ANALISIS VECTORIAL Y TENSORIAL

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1 1 DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS CARRERA DE INGENIERIA CIVIL ANALISIS VECTORIAL Y TENSORIAL EJERCICIOS PROPUESTOS GQP SEMESTRE II/2016

2 2 SEMESTRE II/2016 ANALISIS VECTORIAL Y TENSORIAL PRACTICA # 1 VECTORES Y ESCALARES PUNTO Y VECTOR : Un objeto físico, consideramos a un punto como el objeto físico más simple, tiene propiedades : ubicación, masa, velocidad, temperatura, etc. La cantidad o magnitud de la propiedad que posee el objeto físico se mide en alguna unidad de nida. Si dicha magnitud se puede representar solamente por un número, esa propiedad se dice que es un escalar ; y si dicha propiedad se representa por más de un número se denomina magnitud vectorial. Dado el plano, cada punto de él se puede representar mediante un par de números reales ( gracias a un sistema de coordenadas ). Un punto simplemente es una ubicación o posición en el plano ( no tiene módulo, dirección o sentido ) Un vector desplazamiento es una magnitud física que permite trasladar un punto ( inicial ) a otro punto ( nal ) ( actúa sobre un punto y lo transforma en otro punto ). El módulo de un vector desplazamiento nos indica la distancia entre la posición nal y la posición inicial de la partícula. La dirección de un vector es la recta de nida por la posición inicial y la nal de la partícula; o cualquier recta paralela. El sentido de un vector indica en cuál de las dos posibilidades de desplazarse sobre la recta, se realiza el desplazamiento. Las nociones fundamentales de este capítulo se re eren a movimientos de puntos en un espacio y a las distancias de nidas por dichos movimientos. EJERCICIOS 1. Determinar algebraicamente el vector desplazamiento A ( y hacer el grá co respectivo ) que desplaza : a) el punto (3; 4) al punto (8; 2). b) el punto (0; 4) al punto (0; 4). c) el punto (x 1 ; y 1 ) al punto (x 2 ; y 2 ) 2. Un automovil recorre 4 kilómetros al norte y luego 6 kilómetros hacia el noreste. Representar estos vectores como echas y halle el desplazamiento total : a) grá- camente. b) algebraicamente.halle los módulos de los vectores empleados en el problema y explique el signi cado de esos valores. 3. a)los puntos (2; 6), (11; 9) y (5; 3) son tres vértices de un cuadrado. Marcar dichos puntos y mediante desplazamientos encontrar el cuarto vértice y el centro del cuadrado.b) Mediante desplazamientos determinar los puntos que trisectan el segmento de recta determinado por los puntos (3; 1) y (6; 2). Realize el grá co respectivo y controle sus resultados numéricos 4. Qué conjunto de puntos representa : a) la expresión (1; 0) + k(0; 1) + r(1; 1) donde (1; 0) es punto y 0 k; r 1 b) P + ka + rb donde P es un punto del plano y 0 k; r Dadas las 8 propiedades de las operaciones suma de vectores y multiplicación por un escalar o número real en R 2 ( como también en R n ); indicar en sus propias palabras el signi cado de dichas igualdades en términos de desplazamientos.

3 3 (x 1 ; x 2 ) + (y 1 ; y 2 ) = (x 1 + y 1 ; x 2 + y 2 ). k(x 1 ; x 2 ) = (kx 1 ; kx 2 ) A + B = B + A A + (B + C) = (A + B) + C ( 0 es el desplazamiento nulo ) A + 0 = 0 + A Para cada vector A existe un vector W, tal que : A + W = W + A = 0 k(a + B) = ka + kb (k + r)a = ka + ra k(ra) = (kr)a 1A = A 6. Dados los vectores A = (4; 2), B = ( 3; 1), C = (2; 4), D = ( 1; 5) ; construir grá camente los vectores : a) 3A 2B (C D) :b) 1 2 C (A B + 2D) 7. El baricentro de un triángulo es la intersección de las medianas y se conoce que se encuentra ( sobre cada mediana ) a distancia de 1 3 de un lado y 2 3 del vértice respectivo. Empleando suma y multiplicación por escalar de nidas sobre vectores, determinar el baricentro del triángulo de vértices (10; 0; 0), (0; 18; 0) y (0; 0; 24) 8. Dado el cuadrilátero de vértices (2; 4; 0), (8; 0; 0), (5; 10; 0) y ( 6; 2; 0), comprobar que los vectores que unen los puntos medios de sus lados son dos a dos iguales o inversos aditivos. 9. El módulo de un vector A = (x; y) se calcula según jaj = p x 2 + y 2 Un vector unitario es un vector que tiene módulo 1 Por ejemplo V = ( 3 5 ; 4 5 ) es un vector unitario. Para cualquier vector A, los vectores 1 A son vectores unitarios con la misma dirección que el vector A, pero de jaj sentidos contrarios. Los vectores unitarios (1; 0) y (0; 1) se acostumbra denotarlos por i = (1; 0) ; j = (0; 1) entonces el vector A = (x; y) se puede escribir como A = xi + yj Empleando vectores desplazamientos, determinar los puntos del plano que se encuentran sobre la recta determinada por los puntos (0; 0) y (3; 4) y a una distancia de 100 unidades 10. Sean A ; B ; C ; D ; E ; F los vértices de un exágono regular inscrito en una circunferencia de radio 1. Si un punto se desplaza sucesivamente según los vectores!!!!! desplazamientos AB, AC, AD, AE y AF ; determine a qué distancia se halla su posición nal respecto de su posición inicial.

