PRÁCTICA N 5 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

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1 PRÁCTICA N 5 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1.- Usa el método de Eliminación de Gauss para resolver en EXCEL los siguientes sistemas lineales, si es posible. Realizando, si es necesario, intercambio de filas. 2.- Supongamos que en un hábitat bilógico hay especies de animales y tipos de alimento. Representemos por la población de la especie -ésima para cada ; por la cantidad diaria disponible del alimento -ésimo; y por -ésimo que consume un miembro de la especie -ésima. El sistema lineal la cantidad media del alimento 1

2 representa una situación de equilibrio en la que el aporte diario de alimentos cubre con precisión la demanda diaria media de cada especie. a. Si la especie 1 se extingue, qué incremento de cada especie por separado podría soportarse? b. Si la especie 2 se extingue, qué incremento de cada especie por separado podría soportarse? [ ] [ ] [ ] [ ] y [ ] [ ] Hay suficiente alimento para satisfacer el consumo diario medio? c. Cuál es el número máximo de animales de cada especie por separado que podrían sumarse al hábitat de manera que el aporte diario de alimentos siga cubriendo el consumo? 3.- Usa el método de Eliminación de Gauss simple, empleando aritmética con tres cifras y redondeo, para resolver los siguientes sistemas lineales. Compara tus aproximaciones con las soluciones exactas. 4.- Repite el ejercicio 3 usando el método de Eliminación de Gauss con pivoteo parcial escalado. 5.- Resuelve el siguiente sistema lineal utilizando el método de Eliminación de Gauss. [ ] [ ] [ ] 6.- La solución mediante la regla de Cramer del sistema lineal. viene dada por 2

3 [ ] [ ] [ ] donde [ ] Usa la regla de Cramer para hallar la solución del sistema lineal. 7.- Resuelve los siguientes sistemas factorizados. [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 8.- Repite el ejercicio 1 utilizando el método de factorización LU versión Doolittle. 9.- Repite el ejercicio 1 utilizando el método de factorización LU versión Crout La siguiente tabla muestra la información de algunos materiales que se requieren para construir 4 modelos diferentes de automóviles. Determina el número de vehículos que se pueden armar si se dispone de las siguientes cantidades de materias primas: 2,8 toneladas de plástico suave; 3,3 toneladas de acero; 4,5 toneladas de hierro y 1,35 toneladas de mica. Material/auto Plástico suave (kg) Acero (kg) 3 Hierro (kg) Mica (kg) M M

4 M M La mamá de Fernanda hace pasteles y sólo cobra los ingredientes. La siguiente tabla muestra los pedidos de 4 amigos, los ingredientes en kg de cada pastel y el costo total. Amigo Huevos (kg) Azúcar (kg) Harina (kg) Manzanas (kg) Costo Alicia 1 0, ,4 Laura 2 0,8 3 1,2 55,8 Rebeca 0,5 0,2 1,5 0,8 25,2 Lucero 1, ,5 Encontrar el costo por kilogramo de cada ingrediente Resuelve los siguientes sistemas lineales utilizando la factorización de Cholesky Usa la factorización de Crout para sistemas tridiagonales para resolver los siguientes sistemas Repite el ejercicio 13 utilizando la factorización de Doolittle Sea la matriz tridiagonal definida por,, para cada, y en,. Sea el vector columna de dimensión 4

5 diez dado por y para cada. Resuelve por medio de la factorización de Crout para sistemas tridiagonales Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando el método de Jacobi. Obtener la solución con 15 dígitos significativos Repite el ejercicio 15 utilizando el método de Gauss-Seidel Considera el siguiente sistema lineal. [ ] [ ] [ ] Usa un método iterativo y resuelve este sistema para y para El diagrama adjunto representa la discretización del problema del calor en una placa. Se trata de determinar la temperatura en los nodos interiores de la malla,, conocidas las temperaturas en el borde y suponiendo que hay equilibrio térmico, es decir que las temperaturas no varía. En el modelo discreto se supone que, en el equilibrio, la temperatura de cada nodo es la media de las temperaturas en los nodos vecinos. Por ejemplo: ( ) 5

6 Obtener el sistema lineal correspondiente a los datos de la figura, formulando las condiciones que han de verificar las temperaturas de los nodos interiores y resolver el mismo Las fuerzas sobre el puente que se muestra en la figura verifican las ecuaciones de la tabla. Junta Componente horizontal Componente vertical Hallar,,,,,,, usando el (i) método de Jacobi y (ii) el método de Gauss- Seidel. 6

7 21.- Resuelve el siguiente sistema lineal complejo de orden 2 convirtiéndolo en un sistema lineal real equivalente de orden 4. ( ) ( ) ( ) ( ) 22.- Un problema común de ingeniería eléctrica es el cálculo de las corrientes en un circuito eléctrico. Por ejemplo, el circuito que se muestra en la figura con (ohms), (microfarads), (milihenries), y (hertz) conduce al sistema. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Selecciona igual a milivolts y resuelve los dos casos: a. Los dos voltajes están en fase; es decir b. El segundo voltaje está un cuarto de un ciclo adelante del primero; es decir, En cada caso, resuelve el sistema para la amplitud (en miliamperes) y la fase (en grados) para cada corriente. Nota: cuando ( ) ( ), la amplitud es y la fase es ( ) ( ( ) ( )) Dado el sistema de ecuaciones ( ) Resolviendo la -ésima ecuación para el -ésimo término, obtenemos una ecuación que describe el método de Jacobi: 7

8 ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] Los componentes de ( ) y los correspondientes nuevos valores ( ) se pueden utilizar inmediatamente en su lugar. Si se hace esto, tenemos el método de Gauss-Seidel: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ Una aceleración del método de Gauss-Seidel es posible por la introducción de un factor (llamado factor de relajación), lo que da como resultado el método de sobrerrelajación sucesiva (SOR): ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] Observa que el método SOR con se reduce la método de Gauss-Seidel Usando los métodos de Jacobi, Gauss-Seidel y SOR ( ) resuelver el siguiente sistema lineal con 14 dígitos significativos de exactitud [ ] [ ] [ ] 8