TEMA 6 MAGNETISMO EN LA MATERIA

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1 Física II TEMA 6.- MAGNETISMO EN LA MATERIA \ 1 TEMA 6 MAGNETISMO EN LA MATERIA 1. Dipolos agnéticos atóicos. Vcto agntización Considos un lctón d caga oviéndos con una vlocidad v n óbita cicula d adio alddo dl núclo (sto s un odlo atóico con uchos dfctos inhnts; no obstant, las pdiccions agnéticas qu s dducn d él son acods con la toía cocta d la Mcánica Cuántica). Si T s l píodo d la óbita, T = π v y, si considaos al lctón n su óbita, la cantidad d caga qu n un sgundo pasa po un punto d la isa, s dci, la intnsidad d coint, s: I v = = T π [6.1] El lctón, n su óbita cicula alddo dl núclo, s copota coo una spia d coint d intnsidad dada po la cuación [6.1]. El onto dipola agnético d dicha spia sá, sgún hos visto n un ta antio π π 1 M = IS = ISu v S = us = v us [6.] y l onto angula dl lctón n su óbita sá: L = v u dond s la asa n poso dl lctón y l signo s db a qu, al s ngativa la caga dl lctón, los vctos L y u S son opustos (Figua 1). Dspjando v u S d la cuación [6.3] y sustituyndo n la cuación [6.]: M = L [6.4] Figua 1 La cuación [6.4] nos dic qu l onto dipola agnético dl lctón s dictant popocional a su onto angula (st sultado concuda plnant con l análisis gnal d la Mcánica Cuántica paa l onto angula obital). En los átoos polilctónicos, los ontos agnéticos d los lctons tindn a apaas n una foa tal qu s anulan nt sí: po llo, sólo los lctons qu no s apaan contibuyn al onto agnético nto. Ota contibución al onto agnético atóico s l spín dl lctón, qu s una popidad intínsca dl iso coo la asa o la caga. Clásicant, l lctón podía visualizas coo una sfa cagada qu, adás d gia alddo dl núclo, gia alddo d su j (sta dscipción clásica no db toas S [6.3] Aguia Gacía, J; Dlgado Cabllo, J. (11). Física II Bajo licncia Cativ Coons Attibution-Non-Cocial-ShaAlik 3.

2 Física II TEMA 6.- MAGNETISMO EN LA MATERIA \ litalnt: la popidad d oviinto d otación o spín sólo pud xplicas y copnds diant un odlo cuántico). Est oviinto otatoio poduc un cicuito fctivo d coint y, po lo tanto, un onto agnético (dl iso odn d agnitud qu l dbido al oviinto obital). En los átoos polilctónicos, los lctons s apaan con sus spins opustos nt sí, con lo qu s contastan los spctivos ontos agnéticos dbidos a la otación. Sin bago, los átoos qu tinn un núo ipa d lctons, tndán, al nos, un lctón dsapaado y, po lo tanto, l cospondint onto agnético d otación, llaado onto agnético d spín, o agntón d Böh y val M S = M S 4 9,7 1 A (o J T ) [6.5] Finalnt, l núclo dl átoo tabién pud tn onto agnético. Sin bago, su contibución al onto agnético nto s il vcs infio a la contibución lctónica y llo s db a qu l potón, tnindo l iso onto angula qu l lctón, tin una asa 18 vcs supio. Así pus, cada coint atóica poduc un onto agnético atóico, M S. En una sustancia no agntizada, los dipolos agnéticos s ointan alatoiant (Figua a). Cuando s aplica un capo agnético xtno B, los dipolos tindn a ointas po sí isos n la dicción dl capo aplicado (Figua b), con lo qu la usta adqui un onto agnético nto n la dicción dl capo. El stado agnético d un atial s dscib diant l vcto agntización M, dfinido coo l onto agnético po unidad d volun, sindo su dicción y sntido l dl onto agnético d la usta. si M s l onto dipola agnético d un lnto d volun )h, l vcto agntización asociado a s volun s M = M ϑ [6.6a] Dado qu, n alidad, los dipolos agnéticos contnidos n distintos lntos d volun pudn tn alinacions difnts, l vcto agntización pud vaia d un punto a oto d la usta, con lo qu la agntización db s l líit d la xpsión [6.6a]: M dm li = [6.6b] d M = ϑ ϑ ϑ En las discusions a lo lago dl ta, supondos qu usta, po lo qu usaos la cuación [6.6a]. M Figua s constant n todos los puntos d la Es convnint dscibi la agntización n téinos d una coint supficial fctiva, coint qu ha d s quivalnt a la d todos los dipolos atóicos individuals. Si n una configuación d dipolos dnto d un volun )h todos llos s ointan n la isa dicción, todas las coints cicuitals ciculan n l iso sntido (Figua 3a) y, po tanto, sus ontos agnéticos tinn la isa dicción y l iso sntido. Pusto qu las coints individuals s anulan nt sí n los líits intnos couns, s pudn sustitui las coints individuals po un coint supficial quivalnt (I ) llaada coint d agntización (algunas Aguia Gacía, J; Dlgado Cabllo, J. (11). Física II Bajo licncia Cativ Coons Attibution-Non-Cocial-ShaAlik 3.

