Caracterización de la regla de colisión de Huygens-Newton mediante una cantidad vectorial invariante Galileo

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1 ENSEÑANZA Revista Mexicana de Física E 58 (01) DICIEMBRE 01 Caracterización de la regla de colisión de Huygens-Newton ediante una cantidad vectorial invariante Galileo S. Díaz-Solórzano a,c y L.A. González-Díaz b a Departaento de Física, Universidad Sión Bolívar, Sartenejas, Edo. Miranda 89000, Venezuela. b Centro de Física IVIC. 187, Caracas 100A, Venezuela. c Centro de Investigaciones de Mateática y Física, Departaento de Mateáticas y Física, Instituto Pedagógico de Caracas, UPEL, Av. Páez, Caracas 101, Venezuela, e-ail: srafael@ipc.upel.edu.ve, lgonzale@ivic.gob.ve Recibido el 1 de agosto de 011; aceptado el 9 de ayo de 01 Haciendo uso de una cantidad vectorial, la cual denoinaos vector de colisión A(ɛ), replanteaos la regla de colisión de Huygens- Newton. El vector de colisión contiene inforación sobre el proceso de interacción y de la dispersión de las partículas, adeás de ser invariante y covariante Galileo. En térinos del vector de colisión, queda explícito el sentido geoétrico y energético de la regla de colisión de Huygens-Newton. Descriptores: Colisión inelástica; regla de colisión; vector de colisión. We restate the collision rule Huygens - Newton in ters of a vector quantity we call the collision vector A(ɛ). The collision vector is invariant and covariant Galileo. It contains inforation about the process of interaction and scattering of the particles. The geoetric and energetic sense of the collision rule Huygens-Newton in ters of the collision vector is shown. Keywords: Inelastic collision; collision rule; collision vector. PACS: b; 45.0df; 45.0dh; Tn 1. Introducción El trataiento clásico de colisiones se encuentra noralente discutido en los textos básicos de física 1, donde se le presta ayor atención a las colisiones elásticas e inelásticas en una y dos diensiones, dejando a un lado el análisis de colisiones en situaciones interedias, las cuales denoinareos colisiones sei-elásticas. En tales situaciones resulta uy útil el uso de la regla de colisión de Huygens-Newton, la cual toa en cuenta el balance energético y la transferencia de oento lineal durante la colisión. La regla en cuestión es poco considerada en los textos básicos de física. Algunos autores,6 la eplean en situaciones unidiensionales; otros 4,5,7 la usan para analizar las colisiones seielásticas bidiensionales. En estas situaciones se hace uso de coordenadas para descoponer las cantidades vectoriales involucradas en el proceso de colisión. Aunque este enfoque es utilizado tabién en colisiones elásticas, es posible encontrar en la literatura 6,8,9 otros enfoques que no hacen uso de tal descoposición. Dicha regla puede ser reforulada en térinos de la cantidad vectorial A(ɛ), que denoinareos vector de colisión, la cual contiene inforación referente al proceso de interacción y al de dispersión de las partículas después del choque. El vector de colisión, adeás de ser explícitaente invariante y covariante Galileo, tiene la ventaja de que facilita el cálculo de las velocidades después de la colisión. En tal sentido, planteaos una caracterización alternativa para las colisiones sei-elásticas haciendo uso del vector A(ɛ), la cual no requiere de la descoposición en coordenadas para la obtención de las velocidades después de la colisión. Este artículo se encuentra organizado de la siguiente anera: En la Sec. se plantea la regla de colisión de Huygens-Newton en térinos del vector de colisión A(ɛ); en la Sec. 3 se replantea el problea de la colisión entre dos partículas o cuerpos en térinos del vector A(ɛ), probando a su vez que dicho vector es proporcional al vector de colisión para un choque elástico, encontrado por Díaz y González en Ref. 6. Adicionalente, se obtiene la cantidad Q en térinos del vector de colisión y de otras cantidades que son invariantes Galileanas. Finalente, en la Sec. 4, se presentan algunos ejeplos acadéicos que ilustran la utilidad didáctica de esta caracterización alternativa de las colisiones.. Regla de colisión de Huygens-Newton y el vector de colisión A(ɛ) Durante el proceso de colisión entre dos cuerpos, cuyas superficies están en contacto, surge una interacción ediada por una fuerza ipulsiva N, la cual resulta interna al sistea físico conforado por abos cuerpos, así la reacción N actuará sobre uno de los cuerpos. Esta fuerza puede ser considerada noral a las superficies de contacto cuando los cuerpos no sufren deforación después de la colisión, de anera que la orientación de la fuerza ipulsiva peranece inalterada durante el proceso de colisión; esto se conoce con el nobre de colisión rígida 10. En esta situación la intensidad de la interacción durante el proceso de colisión (la nora del vector N) auenta rápidaente desde el instante de tiepo t 1, cuando inicia el contacto, hasta alcanzar un valor áxio en un tiepo t c posterior a t 1. En el instante

