PROBABILIDAD SIMPLE 1.1.2,

Transcripción

1 PROBABILIDAD SIMPLE..2, Resultado: Cualquier resultado posible o real de la acción considerada, como sacar un 5 en un cubo numverado estándar o salir cruz al arrojar una moneda. Evento: Un resultado o grupo de resultados deseados (o eitosos) de un eperimento, tales como sacar un número impar en un cubo numerado estándar. Espacio muestral: Todos los resultados posibles de una situación. Por ejemplo, el espacio muestral de arrojar una moneda es caras y cruzes; arrojar un cubo numerado estándar tiene seis resultados posibles (, 2, 3, 4, 5 y 6). Probabilidad: La probabilidad de que un evento ocurra. Las probabilidades se pueden escribir como fracciones, decimales o porcentajes. Un evento que está garantizado a pasar tiene una probabilidad de o 00%. Un evento que no tiene ninguna posibilidad de ocurrir tiene una probabilidad de 0 o 0%. Eventos que podrían ocurrir tienen probabilidades entre 0 y o entre 0% y 00%. En general, mientras más probable que un evento ocurra, mayor su probabilidad. Probabilidad eperimental: La probabilidad basada en los datos recogidos en los eperimentos. número de resultados positivos en el eperiment Probabilidad eperimental = número total de resultados en el eperimento La probabilidad teórica es una probabilidad calculada basada en los resultados posibles cuando todos tienen la misma probabilidad de ocurrir. Probabilidad teórica = número de resultados (eventos) positivos número total de resultados posibles En el conteto de la probabilidad, eitoso por lo general significa un resultado (evento) deseado o especificado, tales como sacar un 2 en un cubo numerado (probabilidad de 6 ). Para calcular la probabilidad de sacar un 2, primero averigüe cuántos resultados posibles hay. Puesto que hay seis caras en el cubo numerado, el número de resultados posibles es 6. De las seis caras, sólo una de las caras tiene un 2 en él. Por lo tanto, para encontrar la probabilidad de sacar un 2, usted escribiría: P(2) = número de maneras de sacar 2 número de resultados posibles = 6 o 0.6 o aproimadamente 6.7%

2 Ejemplo Si usted arroja un cubo numerado justo de 6 caras, cuál es P(3), es decir cuál es la probabilidad de que usted arroja un 3? Debido a que los seis lados tienen la misma probabilidad de sacar, y sólo hay un 3, P(3) = 6. Ejemplo 2 Hay 2 canicas en una bolsa: 2 claras, 4 verdes, 5 amarillas y azul. Si una canica se elige al azar de la bolsa, cuál es la probabilidad de que sea de color amarillo? Ejemplo 3 P(amarillo) = 5 (amarillo) 2 (resultados) = 5 2 Joe arrojó una moneda 50 veces. Cuando graba sus lanzamientos, su resultado fue de 30 caras y 20 cruzes. La actividad de Joe proporcionó datos para calcular la probabilidad eperimental de arrojar una moneda. a. Cuál es la probabilidad teórica de que Joe saca cabezas? La probabilidad teórica es 50% o 2, porque sólo hay dos posibilidades (cara y cruz), y cada uno es igualmente probable que se produzca. b. Cuál era la probabilidad eperimental de arrojar una moneda y sacar cara basada en la actividad de Joe? La probabilidad eperimental es 30 obtuvo cuando se arrojó la moneda. Ejemplo 4 50, 3 5 o 60%. Estos son los resultados de Joe en realidad Decida si estas afirmaciones describen probabilidades teóricas o eperimentales. a. La posibilidad de sacar un 6 en un dado justo es 6. Esta afirmación es teórica. b. Arrojé el dado 2 veces y 5 ocurrió tres veces. Esta afirmación es eperimental. c. Hay 5 canicas en una bolsa; 5 azules, 6 amarillos y 4 verdes. La probabilidad de obtener una canica azul es 3. Esta afirmación es teórica. d. Cuando Veronika sacó tres canicas de la bolsa sacó 2 amarillo y azul, o 2 3 amarillo, 3 azul. Esta declaración es eperimental.

3 Problemas. Hay 24 lápices de colores en una caja: 5 negras, 3 blancas, 7 rojas, 2 amarillas, 3 azules y 4 verdes. Cuál es la probabilidad de elegir al azar un verde? Respondió con una probabilidad eperimental o teórico? 2. Una ruleta es dividida en cuatro secciones iguales numeradas 2, 4, 6 y 8. Cuál es la probabilidad de girar un 8? 3. Un cubo numerado justo marcado, 2, 3, 4, 5, y 6 es arrojado. Tyler arrojó el cubo 40 veces, y observó que 26 veces un número par mostró. Cuál es la probabilidad eperimental de que un número par se sacará? Cuál es la probabilidad teórica? 4. Sara está en un día de campo y mete la mano en una hielera, sin mirar, para agarrar una lata de refresco. Si hay 4 latas de naranja, 2 latas de jugo de frutas y 0 latas de cola, cuál es la probabilidad de que ella toma una lata de jugo de frutas? Respondió con una probabilidad eperimental o teórica? 5. Un promedio de bateo de béisbol es la probabilidad de que un jugador de béisbol golpea la pelota cuando batea. Si un jugador de béisbol tiene un promedio de bateo de 266, significa que la probabilidad de que el jugador consegue un hit es Es un promedio de bateo de una probabilidad eperimental o teórico? 6. En 20, 39 personas perdieron la vida al ser alcanzado por un rayo, y 24 personas resultaron heridas. Había 30,000,000 personas en los Estados Unidos. Cuál es la probabilidad de ser una de las personas alcanzadas por un rayo? 7. En un estudio médico, 07 personas se les dio una nueva píldora de vitaminas. Si un participante se enfermó, fue retirado del estudio. Diez de los participantes se enfermaron con un resfriado común, 2 padecieron de la gripe, 8 se enfermaron del estómago y 77 nunca se enfermaron. Cuál era la probabilidad de enfermarse si usted participó en este estudio? Respondió con una probabilidad eperimental o teórica? 8. Las compañías de seguros utilizan probabilidades para determinar la tasa que van a cobrar por una póliza de seguro. En un estudio de 300 personas que tenían pólizas de seguro de vida, una compañía de seguros encontró que personas eran mayores de 80 años cuando murieron, 82 personas murieron cuando tenían entre 70 y 80 años de edad, 52 murieron entre 60 y 70 años de edad y 55 murieron cuando eran menores de 60 años de edad. En este estudio cuál era la probabilidad de morir más joven de 70 años de edad? Respondió con una probabilidad eperimental o teórica? Respuestas. 6 ; teórico ; ; teórico 5. eperimental ,000, eperimental % eperimental

4 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL..3 y AM de..4 Medidas de tendencia central son los números que sitúan o se aproiman al centro de un conjunto de datos, es decir, un valor típico que describe el conjunto de datos. La media y la mediana son las medidas más comunes de tendencia central. (Modo no será cubierto en este curso.) La media es el promedio aritmético de un conjunto de datos. Sume todos los valores de un conjunto y divida esta suma por el número de valores en el conjunto. La mediana es el número intermedio de un grupo de datos organizados en orden numérico. Un valor atípico es un número que es mucho más pequeña o más grande que la mayoría de los otros en el conjunto de datos. El rango de un conjunto de datos es la diferencia entre los valores más altos y más bajos del conjunto de datos. Para más información vea los recuadros de Apuntes de matemáticas en las Lecciones..3 y..4 del teto Core Connections en español, Curso 2. La media se calcula hallando la suma del conjunto de datos y dividiéndolo por el número de elementos en el conjunto. Ejemplo Halle la media de este conjunto de datos: 34, 3, 37, 44, 38, 34, 42, 34, 43 y = = 37.8 La media de este conjunto de datos es Ejemplo 2 Halle la media de este conjunto de datos: 92, 82, 80, 92, 78, 75, 95 y = = La media de este conjunto de datos es Problemas Halle la media de cada conjunto de datos.. 29, 28, 34, 30, 33, 26 y , 34, 35, 27, 3 y , 89, 79, 84, 95, 79, 78, 89, 76, 82, 76, 92, 89, 8 y , 04, 0,, 00, 07, 3, 8, 3, 0, 08, 09, 05, 03 y 9.

5 La mediana es el número intermedio de un conjunto de datos organizados en orden numérico. Si hay un número par de valores, la mediana es la media (promedio) de los dos números centrales. Ejemplo 3 Halle la mediana de este conjunto de datos: 34, 3, 37, 44, 38, 34, 43 y 4. Ponga los datos en orden: 3, 34, 34, 37, 38, 4, 43, 44. Encuentre el valor intermedio(s): 37 y 38. Puesto que hay dos valores intermedios, encuentre su media: = 75, 75 2 = Por lo tanto, la mediana de este conjunto de datos es de Ejemplo 4 Halle la mediana de este conjunto de datos: 92, 82, 80, 92, 78, 75, 95, 77 y 77. Ponga los datos en orden: 75, 77, 77, 78, 80, 82, 92, 92 y 95. Encuentre el valor intermedio(s): 80. Por lo tanto, la mediana de este conjunto de datos es 80. Problemas Halle la mediana de cada conjunto de datos , 28, 34, 30, 33, 26 y , 34, 27, 25, 3 y , 89, 79, 84, 95, 79, 78, 89, 76, 82, 76, 92, 89, 8 y , 04, 0,, 00, 07, 3, 8, 3, 0, 08, 09, 05, 03 y 9. El rango de un conjunto de datos es la diferencia entre el valor más alto y el valor más bajo. Ejemplo 5 Halle el rango de este conjunto de datos: 4, 09, 3, 96, 40 y 28. El valor más alto es 40. El valor más bajo es = 44. El rango de este conjunto de datos es 44. Ejemplo 6 Halle el rango de este conjunto de datos: 37, 44, 36, 29, 78, 5, 57, 54, 63, 27 y 48. El valor más alto es 78. El valor más bajo es = 5. El rango de este conjunto de datos es 5.

6 Problemas Halle el rango de cada conjunto de datos en problemas 5 a 8. Los valores atípicos son números en un conjunto de datos que sea mucho mayor o mucho menor que los otros números en el conjunto. Ejemplo 7 Halle el valor atípico de este conjunto de datos: 88, 90 96, 93, 87, 2, 85 y 94. El valor atípico es 2. Ejemplo 8 Halle el valor atípico de este conjunto de datos: 67, 54, 49, 76, 64, 59, 60, 72, 23, 44 y 66. El valor atípico es 23. Problemas Identifique el valor atípico en cada conjunto de datos , 77, 75, 68, 98, 70, 72 y , 22, 7, 6, 20, 6 y , 645, 783, 455, 3754, 790, 384, 643, 492 y , 65, 93, 5, 55, 4, 79, 85, 55, 72, 78, 83, 9 y 76. Respuestas mediana: 30; rango: 8 6. mediana: 28.5; rango: 9 7. mediana: 82; rango: mediana: 07; rango:

7 ESCOGIENDO UNA ESCALA AM de.2.2 El eje (o ejes) de una gráfica tiene que estar marcado por tamaños iguales llamados intervalos. Marcando los intervalos en el eje se llama la escala de los ejes. La diferencia entre los marcados consecutivos nos dice el tamaño (escala) de cada intervalo. Note que cada eje de una gráfica bidimensional puede usar un escala diferente. A veces el eje o ejes no es provisto. Un estudiante debe contar el número de espacios utilizable en el papel cuadriculado. Cuantos espacios hay utilizable depende en que tan grande la gráfica estará y cuanto espacio se necesitará para etiquetar cada eje. Siga estos pasos para escalar cada eje en la gráfica.. Encuentre la diferencia entre el número más pequeño y el más grande (el rango) que necesita poner en el eje. 2. Cuente el número de intervalos (espacios) que tiene en el eje. 3. Divida el rango por el número de intervalos para encontrar el tamaño del intervalo. 4. Etiquete las marcas en el eje usando el tamaño del intervalo. A veces dividir el rango por los números de intervalos produce un tamaño de intervalo que hace difícil de interpretar la ubicación de puntos en la gráfica. El estudiante puede hacer uso del juicio y redondear el intervalo (siempre hacia arriba, si se tiene que redondear) a un número conveniente de usar. Las marcas de intervalos como, 2, 5, 0, 20, 25, 50, 00, etc., funcionan bien. Para más información vea el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección.2.2 del teto Core Connections en español, Curso 2. Ejemplo. La diferencia entre 0 y 60 es La línea de números es dividida en 5 intervalos iguales dividido por 5 como Las marcas son etiquetados con múltiples del tamaño del intervalo de Ejemplo 2. La diferencia entre 300 y 0 es Hay 4 intervalos = El eje es etiquetado con múltiples de

8 Ejemplo 3. La diferencia en el eje vertical es = 750. (El origen es (0, 0)). En el eje horizontal el rango es 6 0 = Hay 5 espacios verticalmente y 3 horizontalmente. 3. El tamaño del intervalo vertical es = 50. El intervalo horizontal es 6 3 = Los ejes son etiquetados apropiadamente Ejemplo 4 A veces los ejes se etienden al lado negativo.. El rango es 20 ( 5) = Hay 7 intervalos en la línea = 5 4. Etiquete los ejes con múltiples de cinco Problemas Escale cada eje:

9 7. y 8. y Use fracciones. y y Respuestas. 2, 4, 6, 8, 0, , 6, 3, 0, 3, , 02, 8, , 8, 8, 28, ,, 0, , 4, 2, 0, 8 7. : 2, 4, 6, 8, 2 y: 4, 8, 2, 6, : 60, 20, 80, 240, 360 y: 40, 80, 20, 60, : 3, 6, 9, 5, 8 y: 4, 8, 2, 20, : 4, 2, 3 4, 4, 2 y: 2, 2, 2, 2 2, 3

10 FRACCIONES EQUIVALENTES.2.4 y.2.5 Fracciones que nombran el mismo valor se llaman fracciones equivalentes, como 2 3 = 6 9. Un método para encontrar fracciones equivalentes es usar la identidad multiplicativa (Propiedad de identidad de la multiplicación), es decir, multiplicar la fracción por una forma del número como 2 2, 5 5, etc. En este curso, llamamos estas fracciones el Uno Gigante. Multiplicar por no cambia el valor del número. Para más información vea el recuadro de Apuntes de matemáticas en la Lección.2.8 del teto Core Connections en español, Curso 2. Ejemplo Halle tres fracciones equivalentes a = = = 4 8 Ejemplo 2 Use el Uno Gigante para hallar una fracción equivalente a 7 2 usando fracciones en que los denominadores son 96: 7 2 =? 96 Cuál Uno Gigante va a usar? Como 96 2 = 8, el Uno Gigante es 8 8 : = Problemas Use el Uno Gigante para hallar la fracción equivalente especifica. Su respuesta debe incluir el Uno Gigante que use o el numerador equivalente Respuestas. 5 5, , , , , , 8

11 OPERACIONES CON FRACCIONES.2.6 y.2.8 SUMAS Y RESTAS DE FRACCIONES Antes de que las fracciones se puedan sumar o restar, las fracciones deben tener el mismo denominador, es decir, un denominador común. Le presentaremos dos métodos para sumar y restar fracciones. MÉTODO DE MODELO DE ÁREA Paso : Copie el problema Paso 2: Dibuje y divida los rectángulos en partes iguales para cada fracción. Un rectángulo es marcado verticalmente en partes iguales basado en el primer denominador (abajo). El otro es marcado horizontalmente usando el segundo denominador. El número de rectángulos sombreados está basado en el numerador (arriba). Etiquete cada rectángulo con la fracción que representa Paso 3: Sobrepongamos las líneas de un rectángulo sobre el otro rectángulo como si uno fuera puesto sobre el otro. + Paso 4: Paso 5: Renombre las fracciones en setas, porque los nuevos rectángulos se dividen en seis partes iguales. Cambie los numeradores para igualar el número en setos en cada figura. Dibuja un rectangulo vacío con setos, luego cambie todos los setos sombreados al mismo número de setos en el rectángulo nuevo como el total que se sombrearon en los dos rectángulos en el paso anterior

12 Ejemplo se puede modelar como: así que De este modo, = 9 0. Ejemplo seria: Problemas Use el método de modelo de área para sumar las siguientes fracciones Respuestas = 5 2

