Regla de l Hôpital para sucesiones. Antonio J. Di Scala

Transcripción

1 Regla de l Hôpital para sucesiones Antonio J. Di Scala Post print (i.e. final draft post-refereeing) version of an article published on Revista de Educacion de la Union Matematica Argentina 13, Nro. 1, p , (1998). Beyond the journal formatting, please note that there could be minor changes from this document to the final published version. The journal is accessible from here: El propósito de este artículo es mostrar una versión para sucesiones, de la Regla de l Hôpital, en la cual el papel de las derivadas lo juegan las diferencias. La versión de la regla de l Hôpital, en el caso de funciones es : Si dos funciones f y g de R en R,tienen las siguientes propiedades: f(x) = g(x) = x x f (x) x g (x) = α Entonces f(x) x g(x) = α El primer enunciado se adjudica a Otto Stolz, alumno de Karl Weierstrass. Criterio de Stolz. Sea { } una sucesión arbitraria y {b n } una sucesión creciente y divergente. Si existe 1

2 Entonces también existe y además n b n = n b n Una demostración es como sigue : Primero escribimos b n+1 b n = α + ɛ n donde ɛ n tiende a cero cuando n tiende a infinito y α es el ite del cociente. Luego = α.(b n+1 b n ) + Si sumamos en ambos miembros desde n = 1 hast = N 1 resulta : : a N a 1 = α.( b 1 ) + podemos suponer a 1 = b 1 = 0, ahora si dividimos por se obtiene donde N 1 a N = α + = α + R N afirmamos que : R N = R N = 0 n 2

3 en efecto, podemos escribir : R N = K + n=k+1 tomando valor absoluto y usando la desigualdad del triángulo se tiene : R N K ɛ n. (b n+1 b n ) + n=k+1 ɛ n. (b n+1 b n ) como los ɛ n tienden a cero, podemos encontrar una constante M que los acota y dado un ɛ > 0 un N 0 a partir del cual ɛ n ɛ. Haciendo K = N 0, obtenemos : R N N 0 M. (b n+1 b n ) + N 0 +1 ɛ. (b n+1 b n ) como la sucesión b n es creciente podemos sacar los valores absolutos, obteniendo sumas telescópicas, luego de cancelar obtenemos : R N M ɛ. ( 0 +1) M finalmente como es divergente, agrandando N de manera que resulta : M R N 2.ɛ lo cual termina la demostración. Veamos una bonita aplicación, definamos la sucesión {x n } de la siguiente manera : { 1, si n = 1 x n = seno(x n 1 ), si n > 1 ɛ es decir las iteradas de la función seno a partir del 1. + ɛ 3

4 La cuestión es calcular : n x2 n.n Para ello escribimos = n y b n = 1 x 2 n x 2 n.n = b n resultando : Sin detenernos en el hecho de que la suceción {b n } sea creciente y divergente, calculamos : escribimos: b n+1 b n = (n + 1) n 1 x 2 n+1 1 x 2 n = x2 n+1.x 2 n x 2 n x 2 n+1 usando el desarrollo de Mac-Laurin de la función seno se obtiene : reemplazando llegamos a: x n+1 = x n x3 n +... x 2 n+1.x 2 n x 2 n x 2 n+1 = x2 n.(x n x3 n +...)2 x 2 n (x n x3 n +...) = (x x n 3 n +...) (1 x2 n +...) = 2 x 2 n.(1 xn +...)2 ( x2 n +...).(2 x2 n +...) = (1 xn +...) 2 ( ).(2 x2 n +...) finalmente tomando límite cuando n tiende a infinito y usando que {x n } tiende a cero, llegamos a que : es decir : n x 2 n+1.x 2 n x 2 n x 2 n+1 n x2 n.n = 3 = = 3 4

5 el crecimiento y divergencia de la sucesión {b n } resultan de la desigualdad 0 seno(x) x válida en el intervalo [0, 1] que garantizan que {x n } sea decreciente y tenga límite. Este límite es cero por ser cero el único punto fijo de la función seno en este intervalo. Volviendo nuevamente la vista al Criterio de Stolz, el siguiente ejemplo muestra que la hipótesis sobre el crecimiento de las {b n }, no puede, en principio, obviarse : en este caso los límites dan : = n b n = n + ( 1) n. n = 0 y = 1 n b n pero analizando la demostración resulta que solo necesitamos que estén acotadas las sumas : n=k+1 (b n+1 b n ) por una constante que no dependi de K ni de N. Dicho esto enunciamos esta generalización como sigue : Sean { } y {b n } dos suceciones. Supongamos que {b n } es divergente y que existe una constante H tal que : Si existe (b n+1 b n ) H para todo N Entonces también existe 5

6 n b n y además = n b n Para finalizar, me parece adecuado comentar que lecesidad de aclarar estas ideas nació en una discusión de la solución de un problema de la competencia Paenza, mantenida entre Luis Silvestre, Martín Sombra y el autor. Bibliografía. Una demostración diferente del Criterio de Stolz no generalizado puede hallarse en el libro de E. Linés Escardó titulado Principios de Análisis Matemático editorial Reverté. Aqui el Criterio se deduce como un caso particular del método de sumación de Töplitz. Facultad de Matemática, Astronomía y Física Universidad Nacional de Córdoba 5000 Córdoba.