3. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODOS DIRECTOS.

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1 Resolución de sistes de ecuciones lineles. Métodos directos. 3. RESUCÓ DE SSTEMAS DE ECUACES EAES. MÉTDS DRECTS ntroducción os sistes de ecuciones lineles precen en uchos probles de cienci e ingenierí, sí coo en plicciones de ls teátics ls ciencis sociles. En prier lugr trtreos los étodos directos, que son quellos que encuentrn l solución en un núero deterindo de etps, es decir, conocido de nteno. En los étodos directos, en generl, se reliz un serie de operciones sobre el siste pr psr otro equivlente (con l is solución) pero ás sencillo por ejeplo un siste tringulr, es decir, en el que l triz de coeficientes es tringulr. Ests operciones (trnsforciones eleentles) son: Escldo: ultiplicr un ecución por un esclr : i i. Sustitución: sur un ecución otr ultiplicd por un esclr: i + j i. ntercbio: intercbir dos ecuciones: i j. Coenzreos con l resolución de sistes tringulres Repso de conceptos previos Definición. Mtriz estrictente digonl doinnte Un triz cudrd de orden n, A es estrictente digonl doinnte si : n ii, i,, n j, ji Se puede deostrr que si un triz es estrictente digonl doinnte entonces es regulr, es decir, tiene invers. Definición. Mtriz definid positiv Un triz cudrd de orden n, A es definid positiv si es siétric y pr culquier vector colun x se tiene que x t A x >. Al igul que en el cso nterior, si A es un triz definid positiv entonces es regulr. Adeás tbién se puede deostrr que todos los enores principles son positivos y que, pr i,, n. ii Sistes lineles tringulres El lgorito de sustitución regresiv es un lgorito con el que podreos resolver un siste de ecuciones lineles cuy triz de coeficientes se tringulr superior. Este lgorito será posteriorente incorpordo l resolución generl de un siste de ecuciones lineles. Aplición de Mteátics ng. Técnic de Telecounicción

2 Resolución de sistes de ecuciones lineles. Métodos directos. Definición. Se dice que un triz A = [ ] de orden es tringulr superior (inferior) cundo sus eleentos verificn = siepre que i > j (i < j). Si A es un triz tringulr superior, entonces se dice que el siste de ecuciones AX = B es un siste tringulr superior de ecuciones lineles, siste que tiene l siguiente for: x x x x x b 3 3, x x x x b 3 3, x x x b , 3 3 x x b,, x b Teore: Sustitución regresiv. Si AX = B es un siste tringulr superior con kk pr k =,,...,, entonces existe un solución únic del siste. r resolverlo coenzreos despejndo x en l últi ecución: x = b /. Después psos l penúlti ecución pr obtener x - : b, x x, y sí sucesivente. En l etp k-ési se despej x k : x k b x k kj j jk Eliinción gussin y pivoteo kk ( k,,,, ) En est sección desrrollos un étodo pr resolver un siste generl de ecuciones lineles AX = B de ecuciones con incógnits. El objetivo es construir un siste tringulr superior equivlente UX = Y que podos resolver usndo el étodo de sustitución regresiv. Se dice que dos sistes de orden son equivlentes cundo tienen el iso conjunto de soluciones. os teores del álgebr linel pruebn que hy cierts trnsforciones que no cbin el conjunto de soluciones de un siste de ecuciones lineles. Ejeplo. Vos usr el étodo de eliinción de Guss pr resolver el siste: 4x 3y z 7 x 4y 5z 5 x y 6z 3 r nulr los prieros eleentos de ls fils ª y 3º les restreos l prier ultiplicd por /4 = y por /4 = 3 respectivente. Esto se represent por: Aplición de Mteátics ng. Técnic de Telecounicción

