VALORACIÓN Y DETERMINACIÓN DEL MOMENTO ÓPTIMO DE CORTE DE UNA EXPLOTACIÓN FORESTAL. APLICACIÓN DEL MODELO DE OPCIONES REALES *

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1 ALORAIÓN Y DEERMINAIÓN DEL MOMENO ÓPIMO DE ORE DE UNA EXPLOAIÓN FORESAL. APLIAIÓN DEL MODELO DE OPIONES REALES * Suana Alono Boni Eleuerio allelado González $ Univeridad de alladolid Dpo. Economía y Adminiración de Emprea Avenida alle de Egueva, alladolid, Epaña el: Fax: alono@eco.uva.e eyo@eco.uva.e Y Joé Manuel Henrique Xavier Univeridad de Salamanca Deparameno de Adminiración y Economía de la Emprea Rua Robero Iven, 309 5º D 4450 Mahoinho, Porugal el: Nop5884@mail.elepac.p * Lo auore agradecen la ayuda y lo comenario recibido de Roa Mayoral. $ Auor al que e deben remiir lo comenario y ugerencia obre el rabajo: Eleuerio allelado González, Univeridad de alladolid, Dpo. Economía y Adminiración de Emprea, Avenida alle de Egueva, 6, 470 alladolid, Epaña, el: , Fax: , eyo@eco.uva.e

2 ALORAIÓN Y DEERMINAIÓN DEL MOMENO ÓPIMO DE ORE DE UNA EXPLOAIÓN FORESAL. APLIAIÓN DEL MODELO DE OPIONES REALES ABSRA El objeivo del rabajo e deerminar la regla ópima para inverir en una exploación foreal a fin de que el inveror coniga alcanzar una renabilidad acorde con el riego que aume. Para ello uilizamo do ipo de modelo, el modelo deerminia y el modelo eocáico. En el primer cao e conidera que lo precio fuuro de la madera on conocido a priori, mienra que en el egundo e upone que lo precio fuuro on inciero pero iguen un proceo aleaorio conocido: geomérico browniano o reverión a la media. La principal diferencia enre ambo modelo e que la conideración eocáica del precio de la madera no permie valorar la opción que el inveror iene para aplazar la ala de lo árbole. Lo reulado que e obienen vienen a confirmar que en el cao de la exploacione foreale la conideración de que el ock de madera crece con el iempo e críica para deerminar el valor de la inverión y el momeno ópimo de ala de lo árbole. Aí, ano en el modelo deerminia como en el modelo eocáico obervamo que nuero propieario inveror no debería realizar la inverión, de acuerdo con lo parámero uilizado, i el ock de madera no crece a parir del momeno en que la madera iene valor comercial. Sin embargo, cuando el ock de madera aumena a una aa conane, nuero reulado indican la viabilidad del proyeco de inverión ano con el modelo deerminia como con el modelo eocáico. La principal diferencia enre ambo modelo e que el egundo permie valorar la opción de aplazamieno, la cual reula de gran valor ya que upone, aproximadamene, un 30% del valor neo del proyeco en el momeno inicial. Palabra clave: aloración, exploación foreal, modelo deerminia, modelo eocáico JEL claificación: G, G3, Q3.

3 aloración y deerminación del momeno ópimo de core de una exploación foreal. Aplicación del modelo de opcione reale.-inroducción El análii de la oporunidade de inverión a parir de la eoría de opcione ha dado lugar a una nueva forma de enender la evaluación y elección de la inverione empreariale. El reconocimieno de la flexibilidad y el carácer eraégico de la inverione que caraceriza al enfoque de opcione reale permie uperar en gran medida la limiacione del crierio del alor Acual Neo (AN), habiualmene uilizado, odavía hoy, en la prácica emprearial. Y e que una de la hipóei que ubyace a la aplicación del AN conie en que la acepación de un proyeco de inverión e una deciión del ipo ahora o nunca. Sin embargo, eo no parece muy acorde con la realidad a la que e enfrenan la emprea. Má bien lo conrario, odo omo conciene de que la ejecución de un proyeco en un momeno u oro reula deerminane para cuanificar u valor. Dede la perpeciva de opcione, no obane, e poible analizar cuál e el momeno ópimo para llevar a cabo una inverión. El enfoque de opcione reale modifica la regla báica de inverión coniene en inverir en un proyeco cuando el valor eperado de u flujo ea al meno an grande como lo coe, por ora que conidera ademá el coe de oporunidad en que e incurre al emprender hoy la inverión y no en un momeno poerior en el que e dipondría de nueva información. Ee rabajo e dirige preciamene al análii del momeno ópimo de inverión en una exploación foreal que permie al inveror alcanzar una renabilidad acorde con el riego que aume. La correca valoración de una inverión en recuro de ea nauraleza, madera, requiere coniderar explíciamene que la canidad del bien que ubyace a la inverión aumena conforme paa el iempo, lo cual no ocurre con oro recuro naurale, ampliamene eudiado por la lieraura, como la reerva minera o perolífera. Ademá, en nuero cao e preende valorar un recuro que e renovable ana vece como e deee. En ee enido, podemo diinguir do grande grupo de modelo que e han venido aplicando en la lieraura al problema de valoración de una exploación foreal: lo modelo deerminia y lo modelo eocáico. Lo modelo deerminia e remonan al año 849, cuando Fauman valora una exploación foreal mediane el cálculo financiero de lo rendimieno, y e baan en lo crierio cláico de elección de inverione, alor Acual Neo (AN) y aa Inerna de Renabilidad (IR). No obane, la aplicación de eo crierio al cao de la exploacione foreale no eá exena de deficiencia que ponen en duda la fiabilidad de lo reulado alcanzado. Aí, cuando e uiliza el crierio de la IR e upone implíciamene que Eo modelo iguen iendo uilizado en la acualidad. Aí, Duerr (979), Nyyonen (997) Mconnel, (983) o ahvonen y Salo (999), enre oro, proponen olucione para el problema de la roación ópima de una exploación foreal a parir de modelo deerminia baado en el crierio del valor acual neo.