13 PROBLEMAS DE DIAMANTE 2.. En cada Problema de diamante, el producto de los dos números a los lados (izquierda y derecha) es el número arriba y la suma es el número de abajo. producto ab Los Problemas de diamantes son una ecelente manera de practicar sumas, restas, multiplicación y división de números enteros positivos y negativos, decimales y fracciones. Tienen el beneficio adicional de preparar a los estudiantes para la factorización de binomios en álgebra. a a + b suma b Ejemplo 20 0 El número de arriba es el producto de 20 y 0, o 200. El número de abajo es la suma de 20 y 0, o = Ejemplo El producto del número de la derecha y 2 es 8. Entonces si usted divide 8 por 2 resulta 4, el número de la derecha. La suma de 2 y 4 es 6, el número de abajo Ejemplo Para obtener el número de la izquierda, reste 4 de 6, 6 4 = 2. El producto de 2 y 4 es 8, el número de arriba Ejemplo La manera más fácil de encontrar los números a los lados en esta situación es buscar todos los pares de factores de 8. Son: y 8, 2 y 4, 4 y 2, y 8 y. Solamente uno de estos pares tiene una suma de 2: 2 y 4. Entonces los números a los lados son 2 y

14 Problemas Complete cada Problema de diamante y a 8b 2b 3a 7a Respuestas. 32 y y y y y y y y y y y y 3 3. y y + y 4. a y 2a 5. 6b y 48b a y 2a 2

15 OPERACIONES CON DECIMALES 2.. OPERACIONES ARITMÉTICAS CON DECIMALES SUMANDO Y RESTANDO DECIMALES: Escriba el problema en forma de columna con los puntos de una columna vertical. Escriba ceros para que todos los puntos decimales del número tengan los mismos dígitos. Sume o reste como con números enteros. Escriba el decimal en la respuesta alineada con los de arriba. MULTIPLICANDO DECIMALES: Multiplique como con números enteros. El producto tiene el número de lugares decimales igual al total de número de lugares decimales de los factores (los números que multiplicó). A veces se debe agregar ceros para poner el punto decimal. DIVIDENDO DECIMALES: Cuando se divide un decimal por un número entero, ponga el punto decimal en la respuesta directamente arriba del punto decimal en el número siendo dividido. Divida como con números enteros. A veces es necesario agregar ceros al número siendo dividido para completar la división. Cuando se dividen decimales o números enteros por un decimal, el divisor se debe multiplicar por un poder de diez para hacerlo en número entero. El dividendo se debe multiplicar por el mismo poder de diez. Después divida siguiendo las mismas reglas para las divisiones por números enteros. Para más información vea los recuadros de Apuntes de matemáticas de las Lecciones y del teto Core Connections en español, Curso 2. Ejemplo Suma 47.37, 28.9, 4.56 y Ejemplo 2 Reste de Ejemplo 3 Multiplique por (2 puntos decimales) 4.53 (2 puntos decimales) (4 puntos decimales) Ejemplo 4 Multiplique 0.37 por (2 puntos decimales) (4 puntos decimales) (6 puntos decimales) Ejemplo 5 Divida 32.4 por ) Ejemplo 6 Divida por.2. Primero multiplique cada número por 0 o

16 Problemas

17 Divida. Si es necesario, redondee las respuestas a la centésima Respuestas o o o , , ,

18 EQUIVALENTES DE FRACCIÓN-DECIMAL-PORCENTAJE 2.. y 2..2 Fracciones, decimales y porcentajes son diferentes maneras de representar a la misma porción o número. fracción palabras o imágenes decimal Representaciones de una porción porcentaje Para más información vea el recuadro de Apuntes de matemáticas en la Lección 2..2 del teto Core Connections en español, Curso 2. Para más ejemplos y práctica vea los materiales del Punto de comprobación 2 en Core Connections en español, Curso 2. Ejemplos De decimal a porcentaje: Multiplique el decimal por 00. (0.8)(00) = 8% De fracción a porcentaje: Escriba la proporción para encontrar la fracción equivalente usando 00 como el denominador. El numerador es el porcentaje. 4 5 = 00 así que 4 5 = = 80% De decimal a fracción: Use los dígitos en decimal como el numerador. Use el valor del lugar como denominador. Simplifique cuando sea necesario. a. 0.2 = 2 0 = 5 b. 0.7 = 7 00 De porcentaje a decimal: Divida el porcentaje por % 00 = 0.43 De porcentaje a fracción: Use el 00 como denominador. Use el porcentaje como el numerador. Simplifique según sea necesario. 22% = = 50 56% = = 4 25 De fracción a decimal: Divida el numerador por el denominador. 3 8 = 3 8 = = 5 8 = = 3 = = 0.27 Para ver el proceso para convertir decimales periódicos a fracciones, ver problema 2-22 del teto Core Connections en español, Curso 2 o el recuadro de Apuntes de matemáticas en la Lección 2..2 del teto Core Connections en español, Curso 2.

19 Problemas Convierta las fracciones, decimales o porcentajes como sea indicado.. Cambie 4 a un decimal. 2. Cambie 50% a una fracción a sus términos más bajos. 3. Cambie 0.75 a una fracción a sus términos más bajos. 4. Cambie 75% a un decimal. 5. Cambie 0.38 a un porcentaje. 6. Cambie 5 7. Cambie 0.3 a una fracción. 8. Cambie 8 a un porcentaje. a un decimal. 9. Cambie 3 a un decimal. 0. Cambie 0.08 a un porcentaje.. Cambie 87% a un decimal. 2. Cambie 3 5 a un porcentaje. 3. Cambie 0.4 a una fracción a sus términos más bajos. 4. Cambie 65% a una fracción en sus términos más bajos. 5. Cambie 9 7. Cambie 8 5 a un decimal. 6. Cambie 25% a una fracción en sus términos más bajos. a un decimal. 8. Cambie 3.25 a un porcentaje. 9. Cambie 6 a un decimal. Cambie el decimal a un porcentaje. 20. Cambie 7 a un decimal. 2. Cambie 43% a una fracción. Cambie la fracción a un decimal. 23. Cambie 8 7 a un decimal. Cambie el decimal a un porcentaje. 22. Cambie a un porcentaje. Cambie el porcentaje a una fracción. 24. Cambie 0.2 a una fracción. 25. Cambie 0.75 a una fracción.

20 Respuestas % 6. 20% % % o % ; 6.25% ; %; ; 87.5% =

21 OPERACIONES CON ENTEROS SUMA DE ENTEROS Los estudiantes repasan las sumas de enteros usando dos modelos concretos: el movimiento de un número a través de una recta númerica y azulejos de enteros negativos y positivos. Para sumar dos números enteros usando una recta númerica, empiece con el primer número y después mueva el número apropiado de espacios hacia la derecha o izquierda dependiendo si el segundo número es positivo o negativo. Su ubicación final es la suma de los dos números enteros. Para sumar dos números usando azulejos, un número positivo es representado por el número apropiado de azulejos positivos (+) y un número negativo está representado por el número apropiado de azulejos negativos ( ). Para sumar los dos enteros empieza con la representación de azulejos del primer entero en un diagrama y luego ponga la representación de azulejos del segundo número en el diagrama. Cualquier número igual de azulejos (+) y azulejos ( ) iguala a cero y pueden ser quitado del diagrama. Los azulejos que quedan representa la suma. Para más información vea el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección del teto Core Connections en español, Curso 2. Ejemplo Ejemplo ( 4) = ( 4) = 6 Ejemplo ( 6) Empiece con los azulejos representando el primer número Añada al diagrama los azulejos representando el segundo número Ejemplo = Circule los pares de azulejos de suma cero. es la respuesta ( 6) =

22 SUMA DE ENTEROS EN GENERAL Cuando suma enteros usando el modelo de azulejos, los pares de azulejos de suma cero son formados solamente si los dos números tienen diferentes signos. Después que encierre en un círculo los pares de azulejos de suma cero, cuente los azulejos que no están circulados para encontrar la suma. Si los signos son iguales, no se forman pares de azulejos de suma cero y encuentra la suma de azulejos. Los enteros se pueden sumar sin hacer un modelo y siguiendo las siguientes reglas. Si los signos son iguales, suma los números y deje el mismo signo. Si los signos son diferentes, ignore los signos (es decir, use el valor absoluto de cada número). Reste el número más cerca al cero del número más lejos del cero. El signo de la respuesta es el mismo que el número que está más lejos del cero, es decir, el número con más valor absoluto. Ejemplo Para 4 + 2, 4 está más lejos del cero en la recta númerica que el 2, así que reste: 4 2 = 2. La respuesta es 2, ya que 4, es decir, el número más lejos del cero, es negativo en el problema original. Problemas Use cualquier modelo o las reglas anteriores para encontrar estas sumas ( 2) ( ) ( 7) ( 8) ( 2) 9. + ( 6) ( 0) + ( 3) ( 6) ( 65) ( 4) ( 3) + ( 2) + ( 8) ( 3) + ( 2) ( 3) ( 70) ( 7) + ( 8) ( 3) ( 3) ( 8) ( 3) ( 6) ( 70) ( 3) + ( 5) + 20

23 Respuestas

24 OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Multiplique y divida dos números enteros a la misma vez. Si los signos son igual es producto será positivo. Si los signos son diferentes, el producto será negativo. Siga las mismas reglas para fracciones y decimales. Recuerde de aplicar el orden correcto de las operaciones cuando esté trabajando con más de una operación. Para más información vea el recuadro de Apuntes de matemáticas en la Lección del teto Core Connections en español, Curso 2. Ejemplos a. 2 3 = 6 o 3 2 = 6 b. 2 ( 3) = 6 o (+2) (+3) = 6 c. 2 3 = 2 3 o 3 2 = 3 2 d. ( 2) ( 3) = 2 3 o ( 3) ( 2) = 3 2 e. ( 2) 3 = 6 o 3 ( 2) = 6 f. ( 2) 3 = 2 3 o 3 ( 2) = 3 2 g. 9 ( 7) = 63 o 7 9 = 63 h = 7 o 9 ( 63) = 7 Problemas Use las reglas de arriba para encontrar cada producto o cociente.. ( 4)(2) 2. ( 3)(4) 3. ( 2)(5) 4. ( 2)(8) 5. (4)( 9) 6. (3)( 8) 7. (45)( 3) 8. (05)( 7) 9. ( 7)( 6) 0. ( 7)( 9). ( 22)( 8) 2. ( 27)( 4) 3. ( 8)( 4)(2) 4. ( 3)( 3)( 3) 5. ( 5)( 2)(8)(4) 6. ( 5)( 4)( 6)( 3) 7. ( 2)( 5)(4)(8) 8. ( 2)( 5)( 4)( 8) 9. ( 2)( 5)(4)( 8) 20. 2( 5)(4)( 8) 2. 0 ( 5) ( 3) ( 3) ( 6) ( 4) ( 25) ( 2) ( 223) ( 6) ( 24) ( 7) ( 53) ( 4)

25 Respuestas

26 OPERACIONES CON FRACCIONES y MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES La multiplicación de fracciones es revisada usando un área de modelo rectangular. Las líneas que dividen el rectángulo para representar una fracción se hacen verticalmente, y el número correcto de las partes se sombrea. Las líneas que dividen el rectángulo para representar la segunda fracción se hacen horizontalmente y parte del espacio sombreado se oscurece para representar el producto de las dos fracciones. Ejemplo (es decir, 2 de 5 8 ) Paso : Dibuje un rectángulo genérico y divídalo en 8 partes verticales. Ligeramente sombree 5 de esas partes y etiquetelas como 5 8. Paso 2: Use una línea horizontal y divida el rectángulo genérico. Sombree 2 de 5 8 y etiquetelo. Paso 3: Escriba una oración en números = 5 6 La regla para multiplicar fracciones derivada por el modelo arriba es para multiplicar los numeradores, luego multiplicar los denominadores. Simplifique el producto cuando sea posible. Para más información vea el recuadro de Apuntes de matemáticas en la Lección del teto Core Connections en español, Curso 2. Ejemplo 2 a b

27 Problemas Dibuje un modelo de área para cada una de las siguientes multiplicaciones y escriba la respuesta Use la regla para multiplicar fracciones para encontrar la respuesta para los siguientes problemas. Simplifique cuando sea posible Respuestas = = = = = = = = = = = 5 8

28 ORDEN DE LAS OPERACIONES 3.. y 3..2 Cuando a los estudiantes se les da una epresión como por primera vez, algunos estudiantes piensan que la respuesta es 4 y algunos piensan que la respuesta es. Por esta razón los matemáticos decidieron en un método para simplificar una epresión que usa más de una operación para que todos estuvieran de acuerdo en una respuesta. Hay un grupo de reglas que se deben seguir que establece una manera consistente para que todos puedan evaluar epresiones. Estas reglas se llaman Orden de las operaciones y se deben seguir para llegar a una respuesta correcta. Como indicada por el nombre, estas reglas declara en cual orden las operaciones matemáticas deben ser completado. Para más información vea el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección 3..2 del teto Core Connections en español, Curso 2. Para más ejemplos y práctica, vea los materiales del Punto de comprobación 5 en Core Connections en español, Curso 2. El primer paso es organizar la epresión numérica en partes llamadas términos, que son números singulares o productos de números. Una epresión numérica está formada de una suma o diferencia de términos. Ejemplos de términos numéricos: 4, 3(6), 6(9 4), 2 3 2, 3( ) y Para el problema arriba, , los términos están circulados a la derecha Cada término es simplificado por separado, dando Y después en términos se suman: =. De este modo, =. Ejemplo Para evaluar una epresión: (6 3) + 0 Circule cada término en la epresión. Simplifique cada termino hasta que sea un solo número siguiendo los pasos a continuación: Simplifique la epresión entre paréntesis. Evalué cada parte eponencial (ej., 3 2 ). Multiplique y divida de izquierda a derecha. Finalmente, combine los términos sumando o restando de la izquierda a la derecha (6 3) (3) (3)

29 Ejemplo (5 + 4) 5 2 a. Circule los términos. b. Simplifique lo entre paréntesis. c. Simplifique los eponentes. d. Multiplique y divida de izquierda a derecha. Por último, suma y reste de izquierda a derecha. a (5 + 4) 5 2 b (9) 5 2 c (9) 25 d Ejemplo a. Circule los términos. b. Multiplique y divida de izquierda a derecha, incluyendo eponentes. Suma y reste de izquierda a derecha. a b Problemas Circule los términos, luego simplifique cada epresión (9 4) (7 + 3) (8 + ) (4 5) (7 7) (5 2) 2 + (9 + ) (2) 6 + (6 ) (7 2) (9 3) (3 + 4) (6 + 4) 2 + 3(5 2) ( 5 ) (5 2) 2

30 Respuestas

31 OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS 3.2., y RESTAS DE NÚMEROS ENTEROS Las restas de números enteros también pueden ser representadas usando modelos concretos de las rectas númericas y azulejos (+) y ( ). La resta es lo opuesto de la suma, así que es obvio tener que seguir las instrucciones opuestas. Cuando use la recta númerica y se suma un número entero positivo, se mueve a la derecha. Así que cuando se reste un número entero positivo, se mueve hacia la izquierda. Para sumar números enteros negativos se mueve hacia la izquierda, así que cuando se resta un número entero negativo se mueve hacia la derecha. Cuando se usan los azulejos, la suma significa poner más piezas en la imagen y buscar ceros para simplificar. La resta significa que tiene que eliminar azulejos de la imagen. A veces tiene que poner pares de azulejos de suma cero en la imagen antes de tener suficientes números de las piezas deseadas para eliminar. Para más información vea el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección del teto Core Connections en español, Curso 2. Ejemplo Ejemplo ( 4) ( 4) = ( 4) = 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 6 ( 3) Estructure el primer número entero. Retire tres negativos. Quedan tres negativos. 6 ( 3) = 3 2 ( 3) Estructure el primer número entero Es imposible retirar tres negativos, así que agregue ceros. Ahora retire tres negativos y circule los ceros. Queda un positivo ( 3) =

32 Problemas Encuentre la diferencia. Use por lo menos uno de los modelos para las primeras cinco diferencias.. 6 ( 2) 2. 2 ( 3) 3. 6 ( 3) ( 3) (3) 8. 2 ( 0) ( 0). 6 ( 3) ( 3) ( 8) ( 9) Respuestas (y modelos posibles)

33 OPERACIONES CON DECIMALES MULTIPLICANDO DECIMALES Y PORCENTAJES Entender cuántos lugares decimales se debe mover a un punto decimal al multiplicar está conectado a la multiplicación de fracciones y el valor del lugar. Las computaciones que se calculan al porcentaje de un número son simplificados por medio de cambiar el porcentaje a un decimal. Ejemplo Ejemplo 2 Multiplique (0.2) (0.3). En fracciones esto es Sabiendo que la respuesta debe estar en el centésimo lugar le dice cuántos lugares tiene que mover el punto decimal (hacia la izquierda) sin usar fracciones. (décimo)(décimo) = centésimo Por esto, muévalo dos lugares Multiplique (.7) (0.03). En fracciones esto significa Sabiendo que la respuesta debe estar en el centésimo lugar le dice cuántos lugares tiene que mover el punto decimal (hacia la izquierda) sin usar fracciones. (décimo)(centésimo) = milésimo Por esto muévalos tres lugares Ejemplo 3 Calcule 7% de 32.5 sin usar una calculadora. Ya que 7% = 7 00 = 0.7, 7% de 32.5 (0.7) (32.5)