2 100 S. DÍAZ-SOLÓRZANO Y L.A. GONZÁLEZ-DÍAZ t c, los cuerpos se ueven con igual velocidad v y coienza el proceso de restitución. A partir del instante de tiepo t c, la nora del vector N coienza a disinuir hasta que los cuerpos se separan por copleto en el instante t, posterior a t c. El proceso dado en el intervalo de tiepo t t c se ve interrupido para el caso de una colisión copletaente inelástica, donde abos cuerpos se ueven con la isa velocidad después de dicha colisión. En cabio, en una colisión copletaente elástica se da el proceso de restitución sin perdida de la energía cinética del sistea conforado por abos cuerpos. El caso interedio surge cuando la fuerza N y su reacción realizan un trabajo que no se copensa entre si durante el intervalo de tiepo t t 1 ientras ocurre el contacto; anifestándose la perdida de energía cinética en fora de calor o sonido. Sean 1 y las asas de los cuerpos que colisionan entre sí, los cuales adquieren velocidades V 1 y V, respectivaente, en el instante t 1. Los ipulsos de cada cuerpo durante el lapso de tiepo t c t 1 vienen dados por I 10 = t c t c I 0 = t 1 N(t)dt = 1 ( v V 1 ) (1a) t 1 N(t)dt = ( v V ), (1b) respectivaente. Siendo v la velocidad adquirida por abos cuerpos en el instante t c. De las expresiones ostradas en (1) observaos que I 0 = I 10. Usando esta igualdad se obtiene que la cantidad v corresponde a la velocidad del centro de asa del sistea en el instante t c, con dicha correspondencia se logra eliinar la velocidad v en (1a), obteniéndose la siguiente expresión I 10 = µ( V V 1 ) donde µ = 1 def. () 1 + Sean U 1 y U las velocidades de los cuerpos de asa 1 y, respectivaente, en el instante t. Procediendo de anera siilar para obtener el ipulso del cuerpo de asa 1 durante el lapso de tiepo t t c, se tiene que I 1f = µ( U U 1 ). (3) Cuando la dirección de la fuerza de contacto N peranece inalterada durante la colisión, resulta claro que la dirección de los ipulsos de cada cuerpo a lo largo de N peranece constante. Por tal razón, la transferencia de oento lineal sobre la dirección de la fuerza de contacto se preserva en una colisión rígida, lo cual conduce a que la proyección del ipulso durante el proceso de la deforación ( I 10 ) en la dirección de N sea antiparalela a la proyección del ipulso durante el proceso de restitución ( I 1f ) en la dirección de la fuerza de contacto N; es decir, I 1f n = ɛ I 10 n (4) donde, en una colisión rígida, el versor asociado a la interacción viene dado por Sustituyendo () y (3) en (4) se llega a N(t) n = def N(t). (5) ( U U 1 ) n = ɛ( V V 1 ) n. (6) La constante de proporcionalidad ɛ en (4) es considerada positiva y recibe el nobre de coeficiente de restitución, algunas veces es llaada coeficiente de elasticidad. Éste depende de las propiedades del aterial que coponen los cuerpos colisionantes, de sus asas, foras y velocidades relativas 10,11. La expresión (6) recibe el nobre de regla de colisión de Huygens-Newton 3-5,10. Esta regla puede ser reforulada en térinos de una cantidad vectorial que denoinareos vector de colisión, y será denotada coo A(ɛ). En tal sentido, (6) puede ser escrita coo def A(ɛ) n = 0 con A(ɛ) = U 1 U + ɛ( V 1 V ). (7) Dicho vector es invariante y covariante Galileo, debido a que éste se construye a partir de la cobinación lineal de la diferencia entre las velocidades de los cuerpos antes y después de la colisión. Siendo los coeficientes de esta cobinación lineal ɛ y la unidad, respectivaente. Adeás, se exige que el coeficiente de restitución sea un escalar ante el grupo de Galileo, tal coo ocurre con las asas de los cuerpos. Esto puede verse al considerar un arco de referencia K que se ueve respecto al sistea laboratorio K con velocidad V, de anera que las velocidades de los cuerpos de asa 1 y antes