GEOMETRÍA DEL ESPACIO. POLIEDROS

Transcripción

1 Geometría del espacio. Poliedros GEOMETRÍA DEL ESPACIO. POLIEDROS E n esta unidad trataremos de que los alumnos entiendan y sean capaces de imaginar elementos y cuerpos en el espacio tridimensional. Lo fundamental es que los alumnos relacionen poliedros con objetos de la vida cotidiana y vean la utilidad de conocer su superficie y su volumen. Será muy importante que hayan aprendido, en las unidades anteriores, los conceptos básicos de la geometría plana para que puedan aplicarla en el cálculo de longitudes y áreas. Es recomendable que los alumnos calculen las áreas de poliedros reconociendo la figura y el área de cada una de sus caras. Los contenidos de esta unidad se presentan de forma gráfica, de esta forma los alumnos serán capaces de relacionar la realidad visual con los conceptos teóricos. La metodología se ha diseñado incluyendo actividades integradas que permitirán al alumnado adquirir eficazmente varias competencias al mismo tiempo. Comunicación lingüística (CL) En toda la unidad se utilizarán argumentos y conceptos matemáticos para expresar y comunicar propiedades de la geometría en el espacio, teniendo especial importancia en las secciones: Composición de poliedros, Geometría en el arte y Lee y comprende las matemáticas de final del bloque. Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología (CMCT) Se desarrolla lo largo de toda la unidad, aplicarán destrezas y desarrollarán actitudes para razonar matemáticamente. Competencia digital (CD) Se integra en los ejercicios de cálculo de las áreas y los volúmenes de las pirámides y de los cuerpos compuestos, teniendo que recurrir a la visualización y búsqueda de información haciendo uso de medios informáticos. Competencias sociales y cívicas (CSC) En toda la unidad trataremos que los alumnos enfoquen los errores cometidos en los procesos de resolución de problemas con espíritu constructivo y colaborador. Competencia aprender a aprender (CAA) A lo largo de toda la unidad se considera la necesidad de que desarrollen la curiosidad, la perseverancia y la actitud crítica. En todas las secciones se presentan situaciones de la vida cotidiana, de esta forma conseguiremos que los alumnos reflexionen sobre su propio aprendizaje. Con el trabajo en equipo se potenciarán las metas de su aprendizaje. Competencia sentido de iniciativa y espíritu emprendedor (CSIEE) Desde esta unidad se contribuye al desarrollo de habilidades para desenvolverse adecuadamente, con autonomía e iniciativa personal, en diversos ámbitos de la vida y para interpretar el mundo que nos rodea. Muestra de ello son las actividades propuestas en la sección Matemáticas vivas, extraídas de la realidad social y del día a día. Competencia conciencia y expresiones culturales (CCEC) A lo largo de toda la unidad se realizarán actividades en las que los alumnos reconocerán la geometría como parte integrante de la expresión artística de la humanidad. En las secciones de Matemáticas vivas y Geometría en el arte (El cubismo) se trabaja esta competencia con más énfasis. El tiempo previsto para el desarrollo de la unidad es de semanas, aunque deberá adaptarse a las necesidades de los alumnos. 60

2 Geometría del espacio. Poliedros Objetivos Los objetivos que los alumnos tienen que alcanzar son: Reconocer los elementos básicos de la geometría en el espacio y las posiciones relativas entre rectas y planos. Identificar poliedros y sus planos de simetría. Clasificar y calcular áreas y volúmenes de prismas y de pirámides. Realizar una tarea de trabajo cooperativo utilizando los poliedros. Atención a la diversidad Para atender las diversas necesidades que presenta el grupo el docente podrá diseñar una organización flexible de los contenidos de la unidad con la inclusión de actividades de refuerzo y de ampliación con distintos niveles de dificultad. Material complementario En el material complementario Comprende y resuelve problemas se proponen actividades para trabajar la comprensión y la resolución de problemas de geometría del espacio. Por otra parte, el material complementario Practica+ cuenta con un repaso de los contenidos y procedimientos estudiados sobre los poliedros, y se proponen nuevas actividades para repasar y afianzar dichos contenidos. Además, para ayudar a los alumnos a comprender y practicar los problemas de poliedros pueden acceder a las lecciones 1111, 1078, 1107, 11 y 11 de la web PROGRAMACIÓN DE LA UNIDAD Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluables Elementos de la geometría del espacio Posiciones relativas Poliedros Planos de simetría Prismas Clasificación de prismas Área y volumen de prismas Pirámides Clasificación de pirámides Troncos de pirámide Área y volumen de pirámides Área y volumen de los troncos de pirámide Composición de poliedros 1. Identificar los elementos básicos de la geometría del espacio.. Determinar la posición relativa entre rectas y planos.. Describir, clasificar y desarrollar poliedros. 4. Identificar planos de simetría en poliedros Reconoce rectas, planos, puntos y aristas en el espacio..1. Identifica la posición relativa entre dos rectas, dos planos y una recta y un plano..1. Reconoce elementos básicos de poliedros, los relaciona y clasifica Describe y dibuja planos de simetría en poliedros. 5. Identificar y distinguir prismas 5.1. Reconoce, clasifica, dibuja y realiza el desarrollo plano de prismas. 5.. Determina elementos básicos de prismas. 6. Comprender y aplicar las fórmulas para el cálculo de áreas y volúmenes de prismas. 7. Identificar y distinguir pirámides. 8. Reconocer troncos de pirámides.. Comprender cómo ha de realizarse el cálculo de áreas y volúmenes de pirámides. 10. Comprender cómo ha de realizarse el cálculo de áreas y volúmenes de troncos de pirámides. 11. Reconocer cuerpos compuestos por poliedros y determinar su área y su volumen Calcula áreas y volúmenes de prismas. 6.. Relaciona elementos, áreas y volúmenes de prismas para resolver problemas Determina los elementos básicos, clasifica, dibuja y realiza el desarrollo plano de pirámides Dibuja y averigua elementos básicos en trocos de pirámide..1. Calcula áreas y volúmenes de pirámides y los aplica para hallar elementos básicos Determina elementos, áreas y volúmenes de troncos de pirámides Obtiene el área y el volumen de cuerpos compuestos por poliedros. Relación de actividades del libro del alumno 1, 50-4, Matemáticas vivas, 10, 5 11, 1, 15 6, G1 1, , , , 6, , 61, 6 Matemáticas vivas 1 G1, 4-41, Matemáticas vivas 4, Trabajo cooperativo Competencias clave CL CMCT CSC CAA CSIEE CL CMCT CSC CAA CSIEE CL CMCT CSC CAA CSIEE CL CMCT CSC CAA CSIEE CL CMCT CSC CSIEE CL CMCT CD CSC CAA CCEC CL CMCT CD CAA CSIEE CCEC 61

3 Geometría del espacio. Poliedros PARA EL PROFESOR MAPA DE CONTENIDOS DE LA UNIDAD PARA EL ALUMNO Presentación de la unidad Ideas previas Repasa lo que sabes Matemáticas en el día a día Contenido WEB. Leonhard Euler Actividades de Refuerzo Actividades de Ampliación 1. Elementos de la geometría del espacio Posiciones relativas Propuesta de Evaluación A Propuesta de Evaluación B. Poliedros Planos de simetría. Prismas Clasificación de prismas 4. Área y volumen de prismas 5. Pirámides Clasificación de pirámides Troncos de pirámides MATERIAL COMPLEMENTARIO 6. Área y volumen de pirámides Área y volumen de los troncos de pirámide Vídeo. Área y volumen de pirámide Comprende y resuelve problemas 7. Composición de poliedros Qué tienes que saber? Prismas Pirámides Troncos de pirámide Vídeo. Área y volumen de un cuerpo compuesto Practica+ Actividades finales Actividades interactivas MisMates.es Lecciones 1111, 1078, 1107, 11 y 11 de la web Matemáticas vivas Las pirámides Grandiosas construcciones geométricas Avanza Medida de ángulos Trabajo cooperativo Tarea cuya estrategia es Situación problema de Ferreiro Gravié Geometría en el arte El cubismo 6

4 Geometría del espacio. Poliedros IDEAS PREVIAS Teorema de Pitágoras. Apotema de un polígono regular. Perímetros y áreas de polígonos. GEOMETRÍA DEL ESPACIO. POLIEDROS La geometría del espacio se ocupa del estudio de las medidas y las propiedades de los cuerpos geométricos en el espacio tridimensional. De estas, las determinadas por polígonos, ya sean del mismo o de distinto tipo, son poliedros. Nuestro entorno cotidiano se halla repleto de poliedros; muchos están huecos y pueden contener en su interior otros cuerpos, es decir, tienen una capacidad relacionada directamente con su volumen. Desde las primeras construcciones del hombre hasta los más modernos edificios de la actualidad, los arquitectos han utilizado los poliedros en sus diseños para dar respuesta a las necesidades de alojamiento o cobijo ante las inclemencias atmosféricas. REPASA LO QUE SABES 1. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 10 cm, y uno de sus catetos, 6 cm. Halla la medida del otro cateto.. Los catetos de un triángulo rectángulo miden, respectivamente, 48 m y 55 m. Averigua la longitud de la hipotenusa.. Los lados de un hexágono regular miden 16 cm. Calcula la medida de la apotema. Halla el área del polígono. 4. Se sabe que los lados iguales de un triángulo isósceles miden 6 cm, y el lado desigual, 4 cm. Determina su perímetro y su área. mace [ ] Matemáticas en el día a día Leonhard Euler ( ), matemático y físico suizo, considerado el principal matemático del siglo XVIII, publicó una gran cantidad de obras dedicadas a diversas ramas de las matemáticas, aportando nuevos descubrimientos con infinidad de aplicaciones prácticas, algunas de las cuales continúan desarrollándose en la actualidad. Sugerencias didácticas En esta esta unidad los alumnos aprenderán a clasificar poliedros y a calcular áreas y volúmenes de poliedros regulares. Empezaremos la unidad proponiendo ejercicios en los que tengan que aplicar el teorema de Pitágoras y las fórmulas del cálculo de perímetros y áreas de figuras planas. Al terminar la unidad debemos asegurarnos de que los alumnos son capaces de identificar poliedros, y dado un poliedro regular conocer cómo ha de hacerse el diseño plano y el cálculo del área y volumen. Valoraremos los diseños gráficos que realicen y el buen uso de la calculadora. Es muy importante también que utilicen el lenguaje matemático adecuado para referirse a los elementos principales. Contenido WEB. LEONHARD EULER En la sección Matemáticas en el día a día se introduce un recurso TIC para complementar la página de inicio con información relativa a la unidad. En este caso se dedica a la figura de Euler, aportando algunos datos biográficos sobre él y su obra. Puede utilizarse para motivar a los alumnos antes de comenzar a trabajar la unidad o como ampliación para aquellos alumnos que muestren un interés especial. 161 Repasa lo que sabes Soluciones de las actividades 1. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 10 cm, y uno de sus catetos, 6 cm. Halla la medida del otro cateto. Aplicando el teorema de Pitágoras: 10 = 6 + c c = 10 6 = 64 = 8 cm. Los catetos de un triángulo rectángulo miden, respectivamente, 48 m y 55 m. Averigua la longitud de la hipotenusa. Aplicando el teorema de Pitágoras: a = a = = 5 = 7 m. Los lados de un hexágono regular miden 16 cm. Calcula la medida de la apotema. Halla el área del polígono. Aplicando el teorema de Pitágoras: 16 = 8 + a a = 16 8 = 1 = 1,86 cm ,86 A = = 665,8 cm 4. Se sabe que los lados iguales de un triángulo isósceles miden 6 cm, y el lado desigual, 4 cm. Determina su perímetro y su área. P = = 16 cm Aplicando el teorema de Pitágoras: 6 = + h h = 6 = = 5,66 cm A = 4 5,66 = 11, cm 6

