El enfoque algorítmico en el diseño de muelles helicoidales a través de los grafos bicromáticos

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1 Ingenieía Mecánica 1 (2000) El enfoque algoímico en el diseño de muelles helicoidales a avés de los gafos bicomáicos T. Oiz Cádenas, A. Gacía Toll Depaameno de Mecánica Aplicada. Faculad de Ingenieía Mecánica. Insiuo Supeio Poliécnico José A. Echeveía (ISPJAE) Calle 127 s/n, CUJAE, Maianao 15, Ciudad Habana, Cuba. Teléfono: , Fax: oiz@mecanica.ispjae.edu.cu agacia@mecanica.ispjae.edu.cu (Recibido el 27 de ocube de 1999, acepado el 25 de eneo del 2000) Resumen Po odos es conocido, la gan canidad de vaiables que inevienen en el diseño de muelles de cualquie ipo, lo que dificula en ocasiones aiba a un esulado saisfacoio, en el iempo equeido y con la calidad adecuada. Eso se debe a que en el diseño de los muelles, además del cálculo de esisencia paa llega a las dimensiones pincipales del elemeno, ambién se iene en cuena el cálculo enegéico a pai del cual se obiene la igidez. Además si las cagas que acúan sobe el muelle son vaiables, es necesaio enonces ealiza cálculos que gaanicen que no se poduzca un fallo po faiga. Con la aplicación de los diagamas de flechas o gafos bicomáicos como ambién se conocen, se simplifica el poceso de diseño, pues de foma ápida se llega al algoimo de cálculo que pemiiá la solución del poblema en cuesión. El objeivo fundamenal del abajo es inoduci el enfoque algoímico en el diseño de muelles helicoidales a pai de la inoducción de la écnica de los gafos bicomáicos. Palabas claves: muelles, gafos, algoimo, diseño. 1. Inoducción Los muelles son elemenos de máquinas, que se considean uniones flexibles, pues ienen la popiedad de defomase noablemene bajo la acción de una caga exena, acumulando enegía, y una vez que deja de acua vuelven a la foma inicial, enegando la enegía acumulada. Esa caaceísica de los muelles se debe ano a las popiedades elásicas de sus maeiales, como a su foma consuciva. Fundamenalmene se usan como amoiguadoes de choques, como elemeno moo y como acumulado de enegía ene oos. Deno de la amplia gama de ipos de muelles que exisen, los helicoidales de acción y compesión son muy uilizados en la indusia mecánica en difeenes aplicaciones, po lo que es muy fecuene que los ingenieos engan que enfena la aea del diseño de ese ipo de muelles, que incluye no sólo el cálculo de esisencia paa llega a las dimensiones pincipales del elemeno, sino ambién el cálculo enegéico, efeido a la elación que exise ene el abajo que ealizan las fuezas exenas sobe el muelle y la enegía poencial de defomación que se acumula en él. A pai de ese análisis se define la igidez del muelle, que depende de su geomeía y de las popiedades del maeial de consucción. Ese diseño se diige a obene el diámeo del alambe d, el diámeo medio del muelle D, el númeo de espias i, y la cuva caaceísica del muelle, que no es más que el compoamieno de la igidez duane el funcionamieno del muelle. En las pincipales aplicaciones de los muelles es muy común que las cagas que acúan sobe el elemeno vaíen, lo que genea condiciones de abajo que pueden povoca el fallo po faiga, de manea que se hace necesaio hace la compobación a faiga del mismo. En esos cálculos inevienen una gan canidad de vaiables a ene en cuena paa obene el esulado final, lo que en ocasiones hace muy engooso el poceso. Si a ese poceso de diseño se le da un enfoque algoímico, puede se oganizado y se iene así una visión complea de los pasos a segui paa llega al esulado espeado. Una écnica muy úil en ese senido son los gafos bicomáicos. En ese caso, se pae del 2000 Ediciones ISPJAE.