4 4 11. Demostrar la igualdad vectorial! OA + OB! + OC! = OP! + OQ! + OR! siendo O un punto cualquiera interior al triángulo ABC y P, Q, R los puntos medios de los lados AB, BC y CA respectivamente. Es cierta la igualdad, si O es un punto exterior al triágulo dado?. Justi que su respuesta. 12. Determinar geométricamente todos los puntos del plano que corresponden a la expresión algebraica (1; 0) + t(1; 1) ; 1 < t < Cuando se escribe el vector A = (3; 4) en la forma n 3i + 4j, se dice que está escrito en la base fi; jg. Escribir el vector A en base!a! o ; b, con!! a = i + j, b = j A = u! a + v! b El par de números (u; v) se denomina coordenadas del vector A en base! a;! b Representar geométricamente el vector A tanto en la forma forma u! a + v! b. 3i + 4j, como en la 14. Sean r 1, r 2,..., r n los vectores posición, respecto de un origen O, de las masa puntuales m 1, m 2 ;..., m n respectivamente. Demostrar que el vector posición del centro de masa viene dado por r = m 1r 1 + m 2 r 2 + :::::: + m n r n m 1 + m 2 + ::::::: + m n independientemente del origen elegido. Es decir, si elige otro punto O como origen de coordenadas, la posición del centro de masa es siempre la misma. 15. Determinar el centro de masa de 4 masas puntuales ubicadas sobre un cuadrado de lado 8 metros; donde las masas - recorriendo en sentido antihorario - son respectivamente 1 Kg:, 2 Kg:, 4 Kg: y 8 Kg: respectivamente. 16. Una partícula ubicada en el origen de coordenadas se desplaza hasta el punto (10; 5) siguiendo por una parte direcciones dadas por los vectores (2; 1) y ( 1; 1) ; y por otra parte direcciones según los vectores (1; 3) y (0; 2). En cuál de los movimientos recorre mayor distancia? 17. Una partícula inicialmente ubicada en el punto (0; 0; 8) se desplaza hasta el punto (10; 20; 30) siguiendo las direcciones dadas por los vectores (2; 1; 1), (0; 3; 4) y ( 1; 1; 2) determinar la distancia total recorrida por la partícula 18. Repasar los Ejercicios Resueltos del texto base: 3, 4, 10, 12, 13, 16, 19, 21, Resolver los Ejercicios Propuestos: 36, 45, 50, 51, 57.

5 5 PRACTICA # 2 CAMPOS, PRODUCTO ESCALAR, PRODUCTO VECTORIAL 1. Expresar el vector desplazamiento A = 6i 8j como suma de dos vectores i) en las direcciones de a = i + j, b = 3i j. ii) en las direcciones de a = 2i, b = i + j. Realize los grá cos correspondientes 2. Un campo escalar ( distribución de temperatura en el plano ) está dada por la función T (x; y) = x y i) representar grá camente los puntos del plano donde la temperatura T vale : T = 0, T = 1, T = 2, T = 3, T = 1, T = 2, T = 3. ii) En base a la resolución del inciso anterior, determinar en qué punto del cuadrado de vértices ( 4; 4) se tiene la mayor temperatura. En qué punto del círculo (x; y) j x 2 + y 2 9 se tiene la menor temperatura. 3. Lo mismo que el ejercicio anterior para el campo escalar ( distribución de temperatura en el plano ) T (x; y) = xy 4. Determinar el módulo del vector proyección cuando A = (2; 2; 1) se proyecta sobre el plano que pasa por los puntos (4; 0; 0), (0; 8; 0) y (0; 0; 12): 5. Determinar la relación entre la altura y la base de un rectángulo, si cuando se proyecta la base sobre una diagonal, el módulo de la proyección es la cuarta parte de la longitud de la diagonal. 6. Calcular el trabajo realizado por la fuerza F = 3i + 4j al desplazar una masa puntual desde el punto (0; 4) hasta (10; 8) : i) mediante la fórmula T = Fuerza en dirección del desplazamiento x distancia desplazada ( no se emplea vectores ).ii) Mediante la fórmula T = F D ( producto escalar del vector fuerza dado por el vector desplazamiento ). 7. Si F = 3i + 4j y D = 6i + 2j, cuál es el signi cado ( en términos de trabajo ) del valor F D ( en particular del valor negativo y cero de dicho producto escalar )?. 8. Se denomina vector posición de un punto ( en el plano o en el espacio ) al vector desplazamiento necesario para trasladar una partícula ubicada en el origen hasta dicho punto. a) Si P 1 y P 2 son los vectores posición de los puntos M y N ; cuál es el signi cado que se puede dar a la suma de los vectores posición P 1 + P 2?. Realize el grá co respectivo. Ilustre su a rmación con un ejemplo concreto tanto en el plano como en el espacio. 9. Un campo vectorial ( distribución de vectores fuerzas en el plano ) está dado por la función F (x; y) = (y; x) o F (x; y) = yi xj