3 Resolución de sistes de ecuciones lineles. Métodos directos. b g b g 4 ; El resultdo que se obtiene es: 4x 3y z 7 b g b g b g x 5 y 9 z 7 x 5 4 y 5 4 z 85 4 En el siguiente pso hreos: 5 4 / 5 K J ; / y el resultdo es: K J x 3y z 7 b g b g b g 5 y 9 z 7 7 z 5 Aplicndo l sustitución regresiv se obtiene: z 3 y x 3 3 ; ; 7 5/ 4 Un for eficz de trbjr es lcenr tods ls constntes del siste linel AX = B en un triz de orden (+) que se obtiene ñdiendo l triz A un colun, l colun (+)-ési, en l que se lcenn los térinos de B (es decir, k,+ = b k ). Cd fil de est triz, que se ll triz plid del siste y se denot por Ã, contiene tod l inforción necesri pr representr l correspondiente ecución del siste linel: ~ A Un siste AX = B puede resolverse relizndo ls operciones eleentles con ls fils de l triz plid Ã. s vribles x k no sirven ás que pr rcr el sitio de los coeficientes y pueden ser oitids hst el finl de los cálculos. Culquier de ls operciones eleentles citds nteriorente (escldo, intercbio o sustitución) plicds l triz plid produce un siste linel equivlente. El étodo de eliinción de Guss o de eliinción gussin consiste en obtener un siste equivlente tringulr superior. Esto se puede representr edinte un sucesión de trices plids que son ls que se vn obteniendo l nulr los eleentos de cd colun que están por debjo de l digonl principl. En un cso generl de un siste de cutro ecuciones con cutro incógnits: Aplición de Mteátics ng. Técnic de Telecounicción

4 Resolución de sistes de ecuciones lineles. Métodos directos. 3 l triz plid es: ~ ~ ( A A ) es decir: obteniendo: es decir: obteniendo: es decir: x x x x b x x x x b x x x x b x x x x b ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) r nulr los eleentos º, 3º y 4º de l prier colun hreos: ( ) i i i i (, 3, 4) ( ) ( ) R S T d i ~ A ( ) 3 4 ( i ; j,,..., 5) ( i, 3, 4; j ) ( ) ( ) ( ) ( ) i j ( i, 3, 4; j, 3, 4, 5) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A continución hy que nulr los eleentos 3º y 4º de l ª colun, y pr ello: ( 3) i i i i ( 3, 4) ( ) R S T d i ~ A ( 3 ) ( i, ; j,,..., 5) ( i 3, 4; j ) i j ( i 3, 4; j 3, 4, 5) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) inlente hy que nulr el 4º eleento de l colun tercer. r ello: ( 4) ( 3) i3 i i i 3 3 ( 4) ( ) 33 ( 3) R S T d i ( i,, 3; j,,..., 5) ( i 4; j 3) ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) i j ( i 4; j 4, 5) Aplición de Mteátics ng. Técnic de Telecounicción

5 Resolución de sistes de ecuciones lineles. Métodos directos. 4 resultndo l triz plid que corresponde l siste tringulr superior: ~ ( 4 ) A ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 3) ( 3) ( 3) ( 4) ( 4) Definición: ivotes y ultiplicdores. El eleento qq (q) de l triz de los coeficientes en el pso q+ que se usrá pr nulr rq (q) (r = q+, q+,..., ) se ll q-ésio pivote; y l fil q-ési se ll fil pivote. os núeros rq = rq (q) / qq (q) (r = q+, q+,..., ) por los que se ultiplic l fil pivote pr restrl de ls correspondientes fils posteriores se lln ultiplicdores de l eliinción. Un proble que puede precer es el siguiente: si qq (q) =, entonces no podeos usr l fil q-ési pr eliinr los eleentos de l colun q-ési que están por debjo de l digonl principl. o que hceos es intercbir l fil q-ési con lgun fil posterior pr conseguir un eleento pivote que no se cero; si esto no puede hcerse, entonces l triz de los coeficientes del siste es singulr y el siste no tiene solución únic o es incoptible. Teore: Eliinción gussin con sustitución regresiv. Si A es un triz invertible de orden, entonces existe un siste linel UX = Y, equivlente l siste AX = B, en el que U es un triz tringulr superior con eleentos digonles u kk. Un vez construidos U e Y, se us el lgorito de sustitución regresiv pr resolver UX = Y, clculndo sí l solución X. ivoteo pr evitr qq (q) =. (q) Se represent por qq el coeficiente correspondiente l etp (q). Cundo (q) qq =, l fil q-ési no puede usrse pr eliinr los eleentos de l colun q-ési que están por debjo de l digonl principl. Se hce necesrio entonces hllr un fil posterior, digos l k-ési (con k > q), en l que (q) kq, e intercbirls pr obtener un pivote no nulo. Este proceso se ll pivoteo y el criterio pr decidir qué fil escoger se ll estrtegi de pivoteo. estrtegi de pivoteo trivil es l siguiente: Si (q) qq, entonces no se hce intercbio de fil; ientrs que si (q) qq, entonces se locliz l prier fil por debjo de l q-ési en l cul se teng (q) kq y se intercbi l fil q-ési con l k-ési. Esto proporcion el pivote no nulo desedo Estrtegis de pivoteo pr reducir los errores. Coo los ordendores usn un ritétic cuy precisión está fd de nteno, es posible que cd vez que se relice un operción ritétic se introduzc un pequeño error. El uso de l estrtegi de pivoteo trivil en l eliinción gussin puede llevr prejdo un error precible en l solución de un siste de ecuciones lineles clculd con un coputdor. El propósito de ls estrtegis de pivoteo es usr coo pivote el eleento de yor gnitud y, un vez colocdo en l digonl principl, usrlo pr eliinr los Aplición de Mteátics ng. Técnic de Telecounicción