y después de la colisión respecto al sistea K son, respectivaente, V 1 = V 1 V, (8a) V = V V, (8b) U 1 = U 1 V, U = U V. Al sustituir (8) en (7) se llega a la expresión A(ɛ) = U 1 U + ɛ( V 1 V ) A (ɛ ), (8c) (8d) cuya covarianza queda garantizada si ɛ = ɛ ; es decir, cuando el coeficiente de restitución transfore coo un escalar ante el grupo de Galileo. La colisión entre dos cuerpos puede clasificarse según la transferencia de energía cinética, la cual depende del valor que toe el coeficiente de restitución. Cuando ɛ = 1 se dice que la colisión es elástica, conservándose la energía cinética del sistea. Cuando ɛ = 0 la colisión es inelástica o plástica, en dicho caso la transferencia de energía cinética del sistea al entorno es áxia. Estos núeros corresponden a la cota superior e inferior del coeficiente de restitución, respectivaente. En una situación interedia, se tiene que 0 < ɛ < 1. Rev. Mex. Fis. E 58 (01)

3 CARACTERIZACIÓN DE LA REGLA DE COLISIÓN DE HUYGENS-NEWTON MEDIANTE UNA CANTIDAD VECTORIAL Regla de colisión para choques elásticos Al considerar la conservación de la energía cinética de dos cuerpos de asa 1 y antes y después de la colisión, se tiene que V 1 + V = U 1 + U, ( V1 U 1 ) ( V1 + U 1 ) = ( U V ) ( U + V ), (9) donde se ha definido la asa relativa coo = def / 1. El térino V 1 U 1 que aparece en (9) puede ser reeplazado por ( U V ), en virtud de la conservación del oento lineal, resultando ( U U ) 1 ne = ( V V ) 1 ne. (10) Donde el versor n e, asociado a la dirección de la interación en una colisión elástica, viene dado por n e = U V U V = p p = N(t) N(t) n, (11) el cual coincide con el versor indicado en (5). Para establecer la últia igualdad de (11) se ha considerado que N es la fuerza de contacto que actúa sobre el cuerpo de asa, y adicionalente la condición de choque rígido. Coparando (10) con (6) queda claro que el coeficiente de restitución para una colisión copletaente elástica es igual a la unidad... Regla de colisión para choques inelásticos o plásticos En una colisión inelástica o plástica los cuerpos que colisionan quedarán unidos después del choque, entendiéndose por ello que los cuerpos se ueven con la isa velocidad. En tal sentido, se cuple la condición U 1 = U, lo cual conduce a que (6) toe la siguiente fora tanto la conservación del oento lineal coo la conservación de la energía cinética. En cabio, para un choque inelástico el problea se centra en resolver únicaente la conservación del oento lineal, ya que después de la colisión todas las partículas se ueven con la isa velocidad. No obstante, para las colisiones sei-elásticas las velocidades son obtenidas al resolver de anera siultánea la conservación de la cantidad de oviiento y la regla de colisión de Huygens-Newton, esta últia puede ser sustituida por el vector de colisión. En tal sentido, el problea de hallar las velocidades después de una colisión entre dos cuerpos se resuelve partiendo del siguiente sistea de ecuaciones vectoriales { U1 + U = V 1 + V, U 1 U = A(ɛ) ɛ( V 1 V (13) ). La priera ecuación de (13) es justaente la conservación de la cantidad de oviiento, y la segunda corresponde a la definición del vector de colisión expresada en (7). Las velocidades que se obtienen de resolver (13) son U 1 = 1 ɛ V 1 + (1 + ɛ) 1 + V A(ɛ), 1 + (14a) U = ɛ V 1 + ɛ 1 + V A(ɛ). (14b) Por otra parte, la velocidad del centro de asa antes de la colisión viene dada por V CM = V V. (15) Con esta igualdad las expresiones ostradas en (14) pueden ser llevadas a la siguiente fora U 1 = (1 + ɛ) V CM ɛ V 1 + µ 1 A(ɛ), (16a) ɛ n ( V V 1 ) = 0. (1) U = (1 + ɛ) V CM ɛ V µ A(ɛ), (16b) La igualdad dada en (1) es válida para cualquier dirección n y velocidades V 1 y V que puedan tener los cuerpos antes de colisionar, concluyéndose que ɛ = 0. En otras palabras, la condición indicada en (1) establece que en una colisión inelástica la velocidad relativa V V 1 no es ortogonal a la dirección de la interacción asociada al contacto n. En esta situación, se observa que el vector de colisión para choque inelásticos o plásticos es idénticaente nulo; es decir, A(0) = Replanteando el problea de colisión El problea de colisión consiste en deterinar las velocidades de las partículas después de un choque, y con dicha inforación se puede obtener la energía cinética transferida debido al proceso de interacción durante la colisión. Para deterinar las velocidades