2 70 El enfoque algoímico en el diseño de muelles helicoidales a avés de los gafos bicomáicos modelo maemáico al cual se le ealiza el gafo y poseiomene, de acuedo al poblema que se desea soluciona, se van consuyendo los gafos de los poblemas, pudiéndose llega a pai de esos a los algoimos de solución. El objeivo de ese abajo es mosa el desaollo del poceso aneiomene descio, en el diseño de muelles helicoidales cilíndicos de acción-compesión. 2. Diseño de muelles helicoidales de acción compesión El cálculo de diseño de muelles helicoidales cilíndicos de acción eside en deemina el diámeo del alambe (d), el diámeo medio del muelle (D) y el númeo de espias (i), además de consui la cuva caaceísica del muelle. Coe de una sección del alambe Figua 1. Esquema paa el análisis de los esfuezos en un muelle helicoidal cilíndico de acción. 2.1 Cálculo de esisencia. Ese cálculo esá asociado a la esisencia del muelle bajo una caga exena deeminada, según los esfuezos que acúan en la sección ansvesal. En la figua 1 se muesa el esquema de análisis. Las máximas ensiones se localizan en la supeficie ineio de la espia, donde el esfuezo esulane seá: MPa (1) τ τ + p τ m [ ] τ: Esfuezo angencial esulane. τ p : Esfuezo angencial poduco del coane. τ m : Esfuezo angencial poduco del momeno. El efeco del esfuezo angencial del coane es pequeño compaado con el del momeno, de manea que se inoduce el coeficiene k, conocido como coeficiene de Wahl, que iene en cuena la influencia de la fueza coane, la cuvaua de la espia, así como el ángulo de elevación de la espia α. De esa foma el esfuezo esulane queda: [ MPa] τ kτ m (2) Po ano la condición de esisencia se acepa suficiene cuando: M τ k [ τ ] [ MPa] (3) Wo M: Momeno oso en la espia (Nmm). Wo: Módulo pola de esisencia a la osión(mm 3 ). [τ] Esfuezo admisible. k: Coeficiene de Wahl paa secciones ansvesales ciculaes[1, 6]. 4c c 3 k (4) El índice del muelle (c), muesa la elación ene el diámeo medio de la espia y el diámeo del alambe, y sus valoes ecomendados esán ene 4 y 12.

3 T. Oiz Cádenas, A. Gacía Toll 71 D c (5) d Susiuyendo en la condición de esisencia se obiene la expesión del diámeo de alambe necesaio, en función de las popiedades del maeial y de las fuezas acuanes. kcp d 1.6 max [ mm] (6) [ τ ] Al abaja con la expesión del diámeo es necesaio ene en cuena que siempe se debe oma el máximo valo de la fueza y que el índice del muelle hay que fijalo peviamene. El diámeo medio del muelle (D) se calcula una vez que se conoce el diámeo del alambe. 2.2 Análisis enegéico. El análisis enegéico esá asociado a la elación que exise en los muelles ene las fuezas exenas que acúan y la defomación que sufe el elemeno. En geneal, en los muelles helicoidales cilíndicos la defomación es popocional a la caga que se aplica, expesándose de la siguiene foma: P C m λ [ N] (7) C m : Consane elásica del muelle o igidez. λ: Defomación que sufe el muelle. Paa calcula la defomación, se puede iguala el abajo de la fueza exeio a la enegía poencial de defomación po osión: W E p λ P 2 M 2 2GI o L W: Tabajo de la fueza exena. Ep: Enegía poencial de defomación po osión. L: Longiud del alambe del muelle (mm). G: Módulo de cizallamieno (MPa). Io: Momeno pola de inecia (mm 4 ). A pai de la ecuación 8 se puede llega a una expesión que pemia calcula de foma exaca la igidez del muelle en cuesión. dg C [ N m ] (9) 8c 3 i mm Esa igidez, como se planeó aneiomene, es posible gaficala y así obene una cuva caaceísica del muelle semejane a la mosada en la figua 2. (8) Figua 2. Cuva caaceísica de la igidez de un muelle helicoidal cilíndico de acción.

