Robots Paralelos Utilizando las Ecuaciones de Gibbs-Appell

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1 Infomación Tcnológica inámica Vol. 8(4), icta d (27) Robots Paallos Utilizando las Ecuacions d Gibbs-Appll inámica icta d Robots Paallos Utilizando las Ecuacions d Gibbs-Appll Migul A., Sbastián E. Povnzano, May J. Vgaa y Rubén. Chacón Univsidad d Los Ands, Escula d Ingniía Mcánica, Gupo d isño y Modlado d Máuinas, Núclo la Hchica, Méida 5-Vnzula (-mail: dmigul@ula.v, ps@ula.v, vmay@ula.v, dchacon@ula.v) Rsumn En st tabajo s popon una fomulación sistmática u pmit solv l poblma dinámico dicto d obot paallos, constituidos po slabons ígidos y juntas idals, mdiant l uso d las cuacions d Gibbs-Appll xplícitas, popustas po Udwadia y Kabala. La mtodología pmit tansfoma la solución dl poblma dinámico d un sistma mcánico stingido, a la solución d un sistma confomado po cadnas abitas, lo cual pmit hac uso d algoitmos ficints basados n las cuacions d Gibbs-Appll. La validación d la mtodología s aliza a tavés d dos jmplos numéicos. Palabas clavs: sistmas multicupo, obot paallos, cuacions Gibbs-Appll, dinámica dicta Fowad ynamic Poblm of Paalll Robot by Using Gibbs-Appll Euations Abstact In this wo th us of fficint opn chain algoithms basd on Gibbs-Appll uations is xtndd fo solving th fowad dynamics poblm of paalll obots. This xtnsion is caid out by dvloping a mthodology basd on th Explicit Gibbs-Appll dynamic uation of motion. Th mthodology allows tansfoming th solution of th dynamic poblm cosponding to a stictd mchanical systm to th solution of a systm fomd by opn chains that pmit using th fficint algoithms basd on th Gibbs-Appll uations. Th mthodology was validatd using two numical xampls. Kywods: multibody systms, paalll obots, Gibbs-Appll uations, fowad dynamic Infomación Tcnológica Vol. 8 Nº

2 inámica icta d Robots Paallos Utilizando las Ecuacions d Gibbs-Appll INTROUCCION La dinámica dicta d sistmas multicupo abaca l studio d las fuzas aplicadas sistmas mcánicos y su spusta cinmática n l timpo. En los últimos años, uno d los sistmas multicupo u ha cibido mayo atnción po pat d los invstigados n l áa, son los obots paallos (RP). Los RP consistn d una platafoma móvil unida a tavés d vaias cadnas cinmáticas a una platafoma fija. Los RP son muy utilizados n la actualidad sob todo n citas aplicacions industials, dond s uido intactua con gands cagas. Est tipo d sistmas psnta vntajas impotants spcto a otos sistmas multicupo, po su mayo igidz y lación d tamaño d sus componnts, lo cual l pmit una mayo lación tamaño-caga d tabajo. Estudios d la lación tabajo-caga y vntajas compaativas n las distintas aplicacions industials pudn consultas n Mlt (2). La pincipal dsvntaja d los RP adica n u su configuación n lazo cado sting l moviminto dl sistma, lo cual dificulta la obtnción sistmática d las cuacions u dfinn su compotaminto dinámico. Los tabajos sob RP s han nfocado pincipalmnt a la solución dl poblma cinmático y lativamnt pocos tabajos s nfocan n la dinámica d RP (Tsai, 2). Al igual u n los sistmas d cadnas abitas, divsos pincipios d la dinámica han sido mplados po los invstigados paa halla las cuacions u modlan l compotaminto dinámico d los RP. Es así, po jmplo, como o y Yang (988) y asgupta y Muthyunjaya (998), utilizaon las cuacions d Nwton-Eul; Lbl t al. (993) y Mill y Clavl (992), las d Lagang-Eul; y Wang y Gosslin (998), Tsai (2) y Gi y Mcph (23) l Pincipio d los Tabajos Vituals. Las cuacions obtnidas mplando los pincipios d la dinámica ants mncionados, conllvan a la solución pincipalmnt d dos tipos d modlos. El pimo d llos s tata d un sistma aumntado, n l cual las cuacions d sticción, dbido a la configuación cada dl RP, son incluidas a tavés d los Multiplicados d Lagang (Haug, 989). En st caso l modlo uda dfinido po un sistma algbaico difncial (AE), dond l númo d cuacions vin dado po l númo d coodnadas gnalizadas utilizadas y l númo d cuacions d sticción. En la obtnción d dicho sistma d cuacions, u confoma l modlo dl sistma, pudn s mplados algoitmos cusivos ficints, dsaollados oiginalmnt paa cadnas abitas. Sin mbago, s bin sabido u la solución d un sistma AE s laboiosa, dsd l punto d vista numéico, psntándos la posibilidad d incumpli con las sticcions cinmáticas. El sgundo tipo d modlo matmático u s podía confoma, consist n un sistma ducido, dond las cuacions d moviminto stán constituidas po un númo d cuacions odinaias, igual a los gados d libtad dl sistma (GL). Aunu st pocdiminto psnta la vntaja d obtn un númo mínimo d cuacions y u adicionalmnt las cuacions obtnidas son cuacions difncials odinaias, ésta mtodología dificulta la utilización d algoitmos cusivos u pmitan dtmina sistmáticamnt l modlo. Adicionalmnt, obliga a la constucción d un modlo difnt paa cada RP, hacindo aún más complicada su obtnción. Udwadia y Kabala (996), patindo d la foma clásica d las cuacions d Gibbs-Appll (G-A) y l pincipio d mínima acción, poponn las cuacions d Gibbs-Appll Explícitas (GAE), las cuals psntan como vntaja pincipal, u l modlo dinámico stá confomado po cuacions difncials odinaias. Admás pmitn u su obtnción puda s alizada d foma sistmática, mplando inclusiv algoitmos cusivos. Una visión d la litatua dl áa musta u las GAE no han sido utilizadas n la solución dl poblma dinámico dicto (P) d RP, po tal motivo, n l psnt tabajo s planta dicho nfou. En la siguint scción s dscibn las cuacions GAE y lugo l algoitmo popusto. Po ultimo, s dsaollan dos jmplos numéicos y s psntan las conclusions. ECUACIONES GIBBS-APPELL EXPLÍCITAS El fundamnto d las cuacions d GAE, s sustnta n la tansfomación d un sistma stingido d n+m cuacions difncials (n s l númo d coodnadas gnalizadas y m l d cuacions d sticción) n un sistma d n cuacions difncials odinaias. El sistma d n+m cuacions s obtin al spaa l sistma mcánico stingido paa obtn un conjunto d vaias ca- 76 Infomación Tcnológica Vol. 8 Nº 4-27

