[MEMORIAS ENCUENTRO NACIONAL DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICA] Resumen

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1 COMUNICACIÓN BREVE CONSTRUCCIÓN DEL SIGNIFICADO DE LAS FRACCIONES ALGEBRAICAS Y SUS OPERACIONES A PARTIR DE LAS FRACCIONES ARITMÉTICAS Aura Liliana González Vivas Estudiante de último semestre de Lieniatura de Matemátias y Estadístia Universidad Pedagógia y Tenológia de Colombia lilisveth@yahoo.es Resumen Este artíulo presenta el diseño, gestión y resultados de un proyeto de investigaión de aula para estudiantes de grado noveno, orientado a orregir errores y fortaleer el aprendizaje de las fraiones algebraias y sus operaiones. La propuesta destaa la importania de la relaión entre las fraiones aritmétias y las fraiones algebraias. Los resultados se basan en el análisis de errores propuesto por Soas el at., (1996) y la valoraión de la idoneidad didátia del EOS de Godino et al., (2006). Palabras lave: fraiones algebraias, fraiones aritmétias, errores, Idoneidad Didátia. Abstrat This paper presents the design, management and results of a researh projet in the lassroom for students ninth grade, designed to orret mistakes and reinfore the learning of algebrai frations and operations. The proposal stresses the importane of the relationship between arithmeti frations and algebrai frations. The results are based on the error analysis proposed by the Soas at., (1996) and assessing the suitability of the EOS Godino didati et al. (2006) Key words: algebrai frations, frations arithmeti, errors, Teahing Competene. INTRODUCCIÓN Este proyeto se genera en un urso de apoyo para el aprendizaje de las matemátias on estudiantes de grado noveno del Colegio Guillermo León Valenia de Duitama, en las asignatura Proyeto Pedagógio VI y Ambientes Eduativos IV de la Lieniatura en Matemátias y Estadístia de la Universidad Pedagógia y Tenológia de Colombia Seional Duitama, omo parte de la formaión integral del futuro doente. La transiión de la aritmétia al álgebra es quizás el amino más omplejo al ual se enfrentan los estudiantes de seundaria ya que es el enlae para onstruir los signifiados de objetos algebraios, lo ual genera onflitos que no permiten avanzar en el aprendizaje. Es por esto, que este proyeto se orienta en la onstruión del signifiado de las fraiones algebraias y sus operaiones por medio de las fraiones aritmétias, on el fin de orregir los errores detetados en un diagnóstio preliminar y de esta forma mejorar en la enseñanza y aprendizaje de los oneptos y proedimientos matemátios aogiendo los prinipios onstrutivistas. DESARROLLO Se llevó a abo un diagnóstio preliminar on 29 estudiantes, niños y niñas de grado noveno del Colegio Guillermo León Valenia de Duitama, on una edad promedio de 14 años. Su prinipal objetivo era identifiar los errores que manifiestan en fraiones algebraias y sus operaiones. Para esto, se hizo neesaria y la apliaión de instrumentos que suministró la informaión preisa, entre los uales enuentra la matriz de observaión donde se 116

2 registró las situaiones que se presentaron en el aula de lase de forma esquematizada teniendo en uenta el objetivo de la observaión. El otro instrumento empleado es el uestionario iniial que se planifió de tal forma que se pudieran detetar los errores objeto del estudio teniendo en uenta las ategorías de errores en el algebra propuesta por Soas, Camaho, Palarea y Hernández (1996). Como se muestra en la siguiente tabla: Tabla 1. Categorizaión de los errores en algebra según Soas Se determinó que los errores que se ometen on mayor freuenia son los relaionados on la ompresión de la aritmétia por parte de los estudiantes, ya que si ellos no dominan las operaiones on fraiones las traduen erróneamente al ampo algebraio, tal omo se muestra en los siguientes protoolos: Cuando se les pide a los estudiantes efetuar la siguiente resta de fraiones 1 a b Se ignora la distribuión del signo menos antepuesto a una fraión. Y uando se les pide Efetuar la siguiente suma de fraiones algebraias 1 1 x y 117