4 72 El enfoque algoímico en el diseño de muelles helicoidales a avés de los gafos bicomáicos Los paámeos que apaecen en la cuva caaceísica de igidez son: Plím: Fueza máxima que es posible aplica anes de sobepasa el límie de elasicidad. Pmax: Máxima caga de abajo paa la cual se veifica el cálculo. Pin: Caga inicial del muelle. Hd: Longiud ocupada po las espias acivas con el muelle descagado. Ho: Longiud del muelle descagado. λ: Defomación oal del muelle. λ: Caea de abajo. λ: Caea de egulación. La caea de egulación pemie aumena la caea de abajo paa dispone de una mayo fueza ecupeadoa cuando se acumulan defomaciones esiduales en el elemeno. A pai del gáfico se puede obene la igidez del muelle mediane las siguienes elaciones: P Pf Pi Pf Plím Pi C [ N m ](10) λ λ λ λ + λ mm El cálculo de los muelles helicoidales de compesión se ealiza bajo las mismas consideaciones que los helicoidales de acción, de manea que las expesiones de cálculo coinciden con las de ésos úlimos. La caaceísica del muelle se obiene de foma simila, peo con la pendiene negaiva.[6] 2.3. Cálculo de faiga. Los muelles que esán someidos a un númeo elevado de ciclos de caga (po ejemplo, los muelles de válvulas de compesoes y de mooes de combusión inena), pueden ene fallos po faiga, po lo que es necesaio compoba su esisencia a la faiga. Ese cálculo esá diigido a la obención de un coeficiene de seguidad que gaanice que el elemeno no falle. Ese coeficiene debe esa ene 1,5-2,2 en función de las fuezas de cálculo, de las caaceísicas mecánicas y de la esponsabilidad del muelle[1]. La expesión paa calcula el coeficiene de seguidad a faiga conociendo el esfuezo límie de faiga en el ciclo inemiene seá: 1 τ ( 1 ) max τ c + + (11) n τ c τ n 0 : Coeficiene de seguidad a faiga. τ max : Esfuezo máximo de osión. : Esfuezo límie de esisencia al coe. Si no se τ c conoce se puede oma como 0.6σ : Razón del ciclo. τ : Esfuezo límie a acción del maeial del alambe. τo -Esfuezo límie de faiga en el ciclo inemiene. 3. Aplicación de los gafos al diseño Un gafo no es más que la epesenación gáfica de las elaciones del modelo maemáico y las vaiables que inevienen en las mismas. Ese ipo de diagama se aplica en gan medida en la maemáica discea y en casos de ingenieía son muy comunes los elemenos disceos. Paa la solución de poblemas de diseño y compobación de elemenos de máquinas, en los úlimos años se ha aplicado como heamiena muy úil de abajo la écnica de los gafos bicomáicos, en la obención de algoimos. Ese enfoque algoímico pemie una mejo compensión del ema que se analiza, ya que muesa la elación ene las vaiables que componen los modelos maemáicos. Con la ayuda de esa écnica pueden fomulase difeenes poblemas, lo que facilia la obención de divesas soluciones, alededo de un mismo modelo. También pemie aiba a difeenes vaianes de solución con apidez. Paa aplica esa écnica de gafos bicomáicos a un poblema de diseño se ecomienda segui la secuencia de pasos que se muesa a coninuación: 1. Definición del modelo maemáico. 2. Defini los conjunos de vaiables y elaciones del modelo. 3. Defini en que elación apaece cada vaiable. 4. Consucción del gafo del modelo. 5. Planeamieno del poblema. 6. Defini los conjunos de vaiables de enada y salida del poblema. 7. Consucción del gafo del poblema. 8. Deeminación de los gados de libead del poblema. 9. Realiza el paeo. 10. Deeminación del algoimo de solución Los gafos bicomáicos en el diseño de muelles helicoidales de acción-compesión. A coninuación se desaollaán los pasos expuesos paa el caso de muelles helicoidales de acción - compesión. Como se ha mencionado aneiomene el diseño de muelles helicoidales se puede lleva a cabo a pai de es cieios de cálculo fundamenales, el de esisencia, el enegéico y el de faiga. Todos ésos cálculos se