5 Geometría del espacio. Poliedros 1. Elementos de la geometría del espacio Geometría del espacio. Poliedros Actividades Aprenderás a Identificar los elementos básicos de la geometría del espacio. Reconocer las posiciones relativas entre rectas y planos en el espacio. 1. ELEMENTOS DE LA GEOMETRÍA DEL ESPACIO A Pablo, por su cumpleaños, le han regalado un rompecabezas, el cubo de Rubik. Pablo observa el cubo y encuentra en él los elementos básicos de la geometría en el espacio: Los vértices del cubo son puntos. Cada arista es un segmento que pertenece a la recta que pasa por dos vértices contiguos. Las caras del cubo están contenidas en planos. EJERCICIO RESUELTO } Determina los siguientes H elementos en la figura. E a) Los puntos. b) Las aristas. D c) Las caras. F A d) Las caras que pertenecen a planos paralelos. Solución a) Los puntos son: A, B, C, D, E, F, G y H B b) Las aristas son: AB, BC, CD, DA, EF, FG, GH, HE, AE, BF, CG y DH c) Las caras son: ABCD, EFGH, ABFE, BCGF, CDHG y ADHE d) Las caras que pertenecen a planos paralelos son: ABCD y EFGH G C A A B A B 1 Indica los elementos geométricos que aparecen en la figura. A D Un punto queda determinado por dos rectas que se cortan. Una recta se define por dos puntos o por dos planos que se cortan. C Un plano queda definido por tres puntos no alineados o dos rectas que se cortan. C Determina la posición relativa entre los planos α y β en cada caso. a) α b) β B F E Lenguaje matemático Para nombrar los puntos, escribimos letras mayúsculas (A, B, ); para las rectas, letras minúsculas (r, s, ); y para los planos, letras griegas (α, β, ). Lenguaje matemático Cuando dos planos se cortan, el espacio queda dividido en cuatro regiones, cada una de las cuales se llama ángulo diedro. Posiciones relativas Las rectas en el espacio pueden ser: Paralelas si tienen la misma dirección y no tienen puntos en común. Secantes si se cortan en un punto. Se cruzan si tienen distinta dirección y no comparten ningún punto. Los planos en el espacio pueden ser: Paralelos si no tienen puntos en común. Secantes si se cortan en una recta. Señala la posición relativa de la recta r y el plano α. a) b) r α β r α α Una recta y un plano en el espacio pueden ser: Paralelos si no tienen puntos comunes. Secantes si comparten alguno. Una recta está contenida en un plano si todos los puntos de la recta son puntos del plano. 4 Investiga Indica cuál es la posición relativa de los siguientes elementos. a) La recta determinada por una puerta entreabierta y la pared que atraviesa, y el plano definido por tres puntos no alineados en el suelo. b) Los planos determinados por las hojas de un libro cerrado. Y si lo abrimos? Sugerencias didácticas Prestaremos atención a la expresión verbal de los alumnos sobre los puntos, las rectas y los planos en el espacio tridimensional, son conceptos que serán utilizados a lo largo de la unidad. Conviene presentarles un prisma para definirlos y deberán ser capaces de identificarlos en las representaciones gráficas de las actividades que realicemos. No presentará problema el reconocimiento de rectas secantes o paralelas, pero puede costarles entender que dos rectas pueden cruzarse en el espacio. Debemos contarles Soluciones de las actividades 1 Indica los elementos geométricos que aparecen en la figura. A que hablar de rectas que se cruzan en el espacio equivale a decir que no pertenecen al mismo plano, ya que las rectas que pertenecen al mismo plano, o bien se cortan o bien son paralelas. Para superar las dificultades que pueden surgir cuando sean ellos los que dibujen podemos proponerles que observen su aula, identifiquen puntos, rectas y planos, y los representen en su cuaderno. D B E Los puntos son: A, B, C, D, E y F Las rectas son: AB, AC, BC, DE, DF, EF, AD, CF y BE Los planos son: ABC, ADFC, ABDE, BCFE y DEF C F 64

6 Geometría del espacio. Poliedros Determina la posición relativa entre los planos α y β en cada caso. a) α b) β α β a) Son planos paralelos. b) Son planos secantes. Señala la posición relativa de la recta r y el plano α. a) b) r r α α a) La recta está contenida en el plano. b) La recta y el plano son secantes. Investiga 4 Indica cuál es la posición relativa de los siguientes elementos. a) La recta determinada por una puerta entreabierta y la pared que atraviesa, y el plano definido por tres puntos no alineados en el suelo. b) Los planos determinados por las hojas de un libro cerrado. Y si lo abrimos? a) La recta y el plano son secantes. b) Las hojas de un libro cerrado pertenecen a planos paralelos, si lo abrimos pertenecen a planos secantes. 65

7 Geometría del espacio. Poliedros. Poliedros Geometría del espacio. Poliedros Actividades Aprenderás a Reconocer los poliedros como cuerpos geométricos. Distinguir entre poliedros cóncavos y convexos. Identificar planos de simetría en poliedros. Presta atención En cada vértice de un poliedro concurren tres o más caras. La suma de los ángulos de las caras que concurren en un vértice de un poliedro ha de ser menor que 60º.. POLIEDROS Iván y Laura han encontrado dos objetos de metacrilato en su casa. Se han fijado en que ambos tienen caras que son polígonos: triángulos, cuadrados, rectángulos y polígonos irregulares. Son cuerpos geométricos llamados poliedros porque están formados por polígonos. El que tiene Iván en la mano es un poliedro convexo, ya que, si unimos dos cualesquiera de sus puntos, el segmento que forman está contenido en él. El cuerpo que sostiene Laura es un poliedro cóncavo: podemos trazar un segmento, no contenido en él, que una dos de sus puntos y atraviese sus caras. Iván comprueba que el poliedro convexo tiene 5 caras, aristas y 6 vértices y observa que se cumple que: = + Un poliedro es un cuerpo geométrico limitado por cuatro o más polígonos, no necesariamente iguales. Puede ser: Convexo, si cualquier segmento que une dos de sus puntos está contenido en él. Cóncavo, si se puede trazar un segmento que une dos de sus puntos y no está contenido en él. Teorema de Euler. Si un poliedro es convexo, se verifica que el número de caras, C, y el número de vértices, V, coinciden con el número de aristas, A, más unidades. C + V = A + 5 Determina el número de vértices, aristas y caras de los siguientes poliedros. Clasifícalos y comprueba si se cumple el teorema de Euler. a) b) 6 Halla el número de aristas que tiene un poliedro convexo con 8 caras y 1 vértices. 7 Calcula el número de caras de un poliedro convexo que tiene 6 aristas y 4 vértices. 8 Determina cuántas diagonales tienen los siguientes poliedros. a) b) Dibuja en tu cuaderno los siguientes cuerpos geométricos indicando sus planos de simetría. a) b) Recuerda Las diagonales de un poliedro son segmentos que unen dos vértices que no pertenecen a la misma cara. Lenguaje matemático Decimos que un poliedro tiene simetría especular si a cada punto le corresponde su simétrico respecto de un plano de simetría. Planos de simetría Si Laura vierte agua en el poliedro convexo, puede considerar el plano que divide el poliedro en dos cuerpos iguales. Este poliedro tiene un plano de simetría, esto es, un plano tal que, si fuese un espejo, reflejaría de forma idéntica una parte del cuerpo en la otra. 10 Investiga Los poliedros regulares, también llamados sólidos platónicos, son los formados por polígonos regulares iguales en cuyos vértices concurren el mismo número de caras. Los únicos poliedros regulares son: EJERCICIO RESUELTO } Clasifica estos poliedros y dibuja sus planos de simetría. a) b) Solución a) Poliedro convexo b) Poliedro cóncavo Tetraedro Hexaedro o cubo Octaedro Dodecaedro Icosaedro a) Tienen los poliedros regulares simetría central, es decir, existe un punto del espacio que equidiste de sus caras, de sus vértices y de sus aristas? b) Tienen los sólidos platónicos simetría axial, esto es, son simétricos respecto a rectas del espacio? Si existen estas rectas, cuál es su posición relativa? c) Tienen los poliedros regulares simetría especular? Si tu respuesta es afirmativa, cuál es la posición relativa de los planos de simetría? Sugerencias didácticas Es importante que los alumnos reconozcan el teorema de Euler en los poliedros convexos. Así, en los ejercicios que realicen, identificarán sus elementos básicos. Para la clasificación de poliedros en cóncavos y convexos, además de utilizar las definiciones basadas en los segmentos que unen dos de sus puntos, conviene explicar que un poliedro es convexo si todos sus ángulos diedros interiores son convexos (mayores de 0º y menores de 180º). También se puede reconocer que un poliedro es convexo si todas sus diagonales son interiores. Encontrar y dibujar planos de simetría de poliedros no debería presentar dificultades por ser una idea bastante intuitiva para los alumnos. Por último, el ejercicio propuesto en la sección Investiga, nos permitirá repasar los poliedros regulares. Soluciones de las actividades 5 Determina el número de vértices, aristas y caras de los siguientes poliedros. Clasifícalos y comprueba si se cumple el teorema de Euler. a) b) a) V = 1, C = 8, A = 18 Es un poliedro cóncavo y se cumple el teorema de Euler: = 18 + b) V = 5, C = 5, A = 8 Es un poliedro convexo y se cumple el teorema de Euler: = Halla el número de aristas que tiene un poliedro convexo con 8 caras y 1 vértices. Aplicando el teorema de Euler: C + V = A = A + A = 18 66

8 Geometría del espacio. Poliedros 7 Calcula el número de caras de un poliedro convexo que tiene 6 aristas y 4 vértices. Aplicando el teorema de Euler: C + V = A + C + 4 = 6 + C = 4 8 Determina cuántas diagonales tienen los siguientes poliedros. a) b) a) Tiene 4 diagonales. b) Tiene 4 diagonales. Dibuja en tu cuaderno los siguientes cuerpos geométricos indicando sus planos de simetría. a) b) a) b) Investiga 10 Los poliedros regulares, también llamados sólidos platónicos, son los formados por polígonos regulares iguales en cuyos vértices concurren el mismo número de caras. Los únicos poliedros regulares son: Tetraedro Hexaedro o cubo Octaedro Dodecaedro Icosaedro a) Tienen los poliedros regulares simetría central, es decir, existe un punto del espacio que equidiste de sus caras, de sus vértices y de sus aristas? b) Tienen los sólidos platónicos simetría axial, esto es, son simétricos respecto a rectas del espacio? Si existen estas rectas, cuál es su posición relativa? c) Tienen los poliedros regulares simetría especular? Si tu respuesta es afirmativa, cuál es la posición relativa de los planos de simetría? a) Si, todos tienen simetría central. b) Si, todos tienen simetría axial. Los ejes de simetría pasan por el centro de simetría de cada poliedro regular, por esto los ejes de simetría se cortan en el centro de simetría de cada uno de los poliedros. c) Todos los poliedros regulares tienen simetría especular respecto a planos que los dividen en dos partes iguales. Los planos de simetría de cada poliedro regular se cortan. 67

