PROBLEMA. Cuántas diagonales tiene un triángulo? Y un cuadrilátero? En general, cuántas diagonales tiene un polígono de n lados?

Transcripción

1 PROBLEMA. Cuántas diagonales tiene un triángulo? Y un cuadrilátero? En general, cuántas diagonales tiene un polígono de n lados? PROPUESTA DE TRABAJO CON LOS ESTUDIANTES: 1. Se tienen claros los conceptos de polígono (sólo haremos mención a los simples, dejando los polígonos estrellados y otros polígonos no simples apartados) y diagonal? Poner casos extremos como: 1

2 El único polígono es el 5 (si atendemos a la figura plana limitada por la línea). Desde luego el único de estos ejemplos que es una diagonal es el último. 2. Qué es un polígono? Hacia el concepto de los polígonos simples. Los alumnos tienen que llegar a las siguientes conclusiones: Un polígono es una figura plana. Un polígono tiene al menos tres lados (segmentos rectos). Un polígono está limitado por segmentos rectos (no por líneas curvas ni líneas rectas). 2

3 Estos segmentos van uno a continuación del otro. (En realidad todas estas características valen para los polígonos no simples, pero no creemos prudente introducirlos a estas edades, ya que creemos que el conflicto mental que le puede producir al alumno es demasiado grande). 3. Qué características tiene una diagonal? El alumno tiene que llegar a las siguientes conclusiones: Una diagonal es un segmento recto, es decir, una línea recta con extremos. Una diagonal une vértices no consecutivos de un polígono. Cualquier segmento que cumpla estas características será una diagonal: no hace falta que la diagonal vaya por dentro del polígono. 4. Dibujar varios polígonos intentando que no sean sólo los de siempre. Empezar por los casos de menos lados. Cuántas diagonales tiene un triángulo?, y un cuadrilátero? Siempre se cumple para cualquier tipo de triángulo o cuadrilátero? Intentar ver el porqué. 5. Intentar buscar regularidades, formas de contar. Por ejemplo: cuántas diagonales salen de cada vértice? Hacer una tabla como ésta para reflejarlo: 6. Ahora, se podría hallar el número de diagonales que salen de cada vértice sin tener que dibujar el polígono? Los alumnos pueden fijar un vértice (en nuestro caso lo hemos llamado A) y señalar de alguna manera los vértices que no tienen una diagonal en común con el vértice fijado (en nuestro caso lo hemos hecho con estrellitas). 3

4 7. Hay el mismo número de estrellas en todos los polígonos? Cuántas? Por qué? Qué conclusión se desprende de esto? Podemos saber con esto cuántas diagonales salen de un vértice conociendo el número de vértices (o lados) del polígono? 5 vértices.estrellas = diagonales 6 vértices..estrellas = diagonales 4 vértices..estrellas =..diagonales 7 vértices..estrellas =..diagonales Con esto se pretende que el alumno llegue a la conclusión de que si al número de vértices le restamos el número de estrellas (dos por los vértices consecutivos y una por el propio vértice A), obtendremos el número de diagonales que salen de uno de los vértices del polígono. Se puede comprobar en los casos anteriores: 4

5 8 vértices..estrellas =..diagonales 3 vértices..estrellas =..diagonales 8. Ya estamos más cerca de la solución Cuántas diagonales en total tendrá todo el polígono? En este momento es muy probable que se multiplique el número de vértices del polígono por el número de diagonales que salen de cada vértice y se piense que ese es el resultado. Si esto ocurre habrá que instar a que se recapacite: se cumple esto en los polígonos de 3, 4, 5 lados? Pronto se descubrirá que no. Un pentágono: 5 diagonales Un hexágono: 9 diagonales Un heptágono: 14 diagonales Un octógono: 20 diagonales Posiblemente el alumno, comparando un resultado con el otro, llegue a la conclusión de que el verdadero es la mitad del otro (10, 18, 28 y 40 respectivamente), pero es importante que descubra el porqué. Una forma sería dibujar con línea discontinua cada diagonal que se trace por primera vez y dibujar con rojo (u otro color) cada diagonal que se trace por segunda vez. Se empieza dibujando todas las diagonales que salen de un vértice, luego todas las que salen de otro A continuación aparece un ejemplo de lo que queremos decir: Qué ocurre en todos los casos? Se repiten las diagonales? Como cada diagonal se repite siempre una vez (y sólo una vez), al multiplicar el número de vértices por el número de diagonales que salen de cada vértice, obtenemos el doble de diagonales, de ahí que el resultado final sea la mitad. 9. A continuación se puede rellenar una tabla como la siguiente, para ver todos los pasos seguidos: 5

6 10. Después del debate común y de haber reflexionado sobre los caminos y dificultades encontrados por cada equipo, se puede instar a generalizar el problema. Por ejemplo: Cuántas diagonales tiene un poliedro de n vértices? También se puede proponer el siguiente problema para que descubran la relación que tiene con el anterior: "A una fiesta van varios invitados. Cada uno de ellos saluda al resto de invitados una única vez. Cuántos saludos se dan?" Pueden surgir también preguntas como: hace falta dibujar el polígono o es suficiente con pintar los vértices?, depende el número de diagonales de la forma del polígono? Anotación: hay otras formas de resolver el problema. El maestro no debe cerrarse a ellas. Aquí mostraremos alguna pero sin realizar un análisis detallado de las mismas. 6