5 T. Oiz Cádenas, A. Gacía Toll 73 aplican en muelles someidos a cagas vaiables con un númeo elevado de ciclos, en ese caso, en el modelo maemáico esaían odas las elaciones. Cuando los muelles no abajan con un númeo de ciclos elevado y es poco pobable que se poduzca un fallo po faiga, no es necesaio inclui en el modelo maemáico la pae del cálculo de faiga. Se empleaá enonces un modelo maemáico mayo o meno de acuedo al poblema de diseño planeado. Teniendo en cuena lo aneio se explicaan dos ejemplos, uno que no conenga el cálculo de faiga, y po supueso más sencillo, y oo donde sea necesaio emplea un modelo maemáico que sí incluya ese cálculo. Ejemplo 1 Paso 1. Definición del modelo maemáico. Po las caaceísicas de la caga a la que esá someido el muelle no es necesaio hace la compobación a faiga, po lo ano el modelo maemáico quedaá consiuido po las ecuaciones de los cálculos de esisencia y igidez. Modelo maemáico. kcp max 1 d o c 2 i 4 D d dg 8c 3 C m [ τ ] Pmax 5 Cm λ Pmax P 6 λ Cm Plim Pmax 7 λ C H d id 8 m min 9 H 0 H d + L g 10 H f H in + λ H + λ 11 lim Hf Plim Pmax ( ) [ τ] σ ( ) Lg 0.5d La nueva vaiable o se incluye paa convei la elación 1 en una igualdad. Paso 2. Defini los conjunos de vaiables y elaciones del modelo. Los conjunos se confoman con odas las elaciones y vaiables que inevienen en el modelo maemáico. Conjuno de vaiables del modelo maemáico. V {d, k, c, Pmax, [τ], D, i, G, Cm, λ, λ, Pmin, λ, Plim, Hd, Ho, Lg, Hf, Hin, Hlim, σ,o} Conjuno de elaciones del modelo maemáico. R { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 } Paso 3. Defini en que elación apaece cada vaiable. Ese paso es opcional, peo se ecomienda especialmene a aquellas pesonas que aún no esán familiaizadas con los gafos bicomáicos. En ese caso se deemina en que elación apaece cada vaiable lo cual es muy cómodo a la hoa de consui el gafo del modelo. Paso 4. Consucción del gafo del modelo. Paa consui el gafo las vaiables y las elaciones se enciean en cículos de difeenes coloes (véices), en ese caso, doble cículo paa las elaciones y un cículo paa las vaiables. Los cículos se elacionan ene sí po líneas (aisas). Ve figua 3. Paso 5. Planeamieno del poblema. El poblema seá aquella aea de diseño a la que se necesia da solución y se dispone de un conjuno de vaiables de enada y el conjuno de salida esaá consiuido po los paámeos que desea conoce. A pai de un modelo se pueden esablece difeenes poblemas, en dependencia de los conjunos de enada y salida definidos. A modo de ejemplo planeaemos un poblema de diseño muy común en los muelles helicoidales. Poblema. Se desea obene las dimensiones pincipales de un muelle helicoidal cilíndico de compesión; diámeo del alambe (d), diámeo medio del muelle (D), el númeo de espias (i) y la cuva caaceísica paa conoce Hd y Ho. El elemeno no esaá someido a un númeo de ciclos alo y se conocen los siguienes daos: G. Pmin, Pmax, c, σ, λ,hf.