3 Se hae falsa generalizaión de los algoritmos aprendidos on los números en aritmétia, en este aso el uso inapropiado de algoritmos para sumar fraiones, omitiendo el mínimo omún denominador. De auerdo on los resultados del diagnóstio se verifia que una de las prinipales difiultades, también señalada por Velázquez (2003), es el paso de la Aritmétia al Álgebra el ual es uno de los tránsitos más difíiles dentro del desarrollo gradual de los ontenidos matemátios. De auerdo a lo planteado, el problema de investigaión se formuló de la siguiente forma: En qué medida las fraiones aritmétias pueden promover la omprensión signifiativa de las fraiones algebraias y sus operaiones? El desarrollo del proyeto se entró en la onstruión del signifiado de las fraiones algebraias y sus operaiones, tomando omo punto de referenia las fraiones aritmétias, ya que se omportan de forma similar, lo que onlleva a plantear la siguiente hipótesis: una propuesta de enseñanza a partir de las fraiones aritmétias propiiará la ompresión signifiativa de las fraiones algebraias y sus operaiones. La investigaión está refereniada y apoyada en informaión sobre los errores omunes ometidos por los estudiantes en las fraiones algebraias y sus operaiones de auerdo on Brousseau, Davis y Werner (1986) itado por Rio et al. (1997) y la ategorizaión que propone Soas et al. (1996) ya que son un buen indiador de la onstruión del onoimiento matemátio por parte de los estudiantes. De igual manera es neesario sustentar el proyeto on base en la onfiguraión epistémia, neesaria para la valoraión de la idoneidad epistémia y en general la idoneidad didátia propuesta en el Enfoque Ontológio y Semiótio (EOS) de Godino (2006). También se sustenta esta propuesta en los prinipios onstrutivistas formulados por Waldegg (1998) y defiienias enontradas en la transiión de la aritmétia al algebra (Mata et al., 2009). Los errores son indiadores fundamentales que permiten visualizar ómo los estudiantes onstruyen los signifiados, por lo ual es indispensable estableer una ategorizaión de errores direionada haia las fraiones algebraias. Brousseau, Davis y Werner (1986) itados por Rio et al. (1997), señalan, que los errores son el resultado de un proedimiento sistemátio imperfeto que el alumno utiliza de modo onsistente y on onfianza. Y de auerdo on Soas (1997), el error debe ser onsiderado omo la presenia en el alumno de un esquema ognitivo inadeuado y no sólo la onseuenia de una falta espeífia de onoimiento o una distraión. Categorizaión de errores en el aprendizaje de fraiones algebraias De auerdo on ategorizaión que hae Soas (1996) on respeto a los errores en algebra, se tienen en uenta para la investigaión las siguientes ategorías: 118

4 La naturaleza y signifiado de los símbolos y las letras El mayor ambio oneptual en el aprendizaje del álgebra se entra alrededor de su diferenia on la aritmétia: signifiado de los símbolos e interpretaiones de las letras. Los símbolos son un reurso que permite denotar y manipular abstraiones. Se enuentran errores omo al efetuar la siguiente suma: Donde el estudiante además de olvidar el denominador omún, ignora totalmente la variable y pretende dar una respuesta de término únio, en si lausurar la suma. La omprensión de la aritmétia por parte de los estudiantes El algebra es la generalizaión de la aritmétia. Luego la asimilaión de la generalizaión de relaiones y proesos se lleva a abo en la aritmétia. A vees, las difiultades que los estudiantes presentan en el álgebra no son tanto difiultades en el algebra sino problemas que se quedan sin orregir en la aritmétia. Entre los uales es muy omún el siguiente: Donde el estudiante no tiene en uenta el signo menos antepuesto a la fraión. El uso inapropiado de fórmulas o reglas de proedimientos. Algunos errores de los estudiantes se deben al uso inadeuado de operaiones, formulas o reglas onoidas en situaiones nuevas. Entre estos se enuentran los errores de linealidad omo son: Errores relativos al mal uso de la propiedad distributiva. Nos damos uenta del mal uso de esta propiedad omo en lo siguiente: Algunos de los alumnos llegan a apliarla orretamente uando el valor que multiplia se enuentra a la izquierda pero no saben omo resolverla si se enuentra a la dereha, omo se enuentra en la siguiente operaión. EL error anterior puede venir de lo que al estudiante se le expone en lase omo por ejemplo: 119