9 Geometría del espacio. Poliedros. Prismas Geometría del espacio. Poliedros Actividades Aprenderás a Identificar y clasificar prismas.. PRISMAS Si miras a tu alrededor, en tu clase, en tu casa, en tu calle, podrás observar objetos que son prismas. Hay lápices que son prismas hexagonales, cajas que son paralelepípedos y edificios que son ortoedros o prismas oblicuos. EJERCICIO RESUELTO } Clasifica estos prismas. a) b) c) Un prisma es un poliedro que tiene dos caras paralelas llamadas bases que son polígonos iguales y otras caras que son paralelogramos y que reciben el nombre de caras laterales. Lenguaje matemático Los lados de los polígonos de las bases de un poliedro se llaman aristas básicas. La altura, h, de un prisma es la distancia entre sus bases. Clasificación de prismas Según los polígonos que forman las bases de un prisma, este puede ser triangular, si las bases son triángulos; cuadrangular, si son cuadriláteros; pentagonal, si son pentágonos Si las caras laterales son rectángulos, el prisma es recto. Los prismas rectos se clasifican en: Prismas regulares, si sus bases son polígonos regulares. Si las caras laterales no son rectángulos, el prisma es oblicuo. Prismas irregulares, si sus bases son polígonos irregulares. Solución a) Prisma cuadrangular, recto, irregular y convexo. b) Prisma cuadrangular, recto, irregular y cóncavo. c) Prisma hexagonal, oblicuo, regular y convexo Clasifica los siguientes prismas y realiza su desarrollo plano. a) b) c) Dibuja un prisma pentagonal, oblicuo, regular y convexo; y otro hexagonal, recto, irregular y cóncavo. Dibuja un prisma cuadrangular, recto y regular, sabiendo que su altura mide 10 cm y que tiene aristas básicas de 6 cm. Calcula la apotema de las bases y el radio de sus circunferencias circunscritas. EJERCICIO RESUELTO Recuerda El desarrollo plano de un poliedro es la figura formada por los polígonos de sus caras que permite construirlo doblando por sus aristas. } Pedro compró una maleta con forma de ortoedro cuyas dimensiones son cm. Podrá llevar en ella un paraguas de 70 cm? Los prismas convexos de seis caras se denominan paralelepípedos. Todas las caras de un paralelepípedo pueden ser bases. Solución a d D b c Las aristas a y b son perpendiculares y forman un triángulo rectángulo con la diagonal de la cara, d. Aplicando el teorema de Pitágoras: d = a + b También d y c son perpendiculares y forman un triángulo rectángulo con la diagonal del ortoedro, D. De nuevo, por el teorema de Pitágoras: D = d + c = a + b + c = = 70,8 cm Como 70 < 70,8, Pedro podrá llevar, en efecto, su paraguas en la maleta. Si las caras son cuadrados, es un hexaedro o cubo. Si las caras son rectángulos, es un ortoedro. Si las caras son rombos, es un romboedro. Si las caras son romboides, es un romboiedro Determina la longitud máxima de un bastón que se quiere guardar en una caja con forma de ortoedro, cuyas dimensiones son cm. Busca en tu entorno seis prismas diferentes. Haz un dibujo de cada uno de ellos y clasifícalos. Investiga Sugerencias didácticas Presentamos a los alumnos prismas rectos y oblicuos, regulares e irregulares, y la clasificación de los paralelepípedos. Podemos pedirles que traigan a clase fotografías de artículos cotidianos y de construcciones arquitectónicas donde estén presentes los prismas estudiados en este epígrafe. Esta actividad resultará muy atractiva si preparamos murales con las fotos y su clasificación. En el último ejercicio resuelto, los alumnos aprenderán a modelizar el cálculo de la diagonal de un ortoedro. Sería conveniente que intentaran obtener la expresión sin mirar la resolución del ejercicio. Al terminar el epígrafe debemos asegurarnos de que los alumnos han aprendido a clasificar prismas y que son capaces de dibujar aquellos que cumplan las condiciones que indiquemos. 68

10 Geometría del espacio. Poliedros Soluciones de las actividades 11 Clasifica los siguientes prismas y realiza su desarrollo plano. a) b) c) a) Prisma heptagonal, recto, b) Prisma pentagonal, recto, c) Prisma cuadrangular, recto, regular y convexo. regular y convexo. regular y convexo. 1 Dibuja un prisma pentagonal, oblicuo, regular y convexo; y otro hexagonal, recto, irregular y cóncavo. Respuesta abierta, por ejemplo: 1 Dibuja un prisma cuadrangular, recto y regular, sabiendo que su altura mide 10 cm y que tiene aristas básicas de 6 cm. Calcula la apotema de las bases y el radio de sus circunferencias circunscritas. La apotema de las bases mide la mitad del lado: cm. Como cada base es un cuadrado de lado 6 cm, el radio de las circunferencias circunscritas a cada uno medirá lo mismo que la mitad de la diagonal de cada cuadrado: r = = 1 7 = 4,4 cm 14 Determina la longitud máxima de un bastón que se quiere guardar en una caja con forma de ortoedro, cuyas dimensiones son cm. El bastón deberá tener una longitud máxima de: D = = 10,47 cm Investiga 15 Busca en tu entorno seis prismas diferentes. Haz un dibujo de cada uno de ellos y clasifícalos. Respuesta abierta. 6

11 Geometría del espacio. Poliedros 4. Área y volumen de prismas Geometría del espacio. Poliedros Actividades Aprenderás a Deducir la forma más adecuada para hallar el área y el volumen de un prisma. Recuerda Principio de Cavalieri. Si dos cuerpos tienen la misma altura y las secciones producidas al cortarlos por planos paralelos a la base presentan igual área, entonces los dos cuerpos tienen el mismo volumen. 4. ÁREA Y VOLUMEN DE PRISMAS Victoria ha visto estas cajas en una tienda. Todas ellas tienen en común que son prismas rectos. Si la que tiene forma de prisma hexagonal regular mide 0 cm de altura y tiene una arista básica de 8 cm, qué cantidad de cartón es necesaria para construirla? Qué capacidad tendrá? Para determinar la cantidad de cartón necesaria para construir un prisma hexagonal, calculamos su área. Para ello, primero, dibujamos el desarrollo plano del prisma. h 8 cm 0 cm h 8 cm Está compuesto por dos hexágonos regulares, que son las bases, y seis rectángulos, que forman las caras laterales. El área lateral es la suma de las áreas de los rectángulos de las caras laterales: A L = P h = = 48 0 = 60 cm El área total es la suma del área lateral y las áreas de los dos hexágonos. Para hallar estas áreas, calculamos la apotema de cada hexágono, aplicando el teorema de Pitágoras: 8 a = 8 4 = 48 = 6, cm a , A T + A b = 60 + = 1,64 cm Para construir la caja, son necesarios 1,64 cm de cartón. Calculamos la capacidad de la caja aplicando el principio de Cavalieri que nos permitirá hallar el volumen del prisma: 48 6, V = A b h = 0 = 6,4 cm Como el volumen es 6,4 cm tendrá una capacidad de, L. El área lateral de un prisma, A L, es la suma de las áreas de los polígonos que forman sus caras laterales. A L = P h El área total de un prisma, A T, es la suma del área lateral y las áreas de las dos bases. A T + A b El volumen de un prisma es el producto del área de la base por la altura. V = A b h Un prisma recto de 16 cm de altura tiene por bases dos rectángulos de 8 cm y 6 cm de lado, respectivamente. Calcula: a) El área lateral. b) El área total. c) El volumen. La arista de un cubo mide 8 cm. Halla: a) La longitud de su diagonal. b) El área lateral. c) El área total. d) El volumen. Las dimensiones de un ortoedro son 1 cm, 14 cm y 8 cm, respectivamente. Determina: a) La longitud de su diagonal. b) El área lateral. c) El área total. d) El volumen. Halla la longitud de la arista de un cubo cuya área total mide 150 cm. Si el volumen de un cubo es 51 cm, cuánto mide el área de cada una de sus caras? Determina la longitud de la diagonal de un cubo si su área total mide 6 cm. Las bases de un prisma que tiene 10 cm de altura son triángulos rectángulos cuyos catetos miden 4 cm y 8 cm, respectivamente. Calcula: a) El área lateral. b) El área total. c) El volumen. Halla el volumen de la jarra de agua que sostiene Alejandra Calcula el volumen de un prisma recto de 40 cm de altura que tiene por bases dos triángulos isósceles cuyos lados iguales miden 10 cm y cuyo lado desigual es de 16 cm. Determina el área lateral, el área total y el volumen del cuerpo geométrico representado.,8 cm 4 cm 15 cm El depósito de agua de una granja está construido con láminas de acero. a) Calcula los metros cuadrados de acero necesarios para su construcción. b) Halla el volumen de agua que puede contener el depósito. Determina el volumen del prisma representado. 4 cm cm 10 cm Las bases de un prisma que tiene 15 cm de altura son trapecios cuyos lados miden 5 cm, 6 cm, 5 cm y 1 cm, respectivamente. Calcula: a) El área lateral. b) El área total. c) El volumen. DESAFÍO Una columna de una catedral es maciza y está hecha de granito. Si tiene forma de prisma hexagonal regular, mide 0 m de altura y tiene una arista básica de 50 cm, halla su peso sabiendo que 1 m de granito pesa 000 kg Sugerencias didácticas Es muy importante que los alumnos identifiquen y reconozcan los diferentes elementos de los prismas. Es recomendable insistir para que los alumnos no aprendan las fórmulas de memoria, el cálculo de las áreas se puede plantear a partir del desarrollo plano y la representación del prisma ayudará al cálculo de su volumen. Además, será de gran utilidad para que los alumnos desarrollen su visión espacial. Debemos prestar atención al cálculo correcto de la apotema de los polígonos regulares de las bases. El cálculo del volumen no presentará dificultades, pero debemos insistir en la utilización correcta de las medidas de capacidad. Soluciones de las actividades 16 Un prisma recto de 16 cm de altura tiene por bases dos rectángulos de 8 cm y 6 cm de lado, respectivamente. Calcula: a) El área lateral. b) El área total. c) El volumen. a) A L = = 448 cm b) A T + A b = = = 544 cm c) V = A b h = = 768 cm 17 La arista de un cubo mide 8 cm. Halla: a) La longitud de su diagonal. c) El área total. b) El área lateral. d) El volumen. a) D = = 1,86 cm b) A L = P h = = 56 cm c) A T + A b = = 84 cm d) V = A b h = = 51 cm 70

12 Geometría del espacio. Poliedros 18 Las dimensiones de un ortoedro son 1 cm, 14 cm y 8 cm, respectivamente. Determina: a) La longitud de su diagonal. b) El área lateral. c) El área total. d) El volumen. a) D = = 0,1 cm b) A L = = 416 cm c) A T + A b = = 75 cm d) V = A b h = = 1 44 cm 1 Halla la longitud de la arista de un cubo cuya área total mide 150 cm. 6 a = 150 a = 5 a = 5 cm 0 Si el volumen de un cubo es 51 cm, cuánto mide el área de cada una de sus caras? a = 51 a = 8 cm A = 8 = 64 cm 1 Determina la longitud de la diagonal de un cubo si su área total mide 6 cm. 6 a = 6 a = 16 a = 4 cm D = = 6, cm Las bases de un prisma que tiene 10 cm de altura son triángulos rectángulos cuyos catetos miden 4 cm y 8 cm, respectivamente. Calcula: a) El área lateral. b) El área total. c) El volumen. a) Calculamos la hipotenusa de los triángulos rectángulos: a = = 8,4 cm A L = P h = ( ,4) 10 = 0,4 cm b) A T + A b = 0, c) V = A b h = 6 10 = 60 cm = 41,4 cm Halla el volumen de la jarra de agua que sostiene Alejandra. Las bases son triángulos equiláteros, cuya altura mide: a = 10 5 = 8,66 cm Por tanto, el volumen de la jarra es: 10 8,66 V = A b h = 5 = 108,5 cm 4 Calcula el volumen de un prisma recto de 40 cm de altura que tiene por bases dos triángulos isósceles cuyos lados iguales miden 10 cm y cuyo lado desigual es de 16 cm. La altura de los triángulos isósceles mide: a = 10 8 = 6 cm El volumen del prisma es: V = A b h = = 10 cm 71

13 Geometría del espacio. Poliedros 5 Determina el área lateral, el área total y el volumen del cuerpo geométrico representado. 15 cm A L = P h = = 00 cm A T + A b = ,8 V = A b h = 8 15 = 40 cm = 56 cm,8 cm 4 cm 6 El depósito de agua de una granja está construido con láminas de acero. 7 Determina el volumen del prisma representado. V = A b h = 4 10 = 10 cm a) Calcula los metros cuadrados de acero necesarios para su construcción. b) Halla el volumen de agua que puede contener el depósito. a) La apotema de los hexágonos mide: a = 4 =,46 m Los metros cuadrados de acero necesarios son el área total del prisma hexagonal: A T + A b = ,46 = 71,04 m b) V = A b h = 41,5 1 = 48,4 m 10 cm 4 cm cm 8 Las bases de un prisma que tiene 15 cm de altura son trapecios cuyos lados miden 5 cm, 6 cm, 5 cm y 1 cm, respectivamente. Calcula: a) El área lateral. b) El área total. c) El volumen. a) A L = P h = ( ) 15 = 40 cm b) Calculamos la altura del trapecio: h = 5 = 4 cm (1 + 6) 4 A T + A b = 40 + = 4 cm c) V = A b h = 6 15 = 540 cm Desafío Una columna de una catedral es maciza y está hecha de granito. Si tiene forma de prisma hexagonal regular, mide 0 m de altura y tiene una arista básica de 50 cm, halla su peso sabiendo que 1 m de granito pesa 000 kg. La apotema de los hexágonos de las bases de la columna mide: a = 0,5 0,5 = 0,4 m 6 0,5 0,4 El área de cada base es: A = = 0,65 m El volumen de la columna mide: V = A b h = 0,65 0 = 1,5 m Como 1 m de granito pesa 000 kg, el peso de la columna es: 1,5 000 = kg 7