4 aloración y deerminación del momeno ópimo de core de una exploación foreal. Aplicación del modelo de opcione reale la uperficie del uelo diponible para la exploación foreal e infinia (Samuelon, 976). Por u pare, la correca aplicación del crierio del AN upone la aunción de una erie de hipóei difícile de verificar en la exploacione foreale (Lofgren, 990). Lo modelo eocáico, por u pare, e apoyan en la eoría de opcione para deerminar la fecha de ala ópima de la exploación. En ee cao, e conidera que el ejercicio de la opción upone la ejecución de la inverión necearia para exploar el recuro, e decir, la inverión necearia para proceder a la cora de lo árbole. Ea opción e equivalene a una opción americana que e puede valorar uilizando la propuea que hacen Dixi y Pindyck (993) para analizar el momeno de inverión en recuro naurale. Ea propuea e dearrolló a parir de lo planeamieno de McDonald y Siegel (986) obre la opcione de aplazamieno 3. Exien, en ee enido, do precedene en la lieraura: lo rabajo de Morck, Schwarz y Sangeland (989) y Rocha, Moreira, arvalho y Rei (00). En el primer cao, e valora una conceión maderera en Albera, anadá, mienra que en el egundo e valora una conceión foreal en el Amazona, Brail. En ambo cao e uilizan do variable eado: el precio de la madera y el ock de madera. La conceione maderera uelen ocupar grande exenione de erreno y ienen un periodo deerminado de vigencia. Durane ee periodo el inveror iene que decidir la canidad de árbole a alar cada año, ane la impoibilidad de alarlo odo a la vez, ya que uelen exiir cláuula en el conrao de conceión que regulan el raio de core. Por ea razón, en ee ipo de proyeco e conidera el ock de madera como variable de eado. ano Morck, Schwarz y Sangeland (989) como Rocha, Moreira, arvalho y Rei (00) llegan a la concluión de que la meodología de opcione reale permie cuanificar de forma má realia la poible ganancia a obener en una exploación foreal eniendo en cuena el comporamieno de la variable críica del modelo: precio y canidad. No obane, la valoración de lo recuro foreale en un conexo coningene preena una erie de problema enre lo que cabe ciar: i) el ock de madera crece con el rancuro del iempo, iuación que no e da al valorar oro recuro naurale como el peróleo o lo minerale, ii) hay ecaez de acivo negociable que puedan ervir como ubyacene en el modelo de valoración y cuyo precio evolucione de forma aleaoria ya ea iguiendo un proceo geomérico browniano o cualquiera de lo proceo decrio en la eoría, iii) exien poco dao eadíico diponible obre exploacione foreale, y iv) la ecaez de dao lleva a Ea condicione on: i) mercado de capiale perfeco; ii) el precio fuuro de la madera e conocido; iii) la ierra donde e planan lo árbole puede er comprada y vendida en un mundo perfeco; y, iv) la caraceríica écnica de la madera en el fuuro on conocida 3 Oro auore que han adapado lo modelo de valoración de opcione a la valoración de recuro naurale on Meron (979) y Brennan y Schwarz (985) 3

5 aloración y deerminación del momeno ópimo de core de una exploación foreal. Aplicación del modelo de opcione reale uilizar la convenience yield 4 de un acivo que e negocia en un eado de ranformación diferene al acivo que e exrae de la exploación y que e objeo de valoración. La evaluación del proyeco de inverión que e planea en ee rabajo e va a realizar ano dede la perpeciva del decueno de flujo modelo deerminia, como dede el enfoque de opcione reale modelo eocáico, aumiendo en ée úlimo cao diferene modelo de evolución eocáica del acivo ubyacene. El objeivo e analizar el momeno ópimo de core de una exploación foreal de Eucalipo iuada en el cenro de Porugal de forma que e pueda obener la renabilidad eperada para ea exploación por pare del propieario inveror. La meodología de opcione reale no permie complemenar el crierio cláico de elección de inverione valor acual neo con la conideración y valoración de la poible opcione (opción de aplazamieno) que van unida a la exploación foreal fecha de ala de la exploación. En nuero cao e planea deerminar la conveniencia o no de iniciar por pare del propieario la ranformación de un erreno de reducida dimenione enre 6 y 0 hecárea en una exploación foreal. Se conidera que una vez realizada la primera planación habrá que eperar un mínimo de 8 año para que la madera enga valor comercial. Una vez lo árbole han alcanzado la edad de 8 año e pueden corar inmediaamene o aplazar la deciión en función de lo ineree del propieario-inveror, alcanzar una deerminada renabilidad ajuada por el riego. Dada la reducida dimenione de la exploación e alarán odo lo árbole a la vez lo que conllevará obligaoriamene la reforeación de la finca, culminando de ee modo un ciclo que e nuero objeo de análii. En definiiva, nuero rabajo preena una erie de novedade con repeco a lo precedene como on: la ala de odo lo árbole de la exploación de forma imulanea, la neceidad de eperar un mínimo de 8 año para poder alar lo árbole y la neceidad de reforear la uperficie alada. Lo reulado que e obienen vienen a confirmar que en el cao de la exploacione foreale la conideración de que el ock de madera crece con el iempo e críica para deerminar el valor de la inverión y el momeno ópimo de ala de lo árbole. Aí, en el cao deerminia obervamo que cuando el ock de madera no crece nuero propieario inveror no debería realizar la inverión, de acuerdo con lo parámero uilizado, mienra que al inverión e acepable i el ock de madera crece. En ee cao debería eperar 6,34 año ane de alar lo árbole para obener la renabilidad eimada, dado u nivel de riego, del,38% anual. Por u pare, lo modelo eocáico reflejan una iuación imilar, en ninguno de lo cao donde el 4 Podemo definir la conveniencie yield como el reorno que e obendría i e maniene durane un periodo de iempo una deerminada maeria prima, reorno que no e percibiría en cao de ener una poición larga en un conrao a plazo obre ea maeria prima. En definiiva, y de acuerdo con Morck, Schwarz y Sangeland (989) erían la ganancia que e podría obener i e e propieario de una 4

