m v ; v d m e t m 3n m 2x b z b z 2 6

Transcripción

1 Soluciones a los ejercicios de Ecuaciones: Ejercicio Despeja todas las incógnitas que puedas: a Fórmula de la densidad: d m v ; b Fórmula básica del movimiento: e vt ; c Segunda Ley de Newton: F m a m v ; v d m d v e t ; t e v d y z ; y z ; z y e a b c ; b a c ; c b a Ejercicio Despeja todas las incógnitas que puedas: m n m a m n; ; m n ; n z y z z y b ; y ; z b z b z c a ; a ; b 6 a z ; z 6a b 6 d L r; r b h e A ; b L A h V V V a h; a ; h h a Gt e g e ; t ; G es una constante numérica y, por tanto, no se despeja G

2 Ejercicio Despeja todas las incógnitas posibles: a Ecuación de º grado simpliicada: b b ac a a b b ac ; Elevamos al cuadrado ambos miembros para que desaparezca la raíz a b b ac ; operando: a ab ac ; dividiendo por a: a ab b b ac ; a b c ahora resulta muy sencillo despejar las incógnitas pedidas: b c b c a c a b a b b Ley de la uerza de atracción universal : Mm F G r a b b ac ; ; es decir: a c c b a a b c ; (La G, que no debes conundir con la gravedad, g, es una constante numérica, y no la debes despejar) m Fr GM ; M Fr Gm ; r Mm G F c Fórmula del área de la corona circular: A R r ; A R r R r R A r A r ; d e Volumen de un cono: V V r h ; h r ; R A A r R V r h Volumen del octaedro regular (dos pirámides cuadrangulares unidas por la base): V l V l, o así: l V, o así; V l ; o así: l 6 V ; o así: l V 6 ; o así: l V 6 ; etc.

3 Fórmula de la ecuación del movimiento uniormemente acelerado: s s o v o t at s so at t v ; o s v t at s o o o o s s v t Para despejar el tiempo (incógnita más complicada), debe suponerse que las t equivalen a las en una ecuación de º grado (completa): at vot so s por tanto: t a ; v o vo a so s vo vo a so s t ; t a a Ejercicio Despeja la : a b 7 7 c d e 8 8 ; ; Otros ejemplos Factor común, es decir, la propiedad distributiva: y 6 y y y a b a ab b ; Identidades notables:

4 Ejercicio 5 Por qué no hay reglas dierentes para la resta o la división? Las divisiones y las restas son prescindibles. Cualquier división puede ser considerada como un producto por un número raccionario, por ejemplo, la división de entre, que simbolizamos así: número raccionario ; es decir: Igual pasa con la resta respecto de la suma: la epresión, puede ser vista como el número (numerador) que MULTIPLICA al puede entenderse como la SUMA (y no la resta) del número más el opuesto del, es decir: (R) Ejercicio 6 Resuelve las siguientes ecuaciones de er grado: a 6 b ; (una orma muy sencilla de eliminar los denominadores cuando sólo tengamos dos racciones es aplicar el proceso de multiplicar en cruz ). c d e ; multiplicamos toda la ecuación por ; 8 5; g h i j 9 7

5 k Multiplicando todo por 6: ; ; 6 Ejercicio 7 Inventa ejemplos de ecuaciones (de segundo grado o no) que no tengan solución: ; ; 6 Ejercicio 8 Pon varios ejemplos de ecuaciones de este tipo que no tengan solución real: Si a y b son mayores que cero o a y b son menores que cero, no tendrá solución real: 9 ; ; 6; (R) Ejercicio 9 Resuelve: a 5 5 b 7 6 c 8 d 8 Sin solución real e (R) Ejercicio Resuelve: a 7 ; 5 b ; 7 7 c ;

6 6 d ; e 5 ; 5 5 Se multiplica todo por 5 ; 5 (R) Ejercicio Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado completas: a 9 7; b 6 No tiene soluciones reales c 8 6 ; d 6 9 (doble) e 5 No tiene soluciones reales (doble) Ejercicio Podríamos saber, antes de hacer el ejercicio, a que tipo pertenece? (Pista: tiene que ver con ) = solución doble < No tiene solución > soluciones distintas (R) Ejercicio Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado a ; b 9 ; 5 c) 5 d ; e ; 5

