Topología general. [un primer curso] G. RUBIANO

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1 Topología general [un primer curso] G RUBIANO

2 G RUBIANO

3 Topología general [un primer curso] G RUBIANO Gustavo N Rubiano O Profesor titular Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias Sede Bogotá

4 vi, 284 p : 3 il 00 ISBN Topología general Gustavo N Rubiano O Topología general, 3a edición Universidad Nacional de Colombia, Sede Bogotá Facultad de Ciencias, 2010 Mathematics Subject Classification 2000: c Edición en castellano: Gustavo Nevardo Rubiano Ortegón Universidad Nacional de Colombia Diagramación y diseño interior en L A TEX: Gustavo Rubiano G RUBIANO Tercera edición, 2010 Impresión: Editorial UN Bogotá, D C Colombia

5 Contenido Prólogo 1 Conjuntos con topología 1 11 Los reales una inspiración 1 12 Abiertos básicos (generación de topologías) 8 13 Vecindades Nuevos ejemplos: subespacios de un espacio 22 2 Espacios métricos Métrica Espacios unitarios o euclidianos Caracterización de los espacios euclidianos Topología para una métrica Métricas equivalentes 48 G RUBIANO 3 Bases y numerabilidad contable contable 59 IX 4 Funciones comunicaciones entre espacios Funciones continuas La categoría Top Propiedades heredables 72 v

6 vi CONTENIDO 5 Filtros, convergencia y continuidad Filtros Base de filtro Ultrafiltros Sucesiones 81 6 Homeomorfismos o geometría del caucho Homeomorfismos Invariantes topológicos 97 7 Espacios de identificación cociente Topología cociente Descomposición canónica por una función La topología producto Definición sintética de producto entre conjuntos La topología producto caso finito La topología producto caso infinito Propiedades productivas La topología producto en los métricos Continuidad para el producto Topologías al inicio y al final La topología inicial La topología final 131 G RUBIANO 9 Posición de un punto respecto a un conjunto Conjuntos cerrados y adherencia Operadores de clausura La adherencia es productiva Puntos de acumulación 142

7 CONTENIDO vii 921 Puntos aislados Interior exterior frontera Subconjuntos densos Compacidad Espacios compactos Dos caracterizaciones de la compacidad Compacidad vía cerrados Compacidad vía filtros Compacidad vía ultrafiltros Producto de dos compactos Teorema de Tychonoff Compacidad y sucesiones Compacidad para métricos Ordinales como ejemplo Compacidad local Compactación Espacios métricos y sucesiones completez Sucesiones de Cauchy 196 G RUBIANO 1111 Filtros de Cauchy Espacios de Baire Completez de un espacio métrico Espacios de funciones Los axiomas de separación T 0, T 1 y T 2 o de Hausdorff Regulares, T 3, Tychonoff Inmersión en cubos 219

8 viii CONTENIDO 123 Normales, T Lema de Urysohn o existencia de funciones Tietze o extensión de funciones Conexidad La conexidad como invariante topológico Subespacios conexos maximales El conjunto C de Cantor Conexidad local Conexidad por caminos 255 Bibliografía 264 Índice alfabético 266 G RUBIANO

9 Prólogo El tema central de esta tercera edición es presentar un texto que sirva como guía para un primer curso formal en topología general o de conjuntos Se han hecho cambios importantes que justifican que se trate de una nueva edición y no de una simple reimpresión de la anterior La mayoría de las herramientas y conceptos utilizados en el estudio de la topología se agrupan en dos categorías: invariantes topológicos y construcciones de nuevos espacios a partir de los ya conocidos En la parte de invariantes, el énfasis en los espacios 1-contable o espacios que satisfacen el primer axioma de enumerabilidad, como espacios para los cuales las sucesiones son suficientes para describir la topología, justifica la introducción del concepto de filtro como una adecuada noción de convergencia, que resulte conveniente para describir la topología en espacios más generales; de paso, este concepto nos proporciona una manera cómoda para llegar al teorema de Tychonoff, imprescindible en cualquier curso no trivial, teorema que corresponde a la parte de construcciones Nuevos capítulos, secciones, demostraciones, gráficos y referencias históricas han sido introducidos a fin de motivar al lector y presentar de manera activa una de las áreas más prolíficas de la matemática y la ciencia G RUBIANO Como en casi todo libro de texto, poco o nada es original por parte del autor, excepto posiblemente la manera de manejar la influencia de varios clásicos sobre el tema o la introducción de algunos ejemplos nuevos Agradezco a la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional de Colombia, Sede Bogotá, el darme ese tiempo extra que siempre necesitamos los docentes para plasmar de forma escrita la experiencia diaria Gustavo N Rubiano O ix

10 x CONTENIDO G RUBIANO

11 1 Conjuntos con topología 11 Los reales una inspiración No hay nada más familiar a un estudiante de matemáticas que el conjunto R de los números reales y las funciones f : R R Si únicamente tuviéramos en cuenta la definición usual de función de R en R, es decir, una colección de pares ordenados (x, y) R R donde cada elemento de R es la primera componente de una y de solo una pareja ordenada, estaríamos desperdiciando el concepto de intervalo que conocemos para los números reales y, aún más, el hecho de que en R podemos decir quiénes son los vecinos de un punto x R En efecto, los vecinos al punto x en una distancia menor que un ε > 0 son todos los y R tales que x y < ε; es decir, el intervalo (x ε, x+ε) es la vecindad básica de x con radio ε Cuando a una función de R en R la obligamos a tener en cuenta el concepto anterior de vecindad básica, lo que estamos exigiendo es que se satisfaga la definición ε, δ de continuidad empleada en el cálculo G RUBIANO Revisemos esta definición de continuidad La función f : R R se dice continua en el punto c R si: Para cada número positivo ε, existe un número positivo δ tal que f(x) f(c) < ε siempre que x c < δ Pero f(x) f(c) < ε significa f(x) (f(c) ε, f(c) + ε); así mismo, x c < δ significa x (c δ, c + δ); luego la definición entre comillas la podemos reescribir como Dado ε > 0 (ver fig 11) se puede encontrar δ > 0 tal que si x (c δ, c + δ) entonces f(x) (f(c) ε, f(c) + ε) Hablando en términos de los intervalos abiertos como las vecindades 1

12 2 Conjuntos con topología 2ε f(c) g(c) K básicas, esta definición es: c 2δ Figura 11: La continuidad en R Dada una vecindad básica de radio ε alrededor de f(c), podemos encontrar una vecindad básica de c y con radio δ tal que si x (c δ, c + δ) entonces f(x) (f(c) ε, f(c) + ε) Lo que de nuevo reescribimos como: Dada una vecindad de f(c) podemos encontrar una vecindad de c con la propiedad que, la imagen por f de esta última se encuentra dentro de la vecindad de f(c) Informalmente decimos que: Un cambio pequeño en c produce un cambio pequeño en f(c) Hemos visto entonces que el concepto de continuidad en R está ligado esencialmente a la definición que podamos hacer de vecindad para un punto y la relación entre las imágenes de las vecindades Luego, si quisiéramos abstraer el concepto de continuidad para otros conjuntos que no sean nuestros números reales usuales, debemos remitirnos a obtener de alguna manera pero con sentido el concepto de vecindad para estos conjuntos G RUBIANO Al definir un conjunto abierto en R como un conjunto que es unión de intervalos abiertos nuestras vecindades básicas es fácil verificar que: c 1 es abierto la unión de una familia vacía 2 R es abierto 3 La unión de una colección de abiertos es un abierto 4 La intersección de un número finito de abiertos es un abierto

13 11 Los reales una inspiración 3 Motivados por las anteriores propiedades damos la siguiente definición Definición 11 Una topología 1 para un conjunto X es una familia tal que: 1 T, X T T = {U i : i I}, U i X 2 i F U i T para cada F subconjunto finito de I F I 3 i J U i T para cada J I Esto es, T es una familia de subconjuntos de X cerrada tanto para la unión arbitraria como para la intersección finita La condición 1 es consecuencia de 2 y 3 cuando tomamos como conjunto de índices I = Los elementos de T se llaman abiertos y el par (X, T) es por definición un espacio topológico Brevemente lo notamos X cuando no es necesario decir quién es T Los elementos de X son los puntos del espacio Las condiciones en la definición anterior se llaman los axiomas de una estructura topológica A menos que se especifique lo contrario, en este texto la palabra espacio significará espacio topológico Los complementos de los conjuntos abiertos se llaman conjuntos cerrados EJEMPLO 11 G RUBIANO R u En R definimos una topología T conocida como la usual (el espacio es notado R u ) definiendo U T si U es unión de intervalos abiertos O de manera equivalente, U R es abierto si para cada punto x U existe un intervalo (a, b) que contiene a x y está contenido en U 1 Se le acuña la invención de la palabra topología al matemático alemán de ascendencia checa Johann B Listing ( ) en una carta dirigida a su viejo maestro de escuela Müller

