FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS EXPRESIONES ALGEBRÁICAS

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1 FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS De la mano con la lectura y lógica, para la conquista del éxito y la calidad humana EXPRESIONES ALGEBRÁICAS En la antigüedad fue necesario inventar símolos para representar y operar los números naturales. Al generalizar los procedimientos matemáticos con cualquier clase de número, tanto naturales, como enteros, racionales o reales, se hizo indispensale crear una nueva simología. Esta tarea fue iniciada por los Griegos y desarrollada por Áraes; pero no se completó hasta el siglo XVII, cuando el sistema simólico actual fue expuesto en los traajos de Descartes y otros matemáticos. Así, el estudio del álgera está relacionado fundamentalmente con las reglas formales para la transformación de expresiones y la solución de ecuaciones. CLASIFICIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS SEGÚN EL NÚMERO DE TERMINNOS. MONOMIO: expresión algeraica que constas de un solo término; Ejemplo: a z 5 c ; x ; y ; ; mn POLINOMIO: Expresión algeraica que consta de más de un término; Ejemplo: x y ; a ; x y z ; x y z a Existen polinomios que recien nomres especiales, como inomio y trinomio. Binomio: Polinomio que consta de dos términos. Trinomio: Polinomio que consta de tres términos. GRADO DE POLINOMIO El grado de un polinomio respecto a una letra es el mayor exponente con que aparece la letra en el polinomio. OBSERVA! a es un polinomio de primer grado respecto a la letra a. 8x 9 x y 7 5xy respecto a la letra y. 0, es un polinomio de grado noveno respecto a la x y de grado séptimo 5 m n p, es un polinomio de primer grado respecto a las letras m y p y de grado dos con respecto a la letra n.

2 6y y 4, es un polinomio de tercer grado respecto a la letra y. ORDEN DE UN POLINOMIO Ordenar un polinomio es escriir sus términos de modo qu7e los exponentes con relación a una letra escogida queden en forma ascendente (del exponente menor al mayor) o ien forma descendente (del exponente mayor al menor). Ejemplo: 5 Ordenar el polinomio 0 x 5x x 5 Forma ascendente: 0 x x 5x 5 Forma descendente: 5x x x 0 SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS SUMA: Vamos a sumar el polinomio 6m m n con el polinomio 5n 4m m, empleando dos maneras diferentes, con ello tú escoges el método que más se te facilite. SUMA DE FORMA HORIZONTAL Para sumar dos o más expresiones algeraicas, se escrie una a continuación de las otras y luego se reducen los términos semejantes, si los hay. Eliminando los paréntesis 6m m n 5n 4m m 6m m n 5n 4m m Reduciendo términos semejantes y dando la respuesta ordenada ajo algún criterio, resulta SUMA EN FORMA VERTICAL 7m m Para sumar dos o más expresiones algeraicas, se ordenan ajo el mismo criterio, luego se disponen los polinomios verticalmente de tal forma que los términos semejantes quedan en la misma columna y luego se reducen. 4n Oserva la forma de realizar la suma en forma vertical 6m m m 4m 7m m 4n RESTA Dado un polinomio cualquiera, siempre es posile encontrar otro llamado su inverso aditivo u opuesto. Para efectuar la sustracción de polinomios, al minuendo se le suma el opuesto del sustraendo. Al igual que la suma lo realizaremos tanto en forma horizontal como en forma vertical. n 5n De a c restar 8 a 4 c

3 FORMA HORIZONTAL De manera análoga, la resta se transforma en una suma de términos algeraicos, así el opuesto de 8 a 4 c es 8 a 4 c luego a c 8a 4 c (a c) 8a 4 a c 8a 4 c 5 a 6 c FORMA VERTICAL Se aplica la definición de sustracción y luego se suman los polinomios verticalmente, teniendo en orden los polinomios, ya sea de manera ascendente o descendente y colocándolos de tal forma que queden términos semejantes en columna. c Por ejemplo, de x y resta 5 y x 7xy. El opuesto de 5 y x 7xy es 5x 7 xy y Como los polinomios están ordenados de forma descendente, pasamos a uicarlos en columna, de tal manera que queden semejantes con términos semejantes. x y 5x 6x 6x 7 xy 7 xy 7 xy y 0y MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Para multiplicar expresiones algeraicas, es necesario que manejes las propiedades de potenciación. MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS Para multiplicar los monomios, se halla el producto de las partes numéricas y para cada producto de las partes literales se aplica el producto de potencias de igual ase. Oserva! 4 5 a c x a 5 0a c MULTIPLICACIÓN DE UN POLINOMIO POR UN MONOMIO Para multiplicar un monomio por un polinomio, se aplica la propiedad distriutiva de la multiplicación respecto a la adición. De esta forma queda multiplicado el monomio por cada uno de los términos del polinomio. Por ejemplo, a a a Se aplica la propiedad distriutiva a x a a a a a 4 4 a a x La realización en forma ordenada y el evitar equivocaciones por omisión de productos parciales, es posile llevarlas a cao al disponer el polinomio y el monomio en forma vertical, ordenando previamente el polinomio.