6 aloración y deerminación del momeno ópimo de core de una exploación foreal. Aplicación del modelo de opcione reale ock de madera e maniene conane a parir del ocavo año debería acepare el proyeco de inverión analizado. En odo eo cao la opción de aplazamieno e encuenra muy fuera del dinero por lo que u reducido valor no no permie obervar diferencia apreciable con el valor de la inverión en el cao deerminia. Sin embargo, la opción de aplazamieno reula de gran valor cuando e conidera que la madera e un recuro que crece con el pao del iempo y no lleva ano a acepar el proyeco de inverión como a confirmar que el valor del proyeco e mayor cuando e conidera adecuadamene la opción de aplazamieno. En definiiva, la conideración de la inceridumbre que rodea a lo precio fuuro de la madera volailidad hace que la opción de aplazamieno únicamene pueda er valorada por lo modelo eocáico lo que no lleva a obener que, de acuerdo con el modelo eocáico, aproximadamene un 30% del valor neo del proyeco en el momeno inicial correpondería a la opción de aplazamieno. ra ea inroducción del problema que planeamo analizar, el reo del rabajo ea organizado como igue. En el egundo aparado e definen la caraceríica de la exploación foreal objeo de análii y lo dao uilizado para alimenar el modelo de valoración. En el ercer aparado e decribe el méodo empleado para valorar la exploación foreal y deerminar la fecha ópima de core de lo árbole, aí como lo reulado obenido. Finalmene, el cuaro aparado recoge la principale concluione del rabajo..- El cao de una exploación foreal privada en la región enral de Porugal Nuero rabajo iene objeivo imilare a lo de Morck, Schwarz y Sangeland (989) y Rocha, Moreira, arvalho y Rei (00) en ano en cuano e preende valorar una exploación foreal con un modelo eocáico, pero preena ingularidade que lo hacen diferene a lo aneriore. En primer lugar la exploación foreal que e preende valorar no e una conceión emporal como en lo eudio que no han precedido ino un erreno de propiedad privada que exploa u propieario quien e conviere a la vez en el inveror que debe decidir cuando proceder a alar lo árbole. En egundo lugar, el amaño de la exploación foreal que e va a valorar e eniblemene inferior al de la conceione analizada en lo rabajo precedene 5. Ea diferencia de amaño hace que la finca objeo de análii no pueda er exploada de forma exeniva como era el cao de la conceione en Albera y en el Amazona ino que requiere una exploación ineniva. uando e decide alar lo árbole e coran odo en vez de realizar cora periódica a lo largo de la vida de la conceión. Por ello, conideramo que el valor de la exploación e nulo para edade inferiore a 8 año. En ercer lugar, en nuero cao no exie maeria prima y e aprovechan la poible flucuacione en u precio, como conecuencia de iuacione de ecaez emporal, para graduar la exploación del recuro naural. 5

7 aloración y deerminación del momeno ópimo de core de una exploación foreal. Aplicación del modelo de opcione reale regulación obre el porcenaje máximo de árbole que e pueden alar en cada core, ni obre el volumen de madera que debe permanecer en pie depué de cada cora como en el cao de lo eudio que no han precedido pero a cambio cuando e produce la ala de odo lo árbole el propieario inveror viene obligado bien a reforear la uperficie alada bien a devolver el erreno a u eado original. En conecuencia, la inverión objeo de eudio iene re momeno que e precio coniderar: i) el momeno inicial, en el que e oma la deciión de ranformar un erreno agrícola en una exploación foreal lo cual upone realizar el deembolo neceario para planar lo Eucalipo; ii) el momeno en que la exploación cumple ocho año, a parir del cual lo árbole han alcanzado un amaño mínimo que permie u vena a la emprea de paa de papel, ee momeno deermina el inicio de la opción de aplazamieno en la cora de lo árbole; y iii) el momeno en que e decide la ala de lo árbole, en el cual e ejerce la opción que iene el propieario inveror y que deermina la obención de lo ingreo correpondiene a la vena de la madera, ingreo que e ven diminuido por la obligación de reforear o reacondicionar el erreno. Adicionalmene, hemo coniderado ano la poibilidad de que una vez rancurrido 8 año el volumen de madera no aumene como que la madera iga creciendo de forma indefinida en el iempo, mienra no e core, a una aa conane. Para poder uilizar ano el modelo deerminia como el modelo de opcione reale e hace precio realizar una erie de upueo previo que no permian obener el valor de la exploación foreal. Inicialmene, conideramo que una vez alcanzado lo 8 año lo árbole crecen a una aa que podemo depreciar por lo que el volumen de madera exiene al final de lo 8 año e el que e maniene conane haa la fecha de core de lo árbole. Ee upueo e relaja con poerioridad, al coniderar que lo Eucalipo crecen a parir del ocavo año a una aa conane en el iempo, upueo imilar al que e planean Morck, Schwarz y Sangeland (989) y Rocha, Moreira, arvalho y Rei (00). Ademá, nuera variable eocáica va a er el precio de la madera. En ee cao no e conidera como variable eocáica el ock de madera ya que cuando e decide alar lo árbole e coran odo por lo que el ock e reduce a cero. on el fin de analizar la enibilidad de nuero reulado ane cambio en el proceo eocáico que igue la variable aleaoria e conideran do poible proceo para el precio de la madera: el proceo geomérico browniano y el proceo de reverión a la media. Eo on lo proceo habiualmene coniderado por lo rabajo que no han precedido para el precio de la madera y en general de lo recuro naurale. 5 La uperficie de la exploacione foreale para uo inenivo en Porugal e iúa enre 6 y 0 hecárea mienra que, por ejemplo, en el cao de la conceione maderera en el Amazona e raa de una exenión de 500 millone de hecárea. 6

8 aloración y deerminación del momeno ópimo de core de una exploación foreal. Aplicación del modelo de opcione reale La planación objeo de eudio e iúa en la región enro de Porugal con una uperficie de enre 6 y 0 hecárea. Ea zona ea coniderada como zona ecológica AM con una caraceríica opográfica de clae II pendiene del 0 al 0% 6. El momeno emporal en el que e realiza el análii e cuando el propieario del erreno e planea modificar el uo de u finca y ranformarla en una exploación foreal. Ea deciión conlleva aumir que una que vez que e alen lo árbole e reforeará el erreno o e reacondicionará el mimo para devolverlo a u eado original. La madera e vende en la finca y lo compradore on lo encargado de alar lo árbole y ranporarlo haa el conumidor de ee ipo de madera, fundamenalmene la emprea producora de paa de papel. La exploación e geionada direcamene por el propieario del uelo y u objeivo e obener una renabilidad acorde con el riego que aume. Ademá, el propieario no iene rericcione financiera por lo que puede reraar la vena de la madera, y por lo ano el core de lo árbole, haa el momeno en que alcanza la renabilidad deeada. El deembolo exigido al inicio del ciclo e de 355,83 euro por hecárea, canidad que conideramo e una eimación adecuada de lo coe de reforeación (precio de ejercicio de la opción de exploación). Ea canidad e ha obenido de lo cálculo realizado por la Direcção Geral da Florea (DGF) para la labore de reforearión de una hecarea de erreno de la caraceriica epecificada. Se aiende de ee modo a la obligación que iene el propieario del erreno de reforear ra la ala de lo árbole (ejercicio de la opción). Lo parámero del proceo eocáico, ano del geomérico browniano como del de reverión a la media, que igue el precio de la madera e han obenido a parir del precio de lo fuuro obre madera (LBH3) que e negocian en el mercado hicago Mercanile Exchange (ME) de Eado Unido. Dado que en Porugal no exien erie de dao que pudieran er uilizada en ee análii bucamo de enre la erie de dao diponible aquella que pudieran ener una mayor correlación con la evolución de lo precio de la madera para paa de papel, que e el uo habiual del eucalipo. No decanamo por la erie de precio del fuuro obre madera (LBH3) ya que no permiía diponer de una erie uficienemene larga, dede 97, y que moraba una imporane correlación con el precio de la madera para paa de papel 7. Si uponemo que el precio de la madera igue un proceo geomérico browniano, la aa de 6 La zona ecológica de Porugal recogen la capacidade agrícola y foreale de cada zona. Ea zona ecológica fueron definida por Albuqerque en 98, quien dividió el erriorio coninenal porugué en 6 zona ecológica eniendo en cuena u diveridad climáica, localización y opografía. La zona AM e una zona ecológica de influencia alánica. Por u pare, la Direcção Geral da Florea (DGF) claificó en 993 lo erreno en lo que e iúan la exploacione foreale poruguea en 4 caegoría aendiendo a que el coe de replanación dependía de la pendiene de la finca y de la dificulad del erreno para er labrado con medio mecánico. Ea caegoría on: I, pendiene enre 0 y 0%; II, pendiene enre 0 y 0 %; III pendiene enre 0 y 33%; y I pendiene uperior al 33%. 7 Realizada la oporuna prueba para comprobar la correlación enre amba erie de precio obuvimo un coeficiene de correlación de Pearon del 0,404 enre la erie de precio de la madera para paa de 7