14 4 Conjuntos con topología EJEMPLO 12 Orden El ejemplo 11 lo podemos generalizar a todo conjunto X que sea linealmente totalmente ordenado por una relación Definimos T la topología del orden o la topología intervalo sobre (X, ) tomando como abiertos todos los U X que se pueden expresar como unión de intervalos de la forma 1 (x, y) := {t : x < t < y} intervalos abiertos acotados 2 (x, ) := {t : x < t} colas a derecha abiertas 3 (, y) := {t : t < y} colas a izquierda abiertas En el caso en que X no posea elementos máximo y mínimo, basta considerar tan solo los intervalos acotados (x, y) por qué? EJEMPLO 13 Discreta: Dado un conjunto X definimos T = 2 X partes de X o (X) Esta es la topología discreta de X permite que todo sea abierto Es la topología sobre X con la mayor cantidad posible de abiertos Grosera: Contrario a lo anterior, dado un conjunto X definimos T = {, X}, conocida como la topología grosera de X prácticamente no permite la presencia de abiertos Es la topología con la menor cantidad posible de abiertos G RUBIANO Nótese que toda topología T para X se encuentra entre la topología grosera y la topología discreta, i e, {, X} T 2 X EJEMPLO 14 Punto incluido Sea X un conjunto y p un punto elegido en X Definimos la topología punto incluido I p como U I p si p U, o, U = La definición de esta topología se puede extender a cualquier A X y la notamos como I A

15 11 Los reales una inspiración 5 EJEMPLO 15 Extensión cerrada de (X, T) La anterior topología permite la siguiente generalización Dado un espacio (X, T) y p / X, definimos la extensión X = X {p} y T = {V {p} : V T} { } (X, T ) es un espacio y los cerrados de X coinciden con los de X El ejemplo 14 es la extensión Y para el caso (Y = X {p}, 2 Y ) EJEMPLO 16 Punto excluido Sea X un conjunto y p un punto elegido en X Definimos la topología punto excluido E p como U E p si U = X, o, p / U EJEMPLO 17 Sierpinski En X = {0, 1} construimos todas las posibles topologías: J 4 1 J 1 = {, X}, 2 J 2 = {, X, {0}}, 3 J 3 = {, X, {1}}, 4 J 4 = {, X, {0}, {1}, {0, 1}} J 2 J 1 J 3 G RUBIANO El diagrama muestra cómo es la contenencia entre estas cuatro topologías, así que J 2 y J 3 no son comparables J 2 = {, X, {0}} se conoce como la topología de Sierpinski 2 Es el espacio más pequeño que no es trivial ni discreto 2 En honor al matemático polaco Waclaw Sierpinski (Varsovia, ) En 1920, Sierpinski, junto con Zygmunt Janiszewski y su ex alumno Stefan Mazurkiewicz, fundaron una influyente revista matemática, Fundamenta Mathematica, especializada en trabajos sobre teoría de conjuntos Durante este periodo, Sierpinski trabajó sobre todo en teoría de conjuntos, pero también en topología de conjuntos y funciones de una variable real También trabajó en lo que se conoce actualmente como la curva de Sierpinski

16 6 Conjuntos con topología EJEMPLO 18 Complementos finitos a Dado un conjunto X, definimos la topología (T, cofinitos) como U X es abierto si su complemento U c es finito, o U = En este ejemplo como en cada ejemplo donde los abiertos se definan en términos de cardinalidad es interesante tener en cuenta los tres casos, dependientes de que X sea finito, infinito contable, o infinito no contable a También conocida como la topología de Zariski en honor al matemático bielorruso Oscar Zariski ( ) EJEMPLO 19 Complementos enumerables Dado un conjunto X, definimos la topología (T, coenumerables) como U X es abierto si su complemento U c es enumerable o contable finito o infinito, además del, por supuesto EJEMPLO 110 Espacio de Fort Sea X un conjunto y p un punto en X Definimos U E ω p si U c es finito, o p / U La colección T op(x) de todas las topologías sobre un conjunto X es un conjunto parcialmente ordenado por la relación de inclusión: T 1 T 2 si T 1 T 2, caso en el cual decimos que T 2 es más fina que T 1 Por tanto, sobre T op(x) tiene sentido hacer referencia a todos los conceptos relativos a conjuntos ordenados G RUBIANO Dado un conjunto finito X con n elementos, notemos por T(n) el conjunto de topologías definibles sobre X Una pregunta natural y formulada desde el inicio de la topología es: cuántas topologías existen sobre X? o quién es el cardinal T(n)? La pregunta es difícil de contestar y por ello se trata de un problema abierto; más aún, para este problema de conteo no existe a la fecha ninguna fórmula cerrada ni recursiva que dé una solución Tampoco existe un algoritmo eficiente de computación que calcule el total de T(n) para cada n N Para valores pequeños de n el cálculo de T(n) puede hacerse a mano; por ejemplo, T(1) = 1, T(2) = 4, T(3) = 29 Pero el crecimiento de T(n) es exponencial, como lo muestra la tabla 11 De hecho, existen posibles topologías para

17 11 Los reales una inspiración 7 n Número de topologías en T(n) Cuadro 11: Número de topologías para un conjunto de n elementos un conjunto con n = 18 elementos, y a la fecha este valor de n es el mayor para el cual el número de topologías es conocido Ejercicios 11 G RUBIANO 1 Cómo son los cerrados para los espacios de los ejemplos anteriores? 2 Construya todas las topologías para X = {a, b, c} 3 Muestre que, para un conjunto X, la intersección de topologías sobre X es de nuevo una topología 4 Muestre que la unión de dos topologías sobre un conjunto X no necesariamente es una topología 5 En cada uno de los ejemplos dados en esta sección, revise la pertinencia de la cardinalidad del conjunto X

18 8 Conjuntos con topología 6 Muestre que (T op(x), ) es un retículo completo En particular, para el caso de dos topologías T, I el sup {T, I} está formado por todas las posibles uniones de conjuntos de la forma {U V : U T, V I} 7 Revise el ejemplo 110 en términos del ejercicio anterior 12 Abiertos básicos (generación de topologías) Entre los abiertos de un espacio, algunas veces casi siempre es importante resaltar algunos de ellos que en cierta manera generan o describen a los demás, i e, toda la estructura topológica puede ser recuperada a partir de una parte de ella G RUBIANO Definición 12 Si (X, T) es un espacio, una base para T es una subfamilia B T con la propiedad que: dados un abierto U y un punto x U, existe un B B tal que x B U Cada abierto en T es unión de elementos en B EJEMPLO 111 Los intervalos abiertos de R constituyen una base para la topología en R u Revise la definición de la topología del orden Por supuesto, para un espacio (X, T), T en sí misma es una base de manera trivial; la palabra trivial se justifica porque una de las cualidades

19 12 Abiertos básicos (generación de topologías) 9 más importantes para una base es exigir que su cardinalidad no sea muy grande espacio 2 contable Cómo reconocer que una colección B de subconjuntos de X pueda ser base para alguna topología? Teorema 13 Sea X un conjunto B (X) es base de una topología para X si y solo si se cumple que 1 X = {B : B B}, i e, B es un cubrimiento de X 2 Dados cualesquiera U, V B y x U V, existe B en B con x B U V Esto es, U V es unión de elementos de B para todo par U, V de B Nótese que, en particular, un cubrimiento B (X) cerrado para intersecciones finitas es una base Demostración ) 1) Supongamos que B es base para una topología T de X Veamos que X = {B : B B}; en efecto, dado x X existe U T tal que x U, y como B es base, existe B con x B U la otra inclusión es obvia 2) Si U, V B entonces, dado x U V, por ser B una base, existe B tal que x B U V U, V están en T, y por tanto U V T ) Construyamos una topología T para la cual B es una base Definimos U T si U es unión de elementos de B Por supuesto tanto X como están en T por ser la unión de la familia vacía Si tomamos la unión de una familia en T, ella finalmente es unión de elementos de B Ahora veamos que B es base de T Si U, V T y x U V, por la definición de T, existen B U, B V en B conteniendo a x y contenidos en U y V respectivamente; por la condición 2 sobre B, existe B tal que x B ( ) B U B V U V G RUBIANO K La topología dada por el teorema anterior se conoce como la topología generada por la base B y la notamos T = B 3 EJEMPLO 112 Si X es un conjunto y p X, una base de la topología I p del punto incluido es B = {{x, p} : x X} 3 Una misma topología puede ser generada por bases diferentes