34 Problemas Identifique el número de lugares que va a mover el punto decimal hacia la izquierda del producto. No debes calcular el producto.. (0.3) (0.5) 2. (.5) (0.2) 3. (.23) (2.6) 4. (0.26) (3.4) 5. 7 (32.06) 6. (4.32) (3.46) Calcule sin usar una calculadora. 7. (0.8) (0.03) 8. (3.2) (0.3) 9. (.75) (0.09) 0. (4.5) (3.2). (.8) (0.032) 2. (7.89) (6.3) 3. 8% de % de % de % de % de % de 42 Respuestas

35 DIVISIÓN POR FRACCIONES 3.3. División por fracciones introduce tres métodos que ayudan a los estudiantes como se dividen por fracciones. En general, piense en la división 8 2 como, en 8, cuantos grupos de 2 hay? Similarmente, 2 4 significa, en 2, cuantos cuartos hay? Para más información vea el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección 3.3. del teto Core Connections en español, Curso. Los primeros dos ejemplos demuestran como dividir por fracciones usando un diagrama. Ejemplo Use el modelo rectangular para dividir: 2 4. Paso : Paso 2: Usando el rectángulo, primero tenemos que dividirlo en dos partes iguales. Cada parte representa la 2. Sombree la 2. Después divida el rectángulo original en cuatro partes iguales. Cada sección representa 4. En la sección sombreada,, hay 2 cuartos Paso 3: Escriba la ecuación. 2 4 = 2 Ejemplo 2 En 3 4, cuantas 2 hay? En 3 4 hay una 2 sombreada Es decir, qué es 4 3 2? 2 2 y la mitad de la otra (es mitad de una mitad). Start Empiece 3 with con Entonces: = 2 (uno y mitad de la mitad)

36 Problemas Use el modelo rectangular para dividir Respuestas. 8 tercios setos 2. 2 mitades cuartos 3. 4 uno cuartos 8 setos 2 tres cuartos 4 cuartos cuartos mitades tercios novenos 2 2 mitades 24 novenos En los próimos dos ejemplos use denominadores comunes para dividir por una fracción. Eprese las dos fracciones con un denominador común, después divida el primer numerador por el segundo. Ejemplo 3 Ejemplo o o 8

37 Otra manera de dividir fracciones es usar el Uno Gigante del trabajo previo con fracciones para crear el Uno Súper Gigante. Para usar el Uno Súper Gigante, escriba una división en forma de fracción, con una fracción como numerador y denominador. Use el recíproco del denominador para el numerador y denominador en el Uno Súper Gigante. Multiplique las fracciones y simplifique el resultado cuando sea posible. Ejemplo 5 Ejemplo = 4 2 = 4 2 = = 8 4 = 9 2 = 4 2 Ejemplo 7 Ejemplo = = 8 9 = Comparado con: = 0 9 = 0 9 = 9 Problemas Complete cada división. Use cualquier método Respuestas

38 PROPIEDADES DE SUMA Y MULTIPLICACIÓN En sumas y multiplicaciones, el orden de los números se puede cambiar: = y 2 5 = 5 2. Esto se llama Propiedad Conmutativa. En símbolos es: La Propiedad conmutativa de suma es : a + b = b + a y La Propiedad conmutativa de multiplicación es: a b = b a. Cuando se suman tres números o se multiplican tres números, el agrupamiento se puede cambiar: (2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5) y (2 3) 5 = 2 (3 5). Esto es la Propiedad asociativa. En símbolos es: La Propiedad asociativa de suma es: (a + b) + c = a + (b + c) y La Propiedad asociativa de multiplicación es: (a b) c = a (b c). La Propiedad distributiva distribuye una operación sobre otra. Hasta el momento los estudiantes solamente han visto multiplicaciones distribuidas sobre sumas. En símbolos es: Para todos los números a, b y c, a(b + c) = a b + a c. Por ejemplo: 2(3 + 5) = Para más información vea el recuadro de los Apuntes de matemáticas en la Lección 4.. del teto en Core Connections en español, Curso 2. Las propiedades de multiplicación y suma permiten que las calculaciones sean reordenadas. Hacer esto ayuda cuando se hace la suma mentalmente. Nombre la propiedad o razón que justifica cada paso. Ejemplo Calcule mentalmente: 4 (7 25) Paso = 4 (25 7) Propiedad conmutativa de multiplicación Paso 2 = (4 25) 7 Propiedad asociativa de multiplicación Paso 3 = (00) 7 matemáticas mentales Paso 4 = 700 matemáticas mentales Ejemplo 2 Calcule mentalmente: 8(56) Paso = 8(50 + 6) renombre 56 como Paso 2 = 8(50) + 8(6) Propiedad distributiva Paso 3 = matemáticas mentales Paso 4 = 448 matemáticas mentales

39 Problemas Abajo hay una lista de posibles pasos para calcular un problema mentalmente. De las razones que faltan para justificar los pasos.. 5(29) = 5(30 + ( )) renombre 29 como 30 + ( ) 5(30 ) = 5(30) + 5( ) a 50 + ( 5) = 50 + ( 0 + 5) renombre 5 como 0 + ( 5) 50 + ( 0) + ( 5) = (50 + ( 0)) + ( 5) b 40 + ( 5) = 35 matemáticas mentales = a = ( ) b = ( ) + 77 c = 777 matemáticas mentales 3. 49(2) = 2(49) a 2(49) = 2(50 ) renombre 49 como 50 2(50 ) = 2(50) 2() b 2(50) 2 = (6 2)(50) 2 renombre 2 como 6 2 (6 2)(50) 2 = 6(2 50) 2 c 6(2 50) 2 = 6(00) 2 matemáticas mentales = 588 matemáticas mentales Respuestas. a. Distributiva b. Asociativa 2. a. Conmutativa b. Asociativa c. Asociativa 3. a. Conmutativa b. Distributiva c. Asociativa

40 ESCALAS DE FIGURAS Y FACTOR DE ESCALA 4.. y 4..2 Las figuras geométricas se pueden reducir o ampliar. Cuando esto ocurre, cada longitud de la figura se reduzca o aumente por igual (proporcionalmente) y las medidas de los ángulos correspondientes permanecen iguales. La razón de las dos partes correspondientes de la figura original y nueva se llama factor de escala. El factor de escala se puede escribir como un porcentaje o una fracción. Es común escribir nuevas mediciones de la figura sobre las mediciones originales en una razón de escala, es decir, NUEVA ORIGINAL. Para más información vea el recuadro de Apuntes de matemáticas en la Lección 4..2 del teto Core Connections en español, Curso 2. Ejemplo utilizando una ampliación de 200% F C 26 mm 3 mm 5 mm 0 mm B A 2 mm E 24 mm D Razones de longitud de los lados: DE AB = 2 24 = 2 FD CA = 3 26 = 2 FE CB = 0 5 = 2 triángulo original nuevo triángulo El factor de escala para la longitud es de 2 a. Ejemplo 2 Figuras A y B a la derecha son semejantes. Suponiendo que la Figura A es la figura original, encuentre el factor de escala y encuentre las longitudes de los lados que faltan de la Figura B. 2 A B El factor de escala es 2 3 = 4. Las longitudes de los lados que faltan de la Figura B son: 4 (0) = 2.5, 4 (8) = 4.5, y 4 (20) = 5. 20

41 Problemas Determine el factor de escala para cada par de figuras semejantes en los problemas a 4.. Original Nueva 2. Original Nueva D A 8 6 C B H E 4 G 3 F Original Nueva 4. Original Nueva Un triángulo tiene lados 5, 2 y 3. El triángulo fue ampliada por un factor de escala de 300%. a. Cuáles son las longitudes de los lados del nuevo triángulo? b. Cuál es la razón entre el perímetro del nuevo triángulo al perímetro del triángulo original? 6. Un rectángulo tiene una longitud de 60 cm y un ancho de 40 cm. El rectángulo se redujo por un factor de escala de 25%. a. Cuáles son las dimensiones del rectángulo nuevo? b. Cuál es la razón entre el perímetro del nuevo rectángulo y el perímetro del rectángulo original? Respuestas. 4 8 = = a. 5, 36, 39 b a. 5 cm y 0 cm b. 4

42 RELACIONES PROPORCIONALES 4.2., y Una proporción es una ecuación que establece que las dos razones (fracciones) sean iguales. Dos valores están en una relación proporcional si una proporción puede ser configurada para relacionar los valores. Para más información vea los recuadros de Apuntes de matemáticas de las Lecciones 4.2.3, y del teto Core Connections en español, Curso 2. Para más ejemplos y práctica, vea los materials del Punto de comprobación 9 en Core Connections en español, Curso 2. Ejemplo El costo promedio de un par de pantalones vaqueros de diseño ha aumentado $5 en 4 años. Cuál es la tasa unitaria de crecimiento (dólares por año)? Solución: La tasa de crecimiento es denominador de uno. Usando un Uno Gigante: 5 dólares 4 años = dólares año. 5 dólares 4 años. Para crear una tasa unitaria necesitamos un 5 dólares 4 años = 4 4 dólares año 3.75 dólares año. Ejemplo 2 La famosa receta de chili de Ryan utiliza 3 cucharadas de chile en polvo para 5 porciones. Cuántas cucharadas se necesitan para la reunión familiar que necesita 40 porciones? Solución: La tasa es 3 5 cucharadas porciones 3 5 = 40 c. por lo que el problema puede ser escrito como una proporción: Un método de resolver la proporción es usar el Uno Gigante: Otro método es utilizar la multiplicación cruzada: Por último, ya que la tasa unitaria es 3 5 cucharada por porción, la ecuación c = 5 3 p representa la situación proporcional general y se podría sustituir el número de porciones que se necesitan en la ecuación: c = = 24. Con el uso de cualquier método, la respuesta es 24 cucharadas.

43 Ejemplo 3 Basándose en la tabla de la derecha, cuál es la tasa unitaria de crecimiento (metros por año)? Solución: +2 Altura (m) 5 7 Años Problemas Para los problemas a 0 encuentre la tasa unitaria. Para los problemas a 25, resuelva cada problema.. Teclear 73 palabras en 7 minutos (palabras por minuto) 2. Leer 258 páginas en 86 minutos (páginas por minuto) 3. Comprar 5 cajas de cereal por $43.35 (costo por caja) 4. Anotar 98 puntos en un partido de 40 minutos (puntos por minuto) 5. Comprar Comprar 2 3 libras de plátanos cuestan $.89 (costo por libra) libras de cacahuates por $2.25 (costo por libra) 7. Cortar 2 acres de césped en 3 4 de la hora (hectáreas por hora) 8. Pagar $3.89 por.7 libras de pollo (costo por libra) 9. peso (g) longitud (cm) Cuál es el peso por cm? 0. Para el gráfico de la derecha, cuál es la tasa en millas por hora?. Si una caja de 00 lápices cuesta $4.75, cuánto espera pagar por 225 lápices? 2. Cuando Amber hace su tarea de matemáticas, ella termina 0 problemas cada 7 minutos. Cuánto tiempo le tomará a ella en completar 35 problemas? Distancia (millas) Tiempo (horas) 3. Ben y sus amigos están teniendo un maratón de televisión, y después de 4 horas han visto 5 episodios de la serie. Cuánto tiempo se tardarán en completar la temporada, que tiene 24 episodios? 4. El impuesto de un jarrón de $600 es $54. Cuál debería ser el impuesto de un jarrón de $700?

44 5. Utilice la tabla de la derecha para determinar cuánto tiempo tomará el club Spirit en encerar 60 coches. carros encerados horas Al hornear, Evan descubrió una receta que requiere 2 tazas de nueces por cada 2 4 tazas de harina. Cuántas tazas de nueces se necesitará para 4 tazas de harina? 7. Basándose en el gráfico, qué sería el costo para rellenar 50 botellas? 8. Sam creció 3 4 pulgadas en 4 2 habrá de crecer en un año? meses. Cuánto 9. Al trotar en la tarde, Chris tardó 42 minutos en correr 3 3 millas. Cuántas millas puede correr 4 en 60 minutos? 20. Si Caitlin necesita latas de pintura para cada 3 cuarto de su casa, cuántas latas de pintura necesitará ella para pintar la casa de 7 cuartos? $ botellas rellenadas 2. Stephen recibe 20 minutos de tiempo de juego de video cada 45 minutos que camina con el perro. Si él quiere 90 minutos de tiempo de juego, cuántas horas tiene que trabajar? 22. La vid de uva de Sarah creció 5 pulgadas en 6 semanas, escriba una ecuación para representar su crecimiento después de t semanas. 23. En promedio, Ma hace 45 de los 60 tiros con el baloncesto, escriba una ecuación para representar el número promedio de tiros hechos de intentos. 24. Escriba una ecuación para representar la situación en el problema 4 anterior. 25. Escriba una ecuación para representar la situación en el problema 7 anterior. Respuestas. 43 palabras minuto gramos centímetros 2. 3 páginas minuto $ libra $ libra millas hora $ caja puntos minuto 7. 2 acre hora $ libra. $ min horas 4. $ horas tazas 7. $ pulgadas millas latas horas 22. g = 5 2 t 23. s = C = 3.5b 24. t = 0.09c

45 TASAS Y TASAS UNITARIAS y Tasa de cambio es la razón que describe cómo una cantidad cambia con respecto a otro. Tasa unitaria es una tasa que compara el cambio en una cantidad a un cambio de una unidad en otra cantidad. Algunos ejemplos de los tipos son millas por hora y el precio por libra. Si 6 onzas de harina cuestan $0.80, entonces el costo unitaria, es decir el costo por una onza, es $ = $0.05. Para más información vea el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección del teto Core Connections en español, Curso 2. Para más ejemplos y práctica, vea los materials del Punto de comprobación 9 en Core Connections en español, Curso 2. Ejemplo Una receta de arroz utiliza 6 tazas de arroz para 5 personas. Al mismo tasa, cuánto arroz se necesitará para 40 personas? La tasa es: 6 tazas 5 personas así que, resuelve 6 5 = 40. El multiplicador necesario para el Uno Gigante es 40 5 o Usar este multiplicador produce Tenga en cuenta que la ecuación 6 5 = 40 Ejemplo 2 Organice estas tasas de menor a mayor: = 6 40 entonces se necesitan 6 tazas de arroz. también se puede resolver utilizando proporciones. 30 millas en 25 minutos 60 millas en una hora 70 millas en 2 3 hora Cambiar cada tasa a un denominador común de 60 minutos se obtiene: 30 mi 25 min = = min mi 60 mi hr = 60 mi 70 mi 60 min 2 = 70 mi hora 00 min = = 42 mi 60 min Así que el orden de menor a mayor es: 70 millas en 2 hora < 60 millas en una hora < 30 millas 3 en 25 minutos. Tenga en cuenta que mediante el uso de 60 minutos (una hora) para la unidad común de comparar velocidades, podemos epresar cada velocidad como una tasa unitaria: 42 mph, 60 mph y 72 mph. Ejemplo 3 Un tren en Francia viajó 932 millas en 5 horas. Cuál es la tasa unitaria en millas por hora? 932 mi 5 hora = Tasa unitaria significa que el denominador debe ser de hora, así: hora. Resolver mediante el uso de un Uno Gigante de o división simple produce = 86.4 millas por hora.