14 Geometría del espacio. Poliedros 5. Pirámides Geometría del espacio. Poliedros Actividades Aprenderás a Reconocer y clasificar pirámides y troncos de pirámides. 5. PIRÁMIDES Varias civilizaciones antiguas construyeron pirámides con diferentes usos y formas según su cultura: unas eran monumentos funerarios; otras, templos consagrados a la oración. Las más famosas son las de Egipto, como las pirámides de Meroe, construidas por los nubios, una de las primeras civilizaciones que habitó en el valle del Nilo. Pero se han encontrado edificaciones de este tipo en México, en Perú o en Sudán. EJERCICIO RESUELTO } Clasifica las siguientes pirámides. a) b) EJERCICIO RESUELTO } La pirámide de cristal situada en el patio de entrada del museo del Louvre, en París, mide 0,65 m de altura y sus aristas básicas miden 5 m. Halla la longitud de la apotema de esta pirámide. Una pirámide es un poliedro cuyas caras laterales son triángulos que comparten un único vértice y cuya base es un polígono. Recuerda La altura, h, de una pirámide es la distancia del vértice a la base de la misma. La apotema, a p, de una pirámide regular es la altura de los triángulos de las caras laterales. Recuerda Si las bases de un tronco de pirámide son polígonos regulares y las caras laterales son trapecios isósceles iguales: La altura, h, es la distancia entre sus bases. La apotema, a tp, es la altura de los trapecios de sus caras laterales. Clasificación de pirámides Según el polígono que determina la base de una pirámide, esta puede ser triangular, si la base es un triángulo; cuadrangular, si es un cuadrilátero; pentagonal, si es un pentágono Si las caras laterales son triángulos isósceles, se trata de una pirámide recta. Las pirámides rectas se clasifican en: Pirámides regulares, si su base es un polígono regular. Troncos de pirámide Algunas construcciones que se conservan de las civilizaciones antiguas que hemos citado son pirámides seccionadas por un plano que corta a todas las caras laterales; se trata de troncos de pirámide. Si alguna de las caras laterales no es un triángulo isósceles, se trata de una pirámide oblicua. Pirámide irregular, si su base es un polígono irregular. Un tronco de pirámide es un poliedro formado por dos bases que son polígonos y varias caras laterales que son trapecios Solución a) Pirámide hexagonal, recta, regular y convexa. b) Pirámide heptagonal, recta, irregular y cóncava. Clasifica estas pirámides. a) b) Realiza el desarrollo plano de las pirámides del ejercicio anterior. Dibuja cada uno de estos cuerpos. a) Pirámide cuadrangular y oblicua. b) Pirámide pentagonal, recta, regular y convexa. c) Pirámide hexagonal, recta, irregular y cóncava. d) Pirámide triangular, recta, regular y cóncava. Realiza el desarrollo plano de: a) Un tronco de pirámide cuadrangular y recto. b) Un tronco de pirámide pentagonal, recto y regular. Considera una pirámide pentagonal, recta, regular y convexa de 1 cm de altura, cuya arista básica mida cm. a) Dibuja el tronco de pirámide que se obtiene al cortar la pirámide por un plano paralelo a la base que dista 8 cm de ella. b) Cuál es la altura de la otra pirámide que resulta al obtener este tronco de pirámide? 8 Indica razonadamente si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. a) Se puede construir una pirámide recta con cualquier triángulo como base. b) Se puede construir una pirámide recta con cualquier cuadrilátero como base. Solución La apotema y la altura de la pirámide determinan un triángulo rectángulo porque la altura es perpendicular a la base de la pirámide. El segmento que une el centro de la base y el punto medio de la arista ap h básica mide 17,5 m. Si aplicamos b el teorema de Pitágoras, resulta: a p = h + b = 0, ,5 = 7,67 a p = 7,67 = 7,07 m Determina la longitud de cada una de las aristas laterales de la pirámide de cristal del museo de Louvre a partir de los datos del ejercicio anterior. Dibuja una pirámide hexagonal, recta y regular de 10 cm de altura y cuya arista básica mida 6 cm. a) Calcula la apotema y el radio de la circunferencia circunscrita del hexágono de la base. b) Halla la longitud de la apotema de la pirámide. Determina el número de lados que tiene el polígono de la base de una pirámide en cada uno de estos casos. a) Si tiene 10 aristas. b) Si tiene vértices. c) Si tiene 8 caras. Investiga Sugerencias didácticas Presentaremos a los alumnos pirámides diferentes para que comprendan la necesidad de su clasificación. Es muy importante que aprendan que la apotema de la pirámide recta es la altura de las caras laterales. Conviene que presentemos a los alumnos, mediante diferentes dibujos, la relación que existe entre la altura, la apotema de la pirámide y la apotema de la base. Pueden tener dificultades a la hora de hacer los dibujos ellos mismos, debemos inculcarles la necesidad de hacer representaciones gráficas para afrontar la mayoría de los problemas geométricos. Soluciones de las actividades 0 Clasifica estas pirámides. a) b) a) Pirámide triangular, recta, irregular y convexa. b) Pirámide hexagonal, oblicua, irregular y convexa. 7

15 Geometría del espacio. Poliedros 1 Realiza el desarrollo plano de las pirámides del ejercicio anterior. a) b) Dibuja cada uno de estos cuerpos. a) Pirámide cuadrangular y oblicua. b) Pirámide pentagonal, recta, regular y convexa. c) Pirámide hexagonal, recta, irregular y cóncava. d) Pirámide triangular, recta, regular y cóncava. a) c) b) d) No existe. Realiza el desarrollo plano de: a) Un tronco de pirámide cuadrangular y recta. b) Un tronco de pirámide pentagonal y recta. a) b) 4 Considera una pirámide pentagonal, recta, regular y convexa de 1 cm de altura, cuya arista básica mida cm. a) Dibuja el tronco de pirámide que se obtiene al cortar la pirámide por un plano paralelo a la base que dista 8 cm de ella. b) Cuál es la altura de la otra pirámide que resulta al obtener este tronco de pirámide? a) b) La altura de la pirámide pequeña que resulta mide: 1 8 = 4 cm cm 74

16 Geometría del espacio. Poliedros 5 Determina la longitud de cada una de las aristas laterales de la pirámide de cristal del museo de Louvre a partir de los datos del ejercicio anterior. La arista de la pirámide es la hipotenusa del triángulo rectángulo formado por la apotema de la pirámide y la mitad de la arista básica. Aplicando el teorema de Pitágoras: a = 7, ,5 =, m 6 Dibuja una pirámide hexagonal, recta y regular de 10 cm de altura y cuya arista básica mida 6 cm. a) Calcula la apotema y el radio de la circunferencia circunscrita del hexágono de la base. b) Halla la longitud de la apotema de la pirámide. a) La apotema de la base de mide: a = 6 = 5, cm El radio de la circunferencia circunscrita del hexágono mide lo mismo que el lado, por tanto: r = 6 cm b) La apotema de la pirámide mide: a p = , = 11,7 cm 7 Determina el número de lados que tiene el polígono de la base de una pirámide en cada uno de estos casos. a) Si tiene 10 aristas. b) Si tiene vértices. c) Si tiene 8 caras. a) 5 lados b) 8 lados c) 7 lados Investiga 8 Indica razonadamente si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. a) Se puede construir una pirámide recta con cualquier triángulo como base. b) Se puede construir una pirámide recta con cualquier cuadrilátero como base. a) Si la base es un triángulo, entonces las caras laterales serán triángulos isósceles, por lo que siempre podremos construir una pirámide recta. b) No siempre es posible, si la base es un cuadrilátero cóncavo las caras laterales no son todas triángulos isósceles y la pirámide no puede ser recta. 75

17 Geometría del espacio. Poliedros 6. Área y volumen de pirámides Geometría del espacio. Poliedros Actividades Aprenderás a Deducir la forma más adecuada para hallar el área y el volumen de pirámides y troncos de pirámide. Presta atención 6. ÁREA Y VOLUMEN DE PIRÁMIDES Héctor pasea por una plaza y observa en ella una fuente con forma de pirámide. Qué cantidad de material es necesaria para construirla? Cuál es su capacidad? Una pirámide recta de 0 cm de altura tiene como base un cuadrado cuyo lado mide 10 cm. Calcula el área lateral, el área total y el volumen de la pirámide. El volumen de un prisma hexagonal es de 00 cm ; cuál será el volumen de una pirámide que tenga la misma base y altura que dicho prisma? Halla el área total de una pirámide hexagonal regular de 10 cm de altura, sabiendo que su arista básica mide 4 cm. EJERCICIO RESUELTO La fuente es una pirámide pentagonal regular recta. Para establecer la cantidad de material necesaria para construirla, calculamos su área, y, para conocer la capacidad de la fuente, determinamos su volumen. } La altura de un tronco de pirámide recto mide 4 cm. Sus bases son dos cuadrados de cm y cm de lado, respectivamente. Determina el área lateral, el área total y el volumen del tronco. Solución Para calcular el área lateral, hallamos la apotema del tronco aplicando el teorema h atp de Pitágoras: Necesitamos el contenido de tres pirámides para completar la capacidad de un prisma con la misma base y altura. mace4 Así pues, para construir la fuente, son necesarios 81,6 dm de material y puede contener 1 85,64 dm, es decir, 1 85,64 L de agua. El área lateral de una pirámide, A L, es la suma de las áreas de los triángulos que forman sus caras laterales. A L = P a p El área total de una pirámide, A T, es la suma del área lateral y el área de la base. a tp = 4 + = 5 cm A L = (P b1 + P b ) a tp Determinamos el área total: (6 + 1) 5 = = 10 cm A T + A b1 + A b = = 10 cm Para hallar el volumen del tronco de pirámide, consideramos las pirámides que tienen como bases las del tronco. Observamos los triángulos determinados por sus alturas y sus apotemas y comprobamos que están en posición de Tales. x Así: 1,5 = x + 4 4,5 x = 1,5 x + 6 4,5 x 1,5 cm x = 6 x = cm Calculamos el volumen del tronco: V = 81 6 = 16 6 = 156 cm 4,5 cm 4 cm Presta atención También podemos calcular el volumen del tronco de pirámide con la fórmula: ( V = A + A + A A ) h b 1 b b 1 b En el ejercicio resuelto: V = ( ) 4 = 156 cm Recuerda Podemos calcular el área de un trapecio con la fórmula: (B + b) h A = donde B es la longitud de la base mayor, b es la de la menor, y h corresponde a la altura. A T + A b El volumen de una pirámide es un tercio del producto del área de la base por la altura. V = A b h Área y volumen de los troncos de pirámide El área lateral de un tronco de pirámide, A L, cuyas bases son paralelas y son dos polígonos regulares, es la suma de las áreas de los trapecios que forman sus caras laterales. El área total de un tronco de pirámide, A T, es la suma del área lateral y las áreas de las bases. El volumen de un tronco de pirámide se puede calcular hallando la diferencia entre los volúmenes de las pirámides cuyas bases corresponden a las bases del tronco Un tronco de pirámide recto tiene dos bases cuadradas cuyas aristas miden 4 cm y 8 cm, respectivamente. Si la apotema del tronco mide 5 cm, calcula: a) La longitud de la altura del tronco. b) El área lateral. c) El área total. d) El volumen. Determina el volumen de un recipiente para palomitas con forma de tronco de pirámide cuadrangular cuyas aristas básicas miden 0 cm y 14 cm, respectivamente, y que tiene una apotema de 0 cm. Investiga Halla el área total y el volumen de un tetraedro cuya arista mide 4 cm. Encuentra una fórmula que permita calcular el área total y el volumen de un tetraedro conociendo su arista y comprueba que se verifican los resultados anteriores Sugerencias didácticas Es imprescindible que el alumnado sea capaz de identificar y reconocer los elementos principales de las pirámides estudiados en el epígrafe anterior. El desarrollo plano de las pirámides les será de gran utilidad para comprender cómo ha de calcularse el área lateral y el área total. Para determinar el volumen de la pirámide es conveniente relacionarlo con el de un prisma que tenga la misma base y altura. Puede resultar más complicado el aprendizaje del cálculo de áreas y volumen de un tronco de pirámide. Para empezar podemos realizar alguna actividad en la que estudien el área y el volumen del tronco como diferencia de los de dos pirámides. Puede ser necesario recordar la fórmula para el cálculo del área de un trapecio, así como la aplicación del teorema de Tales para relacionar la altura de un tronco con la altura de la pirámide correspondiente. Vídeo. ÁREA Y VOLUMEN DE UNA PIRÁMIDE En el vídeo se resuelve, paso a paso, el cálculo del área y del volumen de la pirámide del ejemplo. Puede reproducirse en clase como apoyo a la explicación del procedimiento a seguir para resolver este tipo de ejercicios o como recurso para que los alumnos lo repasen. Soluciones de las actividades Una pirámide recta de 0 cm de altura tiene como base un cuadrado cuyo lado mide 10 cm. Calcula el área lateral, el área total y el volumen de la pirámide. Calculamos primero la apotema de la pirámide: a p = = 0,6 cm ,6 A L = = 41,4 cm A T + A b = 41, = 51,4 cm V = = 666,67 cm 76