6 6 i) representar los vectores del campo en los puntos (1; 0), (2; 0), (1; 1), (1; 2), (0; 1), (0; 2), ( 1; 1), ( 1; 2), ( 1; 0), ( 2; 0), ( 1; 1), ( 1; 2), (0; 1), (0; 2), (1; 1), (1; 2): ii) representar grá camente los puntos donde las fuerzas correspondientes tienen la misma dirección que el vector A = i + j iii) representar grá camente los puntos donde las fuerzas correspondientes tienen módulo 5. iv) si se ubicara una masa puntual de 1 kg en un punto del plano donde la fuerza F tiene módulo 5; y la misma dirección y sentido que el vector A = i + j: Describa el movimiento inicial de dicha masa. ( las unidades de F en cada componente son Newtons ) 10. Lo mismo que el ejercicio anterior para el campo vectorial F (x; y) = ( x; y) o F (x; y) = xi yj 11. Demostrar que en un campo vectorial de fuerzas constante, se desplaza una masa puntual alrededor de un polígono cerrado cualquiera, entonces el trabajo realizado en dicho desplazamiento por las fuerzas del campo es cero. 12. Un campo vectorial de fuerzas central está de nido en el plano. En cada punto P del plano, está de nido un vector fuerza F, donde su dirección es la recta que pasa por el punto y el centro O; su sentido es el que va del punto al centro O y su módulo es igual al inverso de la distancia al cuadrado del punto P al centro. O a) Empleando el sistema de coordenadas cartesianas (y ubicando el centro O en el origen de coordenadas), expresar vectorialmente dicho campo de fuerzas. 13. Una partícula ubicada en el punto ( 10; 0) crea en cada punto (x; y) del plano, una fuerza de atracción de módulo 1, en dirección y sentido hacia el punto ( 10; 0). Otra partícula ubicada en (10; 0) crea en cada punto (x; y) del plano, una fuerza de atracción de módulo 1; en dirección y sentido hacia el punto (10; 0):Bosquejar el campo de fuerzas resultante a) sobre la recta x = 0, b) sobre la recta y = Calcular el trabajo realizado para desplazar una partícula a lo largo de la poligonal ( 4; 0), ( 2; 2), (0; 4), (2; 2) y (4; 0) por el campo vectorial de fuerzas constante a) F (x; y) = i + j. b) F (x; y) = 2j. 15. En el espacio se tiene que el campo ( vectorial ) de velocidades originado por los vectores velocidad de un líquido en movimiento, es constante (en todo instante ) ; y está dado por V (x; y; z) = (0; 3; 0) = 3j

7 7 calcular el caudal ( volumen de líquido que atraviesa un área por unidad de tiempo ) que pasa por el área rectangular de vértices (0; 2; 0), (3; 2; 0), (0; 2; 5) y (3; 2; 5) 16. Lo mismo que el ejercicio anterior cuando V (x; y; z) = i + 2j + 2k : i) sin emplear vectores. ii) empleando vectores. 17. Para el campo vectorial de velocidades V (x; y; z) = i + 2j + 2k y el paralelepípedo de vértices (0; 0; 0), (4; 0; 0), (4; 4; 0), (0; 4; 0), (0; 0; 8), (4; 8; 0), (4; 4; 8) y (0; 4; 8) y el recinto ; determinar las partes de la super cie de dicho recinto donde está : i) ingresando líquido. ii) saliendo líquido. iii) no ingresa, ni sale líquido. 18. Dados los vectores A = 3i + 4j, B = i + 2j + 2k ; determinar A B y veri car que A? A B ; B? A B ; ja Bj = jaj jbj sin y que ja Bj representa el área del paralelogramo determinado por los vectores A y B. 19. Determinar el área del paralelogramo generado por los vectores A = (6; 2; 0) y B = (2; 4; 0) 20. Repasar Ejercicios Resueltos 38, 40, 41, 43, 45 ; 47, 53, Si una masa puntual de masa m está unida a un punto jo mediante una varilla muy delgada ( que puede girar alrededor de dicho punto ) en el plano. El punto jo tiene coordenadas (0; 0), la varilla inicalmente está ubicada sobre el eje x positivo y tiene una longitud l = 6 ( metros ). Si se aplica a dicha masa una fuerza F = i + j, la masa puntual empieza a girar; calcule el momento de torsión de la fuerza F al inicio de la rotación : i) i) sin emplear producto vectorial. ii) empleando el producto vectorial. 22. Resolver los Ejercicios Propuestos 66, 68, 71, 72, 73, 92, 95, 96, 97, 102; 104:

8 8 PRACTICA # 3 DIFERENCIACION VECTORIAL CURVAS EN R 3 1. Si dos partículas se mueven según las funciones r(t) = (t; t 2 ; 1) y p(t) = (t; t; 1), determinar los instantes donde dichas partículas se encuentran. (realize los grá cos correspondientes ) 2. Si una partícula se mueven según las r(t) = (cos t; sin t; 0) a) determinar los vectores p p tangentes en los puntos (1; 0; 0), (0; 1; 0), ( 1; 0; 0), (0; 1; 0), ( 2 2 ; 2 2 ; 0), ( realize los grá cos correspondientes ).b) mostrar que el ángulo entre dos vectores tangentes cualesquiera es igual al ángulo formado por los vectores posición de los puntos donde se calculan los vectores tangentes. 3. Determinar la ecuación de la recta tangente a la curva r(t) = (t 2 ; t; 0) en el punto : i) (1; 1; 0), ii) (4; 2; 0) 4. En qué punto se intersectan las rectas tangentes anteriores? 5. Si r(t) = (t; t 2 ; 0) da la posición de una partícula que se mueve en el plano, determinar la ecuación del plano osculador de la curva en el punto (2; 4; 0). ( NOTA : el plano osculador pasa por el punto dado con vector normal que es perpendicular a r y r, calculados en dicho punto 6. Para la curva r(t) = (cos t; sin t; t), determinar la ecuación del plano osculador de la curva en el punto : a) (1; 0; 2 ), b) (0; 1; 3 2 ) 7. La curvatura de una curva en un punto se calcula según la fórmula r x r { = r 3 ( mide la variación del ángulo de tangencia por unidad de longitud de arco, cuando dicha longitud tiende a cero. Cuanto mayor es la curvatura en un punto, mayor curveamiento de la curva se da en dicho punto ). Empleando propiedades geométricas, mostrar que la curvatura de una circunferencia es igual a = 1 R, siendo R el radio de la circunferencia. 8. Empleando el concepto de curvatura, determinar aproximadamente la curvatura de la grá ca de y = x 2 en el punto (0; 0). Calcule la longitud de arco desde (0; 0) hasta (0;01; 0;01 2 ) y la variación del ángulo de tangencia entre dichos puntos. 9. Gra car la curva r(t) = (t; t 2 ; 0) y determinar su curvatura para cada t e indicar el comportamiento de dicho valor a medida que t aumenta. Representar la grá ca de (t) en función de t 10. En el ejercicio anterior, determinar la ecuación del círculo osculador en el punto de mayor curvatura.