4 a 4 a a a 4a a MULTIPLICACIÓN DE UN POLINOMIO POR UN POLINOMIO Para multiplicar un polinomio por un polinomio, resulta muy útil realizarlo de manera vertical, de tal forma que cada uno de los polinomios estén ordenados ajo el mismo criterio. Oserva! x 8x por x x -8x+ x x + 9x 4-4x +x +6x -6x+ 9x 4-4x +9x -6x+ DIVISIÓN DE POLINOMIOS DIVISIÓN DE MONOMIOS Para dividir dos monomios, realizamos; División de los coeficientes, aplicando cuidadosamente la ley de signos para la división. División de la parte literal, aplicando la propiedad de dividir potencias de la misma ase. OBSERVA! Luego 8m 5 n c 5 8m n c 4m nc 4m n c m n DIVISIÓN DE UN POLINOMIO ENTRE UN MONOMIO Para dividir un polinomio entre un monomio, dividimos cada término del polinomio entre el monomio. OBSERVA! 9a 8a a 9a a 8a a a 6 DIVISIÓN DE UN POLINOMIO ENTRE UN POLINOMIO Para dividir un polinomio entre otro polinomio es conveniente seguir los siguientes pasos: Ordena los polinomios de manera descendente. Dividir el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, para otener el primer término del cociente. Multiplicar este primer término del cociente por cada uno de los términos del divisor y el resultado lo restamos del dividendo, así otenemos un dividendo, oteniendo así un dividendo parcial. Continuamos a partir de este dividendo parcial, conforme se indica el segundo y tercer paso, hasta otener un residuo de menor exponente que el divisor. Si el residuo es cero, la división es exacta.

5 PON MUCHA ATENCIÓN A LA EXPLICACIÓN QUE DARÁ TU PROFESOR, YA QUE LA DIVISIÓN REQUIERE DE BASTANTE CONCENTRACIÓN! X -7X-8 X + 4 -X - 4X X - 7 -X-8 -X+8 0 Aquí tienes otro ejemplo de división entre polinomios 5 a -8a+ 5 a - 6 Ordeno en forma descendente al dividendo 5 a - 8 a + 5 a a + 8 a a a + 0 a 0 Y AHORA A PRACTICAR. Represento simólicamente (es decir determino la correspondiente expresión algeraica) los siguientes enunciados: a. El perímetro de un rectángulo de ase x y de altura n: n. El número natural siguiente a K: x c. Si a, y c son números reales, la suma de los cuadrados de a, y c: d. El área de un romo en función de las longitudes de las diagonales: D d e. La suma de tres números enteros consecutivos. f. El dole del número y. g. El dole de la suma de dos números.

6 CON LA ACTIVIDAD, YA TENEMOS ELEMENTOS PARA DEFINIR UNAEXPRESIÓN ALGEBRAICA. h. Qué es una expresión algeraica?.. Sumo los polinomios: a. (x+) + (x-4). (a - a + a - ) + (-5 a + ª - 4) + (0 a a + ) c. ( a ) + ( a - ). Verifico las siguientes afirmaciones: a. Se cumple la propiedad conmutativa para la adición de polinomios.. Se cumple la propiedad asociativa para la adición de polinomios. c. Si el grado de un polinomio es N y el otro polinomio es M, la suma de los polinomios tiene grado menor que o igual a N + M. 4. Halla el perímetro de las siguientes figuras: 5. De -4x + x 7x+ restar 4x +46x Restar 8u +46u -u+6 de 0u +48u -5u-. 7. Si P = a a 4 - a +4 a -9 a+; P = 6 a a -5 a +8 a -00; P =4 a 5-6 a 4-8 a +9 a -6ª+5; P 4 =a 5-6 y P 5 =a a -7 a -49ª+8 a 5 -. Con estos datos tenemos para resolver: a. (P +P )-(P 4 -P )+P 5. P -(P +P 4 )+(P 5 -P ) 8. Encuentro: a. El área de un círculo que tiene de radio z metros.. El perímetro de un rectángulo de ase x y la altura es el dole de la ase. 9. Escrio el enunciado de las siguientes expresiones algeraicas, si a, y c son números reales. a. ( a + c ) f. a c. a + c g. (a c)

