Curvas. 1 Curvas parametrizadas

Transcripción

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2 Capítulo 2 Curvas 1 Curvas parametrizadas Definición 2.1. Supongamos el espacio tridimensional R 3 dotado del sistema de coordenadas (x, y, z). Una curva C parametrizada en este espacio es la representación gráfica de una función del tipo: r(t)=(x(t),y(t),z(t)) (1) donde t se le denomina el parámetro, t I R. La estructura de la curva dependerá de las funciones x(t), y(t),yz(t). Diremos que C es de clase C r (I), si su parametrización r(t) lo es, es decir si las funciones componentes x(t), y(t) y z(t) son de clase C r (I). Nota 2.1. Las funciones componentes x(t), y(t) y z(t) son funciones de valor real y variable real, x(t),y(t),z(t) : I R. Tales funciones se estudiaron en cursos anteriores. Para cada valor permisible del parámetro t obtenemos un punto en R 3. Ejemplo 2.1. Consideremos la curva con ecuaciones paramétricas, x(t)=t y(t)=t 2 1 t 1 (2) z(t)=t 3 Dado que y(t) no toma valores negativos, la gráfica no puede estar en los octantes III, IV y los que están debajo de éstos, VII y VIII. Cuando eliminamos el parámetro t y relacionamos dos coordenadas de los puntos estamos obteniendo la proyección de la curva sobre el plano generado por esas dos variables. Por ejemplo, de las ecuaciones paramétricas dadas obtenemos que y = x 2, lo cual significa que la 17

3 18 proyección de la curva dada sobre el plano xy es una parábola. De la misma manera la proyección de la curva dada sobre el plano xz es una parábola cúbica z = x 3 y sobre el plano yz es la curva con ecuación y 3 = z 2. La curva x(t)=t,y(t)=t 2,z(t)=t 3, 1 t tiene como proyección sobre el plano xy la parábola y = x 2 y sobre el plano xz la parábola 0.0 cúbica z = x Figura 1 Una curva en R A continuación veremos algunas técnicas para graficar curvas que tienen ciertas características. 2 Curvas sobre superficies Una técnica para graficar manualmente sobre el papel una curva C en el espacio se basa en el conocimiento previo de superficies. Al eliminar el parámetro entre dos coordenadas obtenemos una ecuación en dos variables, por ejemplo f (x, y)=0. Esta ecuación se puede interpretar de dos maneras diferentes: La primera como la curva sobre el plano coordenado xy que es la proyección ortogonal de la curva dada C.La otra manera es que la curva C está sobre una superficie cilíndrica Σ con ecuación f (x, y)=0. Así podemos graficar la curva C conociendo una o varias superficies en las cuales está. Nota 2.2. En muchos casos nos valemos de una superficie a la cual pertenece la curva dada C,pero a veces es necesario tener información de dos superficies a las cuales pertenece. En general, no es cierto que podemos graficar la curva C habiendo encontrado dos superficies cilíndricas a las cuales pertenece, pues la intersección de las dos superficies encontradas puede ser que tenga más información que la que necesitamos, es decir describa curvas adicionales a la curva C. Lo que si es cierto es que la curva es la intersección de las tres superficies cilíndricas perpendiculares a los

4 planos coordenados cuando eliminamos el parámetro t por parejas de coordenadas, pero es más difícil de visualizar la situación. Ejemplo 2.2. En el ejemplo (1.1) la curva x(t) =t,y(t)=t 2,z(t) =t 3, 1 t 1 está sobre la superficies cilíndricas Σ 1 : y = x 2, Σ 2 : z = x 3. En esta caso es suficiente esta información, la curva es la intersección de este par de superficies cilíndricas. La primera superficie cilíndrica Σ 1 se dibuja, dibujando primero la curva y = x 2 sobre el plano xy, luego un deslizamiento de esta curva a lo largo el eje z en ambas direcciones. Similarmente la segunda superficie cilíndrica Σ 2 se dibuja, dibujando primero la curva z = x 3 sobre el plano xz, luego un deslizamiento de esta curva a lo largo el eje y solo en la dirección positiva. Ejemplo 2.3. Consideremos la curva C con ecuaciones paramétricas, x(t)=cost y(t)=sint, 2π t 2π (3) z(t)=t La curva C está sobre el cilindro Σ 1 : x 2 + y 2 = 1 y también sobre la superficie cilíndrica Σ 2 : x = cosz. Con solo esta información no podemos graficar la curva, aunque si lo podríamos hacer mirando la intersección de las tres superficies cilíndricas, lo cual puede resultar un poco complicado. Para este caso podríamos simplemente pensar de la siguiente manera: A medida que t recorre el intervalo I =[ 2π,2π], las coordenadas x e y del punto sobre la curva C recorre la circunferencia x 2 +y 2 = 1 sobre el plano xy en sentido positivo (visto desde arriba), mientras que z recorre el intervalo I =[ 2π,2π] sobre el eje z. Por lo tanto, se forma una hélice circular, la cual está sobre el cilindro Σ 1 y hace parte de la intersección entre las dos superficies Σ 1 y Σ 2, pero la intersección contienen puntos que no están en C La curva x(t) = cost, y(t) = sint, z(t) = t, 2π t 2π está sobre la superficie x 2 + y 2 = Figura 2 Una curva helicoidal en R 3