9 9 11. Dada curva r(t) = (R cos t; R sin t; 0) y determinar su curvatura para cada t e indicar el comportamiento de dicho valor a medida que t aumenta. 12. Gra car la curva r(t) = (t cos t; t sin t; 0), t 0 ( espiral ) y determinar su curvatura para cada t; indicar el comportamiento de dicho valor a medida que t aumenta. Representar la grá ca de (t) en función de t 13. La torsión de una curva en un punto se calcula según la fórmula r r r = r r 2 ( mide la variación del ángulo de la binormal - perpendicular al planoosculador - por unidad de longitud de arco, cuando dicha longitud tiende a cero. Cuanto mayor es la torsión en un punto, se tiene mayor variación del plano osculador, plano que localmente contiene a la curva ; y por tanto mayor torcimiento de la curva ). 14. Hallar a) vector tangente unitario T, b) normal principal N, c) binormal B, d) curvatura, e) torsión de la curva x = t t 3 3 ; y = t2 ; z = t + t Lo mismo que en el ejercicio anterior, para la curva r(t) = (t; t 2 ; t 3 ) 16. En los dos ejercicios anteriores, determinar las ecuaciones de los planos osculador, normal y recti cante en el punto ( 3; 9; 12) 17. Veri car que se cumple! a = dv dt! v 2! T + N ; = 1 para la curva r(t) = (t; t 3 ; 0) en t = En relación al ejercicio anterior, para qué clase de curvas se tiene a) componente tangencial nula?. b) componente normal nula?. 19. Repasar Ejercicios Resueltos 9, 12, 24, 25, 26: 20. Resolver los Ejercicios Propuestos 50, 52 (determinar en qué puntos se tiene la máxima y mínima curvatura), 58, 66, 67, 70.

10 10 PRACTICA # 4a GRADIENTE 1. Calcular la derivada direccional de f(x; y) = x 2 +y 2 en el punto (1; 1) en la dirección i) v = (3; 4), ii) v = (0; 2), iii) v = ( 3; 0). En cuál de las direcciones es mayor dicha derivada direccional?. 2. Siendo = x 2 + y 2, hallar r, jrj. Explicar el signi cado de los dos resultados encontrados, sabiendo que (x; y) representa la temperatura en el punto (x; y). Comprobar el signi cado de jrj en el punto (3; 4) 3. Siendo = 2xz 4 x 3 y, hallar r, jrj. Explicar el signi cado de los dos resultados encontrados, sabiendo que (x; y; z) representa la temperatura en el punto (x; y; z). Comprobar el signi cado de jrj en el punto (1; 1; 2) 4. Estudiar los ejercicios resueltos 8, 9(página 62, 63) 5. Sea la función que da la distancia desde un punto cualquiera (x; y; z) a otro punto jo (a; b; c). Mostrar que r es un vector unitario en la dirección y sentido de! AP. 6. Hallar r jrj 3, siendo r = (x 2 + y 2 + z 2 ) 1 2. Explicar el signi cado del resultado encontrado y comprobarlo para el punto (1; 2; 2). 7. Demostrar que rf(r) = f 0 (r) r r 8. Siendo r(r) = 2r 4 r, hallar (r). 9. Si (x; y) = 0 representa una curva plana, entonces r(x 0 ; y 0 ) es un vector perpendicular a dicha curva en el punto (x 0 ; y 0 ) que le pertenece. Veri car este resultado para las siguientes curvas ( de nidas implícitamente ) a) y x = 0 b) y x 2. c) xy 9 = 0.d) x 2 y 2 = 25 :e) x y2 4 = Sea P un punto cualquiera de la elipse cuyoo focos son los puntos A y B. Mostrar que los segmentos AP y BP forman ángulos iguales con la recta tangente a la elipse en el punto P. Nota : La elipse es el conjunto de puntos del plano cuya suma de distancias a los dos focos jos A y B es constante. ( Ver ejercicio 14, página 63 ) 11. Si (x; y; z) = 0 representa una super cie en el espacio, entonces r(x 0 ; y 0 ; z 0 ) es un vector perpendicular a dicha super cie en el punto (x 0 ; y 0 ; z 0 ) que le pertenece. Los anterior quiere decir que es perpendicular a todos los vectores tangentes de las curvas ubicadas en dicha super cie y que pasan por el punto P. veri car este resultado para la super cie esférica x 2 + y 2 + z 2 = 1, P = (0; 1; 0) y la curva x = 0, y = cos t, z = sin t 12. Determinar la ecuación del plano tangente al paraboloide z = x 2 + y 2 en el punto (1; 2; 5). Dicho plano tangente corta en algún otro punto a la super cie? 13. Para = 2xz 4 x 3 y, hallar r _v, siendo _v un vector unitario. Tome (x; y; z) = (1; 2; 2) y v = (3; 4; 0). Explique el signi cado del valor encontrado. Compruebe ( aproximadamente ) su a rmación. 14. Resolver los Ejercicios Propuestos 62, 63, 64, 65 (página 78-79)