20 10 Conjuntos con topología EJEMPLO 113 Partición Dada una partición R sobre un conjunto X o lo que es igual una relación de equivalencia R, la colección R junto con el conjunto es una base para una topología sobre X Un subconjunto de X es entonces abierto si es unión de subconjuntos pertenecientes a la partición EJEMPLO 114 Línea de Khalinsky En Z definimos la base B = {{2n 1, 2n, 2n + 1} : n Z} {{2n + 1} : n Z} En la topología generada, cada entero impar es abierto y cada entero par es cerrado EJEMPLO 115 Topología a derecha Para un conjunto (X, ) parcialmente ordenado, el conjunto de las colas a derecha y cerradas x := [x, ) := {t : x t}, es una base para una topología ya que [x, ) [y, ) = z [z, ) para z [x, ) [y, ) La topología generada se nota T d y se conoce como la topología a derecha dualmente existe la topología a izquierda G RUBIANO La anterior topología es saturada o de Alexandroff 4 en el sentido que la intersección arbitraria de abiertos es de nuevo un abierto Nótese que las colas abiertas son también abiertos para esta topología (a, ) = b>a[b, ) 4 En general una topología se dice de Alexandroff o A topología si las intersecciones arbitrarias de conjuntos abiertos son de nuevo un abierto Fueron estudiadas inicialmente por P S Alexandroff en 1937 Nótese que toda topología finita es de Alexandroff

21 12 Abiertos básicos (generación de topologías) 11 EJEMPLO 116 Una topología puede tener diferentes bases En R 2 definamos dos bases B 1, B 2 que nos conducen a una misma topología: la usual B 1 : U B 1 si U = {(x, y) : ( (x u) 2 + (y v) 2) 1/2 < ε} para algún ε > 0 y algún (u, v) en R 2 U se acostumbra denotar como B ε ((u, v)) U es el interior de un disco en R 2 de centro en (u, v) y radio ε B 2 : V B 2 si V = {(x, y) : x u + y v < ε} para algún ε > 0 y algún (u, v) en R 2 V es el interior de un rombo en R 2 con centro en (u, v) Es un ejercicio verificar que lo que se puede expresar como unión de elementos de B 1, lo puedo expresar tambiéncomo unión de elementos de B 2, con lo cual las dos topologías generadas coinciden EJEMPLO 117 De manera más general, en R n definimos una base B de la manera siguiente: B = {B ε (x) : ε > 0, x = (x 1,, x n ) R n } donde, ( B ε (x) = (y 1,, y n ) R n n ) 1/2 (x i y i ) 2 < ε G RUBIANO B ε (x) es la bola abierta de centro en x con radio ε La topología generada por esta base se conoce como topología usual de R n y notamos R n u i=1 No olvide en los dos ejemplos anteriores demostrar que efectivamente estas bases satisfacen la condición para serlo, y hacer los gráficos respectivos para las bolas abiertas en R u y R 2 u

22 12 Conjuntos con topología K Dado un conjunto X es posible obtener una cantidad de subfamilias de partes de X, de tal manera que ellas cumplan los requisitos de ser base para alguna topología Cuando dos bases generen una misma topología las vamos a identificar, es decir, establecemos un criterio de igualdad acomodado por nosotros para nuestros intereses En otras palabras, definimos una relación de equivalencia y lo que llamamos equivalente es esa igualdad acomodada Definición 14 Sean X un conjunto y B 1, B 2 dos bases como en la definición 12 Decimos que B 1 B 2 son dos bases equivalentes si las topologías generadas son iguales, i e, B 1 = B 2 Proposición 15 B 1 B 2 si y solo si dados B 1 B 1 y x B 1 existe B 2 B 2 tal que x B 2 B 1, con lo cual B 1 B 2 y viceversa Demostración Ejercicio El lector debe verificar que esta relación es de equivalencia sobre el conjunto de todas las posibles bases para un conjunto X fijo Así que, dada una topología sobre X podemos escoger, de la clase de equivalencia que representa esta topología, el elemento base que mejor se acomode a nuestro interés canónico Dado un cubrimiento D de X, es posible crear la menor topología sobre X que tenga entre sus abiertos la colección D Para ello, creamos a partir de esta colección una base y luego generamos la topología Teorema 16 Dado un cubrimiento D de X, existe una única topología T para la cual los elementos de D son abiertos y cualquier otra topología H que contenga a D es más fina que T, esto es, T H G RUBIANO Demostración Definimos la colección B como el conjunto de todas las intersecciones finitas de elementos de D, es decir B B si B = n i=1 D i para D i D; B es una base de topología y D B Sea T = B En otras palabras, un elemento U de T es aquel que podemos expresar como una reunión de intersecciones finitas de elementos de D Si H es una topología para X tal que D H, es claro que todo elemento de T también es elemento de H por la definición de topología En general definimos una subbase de la manera siguiente

23 12 Abiertos básicos (generación de topologías) 13 Definición 17 Sea (X, T) un espacio Una subbase para la topología T es una subcolección D T con la propiedad que la familia formada por las intersecciones finitas de elementos de D es una base para T EJEMPLO 118 Los intervalos de la forma (a, ), (, b) con a, b R forman una subbase para la topología usual Generalice a la topología del orden EJEMPLO 119 Para un conjunto X la colección D = {X {x} : x X} es una subbase para la topología de los cofinitos Ejercicios 12 1 (R 2, verticales) Por cada x R sea B x = {(x, y) : y R} Muestre que B = {B x : x R} es base de una topología para R 2 Cómo son los abiertos? 2 (R 2, triangulares) Dados a, b, c R, con a > 0, definimos la región comprendida entre dos rectas D a,b,c = {(x, y) : y ax + b y y ax + c} R 2 Sea D = {D a,b,c : a > 0, b, c R} D es una colección de regiones triangulares infinitas Muestre que D es base para una topología G RUBIANO 3 Cuando tenemos un conjunto (X, ) totalmente ordenado y sin elementos máximo ni mínimo, es posible definir otras topologías diferentes de la usual para el orden Consideremos las siguientes familias de subconjuntos y verifiquemos que efectivamente se trata de bases para nuevas topologías: a) B d = {x = [x, ) : x X} genera la topología T d de las colas a derecha y cerradas, o topología a derecha (ver ejemplo 115) b) B i = {x = (, x] : x X} genera la topología T i de las colas a izquierda y cerradas Al igual que la anterior, esta topología es de Alexandroff También se dice que la topología

24 14 Conjuntos con topología c b Figura 12: Las regiones del ejercicio 2 es generada por los inferiores x de cada elemento En estos dos casos no es necesario que el orden sea total, basta tener una relación de orden parcial en X B i también genera los intervalos de la forma (, a) = b<a(, b], con lo cual es inmediato ver que T ai T i G RUBIANO c) B ad = {(x, ) : x X} genera la topología T ad de las colas a derecha y abiertas En este caso es necesaria la no existencia del mínimo d) B ai = {(, x) : x X} genera la topología T ai de las colas a izquierda y abiertas Necesitamos de la no existencia de máximos e) B + = {[x, y) : x, y X} genera la topología T + de los intervalos semiabiertos a derecha En el caso X = R, T + es

25 12 Abiertos básicos (generación de topologías) 15 llamada topología de Sorgenfrey o del límite inferior 5 B + genera: (a, b) = t>a[t, b), [a, ) = a<b[a, b), (a, ) = a<b(a, b), (, b) = a<b(a, b) G RUBIANO 5 Introducida por R H Sorgenfrey ( ) en 1947 para los números reales, es una fuente de útiles contraejemplos