3 Física II TEMA 6.- MAGNETISMO EN LA MATERIA \ 3 vcs llaada coint apiana). Así pus, los fctos agnéticos d una sustancia pudn psntas po una coint fctiva qu cicund la usta (Figua 3b). Si un volun lntal d la usta tin una scción cta d áa S y longitud R, su onto dipola agnético sá M = IS, con lo qu su agntización s, sgún la cuación [6.6a] M IS I M = = = [6.7] ϑ S l l La cuación [6.7] nos indica qu la agntización s id, n l Sista Intnacional, n Apios po to (A/). Figua 3: (a) Scción tansvsal d una sustancia agntizada, d foa qu todas las coints atóicas ciculan n la isa dicción. (b) Las coints atóicas individuals pudn sustituis po una coint cicundant I. El vcto intnsidad d capo agnético Un disño xpintal típico paa di las popidads agnéticas d la atia consta d bobina tooidal (paa qu no haya bods) con un aollainto scundaio conctado a un galvanóto (con objto d di l flujo agnético a tavés d la scción dl tooid), conocido coo anillo d Rowland. S hac pasa una coint I po la bobina tooidal cuando su núclo s vacío y s id l flujo. Dspués, s coloca coo núclo una sustancia agnética (hio, po jplo) y s vulv a di l flujo: la copaación nt abas didas pit obtn las popidads agnéticas d la sustancia. En un ta antio obtuvios l capo agnético cado po una bobina tooidal d núclo vacío: B µ N I I c = = µ π Cuando s pit la dida usando coo núclo una sustancia agnética, xistn dos contibucions a la inducción agnética n l intio dl núclo: una poducida po la coint al qu cicula po l dvanado y ota poducida po las coints intnas (dipolos ointados) n l atial agnético. Esta últia contibución s µ M ( M tin las dinsions d una inducción dividida po µ ). En conscuncia, l capo agnético total n l núclo agnético s: Si los vctos B y M B = B + µ M [6.8] tinn l iso sntido ( B = B + µ M ) la sustancia s paaagnética o foagnética (l capo aunta). Si son d sntido opusto ( B < B ) la sustancia s diaagnética. Dfinios l vcto intnsidad d capo agnético o xcitación agnética d la siguint foa: B H = M [6.9] µ l ( H ) Aguia Gacía, J; Dlgado Cabllo, J. (11). Física II Bajo licncia Cativ Coons Attibution-Non-Cocial-ShaAlik 3.