11 Para el = 2xz 4 x 3 determine la dirección v tal que la variación por unidad de longitud recorrida ( longitud muy pequeña ) a partir de (1; 2; 2) valga Se sabe que el gradiente de un campo escalar = (x; y) ( distribución de temperatura ) está dado por r = (2x; y) y que la temperatura en el punto (2; 4) vale 6. Hallar el valor del campo escalar ( o la temperatura ) en el punto (6; 2) 17. Sea = (x; y) ( distribución de temperatura ) está de nido en una lámina rectangular. Mostrar que : a) si en un punto interior de la lámina se tiene localmente máxima o mínima temperatura, entonces se tiene que cumplir que r en dicho punto debe valer 0 = (0; 0) b) si en un punto de la frontera de la lámina se tiene localmente máxima temperatura, entonces r debe formar un ángulo mayor o igual a 90 con la frontera ( en dicho punto ) de la lámina rectangular 18. Dado = y x 2 (distribución de temperatura ), determinar los puntos a mayor temperatura y/o menor temperatura ( localmente ) en a) la lámina rectangular de vértices (4; 8) y (12; 8). b) en el segmento parabólico y x 2 + 4, y 20 c) en el circulo de centro (0; 4) y radio 4.

12 12 PRACTICA 4b DIVERGENCIA - ROTACIONAL 1. Dado el campo de velocidades de un líquido en el plano : i) bosquejar el campo dibujando el vector velocidad en algunos puntos del plano. ii) calcular la divergencia del campo de velocidades e indicar en su grá co anterior dos curvas respectivamente donde la divergencia sea constante. a) V (x; y) = xi + yj b) V (x; y) = 3i c) V (x; y) = yj d) V (x; y) = r n r, para n = 3, 2, 1, 1. r = p x 2 + y 2 ), r =(x; y) : 2. En base al signi cado de la divergencia, para cada uno de los casos del ejercicio 1; determinar los puntos del plano donde se tiene fuente, sumidero o ninguno de ellos. 3. Dado el campo de velocidades en el espacio V (x; y; z) = x 2 i + y 2 j + z 2 k, determinar los puntos del espacio donde se tiene fuente, sumidero o ninguno de ellos. 4. Dado el campo de velocidades en el espacio V (x; y; z) = xi + yj + zk, cuál es el signi cado físico del valor de su divergencia en cada uno de los puntos del espacio? 5. Dado el campo de velocidades V (x; y; z) = 3k, calcular la cantidad de uído que está ingresando y la que está saliendo por unidad de tiempo en el paralelepípedo determinado por los puntos (4; 0; 0), (4; 6; 0), (0; 6; 0), (0; 0; 0), (4; 0; 10), (4; 6; 10), (0; 6; 10), (0; 0; 10). 6. Estudiar el ejercicio resuelto Dado el campo de velocidades V (x; y; z) = 3zk, calcular la cantidad de uído que se está creando en el interior del paralelepípedo del ejercicio anterior. 8. De nir un campo de velocidades en el espacio donde el valor máximo ( mínimo ) de la divergencia se de en el punto (4; 4; 0) 9. Dado el campo de velocidades V (x; y; z) = xi + yj + zk, y dado el recinto cúbico con centro en el origen y lado 2h (h t 0 ), calcular la cantidad de líquido que está saliendo del recinto manos el que está ingresando por unidad de tiempo ( ujo total ) y comparar con el valor de la divergencia del campo en el origen. 10. Dado un campo escalar, su gradiente es un campo vectorial ; y de dicho campo vectorial se puede obtener su divergencia. Así también : dado un campo vectorial se puede obtener su divergencia que es un campo escalar ; y de dicho campo se puede obtener su gradiente. a) Calcular div(grad (x; y; z) ), siendo (x; y; z) = x 2 + y 2 + z 2 b) Calcular grad( div V) si V (x; y; z) = x 2 i + y 2 j + z 2 k 11. Qué signi cado se puede asignar al valor encontrado en el inciso b) del ejercicio anterior si V es un campo de velocidades?.

13 Dado el campo de fuerzas el plano : i) bosquejar el campo dibujando el vector correspondiente en algunos puntos del plano. ii) calcular el rotacional del campo e indicar los puntos donde el rotacional es el vector nulo. a) F (x; y) = xi + yj b) F (x; y) = yi + xj c) F (x; y) = yj d) F (x; y) = r n r, para n = 2, 1. r = p x 2 + y 2 ), r =(x; y) : 13. En base al signi cado del rotacional, para cada uno de los casos del ejercicio 1; determinar los puntos donde una partícula estará sometida a una rotación, señalar el sentido de la rotación. 14. Calcular la circulación del campo vectorial F (x; y) = yi + xj sobre el cuadrado de vértices (h; h) ;siendo h un valor muy pequeño ( h t 0 ) : Como el campo es variable, considere que es constante sobre cada lado del cuadrado con un valor igual al que toma en el punto medio de cada lado respectivamente. Calcule el límite del cociente de dicha circulación sobre el área del cuadrado cuando h t 0 y compare ese valor con el valor del rotacional en el centro del cuadrado. 15. Dado el campo vectorial F (x; y; z) = (xz 3 ; 2x 2 yz; 2yz 4 ), calcular el rotacional de F en el punto (1; 1; 1). Si se coloca una partícula plana circular en el punto indicado, cuál es el comportamiento de dicha partícula?. 16. En relación al ejercicio anterior, cuál es el signi cado de los vectores componentes del rotacional encontrado ; es decir, de (rot(f ) i)i, (rotf j)j, (rotf k)k :?. 17. Siendo! v =!!! r ; donde!! es un vector constante, demostrar que!! = 1 2 rot(! v ). Explicar el signi cado del resultado encontrado en un contexto físico :! v es el evctor velocidad tangencial,!! es el vector velocidad angular, y! r es el vector posición de la partícula respecto de un origen ubicado en la recta direccional o dirección de!!.