5 20 Reparametrización Definición 2.2. Dada una curva C con ecuación vectorial r 1 (t)=(x(t),y(t),z(t)), t I 1 R (4) y una función biyectiva f, y por lo tanto invertible, f : I 2 I 1, donde I 2 R. Podemos reparametrizar la curva y dar una expresión en términos de s definiendo r 2 (s) como sigue: r 2 (s) (r 1 f )(s)=r 1 ( f (s)) = r 1 (t) (5) Podemos recodar esta definición, mediante el siguiente cuadro: f (s)=t I 1 f (1 1) r 1 (t) R 3 (6) Nota 2.3. Debe ser claro que s = f 1 (t). s I 2 r 2 (s) R 3 r 2 (s) (r 1 f )(t)=r 1 ( f (s)) = r 1 (t) (7) Ejemplo 2.4. Sea C definida mediante la función vectorial r 1 (t)=sinti + exptj 1 tk 5, t I 1 =(,1] (8) Ahora consideremos la función t = f (s)=1 s 3, (9) la cual es biyectiva en todo el conjunto de los números reales, R. Pero para construir la reparametrización en términos de s debemos estar seguros que la función compuesta esté bien definida. Para esto debemos encontrar el dominio correcto para s tal que el rango de la función f sea I 1 =(,1]. Este proceso se hace usando la expresión para la función inversa, s = f 1 (t)= 3 1 t (10) Por lo tanto, el dominio de f lo debemos restringir a I 2 =[0, ) para que su rango sea exactamente I 1 =(,1]. Los extremos del intervalo I 2 se encuentran evaluando los extremos del intervalo I 1 en (10).

6 21 3 Derivada de r(t) El concepto de una función vectorial y su derivada lo trataremos en el capítulo 1, sin embargo aquí daremos una primera visión al respecto. Las parametrizaciones de las curvas, que hemos visto hasta el momento son un ejemplo de funciones vectoriales. Definición 2.3. Dada una función vectorial r(t), r : I R R n (11) t (x 1 (t),x 2 (t),...,x n (t)) (12) su derivada la cual denotaremos por ṗ(t) la definimos como otra función vectorial así: ṙ : I R R n (13) ( dx 1 ) (t) t, dx2 (t),..., dxn (t) (14) dt dt dt Propiedades básicas Usando la definición anterior, se pueden probar las siguientes propiedades básicas: 1. Regla de la cadena. Si tenemos dos parametrizaciones de una misma función, r(t) y r(s), entonces v(t)= v(s) ds (15) dt 2. Regla de Leibniz para el producto escalar. Si tenemos dos funciones vectoriales r 1 (t) y r 2 (t), entonces, d dt r 1(t) r 2 (t)=ṙ 1 (t) r 2 (t)+r 1 (t) ṙ 2 (t)= (16) 3. Regla de Leibniz para el producto vectorial. Si tenemos dos funciones vectoriales r 1 (t) y r 2 (t), entonces, d dt r 1(t) r 2 (t)=ṙ 1 (t) r 2 (t)+r 1 (t) ṙ 2 (t)= (17)