4 Física II TEMA 6.- MAGNETISMO EN LA MATERIA \ 4 con lo qu l capo total n la sustancia agnética s: B = µ H + µ M [6.1] Copaando la cuación [6.1] con la cuación [6.8] llgaos a la conclusión d qu la intnsidad d capo s popocional al capo agnético oiginal: B = µ H [6.11] µ NI En l caso d la bobina tooidal qu contábaos ants, po jplo, coo B = la intnsidad π d capo agnético, n ódulo, sá H B N I µ π = = La cuación [6.1] nos indica las dos contibucions al capo agnético total qu contábaos ants: µ H (dbida a la coint xtna) y µ M (dbida a los ontos agnéticos d la sustancia agntizada). La agnitud H, al igual qu M, s id n A/ n l Sista Intnacional. 3. Suscptibilidad y pabilidad agnéticas En una gan vaidad d sustancias isótopas (una sustancia s isótopa cuando sus popidads no dpndn d la dicción qu s consid) y, spcíficant, n las sustancias paaagnéticas y diaagnéticas (d las qu hablaos n l siguint pígaf), s vifica qu la agntización ( M ) s popocional a la intnsidad d capo ( H ). Paa stas sustancias isótopas y linals, pud scibis M = χ H [6.1] dond la constant d popocionalidad P, qu s adinsional, cib l nob d suscptibilidad agnética d la sustancia. Es d dstaca qu la antio lación linal no s vifica paa las sustancias foagnéticas (d las qu tabién hablaos n l siguint pígaf), y qu s positiva paa las sustancias paaagnéticas (ya habíaos contado qu n llas M y B, y po tanto, M y H an vctos dl iso sntido) y ngativa paa las sustancias diaagnéticas ( M y B, o lo qu s lo iso, M y H d sntidos opustos). Sustituyndo la cuación [6.1] n la [6.1] 1 B = µ [6.13] H + M = µ H + χ H = µ + χ H ( ) A la constant µ + χ s la dnoina pabilidad agnética d la sustancia (µ) 1 con lo qu + χ = µ µ s la pabilidad agnética lativa (µ ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) µ 1 [6.14] + χ µ con lo qu la cuación [6.13] s scib µ = 1 + χ [6.15] Aguia Gacía, J; Dlgado Cabllo, J. (11). Física II Bajo licncia Cativ Coons Attibution-Non-Cocial-ShaAlik 3.

5 Física II TEMA 6.- MAGNETISMO EN LA MATERIA \ 5 B = µ µ H = µ H [6.16] 4. Fnónos agnéticos n la atia D acudo con su copotainto agnético, las sustancias s clasifican n: a) Diaagnéticas: Vifican la cuación [6.1], sindo ngativa su suscptibilidad agnética, po lo qu su pabilidad agnética s no qu la dl vacío. b) Paaagnéticas: Vifican la cuación [6.1], sindo positiva su suscptibilidad agnética, po lo qu su pabilidad agnética s ayo qu la dl vacío. c) Foagnéticas: No vifican la cuación [6.1] (ya qu M no vaía linalnt con H sino qu P dpnd dl valo qu to H ), y su pabilidad agnética s uy supio a la dl vacío (l hio, po jplo, s un atial típicant foagnético, sindo su pabilidad agnética lativa apoxiadant igual a 5) Diaagntiso Cuando s aplica un capo agnético xtno a una sustancia diaagnética (l bisuto, po jplo), los ontos agnéticos qu s inducn s alinan conta dicho capo y, po tanto, la agntización s opusta al iso (azón po la cual P <). S obsva, adás, qu al coloca una sustancia diaagnética n las ccanías d un polo cualquia d un ián potnt, s plido po él. Aunqu l fcto dl diaagntiso stá psnt n toda la atia, su intnsidad s uy débil, azón po la qu sólo pud obsvas n sustancias cuyos átoos no posan ontos agnéticos pannts. Es posibl capta una ida cualitativa dl diaagntiso si aplicaos la ly d Lnz al oviinto obital d los lctons atóicos. Considos dos lctons n óbitas ciculas con vlocidads opustas (Figua 4a): pusto qu sus ontos agnéticos son opustos, l onto agnético s nulo (n ausncia d un capo xtno). Si aplicaos un capo agnético B ppndicula al plano d las óbitas (Figua 4b), la ly d Lnz stablc qu s inducián n abos cicuitos coints d sntido tal qu s Figua 4 oponn al cabio d flujo: l cabio n las coints (y, po tanto, los cospondints cabios n los ontos agnéticos) ocun coo Aguia Gacía, J; Dlgado Cabllo, J. (11). Física II Bajo licncia Cativ Coons Attibution-Non-Cocial-ShaAlik 3.