26 16 Conjuntos con topología f ) B = {(x, y] : x, y X} genera la topología T de los intervalos semiabiertos a izquierda B genera: (a, b) = x<b(a, x], (, a] = b<a(b, a], (a, ) = b<a(a, b), (, b) = a<b(a, b) Verifique el diagrama 13, el cual muestra la relación de contenencia entre estas topologías y dice quiénes no son comparables J i J J ai 2 X J 0 J + J ad J d Figura 13: Contenencia entre topologías G RUBIANO 4 Sea B (X) un cubrimiento de X cerrado para las intersecciones finitas propiedad de la intersección finita PIF Muestre que B es base para una topología en X 5 Dado el intervalo unidad I = [0, 1] R, consideremos el conjunto X = Mor(I, I) = {f f : I I} Por cada S I, definimos B S = {f X : f(x) = 0, para cada x S} La colección B = {B S } S I es base para una topología en X

27 13 Vecindades Vecindades En la motivación de este capítulo utilizamos el término vecindad en el contexto de los números reales; hagamos la generalización a espacios topológicos de acuerdo con la siguiente definición Definición 18 Sea (X, T) un espacio Decimos que V X es vecindad 6 de x X la notamos V x si existe U T tal que x U V x Al conjunto de todas las vecindades del punto x lo notamos V(x) U x y Figura 14: Propiedad 4 de la axiomatización de vecindad Proposición 19 Sean (X, T) un espacio y x X El sistema V(x) de vecindades de x X posee las siguientes propiedades: 1 Si V V(x) entonces x V G RUBIANO V x 2 Si V V(x) y V W entonces W V(x) 3 Si V, W V(x) entonces V W V(x) 4 Para cada V V(x) existe U V(x) con U V tal que V V(y) para todo y U Demostración La demostración se deja como ejercicio 6 Fue el matemático alemán Felix Hausdorff quien en 1914 introdujo la noción de espacio topológico en Grunzuge der Mengenlehre, Leipzig, Veit and Co, 1914, partiendo de una axiomatización del concepto de vecindad También trabajó en teoría de conjuntos e introdujo el concepto de conjunto parcialmente ordenado

28 18 Conjuntos con topología En particular de 1, 2 y 3 podemos deducir que el sistema V(x) es un filtro para cada x X el concepto de filtro se define en el capítulo 5, pág 81 Una manera informal de describir la propiedad 4 es decir que Una vecindad de un punto x es también vecindad de los puntos suficientemente cercanos a x El siguiente teorema es interesante porque compara la axiomatización de Hausdorff con la dada por N Bourbaki 7 un cuarto de siglo más tarde, la cual es nuestra definición inicial de topología Felix Hausdorff G RUBIANO Teorema 110 Sea X un conjunto Supongamos que a cada x X se le asigna un conjunto V(x) no vacío de subconjuntos de X que cumple 1, 2, 3 y 4 de la proposición 19; entonces existe una única topología T para X tal que para cada x X la colección V(x) es precisamente el sistema de vecindades de x en el espacio (X, T) Demostración Definimos U T si para cada x U se tiene que U V(x) U es vecindad de cada uno de sus puntos Veamos que en efecto T es una topología Por vacuidad, vacío está en T Por hipótesis, V(x) es 7 Un grupo de matemáticos, en su mayoría franceses, quienes bajo este seudónimo comenzaron a reunirse en 1930 con la intención de escribir de una manera unificada la matemática existente

29 13 Vecindades 19 diferente de vacío para x X, y por tanto X V(x) Dado x U V donde U, V T, tenemos U V V(x) ya que U, V V(x) Dada {U i }, (i I) una familia en T y x U = {U i : i I}, existe i I tal que x U i, y como U i V(x), por la propiedad 2 tenemos U V(x) Veamos ahora que V(x) = W(x) donde W(x) es el sistema de vecindades de x en (X, T) Si V x es una vecindad de x, existe U T tal que x U V x Como U T, significa que U V(x) y así V x V(x) Mostremos finalmente que V(x) W(x) Dada V V(x), definimos U = {y V : V V(y)}; claramente x U V, así que solo resta mirar que U T Por definición, si y U entonces V V(y) y por 4 existe W en V(y) tal que V V(z) para cada z W, con lo cual W U, y por 2, U está en V(y), pero como esto se tiene para cada y U, entonces U T por la definición de T Es un ejercicio verificar que la topología T es única Definición 111 En un espacio (X, T) un SFV sistema fundamental de vecindades para un punto x X, es una familia W = {W i } i de vecindades de x, tal que para cada vecindad V x existe una W i con W i V x Los elementos de un SFV son suficientemente finos para estar dentro de cada vecindad Definición 112 Un espacio (X, T) se dice T 1 si dado cualquier par de puntos x, y X existen V x, V y tales que y / V x y x / V y Definición 113 Un espacio (X,T) se llama espacio de Hausdorff, T 2, o separado, si dado cualquier par de puntos x, y X existen vecindades V x, V y con V x V y = Es decir, podemos separar los puntos por medio de vecindades disyuntas G RUBIANO El nombre de Hausdorff para esta propiedad se debe al hecho de haber sido F Hausdorff 8 quién la introdujo como un axioma adicional a los de la proposición 19 8 F Hausdorff ( ) creció en la ciudad de Leipzig, Alemania, se graduó de la Universidad de Leipzig y fue docente allí hasta 1910 Comenzó su carrera de genial matemático como un astrónomo Por su inmenso aporte es considerado como uno de los padres de la topología También escribió poesía y filosofía En 1942 prefirió cometer suicidio (junto con su esposa) antes que ser deportado a un campo de concentración nazi

30 20 Conjuntos con topología EJEMPLO 120 En (X, discreta) el conjunto W(x) = {{x}} es un SFV de x En R u el conjunto W(x) = {(x 1 n, x + 1 n )} n N es un SFV de x R Ejercicios 13 1 Muestre que en un espacio X, U X es abierto si y solo si es vecindad de cada uno de sus puntos 2 Muestre que en un espacio T 1 los conjuntos unitarios {x} son cerrados 3 Cuáles espacios de los que hemos definido son T 1? 4 Cuáles de los espacios topológicos que hemos definido son Hausdorff? 5 B = {(a, b) : b a 1} es base para la topología usual de R 6 En (R 2, verticales) quiénes forman a V((0, 0))? 7 Muestre la unicidad en el teorema Sea (X, T) un espacio Muestre que la topología T es de Alexandroff o A topología si y solo si cada punto x X posee una vecindad A x mínima, i e, A x está contenida en cualquier otra V x 9 Muestre que toda topología finita es de Alexandroff G RUBIANO 10 Lexicográfico En R 2 definamos el orden lexicográfico de la manera siguiente: (a, b) < (c, d) si a < c, o para el caso en que a = c tenemos b < d Los intervalos abiertos y acotados ((a, b), (c, d)) en este espacio, resultan ser rectángulos infinitos hacia arriba y hacia abajo, con parte de los lados verticales incluidos, según sea el caso (ver figura) Luego un abierto para la topología generada será todo lo que logremos expresar como unión de estos elementos básicos Nótese que esta definición puede extenderse a R n y coincide con la manera como ordenamos un diccionario

31 13 Vecindades 21 d b a c a) Dibuje al menos tres vecindades del punto (0, 0) para la topología inducida por este orden b) Cómo es geométricamente el intervalo ((0, 0), (2, 3))? c) Qué relación existe entre la topología usual y la topología de orden asociada al lexicográfico? d) Cómo puede usted generalizar esta topología a cualquier conjunto ordenado? e) Trate de observar cómo es esta topología si el conjunto X es el cuadrado unidad I I 11 Muestre que B = {((a, b), (a, c)) : b < c} es también una base para la topología del orden lexicográfico 12 La topología del orden para N es la topología discreta 13 La topología del orden para N N con el orden lexicográfico no es la topología discreta 14 La topología del orden para Z Z con el orden lexicográfico es la topología discreta 15 Sea X un conjunto En los siguientes numerales definimos para cada x X un conjunto V(x) En qué casos la colección de las V(x) constituye un sistema de vecindades? Cuál es la topología generada por este sistema? G RUBIANO a) V(x) = {A X : x A} b) V(x) = {{x}} c) V(x) = {X} d) Sea X = N {ω} donde ω / N Por cada n N definamos 1) V(n) = {A X : n A}, 2) V(ω) = {A X : ω A y A c es finito} e) Sea X = (N N) {ω} donde ω / N N Por cada (m, n) N N definamos:

32 22 Conjuntos con topología 1) V((m, n)) = {A X : (m, n) A}, 2) V(ω) = {A X : ω A, donde A contiene casi todos los puntos de casi todas las filas} En otras palabras, a cualquier fila le pueden faltar finitos números, y solo a un número finito de filas le pueden faltar infinitos números La fila k-ésima es por definición el subconjunto N {k} la cual notamos N k A V(ω) si ω A y existe m N tal que N k A es finito para todo m < k La topología generada es la de Arens-Fort 9 : un abierto contiene a ω si únicamente un número finito de filas contienen huecos significativos Revise el ejemplo Nuevos ejemplos: subespacios de un espacio Esta sección presenta una máquina de construcción para nuevos espacios a partir de espacios ya conocidos Dados un espacio (X, T) y A X, A hereda una estructura topológica T A de manera natural con respecto a T Proposición 114 Sean (X, T) un espacio y A X La colección es una topología sobre A T A := {U A U T} T A se llama la topología de subespacio inducida sobre A o la topología asociada al subespacio A G RUBIANO Demostración Claramente = A y A = X A son elementos de T A Si M, N T A entonces M = U A, N = V A para U, V T, con lo cual (U A) (V A) = (U V ) A, y como U V T, tenemos que M N T A Por inducción esto es válido para cualquier intersección finita de elementos de T A Si {M i }, (i I) es una familia de elementos de T A, cada M i = V i A para un V i T Así que M = i I M i = i I (V i A) = A ( i I V i ), y como i I V i T, tenemos M T A 9 Marion K Fort, Jr ( ) matemático estadounidense Los espacios Fort y Arens-Fort son llamados en su honor

33 14 Nuevos ejemplos: subespacios de un espacio 23 Los abiertos en A se obtienen de interceptar los de X con A EJEMPLO Sea X = R 2 u Entonces cualquier subconjunto del plano puede ser visto como un espacio topológico En particular las figuras de la geometría, como circunferencias, discos, polígonos, etc, pueden ser ahora vistas como espacios Examinemos el caso de la recta real R = {(x, 0) : x R} R 2 La topología de subespacio es la topología usual de R En efecto, dado M abierto de R, M = R V para V abierto de R 2 Luego V = i I B i, donde cada B i es una bola abierta; entonces M = R ( i I B i ) = i I (R B i ) y cada R B i es un intervalo abierto o el, luego M es reunión de intervalos abiertos, i e, M es abierto de la topología usual 2 Lo mismo sucede en R 3 y R n con la topología usual, cuando consideramos alguno de sus subconjuntos Por ejemplo, al dar topología a las esferas S n G RUBIANO La siguiente proposición dice cómo obtener una base para la topología inducida sobre A X a partir de una base para la topología en X Proposición 115 Si B = {B i } i I es una base para (X, T) entonces D = {B i A : B i B} es una base de T A Demostración Veamos que tenemos un cubrimiento Si x A entonces x B i para algún i y por tanto x B i A De otra parte, si x (B i A) (B j A), existe B k B i B j lo que implica x (B k A) (B i A) (B j A)

34 24 Conjuntos con topología Un subconjunto abierto en (A, T A ) no tiene por qué serlo en (X, T) Un subespacio A X cuya topología de subespacio es la discreta se llama subespacio discreto de X Esto es equivalente a decir que para cada punto a A existe un subconjunto abierto en X cuya intersección con A es solo el punto a EJEMPLO 122 En R u, la topología inducida sobre los enteros es la discreta; {n} es ahora abierto en Z, pero no lo era en R Por tanto, debemos tener cierta discreción cuando hablamos de abiertos en el contexto de espacios o subespacios Así, Z es un subespacio discreto de R, mientras que Q pareciera que también lo es ya que entre cada par de racionales existe un número irracional; sin embargo, no lo es; de hecho, este subespacio es un ejemplo de un espacio con propiedades interesantes EJEMPLO 123 Sea A = [0, 2] [3, 7) subconjunto de R y consideremos la topología inducida de R u El subconjunto [3, 7) es abierto en T A pero no lo es en R u EJEMPLO 124 Si B = { 1 n : n 1}, la topología inducida de R u es la discreta Si agregamos a B el punto 0 ya no obtenemos la discreta EJEMPLO 125 G RUBIANO En R 3 u consideremos el siguiente subconjunto T llamado el toro (ver fig 16) Dados a > b, dos reales positivos, T está formado por todas las triplas de la forma ((a + b cosφ)cosθ, (a + b cosφ)senθ, b senφ) cuando φ, θ varían en el intervalo [0, 2π] Nótese que la parte (a + b cosφ, b senφ) = (x(φ), y(φ))

35 14 Nuevos ejemplos: subespacios de un espacio 25 parametriza la circunferencia centrada en (a, 0) y radio b y enseguida lo que hacemos es rotar esta circunferencia en torno al eje z, por medio de la ecuación (x(φ)cosθ, x(φ)senθ, y(φ)), la cual da una vuelta de radio x(φ) para cada φ Los elementos de la base para la topología de T inducida por la usual de R 3, serán las intersecciones de las esferas sin borde de R 3 con T (ver fig 16) Figura 15: Parametrizaciones interrumpidas para θ y para φ respectivamente G RUBIANO Figura 16: Un abierto básico del toro EJEMPLO 126 Sea M 3 3 o M 3 (R) el conjunto de todas las matrices reales de tamaño 3 3 Usando las 9 entradas (a i,j ) en cada matriz como coordenadas para un vector, podemos identificar M 3 3 con R 9 El subconjunto GL(3, R) R 9 de las matrices invertibles es un espacio con la topología de subespacio (ver ejemplo 27)

36 26 Conjuntos con topología EJEMPLO 127 Aunque en R la topología inducida por el orden usual coincide con la topología usual, esto no sucede para los subespacios El conjunto A = (5, 7) [8, 10) tiene el orden usual de los números y la topología T inducida por este orden es diferente a la topología usual T A inducida del orden usual de R Por ejemplo, [8, 9) = (7, 9) A es un abierto en la usual, pero no lo es en la inducida por el orden de A porque no corresponde a ningún intervalo de A, pues no existe 8 (a, b) [8, 9) EJEMPLO 128 Sobre el cuadrado A = I I = [0, 1] [0, 1] podemos considerar y comparar tres topologías: La topología T I I inducida por la usual de R 2 La topología T inducida por su orden lexicográfico La topología T I I inducida del espacio (R2, T ) donde T es la inducida por el orden lexicográfico de R 2 p p G RUBIANO (a) (b) Figura 17: (a) un abierto en T I I, (b) un abierto en T Estudie la contenencia entre estas tres topologías (ver fig 17)

37 14 Nuevos ejemplos: subespacios de un espacio 27 Los anteriores ejemplos motivan la siguiente pregunta: cuándo los abiertos de un subespacio son también abiertos para el espacio? Proposición 116 Sean (X, T) un espacio y A X Entonces T A T si y solo si A es abierto Demostración Sea M T A es decir M = V A donde V T Como A T tenemos V A T Ejercicios 14 1 Cómo es la topología de subespacio para S 1 R 2? 2 En (R 2, verticales), pág 13 ej 1, cómo son las topologías inducidas sobre R {0} y {0} R? 3 En R u cómo son las topologías heredadas para Q y para A = {1/n n N} {0}? 4 En (R 2, lexicográfico) cómo es la topología inducida sobre la recta real y sobre I I? 5 Sean (X, T) un espacio y A X Muestre que F A es cerrado en (A, T A ) si y solo si F es la intersección de A con un subconjunto cerrado de X 6 En X = {1, 2} N con el lexicográfico, todo unitario es abierto excepto uno; de qué punto se trata? G RUBIANO 7 Y (X, ) se dice convexo si para todo a, b Y con a < b el intervalo (a, b) Y Muestre que en este caso las topologías T Y y coinciden (ver ejemplo 128) T Y