7 < 5 5 (doble) g 5 5 h (doble) Ejercicio Qué soluciones tiene esa ecuación? Qué números consiguen que los paréntesis sean cero? ; ; Ejercicio 5 Multiplica los actores de la ecuación que acabamos de resolver: 7 6 Ejercicio 6 Resuelve las siguientes ecuaciones: a 5 ; ; 5 b c 5 ; ; ; ; ; 5 Ejercicio 7 a b ; ;

8 c 9 El primer actor carece de soluciones reales. (doble) Ejercicio 8 Resuelve las siguientes ecuaciones: a ; ; b 7 6 ; ; ; c ; ; d ; ; e doble; doble ; ; g 6 ; ; ; Ejercicio 9 a b ; c ; ; doble; doble ; d ; ; ; e 6 ; ; ; Ejercicio Fíjate bien en la ecuación tipo y escribe sus características principales. Qué elementos pueden altar y cuáles no? Debe ser de cuarto grado como máimo No debe haber términos (monomios) de grado ni de grado. El monomio de mayor grado no puede altar (no sería bicuadrada), pero los otros dos sí: bicuadradas incompletas (que se resuelven igual)

9 Ejercicio Si = z, y la z tiene valor conocido, qué vale? z Ejercicio Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas: a 9 Se hace el cambio de variable z z z 9 ; Ecuación de º grado que se resuelve de orma habitual: 6 8 z 9 z z z 9 ; 9 z ; b 7 ; c 6 5 ; 5 ; Ahora se deshace el cambio: d) 9 z ; z ; 5; e 7 9 z 5 5 ; g 75 7 z ; 8 z doble ; 5 h 5 ; 5 ; 5 ; 5 5 ; ;

10 Ejercicio Aparentemente, estas ecuaciones son irracionales; ecuaciones con raíces. Pero hay tres intrusas, descúbrelas! Marca con una X las ecuaciones con raíces: X 6 X 5 No es una ecuación con raíces X No es una ecuación con raíces No es una ecuación con raíces 5 X 6 8 X Ejercicio Por qué? En el segundo paso, cuando elevamos ambos miembros de la ecuación al cuadrado para quitar la raíz, también estamos duplicando las incógnitas; por eso es recuente el encontrar una solución intrusa, que será solución de alguna ecuación intermedia, pero no de la ecuación original; en tal caso, es necesario detectarla y marcarla como no válida. Ejercicio 5 Resuelve las siguientes ecuaciones: a Válida: ; No válida: b ; 5 8 ; ; 5 ; Comprobación: 8; 8 9 8; 8 8, no es una solución válida. ; 5 8; 5 8, Ésta es la solución válida. c 5 Válidas las dos: d Única solución, y válida: e 6 8 Válida:

11 Ejercicio 6 a 5 5 ; 5 ; 5 ; ; Observamos que todos los términos son pares, y podemos dividir todo entre, así resulta más ácil la ecuación. 8 7 ; Comprobación para ; 5 6 ;, es una solución válida Comprobación para ; 5 9 ;, no es válida Solución válida: b 6 Válida: 5 c 6 Válida: 6 ; No válida: ; No válida: d 7 Válidas las dos: y e 6 Válida: ; No válida: 8 Ejercicio 7 a Válida: 5 6 b 5 Válida: 9 ; No válida: c Válida: d 6 ; Válida: 5 ; No válida: e 5 Válidas las dos: 6 y Ejercicio 8 Resuelve las siguientes ecuaciones: a

12 b c d m. c. m ; ; ; ; ; ; ; 6 6 e 5 ; ; m. c. m 5 ; 5 ; 6 ; 9 6 8; ; ; Lo que está dividiendo pasa multiplicando : g ; 7 Hay, al menos, dos ormas de resolverla: a) m.c.m. de los numeradores y denominadores:

13 9 8 b) m.c.m. de los denominadores 9 8 ; 8 Simpliicamos por producto de etremos igual a producto de medios 8 se opera: se simpliica