6 Física II TEMA 6.- MAGNETISMO EN LA MATERIA \ 6 sultado d un cabio n la vlocidad d los lctons (suponindo constant l adio d la óbita). Pusto qu n l jplo qu analizaos l capo xtno pnta n l papl (Figua 4b), l cabio n l onto agnético d cada caga saldá dl papl (oponiéndos al capo aplicado) y, conscuntnt, los ontos agnéticos d los lctons djan d s iguals n ódulo y ya no s anulan. Calculaos l cabio poducido n l onto agnético calculando, n pi luga, l cabio qu l capo agnético xtno povoca n cada lctón. En ausncia d dicho capo, la única fuza qu actúa sob cada lctón s la d atacción léctica qu l núclo jc sob él. Po tanto, v F = Tas aplica l capo agnético, cada lctón xpinta una fuza agnética igual a v B, po lo qu dicha fuza agnética contibuy a la fuza nta qu actúa sob l lctón. Po la contibución s difnt paa cada lctón dbido a qu gian n sntidos opustos: intas qu aunta la fuza cntípta n l lctón qu s uv n sntido hoaio, la disinuy n l qu s uv n sntido antihoaio (sip pnsando qu l sntido d B s pntando n l papl). Pusto qu v y B son ppndiculas, l ódulo d la fuza agnética s vb y, po tanto, la dscipción dináica dl oviinto sá: ± = v F v B (l signo + paa l lctón hoaio y l signo! paa l antihoaio). Dspjando, v v ± = = = = = + v B F F v v v v v v B ± v B v v v = ± 1 1 B 1 B M = v = = 4 ( ) ( )( ) Si l cabio d vlocidad s pquño copaado con la vlocidad oiginal (s dci, si v s dl odn d v ), ntoncs v+v o.v, con lo qu la antio xpsión qudaía: Es dci, l lctón antihoaio s dcla ()v<) y l hoaio s acla ()v>). Sin bago, l cabio d onto agnético tin l iso sntido n abos lctons. En fcto, sgún la cuación [6.4], M tndá sntido opusto a L. Paa l lctón antihoaio, su onto angula (ants y dspués d aplica l capo B ) sal dl papl po, coo disinuy d vlocidad, su onto angula final s no qu l inicial y, n conscuncia, L pnta n l papl (y, po tanto, M sal dl papl). Paa l lctón hoaio, su onto angula (ants y dspués) pnta n l papl po, coo aunta d vlocidad, su onto angula final s ayo qu l inicial, con lo qu L pnta n l papl (y, po tanto, M sal dl iso). Sgún la cuación [6.], l ódulo d M sá: Aguia Gacía, J; Dlgado Cabllo, J. (11). Física II Bajo licncia Cativ Coons Attibution-Non-Cocial-ShaAlik 3.

7 Física II TEMA 6.- MAGNETISMO EN LA MATERIA \ 7 y l cabio total dl onto agnético (s dci, l cabio d onto agnético d los dos lctons) qu s l onto agnético sultant: 1 B M = M = [6.17] Paa un átoo típico ( = 1!1 8 ) sotido a un capo xtno d 5 T, M 7 1 A y st valo s 1. vcs ás pquño qu l onto agnético asociado al spín d un lctón lib (llaado agntón d Böh). Tabién podos valua la suscptibilidad agnética d la sustancia. En fcto, si disponos d una usta n la qu xistan n átoos po unidad d volun, si cada átoo xpinta un cabio n su onto agnético coo l qu da la cuación [6.17] (coo conscuncia d la aplicación d un capo agnético xtno), ntoncs la agntización d la usta sá n M y la suscptibilidad: χ M n M µ n = = = H B µ [6.18] Coo jplo, paa un adio d la óbita d 1!1 y una dnsidad atóica dl atial d 5A1 8!3 6 obtnos una suscptibilidad agnética 8,8 1. χ 4. Paaagntiso Las sustancias paaagnéticas tinn una suscptibilidad agnética positiva po uy pquña (<P <<1), dbindo sta popidad a la psncia d átoos (o ions) con onto dipola agnético pannt. Estos dipolos intaccionan uy débilnt nt sí y s ointan alatoiant n ausncia d un capo agnético xtno. En psncia d dicho capo, los dipolos tindn a ointas con él, po l oviinto téico (sponsabl d la ointación al aza n ausncia d capo) dificulta dicha alinación: l gado d alinación, s dci, la agntización nta, s popocional al capo xtno aplicado invsant popocional a la tpatua absoluta d la sustancia. Considos una usta paaagnética con n átoos po unidad d volun, cada uno d los cuals tin un onto agnético M. Si todos los dipolos stuvian alinados, la usta tndía una agntización nta igual a n M (llaada agntización d satuación, M S ). Supongaos qu, n psncia d un capo xtno, un dipolo pud ointas n l sntido dl capo o n l opusto. Si s alina n l sntido dl capo, su ngía potncial ( U = M B) s ínia y valdá MB. Si s alina conta l capo, su ngía potncial s áxia y val +MB. Po tanto, la difncia d ngía potncial nt las dos posibls ointacions s MB. Coo, sgún l pincipio d quipatición d la ngía, la ngía dia dl átoo s (k s la constant d Boltzann), una copaación nt las dos ngías popociona l xcso 3 kt faccionaio d átoos con ontos agnéticos alinados con l capo. Si llaaos f a dicho xcso faccionaio, f sulta s (aunqu no lo dducios) B f = M 3kT [6.19] Aguia Gacía, J; Dlgado Cabllo, J. (11). Física II Bajo licncia Cativ Coons Attibution-Non-Cocial-ShaAlik 3.