18 Geometría del espacio. Poliedros 40 El volumen de un prisma hexagonal es de 00 cm ; cuál será el volumen de una pirámide que tenga la misma base y altura que dicho prisma? V = 00 = 100 cm 41 Halla el área total de una pirámide hexagonal regular de 10 cm de altura, sabiendo que su arista básica mide 4 cm. Calculamos la apotema del hexágono: a = 4 =,46 cm A b = 6 4,46 = 41,5 cm Hallamos la apotema de la pirámide: a p = 10 + = 10, cm A L = , = 1,4 cm A T + A b = 1,4 + 41,5 = 16, cm 4 Un tronco de pirámide recto tiene dos bases cuadradas cuyas aristas miden 4 cm y 8 cm, respectivamente. Si la apotema del tronco mide 5 cm, calcula: a) La longitud de la altura del tronco. c) El área total. b) El área lateral. d) El volumen. a) La altura del tronco mide: h = 5 = 4,58 cm c) A T + A b1 + A b = = 00 cm (16 + ) 5 ( ) 4,58 b) A L = = 10 cm d) V = = 170, cm 4 Determina el volumen de un recipiente para palomitas con forma de tronco de pirámide cuadrangular cuyas aristas básicas miden 0 cm y 14 cm, respectivamente, y que tiene una apotema de 0 cm. ( ),85 La altura del tronco mide: h = 0 =,85 cm V = = 8716, cm Investiga 44 Halla el área total y el volumen de un tetraedro cuya arista mide 4 cm. Encuentra una fórmula que permita calcular el área total y el volumen de un tetraedro conociendo su arista y comprueba que se verifican los resultados anteriores. La apotema de la pirámide mide: a p = 4 =,46 cm A T = 4 4,46 = 7,68 cm Para calcular la altura de la pirámide, tenemos en cuenta que la distancia del centro de la base al punto medio de uno de los lados del triángulo mide la tercera parte de la altura del triángulo:,46 = 1,15 cm Entonces: h =,46 1,15 =,6 cm V = 1 4,46,6 = 7,5 cm Para hallar la fórmula que permita calcular el área total de un tetraedro de arista a determinamos su apotema: a p = a a = a a 4 = a 4 = a El área de un tetraedro es: A = 4 1 T a a = a Para hallar la fórmula que permita calcular el volumen de un tetraedro de arista a determinamos la altura de la pirámide: h = a 1 a = 4 a 1 1 a = a = a El volumen de un tetraedro es: V = 1 4 a Comprobamos: A T = 4 = 7,71 cm y V = a = 1 a 1 4 = 7,54 cm 77

19 Geometría del espacio. Poliedros 7. Composición de poliedros Geometría del espacio. Poliedros Actividades Aprenderás a Obtener el área y el volumen de cuerpos compuestos por poliedros. 7. COMPOSICIÓN DE POLIEDROS Estamos rodeados por multitud de monumentos, figuras y piezas formadas por diferentes composiciones de poliedros. Fíjate en el obelisco de Hatshepsut, perteneciente al templo de Amón, en Karnak, construido hacia el año 400 a. C. De qué poliedros está compuesto? Como puedes ver, el obelisco se apoya en un prisma de base cuadrada, sobre el que hay un tronco de pirámide; en la parte superior, sobre la base menor del tronco, se encuentra una pirámide que recibe el nombre de piramidión. Las casetas de una feria de artesanía son cuerpos compuestos por una base cúbica de m de arista, sobre la que se apoya una pirámide que tiene la misma base y cuya altura mide m. Cómo podemos determinar la cantidad de lona necesaria para montar la caseta completa? Qué volumen ocupará la estructura así compuesta? Halla el área total de un cuerpo compuesto como el de la figura. 10 cm 10 cm Calcula los metros cuadrados necesarios para construir el podio de la competición. 6 cm 6 cm 6 cm 10 cm 47 Halla el volumen de la figura compuesta del dibujo. m m m 1 m m 1 m 1 m m m 48 Determina el volumen de una caja de fresas si cada una de sus esquinas está rematada por unos topes que son prismas triangulares irregulares. mace5 El área y el volumen de un cuerpo compuesto por dos o más poliedros se halla sumando las áreas y los volúmenes de los cuerpos que lo forman. EJERCICIO RESUELTO } Calcula el área total y el volumen de la pieza dibujada. 10 cm 10 cm 10 cm 4 cm 4 cm Solución La pieza está formada por un cubo de cuyo interior se ha eliminado un prisma cuadrangular; por tanto: A = A cubo A b del prisma + A L del prima = A = = A = = 78 cm V = V cubo V prisma = A = = A = = 840 cm 4 El dueño de una fábrica de envases de aceite necesita conocer la expresión algebraica que permita calcular el volumen de los envases según las dimensiones de las aristas. Si todos los envases tienen la forma del dibujo, cuál es la expresión que debe utilizar el dueño? DESAFÍO Sugerencias didácticas En esta sección se pondrán en práctica los conocimientos adquiridos en las secciones anteriores. Los alumnos suelen desarrollar una actitud muy positiva cuando les proponemos actividades en las que deban observar figuras para su descomposición en otras más pequeñas. Debemos hacer hincapié en la necesidad de una buena presentación de la resolución de los ejercicios. Habrá de hacerse de forma ordenada, incluyendo dibujos de piezas cuando sea necesario y explicando que áreas o volúmenes se calculan para la correcta presentación de la resolución. Vídeo. ÁREA Y VOLUMEN DE UN CUERPO COMPUESTO En el vídeo se resuelve, paso a paso, el cálculo del área y del volumen del cuerpo compuesto del ejemplo. Puede reproducirse en clase como apoyo a la explicación del procedimiento a seguir para resolver este tipo de ejercicios o como recurso para que los alumnos lo repasen. Soluciones de las actividades 45 Halla el área total de un cuerpo compuesto como el de la figura. A = A cubo grande + A cubo pequeño + A cara común = = 744 cm 6 cm 6 cm 6 cm 10 cm 10 cm 10 cm 78

20 Geometría del espacio. Poliedros 46 Calcula los metros cuadrados necesarios para construir el podio de la competición. A = A podio lateral + A podio central = ( 1 0, ,8 + 0,8 0,5) + ( 1 + 0,8 + 0,5 0,8) = 14 m 47 Halla el volumen de la figura compuesta del dibujo. V = = = 4 m m m m 1 m m 1 m 1 m m m 48 Determina el volumen de una caja de fresas si cada una de sus esquinas está rematada por unos topes que son prismas triangulares irregulares. V ortoedro = = cm En la base de cada prisma triangular: h = 4 =,46 A b = 4,46 V prisma = 6, 10 = 6, cm V caja = , = 7 56, cm Desafío = 6, cm 4 El dueño de una fábrica de envases de aceite necesita conocer la expresión algebraica que permita calcular el volumen de los envases según las dimensiones de las aristas. Si todos los envases tienen la forma del dibujo, cuál es la expresión que debe utilizar el dueño? V cubo = x En la cara de la pirámide: a p = (x ) x = 4 x x 4 = 15 x 4 = 15 x Así, la altura de la pirámide es: h = V pirámide = x 14 x = 14 6 x 15 x x = 15 4 x x 4 = 14 4 x = Entonces el volumen de los envases es: V = x x = x 14 x 7

21 Geometría del espacio. Poliedros Qué tienes que saber? QUÉ tienes que saber? Actividades Finales Ten en cuenta Un prisma es un poliedro que tiene dos caras paralelas llamadas bases que son polígonos iguales y otras caras que son paralelogramos y que reciben el nombre de caras laterales. Área lateral: A L = P h Área total: A T + A b Volumen: V = A b h Prismas Calcula el área lateral, el área total y el volumen del ortoedro dibujado. 10 cm 5 cm 8 cm 5 cm 10 cm 8 cm Área lateral: A L = ( ) 5 = 6 5 = 180 cm Área total: A T = = = 40 cm Volumen: V = = 400 cm Elementos de la geometría del espacio 50 Explica por qué las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. a) Un plano queda definido por dos puntos que estén alineados. b) Una recta está definida por dos puntos alineados. c) Dos planos que se cortan determinan una recta. d) En el espacio no existen rectas que se crucen. e) Dos rectas que se cortan definen un plano. 51 Dibuja tres planos de forma que dos de ellos sean paralelos y el tercero los corte a ambos. Qué posición relativa tienen las dos rectas que se determinan? 55 Copia en tu cuaderno el crucigrama que está haciendo Pablo y complétalo. Ten en cuenta Una pirámide es un poliedro cuyas caras laterales son triángulos que comparten un único vértice y cuya base es un polígono. Área lateral: Área total: Volumen: A L = P a p A T + A b V = A b h Halla el área lateral, el área total y el volumen de esta pirámide. 1,08 cm 6 cm 1 cm 5, cm Pirámides Área lateral: 6 1,08 A L = = 5,44 cm Área total: 6 5, A T = 5,44 + = A T = 5,44 +,6 =,04 cm Volumen:,6 1 V = = 74,4 cm Poliedros 5 Clasifica los siguientes poliedros, comprueba si cumplen el teorema de Euler e investiga si tienen planos de simetría. a) d) b) e) Poliedro regular cuyas caras son 0 triángulos equiláteros.. Poliedro regular que tiene 8 vértices.. Poliedro regular formado por 8 triángulos equiláteros. 4. Poliedro regular que tiene 6 aristas. 5. Poliedro regular cuyas caras son cuadrados. 6. Poliedro regular cuyas caras son pentágonos. 7. Paralelepípedo cuyas caras son rectángulos. 8. Prisma convexo de 6 caras que son rombos.. Paralelepípedo cuyas caras son romboides. Cuántos planos hay que contengan una arista de un tetraedro y pasen por el punto medio de la arista opuesta? Halla el número de planos que pasan por dos aristas opuestas de un hexaedro. Ten en cuenta Troncos de pirámide 58 Averigua cuántos planos contienen las caras de un octaedro que sean perpendiculares al segmento que une dos de sus vértices. Un tronco de pirámide es un poliedro formado por dos bases que son polígonos y varias caras laterales que son trapecios. Área lateral: ( A L = P + P b1 b ) a tp Área total: Volumen: A T + A b1 + A b V = V pirámide grande V pirámide pequeña Determina el área lateral, el área total y el volumen del tronco de pirámide que se obtiene al cortar una pirámide recta cuadrangular por un plano paralelo a la base que dista 7 cm de ella. Área lateral: 1,8 cm ( ,8 4 ) 7, A L = = 11,88 cm 7, cm 10 cm 6 cm Área total: A T = 11, ,8 = A T = 11, ,4 = 15,1 cm Volumen: 6 10 V =,4 = V = 10,4 = 116,76 cm 5 54 c) f) Elabora una tabla en la que indiques el número de caras, vértices y aristas de los poliedros regulares y comprueba que todos verifican el teorema de Euler. Dibuja un octaedro y su desarrollo plano. 5 Calcula el número de aristas que tiene la base de un prisma en los siguientes casos. a) Si el prisma tiene 1 vértices. b) Si el prisma tiene 7 caras. c) Si el prisma tiene 1 aristas. 60 Un tetrabrik de zumo tiene unas dimensiones de 4 cm 4 cm 10 cm. Razona si es posible introducir totalmente un palillo que mide 1 cm. 61 Dibuja una pirámide cuadrangular, recta, regular y convexa. Indica su altura, la apotema de su base y la de la pirámide. 6 Halla la longitud de la apotema de una pirámide regular de 4 m de altura cuya base es un hexágono de cm de lado Sugerencias didácticas En esta sección se destacan los procedimientos más importantes que los alumnos deben haber aprendido tras estudiar esta unidad. En este momento, los alumnos deben ser capaces de: Calcular áreas y volúmenes de prismas realizando su desarrollo plano. Dibujar correctamente los elementos de una pirámide, su desarrollo plano y determinar su área y volumen. Hallar áreas y volúmenes de troncos de pirámides y dibujar su desarrollo plano. Actividades finales Soluciones de las actividades 50 Explica por qué las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. a) Un plano queda definido por dos puntos que estén alineados. b) Una recta está definida por dos puntos alineados. c) Dos planos que se cortan determinan una recta. d) En el espacio no existen rectas que se crucen. e) Dos rectas que se cortan definen un plano. a) Falsa porque para definir un plano son necesarios tres puntos no alineados. b) Verdadera porque dos puntos siempre están alineados. c) Verdadera porque los puntos comunes están alineados. d) Falsa porque existen rectas que se cruzan, las que tienen distinta dirección pero no tienen puntos comunes. e) Verdadera porque el punto de corte y otro punto cualquiera de cada recta son tres puntos no alineados y determinan un plano. 80