9 aloración y deerminación del momeno ópimo de core de una exploación foreal. Aplicación del modelo de opcione reale crecimieno eperada que reula e del,07% anual con una deviación eándar del 3,93% 8. Mienra que, cuando e conidera un proceo de reverión a la media lo valore de lo parámero que deerminan la endencia del proceo de reverión on: velocidad de reverión de 0,09, precio medio de la madera de 5 /m3 y una deviación eándar de,80%. Aí mimo, cuando uponemo que el volumen de la madera aumena conforme paa el iempo, calculamo la aa de incremeno del volumen de madera de la exploación por cada año adicional que e manienen lo árbole in corar a parir del ocavo año. La aa que e uiliza e del 7,03% al año. Ee valor e calcula a parir de lo dao obenido del Invenário Floreal Nacional 3ª revião 00 elaborado por la Direcção Geral da Florea (DGF) de Porugal y del rabajo de omé (99). Por u pare, la aa de renabilidad de la exploación ajuada por el riego que debería obener el propieario-inveror e obiene del análii de la renabilidade media obenida por la accione de emprea americana cuya acividad principal e la exploación foreal a nivel inernacional. Una vez má, la fala de dao en Porugal y u enorno no ha llevado a bucar lo dao neceario para nuero análii en oro mercado. En ee cao la emprea eadounidene que e dedican a la exploación foreal uelen ener ámbio de acuación univerale, acuden allí donde exien recuro maderero por exploar, por lo que e conideró que podían proporcionar una buena aproximación de la renabilidade que deberían obener lo propieario inverore en Porugal. Para calcular la renabilidad ajuada por el riego de la exploación foreal ( ), que coniuye, aí mimo, la aa de decueno en el modelo de decueno de flujo, e ha uilizado el modelo apial Ae Pricing Model (APM). El modelo APM requiere calcular el ipo de ineré del acivo libre de riego y la prima por riego de mercado, y eimar la bea de la exploación foreal. Ane la auencia de emprea en Porugal y u enorno, cuya acividad principal e la exploación de lo recuro maderero y que coicen en el mercado buráil, e opó por calcular la renabilidad ajuada por el riego para una muera de emprea de USA con ineree maderero inernacionale. Dado que el mercado de la paa de papel e un mercado globalizado ea eimación e la mejor aproximación de que e dipone para calcular la renabilidad ajuada por el riego de una exploación foreal en Porugal. En conecuencia, la prima por riego del mercado e ha obenido del rabajo de Ibboon y hen (00) para una muera de emprea de Eado Unido: ( r ) e r f 5,4%. omo ipo de ineré del acivo libre de riego e ha uilizado la renabilidad de lo Bono emiido por el eoro de USA y que para el periodo de análii e del 5,06%. Se uiliza como referencia lo bono del eoro de USA para er coniene con el reo de fuene de dao uilizado para calcular la renabilidad papel y la erie de precio de lo fuuro obre madera (LBH3). al correlación e eadíicamene ignificaiva al 99%. 8

10 aloración y deerminación del momeno ópimo de core de una exploación foreal. Aplicación del modelo de opcione reale eperada por el propieario de la exploación foreal. Por u pare, para calcular el ipo de ineré libre de riego para Porugal en el año 00 e pare del valor para USA y e ranforma al valor uilizando la paridad del ipo de ineré. El reulado e que el ipo de ineré libre de riego que e uiliza para Porugal e del 6,9% 9. Por úlimo, la bea de la emprea de Eado Unido que coizan en bola y u principal acividad e la exploación maderera inernacionalmene e han obenido de la bae de dao de Ibboon & Aociae, o of apial ener. Ea emprea on la iguiene: Louiiana Pacific orp (LPX), rown Pacific Parner LP (RO), US imberland o LP (3IMBZ) y Delic imber orp( DEL). Para cada una de ea emprea e cálculo u renabilidad ajuada por el riego a parir de lo dao uminirado por Ibboon & Aociae 0. LPX 0,069,9*0,054 0,305 RO 0,069 0,64*0,054 0, 0964 IMBZ 0,069,44*0,054 0,384 DEL 0,069 0,5*0,054 0,090 El valor que e uiliza como renabilidad ajuada por el riego para la exploación foreal objeo de análii e la media ariméica de eo cuaro valore: 0,305 0,0964 0,384 0,090 exp loación 0,38,38% 4 En reumen, la variable que e uilizan para valorar la exploación y lo valore que oman cada una de ella on lo iguiene: 8 El análii eadíico de la erie de precio uilizada puede er oliciada a lo auore. 9 Ee ipo de ineré lo obenemo uilizando la paridad de ipo de ineré de al forma que el ipo de ineré de Porugal e igual a la aa inflación de Porugal en el 00 dividida por la aa de inflación de USA en el 00 y odo ello muliplicado por el ipo de ineré de lo bono de USA en el 00:,036,0506 0,069 6,9%,04 0 Se recurrió a lo ervicio de una emprea epecializada en el cálculo de bea como e Ibboon and Aociae para eviar ego en la eimación de ale bea por lo procedimieno economérico habiuale. 9