38 2 Espacios métricos En este capítulo vemos los espacios métricos como una clase particular de espacios topológicos Por supuesto que los espacios métricos, en sí mismos, son extremadamente importantes y dentro de la matemática merecen su propio espacio y por supuesto su propio texto La presentación que aquí hacemos es con la finalidad de prepararnos motivarnos, dar ejemplos para las futuras definiciones en topología concernientes a las nociones de cercanía y límite, pero no pretendemos hacer una exposición tan siquiera incompleta Estos espacios el concepto fueron introducidos por el matemático francés Maurice René Fréchet ( ) en 1906 y constituyeron uno de los pasos decisivos en la creación de la Topología general Se trataba de definir el concepto de distancia de la manera más general posible para objetos matemáticos de naturaleza no específica no necesariamente puntos de R n, curvas o funciones Con tan pocas condiciones (ver siguiente definición) Fréchet pudo introducir de nuevo todas las nociones topológicas introducidas hasta ese entonces para R n, esto es, límites, continuidad, vecindades para un punto, conjuntos abiertos, conjuntos cerrados, puntos de acumulación, compacidad, conexidad, etc 21 Métrica G RUBIANO Definición 21 Una métrica d para un conjunto X es una función d : X X R 0 = [0, ) toma valores en los números reales positivos que satisface las siguientes condiciones para todo x, y, z X: 1 d(x, y) = 0 si y solo si x = y, 2 d(x, y) = d(y, x), 28

39 21 Métrica 29 3 d(x, y) d(x, z) + d(z, y) El número d(x, y) se llama la distancia entre x y y El par (X, d) se llama un espacio métrico La desigualdad en 3, llamada la desigualdad triangular, nos recuerda el hecho de que la distancia más corta entre dos puntos es la que se toma directamente entre ellos claro que el sentido del término distancia es algo que nosotros hemos definido por medio de d, a nuestro antojo Una consecuencia inmediata de 3 es d(x, y) d(z, y) d(x, z) (21) puesto que d(x, y) d(x, z) + d(z, y) implica d(x, y) d(z, y) d(x, z) e, intercambiando el papel de x por el de z, tenemos d(z, y) d(x, y) d(z, x), con lo cual d(x, z) d(x, y) d(z, y) d(x, z) (22) Dados (X, d), x X y ɛ > 0, el conjunto de puntos y tales que d(x, y) < ɛ lo llamamos la bola abierta B ɛ (x) (Ver definición 28) EJEMPLO 21 El conjunto R de los números reales, con la función d(x, y) = x y es un espacio métrico Este ejemplo incluye su curso de cálculo I en este texto La desigualdad triangular es en este caso x y x z + z y Al reemplazar a = x z, b = z y tenemos la clásica desigualdad a + b a + b G RUBIANO EJEMPLO 22 Sea X el conjunto de pueblos en un mapa vial escogido; si definimos d(x, y) como la longitud del camino más corto entre todas las rutas que comunican a x con y, tenemos que d es una métrica

40 30 Espacios métricos EJEMPLO 23 Métrica discreta Si X es un conjunto cualquiera, la métrica discreta se define como: para x, y X { 1 si x y, d(x, y) := 0 si x = y EJEMPLO 24 Dados x = (x 1, x 2,, x n ), y = (y 1, y 2,, y n ) dos puntos en R n definimos d 2 (x, y) = x y = ((x 1 y 1 ) 2 +(x 2 y 2 ) 2 + +(x n y n ) 2 ) 1/2 (23) Esta métrica se llama distancia euclidiana la manera de medir usual Para verificar la desigualdad triangular basta recordar las desigualdades de: Minkowski, ( n ) 1 ( 2 n (x i + y i ) 2 i=1 Bunjakovski-Cauchy-Schwartz, n x i y i i=1 ) x i G RUBIANO i=1 ( n i=1 x i 2 ) ( n i=1 ( n i=1 ) y i ) y i (24) (25) Para obtener la desigualdad triangular, aplicamos la desigualdad de Minkowski: d(x, y) + d(y, z) = x y + y z (x y) + (y z) = x z = d(x, z) Podemos generalizar del ejemplo anterior y definir una métrica d p en R n para cada número real p 1 no necesariamente p = 2, i e, tenemos una colección infinita de métricas (ver fig 24)

41 21 Métrica 31 d p (x, y) := ( n i=1 x i y i p ) 1 p, p 1, (x, y R n ) El espacio métrico resultante es notado por algunos autores como l n p, de suerte que para el caso p = 2, que es la manera usual de medir en R n, notamos l n 2 EJEMPLO 25 El espacio l de todas las sucesiones acotadas Sea l el conjunto de todas las sucesiones acotadas de números reales, i e, las sucesiones x = (x 1, x 2, ) = (x n ) tales que sup n x n < Si x = (x n ), y = (y n ) l, definimos la métrica d (x, y) = sup x n y n Verifiquemos la desigualdad triangular Si z = (z n ) l, entonces Por tanto, EJEMPLO 26 x n y n x n z n + z n y n n sup x n z n + sup z n y n n = d (x, y) + d (y, z) d (x, y) = sup x n y n d (x, z) + d (z, y) n G RUBIANO Sea C([0, 1], R) el conjunto de todas las funciones continuas de [0, 1] en R, y definamos la métrica d 2 como n ( 1 d 2 (f, g) = (f(x) g(x)) dx) Si tomamos el conjunto de todas las funciones, no necesariamente continuas, la fórmula anterior no define una métrica por qué? K

42 32 Espacios métricos EJEMPLO 27 Grupo lineal general GL n o GL(n, R) Denotemos por M n (R) el conjunto de las matrices de tamaño n n con entradas en R (ver ejemplo 126) Si cada matriz A = (a ij ) se identifica con el punto (a 11,, a 1n, a 21,, a 2n,, a n1,, a nn ) R n2 entonces GL(n, R) queda identificado con R n2 y por tanto lo podemos ver como un espacio métrico Una matriz A es invertible (multiplicación) si existe una matriz B tal que AB = I = BA (donde I es la matriz identidad) o de manera equivalente Det(A) 0 (determinante distinto de cero) En M n (R) se distingue el subconjunto GL(n, R) o GL n (R) de las matrices invertibles Por su sigla lo llamamos grupo lineal general Recordemos que A t denota la transpuesta de A, donde las filas de A t son las columnas de A, esto es, (A t ) ij = A ji Cada matriz define una función A : R n R n como A(x) = Ax Una matriz A se llama ortogonal si es invertible con A 1 = A t, i e, AA t = I EJEMPLO 28 O n o O(n, R) El subconjunto O n GL n de las matrices ortogonales, se llama grupo ortogonal y corresponde a las transformaciones lineales de R n que preservan la longitud de los vectores, o de manera equivalente a las isometrías de R n que fijan el origen Si A O n, entonces det(a) {1, 1} puesto que G RUBIANO det(a) 2 = det(a)det(a t ) = det(aa t ) = det(i) = 1 EJEMPLO 29 El subconjunto SO n O n de las matrices A O n con det(a) = 1 se llama grupo ortogonal especial y corresponde a las matrices que tienen determinante 1 y cuya inversa corresponde a su transpuesta Este subconjunto coincide con las rotaciones de R n alrededor del origen

43 21 Métrica 33 Para el caso 2 dimensional n = 2 tenemos SO 2 Dado un ángulo θ definimos las matrices ( ) ( ) cos θ sen θ cos θ sen θ R θ = S sen θ cos θ θ = sen θ cos θ Estas matrices son ortogonales y det(r θ ) = 1, det(s θ ) = 1 Por tanto R θ SO 2 y S θ O 2 SO 2 Pero mucho más, cualquier matriz A SO 2 es de la forma R θ para algún θ y cualquier matriz A O 2 SO 2 es de la forma S θ para algún θ R θ representa una rotación de medida θ en sentido contrario a las manecillas del reloj S θ representa una reflexión por la línea que pasa por el origen en ángulo θ/2 con respecto al eje x Una isometría de R n es una función f : R n R n de la forma f(x) = Ax + a para alguna matriz ortogonal A O n y algún vector a R n Denotamos por Isom n el conjunto de tales funciones Como lo indica su nombre, una isometría f preserva distancias, esto es, d(f(x), f(y)) = d(x, y) para todo x, y R n De manera recíproca, para cualquier función f : R n R n que preserva distancias existen A O n y a R n tal que f(x) = Ax + a para todo x R n Ejercicios 21 1 Dados (X, d),(y, m) dos espacios métricos muestre que para x = (x 1, y 1 ), y = (x 2, y 2 ) con x, y X Y las siguientes funciones definen métricas sobre X Y : a) d 2 (x, y) := (d(x 1, x 2 ) 2 + m(y 1, y 2 ) 2 ) 1 2 (26) G RUBIANO b) Sugerencia: para la desigualdad triangular apóyese en la siguiente desigualdad: Si a, b, c, x,y, z son números reales no negativos con a b + c, x y + z, entonces (a 2 + x 2 ) 1/2 (b 2 + y 2 ) 1/2 + (c 2 + z 2 ) 1/2 d (x, y) := máx {d(x 1, x 2 ), m(y 1, y 2 )} (27)