22 Geometría del espacio. Poliedros 51 Dibuja tres planos de forma que dos de ellos sean paralelos y el tercero los corte a ambos. Qué posición relativa tienen las dos rectas que se determinan? Las rectas son paralelas. 5 Clasifica los siguientes poliedros, comprueba si cumplen el teorema de Euler e investiga si tienen planos de simetría. a) c) e) b) d) f) a) Poliedro convexo. Cumple el teorema de Euler: = 1 +. Tiene un plano de simetría. b) Poliedro convexo. Cumple el teorema de Euler: = +. Tiene un plano de simetría. c) Poliedro convexo. Cumple el teorema de Euler: = 1 +. Tiene tres planos de simetría. d) Prisma, recto, cuadrangular e irregular. Cumple el teorema de Euler: = 1 +. Tiene dos planos de simetría. e) Pirámide, recta, cuadrangular e irregular. Cumple el teorema de Euler: = 8 +. No tiene planos de simetría. f) Poliedro cóncavo. No cumple el teorema de Euler. Tiene un plano de simetría. 5 Elabora una tabla en la que indiques el número de caras, vértices y aristas de los poliedros regulares y comprueba que todos verifican el teorema de Euler. 54 Dibuja un octaedro y su desarrollo plano. Caras Vértices Aristas C + V = A + Tetraedro = Hexaedro = 1 + Octaedro = 1 + Dodecaedro = 0 + Icosaedro =

23 Geometría del espacio. Poliedros 55 Copia en tu cuaderno el crucigrama que está haciendo Pablo y complétalo. 1. Poliedro regular cuyas caras son 0 triángulos equiláteros.. Poliedro regular que tiene 8 vértices.. Poliedro regular formado por 8 triángulos equiláteros. 4. Poliedro regular que tiene 6 aristas. 5. Poliedro regular cuyas caras son cuadrados. 6. Poliedro regular cuyas caras son pentágonos. 7. Paralelepípedo cuyas caras son rectángulos. 8. Prisma convexo de 6 caras que son rombos.. Paralelepípedo cuyas caras son romboides. 1. Icosaedro. Octaedro 5. Hexaedro 7. Ortoedro. Romboiedro. Cubo 4. Tetraedro 6. Dodecaedro 8. Romboedro 56 Cuántos planos hay que contengan una arista de un tetraedro y pasen por el punto medio de la arista opuesta? Como tiene seis aristas hay seis planos que cumplen la condición. 57 Halla el número de planos que pasan por dos aristas opuestas de un hexaedro. Hay seis planos que pasan por dos aristas opuestas en un hexaedro. 58 Averigua cuántos planos contienen las caras de un octaedro que sean perpendiculares al segmento que une dos de sus vértices. Hay ocho planos que contienen las caras de un octaedro. 5 Calcula el número de aristas que tiene la base de un prisma en los siguientes casos. a) Si el prisma tiene 1 vértices. b) Si el prisma tiene 7 caras. c) Si el prisma tiene 1 aristas. a) Tiene 6 aristas. b) Tiene 5 aristas. c) Tiene 7 aristas. 60 Un tetrabrik de zumo tiene unas dimensiones de 4 cm x 4 cm x 10 cm. Razona si es posible introducir totalmente un palillo que mide 1 cm. La diagonal del ortoedro mide: D = = 11,4 cm Por tanto, se puede introducir totalmente el palillo. 61 Dibuja una pirámide cuadrangular, recta, regular y convexa. Indica su altura, la apotema de su base y la de la pirámide. Respuesta abierta, por ejemplo: a p h a 6 Halla la longitud de la apotema de una pirámide regular de 4 m de altura cuya base es un hexágono de cm de lado. La apotema de la base mide: a = 1 = 1,7 cm Entonces, la apotema de la pirámide es: a p = 4 + 1,7 = 4,6 cm 8

24 Geometría del espacio. Poliedros Geometría del espacio. Poliedros Actividades Finales Prismas. Áreas y volúmenes Indica si las siguientes afirmaciones son ciertas o falsas. a) Los hexaedros son poliedros regulares. b) Todos los cubos son ortoedros. c) Un romboedro tiene seis caras que son romboides. d) Los romboiedros son paralelepípedos cuyas caras son romboides. Un envase de tomate frito tiene forma de ortoedro con unas dimensiones de 6 cm x 4 cm x 8 cm. Calcula el área lateral y el área total de este envase. Cuál es el volumen que puede contener? Averigua la altura máxima que puede alcanzar el agua en la pecera de Cristina cuando vierte en ella 180 L. Una piscina tiene 50 m de largo, 5 m de ancho y,5 m de profundidad. Si queremos que el agua llegue hasta el borde, calcula: a) Los litros de agua que necesitamos para llenarla. b) El tiempo que tardará en llenarse si el agua sale por dos grifos con un caudal de 5 L/s cada uno. Ignacio tiene una bañera en su casa con forma de ortoedro de 150 cm de largo, 60 cm de ancho y 50 cm de alto. Si la llena hasta una cierta altura y se sumerge totalmente en ella, el nivel del agua aumenta 5 cm. a) Halla el volumen de la bañera. b) Calcula el volumen que ocupa Ignacio. Determina cuánto costará tapizar un taburete con forma de cubo de 50 cm de arista, si el precio de la tela es de 8 /m. El área total de un cubo es 600 cm ; calcula la longitud de su arista, de su diagonal y de la diagonal de una de sus caras. Averigua en cuánto aumenta el volumen de un cubo si se duplica la longitud de sus aristas. Y si se triplica? Calcula el área total de la pieza del rompecabezas que ha cogido Inés. Las bases de un prisma triangular son triángulos equiláteros cuyo lado mide 6 cm. Si la altura del prisma mide 4 cm, halla: a) El área lateral. b) El área total. c) El volumen. Una caja de bombones tiene la forma de un prisma hexagonal regular recto de 8 cm de altura. Sabiendo que la arista básica mide 14 cm, calcula: a) El área lateral. b) El área total. c) El volumen que puede contener. Determina el volumen de un cubo si su diagonal mide 10 m. Las bases de un prisma de 10 cm de altura son rombos cuyas diagonales miden 6 cm y 4 cm, respectivamente. Calcula: a) El área lateral. b) El área total. c) El volumen. Pirámides y troncos de pirámide. Áreas y volúmenes 76 Dibuja una pirámide cuadrangular regular que tiene una apotema de 1 cm si sus aristas básicas miden 10 cm. a) Calcula la altura de la pirámide. b) Halla el área lateral y el área total. c) Determina el volumen de la pirámide. 77 Averigua la longitud de la apotema de la pirámide regular, recta y de base cuadrada, cuya área lateral mide 80 cm si el perímetro de la base es de cm. 78 La apotema de una pirámide hexagonal regular mide 10 cm, medida que coincide con la de sus aristas básicas. Calcula: a) La altura de la pirámide. b) El área lateral. c) El área total. d) El volumen Calcula el volumen de una pirámide regular cuya base y cuya altura coinciden con las del prisma del dibujo. 6 cm El área total de un tetraedro mide 60 cm ; cuánto mide el área lateral? Y la de la base? Susana ha comprado un adorno con forma de octaedro de cm de arista. Halla: a) La longitud de la diagonal que une los vértices más alejados entre sí. b) El área total del octaedro. c) Su volumen. La base de una pirámide es un hexágono regular cuyo lado mide 10 cm. Determina la altura de la pirámide si su área lateral es el doble que el área de la base. Un tronco de pirámide recto tiene dos bases cuadradas cuyas aristas miden 4 cm y 10 cm, respectivamente. Si la altura del tronco es de 4 cm, calcula: a) La longitud de la apotema del tronco. b) El área lateral. c) El área total. d) El volumen. Halla el área lateral y el área total de un tronco de pirámide recto cuyas bases son dos hexágonos regulares de 6 cm y 8 cm de aristas, respectivamente, si la apotema del tronco mide 4 cm. Halla la cantidad de tela necesaria para forrar la pantalla de la lámpara que ha comprado Ángel para decorar su salón. 10 cm Composición de poliedros En el interior de un cubo de 1 cm de arista se construye una pirámide cuya base es una cara del cubo y cuyo vértice se encuentra en el centro de la cara opuesta. Calcula: a) El área total de la pirámide. b) El volumen de la pirámide. c) La capacidad disponible en el cubo si se mantiene la pirámide en su interior. La estructura de un satélite de comunicaciones es un cuerpo compuesto. Determina la cantidad de material necesario para construir dicha estructura y el volumen que puede contener. En un parque se ha construido una fuente de acero formada por un cuerpo compuesto. Calcula los metros cuadrados necesarios para construir la fuente. Qué volumen de agua puede albergar en su interior? Un busto está colocado sobre un pedestal de hierro. Calcula el peso del pedestal sabiendo que la densidad del hierro es de 7,87 g/cm Indica si las siguientes afirmaciones son ciertas o falsas. a) Los hexaedros son poliedros regulares. b) Todos los cubos son ortoedros. c) Un romboedro tiene seis caras que son romboides. d) Los romboiedros son paralelepípedos cuyas caras son romboides. a) Verdadera b) Verdadera c) Falsa. Las seis caras de un romboedro son rombos. d) Verdadera 64 Un envase de tomate frito tiene forma de ortoedro con unas dimensiones de 6 cm x 4 cm x 8 cm. Calcula el área lateral y el área total de este envase. Cuál es el volumen que puede contener? A L = ( ) 8 = 160 cm A T + A b = = 08 cm V = = 1 cm 65 Averigua la altura máxima que puede alcanzar el agua en la pecera de Cristina cuando vierte en ella 180 L Si el volumen es 180 L = cm = 40 0 h h = = 50 cm Una piscina tiene 50 m de largo, 5 m de ancho y,5 m de profundidad. Si queremos que el agua llegue hasta el borde, calcula: a) Los litros de agua que necesitamos para llenarla. b) El tiempo que tardará en llenarse si el agua sale por dos grifos con un caudal de 5 L/s cada uno. a) Necesitamos: V = 50 5,5 = 15 m = L b) Al abrir los dos grifos tardará: : 10 = s = 86 h 48 min 0 s 8