8 Física II TEMA 6.- MAGNETISMO EN LA MATERIA \ 8 La cuación [6.19] nos indica qu al aunta la tpatua disinuy l xcso faccionaio d átoos con ontos agnéticos ointados n l sntido dl capo. Pusto qu ahoa no todos los átoos stán alinados, la agntización d la sustancia sá M M M = f nm = = C = C 3kT 3k T n B n B [6.] La cuación [6.] s conoc coo ly d Cui, n hono d su dscubido Pi Cui ( ). Asiiso, la constant C cib l nob d constant d Cui. Dicha ly nos indica qu si B =, ntoncs M = (ointación alatoia d los dipolos). Con capos uy intnsos o tpatuas uy bajas, la agntización s apoxia a la d satuación ( M S = nm). En la figua 5 s psntan valos d M fnt a B/T paa l alub d coo y potasio (CK(SO 4 ) A1 H O), n l qu la spci paaagnética s l ión C +3. Figua 5 La agntización d satuación (igual paa sta usta a 3 agntons d Böh po ión), s alcanza a tpatuas uy bajas. El hcho d qu valga 3 agntons d Böh/ión s db a qu l C +3 tin ts lctons otatoios dsapaados. Obsvaos, asiiso, qu la sustancia obdc a la ly d Cui (linalidad d M fnt a B/T) sólo paa valos uy bajos d B/T Foagntiso. Ciclo d histésis Las sustancias foagnéticas coo l hio, l cobalto y l níqul, posn ontos agnéticos atóicos qu s alinan paallant unos a otos con facilidad n psncia d un capo xtno, incluso si s débil, psistindo la agntización cuando liinaos l capo xtno. Esta alinación pannt s db a un fut acoplainto nt ontos agnéticos ccanos, únicant xplicabls con los pincipios d la cánica cuántica: las fuzas d acoplainto, d caáct lctostático, s dnoinan fuzas d intcabio. Figua 6: Magntización d un foagnto n función d la tpatua (con B = T) A tpatuas suficintnt altas, la ngía téica contasta l acoplainto agnético, xistindo una tpatua cítica, dnoinada tpatua d Cui, a la qu la sustancia foagnética pid su agntización spontána y s convit n paaagnética (la tpatua d Cui dl hio, po jplo, s d 143 K). La figua 6 usta la cuva caactística d la agntización d un foagnto fnt a la tpatua absoluta, n ausncia d capo xtno. En contast con las sustancias paaagnéticas y diaagnéticas, la agntización d las sustancias foagnéticas no s una función linal dl capo aplicado y llo s db a qu la suscptibilidad d los foagntos cabia sgún la foa n qu vaía l capo xtno aplicado. Aguia Gacía, J; Dlgado Cabllo, J. (11). Física II Bajo licncia Cativ Coons Attibution-Non-Cocial-ShaAlik 3.