de un choque elástico se requieren donde µ se encuentra definido en () y corresponde a la asa reducida del sistea forado por los dos cuerpos. Las expresiones indicadas en (16) exhiben claraente el carácter covariante, ya que al sustituir las transforaciones indicadas en (8), junto a la transforación de Galileo para la velocidad del centro de asa, V CM = V CM V en (16), se llega a la isa fora funcional que tiene (16) pero con las cantidades edidas en el arco de referencia K Construcción del vector de colisión para la condición de choques rígidos La fora concreta del vector de colisión A(ɛ) depende de la ley de interación entre los cuerpos y de la dispersión de los isos. Para deterinar dicho vector bajo la condición de choques rígidos, nos liitareos a la búsqueda de un potencial de calibre B consistente con la regla de colisión de Rev. Mex. Fis. E 58 (01)

4 10 S. DÍAZ-SOLÓRZANO Y L.A. GONZÁLEZ-DÍAZ Huygens-Newton (7), cuando el versor n se encuentra orientado a lo largo de la transferencia de oentu del cuerpo de asa ; es decir, dicho versor queda deterinado por la expresión (11). La construcción del vector A(ɛ) en térinos de B, copatible con (7), viene dada por la proyección del potencial de calibre sobre la dirección asociada a la interacción de contacto durante la colisión; esto es, A(ɛ) = 11 n n ( B) = B ( B n) n. (17) Donde n n corresponde al operador que proyecta en la dirección del versor n; es decir, n n( B) = n( n B). Y el síbolo 11 representa al operador identidad, el cual verifica la propiedad 11( B) = B. De anera que el térino contenido dentro del paréntesis de (17) es un operador que proyecta en la dirección perpendicular al versor n. Por otra parte, dicho versor puede ser reeplazado por el indicado en (11). Esto presupone que el contacto entre las superficies de los cuerpos que colisionan ocurra en un punto, y que la fuerza de interacción debido al contacto es perpendicular a dichas superficies. Por consiguiente, la regla de colisión (7) puede ser escrita de la siguiente anera Sustituyendo (14b) en (18), se obtiene A(ɛ) ( U V ) = 0. (18) A(ɛ) (ɛ + 1)( V 1 V ) A(ɛ) = 0. (19) Reeplazando, dentro del corchete de (19), al vector A(ɛ) dado en (17), y considerando la regla de colisión de Huygens-Newton (7), resulta A(ɛ) (ɛ + 1)( V 1 V ) B = 0. (0) La solución ás general de (0) es B = (ɛ + 1)( V 1 V ) + λ n, (1) siendo λ una constante arbitraria que llaareos calibre, de anera que el vector B es dependiente del calibre que se fije. La independencia del calibre λ para el vector de colisión se evidencia al sustituir (1) en (17), de lo que resulta A(ɛ) = (ɛ + 1) ( V 1 V ) ( V 1 V ) n n, () 3.. Conservación de la energía en choques rígidos La ley de conservación de la energía para una colisión entre dos cuerpos bajo la condición de choques rígidos se establece al agregar un térino energético que copense la energía liberada o absorbida por el sistea debida al proceso de interacción en la colisión. A dicho térino lo denotareos con la letra Q, así def K 0 = K f + Q Q = K 0 K f. (4) En otras palabras, la cantidad Q ide la transferencia de energía cinética absorbida o liberada por el sistea debido al proceso de colisión. Cuando Q es positivo (negativo) el choque es endoérgico (exoérgico) y a ayor Q ás inelástico será el choque. En una colisión sei-elástica e inelástica la energía cinética se transfora parcial o totalente, respectivaente, en energía interna; la cual es liberada (absorbida) por el sistea cuando el choque es endoérgico (exoérgico) 3,8. El objetivo de esta sección es calcular la cantidad (4) y deostrar que el tipo de colisiones tratadas en este trabajo son endoérgicas. Para ello se deterinará la energía cinética después de la colisión usando las expresiones indicadas en (14) ó (16), K f = 1 1 U U, = K 0 + µ ( A ɛ( V 1 V )) ( V 1 V ). (5) De anera que Q = µ ( V 1 V ) ( A(ɛ) ɛ( V 1 V )), (6) al sustituir () en (6) se llega al siguiente resultado Q = µ (1 ɛ ) V 1 V cos θ. (7) Siendo θ el ángulo forado entre los vectores V 1 V y n. el cual no depende del valor que se escoja para λ. La expresión (1) contiene todos los casos posible que resultan de resolver (0): (I) El vector de colisión es idénticaente nulo; es decir, A(ɛ) = 0, ɛ, lo cual ocurre en colisiones unidiensionales, así coo en una colisión inelástica o plástica, cuando ɛ = 0. En esta situación, se tiene que n = V 1 V V 1 V. (3) (II) El térino dentro del corchete en (0) se anula cuando se elige λ = 0 en (1). FIGURA 1. Construcción geoétrica del vector de colisión A 1 cuando θ e es descendente (izquierda) y cuando es ascendente (derecha). Rev. Mex. Fis. E 58 (01)

