FRACTURA DE MATERIALES COMPUESTOS EN ELEMENTOS SOMETIDOS A TRACCIÓN UNIFORME MEDIANTE LA FORMULACIÓN DE DISCONTINUIDADES FUERTES

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1 ANALES DE MECÁNICA DE LA FRACTURA Vol. 22 (2005) 41 FRACTURA DE MATERIALES COMPUESTOS EN ELEMENTOS SOMETIDOS A TRACCIÓN UNIFORME MEDIANTE LA FORMULACIÓN DE DISCONTINUIDADES FUERTES J. Oliver 1, A.E. Huepe 1, D.L. Linero 1,2 y M.D.G. Pulido 1 1 E.T.S. Enginyer de Cain, Univeritat Politécnica de Catalunya (UPC), Capu Nord UPC, Edifici C-1, c/ Jordi Girona 1-3, Barcelona, Spain 2 Univeridad Nacional de Colobia, Colobia Reuen. Ete trabajo decribe la iulación nuérica de enayo de tracción en ateriale copueto conforado por atriz y fibra larga orientada en dirección de la carga. Para ello, e ha dearrollado una forulación ediante la Aproxiación de Continuo de Dicontinuidade Fuerte (ACDF), con la que e odelan do panele de horigón arado: uno con refuerzo uniforeente ditribuido y otro con refuerzo concentrado en el centro. Dentro de lo reultado e oberva la repueta etructural y la ditribución de la fiura durante el proceo de carga. Abtract. Thi work decribe the tenile tet nuerical iulation of copoite aterial confored by atrix and long fiber oriented in the loading direction. An appropriate Continuu Strong Dicontinuity Approach (CSDA) ha been developed, that i ued for the odelling of two reinforced concrete panel. The firt cae correpond with a uniforly ditributed reinforceent panel, while the econd one, repreent a concentrated reinforceent in the iddle of eber. In the reult, it can be oberved the tructural repone and the crack ditribution during the loading proce. 1. INTRODUCCIÓN La forulación preentada en ete trabajo e una extenión de la Aproxiación de Continuo de Dicontinuidade Fuerte (ACDF), aplicada a la fractura de ateriale copueto [1],[2]. El aterial idealizado etá forado por un grupo de fibra paralela con coportaiento unidienional ebebida en una atriz de coportaiento bidienional (o tridienional en el cao á general). La accione externa ipueta en un ólido on aplicada obre la atriz, la cual a u vez e encarga de tranitirla a la fibra. En el odelo exite una copatibilidad particular entre la deforacione acotada de abo coponente, relacionada con el nivel de adherencia en la interfaz. Cuando e produce una fiura, aparece una diferencia entre la deforación de la atriz y de la fibra en función de la abertura de la ia. Para definir ea diferencia entre deforacione e ha epleado la inforación acerca del alto de deplazaiento que ofrece la ACDF. En la ipleentación e utilizaron eleento finito triangulare lineale con dicontinuidade ebebida y enriqueciiento eleental, donde cada punto de integración repreenta un porcentaje de atriz y otro de fibra, de acuerdo con u participación en el voluen del aterial copueto. 2. DESCRIPCIÓN CINEMÁTICA Suponiendo que tanto en la atriz coo en la fibra puede exitir una dicontinuidad en el capo de lo deplazaiento, e define al vector β coo el alto de lo deplazaiento en la atriz y al ecalar p coo el alto de la fibra en la dirección (Fig. 1). En eta forulación, el aterial copueto antiene un tipo de copatibilidad entre la deforacione de u coponente, lo cuale e coportan egún una ley contitutiva particular para cada uno. Adicionalente, el odelo incluye el efecto del delizaiento entre la fibra y la atriz reflejado en la deforacione de la fibra. Mediante eta aproxiación e puede decribir la cineática de un aterial copueto por atriz y fibra, uponiendo que el intante en el cual e produce la fiura etá deterinado por el coportaiento propio de la atriz. Por lo tanto, ólo depué de activado el alto de deplazaiento en la atriz y obre la uperficie de fallo S, puede aparecer un alto del deplazaiento en la fibra. En fora increental, el capo de la taa deforacione en la atriz y la taa de deforación en la dirección de la fibra etán definido coo:

2 42 ANALES DE MECÁNICA DE LA FRACTURA Vol. 22 (2005) ε ε = u ( ϕ β ) fr C ( ϕ p ) + δ ( n β ) = u ( ϕ ) p + δ S p C ( ϕ )( β ) S (atriz) (1) (fibra) (2) Donde n e el vector noral a la uperficie de dicontinuidad S, u e el vector taa de lo deplazaiento nodale, β y p repreentan la taa del alto de deplazaiento en la atriz y en la fibra, repectivaente. ϕ y δ S on funcione epeciale que definen la parte ejorada de la deforacione egún la ACDF. S Ω - p zona totalente adherida Ω + fibra atriz Lo últio térino de la Expreione (1) y (2) repreentan la deforación producida por el delizaiento en la interfaz de abo ateriale, la cual depende de lo alto del deplazaiento y del coeficiente de tranferencia de deforacione C, definido coo: 0 C < 1.0 β Fig. 1. Material copueto, alto en el deplazaiento de la fibra, alto en el deplazaiento de la atriz, (d) zona de delizaiento fibra atriz. k Lt C = l + k L t n t zona de delizaiento 2L 1 l ( ϕ ) atriz β (d) β n fibra atriz β t n zona totalente adherida (3) donde l e una longitud repreentativa del eleento finito en la dirección de la fibra y L t e la longitud de tranferencia de deforacione definida coo la ditancia en la cual e tranite el alto de deplazaiento de la atriz coo deforación obre la fibra. Cuando hay tranferencia total entre lo coponente eta longitud e cero, al igual que el coeficiente de tranferencia C. En cabio, cuando la tranferencia de deforación e nula el coeficiente C tiende a 1.0, debido a valore uy grande de L t con repecto a la longitud del eleento. El alto del deplazaiento en la atriz (o abertura de fiura), genera el depegue con la fibra obre una zona de delizaiento alrededor de la dicontinuidad coo e uetra en la Fig. 1(d). Fuera de eta zona lo do ateriale peranecen perfectaente adherido. Ete coportaiento deterina la ditribución de la fiura, principalente cuando el refuerzo e concentra en una banda dentro de la pieza coo e ilutrará á adelante. 3. MODELO CONSTITUTIVO APLICADO AL HORMIGÓN ARMADO El horigón arado puede coniderare coo un aterial copueto contituido por un grupo de fibra larga de acero ebebida en una atriz de horigón en aa. Para decribir el coportaiento del horigón en aa e puede utilizar el odelo iótropo de daño equipado con deforacione por ablandaiento. La barra de acero etán liitada a un capo unidienional depreciando u capacidad en otra direccione. Se utiliza para u predicción un odelo de platicidad preparado para reproducir tanto endureciiento coo ablandaiento. La tenione de cada aterial e evalúan ediante la ley contitutiva correpondiente a partir de u deforacione y de la variable interna α. En la atriz e aplica una ley contitutiva del aterial Σ que perite obtener la tenione σ en un capo bidienional dada la deforacione ε, coo e indica en la Expreión (4). Mientra que la tenión en la fibra e el reultado de aplicar u propia ley contitutiva unidienional Σ f obre la deforación ecalar ε fr, en la cual etán incluido lo efecto de la adherencia entre lo do ateriale. σ = Σ ( ε, α ) (atriz) (4) f f fr f σ = Σ ( ε, α ) (fibra) (5) De acuerdo con la teoría de ezcla [3], el capo de la tenione del aterial copueto etá definido de la fora:

3 ANALES DE MECÁNICA DE LA FRACTURA Vol. 22 (2005) 43 f σ = k σ + k ( ) σ (6) donde k y k f on lo coeficiente de participación en voluen de la atriz y de la fibra repectivaente. 4. SIMULACIÓN NUMÉRICA DE PROBLEMAS DE FRACTURA EN ELEMENTOS A TRACCIÓN 4.1. Enayo de tracción en un panel de horigón con refuerzo ditribuido uniforeente Utilizando la forulación indicada anteriorente, e preentan a continuación lo reultado de la iulación nuérica de un panel de horigón arado oetido a tracción, enayado experientalente por Ouyang y otro [4]. El enayo conite en tirar de la cara externa en lo extreo de una pieza de 686 de longitud y 127 x 50.8 de ección tranveral rectangular, entallada en el centro coo e uetra en la Fig. 2. El panel etá reforzado con tre barra de acero de 9.5 de diáetro ebebida copletaente en el horigón. horigón L= f =686 entalla Fig. 2. Equea decriptivo del enayo de tracción con refuerzo ditribuido. La propiedade ecánica de lo ateriale coponente on la iguiente: para el horigón, el ódulo de Young e de MPa, la tenión últia a tracción de 3.19 MPa y la energía de fractura de 100 N/; en el acero de refuerzo, el ódulo de Young vale MPa y la tenión de fluencia e de 508 MPa (in ebargo, el deplazaiento ipueto en el enayo no genera un coportaiento inelático del acero). La barra de refuerzo de longitud f, contituyen el 3.3% del área de la ección tranveral de la pieza. En la iulación nuérica e utilizó una alla de eleento triangulare lineale (Fig. 3), donde la ditancia ínia entre dicontinuidade e la longitud de un eleento. Adeá de la propiedade ecánica de lo ateriale, la forulación incluye el paráetro L t que deterina el nivel de tranferencia de deforacione entre la atriz y la fibra, e decir, entre el horigón y el acero. Lo f acero 3φ9.5 F δ 50.8 Fig. 3. Malla de eleento finito del enayo a tracción con refuerzo ditribuido. P 127 reultado experientale peritirán etablecer el valor de ete paráetro para lo ateriale de ete enayo. σ = F/A (MPa) tenión atriz (MPa) tenión fibra (MPa) A B B A L t = f B L t = f L t =0.05 f L t = L t =0.01 f L t =0.05 f L t = L t =0.01 f Fig. 4. Curva tenión veru deforación edia axial en el extreo del panel con refuerzo ditribuido para diferente nivele de tranferencia de deforacione: tenión edia en el extreo de la pieza, tenión en la atriz en el punto P, tenión en la fibra en el punto P. C C C A B L t = f L t = L t =0.05 f C C C L t =0.01 f C C C

4 44 ANALES DE MECÁNICA DE LA FRACTURA Vol. 22 (2005) En la Fig. 4 e preenta la curva tenión veru deforación edia del panel para cuatro nivele de tranferencia. La tenión edia correponde al cociente entre la fuerza aplicada en el extreo derecho de la pieza y el área de u ección tranveral. La deforación edia e calcula coo el deplazaiento ipueto en el extreo dividido entre la longitud del panel. En cuanto coienza el fallo de la atriz, la rigidez del panel e función de la capacidad de tranferencia entre la deforación de la atriz a la fibra. Lo trao A- C, A-C y A-C en la Fig. 4 uetran coo diinuye la rigidez a edida que e reduce el nivel de tranferencia. Para el cao de tranferencia total y depué de iniciado el daño, en el punto P de la pieza (Fig. 3), la tenión en la atriz (Fig. 4) e reduce lentaente, al io tiepo que crece la tenión de la fibra cai con la ia pendiente inicial (Fig. 4). En cabio, para tranferencia parcial de deforacione, en la atriz e reduce la tenión de fora iportante, ientra la tenione en la fibra crecen con enor pendiente que la inicial. En la Fig. 5 a 8, la concentración de línea de nivel de deplazaiento indican la localización de la deforación o en otro térino, la foración de una fiura. A-C Fig. 5. Línea de nivel de deplazaiento para L t = en el panel con refuerzo ditribuido. Para el cao de tranferencia total de la deforación, lo nivele de deplazaiento indican una ditribución unifore de la fiura (Fig. 5). Para otro nivele de tranferencia otrado en la Fig. 6 y 7, e activan poca dicontinuidade cerca de la entalla durante alguno pao de carga, pero rápidaente e ditribuyen uniforeente la fiura. A-B B-C Fig. 6. Línea de nivel de deplazaiento para L t =0.01 f en el panel con refuerzo ditribuido. Cuando