9 Física II TEMA 6.- MAGNETISMO EN LA MATERIA \ 9 En l intio d cualqui sustancia foagnética xistn pquñas gions disctas, llaadas doinios agnéticos, n las cuals stán alinados todos los ontos agnéticos, vaiando su taaño nt 1 µ y 1. En una sustancia no agntizada, los doinios stán ointados al aza (Figua 7a). Cuando s aplica un capo agnético xtno, los ontos agnéticos d cada doinio tindn a alinas con l capo, lo qu da luga a una agntización Figua 7 nta n la dicción dl capo, ya qu ccn los doinios n los qu la agntización tin alguna coponnt n la dicción dl capo y disinuy l taaño d los doinios no alinados (Figua 7b). La figua 8 usta l ciclo d histésis d una sustancia foagnética: s la psntación gáfica d la agntización fnt a la intnsidad d capo aplicada. Si la usta stá inicialnt dsagntizada (M=), un aunto d H haá qu aunt la agntización n foa no linal, hasta alcanza la agntización d satuación (M S ): n s punto, todos los dipolos stán alinados con H y no s obtin incnto d la agntización al sgui auntando H. Si ducios ahoa la intnsidad d capo, la agntización tabién s duc, po no po l iso caino; po llo, cuando l capo xtno s hac co, la agntización no s nula sino qu val Figua 8 M (agntización annt). Dicha agntización annt s db a la alinación pannt d un considabl núo d dipolos atóicos. Si invtios l sntido dl capo aplicado y auntaos su intnsidad, la agntización s anula paa un valo paticula d H, llaado capo cocitivo (H C ). Paa valos aún ás ngativos d H, la agntización invit su sntido hasta alcanza la agntización d satuación. Si vaos disinuyndo l ódulo d la intnsidad d capo hasta anulalo, volvá a quda una agntización annt (d sntido opusto al antio). Si volvos a aunta l capo n l sntido positivo, dsapacá la agntización cuando l capo sa igual al cocitivo y, si sguios auntando, volvos al punto P d satuación. Pusto qu las sustancias foagnéticas pudn "oiza" dos agntizacions annts d distinto signo (sgún sa l capo aplicado), son lntos idals paa cicuitos d oia. Con fcuncia, l fcto d histésis s psnta n una gáfica d B fnt a H (B d la sustancia; H xtna) coo los psntados n la figua 9. La figua 9a psnta l ciclo d histésis d un atial foagnético duo: s caactizan po un capo annt intnso y un capo cocitivo tabién intnso y, po llo, no s fácilnt dsagntizabl (los foagntos duos s usan paa constui ian pannts). La figua 9b usta l ciclo d histésis d un Figua 9 atial foagnético blando o suav: l ciclo d histésis s stcho y l capo annt y l cocitivo Aguia Gacía, J; Dlgado Cabllo, J. (11). Física II Bajo licncia Cativ Coons Attibution-Non-Cocial-ShaAlik 3.

10 Física II TEMA 6.- MAGNETISMO EN LA MATERIA \ 1 son débils. Po llo, son sustancias qu s agntizan y dsagntizan con facilidad. La psntación dl ciclo d histésis usando B n luga d M tin una utilidad adicional: l áa ncada po la cuva psnta la ngía agnética po unidad d volun disipada n la usta duant l pocso d agntización. Cuando l pocso d agntización s pit, los pocsos disipativos dnto d la usta dan po sultado una tansfoación d la ngía agnética n ngía téica intna, con lo qu aunta la tpatua d la sustancia. Po sta azón, los dispositivos qu stán xpustos a capos agnéticos altnos (n los qu la sustancia s iana y dsiana altnativant), coo los tansfoados s constuyn con núclos foagnéticos blandos ya qu, al s stcho su ciclo d histésis, tinn una pédida d ngía pquña n cada ciclo Fitas Las fitas son sustancias qu tinn popidads siilas a los foagntos: s agntizan spontánant y psntan ciclo d histésis coo l d los foagntos "suavs". En l stado odnado, una fita consta d dos tipos d dipolos, d difnts ontos agnéticos, qu son antipaallos (Figua 1), lo qu povoca una agntización nta. Las fitas, coo los foagntos, tabién s dsodnan po ncia d una tpatua cítica, llaada tpatua d Nl, y s convitn n paaagnéticas. Una fita típica s l óxido foso-féico (F Figua 1 3 O 4 ): contin dos ions féicos (F +3 ) po cada ión foso (F + ) y un onto agnético nto dbido al ión foso, sindo su tpatua d Nl d 858/C. Al s atials agnéticos suavs d alta sistividad léctica y pabilidad agnética tabién uy lvada, son sustancias apopiadas paa dispositivos lctónicos d alta fcuncia y paa las oias agnéticas d los odnados. Aguia Gacía, J; Dlgado Cabllo, J. (11). Física II Bajo licncia Cativ Coons Attibution-Non-Cocial-ShaAlik 3.