7 c. ( c + ) h. a c d. ( c ) i. e. a 8 j. 0. Determino: 7 a c 4c a a. El área de un cuadrado que tiene de lado x.. El área de un círculo cuyo radio es igual a R. c. El perímetro de un rectángulo de ase M y altura N.. Consulta: a. De qué partes consta un término algeraico?. Cómo se clasifican las expresiones algeraicas según el número de términos?. Hallo el cociente y el residuo que resultan de dividir los polinomios entre los monomios: a. (5 a -0) 5ª. (x +x+) x c. (0 a 5 c + 0 a -5 a ) -5 a. Realizo las siguientes divisiones, determinando el cociente y el residuo: a. (x 4 x ) (x - ). (n n 4 n ) (n + ) c. (5 m + m + 5) (5 m + ) d. (a - 5) (a - ) Toda expresión algeraica está conformada por uno o más términos. Un término consta de uno o varios símolos no separados entre sí por el signo + o -. Por ejemplo: -5x y; a ; -c ; etc. 4. Escrio el grado de cada uno de los siguientes polinomios respecto a las letrass que intervienen: a. - a + z + w. x y 9 x y + x y z + c. x + x y + y 4 d. a 5 a 4 + a a + a 4 5 e. 8 x + z MUY INTERESANTE!

8 Las fracciones y 5 dan el mismo resultado al restarlas que al multiplicarlas. Lo mismo ocurre con 4 y 7. a. Compruea todos los resultados anteriores.. Encuentra cinco pares de fracciones que cumplan la propiedad anterior. c. Generaliza y escrie utilizando letras, la forma general que tienen los pares de fracciones. 5. Las siguientes expresiones algeraicas según el número de términos que posean. a. 6 n. x 5 c. x x y + x y y d. 5 n 4 0 n + e. a c 5 TÉRMINOS SEMEJANTES: Son términos semejantes en una expresión algeraica, aquellos que tienen la misma parte literal, es decir iguales letras con iguales exponentes. 6. Clasifico los términos según sean semejantes o no: 49 z 5 ; -; x y 4 ; - z 5 ; a ; x y 4 ; - z x y; a ; z x y t. 7. Escrio dos términos semejantes a cada uno de los siguientes: a. V. x c. m n d. a c e. 7 x w p 8. Evalúo (hallo el valor numérico) de las siguientes expresiones algeraicas, considerando que: x=; y=; a=-; =0 y c=-. a. x + y. (x-a)(x-) c. a + + c xy d. (x-y) + e. a 4 + a + a +a Ordeno de manera ascendente y descendente las siguientes expresiones: a. + 6x- 5 x + 5x 4 x. - + y 4 y 4 + y + y c. a + a 5 a a 4 + d. n - n + n - n Completo el siguiente cuadro:

9 Término -c 5a 4 4 m n p 9 Parte numérica Parte literal - x y. Consulta en qué consiste este proceso y aplícalo en: a. ( x x 5x + ). (m 5 n 4 + n n n + 4) (n - ) c. (n 5 n + 8 n + 6 ) (n + ). Represento algeraicamente las siguientes expresiones: a. El número entero que procede a (n + ). El capital de Mario, si gastó (z - ) pesos, e inicialmente tenía ( z + 5 y + 6) pesos. c. La edad de Lucia, saiendo que entre ella y su hermano tiene (a 5 a + 7) años y que éste último tiene (6 a - 5) años.. La longitud del lado de la figura dada, si el perímetro es (9 x + ) (x + ) cm ( x + ) cm 4. La longitud de la ase mayor del trapecio, si se sae que su perímetro es (8 y + 4) cm.? (.4y - ).4y cm 5.4y cm 5. Simolizo con los términos semejantes reducidos los siguientes enunciados: a. El perímetro de un cuadrado de lado M.. El perímetro de un rectángulo de ase X y altura Y. c. El perímetro de un rectángulo de largo X, si el largo excede al ancho en. d. La suma de las edades del padre y el hijo, si el padre tiene 6 años más que hijo y la edad del hijo es B. e. Los años que vivió una persona que nació en el X y murió en el año Y. 6. Qué hay que hacer? a. (-5 a + a + 9) ( a ). (x - ) (x + ) c. ( m n )( 4 m m + n - 6) 7. Realiza cada potencia, escriiéndola como producto de factores iguales: a. (a + )