44 34 Espacios métricos c) d(x, y) := d(x 1, x 2 ) + m(y 1, y 2 ) (28) 2 Generalice las métricas del ejemplo anterior para un producto finito de espacios métricos 3 La métrica del mensajero En el espacio euclidiano R 2, definimos la métrica m del mensajero como m(p, q) := d 2 (0, p)+d 2 (0, q) donde 0 = (0, 0), p, q R 2 Si p = q definimos m(p, q) = 0 El mensajero reparte en p, vuelve a la oficina en 0 y sale nuevamente a repartir en q (figura 21) Cómo es B 1 (p), ie, qué puntos pertenecen a esta bola? p q Figura 21: La métrica del mensajero 4 Sea X un conjunto no vacío En X N definimos d, la métrica primeriza o de Baire como: dadas dos sucesiones x = (x 1, x 2, ), y = (y 1, y 2, ) en X, G RUBIANO d(x, y) := 1/k, si x n = y n para todo n < k y x k y k Es decir, k es la coordenada donde por primera vez las dos sucesiones difieren Si x n = y n para todo n N, definimos d(x, y) = 0 Muestre que (X N, d) es un espacio métrico En el caso en que X = N obtenemos la colección de todas las sucesiones de números naturales (el cual tiene la misma cardinalidad que R) y, como curiosidad, este espacio no es más que otra manera de describir al conjunto de los números irracionales vía fracciones continuas 5 De acuerdo con el ejercicio anterior, el conjunto {0, 1} N de todas las cuerdas o palabras infinitas formadas con el alfabeto {0, 1} es un

45 21 Métrica 35 espacio métrico La distancia está dada en términos de la longitud k del primer prefijo que comparten Algunos autores prefieren tomar para este caso concreto {0, 1} N la distancia d(x, y) := 1 2 k Veamos la desigualdad triangular para esta nueva métrica Sean a, b, c sucesiones y mostremos que d(a, b) max{d(a, c), d(c, b)} Sea k la longitud del mayor prefijo común entre a y c, y sea m la longitud del mayor prefijo común entre c y b Si n = mín{k, m}, sabemos que las primeras n letras de a coinciden con las primeras n letras de c; y que las primeras n letras de c coinciden con las primeras n letras de b Así, las primeras n letras de a coinciden con las primeras n letras de b Luego, el prefijo común entre a y b tiene longitud al menos n Por tanto, d(a, b) (1/2) n = (1/2) mín{k,m} (29) = máx{(1/2) k, (1/2) m } (210) = máx{d(a, c), d(c, b)} (211) Esta última ultra desigualdad implica la desigualdad triangular ya que máx{d(a, c), d(c, b)} d(a, c) + d(c, b) 6 Un espacio ultramétrico X es un espacio métrico (X, d) en el cual la métrica d satisface la ultra-desigualdad triangular: G RUBIANO d(x, z) máx{d(x, y), d(y, z)} a) Muestre que los dos ejercicios anteriores son ejemplos de espacios ultramétricos b) En un espacio ultramétrico cualquier punto de una bola (ver definición 28) puede ser su centro, i e, si y B ε (x) entonces B ε (x) = B ε (y) Deduzca que dos bolas abiertas no disyuntas son comparables por la inclusión c) Una bola cerrada es un conjunto abierto K d) Una bola abierta es un conjunto cerrado

46 36 Espacios métricos 7 Sean (X, d) un espacio métrico y A X Muestre que la función d restringida a A A define una métrica d A para A Al espacio (A, d A ) lo llamamos subespacio métrico 8 En X = (N) defina d(a, B) = 0 si A = B, de lo contrario defina d(a, B) = 1 k Sugerencia: d(a, B) < 1 m donde k = mín{n : n (A B) (A B)} 22 Espacios unitarios o euclidianos si y solo si A [1, m] = B [1, m] Recordemos que los espacios euclidianos R n con la suma usual de vectores y el producto por escalar no son más que elementos canónicos de espacios vectoriales normados de dimensión finita Definición 22 Un espacio vectorial lineal real es un conjunto V no vacío los elementos de V se llaman vectores sobre el cual está definida una operación binaria + llamada la adición de vectores, y una multiplicación escalar multiplicación de un vector por un número real que satisfacen las siguientes propiedades: para x, y, z V y α, β R tenemos 1 x + y = y + x 2 x + (y + z) = (x + y) + z G RUBIANO 3 Existe un único 0 V llamado el elemento cero tal que x+0 = x para todo x 4 A cada x corresponde un único elemento x V llamado el inverso aditivo de x tal que x + ( x) = 0 Hasta aquí, de 1, 2, 3 y 4 tenemos una estructura de grupo 5 α(βx) = (αβ)x 6 (α + β)x = αx + βx 7 α(x + y) = αx + αy

47 22 Espacios unitarios o euclidianos x = x Definición 23 Sea X un espacio vectorial real Una norma para X es una función : X [0, ) que a cada vector x le asocia el número real positivo x con las siguientes propiedades: 1 x = 0 si y solo si x = 0 el vector módulo 2 λx = λ x, para todo x X, λ R homogeneidad absoluta 3 x + y x + y, para x, y X subaditiva o triangular Al par (X, ) lo llamamos espacio vectorial normado Como consecuencia de la subaditividad 3 tenemos al tomar con lo cual x y x y, x = x y + y x y + y y = y x + x y x + x x y x y x y Teorema 24 Si (X, ) es un espacio vectorial normado, la fórmula G RUBIANO define una métrica para X d(x, y) := y x Demostración 1, 2 y 3 de la definición de métrica son inmediatas Para la desigualdad triangular notemos que d(x, y) + d(y, z) = y x + z y (y x) + (z y) = z x = d(x, z) Decimos que la métrica es inducida por una norma

48 38 Espacios métricos Cada espacio normado es de manera intrínseca un espacio métrico Esta métrica es invariante por traslaciones, i e, d(x, y) = d(a + a, y + a) para todo vector x, y, a Por geometría, los vectores de R n también poseen un producto escalar o punto; es decir, no son más que ejemplos de espacios vectoriales con producto interior Definición 25 Un producto interior o un producto escalar para un espacio vectorial real X es una función, : X X R que a cada par (x, y) le asocia el número real x, y y satisface: 1 x, x 0, y x, x = 0 si y solo si x = 0 definido positivo 2 x, y = y, x simetría 3 λx + µy, z = λ x, z + µ y, z, para x, y, z X, λ, µ R Al par (X,, ) lo llamamos espacio unitario o euclidiano o espacio pre-hilbert Teorema 26 Sea (X,, ) un espacio unitario La fórmula define una norma para X x := x, x G RUBIANO Demostración Para la demostración basta verificar las siguientes dos desigualdades clásicas (Bunjakovski-Cauchy-Schwartz) x, y 2 x, x y, y, (212) x, y x y (213) Decimos en este caso que la norma es inducida por el producto interior EJEMPLO 210 En R n veamos las siguientes normas y sus respectivas métricas inducidas:

49 22 Espacios unitarios o euclidianos 39 1 La métrica d 1 conocida como métrica del taxista y definida por d 1 (x, y) = x 1 y 1 + x 2 y x n y n ; la norma en este caso es x 1 = x 1 + x x n 2 La métrica euclidiana d 2 inducida por la norma x 2 = (x x x 2 n) 1/2, la cual proviene del producto interior x, y = x 1 y 1 + x 2 y x n y n, con lo cual d 2 (x, y) = ((x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) (x n y n ) 2 ) 1/2 3 Los subíndices 1, 2 de las anteriores métricas d 1, d 2 no son en manera alguna fortuitos, son casos particulares de la siguiente definición más general Para cada número real p 1 definimos x p := ( x 1 p + + x n p ) 1/p Esta norma nos induce la métrica d p definida por (ver definición de la pág 31) G RUBIANO ( n ) 1 p d p (x, y) := x i y i p, (x, y R n ) i=1 4 La métrica d del sup definida como por qué el símbolo? d (x, y) = máx{ x 1 y 1, x 2 y 2,, x n y n } la cual es a su vez inducida por la norma x := máx{ x 1, x 2,, x n }