11 aloración y deerminación del momeno ópimo de core de una exploación foreal. Aplicación del modelo de opcione reale ariable Noación alor eimado oe de planación, precio de ejercicio de la opción 385,83 /ha Precio de la madera de eucalipo en la exploación en 0 P,7 /m3 olumen de madera en la planación 3 en 8 año Q 3,6m3/ha Índice o raio de crecimieno del volumen de madera a parir del ocavo año 7,03% anual PROESO GEOMÉRIO BROWNIANO aa media de incremeno del precio de la madera (M.G.B.) Deviación ípica del precio de la madera (M.G.B.) onvenience yield in crecimieno del volumen de madera onvenience yield con crecimieno del volumen de madera σ δ - δ --,07 % anual 3,93 % anual 9,3 % anual,30 % anual PROESO DE REERSIÓN A LA MEDIA Precio medio de la madera elocidad de Reverión Deviación del precio de la madera (Reverión a la media) P η σ 5 0,806 0,80 ipo de ineré libre de riego r 6,9% anual Renabilidad eperada ajuada al riego o ipo de decueno,38 % anual 3- aloración de la exploación foreal y deerminación de la regla ópima para el core de lo árbole. Para valorar la exploación foreal de eucalipo parimo del modelo de opcione propueo por Dixi y Pindyck (993) para valorar una conceión de reerva de peróleo no exploada y deerminar la fecha ópima de u exploación. Ee modelo, in embargo, requiere er adapado a nuero problema, valorar una exploación de Eucalipo. En paricular, hemo inroducido correccione en el modelo para coniderar que haa que no rancurren ocho año no e puede planear la opción de aplazamieno para la deciión de alar lo árbole. Ademá hemo coniderado ano la hipóei de que el volumen de madera alcanzado al cumplir ocho año permanece conane haa el momeno en que e coran lo árbole hipóei imilar a la coniderada por Dixi y Pindyck de que la reerva no aumenan con el pao del iempo como la hipóei alernaiva de que el volumen de madera crece de forma conane a parir del oe que egún la DGF e el que incurren la exploacione foreale con caraceríica opográfica del ipo II, exploacione con pendiene enre el 0 y el 0% El precio ha ido ajuado uilizando el índice de precio medio de producción para la agriculura. Se conidera que el coe inicial de ranformar un erreno agrícola en exploación foreal coincide con el coe de reforear o devolver a u iuación original el erreno una vez alado lo árbole. Precio por m3 de la madera de eucalipo en la exploación en diciembre del 00. Precio publicado por SIOP ervicio que depende de la DGF de Porugal 3 Ee valor e refiere al volumen de madera por hecárea en la exploación a lo 8 año. Para calcular ee valor hemo parido del dao que aparece en el rabajo de omé (99). Ee auor calcula el volumen de madera por hecárea de una exploación de imilare caraceríica a la nuera al cabo de 0 año. Por ano hemo paado del volumen a lo 0 año al volumen a lo 8 año uilizando como aa conane de crecimieno de la madera del 7,03% al año. 0

12 aloración y deerminación del momeno ópimo de core de una exploación foreal. Aplicación del modelo de opcione reale ocavo año haa el momeno de ejercer la opción de alar lo árbole. Se raa, por ano, de valorar una opción de aplazamieno de duración infinia. En paricular derivamo la olución analíica correpondiene a ea opción. Ea olución analíica no conduce a una ecuación diferencial que e homogénea y que por ano puede er reuela bien porque enga una única olución bien a ravé de un proceo ieraivo mediane olucione numérica. La valoración mediane el modelo Dixi y Pindyck, adapado a nuero cao, e compara con la obenida aplicando un modelo deerminia en el que e conidera que el precio de la madera e conane en el iempo (volailidad nula). El problema e reduce, en ee cao, a calcular lo flujo neo de eorería que produciría la exploación y deconarlo a un ipo adecuado, ipo que va a coincidir con la renabilidad ajuada por el riego eperada por el propieario inveror. Sin embargo, como ya e ha comenado, la valoración de la exploación foreal mediane el modelo de opcione reale permie coniderar la nauraleza eocáica del precio de la madera de forma que cuano mayor ea la variabilidad del precio de la madera 4 mayor erá el valor de la opción que iene el propieario para alar lo árbole y por ano mayore erán la diferencia enre ambo méodo de valoración. En el modelo deerminia, dado que el precio de la madera e conane en el iempo, e puede calcular el momeno ópimo de core de la exploación, *, para una vez obenido al fecha proceder a calcular el valor de la exploación en ea fecha. Por u pare, el modelo eocáico no permie calcular el valor de la opción de core y el valor acual neo ampliado de la exploación. 3. Modelo deerminia En ee aparado e deriva el modelo deerminia propueo para valorar la exploación foreal objeo de análii en ee rabajo. Denro del modelo deerminia diinguimo enre la iuación en la cual lo recuro permanecen conane durane el periodo de exploación ( 0) y la iuación en la que conideramo que lo recuro naurale aumenan con el rancuro del iempo ( > 0) Deerminación de la regla ópima de core de lo árbole de la exploación mediane el modelo deerminia i el volumen de madera no crece a parir del ocavo año. El valor de la exploación foreal en un momeno para el cao deerminia (σ 0 d d ) vendrá dado por: 4 Dada la erie de precio de la madera de que diponemo, u deviación ípica e uperior al 30% anual.

13 aloración y deerminación del momeno ópimo de core de una exploación foreal. Aplicación del modelo de opcione reale P Q 0, i, < 8 PQ, i, 8 donde, e el valor de la madera en, la canidad de madera en m3/ha a parir del ocavo año. P e el precio de la madera de eucalipo en /ha, y Q Para maximizar el valor de la exploación foreal en el momeno procedemo a derivar con repeco a : d dpq dividimo numerador y denominador por P, d dp P Q P como el precio aumena a una aa media anual,, reula dp P d de donde Q d d En conecuencia, el valor de la oporunidad de inverir en el momeno en que la madera iene valor comercial ería: F ( ) ( e ) e () iendo F( ) el valor de la oporunidad de inverión, el ipo de decueno o renabilidad eperada por el propieario de la exploación, y el iempo que rancurre dede que la madera iene valor comercial haa que e produce la ala de lo árbole. Para 0 < < max F ( ) max [ e ] e Enonce, derivando e igualando a cero para la condición de er orden ( ) df ( ) ( ) e e d 0 ( ρ ) ( ) e e ()

14 aloración y deerminación del momeno ópimo de core de una exploación foreal. Aplicación del modelo de opcione reale Para depejar el valor omamo logarimo en (): ln ln ( ) [( ) e ] ln[ e ] [( )] ( ) ln[ ] ( ) ( ) ln[ ] ln[ ( ) ] ln ( ) omo por definición >, depejamo y obenemo: max ln,0 ( ) (3) Si * 0 enonce la planación e cora juo cuando la madera iene valor comercial, 8 año. En ee cao e puede obener el valor críico el ubyacene a parir del cual e ejerce la opción, *, uiuyendo 0 en la ecuación () y depejando: ( ) y F ( ) Si por el conrario *> 0, la deciión ópima con el modelo deerminia erá proceder al core de lo árbole en un momeno poerior a cuando la madera alcanza valor comercial. En ee cao, ln ( ) ( ) y en conecuencia, uiuyendo (3) en () e obiene la olución para la expreión que no indica el valor de la oporunidad de inverión: F() F ( ) ( ) ( ) Una vez deerminada eóricamene la fecha de core que maximiza el valor de la exploación inroducimo lo valore que hemo eimado para valorar nuera exploación foreal y e obienen lo iguiene reulado: 0,38 355,83 max ln 8 0,007,007 ( 0,38 0,007) (,7 e 3,6),0 0 0 En conecuencia, el momeno ópimo para alar lo árbole e juo cuando la madera iene valor comercial: 8 año. La regla ópima de core no viene dada por *, que en ee cao oma el iguiene valor: 3