46 Problemas Resuelve cada problema de tasa a continuación. Eplique su método.. Balvina sabe que 6 tazas de arroz produce suficiente arroz español para 5 personas. Ella necesita saber cuántas tazas de arroz necesita para alimentar a 35 personas. 2. Elaine puede plantar 6 flores en 5 minutos. Cuánto tiempo le tomará a plantar 30 flores a la misma tasa? 3. Un avión viaja 3400 millas en 8 horas. Cuánto distancia podría viajar en 6 horas a esta tasa? 4. Shane anduvo en bicicleta por 2 horas y viajó 2 millas. A esta tasa, cuánto tiempo le llevará a viajar 22 millas? 5. El coche de Selina utilizó 5.6 galones de gasolina para ir 234 millas. A esta tasa, cuántos galones se necesitaría a ir 480 millas? 6. Organice estos lectores del más rápido al más lento: Abel leyó 50 páginas en 45 minutos, Brian leyó 90 páginas en 75 minutos y Charlie leyó 75 páginas en 2 horas. 7. Organice estos compradores de almuerzo de el que gasta más a el que gasta menos asumiendo que compran el almuerzo 5 días a la semana: Alice gasta $3 por día, Betty gasta $25 cada dos semanas y Cindy gasta $75 por mes. 8. Un tren en Japón puede viajar a 83.5 millas en 5 horas. Encuentre la tasa unitaria en millas por hora. 9. Un patinador de hielo cubrió 500 metros en 06 segundos. Encuentre su tasa unitaria en metros por segundo. 0. Una empresa de telefonía celular ofrece un precio de $9.95 por 200 minutos. Encuentre la tasa unitaria en el costo por minuto.. Un auto recorrió 200 millas en 8 galones de gasolina. Encuentre la tasa unitaria de millas por galón y la tasa unitaria de galones por milla. 2. Leo tiene una cadena de sujetapapeles de 32 pies de largo. Él va a agregar sujetapapeles continuamente durante las siguientes ocho horas. Al final de las ocho horas, la cadena es de 80 pies de largo. Encuentre la tasa unitaria de crecimiento en pies por hora. Respuestas. 54 tazas minutos millas horas galones 6. C, B, A 7. C, A, B mi/hora m/s 0. $0.0/min. 25 mpg; 25 galones/milla 2. 6 pies/hora

47 AZULEJOS ALGEBRAICOS Y PERÍMETRO 4.3. Las epresiones algebraicas pueden ser representadas por los perímetros de los azulejos algebraicos (rectángulos y cuadrados) y combinaciones de azulejos algebraicos. Las dimensiones de cada azulejo se muestran a lo largo de sus lados y el azulejo es nombrado por su área que se muestra en el azulejo en las figuras a la derecha. Cuando se usan los azulejos, el perímetro es la distancia alrededor del eterior de la figura. 2 Ejemplo Ejemplo P = unidades P = unidades Problemas Determine el perímetro de cada figura

48 Respuestas un un un un un un un un.

49 COMBINAR TÉRMINOS SEMEJANTES 4.3. Las epresiones algebraicas también pueden ser simplificadas por combinando (sumando o restando) términos que tienen los mismos variables elevados a las mismas potencias, hacia un término. La habilidad de combinar términos semejantes es necesario para la resolución de ecuaciones. Para más información, vea el recuadro de Apuntes de matemáticas en la Lección del teto Core Connections en español, Curso 2. Para más ejemplos y práctica, vea los materials del Punto de comprobación 7A en Core Connections en español, Curso 2. Ejemplo Combine términos semejantes para simplificar la epresión Todos estos términos tienen una como un variable, así que se combinan en un solo término, 5. Ejemplo 2 Simplifique la epresión Los términos con una pueden ser combinados. Los términos sin variables (los constantes) también pueden ser combinados Note que en la forma simplificada el término con el variable aparece antes del término constante. Ejemplo 3 Simplifique la epresión Note que los términos con los mismos variables pero con diferentes eponentes no están combinados y están en una lista en orden de disminución de poder del variable, en forma simplificada, con el término constante al último.

50 Ejemplo 4 Los azulejos algebraicos, como se muestra en la sección Azulejos algebraicos y perímetro, son usados como modelos de cómo combinar términos semejantes. El cuadrado grande representa 2, el rectángulo representa y el cuadrado pequeño representa uno. Solamente podemos combinar azulejos que son semejantes: cuadrados grandes con cuadrados grandes, rectángulos con rectángulos y cuadrados pequeños con cuadrados pequeños. Si queremos combinar y , visualice los azulejos para ayudarle a combinar los términos semejantes: 2 2 (2 cuadrados grandes) + 3 (3 rectángulos) + 4 (4 cuadrados pequeños) (3 cuadrados grandes) + 5 (5 rectángulos) + 7 (7 cuadrados pequeños) La combinación de los dos conjuntos de azulejos, escrito algebraicamente, es: Ejemplo 5 A veces es útil tomar una epresión que está escrita horizontalmente, circule los términos con sus signos y rescriba términos semejantes en las columnas verticales antes de combinarlos: Problemas ( ) + ( ) Combine los siguientes conjuntos de términos. Este procedimiento puede ser más fácil para identificar los términos además del signo de cada término.. ( ) + ( ) 2. ( ) + ( ) 3. ( ) + ( ) 4. ( ) ( ) 5. ( ) + ( ) 6. (3 2 7) ( ) 7. (5 + 6) + ( ) c 2 + 4c ( 4c 2 ) a 2 + 3a 3 4a 2 + 6a + 2 4a + 2 Respuestas c 2 + 4c a 3 2a 2 + 2a + 4

51 PROPIEDAD DISTRIBUTIVA La Propiedad distributiva muestra cómo epresar sumas y productos de dos maneras: a(b + c) = ab + ac. Esto también puede ser escrito (b + c)a = ab + ac. Forma factorizada Forma distributiva Forma simplificada a(b + c) a(b) + a(c) ab + ac Para simplificar: Multiplique cada término dentro de los paréntesis por el término afuera. Si es posible, combine los términos. Para más información vea el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección del teto Core Connections en español, Curso 2. Ejemplo Ejemplo 2 Ejemplo 3 2(47) = 2(40 + 7) = (2 40) + (2 7) = = 94 3( + 4) = (3 ) + (3 4) = ( + 3y +) = (4 ) + (4 3y) + 4() = 4 +2y + 4 Problemas Simplifique cada epresión a continuación aplicando la Propiedad distributiva.. 6(9 + 4) 2. 4(9 + 8) 3. 7(8 + 6) 4. 5(7 + 4) 5. 3(27) = 3(20 + 7) 6. 6(46) = 6(40 + 6) 7. 8(43) 8. 6(78) 9. 3( + 6) 0. 5( + 7). 8( 4) 2. 6( 0) 3. (8 + )4 4. (2 + )5 5. 7( + ) 6. 4(y + 3) 7. 3(y 5) 8. 5(b 4) 9. ( + 6) 20. ( + 7) 2. ( 4) 22. ( 3) 23. ( + 3) 24. 4( + 2) 25. (5 7) 26. (2 6)

52 Respuestas. (6 9) + (6 4) = = (4 9) + (4 8) = = = = = = = = y y b Cuando la Propiedad distributiva se usa al revés, se llama factorización. Factorización cambia la suma de los términos (sin paréntesis) al producto (con paréntesis). ab + ac = a(b + c) Para factorizar: Escriba el factor común de todos los términos afuera de los paréntesis. Ponga los factores que queden de cada término original dentro de los paréntesis. Ejemplo = = 4( + 2) Ejemplo = = 3(2 3) Ejemplo y + 3 = y + 3 = 3(2 + 4y +) Problemas Factorice cada epresión a continuación usando la Propiedad distributiva al revés y z y 5. 8m y m y y y + 4z y y

53 Respuestas. 6( + 2) 2. 5(y 2) 3. 4(2 + 5z) 4. ( + y) 5. 8(m + 3) 6. 8(2y + 5) 7. 4(2m ) 8. 5(5y 2) 9. 2( 5) 0. 2( 2 3). 2( 3) 2. 5(3y + 7) 3. 4( + y + z) 4. 6( + 2y + ) 5. 7( ) 6. ( + y)

54 SIMPLIFICAR EXPRESIONES (EN UN TABLERO DE EXPRESIONES) Tableros de epresiones con un región Los azulejos algebraicos y los Tableros de epresiones son herramientas de organización usada para representar epresiones algebraicas. Pares de Tableros de epresiones pueden ser modificadas para hacer Tableros de comparación de epresiones (vea la próima sección) y Tableros de ecuaciones. Azulejos positivos están sombreados y los azulejos negativos están en blanco. Un par de azulejos con un azulejo sombreado y el otro blanco representa un cero (0). Ejemplo Ejemplo 2 Represente = + = Represente 3( 2). = + = Note que 3( 2) = 3 6. Ejemplo 3 Ejemplo 4 Esta epresión hace cero. Simplifique ( 2) + ( 3). = + = 2 2 = + = Después de quitar los ceros, queda 2 2.

55 Problemas Simplifique cada epresión. = + = ( 3) ( ) ( + 3) ( 2) ( 2 + 3) + 2 Respuestas

56 PROBLEMAS DE PORCENTAJE USANDO DIAGRAMAS 5.. y 5..2 Una variedad de problemas de porcentajes descritos en palabras implica la relación entre el por ciento, la parte y el todo. Cuando esto se representa mediante una recta numérica, las soluciones se pueden encontrar utilizando el razonamiento lógico o fracciones equivalentes (proporciones). Estos modelos lineales pueden tener un aspecto como el diagrama de la derecha. Para más información, vea el recuadro de Apuntes de matemáticas en la Lección 5..2 del teto Core Connections en español, Curso 2. Ejemplo Sam s Discount Tires anuncia un neumático que originalmente cuesta $50 a la venta por $35. Cuál es el porcentaje de descuento? Un diagrama posible para esta situación se muestra a la derecha: parte del total parte del total parte de 00% parte de 00% En esta situación, es fácil pensar que ya que el total de número de porcentaje (00%) es el doble del total del número de costo ($50), el número de porcentaje ahorrado es el doble del número de costo ahorrado y por lo tanto es un descuento del 30%. El problema también puede ser resuelto utilizando una proporción 5 50 =? 00. total $50 neumático $5 menos? % 00% 00% total Ejemplo 2 Martin recibió 808 votos a la alcaldía de Smallville. Si este fue el 32% del total de votos emitidos, cuántas personas votaron por el alcalde de Smallville? Un diagrama posible para esta situación se muestra a la derecha: parte del total parte de 00%? número de votos 808 votos 32% 00% En este caso, es mejor escribir un par de fracciones equivalentes como una proporción: = 00 Se se utiliza el Uno Gigante, el multiplicador es = 3.25 así que = Un total de 2525 personas votaron para el alcalde de Smallville. Tenga en cuenta que la proporción en este problema también podría ser resuelto utilizando la multiplicación cruzada. total

57 Problemas Utilice un diagrama para resolver cada uno de los siguientes problemas.. La prueba de Inglés de Sarah tenía 90 preguntas y ella contestó 8 preguntas incorrectamente. Qué porcentaje de las preguntas contestó ella correctamente? 2. Los pantalones cargo que se venden regularmente por $36 se ofrecen a un descuento de 30%. Cuánto es el descuento? 3. La cuenta para una estancia en un hotel fue $88 dólares incluyendo $5 de impuestos. Qué porcentaje de la cuenta fue el impuesto? 4. Alicia contestó 60 preguntas correctamente en su eamen de ciencias. Si recibió una puntuación de 75%, cuántas preguntas había en el eamen? 5. Los zapatos de baloncesto están en oferta para el 22% de descuento. Cuál es el precio normal, si el precio de venta está a $42? 6. Sergio sacó 80% en su eamen de matemáticas. Si respondió correctamente a 24 preguntas, cuántas preguntas había en el eamen? 7. Un abrigo de $65 está en oferta por $52. Qué porcentaje de descuento se le da? 8. Ellen compró pantalones cortos de fútbol a la venta por $6 de descuento del precio regular de $40. Qué porcentaje ahorró? 9. De acuerdo con las reglas escolares, Carol tiene que convencer a un 60% de sus compañeros de clase a votar por ella con el fin de ser elegida presidente de la clase. Hay 32 estudiantes en su clase. Cuántos estudiantes hay que convencer? 0. Un suéter que se vendía regularmente por $52 está en oferta a 30% de descuento. Cuál es el precio de venta?. Jody encontró un par de sandalias de $88 marcado con 20% de descuento. Cuál es el valor monetario del descuento? 2. Ly obtuvo el 90% en un eamen. Si respondió a 35 preguntas correctamente, cuántas preguntas había en el eamen? 3. Para el final de temporada de lucha libre, Mighty Ma había bajado siete libras y ahora pesa 28 libras. Cuál fue el porcentaje de disminución de su peso inicial? 4. George tiene 245 tarjetas en su colección de tarjetas de béisbol. De ellas, 85 de las tarjetas son los lanzadores. Qué porcentaje de las tarjetas son los lanzadores? 5. Julio compró zapatos de fútbol a un descuento de 35% en una oferta y ahorró $ 42. Cuál fue el precio original de los zapatos? Respuestas. 80% 2. $ más o menos 8% preguntas 5. $ preguntas 7. 20% 8. 5% estudiantes 0. $ $ preguntas 3. más o menos 5% 4. más o menos 35% 5. $20

58 RAZONES 5.. y 5..2 Una razón es una comparación de dos cantidades por la división. Se puede escribir de varias maneras: 65 millas hora, 65 millas: hora o 65 millas a hora Para más información vea el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección 5.. del teto Core Connections en español, Curso 2. Ejemplo Una bolsa contiene las siguientes canicas: 7 claras, 8 rojas y 5 azules. Las siguientes razones pueden establecerse: a. Razón de azul con el número total de canicas 5 20 = 4. b. Razón de rojo a claro 8 7. c. Razón de rojo a azul 8 5. d. Razón de azul a rojo 5 8. Problemas. La bebida del jugo favorito de Molly se hace mezclando 3 tazas de jugo de manzana, 5 tazas de jugo de arándano y 2 tazas de gaseosa de jengibre. Determine las siguientes razones: a. Razón de jugo de arándano al jugo de manzana. b. Razón de gaseosa de jengibre al jugo de manzana. c. Razón de gaseosa de jengibre a bebida de jugo terminada (la mezcla). 2. Un autobús de 40 pasajeros está llevando a 20 niñas, 6 niños y 2 maestros en un viaje de campo a la capital del estado. Determine las siguientes razones: a. Razón entre niñas y niños. b. Razón entre niños y niñas. c. Razón de los maestros a estudiantes. d. Razón de los maestros a los pasajeros. 3. Es importante para Molly (del problema uno) mantener las mismas razones cuando mezcla cantidades más grandes o más pequeñas de la bebida. De lo contrario, la bebida no sabe bien. Si ella necesita un total de 30 tazas de bebida de jugo, cuántas tazas de cada líquido se debe usar? 4. Si Molly (del problema uno) necesita 25 tazas de bebida de jugo, cuántas tazas de cada líquido se debe usar? Recuerde que las razones deben seguir iguales.

59 Respuestas. a. 5 3 b. 2 3 c. 2 0 = tazas jugo de manzana, 5 tazas jugo de arándano, 6 tazas gaseosa de jengibre 2. a = 5 4 b = 4 5 c d tazas jugo de manzana, 2 2 tazas jugo de arándano, 5 tazas gaseosa de jengibre

60 EVENTOS INDEPENDIENTES Y DEPENDIENTES Dos eventos son independientes si el resultado de un evento no afecta al resultado del otro evento. Por ejemplo, si saca un naipe de una baraja estándar, pero la reemplaza antes de sacar de nuevo, los resultados de los dos sorteos son independientes. Dos eventos son dependientes si el resultado de un evento afecta el resultado del otro evento. Por ejemplo, si saca un naipe de una baraja estándar y no la reemplaza para el siguiente sorteo, los resultados de los dos sorteos son dependientes. Ejemplo Juan sacó un naipe rojo de la baraja estándar. Esta probabilidad es o 2. Él devuelve el naipe a la baraja. Cambiará la probabilidad de sacar un naipe rojo la próima vez? No, su probabilidad de sacar un naipe rojo la próima vez no va a cambiar, ya que devolvió el naipe. Todavía hay 26 naipes rojos de los 52. Este es un ejemplo de un evento independiente; su etracción y sustitución de un naipe rojo no afecta a las selecciones posteriores de la baraja. Ejemplo 2 Brett tiene una bolsa de 30 caramelos multicolores. 5 son de color rojo, 6 son de color azul, 5 son verdes, 2 son de color amarillo y 2 son de color marrón. Si saca un caramelo de color amarillo y se lo come, cambia esto su probabilidad de tirar cualquier otro caramelo de la bolsa? Sí, esto cambia la probabilidad, porque ahora tiene sólo 29 caramelos en la bolsa y sólo de caramelo amarillo. Originalmente, su probabilidad de amarillo era 30 2 o 5 ; ahora es 29. Del mismo modo, rojo era 5 30 o 2 y ahora es 5 29, más que 2. Este es un ejemplo de un evento dependiente. Problemas Decida si estos eventos son eventos independientes o dependientes.. Lanzar una moneda, y lanzarla de nuevo. 2. Tomar un negro 7 fuera de una baraja y no devolverlo, a continuación, sacar otro naipe. 3. Tomar un regaliz rojo de una bolsa y comerlo, y después tomar otro trozo de regaliz. Respuestas. independiente 2. dependiente 3. dependiente