5 CARACTERIZACIÓN DE LA REGLA DE COLISIÓN DE HUYGENS-NEWTON MEDIANTE UNA CANTIDAD VECTORIAL Ejeplos que ilustran el análisis de colisiones ediante el vector A(ɛ) A continuación, resolveos, haciendo uso del vector de colisión, algunos probleas acadéicos que surgen de considerar colisiones bidiensionales entre dos partículas o discos rígidos. Para ello, conviene darle una interpretación geoétrica al vector de colisión (), para lo cual se requiere escribir dicho vector de la siguiente anera A(ɛ) = ɛ + 1 V V nψ ɛ + 1 A 1. (8) Siendo V = V 1 V la velocidad relativa de la partícula incidente. Adeás, el versor n ψ, que llaareos vector de incidencia de Landau 1, toa la siguiente fora concreta, def n ψ = ( V n) n V. (9) La descoposición dada en (8) perite escribir las velocidades (14) coo las presentadas por Landau y Lifshitz en Ref. 9, con la condición ɛ = 1. Por otra parte, el vector A 1 en la expresión (8), dado por el térino dentro del corchete de dicha expresión, corresponde al vector de colisión para choques elásticos. En tal sentido, todos los choques seielásticos pueden ser estudiados a partir de la construcción del vector de colisión A 1 para choques elásticos, construcción que analizaos en la Ref. 6. El vector de colisión para choques elásticos A 1 en (8) puede interpretarse geoétricaente forando una circunferencia de radio V, tal coo se uestra en la Fig. 1. El ángulo del versor n ψ respecto a la dirección de incidencia es denotado por ψ, encontrándose en el seiplano inferior (superior) si la partícula es dispersada por encia (debajo) de la dirección de incidencia. Los ángulos que foran el vector de colision dado en (7) y el versor n dado en (11), respecto a la direccion de incidencia, los denotareos por θ A y θ, respectivaente. Es claro que abos vectores son perpendiculares entre si, tal coo lo indica la regla de colisión de Huygens-Newton (7). Esta construcción perite conocer la dirección y la nora del vector de colisión elástica A 1. De hecho, a partir de la Fig. 1 se tiene que los ángulos internos del triángulo isósceles inscrito en la circunferencia guardan la siguiente relación ψ = π θ A. (30) De la condición de ortogonalidad (7), entre el vector de colisión A(ɛ) y el versor n, se tiene que Con esta construcción geoétrica se logra deterinar la dirección del versor de incidencia de Landau n ψ y el vector de colisión para choques elásticos A 1. Por otra parte, de la Fig. 1 se observa que el ángulo entre el vector V = V 1 V y el versor n es θ, por consiguiente este ángulo es el involucrado en (7). La colisión clásica ás sencilla de resolver es aquella donde un cuerpo o una partícula se dirige hacia otra que se encuentra en reposo. Al cuerpo o partícula que incide se le denoina objeto proyectil o incidente, ientras que el otro cuerpo se le denoina objeto blanco o centro dispersor. Esta situación siepre puede conseguirse considerando la colisión en un arco de referencia donde una de las partículas se encuentra en reposo. En esta situación, el ángulo θ corresponde a la dispersión de la partícula blanco ver Ec. (11); es decir, θ θ, ientras que la dispersión del objeto proyectil θ 1 está relacionado con ψ (ángulo que deterina la dirección del vector de incidencia de Landau), ediante U tan θ 1 = 1 (ɛ) ĵ U 1 (ɛ) î = sen(ψ) λ(ɛ, ) cos(ψ), (34) donde el paráetro λ(ɛ, ) es definido positivo λ(ɛ, ) = + (1 ɛ) 1 + ɛ > 0. (35) De la expresión (34) es posible obtener las razones trigonoétricas que se indican a continuación cos(ψ) = λ sen θ 1 cos θ 1 1 λ sen θ 1, sen(ψ) = λ sen(θ 1) + sen θ 1 1 λ sen θ 1. (36a) (36b) Obsérvese que las expresiones dadas en (36) son copatibles con el hecho de que los cuerpos o las partículas se dispersan forando un ángulo recto cuando la asa relativa y el coeficiente de restitución son iguales a la unidad. Adicionalente, con dichas relaciones se puede deterinar el vector de colisión dado en (8), conociendo la dispersión del objeto blanco, debido a que se conoce la dirección del versor n ψ. Ahora, exaineos algunas situaciones concretas. θ A = π θ. (31) Sustituyendo (30) en (31), resulta ψ = θ. (3) Finalente, la nora del vector de colisión A 1 coincide con el arco sustentado por los vectores V y V n ψ, de lo que se tiene A 1 = V ) sen = V sen θ. (33) ( ψ FIGURA. A la izquierda (derecha) se uestra la situación antes (después) de la colisión entre dos partículas con diferentes asas. Rev. Mex. Fis. E 58 (01)