6 Resolución de sistes de ecuciones lineles. Métodos directos. 5 restntes eleentos de su colun que están por debjo de él. Si en l colun q hy ás de un eleento no nulo en l digonl principl o por debjo de ést, entonces hy vris fors de elegir qué fils se intercbin. estrtegi de pivoteo prcil es l ás hbitul. Consiste en lo siguiente: r reducir l propgción de los errores de redondeo, se sugiere que se copre el tño de todos los eleentos de l colun q desde el que está en l digonl hst el de l últi fil. Un vez loclizd l fil, digos l k-ési, en l que se encuentr el eleento de yor vlor bsoluto; o se, si x{,,,, } kq qq q q - q q entonces intercbios l fil q-ési con l k-ési, slvo que k = q; de es ner, los ultiplicdores rq (r = q+,..., ) serán todos enores que en vlor bsoluto. Este proceso suele conservr ls gnitudes reltivs de los eleentos de l triz U del iso orden que ls de los coeficientes de l triz originl. orlente, l elección coo pivote del yor eleento tbién yud que se propgue un error ás pequeño. Con l técnic de pivoteo prcil escldo se evitn errores de redondeo que pueden producirse si el pivote es uy pequeño respecto del resto de los eleentos de su fil. El pivoteo prcil escldo puede usrse pr reducir ún ás los efectos de l propgción de los errores ctorizción tringulr fctorizción tringulr de un triz consiste en escribir dich triz A coo el producto de un triz tringulr inferior, cuyos eleentos en l digonl principl son todos igules, por un triz tringulr superior U, cuyos eleentos digonles son distintos de cero. Definición: fctorizción tringulr o fctorizción U Direos que un triz invertible A dite un fctorizción tringulr o fctorizción U si puede expresrse coo el producto de un triz tringulr inferior, cuyos eleentos digonles son todos igules, por un triz tringulr superior U: o, escrito de ner desrrolld: G J G A = U J G u u u u 3 4 u u u 3 4 u u condición de que A se invertible iplic que u kk pr todo k. notción pr los eleentos de es ; l rzón pr elegir en vez de l es que se puede deostrr que estos eleentos coinciden con los ultiplicdores utilizdos en el procediiento de eliinción gussin Solución de un siste linel Supongos que l triz de los coeficientes A de un siste linel AX = B dite un fctorizción tringulr; entonces l solución de u 44 J Aplición de Mteátics ng. Técnic de Telecounicción

7 Resolución de sistes de ecuciones lineles. Métodos directos. 6 UX = B puede obtenerse definiendo Y = UX y resolviendo dos sistes lineles. En prier lugr se hll Y en el siste Y = B y luego X en el siste UX = Y. En for desrrolld, priero debeos resolver el siste tringulr inferior y b y y b y y y b y y y y b pr obtener y, y, y 3, e y 4 y, un vez que lo teneos, resolver el siste tringulr superior u x u x u x u x y ctorizción tringulr u x u x u x y u x u x y u x y Ahor coentreos l for de obtener fctorizciones tringulres. Si no hce flt relizr intercbios de fils cundo usos eliinción gussin, entonces los ultiplicdores son los eleentos subdigonles de. Vos coprobr pr un triz A de orden 3 que el proceso de eliinción gussin, lcenndo los ultiplicdores coo eleentos subdigonles de, sirve tbién pr fctorizr l triz A coo producto de un tringulr inferior por un tringulr superior U, que es l triz de coeficientes resultdo de l eliinción gussin ( ) ( ) ( ) 3 ( ) ( ) ( ) 3 ( ) ( ) ( ) r nulr los eleentos y 3 se relizn ls trnsforciones de fils: con, y con 3 lndo A l triz obtenid y M ( ) l triz correspondiente ls ( trnsforciones efectuds se tiene que A ) ( ) M A, siendo : M ( ) r hcer el eleento 3 3, y A ( ) ( ) ( ) se reliz l trnsforción:. Aplición de Mteátics ng. Técnic de Telecounicción