el coeficiente de tranferencia C tiende a 1.00, e produce una única fiura en la probeta, otrando un coportaiento iilar al eperado en un panel de aterial iple (Fig. 8). En concluión, la longitud de tranferencia de deforacione entre la atriz y la fibra, deterina la capacidad etructural de la pieza. Sin ebargo, no afecta de anera repreentativa a la foración de fiura (excepto en el cao de C=1.0). A-B B-C Fig. 7. Línea de nivel de deplazaiento para L t =0.05 f en el panel con refuerzo ditribuido. A-B Fig. 8 Línea de nivel de deplazaiento para C=1.0 en el panel con refuerzo ditribuido. Bazant, Plana y Elice [5] etudiaron analíticaente una pieza reforzada in entalla oetida a tracción, uponiendo que e antiene la adherencia entre lo coponente y que la eccione plana peranecen plana en cualquier intante de carga. Aditiendo que la fiura e producen infinitaente próxia con una abertura uy pequeña, obervaron un ablandaiento depreciable en el horigón, e decir, una tenión contante a partir del líite elático. En la Fig. 9 la línea a trazo indica el reultado analítico tenión del copueto veru deforación edia. σ = F/A (MPa) Nuérica Lt =0 Nuérica L t =4 f Analítica (Bazant) Experiental (Ouyang) δ /L (%) Fig. 9. Curva tenión veru deforación edia axial en el extreo del panel con refuerzo ditribuido. Coparación de olucione nuérica contra repueta analítica y experiental.

5 ANALES DE MECÁNICA DE LA FRACTURA Vol. 22 (2005) 45 La olución nuérica para traferencia total y la repueta analítica dada por Bazant y otro [5], on batante iilare. La pequeña diferencia en la pendiente del egundo trao de la curva obedece poibleente a la preencia de la entalla en el odelo nuérico. En la Fig. 9, lo reultado experientale obtenido por Ouyang y otro [4], e encuentran deliitado por la zona de color gri. La olución nuérica e ajuta al enayo cuando la longitud de tranferencia e 4 vece la longitud de la barra de acero, coniderado coo un nivel alto de tranferencia de deforación. La dicontinuidade e ditribuyen uniforeente coo ocurre en el cao de tranferencia total (Fig. 5). Lo reultado anteriore periten calibrar el paráetro L t del odelo nuérico para el tipo epecífico de horigón y de acero utilizado en el enayo Enayo de tracción en un panel de horigón con refuerzo central A continuación e etudia la eparación entre fiura y la longitud de la zona de depegue en una pieza de horigón reforzada en el centro con una barra de acero. horigón horigón horigón + acero L=500 entalla horigón + acero h/2 F 10 δ e=50 entalla Fig. 10. Enayo de tracción con refuerzo concentrado en el centro: equea decriptivo, alla de eleento finito de edia pieza. fiura principale δ h Toando la propiedade ecánica del enayo anterior, e definió una pieza de longitud 500, ección tranveral cuadrada de h=e=50 y una entalla uave en el extreo derecho coo e uetra en la Fig. 10. La barra de refuerzo tiene 10 de diáetro y etá copletaente ebebida en el horigón. σ/ft 2L /L o d c /L ditancia de aturación entre fiura σ/f t d c /L (ax) 2L /L (ed) d c(1) d c(2) τ c τ c τ c /f t 2L Fig. 11. Enayo de tracción axial: longitud de delizaiento y ditancia entre fiura principale, tenión de corte en el horigón, tenión axial en el acero. d c 2L τ c σ (d) 2L (1) x/l 2L (2) 2L (3) Fig. 12. relación (tenión aplicada / reitencia de la atriz) veru (deplazaiento / longitud) en el extreo de la pieza, evolución de la longitud de la zona de delizaiento y ditancia entre fiura en función de la (tenión aplicada / reitencia de la atriz), línea de nivel de deplazaiento y eparación entre fiura para el intante 4, (d) (tenión cortante / reitencia de la atriz) a lo largo de la pieza en la interfaz del aterial copueto y longitud de la zona de delizaiento en el intante 4.