61 EVENTOS COMPUESTOS Y MÉTODOS DE CONTEO PROBABILIDAD DE EVENTOS COMPUESTOS A veces, cuando usted está encontrando una probabilidad, usted está interesado en cualquiera de dos resultados que tienen lugar, pero no ambos. Por ejemplo, usted puede estar interesado en sacar un rey o una reina de una baraja. En otras ocasiones, usted podría estar interesado en un evento seguido por otro evento. Por ejemplo, puede que desee arrojar un uno en un dado y luego arrojar un seis. Las probabilidades de combinaciones de eventos simples se llaman eventos compuestos. Para encontrar la probabilidad de que sea un evento u otro que no tiene nada en común con la primera, se puede calcular la probabilidad de cada evento por separado y luego añadir sus probabilidades. Utilizando el ejemplo anterior de sacar un rey o una reina de una baraja: P(rey) = 52 4 y P(reina) = 52 4 así que P(rey o reina) = = 52 8 = 3 2 Durante dos eventos independientes, para encontrar la probabilidad de que tanto uno como el otro evento ocurra, se puede calcular la probabilidad de cada evento por separado y luego multiplicar sus probabilidades. Usando el ejemplo de arrojar un uno seguido de un seis en un dado: P() = 6 y P(6) = 6 entonces P( luego 6) = 6 6 = 36 Tenga en cuenta que usted llevaría a cabo el mismo cálculo si quería saber la probabilidad de arrojar un uno en un dado verde y un seis en un dado rojo, si usted arrojó los dos al mismo tiempo. Ejemplo Una ruleta está dividida en cinco secciones iguales numeradas, 2, 3, 4 y 5. Cuál es la probabilidad de girar un 2 o un 5? Paso : Determine ambas probabilidades: P(2) = 5 y P(5) = 5 Paso 2: Ya que estos eventos son de lo uno o el otro, añada las fracciones que describen cada probabilidad: = 2 5 La probabilidad de girar un 2 o un 5 es 2 5 : P(2 o 5) = 2 5

62 Ejemplo 2 Si cada una de las regiones de cada ruleta a la derecha es del mismo tamaño, qué es la probabilidad de girar cada ruleta y conseguir una camiseta verde? white blanco verde green red rojo blue azul sweater suéter t-shirt camiseta sweatshirt sudadera Paso : Determine ambas probabilidades: P(verde) = 4 y P(camiseta) = 3 Paso 2: Puesto que usted está interesado en el evento compuesto de tanto verde y una camiseta, multiplique ambas probabilidades: 4 3 = 2 La probabilidad de girar una camiseta verde es 2 : P(camiseta verde) = 2 Problemas Supongamos en cada uno de los problemas a continuación que los eventos son independientes el uno del otro.. Un dado, numerado, 2, 3, 4, 5 y 6, se arroja. Cuál es la probabilidad de obtener un o un 6? 2. Mary está jugando un juego en que se arroja un dado y hace girar una ruleta. Cuál es la probabilidad de que obtendrá tanto el 3 y el negro que necesita para ganar el juego? azul blue negro black rojo red 3. Una ruleta está dividida en ocho secciones iguales. Las secciones están numeradas, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8. Cuál es la probabilidad de girar un 2, 3 o un 4? 4. Patty tiene una caja de 2 lápices de colores. Hay 2 azules, negro, gris, 3 rojas, 2 verdes, naranja, morado y amarillo en la caja. Patty cierra los ojos y elige un lápiz. Ella tiene la esperanza de elegir un lápiz de color verde o rojo. Cuál es la probabilidad de que obtendrá su deseo? 5. Utilice las ruletas de la derecha para decirle a Pablo posibilidades de conseguir el camión plateado que quiere. scooter auto car camión truck azul blue negro black plateado silver 6. En el camino a la escuela, el autobús escolar tiene que ir a través de dos señales de tráfico. La primera luz es verde por 25 segundos de cada minuto, y la segunda luz es de color verde durante 35 segundos de cada minuto. Cuál es la probabilidad de que ambas luces serán verdes en el camino a la escuela?

63 7. Hay 250 estudiantes en South Lake Middle School. 25 disfrutan de la natación, 50 disfrutan de patinar en monopatín y 75 disfrutan el sóftbol. Si el disfrute de estos deportes es independiente, cuál es la probabilidad de que un estudiante disfruta de los tres deportes? 8. John tiene una bolsa de caramelos de goma. Hay 00 caramelos en la bolsa. 4 de los caramelos son de cereza, 4 de los caramelos son de naranja, 4 de los caramelos son de regaliz, y 4 de los caramelos son de limón. Cuál es la probabilidad de que John elige uno de sus sabores favoritos, naranja o cereza? 9. Una encuesta a nivel nacional mostró que sólo el 4% de los niños les gusta comer habas. Cuál es la probabilidad de que cualquier de dos niños les gustan las habas? Respuestas. 2 6 o = o =

64 MÉTODOS DE CONTEO Hay varios modelos diferentes que puede utilizar para determinar todos los posibles resultados de eventos compuestos cuando se producen tanto en un evento y el otro: una lista sistemática, una tabla de probabilidad y un árbol de probabilidad. Vea el recuadro de Apuntes de matemáticas en la Lección del teto Core Connections en español, Curso 2 para más detalles sobre estos tres métodos. No sólo se puede usar una tabla de probabilidad para ayudar a enumerar todos los resultados, pero también se puede usarlo para ayudar a determinar las probabilidades de eventos compuestos independientes cuando se producen tanto en un evento y otro. Por ejemplo, la tabla de probabilidad siguiente (a veces llamado un modelo de área) ayuda a determinar las probabilidades del Ejemplo 2 anterior: 3 suéter blanco rojo azul verde 3 sudadera 3 camiseta Cada caja en el rectángulo representa el evento compuesto tanto de un color y el tipo de ropa (suéter, sudadera, o camiseta). El área de cada cuadro representa la probabilidad de obtener cada combinación. Por ejemplo, la región sombreada representa la probabilidad de obtener una camiseta verde: 4 3 = 2. Ejemplo 3 En un picnic con su clase Will y Jeff estaban jugando un juego donde arrojaban un tiro libre y luego lanzaban una moneda. Cada niño sólo anota un tiro libre de tres intentos. Use una tabla de probabilidad (modelo de área) para encontrar la probabilidad de que uno de los chicos anota un tiro libre y, a continuación, lanza la moneda y voltea la cara. Cuál es la probabilidad de que se pierde el tiro libre y luego lanza la cara? anota Make pierde Miss pierde Miss cara H cruz T Al encontrar el área de los rectángulos pequeños, las probabilidades son: P(anota y cara) = 3 2 = 6, y P(pierde y cruz) = = 2 6

65 Ejemplo 4 Chris posee un carrito de café que estaciona fuera de la corte del centro todas las mañanas. 65% de sus clientes son abogados; el resto son miembros del jurado. 60% de las ventas de Chris incluye un panecillo, un 0% incluye cereales y el resto son sólo café. Cuál es la probabilidad de que un abogado compre un panecillo o cereales? Las probabilidades pueden ser representados en un modelo de área de la siguiente manera: Las probabilidades se pueden calcular así: La probabilidad de que un abogado compre un panecillo o cereales es = o 45.5%. panecillo 0.60 cereales 0.0 sólo café 0.30 abogado 0.65 jurado.35 abogado 0.65 jurado.35 panecillo cereales sólo café Ejemplo 5 La heladería local tiene opciones de conos, normal, de azúcar o de la galleta. Sus opciones de helado son vainilla, chocolate, chicle o yogur de fresa congelado. Los siguientes ingredientes están disponibles para los conos de helado: chispitas, pedacitos de chocolate y las nueces picadas. Cuáles son los posibles resultados de un cono y una bola de helado y una cobertura? Cuántos resultados son posibles? Tablas de probabilidad son útiles sólo cuando hay dos eventos. En esta situación hay tres eventos (cono, sabor, cobertura), por lo que vamos a utilizar un árbol de probabilidad. Hay cuatro sabores posibles, cada uno con tres posibles conos. Entonces cada uno de los 2 resultados pueden tener tres posibles coberturas. Hay 36 resultados para el evento compuesto de elegir un sabor, cono y una cobertura. Tenga en cuenta que la lista de los resultados, y el número total de resultados, no cambia si cambiamos el orden de los acontecimientos. Podríamos fácilmente haber elegido el cono primero. Vainilla Chocolate Chicle Yogur Congelado normal azúcar cono de galleta normal azúcar cono de galleta normal azúcar cono de galleta normal azúcar cono de galleta chispitas pedacitos de chocolate nueces picados chispitas pedacitos de chocolate nueces picados chispitas pedacitos de chocolate nueces picados chispitas pedacitos de chocolate nueces picados chispitas pedacitos de chocolate nueces picados chispitas pedacitos de chocolate nueces picados chispitas pedacitos de chocolate nueces picados chispitas pedacitos de chocolate nueces picados chispitas pedacitos de chocolate nueces picados chispitas pedacitos de chocolate nueces picados chispitas pedacitos de chocolate nueces picados chispitas pedacitos de chocolate nueces picados

66 Problemas Utilice tablas de probabilidad o diagramas de árbol para resolver estos problemas.. Cuántas combinaciones diferentes son posibles en la compra de una bicicleta nueva si las siguientes opciones son disponsibles? bicicleta de montaña o bicicleta de carretera pintura negra, roja, amarilla o azul 3 velocidades, 5 velocidades o 0 velocidades 2. Un nuevo camión está disponible con: transmisión estándar o automática tracción en las 4 ruedas o tracción 2 2 cabina regular o etra cama larga o corta Cuántas combinaciones son posibles? 3. Un asesor de impuestos clasifica el 25% de los hogares en la ciudad por tener un gran patio trasero, un 65% por tener un pequeño patio trasero y el 0% por no tener patio trasero. 30% de los hogares tiene un techo de tejas, el resto tiene algún otro tipo de techo. Cuál es la probabilidad de que una casa con un techo de tejas tenga un patio trasero? 4. Hay espacio para sólo 96 alumnos en la Universidad Escuela Secundaria para matricularse en una clase de manualidades : 25 alumnos en la madera, 25 alumnos de la metalurgia y el resto en imprenta. Tres cuartas partes de los espacios están reservados para los alumnos de cuarto año y una cuarta parte es para los alumnos de tercer año. Cuál es la probabilidad de que un alumno matriculado en la clase de manualidades está de cuarto año y en la imprenta? Cuál es la probabilidad de que un alumno matriculado en la clase de manualidades está de tercer año y en la madera o la metalurgia? 5. Las compañías de seguros utilizan probabilidades para determinar la tasa que van a cobrar por una póliza de seguro. En un estudio de 3000 personas que tenían pólizas de seguro de vida, una compañía de seguros recoge los siguientes datos de cómo las personas de edad eran cuando murieron, en comparación con lo alta que eran. En este estudio, cuál era la probabilidad de ser alto (más de 6 pies) y morir joven (menor de 50 años de edad)? Cuál era la probabilidad de ser alto y morir menos de 70 años de edad? Cuál era la probabilidad de estar entre 50 y 70 años de edad? <50 años de edad 50 a 60 años de edad 60 a 70 años de edad 70 a 80 años de edad >80 años de edad más que 6 pies de altura menos que 6 pies de altura

67 Respuestas. Hay 24 combinaciones posibles, como se muestra a continuación. Montaña negro rojo amarillo azul 3 velocidades 5 velocidades 0 velocidades 3 velocidades 5 velocidades 0 velocidades 3 velocidades 5 velocidades 0 velocidades 3 velocidades 5 velocidades 0 velocidades Carretera negro rojo amarillo azul 3 velocidades 5 velocidades 0 velocidades 3 velocidades 5 velocidades 0 velocidades 3 velocidades 5 velocidades 0 velocidades 3 velocidades 5 velocidades 0 velocidades 2. Hay 6 combinaciones posibles, como se muestra a continuación. Estándar Automático tracción en las 4 ruedas tracción en las 4 ruedas tracción 2 2 tracción en las 4 ruedas cabina regular cabina etra cabina regular cabina etra cabina regular cabina etra cabina regular cabina etra cama larga cama corta cama larga cama corta cama larga cama corta cama larga cama corta cama larga cama corta cama larga cama corta cama larga cama corta cama larga cama corta

68 3. La probabilidad es = 0.27 o 27%. gran patio trasero 25% pequeño patio trasero 65% techo de tejas 30% otro techo 70% no patio trasero 0% 4. La probabilidad de una alumno de cuarto año en imprenta es de aproimadamente 0.359%. La probabilidad de un alumno de tercer año en la madera o la metaluría es º año 4 3 3º año 4 madera metalurgía imprenta La probabilidad de ser alto (más de 6 pies) y morir joven (menor de 50 años de edad) es 30 = 0.0. La probabilidad de ser alto y morir menos de 70 años de edad es La probabilidad de estar entre 50 y 70 años de edad es

69 RESOLVER PROBLEMAS DE PALABRAS (EL PROCESO 5-D) y El Proceso 5-D es un método que los estudiantes pueden usar para resolver varios tipos de problemas, especialmente problemas de palabras. Las D s representan Describir, Definir, Desarrollar, Decidir y Declarar. Cuando los estudiantes usan el Proceso 5-D, les proporciona un registro del pensamiento del estudiante. Los patrones en la tabla dirigen directamente en escribir ecuaciones algebraicas para los problemas de palabras. Escribir ecuaciones es una de las más importantes habilidades de álgebra que los estudiantes puedan aprender. Usando el Proceso 5-D ayuda esta habilidad ser accesible para todos los estudiantes. Para poder ayudar a los estudiantes ver las relaciones en un problema de palabras, requerimos que incluyan por las menos cuatro entradas (hileras) en sus tablas. La repetición de las operaciones se necesita para ver como las columnas están relacionadas. Después los estudiantes hubieron practicado usando el Proceso 5-D para resolver los problemas, empezamos a generalizar desde los patrones en la tabla a escribir ecuaciones que representan las relaciones en el problema. También creemos que escribir la respuesta en una oración después que la tabla este completa es importante porque muchos estudiantes olvidan lo que realmente es la ecuación. Esta oración ayuda al estudiante mirar el cuadro completo y resume al problema. Vea el recuadro de Apuntes de matemáticas en la Lección del teto Core Connections en español, Curso 2. Ejemplo Una caja de fruta tiene tres veces más nectarinas que toronjas. Juntos hacen 36 piezas de fruta. Cuantas piezas de cada tipo de fruta hay? Paso : Describir: El número de nectarinas es tres veces el número de toronjas. El número de nectarinas más el número de toronjas es igual a 36. Pasó 2: Definir: Configure una tabla con columnas. La primera columna debe ser el elemento de que menos conozca. Escoja cualquier cantidad fácil para esa columna. Definir nro. de toronjas Prueba : Qué más debemos saber? El número de nectarinas, que es tres veces más que el número de toronjas. Definir nro. de toronjas nro. de nectarinas Prueba : 3() = 33 El ejemplo continúa en la página siguiente

70 Continuación del ejemplo de la página anterior. Paso 3: Paso 4: Desarrollar: Cuál es el número total de frutas? Definir Desarrollar nro. de toronjas nro. de nectarinas total de piezas de fruta Prueba : Decida: Necesitamos verificar el total de piezas de fruta basado en la prueba # de toronjas y compárelo al total que se le dio en el problema. Definir Desarrollar Decidir nro. de toronjas nro. of nectarinas total de piezas de fruta 36? Prueba : demasiado alto Empiece otra prueba. Nuestro total era 44; el total necesitado es 36, así que nuestro prueba empezó demasiado alto y nuestro próima prueba debe empezar más bajo. Definir Desarrollar Decidir nro. de toronjas nro. of nectarinas total de piezas de fruta 36? Prueba : demasiado alto Prueba 2: demasiado alto Empiece otra prueba. Nuestro total era 40; el total necesitado es 36, así que nuestro prueba empezó demasiado alto y nuestro próima prueba debe empezar todavía más bajo. Definir Desarrollar Decidir nro. de toronjas nro. of nectarinas total de piezas de fruta 36? Prueba : demasiado alto Prueba 2: demasiado alto Prueba 3: demasiado alto Empiece otra prueba. Nuestro total era 32; el total necesitado es 36, así que nuestro prueba empezó demasiado bajo y el próima prueba debe ser más alto que 8 pero menos que 0. Definir Desarrollar Decidir nro. de toronjas nro. of nectarinas total de piezas de fruta 36? Prueba : demasiado alto Prueba 2: demasiado alto Prueba 3: demasiado bajo Prueba 4: correcto Paso 5: Declarar: La respuesta fue encontrada. Responda en una oración. Hay 9 toronjas y 27 nectarinas en una caja.