3 inámica icta d Robots Paallos Utilizando las Ecuacions d Gibbs-Appll dnas abitas. sta foma s obtinn un númo d n cuacions u dfinn l modlo dinámico d las cadnas abitas. & = γ () sindo, i & =, & = y i ii & i γ γ = γ i (2) ond s la matiz d masas y s agupa n vaias submatics: una asociada a las coodnadas indpndints ii, una cospondint a las coodnadas dpndints y una asociada a las coodnadas dpndints indpndints i. El vcto dnota las coodnadas gnalizadas y γ s l vcto u contin los téminos d las fuzas cntifugas, Coiolis, gavdad y xtnas (τ ).Al sistma d cuacions psntado n la xpsión () s ncsaio adiciona las m cuacions d sticción: Φ (3) [ Φ ] & = b i Sindo b l vcto u contin téminos dpndints d las vlocidads gnalizadas, y Φ l jacobiano d sticcions cinmáticas. Aplicando l pincipio d mínima acción d Gauss al sistma constituido po las cuacions () y (3), s obtin las cuacions GAE: Φ Φ i & T T T = ii + X X ix X i & i b T T + γ i X γ ( X i ) Φ b (4) Φ Φ i dond X =. Una d las pincipals azons dl uso no xtndido d las cuacions GAE adica n la dificultad paa la obtnción, d mana sistmática, d las submatics indpndint y dpndint d la matiz d masas. En st sntido, n la siguint scción s popon una mtodología paa la solución d la dinámica d RP. RESOLUCIÓN EL PROBLEMA INAMICO El pim paso n la solución d la dinámica dicta d un RP consist n spaa, las cuacions u modlan al obot, n los pas cinmáticos u unn la platafoma móvil. sta foma s obtin un sistma confomado po tantas cadnas abitas como pinas psnt l obot. La dinámica d cada pina s dtmina mdiant la siguint xpsión. [ ] [ & ] = γ (5) n n n nx El subíndic idntifica l númo d cadnas abitas y n l númo d baas asociadas a la pina. Si l RP consta d pinas, la dinámica dicta d las amas s obtin po spaado d la foma: [ ] [& ] n n = n (4) n γ Infomación Tcnológica Vol. 8 Nº