10 . ( a + ) c. (a - ) d. (a + ) e. ( a + ) f. (a - ) 8. Encuentro la expresión que determina el área de las siguientes figuras geométricas: (y + ) (5x + ) (x + ) (x - ) (x - 5) 9. Completo la siguiente tala. Sean x, y y z números reales ENUNCIADO El triple de la suma de x y z La raíz cuadrada de la diferencia entre y, z EXPRESIÓN El cuo de y, disminuido en cinco X + y + z La suma de los cuadrados de x, y, z El cuadrado de la suma de x, y, z El producto de x, y, z menos el dole de z El cociente entre x, z menos el cociente entre y, z El cuo de la diferencia de x, y ( x - y) El cuadrado de y disminuido en el cuo de z Los 5 de la mitad de la suma de x, y, z La mitad de la mitad del producto de x por y y z 0.Relaciona cada expresión de la columna izquierda con la expresión algeraica correspondiente de la derecha: a. Perímetro de un paralelogramo. Área de un círculo (la + ah + lh) c. Área de la superficie de un sólido regular (a + ) d. Perímetro de un trapezoide isósceles a + + c. Representa los enunciados en forma de expresiones algeraicas: a. La sexta parte de un número.. Un número excedido en uno. c. 5 veces un número. d. Ocho veces un número menor de 0. e. La suma por la diferencia de números. f. El producto de dos números elevados al cuadrado. g. La mitad de la suma de tres números. h. El cuo de la diferencia de números.. Identifica la parte numérica o coeficiente y la parte literal de los siguientes términos:

11 a. x f.. 7 n g. w x y 4 c. a c h. -5 t d. 0,5 z i. 00 p q e. mn ES MUY IMPORTANTE IDENTIFICAR LAS PARTES DE UN TÉRMINO COMO SON: LA PARTE NUMÉRICA (O COEFICIENTES) Y LA PARTE LITERAL!. Halla el área correspondiente de la figura: x 4 y z ( x - ) x + ( x - 5) ( x - ) x + x-4 HE COMPRENDIDO Y POR ESO RESUELVO. Sea P el número de puntos que anotaron los tigres. Los leones anotaron el dole de los tigres. Plantear una expresión para los puntos anotados por los leones.. Sea t el monto total de dinero recolectado. Este monto fue dividido equitativamente entre 4 cantidades. Plantear una expresión para cada cantidad en cada caso.. Sea d la distancia que recorrió Polo. Ángel corrió un tercio de lo que corrió Polo. Plantear una expresión para la distancia que corrió Polo. 4. Sea t lo que gastó Rosalía en lusas. Compró 5 y cada una costó lo mismo. Escriir una expresión que corresponda a la compra. 5. Sea w el ancho de una canoa y de largo 5 veces su anchura. Plantear una expresión para la cantidad dada en cada caso. COSAS CURIOSAS CUADRADO QUE TERMINA EN 5 Para calcular mentalmente el cuadrado de un número de dos cifras que terminan en cinco, se procede así:. Se le suma a la primera cifra.. Se multiplica la suma anterior por la primera cifra.. Se escrie a la derecha del producto el número 5. Por ejemplo 75 : x entonces al resolver 75 = 565 Calcula los siguientes cuadrados:

12 BIBLIOGRAFÍA SANTILLANA, Procesos Matemáticos 8 o. Ed LONDOÑO NELSON Y BEDOLLA HERNANDO, Álgera y geometría, Editorial Norma, Ed FONSECA NELSON, Prepárese para la vida. I.D.A Instituto de Desarrollo de Aptitudes. Bogotá, Ed SMITH CHARLES, DOSSEY KEEDY. Álgera ADDISON WELEY, Ieroamérica 990. BERISTAIN MARQUEZ ELOISA, CAMPOS YOLANDA, Matemáticas Grado 8 o, Editorial McGrraw-Hill, 997. EVALUACIÓN PROCESOS I. INTERPRETATIVO II. ARGUMENTATIVO III. PROPPOSITIVO DOFAS CLASE GUIA DOCENTE ESTUDIANTE NOTA: Fortalezas Deilidades