14 14 PRACTICA # 5 INTEGRACION VECTORIAL Y TEOREMAS INTEGRALES 1. Dado el campo de fuerzas F (x; y) = ( y; x), calcular H c F dr ;a lo largo de la curva que es el perímetro del cuadrado de vèrtices (0; 0), (3; 0), (3; 3), (0; 3) ; en sentido antihorario.cuál es el signi cado del valor encontrado?. 2. Siendo F (x; y) = (2x + y; 3y x), hallar R c F dr, a lo largo de la línea quebrada C del plano que une los puntos (0; 0), (2; 0) y (2; 4). Cuál es el signi cado del valor encontrado?. 3. Resolver los dos ejercicios anteriores realizando una aproximación a la integral de linea respectiva mediante una partición de la curva de integración en 12 y 6 pedazos respectivamente. 4. Dado el campo vectorial F (x; y) = ( x; y) calcular el trabajo realizado al mover una partícula desde (1; 1) hasta (5; 5) a lo largo de la recta que los une : a) mediante una integral, b) dividiendo el desplazameinto en cuatro partes y considerar que el campo es aproximadamente constante en cada pedazo e igual al valor en el punto medio del pedazo. Calcular el promedio de la componente tangencial del campo sobre la curva. ( Promedio = integral curvilinea /L ; siendo L la longitud total del arco. 5. Dado el campo de velocidades V (x; y; z), calcular el ujo o caudal por la làmina triangular de vértices (4; 0; 0), (0; 4; 0) y (0; 0; 4) ; si a) F (x; y; z) = (x; 4; 4), b) F (x; y; z) = (x; y; z) 6. Resolver el ejercicio anterior, siendo la lámina por donde para el líquido la super cie cilíndrica de nida por x 2 + y 2 = 4, x 0, 0 z Mediante una integral de volumen, calcular a) el volumen limitado superior e inferiormente por la super cie esférica x 2 + y 2 + z 2 = 16 y lateralmente por el cilindro x 2 + y 2 = 1 8. La densidad ( variable ) en un punto cualquiera (x; y; z) del cubo de vèrtices (0; 0; 0), (2; 0; 0), (2; 2; 0), (0; 2; 0), (0; 0; 2), (2; 0; 2), (2; 2; 2), (0; 2; 2) está dada por (x; y; z) = xy + z determinar la masa de dicho cubo. 9. Estudiar el ejercicio resuelto 36 de la página 131 del texto base. Comprobarlo para el campo de velocidades V (x; y; z) = x 2 i + y 2 j + zk y el recinto cúbico de centro en el origen de coordenadas y lado h 10. Veri car el Teorema de la divergencia para : a) V = 3k, recinto : super cie esfèrica : x 2 + y 2 + z 2 9. b) V = i + yj + zk, recinto : cubo de lado 2 ubicado en el primer octante y con un vértices en (0; 0; 0) 11. Veri car el teorema de la divergencia para V = xi + yj + z 2 k, y el recinto está limitado por el cilindro y los planos : x 2 + y 2 4, z 8, z a) Se conoce que la divergencia de un campo de velocidades es r V (x; y; z) = 2(x + y + z). Determinar la cantidad de lìquido que està saliendo menos lo que està entrando por unidad de tiempo ( ujo total ) en el cubo de lado 2 ubicado en el

15 15 primer octante y con un vértices en (0; 0; 0). b) determinar, si existe, un campo de velocidades cuya divergencia sea justamente 2(x + y + z) ; en tal caso el inciso anterior empleando el campo de velocidades ( Teorema de la Divergencia ) 13. Comprobar el Teorema del Rotacional cuando F (x; y; z) = (x 2 ; y 2 ; z 2 ) y S es el cuadrado de vértices (0; 0; 0), (1; 0; 0), (1; 1; 0), (0; 1; 0). Indicar el signi cado físico de cada miembro de la igualdad encontrada 14. Comprobar el Teorema del Rotacional cuando F (x; y; z) = (2x y; yz 2 ; yz 2 ) y S es la super cie o hemisferio norte de la super cie esférica x 2 + y 2 + z 2 = Realizar el ejercicio 65 de la página 134 del texto base y comprobarlo cuando F (x; y; z) = yi + xj + 3k, y la super cie es el cuadrado ubicado en el plano z = 0, de centro el origen y de lado h. 16. Realizar el ejercicio 73 de la página 134 del texto base. Qué es lo que expresa sicamente el Teorema de Gauss?. 17. Estudiar el ejercicio resuelto 36 de la página 131del texto base.

16 16 PRACTICA # 6 COORDENADAS CURVILINEAS 1. Para los siguientes sistemas de coordenadas, calcular a) los vectores tangentes unitarios en los puntos indicados b) los vectores normales unitarios en los puntos indicados Coordenadas Cartesianas : (3; 4), ( 5; 0) Coordenadas Polares : (4; 3 ), (2; 2 ) Coordenadas Oblícuas : (3; 4), ( 5; 0). Con ecuaciones de transformación u = x ; v = x y 2; 0). Las ecuaciones de trans- Coordenadas Cilíndricas Parabólicas : (2; 1), ( formación ver en página 138 del texto base. 2. Considerando las bases B = f(1; 0); (0; 1)g y B = f(1; 1); (0; 2)g, determinar las ecuaciones de transformación u = u(x; y) ; v = v(x; y) que hacen que las bases dadas sean exactamente los vectores tangentes a las curvas coordenadas 3. Lo mismo que en el ejercicio anterior para las bases B = f(1; 0); (0; 1)g y B = f( 2; 1); (2; 4)g 4. Dado el sistema de coordenadas (u; v) cuyas ecuaciones de transformación a coordenadas cartesianas están dadas por u = x y ; v = 2y dibujar las curvas coordenadas para u = 0, 1, 2,3 ; v= 0, 1, 2,3. Determinar los vectores tangentes y vectores normales a las curvas coordenadas en u = 1, v = En relación al ejercicio anterior, determinar las componentes del vector (4; 8) respecto de la base formada por los vectores tangentes y las componentes respecto de la base formada por los vectores normales o gradientes a las curvas coordenadas 6. Dado el campo vectorial F = xyi + 2yj, expresarlo en: a) coordenadas polares. Comprobar su respuesta para el punto (; ) = (2; ). b) coordenadas oblícuas del 2 ejercicio 1. Comprobar su respuesta para el punto (u; v) = (3; 4) 7. Para los siguientes sistemas, y en los puntos indicados, determinar : a) ecuaciones de las curvas coordenadas b) ecuaciones de las super cies coordenadas c) vectores tangentes unitarios y vectores normales unitarios