4 inámica icta d Robots Paallos Utilizando las Ecuacions d Gibbs-Appll [ ] m m [ & ] m = γ m [ ] [ & ] γ s s s = s Las matics d masas pudn s halladas utilizando algoitmos dsaollados paa solv l P. En st tabajo s mplan algoitmos basados n las cuacions d G-A (Mata t al. 22a). La spaación d la matiz d masas n las componnts dpndints indpndints dl RP pud s alizada d difnts manas. En st tabajo s aliza dicha spaación slccionando una coodnada indpndint po cada pina, tal y como s ilusta n las siguints xpsions: ii = i i i, i [ i n ] i,.. i i, +.. [.. i, i i n i ] +.., = = =.. i,.. i i +.. n,.. i.. i, i +.. n i +.. n, i +.. n (6) Lugo d obtn la matiz d masas d cada pina y spaalas sgún l pocdiminto xpusto, la matiz d masas global, cuación (), s dfin: ii i ii = i = ii O, i O, i i = = O i O (7) Los vctos γ s dtminan d mana ficint adcuando algoitmos u sulvn l poblma dinámico invso (PI), tal y como fu popusto po Wal y Oin (982). Est pocdiminto consist n anula, n l algoitmo PI, los téminos lacionados con las aclacions n los nudos. En st tabajo s mpla l algoitmo dsaollado po Mata t al. (22b) paa solv l PI modificado. Los vctos γ, γ i, s obtinn d foma simpl al slcciona dictamnt las filas asociadas a las coodnadas indpndints. Paa complta l modlo dinámico d RP, s ncsaio inclui la lación nt las coodnadas dpndints. Esto s llva s llva a cabo divando dos vcs spcto al timpo las cuacions cinmáticas d sticción. Φ (, t ) = Φ & = Φ t Φ & = Φ tt ( Φ & ) & 2Φ & ) t (7) (8) (9) Los subíndics t y, indican difnciación spcto al timpo y a las coodnadas gnalizadas spctivamnt. Las cuacions d sticción n l caso dl RP modlan las sticcions n los pas cinmáticos sccionados. El sistma d cuacions (7), s dtmina d foma xplícita siguindo los pocdimintos xpustos n Haug (989). El jacobiano d sticcions Φ s obtin utilizando hamintas d álgba computacional dl pogama Mapl. El jacobiano s spaado indicando las columnas cospondints a las coodnadas dpndints indpndints, tal y co- 78 Infomación Tcnológica Vol. 8 Nº 4-27

5 inámica icta d Robots Paallos Utilizando las Ecuacions d Gibbs-Appll mo s obsva n la cuación (). Paa su solución numéica las cuacions antios s codifican n l pogama Matlab. i [ Φ i Φi ] [ Φ ] T.. i, i +.. n..... i, i + n Φ =... Φ = Φ.. EJEMPLOS NUMÉRICOS Ejmplo Numéico. En st jmplo, Fig., s analiza l dsmpño dinámico dl RP d GL somtido a un pa vaiabl actuando sob la baa. (8) Fig. : Robot paallo d GL Los datos u dfinn l pa vaiabl a tavés dl timpo, s dtminó dsaollando una utina u sulv l PI utilizando l Pincipio d los Tabajos Vituals. S obtinn datos dl pa aplicado a la baa cuando l RP s conducido cinmáticamnt po una vlocidad angula constant d ad/sg. El timpo d simulación s d 2.5 sgundos. La configuación inicial dl RP s: θ =.785 ad, θ 2 =.323 ad y θ 3 =-.892 ad. ω = ad/s. Las dimnsions d las baas: L = m, L 2 =3 m, L 3 =7/4 m y L 4 =3 m, sindo L 4 la longitud d la baa fija al maco d fncia. Las masas: m = g, m 2 =2 g, m 3 =.5 g y los momntos spcto al cnto d gavdad dl cupo, I = gm 2, I 2 = 2 gm 2 y I 3 =.5 gm 2. A pati d los datos inicials y las popidads d masa, la cuación (4) s sulta mdiant un código implmntado n l ambint Matlab/Mapl. El código dtmina l valo d las aclacions y éstas s intgan paa obtn las vlocidads y posicions angulas indpndints. Las vlocidads y posicions dpndints s obtinn lugo a pati d las vlocidads y posicions indpndints. El sistma d cuacions difncials odinaias s sulto mdiant la función d Matlab od3, la cual s basa n l algoitmo d Adams-Bashfoth-Moulton. El algoitmo s d tipo multipaso adaptativo. Paa dtmina la tolancia adcuada dl intgado, s alizaon simulacions paa distintos valos, ncontando u a pati d tolancias d intgación d -6 s obtuvion sultados similas. En la Fig. 2 s musta la vaiación dl ángulo d la baa spcto al timpo. 4 3 (ad 2,,5,,5 2, 2,5 timpo (sg) T-V G-A Infomación Tcnológica Vol. 8 Nº