6 74 El enfoque algoímico en el diseño de muelles helicoidales a avés de los gafos bicomáicos Figua 3. Gafo del modelo maemáico. Figua 4. Gafo del poblema

7 T. Oiz Cádenas, A. Gacía Toll 75 Paso 7. Consucción del gafo del poblema. Paa consui el gafo del poblema, en el gafo del modelo maemáico se eliminan odas aquellas vaiables que foman pae del conjuno de enada, quedando un gafo mucho más sencillo, con las elaciones que vinculan las vaiables de salida e inemedias pesenes en el mismo (ve figua 4). Paso 8. Deeminación de los gados de libead del poblema. El gado de libead de un poblema define la solubilidad del mismo po lo que es de gan impoancia. Ese paso no debe ealizase anes de elaboa el gafo del poblema poque en ocasiones el gafo se divide en vaias paes o subpoblemas, y cada uno de ellos posee su popio gado de libead, esos se deeminan a pai de la siguiene expesión: L P X F x ( ) ( ) X Conjuno de vaiables que inevienen en el poblema. F(x) Conjuno de elaciones que inevienen en el poblema. De acuedo al valo que ome L(P), los poblemas podán se clasificados en es caegoías. L(P) > 0 El poblema es compaible indeeminado y iene infinias soluciones. L(P) 0 El poblema es deeminado y iene una solución. L(P) < 0 El poblema es incompaible y no iene solución.[4] y[5]. En el poblema que nos ocupa enemos 13 elaciones y 14 vaiables ineviniendo en el mismo, de manea que el poblema es compaible indeeminado, con un gado de libead. Po lo ano iene vaias soluciones. Se define la vaiable que debe se el gado de libead, como el diámeo (d), ya que esa puede adopa vaios valoes en dependencia del diámeos de los alambes paa muelles que se puedan emplea. Paso 9. Realiza el paeo. El paeo consise en vincula po medio de acos (aisas oienadas), cada una de las vaiables con una elación. Paa complea el paeo se deben oiena odas las aisas, de foma al que paa obene una vaiable de una elación se disponga de las demás vaiables necesaias. Paso 10. Deeminación del algoimo de solución. El algoimo de solución no es más que el oden en que se deben i esolviendo los cálculos, eso se puede obene a pai del gafo del algoimo de solución que se muesa en la figua 5. Figua 5. Gafo del algoimo de solución del poblema.

8 76 El enfoque algoímico en el diseño de muelles helicoidales a avés de los gafos bicomáicos Los pasos paa esolve el poblema se pueden escibi de la siguiene manea: p1 13 { [ τ] } {,k} { ;o} { ;D} ; p2 3 p3 1 p4 2 p5 { 14 ; Lg} p6 12 ; Plim p7 { 6; Cm} p8 { 4;i} p9 { 8; Hd} p10 { 9; H0} p11 { 5;λ} p 12 { 7 ; λ } p13 { 9; Ho} p14 4; Cm { } { } Una vez obenida la secuencia de pasos a segui se pocede a da solución al poblema planeado. Cuando se pasa al cálculo debe veificase que o 0, paa que se cumpla la ecuación de esisencia. Las que cumplan la condición seán las soluciones. A coninuación se muesa un poblema de diseño de muelles helicoidales en el que se emplean los es cieios de cálculo fundamenales, el de esisencia, el enegéico y el de faiga. Ejemplo 2. Paso 1. Definición del modelo maemáico. El modelo maemáico esa fomado po las ecuaciones que incluyen el abajo con los es cieios de cálculo, po lo que al modelo maemáico empleado en el ejemplo 1, se le agegan las elaciones del cálculo de faiga n o τ 2τ max c P 16 τmax W P 17 τmin W max min o 2τ τ o o c 1 ( 1 ) 18 3 πd Wo 16 τ 0. σ 19 c 6 τ 20 τ min max Paso 2. Defini los conjunos de vaiables y elaciones del modelo. Conjuno de vaiables del modelo maemáico. V {d, k, c, Pmax, [τ], D, i, G, Cm, λ, λ, Pmin, λ, Plim, Hd, Ho, Lg, Hf, Hin, Hlim, σ,n o,τ max, τ c,τ o,,w o, τ min,o } Conjuno de elaciones del modelo maemáico. R { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 } Paso 4. A pai del nuevo modelo se consuye el gafo del mismo. Paso 5. Planeamieno del poblema. Poblema. Se desea obene las dimensiones pincipales de un muelle helicoidal cilíndico de compesión; diámeo del alambe (d), diámeo medio del muelle (D), paa un númeo de espias dado (i), si se sabe que el muelle va a esa someido a las cagas Pmin y Pmax, que pueden poduci faiga en el elemeno, además se conoce: G, c, σ,τ o,hf. Paso 6. Defini los conjunos de vaiables de enada y salida del poblema. El conjuno de vaiables de enada paa el poblema popueso seá: E { G, Pmin, Pmax, c, σ, τ o, i, Hf } El conjuno de vaiables de salida seá: S {d, D,n o,cm,hin,hlim, Hd, Ho} Paso 7. De acuedo a los conjunos de enada y salida del poblema se consuye el gafo coespondiene. Paso 8. Deeminación de los gados de libead del poblema. L ( P) X F( x) X Conjuno de vaiables que inevienen en el poblema. F(x) Conjuno de elaciones que inevienen en el poblema.