8 Resolución de sistes de ecuciones lineles. Métodos directos ( ) 3, con lndo A ( 3) l triz obtenid y M l triz correspondiente l ( 3) trnsforción efectud se tiene que : A M A, siendo : es decir : M, y A reultiplicndo por M 3 Se coprueb fácilente que ( 3) ( ) ( ) ( ) 3 3 ( 3) 3 33 U M ( ) A ( ) M ( ) M ( ) A y M ( ), ( M ) M U A 3 U, () M es l triz correspondiente l trnsforción que deshce el cbio, es decir, l trnsforción que consiste en sur l segund fil l prier ultiplicd por y sur l tercer fil l prier () ultiplicd por 3. de. r M. ( ) M M Es decir, coo queríos coprobr. 3, y M M. M M () () 3 3 Teore:( ctorizción direct A = U sin intercbios de fils). Supongos que podeos llevr cbo hst el finl el proceso de eliinción gussin, sin intercbios de fils, pr resolver un siste de ecuciones lineles culquier AX = B. Entonces l triz A puede fctorizrse coo el producto de un triz tringulr inferior por un triz tringulr superior U; es decir, A = U. Es ás, puede ser construid de ner que sus eleentos digonles son todos igules, y U tiene todos sus eleentos digonles distintos de cero. Est fctorizción se denoin fctorizción de Doolittle. Un vez hllds y U, l solución X puede clculrse en dos psos:. Hllr Y resolviendo Y = B con el étodo de sustitución progresiv;. Hllr X resolviendo UX = Y con el étodo de sustitución regresiv. 3 Aplición de Mteátics ng. Técnic de Telecounicción

9 Resolución de sistes de ecuciones lineles. Métodos directos. 8 Cundo el proceso de eliinción gussin puede llevrse cbo hst el finl en l triz plid que se obtiene ñdiendo l colun B l triz A, entonces los eleentos subdigonles de coinciden con los ultiplicdores correspondientes que se usn en l eliinción, l triz tringulr superior U es l triz de los coeficientes del siste tringulr superior UX = Y obtenido l finl del proceso de eliinción, y el segundo iebro de este siste es precisente el vector Y solución del siste. s trices y U, en el cso generl de un siste de n ecuciones con n incógnits, son: 3, ; U G ( ) ( ) ( ), ( ), ( ), Medinte l teorí del álgebr de trnsforciones eleentles de trices se puede deostrr que: A = U En el cso de que l triz A se un triz estrictente digonl doinnte se puede deostrr que l eliinción Gussin se puede llevr cbo en culquier siste linel de l for A x = b sin relizr ningún intercbio de fils. Adeás los cálculos son estbles frente l creciiento de los errores de redondeo. o iso se puede firr si A es un triz definid positiv trs fctorizciones fctorizción de un triz A en producto de un triz tringulr inferior por otr tringulr superior U puede resolverse tbién coo un siste de ecuciones lineles en el que ls incógnits son los eleentos de y U, ls ecuciones el resultdo de l ecución tricil U = A (hy nn ecuciones pr un triz A de orden n) y los térinos independientes, los eleentos de A. En este siste hy ás incógnits que ecuciones, y que y U, si no se pone ningun otr condición, tienen cd un (n +n) / eleentos, o se, n +n en totl. En l fctorizción de Doolittle se hn hecho los l ii = (i =,,..., n). Si en lugr de esto se hce u ii = (i =,,..., n) se obtiene l fctorizción de Crout. J Cundo A es un triz definid positiv l eliinción gussin siepre puede relizrse sin intercbios de fils, y se puede deostrr que A puede ser fctorizd coo producto de un triz tringulr inferior por su trspuest: A = t A est fctorizción se l conoce coo fctorizción de Cholesky. Si l intentr est fctorizción con un triz siétric surgen ríces de núeros negtivos, l triz no es definid positiv. Aplición de Mteátics ng. Técnic de Telecounicción