7 22 4Parámetro natural Definición 2.4. Sea C una curva suave, con ecuación vectorial r 1 (t)=(x(t),y(t),z(t)), t I 1 R (18) donde a t b. Supongamos que la curva C es recorrida una sola vez a medida que t aumenta entre a y b. Definimos la función longitud de arco de la siguiente manera, t s(t)= a ṙ 1 (τ) dτ, τ [a,b] (19) Despejando t en términos de s y reemplazando en la ecuación que define la curva obtenmos una reparametrización de la curva en términos del parámetro lomgitu de arco s. r 2 (s)=(x(s),y(s),z(s)), s I 2 R (20) En este caso al parámetro s le llamaremos parámetro natural y a la parametrización parametrización natural. Nota 2.4. En este caso conocemos la expresión para s = g(t), g = f 1. La función g es biyectiva, por ser estrictamente creciente, dado que la función que está en el integrando es una función real positiva, las cuales se trataron en cursos anteriores. Por lo tanto para hallar para f debemos integrar y hallar la expresión para la función inversa. Este proceso puede ser simple o un poco largo dependiendo de la función a integrar. En caso que la integral no se pueda expresar en términos de funciones simples no podremos reparametrizar la función del parámetro natural. Proposition 2.1. Sea r(s) la parametrización natural de una curva C. Entonces, r(s) = 1 (21) ds Demostración. Sea r(t) cualquier parametrización de la curva C. Usando la regla de la cadena y tomando magnitudes, tenemos ṙ(t)=ṙ(s) ds = ṙ(t) = ṙ(s) ds dt dt (22)

8 La expresión ds es el valor absoluto de la función s = s(t) la cual es positiva dt por definición, por lo tanto ds dt = ds. Ahora usando el Teorema Fundamental del dt Cálculo en la ecuación (??) deladefinición tenemos que ds = ṙ(t) (23) dt Simplificando tenemos lo que nos piden demostrar. Proposition 2.2. Sea h(t) la función definida por h(t)= p(t) para alguna funci ón vectorial p(t). Sih(t) es constante, entonces los vectores p(t) y ṗ(t) son ortogonales. Demostración. Recordemos la propiedad del producto escalar 23 a 2 = a a (24) Por lo tanto, elevando al cuadrado, derivando y usando la regla de Leibniz tenemos, p(t) = c = p(t) 2 = c 2 = d dt p(t) 2 = 0 = 2p(t) ṗ(t)=0 = p(t) ṗ(t)=0 (25) Lemma 2.1. Sea C una curva en R 3 parametrizada naturalmente. Entonces, los vectores ṙ(s) y r(s) son ortogonales. Demostración. Por la proposición (1.1), tenemos ṙ(s) = 1 = ṙ(s) 2 = 1 = d dsṙ(s) ṙ(s)=0 = 2ṙ(s) r(s)=0 (26) Lo cual muestra lo pedido. Ejemplo 2.5. Reparametrizar en término del parámetro natural la curva dada por la función vectorial, r(t)=(cost, sint,t), t [0, 2π] (27) Usando (??), tenemos que t s = s(t)= sin 2 t + cos 2 t + 1dt = 2t = s = 2t = t = s 2 (28) 0 Por lo tanto, la expresión pedida es, ( r(s)= cos s,sin s s, ), s [0,2 2π] (29) Ejemplo 2.6. Una hélice tiene un radio de 10cm, y sube 20cm en cada vuelta. En total ella gira 30 veces. Encuentre la parametrización natural.

9 24 SOLUCIÓN. Una hélice en general se puede expresar mediante una función vectorial, r(t)=(a cost, a sint, bt) (30) donde a es el radio del cilindro que la contiene y g(t) es la función que determina cómo ella se enrolla en este cilindro. Conocemos que a = 10 y una vuelta está determinada por el recorrido de t en el intervalo [0, 2π] por lo tanto, r(0)=(1,0,0), r(2π)=(1,0,2bπ)= 2bπ = 20 = b 10 π (31) La segunda información es para definir exactamente el dominio, el cual es [0, 60π], dado que si en una vuelta es [0,2π] en 30 vueltas será [0,60π]. Una parametrización será, ( r(t)= 10cost,10sint, 10 ) π t, t [0,60π] (32) Usando la función longitud de arco (19) y luego despejando t en términos de s, πs hallamos t = 10. Por lo tanto, la parametrización en términos del parámetro π natural s es: ( πs r(s)= 10cos 10 π 2 + 1,10sin πs 10 π 2 + 1, s π ), s [0,600 π 2 + 1] (33) 5 Rectas Ecuación vectorial Definición 2.5. La ecuación vectorial de una recta en R 3 que pasa por el punto P y tiene vector director v es: r(t)= OP + tv, donde O es el origen del sistema. (34) Ecuaciones paramétricas