71 Ejemplo 2 El perímetro de un rectángulo es 20 pies. Si la longitud del rectángulo es 0 pies más que el ancho, cuáles son las dimensiones (longitud y ancho) del rectángulo? Describir/Dibujar: ancho + 0 ancho Empiece con el ancho por que, de las dos respuestas requeridas, es el que de menos sabemos. La longitud es 0 pies más que el ancho, así que suma 0 a la primera prueba. Definir Desarrollar Decida Ancho Longitud Perímetro 20? Prueba : 0 20 (0 + 20) 2 = 60 demasiado bajo Ya que la prueba de 0 resulto en una respuesta que es demasiada baja, debemos incrementar el número en la próima prueba. Ponga atención al resultado de cada prueba mientras disminuya las pruebas posibles para llegar a la respuesta. Nota: mientras los estudiantes reciban más eperiencia usando el Proceso 5-D, aprenderán a hacer mejores pruebas de un paso a otro para resolver los problemas más rápido o establecer un patrón que necesitan para escribir una ecuación. Definir Desarrollar Decidir Ancho Longitud Perímetro 20? Prueba : 0 20 (0 + 20) 2 = 60 demasiado bajo Prueba 2: demasiado bajo Prueba 3: demasiado alto Prueba 4: correcto Declarar: Las dimensiones son 25 y 35 pies.

72 Ejemplo 3 Jorge tiene unas monedas de 0 centavos y 25 centavos. Tiene 0 más monedas de 0 centavos que monedas de 25 centavos y la colección de monedas tiene un valor de $2.40. Cuántas monedas de 0 centavos y de 25 centavos tiene Jorge? Nota: Este tipo de problema es más difícil que otros porque el número de cosas que se preguntan es diferente a su valor. Columnas separados para cada parte del problema se debe de agregar a la tabla, como se muestra a continuación abajo. Frecuentamente los estudiantes olvidan escribir el 3º y 4º columna. Describir: El número de monedas de 25 centavos más 0 es igual al número de monedas de 0 centavos. El valor total de las monedas es $2.40. nro. de monedas de 25 nro. de monedas de 0 Definir Desarrollar Decidir valor de valor de monedas monedas valor total $2.40? de 25 de 0 Intento : demaciado alto Intento 2: demaciado alto Intento 3: demaciado alto Intento 4: correcto Declarar: Jorge tiene cuatro monedas de 25 centavos y 4 monedas de diez centavos.

73 PREGUNTAS ÚTILES PARA HACERLE A SU ESTUDIANTE Si su estudiante tiene dificultades con un problema de 5-D, podría ser porque él/ella no entiende el problema, no porque él/ella no entienda el proceso. Aquí hay algunas preguntas que se puede hacer cuando su hijo/a no entienda el problema. (Estos también ayudan en situaciones que no sea problema de palabras.). Qué te están pidiendo que encuentres? 2. Qué información se te ha dado? 3. Hay información que no se necesite? Si es así, qué es? 4. Hay información esencial que haga falta? Si es así, qué información necesitas? NOTA SOBRE TÍTULOS DE COLUMNAS. Puede seleccionar cualquier número en la primera prueba. Diez o la edad del estudiante son números adecuados para la primera prueba. El resultado le ayudará a determinar qué numero usar en la segunda prueba. 2. Continúe estableciendo columnas por medio de preguntar Qué más se debe saber para determinar si el número que usamos para la prueba es correcto o demasiado bajo o demasiado alto? 3. Ponga la respuesta a una calculación en cada columna. Estudiantes a veces ponen la respuesta a varias calculaciones mentales en una columna (vea la nota en el Ejemplo 3.)

74 Problemas Resuelva estos problemas usando el Proceso 5-D. Escriba cada respuesta en una oración.. Una tabla de madera que mide 00 centímetros de largo está cortada en dos piezas. Una pieza es 26 centímetros más largo que el otro. Cuáles son las longitudes de las dos piezas? 2. Thu es cinco años mayor que su hermano Tuan. La suma de sus edades es 5. Cuáles son sus edades? 3. Tomas está pensando en un número. Si triplica el número y le resta 3, el resultado es 305. Cuál es el número del que está pensando Tomas? 4. Dos números consecutivos tienen la suma de 23. Cuáles son los dos números? 5. Dos números par consecutivos tienen la suma de 246. Cuáles son los números? 6. La edad de Joe es tres veces la edad de Aaron y Aaron es seis años mayor que Christina. Si la suma de sus edades es 49, cuál es la edad de Christina? La edad de Joe? Y la de Aaron? 7. El granjero Fran tiene 38 animales en un corral, consistiendo de solamente gallinas y cabras. Si estos animales tienen 6 patas, cuántos de cada tipo de animal hay? 8. Una tabla de madera que mide 56 centímetros de largo es cortada en tres partes. Las dos partes más grandes miden igual y son 5 centímetros más largos que la parte pequeña. Qué tan largas son las tres partes? 9. Juan tiene 5 monedas, todas de 5 centavos y 0 centavos. Esta colección de monedas vale 90 centavos. Cuántas monedas de 5 centavos y de 0 centavos hay? (Pista: crea columnas separadas para, Número de monedas de 5 centavos, El valor de monedas de 5 centavos, Número de monedas de 0 centavos, y El valor de monedas de 0 centavos. ) 0. Los boletos para la obra en la escuela cuestan $5.00 por adulto y $3.50 para estudiantes. Si el valor total de los boletos que se vendieron fue $ y 00 más estudiantes que adultos compraron boletos, cuántos adultos y estudiantes compraron boletos?. Una tabla de madera que mide 250 centímetros de largo es cortada en cinco piezas. Tres piezas cortas tienen longitudes iguales y dos son 5 centímetros más largas que las cortas. Cuánto miden las tablas? 2. Conrad tiene una colección de tres tipos de monedas: monedas de 5 centavos, 0 centavos y 25 centavos. Hay una cantidad igual de monedas de 5 centavos y 25 centavos, pero tres veces más monedas de 0 centavos. Si el valor de la colección es $9.60, cuantas monedas de 5, 0 y 25 centavos hay?

75 Respuestas. Las longitudes de las tablas son 37 cm y 63 cm. 2. Thu tiene 28 años y su hermano tiene 23 años. 3. Tomas está pensando en el número Los dos números consecutivos son 6 y Los dos números par consecutivos son 22 y El granjero Fran tiene 20 cabras y 8 gallinas. 9. Juan tiene 2 monedas de 5 centavos y 3 de 0 centavos.. Las longitudes de las tablas son 44 y 59 centímetros. 6. Christina tiene 25 años, Aaron 3 y Joe La longitud de las tablas son 42, 57 y 57 centímetros boletos para adultos y 355 boletos para estudiantes fueron comprado para la obra de la escuela. 2. Conrad tiene 6 monedas de 5 centavos, 6 monedas de 25 centavos y 48 monedas de 0 centavos.

76 COMPARAR CANTIDADES (EN UN TABLERO DE EXPRESIONES) 6.. y 6..2 Combinando dos Tableros de epressions a un Tablero de comparación de epresiones crea un modelo concreto para simplificar (y después resolver) desigualdades y ecuaciones. Los azulejos se pueden quitar o mover en el tablero de las siguientes maneras: () Quitando el mismo número de azulejos opuestos (ceros) del mismo lado; (2) Quitando un número igual de azulejos idénticos (un conjunto balanceado) del lado derecho e izquierdo; (3) Añadiendo el mismo número de azulejos opuestos (ceros) en el mismo lado; y (4) Añadiendo un número igual de azulejos idénticos (un conjunto balanceado) al lado derecho e izquierdo. Estas estrategias se llaman movimientos legales. Después de mover y simplificar el Tablero de comparación de epresiones, se les pide a los estudiantes que digan qué lado es mayor. A veces es solamente posible decir que lado es mayor si se sabe algunos valores posibles del variable. Ejemplo Determine qué lado es mayor usando movimientos legales. Paso Quite el conjunto balanceado Tablero A Tablero B Paso 2 Quite los ceros Tablero A Tablero B Paso 3 Quite el conjunto balanceado Tablero A Tablero B = + =??? El lado izquierdo es mayor porque después del Paso 3: 4 > 0. También, después del Paso 2: 6 > 2. Note que este ejemplo demuestra solamente una de las posibles estrategias.

77 Ejemplo 2 Use movimientos legales para que todos los variables de estén en un solo lado y todos los azulejos de unidades en el otro. Paso Añada un conjunto balanceado Paso 2 Añada un conjunto balanceado Paso 3 Quite los ceros Tablero A Tablero B Tablero A Tablero B Tablero A Tablero B??? Lo que queda es 2 en el Tablero A y 4 en el Tablero B. Hay otros arreglos posibles, pero cualquier arreglo que sea, no es posible saber qué lado es mayor porque no sabemos el valor de. Los estudiantes deben anotar los resultados en forma algebraica como dirigido por el maestro. Un resultado posible está a la derecha. Tablero A Tablero B

78 Problemas Para cada problema a continuación, use las estrategias para quitar los ceros o simplificar por medio de quitar los conjuntos balanceados para determinar qué lado es mayor, si es posible. Anote sus pasos. = + =. Tablero A Tablero B Tablero A Tablero B?? Tablero A Tablero B? 4. Tablero A: 5 + ( 8) Tablero B: Tablero A: 2( + 3) 2 Tablero B: Tablero A: 4 + ( 2) + 4 Tablero B: Para cada problema a continuación, use las estrategias de quitar los ceros o añadir/quitar conjuntos balanceados para que todos los variables de estén en un lado y los azulejos de unidades en el otro. Anote sus pasos. 7. Tablero A Tablero B 8. Tablero A Tablero B 9.?? Tablero A Tablero B? 0. Tablero A: 3 2 Tablero B: 2 +. Tablero A: ( 5) Tablero B: ( 8) 2. Tablero A: Tablero B: 3 Respuestas (Las repuestas a problemas 7 a 2 pueden variar.). A es mayor 2. B es mayor 3. no es posible distinguir 4. B es mayor 5. no es posible distinguir 6. A es mayor 7. A: ; B: 3 8. A: 3; B: 9. A: ; B: 0. A: ; B: 3. A: 2; B: 2 2. A: 3; B: 6

79 GRAFICAR Y RESOLVER DESIGUALDADES 6..3 y 6..4 GRAFICAR DESIGUALDADES Las soluciones a una ecuación pueden ser representadas como un punto (o puntos) en una recta numérica. Si el Tablero de comparación de epresiones tiene un rango de soluciones, la solución es epresada como una desigualdad representada por una semirrecta o un segmento con puntos etremos de relleno o abiertos. Puntos etremos de relleno indican que el punto etremo está incluido en la solución ( o ), mientras que un punto etremo abierto indica que no es parte de la solución (< o >). Ejemplo > 6 Ejemplo 3 y < Ejemplo 2 0 Ejemplo 4 y Problemas Grafique cada desigualdad en una recta numérica.. m < y < < 2 6. < 2 7. m > Respuestas

80 RESOLVER DESIGUALDADES Para resolver una desigualdad, eamine las dos epresiones en un Tablero de comparación de epresiones. Use el resultado como un punto frontera en la recta numérica. Después pruebe un valor de cada lado del punto frontera de la recta numérica de la desigualdad. Si el número de la prueba es verdadero, entonces el punto frontera es parte de la solución. Además, si la desigualdad es o, entonces el punto frontera es parte de la solución y es indicado por un punto de relleno. Si la desiguald es > o <, entonces el punto frontera no es parte de la solución y es indicado por un punto abierto. Para más información, vea el recuadro de Apuntes de matemáticas en la Lección 6..4 del teto Core Connections en español, Curso 2. Ejemplo 9 m + 2 Resuelva la ecuación: 9 = m = m Dibuje una recta numérica. Ponga un punto relleno en el 7. Haga una prueba en cada lado del 7 en la desigualdad original. Nosotros usamos 0 y 0. VERDADERO m = 0 m = 0 9 < > > 2 9 > 2 VERDADERO La solución es m FALSO FALSO Ejemplo < + 6 Resuelva la ecuación: 2 3 = = = 9 = 3 Dibuje una recta numérica. Ponga un punto abierto en el 3. Pruebe 0 y 4 en la desigualdad original. FALSO = 4 = 0 2( 4) 3 < (0) 3 < < 2 3 < 6 5 < 2 VERDADERO FALSO 3 3 VERDADERO La solución es >

81 Problemas Resuelva cada desigualdad > 2. y m < 2y m < (m + ) m m + m + 7 Respuestas. > 4 2. y m 4 5. y < 5 6. m 3 7. < 3 8. m 5 9. m 3

82 RESOLVER ECUACIONES EN CONTEXTO Inicialmente, las ecuaciones se resuelven aplicando hechos matemáticos (por ejemplo, 4 = 2, ya que 4 3 = 2, = 3) o por medio de combinar cantidades iguales, simplificando la ecuación y usando hechos matemáticos, como se muestra en el ejemplo a continuación. Las ecuaciones a veces se escriben en el conteto de una situación geométrica. Escriba una ecuación que representa cada situación y encuentre el valor del variable. Ejemplo 0 Ejemplo = 32 = = = 36 3 = 36 = 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 y y y y = 25 + y 2y = 25 y = 2.5 y 3 40º = = 40 5 = 40 = 8

83 Problemas Escriba una ecuación que represente cada situación y luego encuentre el valor del variable n n n n n Resuelva cada ecuación = 9 8. y 2 = y = m 2 = = = m + 2m + 7 = m = y = k + = = m + 7 = m (y + 3) = (c + 2) + c + = 57

84 Respuestas = 25; = = + 6; = = 25; = n + 2 = 2n + 28; n = = 80; = 58º = 80; = 70º 7. = 6 8. y = 9. y = 8 0. m = 2. = 3 2. = 4 3. m = 2 4. = 7 5. y = 6 6. k = 2 7. = 9 8. m = 2 9. y = c = 2.5

85 DISTANCIA, TASA Y TIEMPO 7.. Distancia (d) es igual al producto de la tasa de la velocidad (r) y el tiempo (t). Se muestra esta relación a continuación de tres formas: d = r t r = d t t = d r Es importante que las unidades de medida sean consistentes. Ejemplo Halle la tasa de un coche de pasajeros, si la distancia recorrida es de 572 millas y el tiempo transcurrido es de horas. 572 millas = r millas 572 millas horas = r 52 millas/hora = tasa Ejemplo 2 Halle la distancia recorrida por un tren a 35 millas por hora durante 40 minutos. Las unidades de tiempo no son los mismos así que tenemos que cambiar los 40 minutos a horas = 2 3 hora. d = (35 millas/hora)( 2 hora) d = 90 millas 3 Ejemplo 3 La corrida de hámsters de Central Middle School se acerca rápidamente. Fred dijo que su hámster viajó 60 pies en 90 segundos y Wilma dijo que midió el tiempo por un minuto y su hámster viajó 2 yardas. Cuál hámster tiene la tasa más rápida? tasa = distancia pero todas las mediciones tienen que estar en las mismas unidades. En este tiempo ejemplo, usamos pies y minutos. El hámster de Fred: tasa = El hámster de Wilma: tasa = El hámster de Fred es más rápido. 60 pies.5 minutos tasa = 40 pies/minuto 36 pies minuto tasa = 36 pies/minuto

86 Problemas Resuelve los siguientes problemas.. Halle el tiempo si la distancia es de 57.5 millas y la velocidad es de 63 mph. 2. Halle la distancia si la velocidad es de 67 mph y el tiempo es de 3.5 horas. 3. Halle la tasa si la distancia es de 247 millas y el tiempo es de 3.8 horas. 4. Halle la distancia si la velocidad es de 60 mph y el tiempo es de hora y 45 minutos. 5. Halle la tasa en mph si la distancia es de 3.5 millas y el tiempo es de 20 minutos. 6. Halle el tiempo en minutos si la distancia es de 2 millas y la velocidad es de 30 mph. 7. Qué tasa es más rápido? A: 60 pies en 90 segundos o B: 60 pulgadas de 5 segundos 8. Cuál distancia es más larga? A: 4 pies/segundo durante un minuto o B: 3 pulgadas/minuto durante una hora 9. Qué tiempo es más corto? A: 4 millas a 60 mph o B: 6 millas a 80 mph Respuestas. 2.5 hora mi mph mi mph 6. 4 min 7. B 8. A 9. A