15 aloración y deerminación del momeno ópimo de core de una exploación foreal. Aplicación del modelo de opcione reale 0,38 355,83 omo 0 657,87 /ha 0,38 0,007 El valor de la oporunidad de inverión de la regla ópima de core F(*), en el momeno en que la madera iene valor comercial: F ( ) 657,87 355,83 30, 457 Para ee valor de la oporunidad de inverión podemo calcular el valor acual neo que e obiene acualizando el valor de la oporunidad de inverión al momeno cero y reando el coe de la primera planación: /ha 0,38 8 AN ( *) 30,457 e 355,83 34,53 / ha Sin embargo, en ee cao conocemo con cereza el valor de la madera en el año 8, cuando empieza a ener valor comercial, valor que e uperior a la regla ópima de core, por ano: 8,7 e F( ) 366,89 355,83 8,06 / ha 8 0,007 8 AN( ) 8,06e 3,6 366,89 / ha 0, ,83 67, / ha En conecuencia, la deciión que debería adopar el propieario inveror en el momeno acual e no llevar a cabo la ranformación del erreno en una exploación foreal dado que no permie alcanzar la renabilidad deeada. Deerminación de la regla ópima de core de lo árbole de la exploación mediane el modelo deerminia i el volumen de madera crece a parir del ocavo año a una aa conane. En ee cao, el valor de la madera cuando e alan lo árbole, momeno, lo podemo exprear como: PQ 0, i, < 8 dq Q d, i, 8 Igual que ane, para maximizar el valor de la exploación foreal en el momeno derivamo repeco a : d dpq dq P d dpq Q P d 4

16 aloración y deerminación del momeno ópimo de core de una exploación foreal. Aplicación del modelo de opcione reale d PQ dp dp d d P P d d donde e la aa de crecimieno de la madera a parir del ocavo año. En conecuencia, el valor de la oporunidad de inverión en el momeno en que la madera iene valor comercial ería: F ( ) e ( ) ( ) e (4) Para max F 0 < < ( ) ( ) max e [ ] e Derivando e igualando a cero para la condición de er orden ( ) df ( ) ( ) e e d 0 ( ) ( ) e e (5) Para depejar el valor de e oma logarimo en la ecuación (5): ln ln ( ) [( ) e ] ln[ e ] [( )] ( ) ln[ ] ( ) ( ) ln[ ] ln[ ( ) ] ln ( ) omo por definición ( ) >, depejamo y obenemo: max ln,0 ( ) (6) Si *0 enonce la planación e cora juo cuando la madera iene valor comercial, 8 año. En ee cao e puede obener el valor críico, *, uiuyendo 0 en la ecuación (5) y depejando: 5

17 aloración y deerminación del momeno ópimo de core de una exploación foreal. Aplicación del modelo de opcione reale ( ) y F( ) Si por el conrario *>0, la deciión ópima con el modelo deerminia erá proceder al core de lo árbole en un momeno poerior a cuando la madera alcanza valor comercial. En ee cao, ln ( ) ( ) y en conecuencia, uiuyendo (6) en (4) e obiene la olución para la expreión que no indica el valor de la oporunidad de inverión: F() F ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (véae anexo ) A parir de ea expreione y uilizando la eimacione realizada para lo diino parámero de nuera exploación foreal e puede calcular ano el valor críico como el momeno ópimo para alar lo árbole egún el modelo deerminia: * F( max e * ) 54,43 / ha 0,007 ln ( 0,0703) ( 0,38 0,007 0,0703) ( ) 8, ,6 / ha 0,38 355,83,0 8.34año 366,89 ( ) 355,83 ( ) , Por ano, el momeno ópimo para alar lo árbole e 8,34 año depué de que la madera enga valor comercial, e decir denro de 6,34 año (88,346,34). En el momeno que e alan lo árbole el inveror propieario recibirá 6767,6 y e cumple la regla ópima para el core *. Ademá, el valor de la oporunidad de inverión en el momeno 8 año e de 54,43 /ha. A parir de eo dao e calcula el valor acual neo una vez que deconamo el coe que e aumió en el momeno 0 para ranformar el erreno: 0,38 8 AN 54,43 e 355,83 8,53 / ha Por ano, cuando e conidera que la madera crece a una aa conane a parir del ocavo año obenemo un valor acual neo poiivo con el modelo deerminia, iuación que no e daba cuando la hipóei era que la madera no crecía a parir del ocavo año. A modo de reumen de lo reulado obenido para el modelo deerminia podemo obervar (cuadro ) que la conideración del crecimieno o no de la madera a parir del ocavo año e conviere en un apeco críico a la hora de analizar el problema de inverión. En ee enido, 6

18 aloración y deerminación del momeno ópimo de core de una exploación foreal. Aplicación del modelo de opcione reale al coniderar el crecimieno de la madera la deciión de alar lo árbole e reraa en 8,34 año con repeco a la iuación en que no e conidera el crecimieno de la madera. Aí, cuando lo árbole no crecen la deciión e alar en el primer momeno que ea poible, momeno que dada la rericcione impuea e demora haa el año 8 pero que de no haber impueo al condición e pudiera haber producido con anerioridad. Por ea razón obervamo diferencia enre lo valore fronera calculado y lo valore obervado cuando e alan lo árbole juo en el momeno que la madera adquiere valor comercial. Sin embargo, en el cao de que el volumen de madera aumena iempre que no e alen lo árbole, lo valore fronera coinciden con lo valore obervado ya que e preciamene el momeno en el que e cumple la regla de deciión. Finalmene, indicar que el apeco críico de la conideración o no del crecimieno del volumen de madera e refleja en lo diferene valore acuale neo que oma la inverión en uno y oro cao upueo el reo de parámero conane. El valor acual neo de la inverión e negaiva cuando la madera no crece y poiiva cuando crece. uadro. Reumen de lo reulado obenido en el modelo deerminia (vol. nula) uando 0 uando,07% anual alore fronera alore obervado alore fronera alore obervado 8 año 6,34 año 6,34 año 657,9 /ha 366,89 /ha 6767,6 /ha 6767,6 /ha F() 30,46 /ha 8,06 /ha 54,43 /ha 54,43 /ha AN -34,53 /ha -67, /ha 8,53 /ha 8,53 /ha 3..-Modelo eocáico on lo modelo eocáico e preende valorar la opción de aplazamieno que iene el propieario inveror, opción que urge al coniderar que el precio de la madera igue un proceo eocáico que hace relevane planeare demorar la deciión de alar lo árbole en función de la evolución de lo precio. Al igual que en el cao deerminia e conidera que la conideración o no del crecimieno en el volumen de madera de la exploación con el rancuro del iempo e un elemeno críico en el análii del problema. Ademá, y ólo para el cao en que la madera no crece, hemo realizado el análii ano cuando el precio igue un proceo geomérico browniano como cuando igue un proceo de reverión a la media. uando uponemo que la madera crece a una aa conane,, únicamene hemo coniderado el proceo geomérico browniano. Deerminación del valor coningene de la exploación foreal cuando el acivo ubyacene igue un proceo geomérico browniano y el volumen de madera no crece a parir del ocavo año. 7