17 17 Coordenadas Cartesianas (2; 4; 0), (0; 0; 1) Coordenadas Cilíndricas (1; 4 ; 2), (2; 2 ; 4) Coordenadas Esfèricas (1; 2 ; 2 ), (2; 0; 2 ) Coordenadas Oblícuas (2; 4; 6), con ecuaciones de transformación u = x ; v = x + y ; w = x + y + z 8. Dado el campo de velocidades V = (x+y)i yj, expresarlo en coordenadas cilíndricas parabólicas. Comprobar su respuesta para el punto (3; 1) cp. 9. Expresar el vector posición de un punto r = xi + yj, dado en el sistema cartesiano, en los diferentes sistemas del ejercicio Expresar el vector posición de un punto r = xi+yj+zk, dado en el sistema cartesiano ; en los diferentes sistemas del ejercicio Mostrar que d dt e = e ; ver ejercicio 5, página 142 del texto base. d dt e = e 12. Expresar la velocidad v y la aceleración a del movimiento de una partícula en coordendas : a) polares, b) oblícuas ( del ejercicio 1 ), c) esféricas. ver ejercicio 6, página 143 del texto base. 13. Hallar el elemento de línea para los diferentes sistemas del ejercicio 1, e indicar los factores de escala correspondientes. 14. Plantear la integral para calcular, en los diferentes sistemas del ejercicio 1, la longitud de arco de la curva : a) r(t) = (3t; 4t), 0 t 2 : b) r(t) = (R cos t; R sin t), 0 t : c) r(t) = (t; t 2 ), 0 t Plantear la integral para calcular el volumen de los recintos que se detallan, en el sistema : a) cartesiano, b) cilíndrico, c) esférico : El recinto limitado por x 2 + y 2 = 4, z = 0, z = 8 El recinto limitado por x 2 + y 2 + z 2 = 9, z 2 = x 2 + y Determinar los elementos de super cie de las super cies : a) r(x; y) = xi+yj +0k ( plano z = 0 ). b) r(u; v) = ui + vj + (u 2 + v 2 )k ( paraboloide z = x 2 + y 2 ). c) r(u; v) = (3 cos u sin v; 3 sin u sin v; 3 cos u) ( super cie esférica x 2 + y 2 + z 2 = 9 ). 17. Expresar el gradiente de (x; y) = x 2 + y 2 en los diferentes sistemas de coordenadas del ejercicio 1.En particular comprobar la equivalencia de sus resultados para el punto de coordenadas cartesianas (3; 4). 18. Expresar el gradiente de (x; y; z) = x 2 + y 2 + z 2 en los diferentes sistemas de coordenadas del ejercicio 4.En particular comprobar la equivalencia de sus resultados para el punto de coordenadas cartesianas (2; 2; 1).

18 Expresar la divergencia del campo de velocidades v(x; y; z) = x 2 i + y 2 j + z 2 k en los diferentes sistemas del ejercicio 4. En particular comprobar la equivalencia de sus resultados para el punto de coordenadas cartesianas (2; 2; 1). 20. Expresar el rotacional del campo de fuerzas F (x; y; z) = yi + x 2 j + z 2 k en los diferentes sistemas del ejercicio 4. En particular comprobar la equivalencia de sus resultados para el punto de coordenadas cartesianas (2; 2; 1). 21. Dado el campo vectorial F = xyi + 2yj, expresarlo en coordenadas polares. Comprobar su respuesta para el punto (; ) = (2; 2 ). 22. Dado el sistema de coordenadas (u; v) cuyas ecuaciones de transformación a coordenadas cartesianas están dadas por u = x y ; v = 2y dibujar las curvas coordenadas para u = 0, 1, 2,3 ; v= 0, 1, 2,3. Determinar los vectores tangentes a las curvas coordenadas en u = 1, v = Dado el campo de velocidades V = (x + y)i yj, expresarlo en coordenadas u, v.comprobar su respuesta para el punto (u; v) = (3; 1) COMPONENTES CO Y CONTRAVARIANTES 24. Aceptando que el vector posición, que en coordenadas cartesianas es r = xi + yj, es un Tensor Contravariente ; esto es, si las ecuaciones de transformación de un sistema X a otro sistema X están dadas como _ A q Aq a partir del vector posición en coordenadas cartesianas determinar dicho vector en coordenadas : a) Polares. b) En el sistema oblìcuo : x = u, y = u v Veri car grà camente sus respuestas. 25. Aceptando que el vector velocidad, que en coordenadas cartesianas es r = dx dy i+ dt dt j, es un Tensor Contravariente ; esto es, si las ecuaciones de transformación de un sistema X a otro sistema X están dadas como determinar dicho vector en coordenadas : _ A q Aq a) Polares. b) En el sistema oblìcuo : x = u, y = u v c) Determinar, en los tres sistemas, el vector velocidad de la curva cuya posición - en cartesianas - está dada por Veri car grà camente sus respuestas. x = t 2 ; y = 4t