87 USO DE ESCALAS PARA RESOLVER POR CIENTO Y OTROS PROBLEMAS 7..2 y 7..3 Los estudiantes utilizaron los factores de escala (multiplicadores) para ampliar y reducir figuras además de aumentar y disminuir cantidades. Todas las cantidades o longitudes originales se multiplicaron por el factor de escala para obtener las nuevas cantidades y longitudes. Para revertir este proceso y calcular la escala de la nueva situación a la original, lo dividimos por el factor de escala. La división por un factor de escala es el mismo que multiplicar por un recíproco. Este mismo concepto es útil en la resolución de ecuaciones con coeficientes fraccionarios. Para quitar un coeficiente fraccional se puede dividir cada término de la ecuación por el coeficiente o multiplicar cada término por el recíproco del coeficiente. Recuerde que un recíproco es la inversa multiplicativa de un número, es decir, el producto de los dos números es. Por ejemplo, el recíproco de 2 3 es 3 2, 2 es 2 y 5 es 5. Calcular la escala también puede ser utilizado con problemas porcentuales cuando se aumenta o disminuye una cantidad por un cierto porcentaje. Usar un factor de escala de no cambia la cantidad. El aumento por un porcentaje determinado puede encontrarse multiplicando por ( + el por ciento) y una reducción de un cierto porcentaje se puede encontrar multiplicando por ( el por ciento). Para más información, vea el recuadro de Apuntes de matemáticas en la Lección 7..4 del teto Core Connections en español, Curso 2. Ejemplo El gran triángulo de la derecha se redujo en un factor de escala de 2 para crear un triángulo semejante. Si el lado marcado ahora 5 tiene una longitud de 80' en la nueva figura, qué fue la longitud original? Para deshacer la reducción, multiplique 80' por el recíproco de 2 5, a saber 5 2, o divida 80' por 2 5. Ejemplo 2 80' 2 5 es igual a 80' 5 2, así que = 200'. Resuelva: 2 3 = 2 80' Método : Use división y el Uno Gigante 2 3 = = = = = = 36 2 = 8 Método 2: Use recíprocos 2 3 = ( ) = = 8 ( )

88 Ejemplo 3 Samantha quiere dejar una propina del 5% en su factura de la comida de $2.50. Qué factor de escala se debe utilizar y cuánto dinero debe dejar ella como propina? Como dejar una propina aumenta el total, el factor de escala es ( + 5%) =.5. Ella debe dejar (.5)(2.50) = $4.38 o más o menos $4.50. Ejemplo 4 Carlos ve que todos los DVD s están en oferta a un 40% de descuento. Si el precio normal de un DVD es $24.95, qué es el factor de escala y cuánto es el precio de venta? Si los artículos son reducidos un 40%, el factor de escala es ( 40%) = El precio de venta es (0.60)(24.95) = $4.97. Problemas. Un rectángulo fue aumentado por un factor de escala de 5 2 Cuál era el ancho original? y el nuevo ancho es de 40 cm. 2. Un lado de un triángulo se redujo por un factor de escala de 2. Si el nuevo lado es ahora 3 8 pulgadas, qué medía el lado original? 3. El factor de escala utilizado para crear el diseño para un patio trasero es de 2 pulgadas por cada 75 pies ( 2 ). Si en el diseño, el pozo de fuego es de 6 pulgadas de distancia de la 75 casa, a qué distancia de la casa, en pies, se debe cavar el pozo de fuego? 4. Después de un año muy eitoso, Cheap-Rentals elevó los sueldos por un factor de escala de. Si Luan ahora gana $4.30 por hora, qué ganaba ella antes? 0 5. Resuelva: 3 4 = Resuelva: 2 5 = Resuelva: 3 5 y = Resuelva: 8 3 m = 6 9. Cuál es el costo total de una cena de $39.50 después de agregar una propina de 20%? 0. Si el costo actual de asistir el parque Magicland es $29.50 por persona, cuál será el costo después de un aumento del 8%?. Abrigos de invierno están en liquidación a un descuento de 60%. Si el precio regular es $79, cuál es el precio de venta? 2. El presidente de la compañía ha ofrecido reducir su sueldo un 0% para reducir los gastos. Si ella ahora gana $75,000, qué será su nuevo sueldo?

89 Respuestas. 6 cm pulgadas pies 4. $ $ $3.86. $ $57,500

90 ECUACIONES CON COEFICIENTES FRACCIONARIOS Los estudiantes utilizaron los factores de escala (multiplicadores) para ampliar y reducir figuras además de aumentar y disminuir cantidades. Todas las cantidades o longitudes originales se multiplicaron por el factor de escala para obtener las nuevas cantidades o longitudes. Para revertir este proceso y calcular la escala de la nueva situación a la original, lo dividimos por el factor de escala. La división por un factor de escala es el mismo que multiplicar por un recíproco. Este mismo concepto es útil en la resolución de ecuaciones de un paso con coeficientes fraccionarios. Para quitar un coeficiente fraccional se puede dividir cada término de la ecuación por el coeficiente o multiplicar cada término por el recíproco del coeficiente. Para quitar fracciones en ecuaciones más complicadas los estudiantes usan el método de Rompe fracciones. Multiplicando todos los términos de una ecuación por el denominador común quitará todas las fracciones de la ecuación. Después la ecuación se puede resolver de la manera normal. Para más información, vea el recuadro de Apuntes de matemáticas en la Lección 7..6 del teto Core Connections en español, Curso 2. Ejemplo de una ecuación de un paso Resuelva: 2 3 = 2 Método : Use división y denominadores comunes 2 3 = = = = = = 36 2 = 8 Método 2: Use recíprocos 2 3 = ( ) = = 8 ( ) Ejemplo de Rompe fracciones Resuelva: = 6 Multiplicando por 0 (el denominador común) eliminará las fracciones. 0( ) = 0(6) 0( 2 ) +0( 5 ) = 0(6) = 60 7 = 60 =

91 Problemas Resuelva cada ecuación = = y = m = = = 3 7. y+7 3 = y 5 8. m 3 2m 5 = = = = = 4 Respuestas. = = y = m = y = 3 6. = y = m = 3 9. = = = = 65

92 POR CIENTO DE AUMENTO O DISMINUCIÓN 7..7 Un porcentaje de aumento es la cantidad que la cantidad ha aumentado en base a un porcentaje de la cantidad original. Un porcentaje de disminución es la cantidad que la cantidad se ha reducido en base a un porcentaje de la cantidad original. Una ecuación que representa esta situación es: cantidad de aumento o disminución = (% cambio)(cantidad original) Para más información, vea el recuadro de Apuntes de matemáticas en la Lección 7.. del teto Core Connections en español, Curso 2. Ejemplo La población de un pueblo creció desde 879 hasta 7426 en cinco años. Cuál fue el porcentaje de aumento de la población? Reste para encontrar el cambio: = 5547 Ponga los números conocidos en la ecuación: 5547 = ()(879) El factor de escala se convierte en, lo desconocido: = Divida: = Cambie a porcentaje: 295.2% La población aumentó aproimadamente 295.2%. Ejemplo 2 Un luchador de sumo se retiró de la lucha de sumo y se puso a dieta. Cuando se retiró, él pesó 385 libras. Después de dos años pesaba 238 libras. Cuál fue el porcentaje de disminución de su peso? Reste para encontrar el cambio: = 47 Ponga los números conocidos en la ecuación: 47 = ()(385) El factor de escala se convierte en, lo desconocido: = Divida: = Cambie a porcentaje: 38.2% Su peso disminuyó aproimadamente 38.2%.

93 Problemas Resuelva los siguientes problemas.. Hace cuarenta años la gasolina costaba $0.30 por galón en promedio. Hace diez años la gasolina promedió alrededor de $.50 por galón. Cuál es el porcentaje de aumento en el costo de la gasolina? 2. Cuando Spencer tenía 5 años, medía 28 pulgadas de alto. Hoy mide 5 pies y 3 pulgadas de altura. Cuál es el porcentaje de aumento de la altura de Spencer? 3. Los coches de los 900 costaban $500. Hoy un coche nuevo cuesta un promedio de $27,000. Cuál es el por ciento de aumento del costo de un automóvil? 4. La población de los EE.UU. en el primer censo en 790 fue 3,929 personas. Para el año 2000 la población había aumentado a 284,000,000. Cuál es el porcentaje de aumento de la población? 5. En 2000 la tasa de una estampilla de correos de primera clase en EE.UU. aumentó a $0.34. Esto representa un aumento de $0.3 desde 97. Cuál es el porcentaje de incremento en el costo a partir de 97? 6. En 906 los estadounidenses consumieron un promedio de galones de leche por año. En 998 el consumo promedio fue de 8.32 galones. Cuál es el porcentaje de reducción en el consumo de leche? 7. En 984 había 25 estudiantes por cada computadora en las escuelas públicas de Estados Unidos. En 998 había 6. estudiantes por cada computadora. Cuál es el porcentaje de disminución de la razón de estudiantes a las computadoras? 8. Sara compró un vestido en oferta por $30. Ella ahorró un 45%. Cuál fue el costo original? 9. Pat estaba de compras y encontró una chaqueta con el precio original de $20 en oferta por $9.99. Cuál fue el porcentaje de disminución en el costo? 0. El precio de un par de pantalones se redujo de $49.99 a $9.95. Cuál fue el porcentaje de disminución en el precio? Respuestas. 400% 2. 25% % 4. 7,228,202.4% % % % 8. $ % %

94 INTERÉS SIMPLE 7..8 En Curso 2 estudiantes son introducidos a un interés simple, el interés se paga sólo sobre el importe inicial invertido. La fórmula para el interés simple es: I = Prt y el cantidad total incluyendo interés sería: A = P + I. Para más información, vea el recuadro de Apuntes de matemáticas en la Lección 7..8 del teto Core Connections en español, Curso 2. Ejemplo Wayne gana 5.3% de interés simple durante 5 años en $3000. Cuánto interés es lo que gana y cuál es la cantidad total de la cuenta? Ponga los números en la fórmula I = Prt. Cambie el porcentaje a un decimal. Multiplique. Añada principal e interés. I = 3000(5.3%)5 = 3000(0.053)5 = 795 Wayne ganaría $795 en intereses $ $795 = $3795 en la cuenta Problemas Resuelva los siguientes problemas.. Tong le prestó $50 a Jody por un mes. Le cobró 5% de interés simple para el mes. Cuánto dinero tiene Jody que pagarle a Tong? 2. Los abuelos de Jessica le dieron $2000 para la universidad para poner en una cuenta de ahorros hasta que ella empiece la universidad en cuatro años. Sus abuelos accedieron a pagarle un 7.5% de interés simple adicional en los $2000 por cada año. Cuánto dinero adicional tendrán que darle sus abuelos al final de cuatro años? 3. David leyó un anuncio ofreciendo % de interés simple en cuentas que tiene más que $500 por un mínimo de 5 años. Él tiene $500 y piensa que esto parece un buen negocio. Cuánto dinero se gana en los 5 años? 4. Los padres de Javier invirtieron una cantidad de dinero cuando él nació. Se ganaron 4.5% de interés simple sobre ese dinero cada año. Cuando Javier tenía 5 años, la cuenta tenía un total de $02.50 de interés pagado. Cuánto invirtieron los padres de Javier cuando nació? 5. Kristina recibió $25 para su cumpleaños. Sus padres le ofrecieron pagarle 3.5% de interés simple anual si ella los ahorrara por lo menos durante un año. Qué interés podría ganar Kristina?

95 Respuestas. I = 50(0.05) = $2.50; Jody pagó $ I = 2000(0.075)4 = $ I = $500(0.0875)5 = $ $02.50 = (0.045)5; = $ I = 25(0.035) = $4.38

96 REPRESENTACIONES GRAFICAS DE LOS DATOS AM de 7. Los estudiantes representan distribuciones de datos numéricos de una variable utilizando diagramas de puntos, diagramas de tallo y hoja, diagramas de caja e histogramas. Representan datos categóricos de una variable en gráficas de barras. Cada representación se comunica la información de una manera ligeramente diferente. DIAGRAMA DE TALLO Y HOJAS Un diagrama de tallo y hojas es una manera de mostrar los datos que muestra los valores individuales de un conjunto de datos y cómo se distribuyen los valores. La parte de tallo del diagrama representa todos los dígitos, ecepto el último. La parte de hoja del diagrama representa el último dígito de cada número. Lea más acerca de diagramas de tallo y hojas, y cómo se comparan con diagramas de puntos e histogramas, en el recuadro de Apuntes de matemáticas de las Lección 7.. del teto Core Connections en español, Curso 2. Ejemplo Haga un diagrama de tallo y hoja de este conjunto de datos: 34, 3, 37, 44, 38, 29, 34, 42, 43, 34, 52 y Ejemplo 2 Haga un diagrama de tallo y hoja de este conjunto de datos: 392, 382, 380, 392, 378, 375, 395, 377 y Problemas Haga un diagrama de tallo y hoja de cada conjunto de datos.. 29, 28, 34, 30, 33, 26, 8 y , 34, 27, 25, 9, 3, 42 y , 89, 79, 84, 95, 79, 89, 67, 82, 76, 92, 89, 8 y , 04, 0,, 00, 07, 3, 8, 3, 0, 08, 09, 05, 03 y 9. Respuestas

97 NOMENCLATURA DE CUADRILÁTEROS Y ÁNGULOS Un cuadrilátero es cualquier polígono de cuatro lados. Hay seis casos especiales de cuadriláteros con la que los estudiantes deben estar familiarizados. Trapecio Un cuadrilátero con por lo menos un par de lados paralelos. Paralelogramo Un cuadrilátero con ambos pares de lados opuestos paralelos. Rectángulo Un cuadrilátero con cuatro ángulos rectos. Rombo Un cuadrilátero con cuatro lados de igual longitud. Cuadrado Un cuadrilátero con cuatro ángulos rectos y cuatro lados de igual longitud. Deltoide Un cuadrilátero con dos pares distintos de lados consecutivos de igual longitud. Los nombres de los ángulos básicos Ángulos agudos son ángulos con medidas entre (pero sin incluir) 0º y 90º, ángulos rectos miden 90º y los ángulos obtusos miden entre (pero sin incluir) 90º y 80º. Un ángulo llano mide 80º º 80 agudo recto obtuso llano Los estudiantes utilizan transportadores para medir el tamaño de los ángulos. Para más información, vea el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección 8.3. del teto Core Connections en español, Curso 2.

98 Ejemplo Para la figura de la derecha, describa el cuadrilátero usando todos los términos que sean apropiados. Es un rectángulo ya que tiene cuatro ángulos rectos. Es un paralelogramo ya que tiene dos pares de lados paralelos. También es un trapecio ya que tiene al menos un par de lados paralelos. Ejemplo 2 Describa el ángulo de la derecha como recto, obtuso o agudo. Estime el tamaño del ángulo y luego use un transportador para medir el ángulo. Puede ser necesaria trazar el ángulo y etender los lados. Este ángulo se abre más estrecho que un ángulo recto por lo que es agudo. El uso de un transportador muestra que el ángulo mide 60º. Problemas Para cada figura, describa el cuadrilátero usando todos los términos que sean apropiados. Supongamos que los lados que parecen paralelos son paralelos

99 Describa los ángulos a continuación como recto, obtuso o agudo. Estime el tamaño del ángulo y luego use un transportador para medir el ángulo Respuestas. paralelogramo, trapecio 4. rectángulo, paralelogramo, trapecio 2. rombo, paralelogramo, trapecio 5. cuadrado, rombo, rectángulo, paralelogramo, trapecio 3. trapecio 6. no es un cuadrilátero 7. agudo, 25º 8. obtuso, 0º 9. obtuso, 53º 0. recto, 90º. agudo, 80º 2. agudo, 82º

100 RELACIONES ENTRE PARES DE ÁNGULOS Propiedades de los pares de ángulos Líneas que se cruzan forman cuatro ángulos. Los pares de ángulos el uno enfrente del otro se denominan ángulos opuestos por el vértice. Las medidas de los ángulos opuestos por el vértice son iguales. w z y y y son opuestos por el vértice w y z son opuestos por el vértice Si la suma de las medidas de dos ángulos es eactamente 80º, entonces los ángulos se denominan ángulos suplementarios. c d c = 0º d = 70º c y d son suplementarios Si la suma de las medidas de dos ángulos es eactamente 90º, entonces los ángulos se denominan ángulos complementarios. a b a = 30º b = 60º a y b son complementarios Los ángulos que comparten un vértice y un lado pero que no tienen puntos interiores comunes (es decir, no se solapan entre sí) se llaman ángulos adyacentes. m n m y n son adyacentes Para más información vea el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección del teto Core Connections en español, Curso 2.