19 aloración y deerminación del momeno ópimo de core de una exploación foreal. Aplicación del modelo de opcione reale En ee upueo el valor de la exploación foreal varía de forma eocáica como conecuencia de que el precio de la madera igue un proceo geomérico browniano. Nuero objeivo e deerminar la regla ópima de core de lo árbole que permie al propieario inveror alcanzar la renabilidad deeada. Aí, e calculará el valor coningene de la planación F() valor de la oporunidad de inverión y el valor criico * a parir del cual e ópimo ejercer la opción de aplazamieno. En definiiva, e procederá a alar lo árbole cuando e cumpla que *, iendo PQ 0, i, < 8 PQ, i, 8 El incremeno de por inane de iempo lo podemo exprear como: d dpq como el precio de la madera e la única variable eocáica coniderada, reula d dp d o lo que e lo mimo d PQ P PQ y coniderando que dp P igue un proceo browniano con parámero de endencia,, y de volailidad, σ, obenemo que el valor del ubyacene evoluciona del modo iguiene dp P d d d σdz d σdz d σ dz (7) Para deerminar el momeno de core ópimo hemo formado una carera Φ compuea de una unidad de F() y una poición cora de n unidade de de forma que el riego de la carera ea nulo y el valor de la carera ea al que no ea poible el arbiraje: φ F n n F' φ F F' Al realizar una vena a crédio no e iene el acivo que e vende por lo que e pide preado a un ercero. Por u pare, el que prea el acivo va a exigir al preaario que aifaga lo 8

20 aloración y deerminación del momeno ópimo de core de una exploación foreal. Aplicación del modelo de opcione reale rendimieno que genere el acivo durane el periodo de préamo que en nuero cao e correponde con la convenience yield, δ. En conecuencia, la renabilidad de ea carera erá: df F' d nδd Suiuyendo n por u valor df F' d δf' d (8) Aplicando en (8) el lema de Iô y abiendo que, e obiene la expreión de la renabilidad de la carera d σ d σ F'' d δf' d El reorno de ea carera e in riego, por ano para que no ea poible el arbiraje r φd r( F F' )d σ F' ' d δf' d r( F F' ) d eliminando d y implificando, obenemo la ecuación diferencial que F() debe aifacer: ( r δ ) F' 0 σ F' ' rf (9) on la condicione límie: ( 0, ) 0 F (0) F F (, ) max[, 0 ] () ( ), () (, ) F ' (3) E poible enconrar una olución analíica para (9) que va a er de la forma ω (, ) A F ω > (4) uando el valor de la exploación una vez corado lo árbole alcanza el valor críico * en ee momeno uiuyendo en (4) por u valor enemo: ω ω F( ) A y '( ) Aω Suiuyendo (5) en (3) obenemo: F (5) 9

21 aloración y deerminación del momeno ópimo de core de una exploación foreal. Aplicación del modelo de opcione reale A (6) ω ω De () enemo ( ) F uando (4) y el valor de A e obiene: ω (7) ( ω ) Uando (7) en (6) ( ω ) ω ω ω ω A (8) ω ( ) ω ( ω ) A F '' (9) De (4), (5) y (9) uiuyendo en (9) y exrayendo como facor común A σ ( ω ) ( r δ ) ω r 0 ω ω A ω obenemo (0) La expreión enre parénei iene do raíce, ω > y ω <0. La condición limie (0) implica que el coeficiene de ω ea 0, por lo ano olo la raíz ω verifica (0) y e igual a ω ( r δ ) ( r δ ) r σ σ () σ A parir de ea expreione y uilizando lo dao que hemo ido eimando para la exploación foreal objeo de eudio e puede calcular ano la regla ópima de core como el valor acual de la exploación coniderando la opción de aplazamieno. En ee enido, la renabilidad del propieario inveror e puede decomponer en do: la renabilidad por ganancia de capial,, y la convenience yield, δ. Por ano, δ. Para calcular hemo uilizado el mercado de fuuro obre la madera del hicago Board of rade (B). El acivo de referencia en ee mercado no coincide con la madera de Eucalipo que coniuye el objeo de nuero problema de valoración pero coniuye el acivo ma correlacionado con el acivo que preendemo valorar. Por u pare, e calculó uilizando el modelo APM. Por oro lado, la aa de convenience yield e un coe de oporunidad, por lo que δ. ω ( 0,069 0,093) ( 0,069 0,093) 0,393 0,393 Donde uilizando la expreión (7) e obiene:, ,83 5,78 /ha. (,696 ) 0,069 0,39,696 0