25 Geometría del espacio. Poliedros 67 Ignacio tiene una bañera en su casa con forma de ortoedro de 150 cm de largo, 60 cm de ancho y 50 cm de alto. Si la llena hasta una cierta altura y se sumerge totalmente en ella, el nivel del agua aumenta 5 cm. a) Halla el volumen de la bañera. b) Calcula el volumen que ocupa Ignacio. a) V = = cm = 450 L b) Si Ignacio se sumerge en la bañera, el volumen que ocupa es: V = = cm = 45 L 68 Determina cuánto costará tapizar un taburete con forma de cubo de 50 cm de arista, si el precio de la tela es de 8 /m. El área total del taburete mide: A T = = cm = 1,5 m El precio del tapizado será: 1,5 8 = 1 6 El área total de un cubo es 600 cm ; calcula la longitud de su arista, de su diagonal y de la diagonal de una de sus caras. 6a = 600 a = 100 a = 10 cm D = = 17, cm d = = 14,14 cm 70 Averigua en cuánto aumenta el volumen de un cubo si se duplica la longitud de sus aristas. Y si se triplica? Si se duplica la longitud de las aristas: V = (a) = 8a Por tanto, el volumen aumenta 8 veces. Si se triplica la longitud de las aristas: V = (a) = 7a Así, el volumen será 7 veces mayor. 71 Calcula el área total de la pieza del rompecabezas que ha cogido Inés. La hipotenusa del triángulo rectángulo mide: c = = 5,66 cm Así el área total es: A T + A b = ( ,66) = 56,8 cm 7 Las bases de un prisma triangular son triángulos equiláteros cuyo lado mide 6 cm. Si la altura del prisma mide 4 cm, halla: a) El área lateral. b) El área total. c) El volumen. a) A L = 6 4 = 7 cm b) La altura de los triángulos equiláteros mide: h = 6 = 5, cm Así, el área total del prisma es: A T + A b = , = 10, cm c) V = 15,6 4 = 6,4 cm 7 Una caja de bombones tiene la forma de un prisma hexagonal regular recto de 8 cm de altura. Sabiendo que la arista básica mide 14 cm, calcula: a) El área lateral. b) El área total. c) El volumen que puede contener. a) A L = = 67 cm b) La apotema del hexágono mide: h = 14 7 = 1,1 cm ,1 Así, el área total del prisma es: A T + A b = 67 + = 160,08 cm c) V = 50,04 8 = 407, cm 74 Determina el volumen de un cubo si su diagonal mide 10 m. Sea a la longitud de la arista del cubo, entonces: a + a + a = 10 a = 100 a = 10 m Así, el volumen del cubo es: V = 10 = 1,45 m 84

26 Geometría del espacio. Poliedros 75 Las bases de un prisma de 10 cm de altura son rombos cuyas diagonales miden 6 cm y 4 cm, respectivamente. Calcula: a) El área lateral. b) El área total. c) El volumen. a) Los lados del rombo miden: c = + =,61 cm Así, el área lateral es: A L = 4,61 10 = 144,4 cm b) A T + A b = 144, c) V = 1 10 = 10 cm = 168,4 cm 76 Dibuja una pirámide cuadrangular regular que tiene una apotema de 1 cm si sus aristas básicas miden 10 cm. a) Calcula la altura de la pirámide. b) Halla el área lateral y el área total. c) Determina el volumen de la pirámide. a) h = 1 5 = 10,1 cm 10 1 b) A L = 4 = 40 cm A T + A b = = 40 cm ,1 c) V = = 6,67 cm 77 Averigua la longitud de la apotema de la pirámide regular, recta y de base cuadrada, cuya área lateral mide 80 cm si el perímetro de la base es de cm. a p = 80 a p = 5 cm 78 La apotema de una pirámide hexagonal regular mide 10 cm, medida que coincide con la de sus aristas básicas. Calcula: a) La altura de la pirámide. b) El área lateral. c) El área total. d) El volumen. a) La apotema del hexágono mide: a = 10 5 = 8,66 cm Entonces: h = 10 8,66 = 5 cm b) A L = 6 = 00 cm ,66 c) A T + A b = 00 + = 55,8 cm d) V = 5,8 5 = 4 cm 7 Calcula el volumen de una pirámide regular cuya base y cuya altura coinciden con las del prisma del dibujo. 10 cm La apotema del hexágono mide: a = 6 = 5, cm El volumen de la pirámide es la tercera parte del volumen del prisma: 6 6 5, 10 V = = 1 cm 6 cm 80 El área total de un tetraedro mide 60 cm ; cuánto mide el área lateral? Y la de la base? El área total es cuatro veces el área de una cara, así el área de una cara mide: 60 : 4 = 15 cm El área lateral es: A L = 15 = 45 cm Y el área de la base mide 15 cm. 85

27 Geometría del espacio. Poliedros 81 Susana ha comprado un adorno con forma de octaedro de cm de arista. Halla: a) La longitud de la diagonal que une los vértices más alejados entre sí. b) El área total del octaedro. c) Su volumen. a) La diagonal, D, mide el doble de la altura de las pirámides cuadrangulares que forman el octaedro. La apotema de las pirámides es: a p = 1 = 1,7 cm Entonces: D = 1,7 1 =,8 cm b) A T = 8 1,7 = 1,84 cm c) V = 4 1,41 =,76 cm 8 La base de una pirámide es un hexágono regular cuyo lado mide 10 cm. Determina la altura de la pirámide si su área lateral es el doble que el área de la base. La apotema del hexágono mide: a = 10 5 = 8,66 cm Entonces: 6 10 a p ,66 = a p = 8,66 = 17, cm Como la altura de la pirámide y las apotemas forman un triángulo rectángulo: h = 17, 8,66 = 15 cm 8 Un tronco de pirámide recto tiene dos bases cuadradas cuyas aristas miden 4 cm y 10 cm, respectivamente. Si la altura del tronco es de 4 cm, calcula: a) La longitud de la apotema del tronco. c) El área total. b) El área lateral. d) El volumen. a) a tp = 4 + = 5 cm c) A T + A b1 + A b = = 56 cm ( ) 5 ( ) 4 b) A L = = 140 cm d) V = = 08 cm 84 Halla el área lateral y el área total de un tronco de pirámide recto cuyas bases son dos hexágonos regulares de 6 cm y 8 cm de aristas, respectivamente, si la apotema del tronco mide 4 cm. (6 + 48) 4 A L = = 168 cm Para hallar las áreas de las bases calculamos las apotemas de los hexágonos: a b1 = 8 4 = 6, cm a b = 6 = 5, cm 48 6, 6 5, A T + A b1 + A b = = 47, cm 85 Halla la cantidad de tela necesaria para forrar la pantalla de la lámpara que ha comprado Ángel para decorar su salón. La apotema del tronco de pirámide mide: a tp = + 17 = 7,8 cm ( ) 7,8 A L = = 58,6 cm Ángel necesitará 0,5 m de tela para forrar la pantalla. 86

28 Geometría del espacio. Poliedros 86 En el interior de un cubo de 1 cm de arista se construye una pirámide cuya base es una cara del cubo y cuyo vértice se encuentra en el centro de la cara opuesta. Calcula: a) El área total de la pirámide. b) El volumen de la pirámide. c) La capacidad disponible en el cubo si se mantiene la pirámide en su interior. a) La apotema de la pirámide mide: a p = = 1,4 cm 1 1,4 A T + A b = = 466,08 cm b) V = 1 1 = 576 cm c) La capacidad disponible en el cubo es: = 115 cm 87 La estructura de un satélite de comunicaciones es un cuerpo compuesto. Determina la cantidad de material necesario para construir dicha estructura y el volumen que puede contener. La apotema del hexágono mide: a = 4 =,46 m La apotema de la pirámide es: a p = 7 +,46 = 7,81 m El material necesario para construir el satélite es el área total del cuerpo compuesto: A T = A pirámide + A prisma + A b = 6 4 7, ,46 = 55,4 m El volumen que puede contener es: V = V pirámide + V prisma = 41, ,5 5 = 04,48 m 88 En un parque se ha construido una fuente de acero formada por un cuerpo compuesto. Calcula los metros cuadrados necesarios para construir la fuente. Qué volumen de agua puede albergar en su interior? La apotema del tronco de pirámide mide: a tp = = 6,06 cm El material necesario para construir la fuente es el área lateral del cuerpo compuesto: ( ) 6,06 A L tronco + A L prisma = = cm = 7,4008 m El volumen de agua que puede contener es: ( ) 0 V = V tronco + V prisma = = cm = 68 L 8 Un busto está colocado sobre un pedestal de hierro. Calcula el peso del pedestal sabiendo que la densidad del hierro es de 7,87 g/cm. ( ) 150 V = V tronco + V prisma = = cm El peso del pedestal es: ,87 = ,5 g = 8666,857 kg 87

29 Geometría del espacio. Poliedros Matemáticas vivas MATEMÁTICAS VIVAS De todas las formas geométricas utilizadas en la arquitectura, la pirámide despierta un interés especial por el significado y la trascendencia que tuvo en culturas tan antiguas como la egipcia, la índica o la de la América precolombina. Los grandes monumentos funerarios tienen su ejemplo más significativo en las pirámides de Gizeh, grandiosas construcciones del antiguo Egipto declaradas Patrimonio de la Humanidad. REFLEXIONA Un grupo de arqueólogos va a realizar un estudio de la gran pirámide de Keops. Las pirámides COMPRENDE Antes de comenzar los trabajos, deben construir, una valla que rodee la pirámide a fin de evitar el acceso de visitantes al monumento en las zonas no autorizadas. Responde a las siguientes cuestiones, teniendo en cuenta que la arista básica mide 0,5 m y la altura de la pirámide es de 16,86 m. a. Si la valla ha de estar situada a m de la pirámide, calcula los metros que serán necesarios para rodearla. 1 Observa la fotografía de las pirámides de Egipto. b. Halla la superficie que ocupa la gran pirámide sobre el terreno donde se asienta. a. Cómo es el polígono de la base de cada pirámide, cóncavo o convexo? b. Clasifica las pirámides según los polígonos que las determinan. UTILIZA EL LENGUAJE MATEMÁTICO PIENSA Y RAZONA c. Determina el volumen de la pirámide. d. Suponiendo que la pirámide no tuviera ningún espacio hueco en su interior, cuántos bloques de granito de 1 m tendrían que emplearse en su construcción? Si cada bloque pesa aproximadamente,5 T, cuál sería el peso total de la pirámide? RESUELVE RELACIONA La naturaleza es la principal fuente de inspiración del hombre a la hora de crear sus obras. a. Qué elementos naturales conoces que tengan formas poliédricas? ARGUMENTA TRABAJO COOPERATIVO b. Averigua los nombres de los instrumentos mecánico-ópticos que se pueden utilizar para medir las dimensiones de grandes monumentos. UTILIZA LAS TIC c. En el siglo VI a. C. hubo un matemático y filósofo griego que calculó la altura de las pirámides basándose en el teorema que lleva su nombre. Quién fue este personaje? Cómo halló estas medidas? COMUNICA Las pirámides Sugerencias didácticas En esta sección se les presenta a los alumnos la forma geométrica por excelencia utilizada en la arquitectura a lo largo de la humanidad. Se pretende que los alumnos tomen conciencia de la expresión cultural que hemos recibido como herencia. Habrán de analizar e investigar, interpretar, tomar decisiones y comunicar matemáticamente los diversos problemas con los que se van a encontrar. En la resolución de diferentes actividades de comprensión, relación y reflexión, los alumnos desarrollarán algunas de las competencias matemáticas evaluadas por el estudio PISA: Piensa y razona, Utiliza el lenguaje matemático, Argumenta, Utiliza las TIC, Comunica o Resuelve. En las actividades de comprensión deberán razonar qué tipo de sucesión es la que surge al extraer litros del camión cada hora. En las actividades de comprensión, deberán analizar la fotografía de las pirámides de Gizeh y ser capaces de encontrar similitudes con los conceptos aprendidos en la unidad. En las actividades de relación, los alumnos citarán elementos naturales que tienen formas poliédricas, utilizarán las TIC en la investigación de instrumentos que son utilizados para la medida de grandes monumentos y reconocerán el teorema de Tales. Para terminar, en las actividades de reflexión se plantean cuatro ejercicios donde el alumno pondrá en práctica los conocimientos adquiridos en la sección. Para finalizar la sección, se incluye el apartado Trabajo cooperativo donde se propone una tarea cuya estrategia cooperativa es Situación problema, adaptación del Laboratorio de Innovación Educativa del colegio Ártica a partir de Ferreiro Gravié. Para desarrollar esta tarea, el profesor propondrá a los alumnos cuestiones sobre medidas de la pirámide truncada del problema que se plantea. Los alumnos dedicarán unos minutos a intentar resolverlas. Después, formarán pequeños grupos para discutir las distintas soluciones y elegir una respuesta común. Finalmente, el profesor elegirá a un miembro de cada grupo para que explique la respuesta elegida por su equipo. 88