101 Ejemplo Encuentre la medida de los ángulos que faltan si m 3 = 50º. Ejemplo 2 Clasifique cada par de ángulos a continuación como opuestos por el vértice, suplementario, complementario o adyacente m = m 3 (ángulos opuestos por el vértice) m = 50º 2 y 3 (ángulos suplementarios) m 2 = 80º 50º = 30º m 2 = m 4 (ángulos opuestos por el vértice) m 4 = 30º a. y 2 son adyacentes y suplementarios b. 2 y 3 son complementarios c. 3 y 5 son adyacentes d. y 4 son adyacentes y suplementarios e. 2 y 4 son opuestos por el vértice Problemas Calcule la medida de cada ángulo marcado con una variable a 80º b 35º d c e 75º f 40º 20º g i 40º h m 40º n p j l k 40º Respuestas. m a = 00º 2. m b = 55º 3. m c = 05º m d = 75º m e = 05º 4. m f = 50º 5. m g = 60º m h = 50º m i = 70º 6. m j = 75º m k = 65º m l = 40º m m = 40º m n = 05º m p = 05º

102 CÍRCULOS CIRCUNFERENCIA Y ÁREA 9.. y 9..2 ÁREA DE UN CÍRCULO En clase, los estudiantes han hecho eploraciones con círculos y objetos circulares para descubrir la relación entre la circunferencia, diámetro y pi (π). Para leer más acerca de la eploración de área en su clase, vea problemas 9-22 a 9-26 (especialmente 9-26) en el teto Core Connections en español, Curso 2. Con el fin de encontrar el área de un círculo, los estudiantes tienen que identificar el radio del círculo. El radio es la mitad del diámetro. A continuación van a obtener el cuadrado del radio y multiplicar por π. Dependiendo de la preferencia del maestro o del teto, los estudiantes pueden usar 22 7 para π cuando el radio o el diámetro es una fracción, 3.4 para π como una aproimación, o el botón π en una calculadora. Cuando se utiliza el botón π, la mayoría de los maestros quieren que los estudiantes redondeen a la décima o la centésima más cercana. La fórmula para el área de un círculo es: A = r 2 π. Ejemplo Encuentre el área de un círculo con r = 7 pies. A = (7) 2 π = (7 7) (3.4) = pies cuadrados Ejemplo 2 Encuentre el área de un círculo con d = 84 cm. r = 42 cm A = (42) 2 π = (42 42) (3.4) = centímetros cuadrados Problemas Encuentre el área de los círculos con las siguientes longitudes, radios o diámetros. Utiliza 3.4 para el valor de π. Redondee a la centésima más cercana.. r = 6 cm 2. r = 3.2 pulgadas 3. d = 6 pies 4. r = 2 m 5. d = 4 5 cm 6. r = 5 pulgadas 7. r = 3.6 cm 8. r = 2 4 plg 9. d = 4.5 pies 0. r = 2.02 m Respuestas cm plg pies m cm plg cm o 5.90 plg pies m 2

103 CIRCUNFERENCIA El radio de un círculo es un segmento de recta desde su centro a cualquier punto en el círculo. El término también se utiliza para la longitud de estos segmentos. Una cuerda de un círculo es un segmento de recta que une dos puntos cualesquiera de un círculo. Un diámetro de un círculo es una cuerda que pasa por su centro. El término también se utiliza para la longitud de estas cuerdas. La longitud de un diámetro es dos veces la longitud de un radio. La circunferencia de un círculo es similar al perímetro de un polígono. La circunferencia es la longitud de un círculo. La circunferencia le diría cuánto cordel se necesitaría para ir alrededor de un círculo una sola vez. diámetro radio cuerda Circunferencia se eplora mediante la investigación de la razón de la circunferencia a el diámetro de un círculo. Esta razón es un número constante, pi (π). Circunferencia se encuentra multiplicando π por el diámetro. Los estudiantes pueden usar 22 7, 3.4 o el botón π en su calculadora, según las instrucciones del maestro o del libro. C = 2πr o C = πd Para más información vea los recuadros de Apuntes matemáticas de las Lecciones y 9..2 del teto Core Connections en español, Curso 2. Ejemplo Halle la circunferencia de un círculo con un diámetro de 5 pulgadas. d = 5 pulgadas C = πd = π(5) o 3.4(5) = 5.7 pulgadas Ejemplo 2 Halle la circunferencia de un círculo con un radio de 0 unidades. r = 0, así d = 2(0) = 20 C = 3.4(20) = 62.8 unidades Ejemplo 3 Halle el diámetro de un círculo con una circunferencia de pulgadas. C = πd = πd = 3.4d d = = 52 pulgadas

104 Problemas Halle la circunferencia de cada círculo dado los siguientes longitudes de radios o diámetros. Redondee su respuesta a la centésima más cercana.. d = 2 plg 2. d = 3.4 cm 3. r = 2. pies 4. d = 25 m 5. r =.54 mi Halle la circunferencia de cada círculo mostrado a continuación. Redondee su respuesta a la centésima más cercana ' 0 cm Halle el diámetro de cada círculo según la circunferencia. Redondee su respuesta a la décima más cercana. 8. C = yardas 9. C = 35.6 pies 0. C = mm Respuestas pulgadas cm pies m mi pies cm yardas 9..3 pies mm

105 ÁREA DE POLÍGONOS Y FIGURAS COMPLEJAS 9..3 El área es el número de unidades cuadradas no superpuestas necesarios para cubrir la región interior de una figura bidimensional o el área de superficie de una figura tridimensional. Por ejemplo, el área es la región que está cubierta por azulejos del piso (bidimensional) o pintura en una caja o un balón (tridimensional). Para más información acerca de las formas específicas, consulte los siguientes recuadros. Para más información general, vea el recuadro de Apuntes de matemáticas en la Lección..2 del teto Core Connections en español, Curso 2. Para más ejemplos y práctica vea los materiales del Punto de comprobación en Core Connections en español, Curso 2. ÁREA DE UN RECTÁNGULO Para hallar el área de un rectángulo, siga los siguientes pasos.. Identifique la base. 2. Identifique la altura. 3. Multiplique la base por la altura para encontrar el área en unidades cuadradas: A = bh. Un cuadrado es un rectángulo en el que la base y la altura son de igual longitud. Halle el área de un cuadrado multiplicando la base por la misma base: A = b 2. Ejemplo 4 32 unidades cuadradas 8 base = 8 unidades altura = 4 units A = 8 4 = 32 unidades cuadradadas

106 Problemas Halle las áreas de los rectángulos (figuras -8) y los cuadrados (figuras 9-2) a continuación mi 4 mi 5 cm 7 plg 8 m 6 cm 3 plg 2 m millas 2 millas 3 unidades 6.8 cm 8.7 unidades 3.5 cm millas 2.2 millas 8.6 pies 8 cm 2.2 cm.5 pies Respuestas. 8 millas cm pulgadas m 2 5. millas pies cm millas cm cm pies pies 2

107 ÁREA DE UN PARALELOGRAMO Un paralelogramo se cambia fácilmente a un rectángulo mediante la separación de un triángulo a partir de un etremo del paralelogramo y moviéndolo hasta el otro etremo como se muestra en las tres figuras siguientes. altura base altura base base base paralelogramo mover el triángulo rectángulo Paso Paso 2 Paso 3 Para hallar el área de un paralelogramo, multiplique la base por la altura como lo hizo con el rectángulo: A = bh. base base altura Ejemplo 9 cm 6 cm base = 9 cm altura = 6 cm A = 9 6 = 54 cm cuadrados Problemas Halle el área de cada paralelogramo a continuación pies 8 cm 8 pies 0 cm cm 7.5 plg 3 cm 2 plg cm 8.4 cm 4 m m.2 pies 5 pies.3 cm 5.7 cm

108 Respuestas. 48 pies cm m cm plg pies cm cm 2 ÁREA DE UN TRAPECIO Un trapecio es otra forma que se puede transformar en un paralelogramo. Cambie un trapecio en un paralelogramo siguiendo los tres pasos siguientes. tapa (t) tapa (t) base (b) tapa (t) base (b) altura base (b) altura base (b) Trapecio duplique el trapecio y gire ponga los dos trapecios juntos para formar un paralelogramo Paso Paso 2 Paso 3 Para encontrar el área de un trapecio, multiplique la base del paralelogramo grande en el Paso 3 (base y tapa) por la altura y luego tome la mitad del total del área. Recuerde sumar las longitudes de la base y la tapa del trapecio antes de multiplicar por la altura. Tenga en cuenta que algunos tetos llaman la longitud superior la base superior y la base la base inferior. A = 2 tapa (t) (b + t)h o A = b+t 2 h Para más información vea el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección 6.. del teto Core Connections en español, Curso. altura altura base (b) tapa (t) altura Ejemplo 8 plg 2 plg 4 plg tapa = 8 pulgadas base = 2 pulgadas altura = 4 pulgadas A = = = 0 4 = 40 pulgadas2

109 Problemas Halle las áreas de los trapecios a continuación cm 0 plg cm 5 cm 8 plg 5 plg cm 8 cm 5 cm cm 7 plg 5 plg 0 plg 8 m 2 pies 4 pies 5 pies m 8 m 8.4 cm 4 cm 3 cm 0.5 cm 6.5 cm Respuestas. 4 cm pulgadas pies cm pulgadas m cm cm 2

110 ÁREA DE UN TRIÁNGULO El área de un triángulo es igual a la mitad del área de un paralelogramo. Este hecho puede demostrarse fácilmente mediante la división de un paralelogramo en el medio a lo largo de una diagonal (ver más abajo). altura base paralelogramo Paso base altura dibuje una diagonal Paso 2 Empareje triángulos cortanto o doblando Paso 3 Mientras empareje los triángulos cortanto el paralelogramo o plegando a lo largo de la diagonal, el resultado es de dos triángulos congruentes (del mismo tamaño y forma). Por lo tanto, el área de un triángulo tiene la mitad del area del paralelogramo que puede ser creado de dos copias del triángulo. Para hallar el área de un triángulo, siga los pasos a continuación.. Identifique la base. 2. Identifique la altura. 3. Multiplique la base por la altura. 4. Divida el producto de la base por la altura por 2: A = bh 2 o 2 bh altura base altura base Ejemplo Ejemplo 2 base = 6 cm altura = 8 cm A = = 28 2 = 64 cm2 8 cm base = 7 cm altura = 4 cm A = = cm 6 cm 7 cm = 4 cm2

111 Problemas cm 2 pies 8 cm 4 pies plg 5 pies 6 cm.5 m 3 cm 7 plg cm 2 cm 7 pies 7 pies 5 m 2.5 pies Respuestas. 24 cm pies cm pulgadas pies m cm pies 2

112 CALCULAR ÁREAS COMPLEJAS UTILIZANDO SUBPROBLEMAS Los estudiantes pueden utilizar su conocimiento de las áreas de los polígonos para encontrar el área de figuras más complicadas. El uso de subproblemas (es decir, la resolución de problemas más pequeños con el fin de resolver un problema más grande) es una manera de hallar las áreas de figuras complicadas. Ejemplo 9" Halle el área de la figura a la derecha. 8" 4" " Método # Método #2 Método #3 9" 9" 9" 8" A " B 4" 8" A B " 4" 8" " 4" Subproblemas:. Halle el área del rectángulo A: 8 9 = 72 pulgadas 2 2. Halle el área del rectángulo B: 4 ( 9) = 4 2 = 8 pulgadas 2 3. Sume el área del rectángulo A al área del rectángulo B: = 80 pulgadas 2 Subproblemas:. Halle el área del rectángulo A: 9 (8 4) = 9 4 = 36 pulgadas 2 2. Halle el área del rectángulo B: 4 = 44 pulgadas 2 3. Sume el área del rectángulo A al área del rectángulo B: = 80 pulgadas 2 Subproblemas:. Haga un gran rectángulo encerrando la esquina superior derecha. 2. Halle el área del nuevo rectángulo más grande: 8 = 88 pulgadas 2 3. Halle el área del rectángulo sombreado: (8 4) ( 9) = 4 2 = 8 pulgadas 2 4. Reste el área del rectángulo sombreado del área del rectángulo más grande: 88 8 = 80 pulgadas 2

113 Ejemplo 2 Halle el área de la figura de la derecha. 0 cm 6 cm 0 cm Subproblemas: 8 cm 8 cm 6 cm 0 cm. Haga un rectángulo de la figura encerrando la parte superior. 2. Halle el área de todo el rectángulo: 8 0 = 80 cm cuadrados 3. Halle el área del triángulo sombreado. Utilice la fórmula A = 2 bh. b = 8 y h = 0 6 = 4, así que A = 2 (8 4) = 32 2 = 6 cm cuadrados. 4. Reste el área del triángulo de la área del rectángulo: 80 6 = 64 cm cuadrados Problemas Halle las áreas de las figuras a continuación m 5" 0' 7' 6' 8 m m 9" 9" 20' 6 m 7" yds 8 m 2 yds 3 yds 0 m 5 m 8 m 5 m 0 yds 4 m 5 m cm 5 cm 3 cm 24 cm 2 cm 20' 7' 2' 22' 0 ' 8' 0 cm 2 cm 7 cm 6 cm 4 cm

114 0.. Halle el área de la región sombreada. 2 m 2. Halle el área de la región sombreada. 8 m 8 m 6 m 9" 7" 2" 2' 8' 4' 7' 5" Respuestas. 58 pies cuadrados metros cuadrados pulgadas cuadradas yardas cuadradas metros cuadrados metros cuadrados centímetros cuadrados pies cuadrados centímetros cuadrados metros cuadrados pulgadas cuadradas 2. 2 pies cuadrados

115 PRISMAS VOLUMEN Y ÁREA DE SUPERFICIE 9.2. a ÁREA DE SUPERFICIE DE UN PRISMA El área de superficie de un prisma es la suma de las áreas de todas las caras, incluyendo las bases. El área de superficie se epresa en unidades cuadradas. Para más información vea el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección del teto Core Connections en español, Curso 2. Ejemplo Encuentre el área de la superficie del prisma triangular a la derecha. 0 cm Paso : Área de las 2 bases: 2[ 2 (6 cm)(8 cm)] = 48 cm2 7 cm Paso 2: Área de las 3 caras laterales Área de cara : (6 cm)(7 cm) = 42 cm 2 Área de cara 2: (8 cm)(7 cm) = 56 cm 2 Área de cara 3: (0 cm)(7 cm) = 70 cm 2 6 cm 8 cm Paso 3: Área de superficie de prisma = suma de las bases y las caras laterales: AS = 48 cm cm cm cm 2 = 26 cm 2

116 Problemas Calcule el área de superficie de cada prisma mm 5' 2' 9 mm 8 mm 0 cm 5' 4 cm 4 cm El pentágono es equilátero cm 0 cm 52 pies 2 6 pies 8 cm 6 cm 6 cm 8 pies 0 cm 6 cm 6 cm 2 cm Respuestas. 34 mm cm pies cm pies cm 2

117 VOLUMEN DE UN PRISMA El volumen es un concepto tridimensional. Mide la cantidad de espacio interior de una figura tridimensional basado en una unidad cúbica, es decir, el número de por por cubos que caben dentro de una figura. El volumen de un prisma es el área de cualquier base (B) multiplicado por la altura (h) del prisma. V = (Área de la base) (altura) o V = Bh Para más información, vea el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección del teto Core Connections en español, Curso 2. Ejemplo Halle el volumen del prisma cuadrado a continuación Ejemplo 2 Halle el volumen del prisma triangular a continuación La base es un cuadrado con área (B) = 8 8 = 64 unidades 2. Volumen = B(h) = 64(5) = 320 unidades 3 La base es un triángulo rectángulo con área (B) = 2 (5)(7) = 7.5 unidades2. Volumen = B(h) = 7.5(9) = 57.5 unidades 3 Ejemplo 3 Halle el volumen del prisma trapezoidal a continuación. 7 Ejemplo 4 Halle la altura del prisma con un volumen de 32.5 cm 3 y área de base de 25 cm Volumen = B(h) 32.5 = 25(h) h = h = 5.3 cm La base es un trapecio con área 2 (7 + 5) 8 = 88 unidades 2. Volumen = B(h) = 88(0) = 880 un 3

118 Problemas Calcule el volumen de cada prisma. La base de cada figura está sombreada.. Prisma rectangular 2. Prisma triangular recto 3. Prisma rectangular 5 plg 6 cm 6 plg 4 pies 8 cm 3 pies pie 7 cm 8.5 plg 4. Prisma triangular recto 5. Prisma trapezoidal 6. Prisma triangular con B = 5 2 cm2 7.2 cm 4.5 cm 0' 6' 4 cm 6' 8' 5 cm 2 8 cm 7. Halle el volumen de un prisma con área de base de 32 cm 2 y altura de.5 cm. 8. Halle la altura de un prisma con área de base de 32 cm 2 y volumen de 76 cm Halle el área de base de un prisma con volumen de 47.0 cm 3 y altura de 3.2 cm. Respuestas. 2 pies cm plg cm pies cm cm cm cm 2