10 25 Definición 2.6. Las ecuaciones paramétricas de una recta en R 3 que pasa por el punto P con coordenadas P(p 1, p 2, p 3 ) y tiene vector director v con componentes v =(a,b,c) son: x(t)=p 1 + at y(t)=p 2 + bt (35) z(t)=p 3 + ct Nota 2.5. Las ecuaciones paramétricas se obtienen simplemente escribiendo la ecuación vectorial (34) en términos de las componentes de los vectores indicados, sumando e igualando componentes. Veamos esto en detalle. Sea M(x, y, z) cualquier punto sobre la recta, el origen del sistema O(0,0,0), por lo tanto OP =(p 1, p 2, p 3 ), v =(a,b,c), yv(t)=(x(t),y(t),z(t)), donde observamos que para cada valor de t se obtiene un punto sobre la recta. De esta manera, r(t)=(x(t),y(t),z(t)) = (p 1, p 2, p 3 )+t(a,b,c) (36) sumando vectores y luego igualando componente a componente obtenemos (35). Ecuaciones simétricas Definición 2.7. Las ecuaciones simétricas de una recta en R 3 que pasa por el punto P(p 1, p 2, p 3 ) y tiene vector director v =(a,b,c), donde ninguna de sus componentes es cero, son: x p 1 a = y p 2 b = z p 3 c (37) Nota 2.6. Las ecuaciones simétricas (37), se obtienen despejando el parámetro t en cada una de las ecuaciones (35) e igualando estas expresiones. En este caso ya no escribiremos la dependencia de t pues hemos eliminado el parámetro. Las ecuaciones simétricas en realidad son tres a saber: x p 1 a = y p 2, b x p 1 a = z p 3, c y p 2 b = z p 3 c (38) cada una de las cuales, como ya lo hemos visto, representa un plano en R 3. En otras palabras la recta es la intersección de los tres planos anteriores.

11 26 En caso que una de las componentes del vector director v =(a,b,c) sea cero, por ejemplo tomemos c = 0, es decir este vector director no tiene componente en z y es por lo tanto paralelo al plano xy, diremos que la recta es la obtenida por la intersección de los dos planos. x p 1 a = y p 2, z p 3 = 0 (39) b el segundo de los cuales es precisamente el plano paralelo al plano xy. En caso que dos de las componentes del vector director v =(a,b,c) sean cero, por ejemplo tomemos b = 0, y c = 0, es decir este vector director no tiene componentes ni en z ni en y, solamente tiene componente en x, y por lo tanto paralelo al eje x, diremos que la recta es la obtenida por la intersección de los dos planos. y p 2 = 0, z p 3 = 0 (40) el segundo de los cuales es precisamente el plano paralelo al plano xy. Ejemplo 2.7. Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta l que es la intersección de los planos 4x 3y 2z = 1 y x + 2y 3z = 4. (41) SOLUCIÓN: Debemos hallar dos objetos que determinan la recta: Un punto cualquiera P por donde pasa l y un vector director v de l. Para hallar P resolvemos el sistema 41. Este sistema es un sistema de 2 ecuaciones con 3 incógnitas, por lo tanto tenemos 1 grado de libertad. Observamos que ambos planos intersectan el plano xy, por lo tanto podemos dar el valor z = 0y resolver sobre el plano xy el punto de intersección del par de rectas resultantes: { 4x 3y = 1 x + 2y = 4 ( 14 = P 11, 15 ) 11,0 Como vector director podemos tomar el producto cruz de los vectores normales a los planos: (42) v = n 1 n 2 =(4, 3, 2) (1,2, 3)=(13,10,11) (43) Nota 2.7. El porqué hemos tomado como vector director de la recta el producto cruz de los vectores normales es por que la recta intersección l debe pertenecer a ambos planos, por lo tanto el vector director elegido v debe ser ortogonal a cada uno de los vectores normales n 1 y n 2. Podemos comprobar que v n 1 = 0, y v n 2 = 0. La ecuación de la recta pedida es:

12 x(t)= t y(t)= t z(t)=11t 27 (44) Ejemplo 2.8. Hallar la ecuación cartesiana del plano que contiene las rectas: SOLUCIÓN l 1 : r 1 (t)=( 1,3,4)+t( 2,2,3) (45) l 2 : r 2 (t)=(2,3,2)+s(1,2,1) (46) Nota 2.8. En general no existe un plano que contenga dos rectas cualesquiera. Necesitamos que las dos rectas satisfagan dos condiciones: 1. Que las rectas sean paralelas y no tengan puntos de intersección. Es decir que sus vectores directores escogidos sean uno múltiplo del otro v 1 = λv 2, λ R = R\{0}, l 1 l 2, l 1 l 2 = /0. 2. Que las rectas l 1 y l 2 no sean paralelas pero tengan un punto de intersección P = l 1 l 2. Es decir que sus vectores directores escogidos no sean uno múltiplo del otro y además que las rectas se intersecten solamente en un punto. En este ejemplo tenemos el segundo caso, por lo tanto necesitamos el punto P de intersección de las rectas, P = l 1 l 2 y un vector normal al plano el cual podemos escoger como el producto cruz de los dos vectores directores de las rectas dadas. Recordemos que para cada valor del parámetro en las ecuaciones paramétricas de una recta produce un punto. Por lo tanto para un valor de t = t 0 producirá un punto P 1 l 1, y para otro valor de s = s 0 producirá un punto P 2 l 2. Lo que buscamos son esos valores especiales para t y para s para los cuales P 1 = P 2. Por lo tanto tenemos el sistema 1 2t = 2 + s 3 + 2t = 3 + 2s = s = t = 1 = P(1,1,1) (47) 4 + 3t = 2 + s n = v 1 v 2 = (4, 5,6) (48) La ecuación del plano que contiene al par de rectas es: 4x 5y + 6z = 5 (49) 6 El marco de Frenet

13 28 Definición 2.8. Dada una curva C, r(t) =(x(t),y(t),z(t)) en R 3 de clase C r (I), r 1, donde I R definimos el vector tangente unitario como T(t)= r (t) r (t) = (x (t),y (t),z (t)) (x (t),y (t),z (t)) (50) donde las primas representan las derivadas de las funciones correspondientes respecto a t, por ejemplo x (t)= d dt x(t). El vector normal unitario se define como, N(t)= T (t) T (t) (51) El vector binormal unitario se define como B(t) =T(t) N(t) (52) La triada de vectores {T(t), N(t), B(t)} se le denomina el marco ortonormal de Frenet. Ejemplo 2.9. Hallar el marco ortonormal de Frenet para la hélice, y mostrarlos en un gráfico para t = π/4. SOLUCIÓN. r(t)=(cost, sint,t) (53) Usando la definición obtenemos que T = 1 ( sint,cost,1) 2 N =( cost, sint,0) B = 1 (sint, cost,1) 2 (54) Notemos que sin(π/4)=cos(π/4)=1/ 2 > 0, por lo tanto: Figura 3 Marco ortonormal para la hélice r(t)=(cost,sint,t) en t = π/4

14 29 Vector x-comp. hacia y-comp. hacia z-comp. hacia T(π/4) < 0 atrás > 0 derecha > 0 arriba N(π/4) < 0 atrás < 0 izquierda = 0 paralela plano xy B(π/4) > 0 adelante > 0 izquierda > 0 arriba Fórmulas de Frenet naturales Las fórmulas de Frenet para una parametrización natural d una curva C, r(s), son: T(s)=ṡ N(s)= r(s) (55) r(s) B(s) =T(s) N(s) Nota 2.9. Ahora, probar que efectivamente la triada o marco de Frenet {T,N,B} es ortonormal es mucho más fácil. Dado que T = 1, entonces por la proposición (1.2) los vectores T y N son ortogonales. El resto se deduce de las definiciones y de una propiedad del producto cruz, a b = a b sinθ, donde θ es el ángulo entre los dos vectores. Dejamos al lector la prueba rigurosa de este hecho. (Ver ejercicio (??)) Curvatura y Torsión En la sección anterior vimos dos cosas importantes: 1. Para cada valor del parámetro t el marco de Frenet se puede hallar en el punto sobre la curva que t determina. 2. El marco de Frenet {T, N, B} es ortonormal en cualquier punto de la curva r(t). Lo cual nos dice que si ninguno de ellos se anula formarían una base de R 3. En general, puede suceder que al variar el parámetro t cada uno de estos vectores cambie. Podríamos expresar este nuevo vector de cambio en la base usual {i, j, k}, pero lo haremos mejor en la propia base de Frenet. Dada una función vectorial que define una curva en el espacio R 3 y sea r(s) su parametrización natural. Los cambios de cada uno de los vectores de la triada de Frenet {T(s), N(s), B(s)} a medida que cambia el parámetro s, los podemos representar mediante el siguiente sistema de ecuaciones,