6 104 S. DÍAZ-SOLÓRZANO Y L.A. GONZÁLEZ-DÍAZ 4.1. Colisión sei-elástica bidiensional entre dos partículas conociendo la dispersión del blanco Considereos una partícula de asa 1 = Kg que incide horizontalente con una rapidez de 4 /s, sobre otra partícula de asa = 3 Kg, inicialente en reposo. Después de la colisión la partícula de asa se dispersa forando un ángulo de 30 respecto a la dirección de incidencia, tal coo se uestra en la Fig.. En este caso, θ θ = 30 y descendente, por lo que se utiliza la construcción geoétrica a la izquierda de la Fig. 1, a partir de ésta se extraen las expresiones (31) y (33). Así, la nora del vector colisión y su dirección vienen dadas por A 1 = 4 /s y θ A = 60, respectivaente. Con esta inforación y el diagraa ubicado a la izquierda de la Fig. 1 se llega al siguiente resultado A 1 = A 1 cos θ A î + sen θ A ĵ = î + 3ĵ s. (37) Sustituyendo (37) en (8) y luego insertando el resultado de la sustitución en (14), se obtienen las velocidades de las partículas después del choque; esto es, U 1 (ɛ) = U (ɛ) = 11 9ɛ 5 6(ɛ + 1) 5 î + 3 3(ɛ + 1) ĵ 5 î 3(ɛ + 1) ĵ 5 s, s. (38a) (38b) Si se dispersa por encia de la dirección de incidencia, contrario a lo indicado en la Fig., lo que tendríaos es una reflexión sobre la dirección de incidencia, por consiguiente el resultado que se obtendría coincide con el obtenido en (38) pero cabiando el versor ĵ por ĵ. Por otra parte, la energía transferida debida al proceso de colisión es Q = (1 ɛ ) 36 5 Joul. (39) Si la colisión es copletaente elástica, haceos ɛ = 1 en (39) y (38) para obtener la conservación de la energía cinética y las velocidades de las partículas después del choque elástico, las cuales resultan ser U 1 (1) = U (1) = 5î ĵ 1 5 î ĵ s, s. (40a) (40b) 4.. Colisión sei-elástica bidiensional entre dos partículas conociendo la dispersión del proyectil Al considerar la situación en la cual el ángulo de 30 corresponde a la dispersión de la asa 1 respecto a la dirección de incidencia (esto es, θ 1 = 30 ), entonces de las relaciones indicadas en (36) se llega a las siguientes razones trigonoétricas cos(θ ) = λ 1 3λ, (41a) 4 3λ + 4 λ sen(θ ) =. (41b) 4 En este caso el vector de colisión depende de los paráetros y ɛ, a través de λ. De acuerdo con el diagraa ostrado en la Fig. 1, el vector de colisión viene dado por (8) cuando V = 4î y n ψ = cos(θ )î sen(θ )ĵ, resultando (1 A(ɛ) = (ɛ + 1) cos(θ ) ) î sen(θ )ĵ. (4) Con dicho vector se obtienen las velocidades después del choque, para ello basta sustituir (4) en (14). En particular, cuando ɛ = 1 se tiene que λ = 1 = /3, resultando θ 65, 3, y las velocidades después de la colisión copletaente elástica vienen dada por U 1 (1) = 5 U (1) = 5 (3 + 6)î + ( + 3)ĵ s, (43a) (7 6)î ( + 3)ĵ s. (43b) 4.3. Colisión inelástica o plástica entre partículas En una colisión inelástica o plástica entre partículas, cuya situación inicial es coo la ostrada a la izquierda de la Fig., estaríaos tentados a hacer ɛ = 0 en (38). Lo cual conduce a que las velocidades después del choque son distintas, contrario a lo que se esperaría en una colisión de este tipo. El error en este procediiento radica en que la interacción que condujo al vector de colisión (37) es diferente a la que conduce al caso de choque inelástico, en el cual no basta con hacer ɛ = 0 en (14) sino tabién A(0) = 0. Por esta razón, las velocidades de las partículas ostradas en la referida figura después de una colisión inelástica o plástica están dadas por U 1 (0) = U (0) = 8 5î s. (44) Resultado que puede obtenerse directaente de la conservación de la cantidad de oviiento Colisión entre partículas de igual asa Considerando la isa colisión planteada en la Sec. 4.1 con las asas de las partículas iguales, se tiene que el vector de colisión (37) no cabia, y al sustituirlo en (14) resulta que las velocidades de las partículas después de la colisión son U 1 (ɛ) = U (ɛ) = 5 3ɛ 3(ɛ + 1) î + (ɛ + 1) 3 ĵ î (ɛ + 1) 3 ĵ s, s. (45a) (45b) Rev. Mex. Fis. E 58 (01)