19 Dado el campo de fuerzas del ejercicio 4, pàgina 142 del texto base ; resolver el ejercicio considerando que dicho campo de fuerzas es un tensor contravariante. 27. Si consideramos un sistema de coordenadas u 1 ; u 2, cuyas ecuaciones de transformación a coordenadas cartesianas están dadas por : u 1 = u 1 (x; y), u 2 = u 2 (x; y) ; los vectores perpendiculares a las curvas coordenadas o curvas de nivel u 1 (x; y) = c 1, u 2 (x; y) = c 2 ; vectores que se determinan hallando ru 1 y ru 2 ; forman una base denominada COVARIANTE. Por ejemplo : En polares = p x 2 + y 2 = c 1 y = tan 1 ( y x ) = c 2 ( circunferencias y semirrectas ) son curvas de nivel ; y r = x p x 2 + y i + y p 2 x 2 + y j 2 r = y x 2 + y 2 i + x x 2 + y 2 j constituyen la base covariante del sistema. Si (x; y) = (1; 1) ;entonces la base covarainte es : r = p 1 i + p 1 j ; r = i j Si las ecuaciones de transformación - de un objeto físico, de un sistema X a otro sistema X están dadas como _ A p Aq dicho objeto se denomina Tensor covariante de orden 1. En cada caso, los A son las coordenadas del objeto fìsico en la base covariante. Se sabe que la gradiente de un campo escalar es un tensor covariante ; encontrar la gradiente del campo escalar en los sistemas = (x; y) = xy a) Polares. b) En el sistema oblìcuo : x = u, y = u v Veri que grà camente sus respuestas. 28. Lo mismo que el ejercicio anterior, peor para el campo escalar : = (x; y; z) = x 2 + y 2 + z 2 en los sistemas a) Esfèricas. b) En el sistema oblícuo : u = x, v = y, w = x + y + z Realize una representación grá ca de sus resultados.

20 20 PRACTICA # 8 CALCULO TENSORIAL Esta última práctica se completará de acuerdo al avance programático, de manera que se pueda completar al menos una introducción al cálculo tensorial. 1. Dadas las bases B = fe 1 ; e 2 ; ::::; e n g y B = fe 1 ; e 2 ; ::::; e n g, donde se tiene las relaciones x = x p e p = x q e q e q = A p qe p ; e p = A q pe q se cumple que x p = A p qx q ; x q = A q px p las x p y las x q se denominan componentes contravariantes del vector x respecto de las bases B y B respectivamente. Veri car dichas relaciones para a) x = (8; 4), B = f(1; 1); (0; 2)g y B = f( 1; 1); (1; 0)g b) x = ( 4; 0), B = f(1; 1); (0; 1)g y B = f(1; 2); (2; 1)g 2. Dados los vectores x = x p e p ; y = y q e q su producto escalar x y está dado por x y = x p y q e p e q x y = g pq x p y q ; con g pq = e p e q determinar g pq para la base B = f(1; 1); (0; 2)g y g rs para la base B = f( 1; 1); (1; 0)g, en ambos casos realizar el producto escalar de los vectores x = (3; 4) y y = (1; 2) 3. Dado el vector x = x p e p, se dice que los x p son las componentes contravariantes del vector x respecto de la base B. Por otro lado los valores x q = x e q se denominan las componentes covariantes del vector x respecto de la base B. Determinar las componentes contravariantes y covariantes del vector x = (3; 4) respecto de la base B = f(1; 1); (2; 2)g 4. Las componentes contravariantes y covariantes de un vector x, se trasforman según las ecuaciones x p = A p qx q ; x q = A q px p x p = A q px q ; x q = A p qx p Veri car las anteriores ecuaciones de transformación para el vector x = (3; 4) respectos de las bases B = f(1; 0); (2; 2)g y B = f( 1; 1); (1; 1)g 5. Comprobar que las componentes covariantes de un vector x respecto de una base B, son iguales a sus componentes respecto de los vectores normales a las curvas coordenadas de nidas por las ecuaciones de transformación u = u(x; y), v = v(x; y). Tome como caso concreto x = (4; 2) y la base B = f( 1; 1); (1; 1)g

21 21 6. Existen dos maneras de realizar transformación de componentes contravariantes y covariantes : a) usando los coe cientes A p q y A q p de nidas por los cambios de base. b) usando las ecuaciones de transformación de coordenadas x 1 = x 1 (x 1 ; x 2 ), x 2 = x 2 (x 1 ; x 2 ) Veri que las a rmaciones anteriores para x = (2; B = f( 1; 1); (1; 1)g 2), siendo B = f(1; 0); (0; 1)g y Nota : en el análisis tensorial se emplea la segunda forma debido a que, por la forma del espacio estudiado, las base van cambiando de punto a punto ; y en este caso es más simple manejar las ecuaciones de transformación. 7. Realizar la suma, diferencia, producto externo, producto interno de los vectores a) A p y B q s en un espacio de 2 dimensiones. b) A p y B q Repasar los Ejercicios Resueltos 8. Ejer 1 (pag:175) 9. Ejer 3 (pag:176) 10. Ejer 7 (pag:177) 11. Ejer 9 (pag:179) 12. Ejer 28 (pag:186) 13. Ejer 30 (pag:187) 14. Ejer 35 (pag:189) 15. Ejer 41 (pag:191) Ejercicios sobre símbolos de Christo el Ejercicios sobre derivada covariante Ejercicios sobre gradiente, divergencia y rotacional