15 30 dt(s) = a 11 T(s)+a 12 N(s)+a 13 B(s) ds dn(s) = a 21 T(s)+a 22 N(s)+a 23 B(s) (56) ds db(s) = a 31 T(s)+a 32 N(s)+a 33 B(s) ds donde a ij son nuestras incógnitas y en general también son funciones del parámetro natural s, es decir a ij = a ij (s). Sin escribir la dependencia de s el sistema anteror (56), lo podemos escribir en forma matricial: (1) Ṫ = a 11 T + a 12 N + a 13 B (2) Ṅ = a 21 T + a 22 N + a 23 B (3) Ḃ = a 31 T + a 32 N + a 33 B ṪṄ = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 T N (57) Ḃ a 31 a 32 a 33 B Para hallar las funciones a ij del sistema (57), usaremos las propiedades mismas del marco de Frenet. Cómo hallar a ij. Resulta ser que de las nueve funciones a ij hay cinco de ellas que son cero y las cuatro restantes dos de ellas son el opuesto de la otra, es decir que de las nueve solo nos quedan dos las cuales les llamaremos a una de ellas la curvatura y a la otra la torsión. Veamos esto en detalle. 1. Qué representan a ij. Cada función a ij representa la componente de uno de los tres vectores derivados en términos del marco de Frenet. Por ejemplo, a 11 es la componente de Ṫ en la dirección T, a 12 es la componente de Ṫ en la dirección N, a 13 es la componente de Ṫ en la direción B, a 21 es la componente de Ṅ en la dirección T, y similarmente los demás. 2. Mostremos que a ii = 0. Multiplicando escalarmente por T, o por N o por B cada una de las ecuaciones de (57) obtenemos las funciones a ij. Por ejemplo, si multiplicamos la ecuación (1) de (57) por T tenemos, (1) Ṫ = a 11 T + a 12 N + a 13 B T Ṫ = a 11 T T + a 12 T N + a 13 T B 0 = a 11 T Ṫ = a 11 a 11 = 0 De manera similar, si multplicamos escalarmente la ecuación (2) de (57) por N tenemos a 22=0 y finalmente su multiplicamos escalarmente la ecuación (1) de (57) por B tenemos que a 33 = Mostremos que a ij = a ji. Sabemos que T y N son ortogonales, por lo tanto T N = 0. De modo que si derivamos y usamos la regla de Leibniz (Ver 3), tenemos

16 31 que, T N = 0 Ṫ N + T Ṅ = 0 a 12 + a 21 = 0 a 12 = a 21 (58) De manera similar si tomamos las otras condiciones de ortogonalidad del marco de Frenet T B = 0yN B = 0 y derivamos obtenemos que a ij = a ji, es decir la matriz asociada al sistema (57) es una matriz anti-simétrica. De las nueve componentes a ij solo quedan entonces por ahora cuatro sustanciales. 4. Mostremos que a 13 = 0. Debemos mostrar que Ṫ B = 0. Por definición del vector normal tenemos, N = Ṫ Ṫ Ṫ = Ṫ N Ṫ B = Ṫ N B = 0 a 13 = 0 Definición 2.9. Dada una curva en R 3, con representación paramétrica natural r(s), definimos la curvatura, como κ(s)= Ṫ(s) (59) Definición Dada una curva en R 3, con representación paramétrica natural r(s), definimos la torsión, como τ(s)= Ḃ(s) N(s) (60) Nota Si incluir las expresiones de la curvatura κ(s) y de la torsión τ(s) en la ecuaciones 57, debemos tener en cuenta lo siguiente: 1. En general el marco de Frenet puede ser que no exista o mejor que se componga de un solo vector, del vector T, este es el caso de una recta. Puede ocurrir que se componga solo de dos vectores T y N, y que el vector binormal B sea cero, como en el caso por ejemplo de la circinferencia r(s)= cos si + sinsj.