7 CARACTERIZACIÓN DE LA REGLA DE COLISIÓN DE HUYGENS-NEWTON MEDIANTE UNA CANTIDAD VECTORIAL El coseno del ángulo con que se dispersan entre sí abas partículas viene dado por U cos(θ 1 + θ ) = 1 U 3(1 ɛ) U 1 U =. (46) 4 + 3(ɛ 1) 1/ Si la colisión es copletaente elástica (ɛ = 1) se observa que abas partículas se dispersan entre sí forando un ángulo recto. Resultado reportado en la literatura (ver Refs. 3, 5 y 8) Colisión entre una partícula y una pared En esta situación se considera que la asa del objeto blanco es uy grande coparada con la asa del objeto proyectil. Así, la asa relativa = / 1 tiende a infinito. Este líite toado en la velocidad (14b) conduce directaente a que la pared se encuentra en reposo después de la colisión; esto es, U def = li U (ɛ) = 0. (47) Se ha considerado para esta interacción que el vector de colisión es independiente del paráetro. Por otra parte, la velocidad de la asa 1 después de la colisión con una pared se obtiene al toar el líite antes encionado en (14a), resultando U 1 def = li U 1 (ɛ) = A (ɛ) ɛv 1. (48) Donde el vector de colisión A (ɛ) viene dado por () cuando V = 0 y n es perpendicular a la superficie de la pared, por lo que la velocidad dada en (48) toa la fora U 1 = V 1 (ɛ + 1) V 1 n n = 11 (ɛ + 1) n n ( V 1 ). (49) En particular, cuando ɛ = 1, se tiene que el operador dentro del corchete de (49) corresponde a una reflexión en la dirección perpendicular al vector n, siendo esta dirección paralela a la superficie de la pared. Así, en una colisión elástica entre una partícula y una pared la velocidad después de la colisión de la partícula proyectil se obtiene al cabiar de signo únicaente la coponente paralela a n de la velocidad antes del choque. En general, el reflector odificado que aparece dentro del corchete de (49) lo que hace es antener inalterada la coponente de la velocidad V 1 en la dirección paralela a la pared; en cabio, la coponente de V 1 en la dirección perpendicular a la pared se ve disinuida ɛ veces, reflejando dicha proyección sobre la pared. Lo antes expuesto puede verse de anera natural al escribir (49) de la siguiente anera U 1 = V 1 n n ɛ V 1 n n. (50) Donde n y n son versores ortogonales entre sí y dirigidos perpendicular y tangente a la pared, respectivaente. Obsérvese que en una colisión inelástica la velocidad dada en (48) se anula ya que ɛ = 0 y A (0) = Discusión En situaciones unidiencionales el vector de colisión se a- nula, debido a que la regla de colisión (7) establece que el único vector A(ɛ) perpendicular al versor n asociado a la dirección del contacto es el vector nulo. Iponiendo la condición A(ɛ) = 0 en (14) se obtiene el resultado reportado en la literatura (ver Refs. 3-5 y 13). En esta isa situación y considerando que la colisión sea elástica (ɛ = 1) se llega a los resultados presentados en Refs. 1, y 14. En los casos de colisiones inelásticas unidiensionales la transferencia de energía es áxia, esto se debe a que el ángulo θ que aparece en (7) es nulo o vale π. En estas circunstancias el choque es frontal, de anera que la velocidad relativa de los cuerpos antes de la colisión es colineal al versor n asociado a la dirección del contacto. En una colisión inelástica o plástica el coeficiente de restitución y el vector de colisión son nulos, por consiguiente, las velocidades de los cuerpos después del choque son iguales. De la expresión (3) se establece que la velocidad relativa antes del choque es colineal al versor n, lo cual sugiere que todas las colisiones inelásticas o plásticas son frontales. Así, la expresión (8) da cuenta de las colisiones cuando 0 ɛ 1. En otro orden de ideas, la expresión para Q, dada por Ferreira en Ref. 7, difiere de la obtenida en (7) por el térino trigonoétrico cos (θ), la razón fundaental se debe a que la regla de colisión considerada por dicho autor viene dada por ɛ = U U 1 V V 1, (51) la cual difiere de la presentada por nosotros en (6). La expresión (51) para choques oblicuos pareciera no considerar colisiones sei - elásticas ya que la energía transferida es siepre áxia; es decir, el paráetro θ es siepre cero en (7). La covarianza de las velocidades (14) y (16) está directaente garantizada de la invarianza de las leyes de conservación del oentu y de la energía. En otras palabras, si el oentu del sistea se conserva en todos los arcos de referencias entonces la cantidad Q es invariante galileana. Recíprocaente, si la cantidad Q es invariante galileana entonces el oentu del sistea se conserva. Este hecho se evidencia al considerar que Q = K 0 K f = i= i=1 1 i V i U i (5) Sustituyendo en (5) las transforaciones de Galileo dadas en (8) y denoinando a la transferencia de energía cinética en el arco de referencia K coo Q, se tiene que Q = Q + V i=n i=1 i ( U i V i ) = Q + V P final P inicial. (53) Rev. Mex. Fis. E 58 (01)