9 T. Oiz Cádenas, A. Gacía Toll 77 En el ejemplo 2 se ienen 20 elaciones y 21 vaiables po lo que el poblema es compaible indeeminado con un gado de libead: la vaiable d. Paso 9. Realiza el paeo. Paso 10. Deeminación del algoimo de solución. Pasos paa esolve el poblema: p1 { 13 ;[ τ] } {,k} { ;o} { ;Wo} { τ } p2 3 p3 1 p4 18 p5 16; max { 17 τmin} { ;} { 19 τc} { 15 ; o} { ;D} p6 ; p7 20 p8 ; p9 n p10 2 p11 14 ; Lg { } Figua 6. Gafo del algoimo de solución del poblema

10 78 El enfoque algoímico en el diseño de muelles helicoidales a avés de los gafos bicomáicos { 8; d} { 9; o} { 4; m} { } { 12 ; lim} { 7 λ } { 11; Lim} { 6 λ } { ; } p12 H p13 H p14 C p15 5;λ p16 P p 17 ; p18 H p 19 ; p Hin Los pasos del uno al diez definen la geomeía fundamenal de un muelle, que sopoa de foma saisfacoia las cagas que acúan sobe él sin que se poduzca la faiga, si el faco de seguidad n o supea el faco de seguidad ecomendado n ec. A pai del paso diez se complea la geomeía y se deeminan paámeos impoanes como la igidez, Cm, y las caeas de abajo. 4. Conclusiones Los ejemplos mosados ilusan cómo obene los algoimos paa dos poblemas de diseño de muelles en condiciones de abajo disinas. Los gafos bicomáicos posibilian una epesenación claa de modelos maemáicos y algoimos de solución. Han quedado demosadas las posibilidades de la aplicación del enfoque algoímico al diseño de muelles helicoidales de acción compesión. Las écnicas de gafos bicomáicos pueden se aplicadas al diseño y compobación de elemenos de máquinas en geneal. Bibliogafía 1. D.Resheov. Elemenos de máquinas. Edioial Pueblo y Educación. Cuba J.E.Shigley. Diseño en Ingenieía Mecánica. Edición pimea en español. Mc Gaw Hill, México, J.J.Aguaón. Simulación. Colección de exos docenes. Sevicio de publicaciones de la Univesidad de Zaagoza. España J.M.Escanaveino. Cuso de diseño acional. Maesía de Diseño Mecánico. Vesión Elecónica. La Habana J.M.Escanaveino. A.Gacia. T.Oiz. Algoímica del Diseño Mecánico. Revisa Ingenieía Mecánica, Númeo Inaugual, La Habana, sepiembe V.Dobovolski. Elemenos de máquinas. Edioial MIR. URSS El empleo de las écnicas de los gafos bicomáicos pemie pofundiza en el esudio de los méodos de cálculo de los muelles. The algoihmic focus in he design of helical spings hough he diagams of aows Summay I is known, he gea quaniy of vaiables included in he design of spings. This fac hindes in occasions o aive o a saisfacoy esul, in he equied ime and wih he appopiae qualiy. This is due o ha in he sping design, hey should be kep in mind he calculaions of esisance and igidiy. If he loads on he spings ae vaiable, i is necessay o cay ou he calculaions of he esisance faigue. Wih he applicaion of he diagams of aows o gafos of wo colos, he design pocess is simplified, because in a quick way you aives o he calculaion algoihm wih he soluion of he poblem. The fundamenal objecive of he wok is o inoduce he diagams of aows in he design of helical spings. Key wods: Spings, gafos, algoihm, design.