30 Geometría del espacio. Poliedros Soluciones de las actividades De todas las formas geométricas utilizadas en la arquitectura, la pirámide despierta un interés especial por el significado y la trascendencia que tuvo en culturas tan antiguas como la egipcia, la índica o la de la América precolombina. Los grandes monumentos funerarios tienen su ejemplo más significativo en las pirámides de Gizeh, grandiosas construcciones del antiguo Egipto declaradas Patrimonio de la Humanidad. Comprende 1 Observa la fotografía de las pirámides de Egipto. a) Cómo es el polígono de la base de cada pirámide, cóncavo o convexo? b) Clasifica las pirámides según los polígonos que las determinan. a) El polígono de cada base es convexo. b) Son pirámides cuadrangulares, rectas, regulares y convexas. Relaciona La naturaleza es la principal fuente de inspiración del hombre a la hora de crear sus obras. a) Qué elementos naturales conoces que tengan formas poliédricas? b) Averigua los nombres de los instrumentos mecánico-ópticos que se pueden utilizar para medir las dimensiones de grandes monumentos. c) En el siglo vi a. C. hubo un matemático y filósofo griego que calculó la altura de las pirámides basándose en el teorema que lleva su nombre. Quién fue este personaje? Cómo halló estas medidas? a) Respuesta abierta, por ejemplo: los cristales de roca como el silicato, la pirita o la fluorita. b) Respuesta abierta, por ejemplo: El teodolito es un instrumento muy preciso que permite la medición de ángulos, básicamente es un telescopio montado sobre un trípode con dos círculos graduados, uno vertical y otro horizontal, con los que se miden los ángulos con ayuda de lentes. Las máquinas fotográficas también nos permiten, utilizando la fotogrametría, obtener medidas del monumento fotografiado. c) Fue Tales de Mileto, comparó las sombras que proyectaban las pirámides con la sombra de su bastón y utilizó la semejanza de triángulos. Reflexiona Un grupo de arqueólogos va a realizar un estudio de la gran pirámide de Keops. Antes de comenzar los trabajos, deben construir, una valla que rodee la pirámide a fin de evitar el acceso de visitantes al monumento en las zonas no autorizadas. Responde a las siguientes cuestiones, teniendo en cuenta que la arista básica mide 0,5 m y la altura de la pirámide es de 16,86 m. a) Si la valla ha de estar situada a m de la pirámide, calcula los metros que serán necesarios para rodearla. b) Halla la superficie que ocupa la gran pirámide sobre el terreno donde se asienta. c) Determina el volumen de la pirámide. d) Suponiendo que la pirámide no tuviera ningún espacio hueco en su interior, cuántos bloques de granito de 1 m tendrían que emplearse en su construcción? Si cada bloque pesa aproximadamente,5 T, cuál sería el peso total de la pirámide? a) Cada lado de la valla debe medir: 0,5 + 6 = 6,5 m Así, la longitud total de la valla será: 4 6,5 = 45,4 m b) A b = 0,5 = 5 061,1 m c) V = ,1 16,86 = 40648, m d) Se tendrían que utilizar 4064 bloques, con lo que el peso total de la pirámide sería: 4064,5 = 60516,5 T 8

31 Geometría del espacio. Poliedros Trabajo cooperativo Si la base superior es un cuadrado de 1 m de lado, y la inferior, de 55 m, el triángulo rectángulo que forma la rampa con el suelo y la apotema del tronco de pirámide tiene como catetos: 5 m y 7,5 6 = 1,5 m Aplicando el teorema de Pitágoras: a = 1,5 + 5 = 1 087,5 a =,7 m 7 : 0 = 10, Si cada escalón mide 0 cm, un visitante tendrá que subir 110 escalones. 0

32 Geometría del espacio. Poliedros Avanza. Medida de ángulos Geometría del espacio. Poliedros AVANZA Medida de ángulos Para medir ángulos, se puede utilizar el sistema de medida de grados sexagesimales: si dividimos una circunferencia en 60 ángulos centrales iguales, cada uno representa un grado sexagesimal: 1º. Existen otros sistemas de medida de ángulos: los radianes. Y Un radián (rad) es la amplitud del ángulo central de una circunferencia cuyo arco tiene la misma longitud que el radio de la circunferencia. r Como la longitud de la circunferencia es L = πr, la circunferencia contiene 1 rad π radianes. O r X La medida de un radián es independiente del valor del radio de la circunferencia. π rad = 60º 1 rad = 60 = 57º π Por ejemplo: 0º = π rad 180º = π rad A1. Indica la medida en grados sexagesimales de los ángulos cuya amplitud es: a) π b) π 5 GEOMETRÍA EN EL ARTE El cubismo es un movimiento artístico desarrollado entre 107 y 114, en Francia, por Pablo Picasso, Georges Braque y Juan Gris. La aparición de la fotografía, que representa la realidad visual de manera más exacta que la pintura, llevó a muchos artistas a cambiar el concepto de dibujar las cosas tal como aparecen ante nuestros ojos. El cubismo se ha relacionado también con una corriente filosófica que defiende que las cosas pueden ser diferentes a como aparentan. El espectador tiene que reconstruir la obra en su mente para poder comprenderla. El cubismo se desliga completamente de la semejanza con la naturaleza. Para apreciar una obra no debes fijarte en la visión global, sino descomponer la figura en sus partes mínimas, en planos, que luego has de estudiar de forma aislada. En La ventana abierta, cuadro pintado por Juan Gris en 11, las formas geométricas lo invaden todo y la perspectiva se hace múltiple debido a la cantidad de ángulos de visión. La obra Fábrica en Horta de Ebro, pintada por Picasso en 10, contiene sobre todo elementos geométricos. G1. Fíjate en ambos cuadros. a) Encuentra y enumera los elementos geométricos que contienen. b) Indica si hay alguna figura en estas obras que no sea geométrica. A. Expresa en radianes los siguientes ángulos. a) 45º d) 5º b) 10º e) 15º c) 15º f) 0º El cubismo Sugerencias didácticas En esta sección se introduce el sistema de medida de ángulos en radianes. Conviene asegurarnos de que los alumnos manejan correctamente el sistema sexagesimal. Debemos realizar algunos ejercicios sencillos donde tengan que escribir la expresión compleja e incompleja de la medida de ángulos y también es buen momento para iniciarles a trabajar los ángulos con la calculadora. Soluciones de las actividades A1. Indica la medida en grados sexagesimales de los ángulos cuya amplitud es: a) π a) π = 180º b) π 5 = 60º b) π 5 = 60º 5 = 7º 18 A. Expresa en radianes los siguientes ángulos: a) 45º b) 10º c) 15º d) 5º e) 15º f) 0º π a) 45º 180º = π 4 rad c) 15º π 180º = π 4 rad e) 15º π 180º = 7π 4 rad π b) 10º 180º = π rad d) 5º π 180º = 5π 4 rad f) 0º π 180º = 11π 6 rad Geometría en el arte. El cubismo Sugerencias didácticas En esta sección se introduce un movimiento artístico estrechamente ligado a las matemáticas, y más concretamente, a la geometría. Los alumnos pueden descubrir cómo artistas de la época, tras el nuevo invento de la fotografía, cambiaron el concepto de su pintura. Se propone que los alumnos lean el texto y aprendan las recomendaciones para entender y apreciar una obra. A continuación, deberán encontrar elementos geométricos en los dos cuadros que se les presentan. También pueden sacar sus propias conclusiones y comunicarlas a sus compañeros. Para terminar, sería interesante proponer que realicen un dibujo con las características propias del cubismo. Soluciones de las actividades G1. Fíjate en ambos cuadros. a) Encuentra y enumera los elementos geométricos que contienen. b) Indica si hay alguna figura en estas obras que no sea geométrica. a) Cuadrados, rectángulos, rombos, trapecios, cilindros, prismas, pirámides y troncos de pirámides. b) No son elementos geométricos: las nubes y las montañas en el cuadro de Juan Gris; y las hojas de las palmeras, en el cuadro de Picasso. 1

33 Geometría del espacio. Poliedros PROPUESTA DE EVALUACIÓN PRUEBA A 1. Qué posición relativa tienen los planos que contienen las caras de una pirámide recta de base cuadrada? Y las rectas que contienen a sus aristas? Los planos que contienen las caras son secantes. Las rectas que contienen a las aristas laterales son secantes en el vértice de la pirámide, las que contienen a las aristas básicas son secantes, si son consecutivas, o paralelas, en caso contrario.. Indica el número de planos de simetría que tiene un prisma octogonal, recto y regular y comprueba que se cumple el teorema de Euler. Un prisma octogonal, recto y regular tiene planos de simetría. El teorema de Euler se cumple porque = 4 +. Una caja de zapatos tiene 8 cm de largo, 1 cm de ancho y 10 cm de alto. Calcula su volumen en dm. V = = 60 cm =,6 dm 4. Un cubo tiene 16 m³ de volumen. Calcula la longitud de su arista y su área total. a = 16 a = 6 m A T = 6 6 = 16 m 5. Una pirámide tiene de 1 cm de altura y su base es un cuadrado de 7 cm de lado. Calcula: a) El área lateral. b) El área total. c) Su volumen. a) La apotema de la pirámide mide: a p = 1 +,5 = 1,5 cm A L = 4 7 1,5 = 175 cm b) A T + A b = = 4 cm c) V = 4 1 = 16 cm

34 Geometría del espacio. Poliedros PROPUESTA DE EVALUACIÓN PRUEBA B 1. Calcula el volumen de un ortoedro del que sabemos que su lado mayor mide 4 cm, el lado mediano mide mayor y el lado menor mide 1 6 del mayor. del lado El lado mediano mide 16 cm, y el lado menor, 4 cm. V = = 1 56 cm. Un cubo tiene 1 50 cm² de área total. Calcula su volumen. 6 a = 1 50 a = 5 a = 15 cm V = 15 = 75 cm. Calcula el volumen del cuerpo dibujado. cm V = = 5 cm 6 cm 4. Halla el área total de un icosaedro de 8 cm de arista. Como el icosaedro está formado por 0 triángulos equiláteros: h = 8 4 = 6, A T = 0 8 6, = 554,6 cm 5. Calcula el volumen del tronco de pirámide que se obtiene al cortar una pirámide cuadrangular recta de 1 cm por un plano paralelo a su base que pasa por el punto medio de su altura, si las aristas básicas miden 4 cm y 8 cm, respectivamente. Al cortar la pirámide por el punto medio de la altura obtenemos un tronco de 6 cm de alto. V = ( ) 6 = 4 cm