8 106 S. DÍAZ-SOLÓRZANO Y L.A. GONZÁLEZ-DÍAZ Se observa claraente la invariancia de Q si el oentu se conserva; recíprocaente, si se verifica que Q = Q entonces el térino dentro del corchete debe anularse, debido a la arbitrariedad de V, lo cual conduce a la conservación del oento lineal 15. La técnica presentada en este trabajo provee una anera de hacer una edición indirecta del coeficiente de restitución, siepre que se conozca la dispersión de las partículas ver (34), sin la necesidad de conocer explícitaente las velocidades de los cuerpos colisionantes después del choque. La estrategia de resolución presentada en la Sec. 4 presenta ventajas desde el punto de vista pedagógico, las cuales se evidencian en el anejo vectorial de las expresiones involucradas en la construcción del vector de colisión a partir de la Fig. 1, así coo la posibilidad de estudiar casos particulares, partiendo de las expresiones obtenidas para el caso sei-elástico. Adeás, se le brinda a los estudiante la oportunidad de conocer los significados de convarianza e invariancia ante el grupo de Galileo, tabién el estudio de colisiones en cualquier diensión. 6. Conclusión Se ha propuesto una caracterización de la regla de colisión de Huygens - Newton ediante el vector de colisión A(ɛ), el cual es explícitaente invariante y covariante Galileo, adeás de contener la inforación del proceso de interacción y de la dispersión de las partículas. En particular, para colisiones rígidas este vector es proporcional a la proyección de la velocidad relativa sobre la dirección de la interacción durante el contacto, siendo la constante de proporcionalidad ɛ + 1. De hecho, uno de los resultados ás significativos de este trabajo es que todas las colisiones con un coeficiente de restitución dado pueden generarse a partir del vector de colisión para choques elásticos ver Ec. (8). Desde el punto de vista del cálculo de velocidades de las partículas después de la colisión, el vector de colisión facilita la obtención de las isas. Por otra parte, heos probado que la áxia transferencia de energía viene cuando el paráetro θ en (7) se anula o vale π, lo cual se consigue en colisiones frontales y en aquellas donde la regla de colisión de Huygens-Newton viene dada por (51). 1. D. Holliday y R. Resnick, Fisica, Priera parte (Copañia Editorial Continental S.A., Mexico, 1984). pp ; R. Serway y J. Jewett, Física para ciencias e ingeniería, Voluen 1 (International Thoson, México, 005). pp ; I.V. Savéliev, Curso de Física General Too 1 (Editorial MIR, Moscú, 1989). pp ; A.P. French, Mecánica Newtoniana Vol. 1 (Reverté, España, 1974). pp D. Figueroa, Dináica, Voluen (Gráfica León, Caracas, 1999), pp ; M. Alonso, E. Finn, Física: Mecánica Voluen 1 (Fondo Educativo Interaericano, Bogóta, 1988). pp L. Tai Chow, Classical Mechanics (Editorial Jhon Wiley & Sons, New York,1987). pp R. Spiegel Murray, Mecánica Teórica (Mc Graw Hill, Caracas, 1989). pp y pp M. R. Ortega, Colisiones (Docuento en línea, consultado en 011, Febrero 15). Disponible en: fa1 orgi/fisica/archivos/onytex/lfm19.pdf 6. S. Díaz-Solórzano y L. González-Díaz, Rev. Mex. Fís. E 55 (009) M.F. Ferreira da Silva, Rev. Mex. Fis. E 54 (008) J. Norwood Jr, Mecánica Clásica a Nivel Interedio, (Editorial Prince-Hall International, Bogotá, 1981) pp ; Ver tabién pp de la segunda referencia de. 9. L. Landau y E. Lifshitz, Curso Abreviado de Física Teórica Libro I (Editorial MIR, Moscú, 1987). pp J. Duran, Sands, powders and grains. (Springer-Verlag, New York, 000) pp W. Goldsith, Ipact: the theory and physical behaviour of colliding solids. (Dover, New York, 001) pp Para la descripción de una colisión en el sistea centro de asa se requiere del ángulo ψ que deterina la dirección de dispersión de las partículas después del choque en dicho sistea, tal coo lo afira Landau y Lifshitz en Ref. 9. Dicha dirección queda definida por un versor n ψ el cual llaareos versor de incidencia de Landau. En este artículo daos una expresión concreta de dicho vector ver Ec. (9). 13. Hui Hu, Phys. Teach. 40 (00) L. Edward Millet, Phys. Teach. 36 (1998) T. Jordan, A. J. Phys 48 (1980) 676. Rev. Mex. Fis. E 58 (01)