6 46 ANALES DE MECÁNICA DE LA FRACTURA Vol. 22 (2005) Aprovechando la ietría del problea, e odeló la itad de la pieza con una alla etructurada de eleento finito triangulare lineale. En la Fig. 10, el tono claro correponde a lo eleento de horigón y el tono ocuro a lo eleento de aterial copueto contituido por 84% horigón y 16% acero (en voluen). La Fig. 12 y 13 uetran el coportaiento etructural de la pieza, la evolución de la longitud de la zona de depegue y de la eparación entre fiura, toando iete intante de referencia. En lo intante 1 y 2 e produce una ola fiura, para la cual e ide una zona de depegue a u alrededor, a pear que no exita una ditancia entre ella. A partir del intante 3 e activan á fiura, peritiendo cuantificar u eparación. La ditribución de la fiura e antiene contante dede el intante 6, oento en el cual la zona de depegue de una fiura liita con la de fiura vecina, coo lo indica el coportaiento periódico de la tenión de corte en la Fig. 13(h). (d) (e) (f) (g) (h) τ c /f t τ c /f t τ c /f t τ c /f t x/l Fig. 13. Línea de nivel de deplazaiento y tenión de corte a lo largo de la pieza en la interfaz del aterial copueto, y para el intante 3, y (d) para el intante 4, (e) y (f) para el intante 5, (g) y (h) para el intante 6. La longitud de la zona de delizaiento e puede edir obervando la ditribución de la tenión de corte alrededor de cada dicontinuidad. La ditancia a izquierda y a derecha de una fiura en la cual la tenión de corte e diferente de cero e define coo la longitud de la zona de delizaiento 2L, coo e indica en la Fig. 11 y 12(d). Por otro lado, la eparación entre fiura d c e puede calcular a partir de la localización de la deforacione obervada en la línea de nivel de deplazaiento en la Figura 12. Utilizando lo valore proedio e uetra la evolución de 2L y d c en función de la tenión en el aterial copueto en la Fig. 12. Se puede obervar que la eparación entre fiura e va reduciendo hata alcanzar un valor aintótico inferior llaado ditancia de aturación entre fiura [6], lo cuál ignifica que a pear que auente el nivel de carga, e fora un núero áxio de fiura. Por otro lado, la longitud de la zona de delizaiento crece progreivaente hata alcanzar la ditancia entre fiura, intante en el cual e produce un depegue total entre la atriz y la fibra. A partir de aquí, la do ditancia peranecen iguale hata coneguir la condición de aturación de fiura (Fig. 12). AGRADECIMIENTOS La invetigación llevada acabo en el preente trabajo e ha dearrollado en el arco de lo prograa I+D financiado por el Miniterio de Ciencia y Tecnología de Epaña a travé de la ubvención MAT C03-03 y BIA Aí coo tabién, por la Generalitat de Cataluña ediante el grupo de invetigación conolidado 2001-SGR Adeá e contó con el apoyo del prograa Raón y Cajal y la beca MAE-AECI del Gobierno Epañol. REFERENCIAS [1] Oliver, J., Huepe, A., Pulido, M.D.G., Blanco S. and Linero, D., New developent in coputational aterial failure echanic. Coputational Mechanic WCCM. Tinghua Univerity Pre & Springer-Verlag. Beijing, China [2] Linero, D., Forulación de dicontinuidade fuerte en la fractura de ateriale copueto. Proyecto de Tei Doctoral. UPC [3] Oller, S. Siulación Nuérica del Coportaiento Mecánico de lo Materiale Copueto. Monografía CIMNE [4] Ouyang, C., Wollrab, E., Kulkarni, S.M. and Shah,.P., Prediction of cracking repone of reinforced concrete tenile eber. Journal of Structural Engineering ASC, 123(1):70-78, [5] Bazant, Z. and Plana, J., Fracture and ize effect in concrete and other quaibrittle aterial. CRC Pre [6] Liao, K. and Reifnider, K. L., A tenile trength odel for unidirectional fiber-reinforced brittle atriz copoite. International Journal of Fracture, 106: , 2000.