22 aloración y deerminación del momeno ópimo de core de una exploación foreal. Aplicación del modelo de opcione reale Ee e el valor de la madera a parir del cual e ópimo corar por lo que coniuye la regla que debe uilizar para omar u deciión el propieario inveror obre i aplazar o no la ala de lo árbole. Debe enere en cuena que cuando conideramo que el precio de la madera igue un proceo eocáico no e poible deerminar, a priori, la fecha ópima de core. En ee cao e conoce el valor críico con repeco al cual e debe o no ejercer la opción de aplazamieno. F 5 /ha Para * e obiene ( ),78 355,83 65, 888 Dado que el momeno en el que e analiza la inverión e el momeno inicial (0) hay que calcular el valor acual neo de la inverión para el valor críico: 0,38 8 valor. neo ( *) 65,89e 355,83 886,7 / ha 0 En definiiva, el valor acual neo de la inverión cuando e conidera que el precio de la madera igue un proceo eocáico geomérico browniano e negaivo lo que debería llevar al propieario inveror a rechazar ea oporunidad de inverión. La opción de aplazamieno en ee ecenario no e uficiene para alcanzar un valor acual neo poiivo. Deerminación del valor coningene de la exploación foreal cuando el acivo ubyacene igue un proceo de reverión a la media y el volumen de madera no crece a parir del ocavo año. Lo precio de lo recuro naurale uelen ear ligado al coe marginal de u producción a largo plazo, lo que uele derivar en proceo de reverión a la media para ale precio. En concreo, aau y ollin Dufrene (00) indican que lo precio de una maeria prima uelen eguir proceo de reverión a la media cuando al maeria prima e uiliza como inpu en la producción de un bien inermedio. Aí, una pare de la lieraura relaiva a la valoración de la exploacione foreale ha coniderado que el precio de la madera evoluciona de forma má parecida a un proceo de reverión a la media que a un proceo geomérico browniano. Si ee fuera el cao, e podría ear comeiendo un error imporane al uilizar un proceo geomérico browniano cuando el valor de la endencia,, fuera muy uperior al coe de producción del acivo (Dixi y Pindyck, 993). Por ea razón e ha repeido el análii coniderando que el precio de nuera variable de eado igue un proceo de reverión a la media del iguiene modo 5 : 5 En la lieraura económico financiera aparecen varia forma diferene de formular el proceo de reverión a la media. La forma del proceo de reverión a la media que hemo uilizado ha ido eudiada por Dixi y Pindyck (994) y ambién e conocida como Modelo Geomérico de Ornein Uhlenbeck o Modelo de Dixi y Pindyck.

23 aloración y deerminación del momeno ópimo de core de una exploación foreal. Aplicación del modelo de opcione reale ( P P) Pd σpdz dp η donde P e el nivel de equilibrio a largo plazo (o el precio medio a largo plazo al cual lo precio ienden a reverir); y η e la velocidad de reverión. Lo oro érmino ienen el mimo ignificado que en el cao del movimieno geomérico browniano. Supueo ee proceo para el precio de la madera, la evolución en el iempo del valor de la exploación, puede expreare como d ( ) d σdz η La diferencia enre el proceo de reverión a la media y el geomérico browniano eá en el parámero de endencia. En el proceo de reverión a la media la aa de crecimieno no e conane, ino que e función de, de manera que la endencia erá poiiva i el nivel acual del valor e má bajo que el nivel de equilibrio, y negaiva en cao conrario. La ecuación diferencial que reula para el valor de la oporunidad de inverión, F(), e: ( ) [ r η( )] F' ( ) rf 0 σ F' ' () y la condicione de conorno que debe aifacer la ecuación () on la mima que en el upueo anerior, ecuacione (0) a (3). Ea ecuación diferencial iene olución analíica de la forma (véae anexo ): θ η F ( ) A H ; θ, b σ (3) debiendo reolvere H(x;θ,b) por méodo numérico. Para la eimación de lo parámero realizamo una ranformación logarímica en el proceo de lo precio de la madera, dando lugar al iguiene proceo ariméico de reverión dx h (m - x) d dz (4) donde, m ( P - /( h)) ln P/P, y h η P/(ln P). Ambo dependen en cada momeno del nivel de precio de la madera, P. No obane, para la deerminación de lo parámero del proceo de reverión, lo valore de P y η pueden eimare como un promedio denro de un inervalo de valore razonable, in que produzcan aleracione en lo parámero.

24 aloración y deerminación del momeno ópimo de core de una exploación foreal. Aplicación del modelo de opcione reale La ecuación (4) e una verión en iempo coninuo del proceo auorregreivo de primer orden, AR(), en iempo dicreo (Dixi & Pindyck, p.76; Schwarz, 997). En el límie, cuando d iende a cero, el proceo AR() puede ecribire como x - x - m ( - e - h d ) (e - h d - ) x - e donde e e diribuye iguiendo una normal con media cero y deviación σ e, σ e [ - exp(- h)] σ /h Para eimar lo parámero de la reverión a la media e obiene la iguiene regreión, x - x - a c x - e y e calculan lo parámero como m -a/c h - ln( c) σ σ e ln( c) ( c) Lo valore de lo parámero del proceo de reverión a la media obenido para el precio de la madera a parir de la erie obre lo fuuro LBH3 dede 97 a 00 on: η 0,806 y σ 0,80. A parir de eo valore y de la expreione aneriore, e obiene el valor críico de la exploación a parir del cual e ejercia la opción, *363,83 /ha, y el valor de la oporunidad de inverión, F(*) que e de 807 /ha. Eo valore no obane, e refieren al momeno a parir del cual e planea la oporunidad de alar lo árbole, e decir e refieren al año ocavo, iendo neceario por ano acualizar el valor de la oporunidad al momeno acual y deerminar el valor de la exploación derayendo el coe de iniciar la inverión. En conecuencia el valor acual neo e -68,76 /ha. F( *) 363,83 355, / ha 8 0,38 valor. neo0 ( *) 807 e 355,83 68,76 / ha Por ano, cuando el volumen de madera de la exploación no aumena a parir del ocavo año no debe realizare la inverión en la exploación foreal ya que en odo lo cao analizado modelo deerminia y modelo eocáico el valor acual neo e negaivo. Deerminación del valor coningene de la exploación foreal cuando el acivo ubyacene igue un proceo geomérico browniano y el volumen de madera crece a parir del ocavo año a una aa conane. 3

25 aloración y deerminación del momeno ópimo de core de una exploación foreal. Aplicación del modelo de opcione reale eamo ahora el cao en el que el valor de la exploación foreal varía de forma eocáica como conecuencia de que el precio de la madera igue un proceo geomérico browniano y el volumen de madera aumena a una aa conane,, a parir del ocavo año. El incremeno de por inane de iempo lo podemo exprear como: d dpq dq P dq Q d d dpq Q Pd d PQ dp P d como dp igue un proceo browniano de forma, d dz P dp P σ, reula que d d d σdz d ( ) d σ dz (5) Supueo ee proceo para el valor del ubyacene, reula que el coe de oporunidad en que e incurre al diferir la ala de lo árbole, δ, debe conemplar ambién el incremeno del ock de madera que e produce cuando e difiere la deciión de alar lo árbole, de manera que en ee cao la convenience yield e ha ajuado por la aa de crecimieno de la madera,, por lo que δ, iendo la renabilidad eperada por el propieario de la exploación foreal ajuada por el riego. Igual que en el upueo de crecimieno nulo de la madera, para deerminar el momeno de core ópimo hemo formado una carera Φ compuea de una unidad de F() y una poición cora de n unidade de de forma que el riego de la carera ea nulo y el valor de la carera ea al que no ea poible el arbiraje: φ F n n F' φ F F' La renabilidad de la carera e puede exprear como: σ F' ' d δf' d omo e ha propueo en el cao de que 0 la ecuación diferencial que F() debe aifacer e: 4