SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Ejercicios

Transcripción

1 1) Tomamos el sistema que aparece en la resolución del ejercicio 2 apartado c) de la hoja de problemas de splines 4 1 r1 96 r r 2 r r 3 3 r r4 396 r r 5 r r 6 9 r Se pide. a) Introducir la matriz A de los coeficiente como una matriz B sparse b) Dar A como una matriz llena a partir de la matriz B c) Volver a definir A como una matriz dispersa S a partir de la matriz llena d) Introducir A como una matriz tridiagonal E cuyas diagonales son escalares e) Dar la solución A\b del sistema f) Dar la descomposición LU de A g) Hallar la solución del sistema utilizando la descomposición LU h) Dar la solución con la función crout i) Dar una solución aproximada aplicando el método de Jacobi, tomando como x el vector nulo, como cota de error tol=.1 y como el máximo de iteraciones maxiter=5. j) Dar una solución aproximada aplicando el método de Gauss Seidel k) Dar una solución aproximada aplicando el método de sobrerrelajación con =1.2 l) Dar el número de condición de A Solución: a) B=sparse([1,1,2,2,2,3,3,3,4,4,4,5,5,5,6,6],[1,2,1,2,3,2,3,4,3,4,5,4,,5,6,5,6],[4,1,1,4,1,1,4,1,1,4,1,1,4,1,1,4] B = (1,1) 4 (2,1) 1 (1,2) 1 (2,2) 4 (3,2) 1 (2,3) 1 (3,3) 4 (4,3) 1 (3,4) 1 (4,4) 4 (5,4) 1 (4,5) 1 Asignatura: INFERENCIA ESTADÍSTICA y CÁLCULO NUMÉRICO APLICADOS A LA INGENIERÍA 1

2 (5,5) 4 (6,5) 1 (5,6) 1 (6,6) 4 b) >> A=full(B) A = c) >> S=sparse (A) S = (1,1) 4 (2,1) 1 (1,2) 1 (2,2) 4 (3,2) 1 (2,3) 1 (3,3) 4 (4,3) 1 (3,4) 1 (4,4) 4 (5,4) 1 (4,5) 1 (5,5) 4 (6,5) 1 (5,6) 1 (6,6) 4 d) >> n=6,dp=ones(1,n),ds=ones(1,n 1), E=diag(4*dp)+diag(ds,1)+diag(ds, 1) n = 6 dp = ds = E = Asignatura: INFERENCIA ESTADÍSTICA y CÁLCULO NUMÉRICO APLICADOS A LA INGENIERÍA 2

3 e) >> b=[;;3;;;9], x=a\b f) Obsérvese que A es una matriz estrictamente diagonal dominante por lo que no haría falta el pivoteo >> [L,U]=lu(A) L = U = g) La solución con la descomposición LU es >> x=u\(l\b) Asignatura: INFERENCIA ESTADÍSTICA y CÁLCULO NUMÉRICO APLICADOS A LA INGENIERÍA 3

4 h) Para hallar la solución del sistema con el algoritmo de crout de MATLAB hemos de definir la función crout (a,b,c,z) en MATLAB con un fichero del tipo.m File/New Blank M File (las órdenes se pueden copiar del documento Ficheros_MATLAB (punto m) que se encuentra en el curso Complementos Formativos del Moodle del Centro >> a=[4,4,4,4,4,4],b=[1,1,1,1,1],c=[1,1,1,1,1],z=[;;3;;;9], crout(a,b,c,z) a = c = z = Asignatura: INFERENCIA ESTADÍSTICA y CÁLCULO NUMÉRICO APLICADOS A LA INGENIERÍA 4

5 i) Para hallar la solución del sistema con el método (iterativo) de Jacobi hemos de definir una función que designaremos por jacobi (A,b,x,tol,maxiter) en MATLAB con un fichero del tipo.m (tal y como se ha mostrado en el apartado anterior) A es la matriz de coeficientes del sistema, b es la columna de términos independientes, x es el valor inicial, tol es la cota de error y maxiter es el máximo número de iteraciones >>A,b=[;;3;;;9],x=[;;;;;],tol=.1,maxiter=5,jacobi(A,b,x,tol,maxiter) A = tol =.1 Asignatura: INFERENCIA ESTADÍSTICA y CÁLCULO NUMÉRICO APLICADOS A LA INGENIERÍA 5

6 maxiter = 5 incr = j) Para hallar la solución del sistema con el método (iterativo) de Gauss Siedel hemos de definir una función que podemos designar por gaussiedel (A,b,x,tol,maxiter) en MATLAB con un fichero del tipo.m (tal y como se ha mostrado en el apartado anterior) A es la matriz de coeficientes del sistema, b es la columna de términos independientes, x es el valor inicial, tol es la cota de error y maxiter es el máximo número de iteraciones >> A,b=[;;3;;;9],x=[;;;;;],tol=.1,maxiter=5,gaussiedel(A,b,x,tol,maxiter) A = Asignatura: INFERENCIA ESTADÍSTICA y CÁLCULO NUMÉRICO APLICADOS A LA INGENIERÍA 6

7 tol =.1 maxiter = 5 incr = k) Para hallar la solución del sistema con el método (iterativo) de Gauss Siedel hemos de definir una función que podemos designar por sobrerrelajacion (A,b,x,omega,tol,maxiter) en MATLAB con un fichero del tipo.m (tal y como se ha mostrado en el apartado anterior) A es la matriz de coeficientes del sistema, b es la columna de términos independientes, x es el valor inicial, tol es la cota de error y maxiter es el máximo número de iteraciones >> A,b=[;;3;;;9], x=[;;;;;], omega=1.2, tol=.1, maxiter=5, sobrerrelajacion(a,b,x,omega, tol,maxiter) A = Asignatura: INFERENCIA ESTADÍSTICA y CÁLCULO NUMÉRICO APLICADOS A LA INGENIERÍA 7

8 omega = 1.2 tol =.1 maxiter = 5 incr = l) El número de condición de a es: >> cond(a) Es decir, la matriz está bien condicionada. Asignatura: INFERENCIA ESTADÍSTICA y CÁLCULO NUMÉRICO APLICADOS A LA INGENIERÍA 8