17 32 2. Geométricamente la curvatura κ nos dice cómo está cambiando el vector normal unitario en términos absolutos, es decir si el vetor tangente T es constante (no depende del parámetro s), entonces esa curva no tiene curvatura, es una recta. 3. La torsión τ nos está hablando de una proyección. De la proyección de la variación del vector normal N en la dirección del vector binormal. Es claro que si la torsión es cero, de la propia definición tendríamos tres casos a saber: El vector normal N permanece constante, el vector binormal B es cero, o la tercera opción que la variación del vector normal N, en caso que éste no sea cero, sea colineal con el vector tangente T. Se puede demostrar que para que una curva sea plana es suficiente mostrar que su torsión sea cero. De las ecuaciones (57) sabemos que Ṫ = a 12 N. Tomando módulo de los vectores en cada uno de los lads de esta expresión tendríamos que κ = a 12. Por definición κ es una cantidad no negativa, por lo tanto si decimos que a 12 lo tomamos como el valor de la curvatura κ estamos tomando un caso muy especial. A este caso especial de la ecuaciones (57) cuando se toma a 12 = κ y a 32 = τ se le conoce con el nombre de fórmulas de Frenet. Ellas tiene la forma: ṪṄ = 0 κ 0 κ 0 τ T N (61) Ḃ 0 τ 0 B Ejemplo Hallar la curvatura y la tosión para la hélice x(t) =a cost, y(t) = asint,z(t)=bt, 0 t 2π, donde a > 0, y b > 0 son constantes. SOLUCIÓN. r(t)=acosti + asintj + bk s = t 0 a 2 + b 2 dτ s = a 2 + b 2 t t = s c, dondec = a 2 + b 2 ( s ( s ( s r(s)=acos i + asin j + b k c) c) c) κ = a c 2 κ = a a 2 + b 2 ( s ( s N(s)= cos i asin j c) c) B(s)= b ( s ) c sin i b ( s ) c c cos j + a c c k Ḃ(s)= b ( s ) c 2 cos i + b ( s ) c c 2 sin j c τ = Ḃ N = b c 2 τ = b a 2 + b 2 (62)

18 33 Fórmulas de Frenet en cualquier parametrización Proposition 2.3. Dada una curva regular, es decir una curva cuyo vector tangente existe en cualquier t de su dominio, entonces T(t)= r (t) r (t) B(t)= r (t) r (t) (63) r (t) r (t) N(t) =B(t) T(t) κ(t)= r (t) r (t) r (t) 3 τ(t)= r (t) r (t) r (64) (t) r (t) r (t) 2 T 0 κ 0 T N = ν κ 0 τ N (65) B 0 τ 0 B donde ν = ds dt = r (t) Ejemplo Dada la curva x = sinht, y = cosht, z = t, encuentre la curvatura y la torsión en el punto (0, 1, 0). SOLUCIÓN. Debemos conocer primero para qué valor o valores de t,r(t)=(0, 1, 0). El valor de t es t = 0 y es único. Por lo tanto, r (0) =(1,0,1); r (0) =(0,1,0); r (0) =(1,0,0); = r (0) r (0) =( 1,0 1)= r (0) r (0) = 2 κ = 1 2 τ = 1 2 (66) R/: κ = 1 2 τ = 1 2 Ejemplo Mostrar que la curva intersección de los dos cilindros x 2 + z 2 = 1, y 2 + z 2 = 1, ubicada en el primer octante, es una curva plana. SOLUCIÓN.

19 34 De las dos ecuaciones de los cilindros podemos deducir que su intersección se encuentra en los planos y = x, y = x. Tomamos la primera opción dado que nos dicen que está en el primer octante. Por lo tanto la curva se puede parametrizar como: 1.0 r(t)=(cost, cost, sint),t [0, π/2] (67) 0.5 z 0.0 Dado que r (t)= r (t), entonces τ = 0. Lo cual nos dice que la curva es plana justamente. Por otro lado r (t) r (t) = 2, entonces y x κ = 2 ( 2sin 2 t + cos 2 t ) 3/2 (68) Figura 4 Curva intersección cilindros x 2 + z 2 = 1, y 2 + z 2 = 1 Ejemplo Considere la curva intersección entre las superficies z = x 2 y 2, x 2 + y 2 = Encuentre los puntos sobre esta curva que tienen mínima curvatura. 2. Encuentre los puntos sobre esta curva que tienen máxima curvatura. 3. Encuentre los puntos sobre esta curva que tienen mínima torsión. 4. Encuentre los puntos sobre esta curva que tienen máxima torsión. SOLUCIÓN. De las dos ecuaciones de los cilindros podemos deducir que su intersección se encuentra en los planos y = x, y = x. Tomamos la primera opción dado que nos dicen que está en el primer octante. Por lo tanto la curva se puede parametrizar como: r(t)=(cost, cost, sint),t [0, π/2] (69) Dado que r (t)= r (t), entonces τ = 0. Lo cual nos dice que la curva es plana justamente. Por otro lado r (t) r (t) = 2, entonces κ = 2 ( 2sin 2 t + cos 2 t ) 3/2 (70) Figura 5 Curva intersección cilindro x 2 + y 2 = 1, y silla z = x 2 y 2