5 Errores de anelaión. Se enuentran errores omo: Que probablemente viene de: Donde esta regla da origen a diversas situaiones omo: Configuraión epistémia del onepto de fraión algebraia Si bien es neesario haer un análisis profundo de la experienia doente, teniendo en uenta la propuesta aera de la idoneidad didátia que exponen Godino, Benomo, Font y Wilhelmi (2006), quienes han desarrollado un onjunto de noiones teórias desde el enfoque ontológio y semiótio (EOS) de la ogniión e instruión matemátia, que permiten expliar muhos de los fenómenos que se produen en el proeso de enseñanzaaprendizaje de las matemátias. La onfiguraión epistémia es el referente de omparaión que permite valorar el proeso de instruión implementado, teniendo en uenta los seis objetos matemátios del EOS. (Godino, Font y Wilhelmi, 2006). De auerdo on Godino et al. (2006) tanto los sistemas de prátias omo los objetos que intervienen y emergen están relaionados entre sí onstituyendo redes o onfiguraiones epistémias, es deir, ómo van apareiendo y relaionándose los seis objetos matemátios primarios reonoidos en el EOS: situaiones, lenguaje, proedimientos, oneptos, argumentos y proposiiones; la desripión de tales redes debe ser un objetivo del análisis epistemológio de una noión matemátia desde la perspetiva de la enseñanza y el aprendizaje. El desarrollo del proyeto se apoyó en la investigaión aión en el aula. La ual auerdo on Martínez (2000) es la estrategia que permite la onstruión oletiva del onoimiento, pretende desarrollar atitudes, habilidades y ompetenias investigativas en los partiipantes de la investigaión. Aorde on Domínguez (2003) es el método de investigaión en el que el investigador, en este aso el doente, tiene un doble rol, el de investigador y el de partiipante, también, ombina dos tipos de onoimientos: el onoimiento teório y el onoimiento de un ontexto determinado. Sin dejar de lado la importania que tienen los estudiantes que pasan de ser sujetos pasivos a sujetos ativos. El objetivo de la sistematizaión onsistió en evaluar el proyeto de aula onstruión del signifiado de las fraiones algebraias y sus operaiones a partir de las fraiones aritmétias mediante los riterios de idoneidad didátia propuestos en el EOS en el onoimiento de la instruión matemátia. Además se enfoa en ontestar los siguientes interrogantes: En qué medida es idóneo el uso de las fraiones aritmétias omo herramienta para la onstruión del signifiado de las fraiones algebraias y sus operaiones? En que nivel se orrigieron los errores el uestionario iniial? 120