6 inámica icta d Robots Paallos Utilizando las Ecuacions d Gibbs-Appll Fig. 2: Posición Angula Eslabón S apcia n la Fig. 2 u l compotaminto dl ángulo s linal y ascndnt, n concodancia con la condición cinmática bajo la cual fu obtnida l pa aplicado (vlocidad angula constant). S valúa igualmnt la difncia nt las configuacions d ntada al PI y los sultados obtnidos dl pocdiminto popusto, los cuals son similas duant l intvalo d intgación. Ejmplo Numéico 2. En st jmplo s studió l compotaminto dinámico d una RP d 3 GL (Khan t al., 25). El sistma stá constituido po una bas móvil unida po mdio d ts cadnas abitas al maco d fncia. Los actuados (motos) dl sistma s ncuntan ubicados n l pim slabón d cada cadna. El vcto gavdad s ppndicula al plano d moviminto d la RP. La spaación dl RP conllva a la obtnción d un total d 3 cadnas abitas n las cuals una d las cadnas sta fomada, adicionalmnt a los dos slabons, po l slabón asociado a la coodnada 3 mostada n la Fig. 3. En st jmplo s valúa l compotaminto dinámico dl RP bajo la acción d pas constants, sindo sus valos: =. Nm, 4 =. Nm y 6 = -. Nm. Las posicions inicials son: θ =.47ad, θ 2 =-.865ad, θ 3 =.6ad, θ 4 =2.75ad, θ 5 =-.424 ad, θ 6 =.679 ad y θ 7 =-2.78 ad. La vlocidad inicial dl sistma s nula. Las dimnsions d las baas L,4,5 =.4 m, L 2,5,7 =.6 m y L 3 =.4 m. Las masas d las baas s m,4,6 =3. g, m 2,5,7 =4. g, m 3 =8. g y momntos d Incia I,4,6 =.4 g m 2, I 2,5,7 =.2 g m 2 y I 3 =.87 g m 2. Fig. 3: Robot paallo d 3 GL La Fig. 4 musta la compaación sultants d simula l sistma mcánico n l pogama Woing Modl 2 (WM). S apcia n las figuas (4) y (5) u los sultados aojados son similas duant l intvalo d simulación. Con l objto d valua l timpo d jcución dl algoitmo popusto, s sulv l P utilizando las cuacions d G-A incluyndo las cuacions d sticción mdiant los multiplicados d Lagang (Tabla ). El sistma AE fu sulto mdiant la utina od23t d Matlab, comndado paa st tipo d sistmas. Los sultados obtnidos d ambos pocdimintos fuon idénticos paa l intvalo d simulación, aunu s pud obsva u paa l pocdiminto basado n las GAE, l timpo d cómputo s mno. Tabla : Evaluación dl timpo d cómputo # d valuac. función timpo d intgación (sg) G-A aumntado Infomación Tcnológica Vol. 8 Nº 4-27

7 inámica icta d Robots Paallos Utilizando las Ecuacions d Gibbs-Appll G-A xplicitas (ad) timpo (sg) W-M G-A Fig. 4: Rsultados GAE vs WM CONCLUSIONES En st tabajo las cuacions GAE, plantadas po Udwadia y Kabala (996), fuon mpladas paa la solución dl poblma dinámico dicto d RP. S popuso un pocdiminto sistmático u pmit obtn las difnts matics y vctos u las componn d una mana sistmática mplando pocdimintos ficints u sulvn los poblmas dinámicos d cadnas abitas. Los sultados dl algoitmo fuon vificados mdiant la solución d dos jmplos numéicos. Mdiant un jmplo d compaación nt las GAE y l pocdiminto basado n multiplicados d Lagang s dmostó u l pimo aoja sultados pcisos n mno timpo. AGRAECIMIENTOS Los autos d st tabajo agadcn al CCHT po la colaboación y financiaminto otogados a st tabajo dsignado bajo l código: I A REFERENCIAS asgupta B. y T.S. Muthyunjaya; Closd Fom ynamic uations of th Gnal Stwat Platfom though th Nwton-Eul Appoach, Mchanisms and Machin Thoy, 33(8), (998). o W. Q. y.c Yang; Invs ynamic Analysis and Simulation of a Platfom Typ of Robot, Jounal of Robotic Systms, 53(5), (988). Gi, T. y J. McPh; Invs dynamic Analysis of Paalll Manipulatos with Full mobility, Mchanism and Machin Thoy, 38, (23). Haug E., Comput Aidd Kinmatics and ynamics of Mchanical Systm, Allyn and Bacon, USA (989). Khan W. A., V.N. Kovi, S.K. Saha y J. Angls; Modula and Rcusiv Kinmatics and ynamics fo Paalll Manipulatos. Jounal of Multibody Systm ynamics, 4, (25). Lbt G., K. Liu y F.L. Lwis; ynamic Analysis and Contol of a Stwat Platfom Manipulato, Jounal Robotics Systms, (5), (993). Infomación Tcnológica Vol. 8 Nº

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