20 35 7 Aplicaciones: Velocidad y Aceleración 8 Ejercicios Capítulo Considere la ecuación de segundo grado xy z = 0. Muestre que la gráfica de esta ecuación en 3D es un paraboloide hiperbólico en su forma estándar z = x 2 y 2. Ayuda: Use una rotación alrededor del eje z, de la siguiente manera: x = x cos θ y sinθ y = x sinθ + y cos θ z = z reemplace en la ecuación dada y encuentre el ángulo θ para el cual la nueva ecuación no contenga el elemento cruzado x y Muestre que el hiperboloide de un solo manto, x 2 + y 2 z 2 = 1 es una superficie reglada. Es decir si fijamos cualquier punto P sobre la superficie siempre podemos encontrar otro punto Q sobre ella tal que la recta OP + λ PQ, λ R, también pertenece a la superficie Mostrar que si el punto A(a, b, c)está sobre el paraboloide hiperbólico (silla de montar), z = y 2 x 2, entonces la recta con ecuaciones paramétricas: x = a +t y = b +t z = c +(b a)t y recta con ecuaciones paramétricas: x = a +t y = b t z = c (b + a)t ambas están completamente contenidas en el paraboloide hiperbólico. Es decir el paraboloide hiperbólico también es una superficie reglada Hallar la ecuación cartesiana del plano que contiene las rectas: l 1 : r 1 (t)=(1,1,1)+t(1,2,1) l 2 : r 2 (t)=(1, 1,1)+s(1,2,1) Ayuda: Encuentre primero tres puntos no colineales Encuentre el punto donde la recta x(t)=1 t y(t)=3t z(t)=1 +t intersecta al plano 2x y + 3z = Halle la ecuación del plano que contiene la recta l : r(t)=(2 + 3t)i +(1 2t)j +( 1 +t)k y el punto P(1,3,1) Muestre que efectivamente el marco de Frenét {T, N, B} es ortonormal. Escriba todos los detalles. Ayuda: Use la parametrización natural y la proposición (1.2) Encuentre la curvatura y la torsión de la hélice hiperbólica, r(t)=(cosht, sinht,t) Encuentre la ecuación del plano que pasa por el origen y que tiene vector normal paralelo a la recta que es intersección de los planos 2x + y + z = 4yx + 3y + z = La intersección de las dos superficies x 2 + y2 2 = 1, y z2 + y2 = 1 consiste en dos curvas. 2 (a) Halle una parametrización para cada una de estas curvas en la forma vectorial r(t)= x(t),y(t),z(t).

21 36 (b) Plantee la integral que repreenta la función longitud de arco. (c) Encuentre la longitud de arco de cada una de estas curvas (a) Encuentre la curvatura 1 κ(t) de la curva r(t) = cost, sint, 2t en el punto r(0). (b) Encuentre la curvatura de la curva r(t)= cos(5t), sin(5t), 10t en el punto r(0). Si lo dese no es necesario volver hacer cálculos, pero si una justificación de su respuesta (a) Encuentre una parametrización de la recta intersección de los planos 3x 2y + z = 7yx + 2y + 3z = 3. (b) Encuentre sus ecuaciones simétricas de la forma x x 0 = y y 0 = z z 0. a b c (a) Encuentre el área del paralelogramo PQRS con vértices en P(1,0,0), Q(0,2,0), R(0,0,3) y S( 1,2,3). (b) Verifique el triple producto escalar 2, tiene la propiedad [u + v,v + w,w + u] = 2[u,v,w]. (b) Verifique el triple producto escalar tiene la propiedad [u,v,w] u v w Encuentre la distancia entre las rectas: r 1 (t)= t,2t, t, r 2 (t)= 1 +t,t,t. 1 κ(t)= r (t) r (t) r(t) 3 2 [u,v,[w]] = (u v) w