastostática se puede resumir de la siguiente manera f dada en, t en Γ q y ū en Γ u encontrar u en tal que (21)(22)(23) se satisfacen. Una formulación débil de Galerkin en elastostática lineal puede deducirse analogamente a la formulación de Poisson. 11

12 Las condiciones de contorno de Dirichlet se satisfacen Las funciones de ponderación w y w q son elegidos tal que w = w q = w w = 0 en Γ u Asi la forma débil puede escribirse: w ( σ f)d + w (σn t)dγ Γ q = 0 (27) Ahora expresemos la anterior expresión en notación einsteniana: w ( σ) = = = = w i σ ij,j d (28) (w i σ ij ),j d w i,j σ ij d (29) w i σ ij n j dγ w i,j σ ij d (30) w i σ ij n j dγ w i,j σ ij d (31) Γ q Donde se hace uso de la integración por partes el Teorema de la Divergencia y el hecho de que w = 0 en Γ u. Ademas se tiene que : w i,j σ ij = [ 1 2 (w i,j + w j,i ) (w i,j w j,i )]σ ij (32) = 1 2 (w i,j + w j,i )σ ij (33) Reemplazando (30) y (32) en (26) nos queda: w ( σ)dσ = w (σn)dγ Γ q s w : σd (34) Donde s w : σ denota la contracción de tensores s w y σ expresados en forma componente como: s w : σ = w i,j σ ij Por tanto de (33) la forma débil del problema de elastostática lineal puede ser escrito como: s w : σd = w fd + w tdγ (35) Γ q Dadas f, t y ū, el problema débil de elastostática consiste en encontrar u U talque la anterior igualdad se cumpla para toda w W admisible. Donde: U = {u H 1 () : u = u en Γ u } W = {w H 1 () : w = 0 en Γ u } 12

13 La fórmula débil se puede escribir operacionalmente como sigue: B(w, u) = (w, f) + (w, t) Γq Ejemplo.4 Considere una placa elástica con forma de rectángulo no deformado [0, 20] [ 1, 1], con f = 0 y la frontera g es cero en el inferior, lado derecho y superior. El lado vertical de la viga es fijo σn = g = 0 en Γ 1, Γ 4, Γ 3, u = 0, en Γ 2 y u = (u, v) La formulación débil en este caso nos queda λ u v + 2µɛ(u) : ɛ(v)dx Utilizamos el sofware freefem++ que esta hecho sobre elementos finitos, asi nos quedaria: 13

14 la gráfica de la solución es: 7.png 4 Construcción de subespacios del elemento finito El método de elementos finitos proporciona un procedimiento general para la construcción de espacios U h admisibles y W h en relación con los métodos ponderados residuales y variacionales. Definición.5 (Soporte) El soporte de una función f(x) en su dominio R n como el cierre del conjunto de todos los puntos x en el dominio para el que f(x) 0 supp = {x : f(x) 0} Definición.6 (Métodos locales de aproximación) Son aquellos para los cuales suppϕ I es pequeño comparado con el tamaño del dominio de aproximación, estos son más adecuados para la ejecución algoritmica que facilmente puede satisfacer Dirichlet, las condiciones de contorno y con ello se obtiene normalmente bandas de sistemas lineales algebraicos. Definición.7 (Métodos Globales) Son capaces de proporcionar estimaciones excelentes de una solución con relativamente pequeño esfuerzo com- 14

15 putacional, se prestan para a una aplicación algoritmica directa e incluso cuando lo hacen producen siempre sistemas densos. Funciones de admisibilidad u h deben satisfacer ciertos criterios de admisibilidad general. Esto esta motivado por la necesidad de que los espacios solución resultantes finito dimensional esten bien definidos y aproximen de manera uniforme soluciones exactas. Las familias de interpolacion de funciones {ϕ 1,..., ϕ N } deben tener las siguientes propiedades: Para algún x, existe un I con 1 I N, talque ϕ I (x) 0.Es decir las funciones de interpolación deben cubrir todo el dominio de análisis. Todas las funciones de interpolación deben satisfacer las condiciones de frontera de Dirichlet. Las funciones de interpolación deben ser linealmente independientes en el dominio de análisis. Las funciones de interpolación deben satisfacer los requisitos de integrabilidad que emanan de las formas débil asociadas. La familia de funciones de interpolación debe poseer suficiente potencia de aproximación Definición.8 (Espacio de elementos finitos) Es un procedimiento racional para la construcción local de funciones de interpolación polinomial. Dado el dominio de análisis, admitir la existencia de elementos finitos e subdominios de manera que: = e e Del mismo modo la frontera se descompone en subdominios e e. Además admite la existencia de puntos I, asociada con subdominios e. Puntos que tienen coordenadas x i con referencia a un sistema de coordenadas fijo y se conoce como la nodal. La colección de elementos finitos subdominios y puntos nodales constituye una malla de elementos finitos. la geométria de cada e esta completamente definida por los puntos nodales que se encuentran en e y en e. Las funciones de interpolación ϕ I se definen en cada interior del elemento 1 si I = J finito del nodo I, como: ϕ I (x J ) = 0 en otro caso. Podemos definir las funciones locales de interpolación para los nodos frontera exterior que no se encuentran en la parte de la frontera donde condiciones de Dirichlet no se cumplen.este último se cumplen qa nivel local por las funciones de aproximación que se desvanecen en absoluto en otra frontera y los nodos interiores. Un elemento finito es un objeto matemático que consiste en tres ingredientes básicos: Un elememto finito subdominio Γ e 15