6 A ontinuaión se hae énfasis a la valoraión de la idoneidad didátia en sus omponentes ognitivo, interaional y mediaional. Idoneidad ognitiva: Es importante destaar que para el desarrollo de esta investigaión se hizo una revisión extensa aera de las fraiones algebraias para poderlas abordar en el aula de lase, se pretendió revisar la mayoría de objetos, signifiados y proesos que permite una onstruión signifiativa. Sin embargo así omo se evidenia en los uestionarios iniial y final y las opiniones de los estudiantes en la enuesta que se les aplió, se presentaron difiultades de omprensión de signifiados, se abordó el ontraste entre el uestionario iniial y el uestionario final el ual nos permite visualizar que tanto los signifiados onstruidos por los estudiantes se aeran a los instituionales. De auerdo a los resultados se evidenia en gran medida que los estudiantes siguen ometiendo los mismos errores, probablemente debido a vaíos que persisten desde años atrás. Idoneidad Interaional. Se onoe de antemano qué errores se ometen relaionados a las fraiones algebraias mediante una investigaión que permitió determinarlos. A pesar de la intervenión y la propuesta implementada basada en onstruir el signifiado de las fraiones algebraias a través de las fraiones aritmétias, sigue persistiendo, omo se muestra en los siguientes protoolos: Cuando se le pide al estudiante efetuar e indique el proedimiento que permite pasar de la fraión la fraión b a a b a Se ignora el signo menos antepuesto a una fraión. Al pedirle al estudiante simplifiar la siguiente fraión algebraia. 9x 6 6 Persiste el mal uso de la anelaión. Y además salen a flote nuevos errores que difiultan aún más la onstruión de un aprendizaje signifiativo, relaionados on las propiedades de los exponentes y fatorizaión. 121

7 Idoneidad mediaional. De auerdo omo lo manifiestas los estudiantes en la enuesta faltó poner en marha atividades más innovadoras, pero debido al tiempo y al tema era difíil rearlas y ponerlas en marha. Aunque las atividades propuestas pretendían que el estudiante saliera de la rutina tradiional. CONCLUSIONES De auerdo a los resultados obtenidos es neesario indagar aera del quehaer en el aula de lases ya que se evidenia grandes falenias en el desarrollo ognitivo de los estudiantes. Puede ser que un fator importante omo no haber abarado toda la temátia sobre fraiones algebraias haya inidido en los resultados obtenidos. Se evidenia que para desarrollar esta experienia es neesario un tiempo más prolongado, ya que dar onlusiones sobre la estrategia apliada omo inadeuada o adeuada es demasiado prematuro, sería onveniente replantearla, mejorarla y orroborar su pertinenia. Sin embargo, hay que tener en uenta que onstruir el signifiado de las fraiones algebraias a partir de las fraiones es algo relativamente nuevo que tiene que ser explorado y ampliado. También es importante reonoer que estas experienias permiten ampliar la noión que se tiene aera de la enseñanza y aprendizaje de las matemátias. BIBLIOGRAFÍA Domínguez, R. (2003). La Investigaión Aión omo Método de Investigaión para doentes Reuperado:marzo de, disponible en: Godino, J., Benomo, D., Font, V., & Wilhelmi, M. (2006). Análisis y valoraión de la idoneidad didátia de proesos de estudio de las matemátias. Paradigma, 27(2). Martínez, M. (2000). La investigaión-aión en el aula. Agenda Aadémia, 7(1), Mata, E., Ramírez, M., Pore, A., & Siwert, P. (2009). Defiienias en la transiión de la aritmétia al álgebra. II Jornadas de Enseñanza e Investigaión Eduativa en el ampo de las Cienias Exatas y Naturales, (págs ). La Plata. Palarea, M. (1999). La adquisiión del lenguaje algebraio: reflexiones de una investigaión. Nùmeros. Revista de didátia de las matemátias, Rio, L., Castro, E., Castro, E., Coriat, M., Marín, A., Puig, L., y otros. (1997). La eduaion matemátia en la enseñanza seundaria. Barelona: Horsori. Soas, M., Camaho, M., Palarea, M., & Hernández, J. (1996). Iniiaión al Algebra. Madrid: Sintesis. Velázquez, F. (2003). Una propuesta de tránsito gradual de la aritmétia al álgebra. Conferenias y ponenias de las XJAEM, Waldegg, G. (1998). Prinipios onstrutivistas para la eduaión matemátia. EMA, 4(1),