16 Un espacio lineal de funciones de interpolación. Un conjunto de grados de libertad, saber los parámetros α I que esten asociados con funciones de interpolación de elementos finitos. Definición.9 (Básicas formas de los elementos finitos en una dos y tres dimensiones) La forma geoétrica de un elemento finito de dominio e puede ser completamente determinado por los conjuntos de datos: La posición de los puntos nodales. Un dominio procediente de interpolación. Asi el vector x de exposición de un punto e puede escribirse como una función de la posición de los vectores x I de nodos I y las funciones de dominio dado de interpolación. Definición.10 (Una dimensión) Un elemento dimensional son segmentos de lineales, recta o curva. Definición.11 (Dos dimensión) Dominios bidimensionales son típicamente triangular o cuadrangular con recta rara vez se utiliza en la práctica. Definición.12 (Tres dimensiónes) Lo más utiles dominios tridimensionales de elementos finitos son tetraédricos pentahedral, con bordes rectos o curvas y las caras planas o no planas. 4.1 Funciones polinomicas de forma Elemento de funciones de interpolación se utilizan generalmente para dos fines, para generar una aproximación para la variable dependiente y para parametrizar el elemento dominio. Definición.13 (Interpolación en una dimensión) En primer lugar, consideremos el caso de funciones de interpolación polinomial a trozos. El más simple de los elementos finitos que se ajuste a los requisitos de completitud es el elemento 2-nodo de D x. u h (x) = N e 1 (x)u e 1 + N e 2 (x)u e 2 + N e 3 (x)u e 3 Definición.14 (Interpolación cuadrática completa) Donde N e 1 (x) = (x δx)(x δx) 2δx 2 u h (x) = N e 1 (x)u e 1 + N e 2 (x)u e 2 + N e 3 (x)u e 3, N2 e (x) = x(x δx) 2δx -N e 2 3 (x) = x(x 2δx) 2δx 2 Definición.15 (Interpolación en dos dimensiones) El más simple de 3- dimensión es el 3-nodo de borde recto e, triangulo con un grado de libertad por nodo. Se supone una relación lineal polinomial de interpolación de la variable dependiente u en la forma: u h (x, y) = 3 N1 e (x, y)u e i = c 0 + c 1 x + c 2 y i=1 16

17 Con referencia a un sistema de coordenadas fijo (x, y). Al identificar los grados de libertad en cada nodo i = 1, 2, 3 tiene coordenadas (x i, y i ) con la ordenanda u e i de la variable dependiente en cada nodo obtenemos un sistema lineal algebraico de ecuaciones con c 0, c 1 y c 2 en la forma: Asi: u e 1 = c 0 + c 1 x 1 + c 2 y 1 u e 2 = c 0 + c 1 x 2 + c 2 y 2 u e 3 = c 0 + c 1 x 3 + c 2 y 3 c 0 = 1 2A [ue 1(x 2 x 3 x 3 y 2 ) + u e 2(x 3 x 1 x 1 y 3 ) + u e 3(x 1 x 2 x 2 y 3 )] c 1 = 1 2A [ue 1(y 1 y 2 ) + u e 2(y 3 y 2 ) + u e 3(y 1 y 2 )] c 2 = 1 2A [ue 1(x 1 x 2 ) + u e 2(x 1 x 3 ) + u e 3(x 2 x 1 )] Las expresiones explicitas para el elemento de funciones de interpolación son: N e 1 = 1 2A [(x 2y 3 x 3 y 2 ) + (y 2 y 3 )x + (x 3 x 2 )y] N e 2 = 1 2A [(x 3y 1 x 1 y 3 ) + (y 3 y 2 )x + (x 1 x 3 )y] N e 3 = 1 2A [(x 1y 2 x 2 y 1 ) + (y 1 y 2 )x + (x 2 x 1 )y] Definición.16 El más simple elemento tridimensional es el tetaedro de cuatro nodos con un nodo en cada vertice. Este elemento tiene un grado de libertad en cada nodo y la variable dependiente se interpola como: u h = 4 Ni e u e i = c 0 + c 1 x + c 2 y + c 3 z i=1 Donde u e i son los grados de libertad y c 0 c 3 son constantes y u i = u h (x e i, ye i, ze i ) es decir que los grados de libertad toma los valores de las ordenadas de la variable dependia en los nodos i con coordenadas (x e i, ye i, ze i ), se sigue las constantes c 0 c 3 se puede determinar resolviendo el sistema de ecuaciones: u e 1 = c 0 + c 1 x e 1 + c 2 y e 1 + c 3 z e 1 u e 2 = c 0 + c 1 x e 2 + c 2 y e 2 + c 3 z e 2 u e 3 = c 0 + c 1 x e 3 + c 2 y e 3 + c 3 z e 3 Este elemento es polinomial completo. 17

18 References,???? Agbezuge, L.,???? Finite element solution of the poisson equation with dirichlet boundary conditions in a rectangular domain. Hecht, F., Pironneau, O., Le Hyaric, A., Ohtsuka, K., Freefem++. Laboratoire JL Lions, University of Paris VI, France 70. Iserles, A., A first course in the numerical analysis of differential equations. Vol. 44. Cambridge University Press. 18