50 40 Espacios métricos EJEMPLO 211 El espacio l de todas las sucesiones acotadas (ejemplo 25) es un espacio vectorial con la suma usual (x n ) n + (y n ) n = (x n + y n ) n y multiplicación por escalar α(x n ) n = (αx n ) n Si para x l definimos x = sup x n n entonces la métrica d es inducida por esta norma El siguiente espacio métrico es un clásico de la topología y del análisis funcional; por esto, lo discutimos de manera amplia y reiterada EJEMPLO 212 El espacio de Hilbert H, también notado como l 2 : Si en R N el espacio vectorial formado por el conjunto de todas las sucesiones en R con las operaciones usuales de suma de sucesiones y multiplicación por escalar quisiéramos definir una métrica modelando la métrica euclidiana para el caso finito R n, tendríamos que dadas dos sucesiones x = (x 1, x 2, ), y = (y 1, y 2, ), la suma infinita ( ) 1 2 (x i y i ) 2 i=1 (214) debe ser un número real y, por tanto, debemos restringirnos a un subconjunto H de R N G RUBIANO El espacio de Hilbert 1 H está formado por el conjunto de todas las sucesiones x = (x n ) de números reales tales que n=1 x2 n < H provisto de la adición y del producto escalar para sucesiones es un espacio vectorial real de dimensión infinita subespacio de R N 1 El nombre dado a estos espacios es en honor al matemático alemán David Hilbert (1862, Königsbergl-1943, Göttingen, Alemania), quien los utilizó en su estudio de las ecuaciones integrales Hilbert invitó a Einstein a Göttingen para que impartiera una semana de lecciones entre junio y julio de 1915 sobre relatividad general y su teoría de la gravedad en desarrollo El intercambio de ideas llevó a la forma final de las ecuaciones de campo de la Relatividad General Aunque Einstein y Hilbert no llegaron nunca a una disputa pública sobre prioridad, ha habido discusión sobre a quién corresponde el mérito del descubrimiento de las ecuaciones de campo

51 22 Espacios unitarios o euclidianos 41 La función, : H H R definida para x = (x n ), y = (y n ) H como (x, y) x, y = x k y k (215) k=1 es simétrica, bilineal y definida positivamente, luego es un producto interior sobre H Para verificar la buena definición, esto es, que efectivamente la serie correspondiente a x, y es un número, basta tomar límites en la desigualdad (24) para los espacios R n y obtenemos la siguiente desigualdad, la cual asegura que la serie converge absolutamente x, y ( x k y k k=1 k=1 x 2 k ) 1/2 ( 1/2 yk) 2 (216) Por tanto, el par (H,, ) es un espacio euclidiano de dimensión infinita será de Hilbert cuando demostremos que es completo De otra parte, tenemos canónicamente asociada a este espacio una métrica d inducida por la norma asociada a este producto interior ( ) 1/2 d(x, y) = x y = (x k y k ) 2 (217) Hablamos de el espacio de Hilbert un espacio euclidiano, completo, separable y de dimensión infinita en honor a David Hilbert; la unicidad por cuanto este espacio es único salvo isomorfismo Este último hecho no es trivial, pues aunque todo espacio euclidiano n-dimensional siempre es isomorfo a R n, no es verdad que todo par de espacios euclidianos infinito-dimensionales lo sea k=1 k=1 G RUBIANO Por ejemplo, el espacio (C 2 ([0, 1], R), m) con m definida como ( 1 m(f, g) := [f(t) g(t)] 2 dt 0 no es isomorfo a l 2 pues el primero no es completo mientras que el segundo sí lo es ) 1 2

52 42 Espacios métricos f g f + g Figura 22: La ley del paralelogramo 221 Caracterización de los espacios euclidianos Dado V un espacio vectorial lineal real y normado, miremos bajo qué circunstancias V es euclidiano posee un producto escalar En otras palabras, buscamos condiciones adicionales sobre la norma de V que nos garanticen que dicha norma es inducida por cierto producto escalar definido en V Teorema 27 Una condición necesaria y suficiente para que un espacio lineal normado V sea euclidiano es que para cada f, g V f + g 2 + f g 2 = 2 ( f 2 + g 2 ) (218) Demostración Si pensamos en f + g y f g como las diagonales del paralelogramo en V con lados f y g la igualdad (218) puede ser interpretada como el análogo de la familiar propiedad del paralelogramo en el plano: la suma de los cuadrados de las diagonales de un paralelogramo es igual a la suma de los cuadrados de sus lados G RUBIANO La necesidad de (218) es clara, ya que si V es euclidiano entonces f + g 2 + f g 2 = f + g, f + g + f g, f g = f, f + 2 f, g + g, g + f, f 2 f, g + g, g = 2 ( f 2 + g 2 ) (219) Para probar que (218) es suficiente, definamos f, g = 1 4 ( f + g 2 f g 2) (220)

53 22 Espacios unitarios o euclidianos 43 y mostremos que si (218) se tiene, entonces (220) posee las propiedades de un producto escalar la igualdad en (220) se tiene en todo espacio con producto interior y expresa el producto en términos de la norma Por (220) tenemos f, f = 1 4 ( 2f 2 + f f 2) = f 2 (221) lo cual muestra que este producto escalar efectivamente genera la norma De (220) y (221) tenemos que 1 f, f 0 donde f, f = 0 si y solo si f = 0, 2 f, g = g, f La demostración de las propiedades de linealidad f + g, h = f, h + g, h αf, g = α f, g requiere de más trabajo y se deja como ejercicio de consulta EJEMPLO 213 En C([0, 1], R) definimos la distancia d entre dos funciones f, g por d (f, g) = sup { f(x) g(x) : x I} G RUBIANO Lo que es equivalente a definir en C(I) la norma f = sup{ f(x) : x I} d es conocida como la distancia uniforme La desigualdad triangular d (f, h) d (f, g) + d (g, h) (222) se sigue del hecho que para cada x I se tiene f(x) h(x) f(x) g(x) + g(x) h(x) (223)

54 44 Espacios métricos y por tanto, sup x f(x) h(x) sup x ya que sup(a + B) sup A + sup B f(x) g(x) + sup g(x) h(x) (224) x EJEMPLO 214 C([0, π/2], R) con la norma no es euclidiano Consideremos el par de funciones f(t) = cos(t) y g(t) = sen(t) Entonces con lo cual f = g = 1, f + g = max 0 t π/2 : cos(t) + sen(t) := 2, f g = max 0 t π/2 : cos(t) sen(t) := 1, f + g 2 + f g 2 2( f 2 + g 2 ) Por lo tanto, la norma no puede ser generada por ningún producto escalar Lo mismo es cierto para el espacio (C[a, b], R) para cada a < b EJEMPLO 215 De manera más general: sean (Y, d) un espacio métrico con una métrica acotada d y J un conjunto cualquiera no vacío Sobre el conjunto Y J = Hom(X, Y ) = j J Y de todas las funciones de J en Y definimos la métrica uniforme d (f, g) = sup{d(f(j), g(j)) : j J} Ejercicios 22 G RUBIANO 1 Un segmento de recta ab en R 2 puede ser descrito como {x : d 2 (a, x) + d 2 (x, b) = d 2 (a, b)} Cómo luce esta definición, i e este conjunto, si la métrica involucrada es d 1? Haga la misma reflexión con la definición de circunferencia, elipse, parábola, etc 2 Muestre que una métrica d en un espacio vectorial real X proviene de una norma si y solo si es compatible con la estructura lineal del espacio, esto es, si se satisface:

55 23 Topología para una métrica 45 a) d(x + a, y + a) = d(x, y), para todo a, x, y X (invarianza por traslación) b) d(λx, λy) = λ d(x, y) para λ R, x, y X (homogeneidad) Sugerencia: Defina x = d(x, 0) Por supuesto no toda métrica en un espacio vectorial proviene de una norma; por qué? Por lo anterior, dado un espacio vectorial, entre las normas arbitrarias y los espacios métricos homogéneos e invariantes por traslación, existe una correspondencia biunívoca natural 3 R n p o lp n no es euclidiano si p 2 la norma no puede ser generada por un producto escalar Sugerencia: considere el par de vectores u = (1, 1, 0,, 0) y v = (1, 1, 0,, 0) 4 El siguiente ejercicio generaliza los ejemplos 25 y 213 Sea X conjunto La colección E = {f f : X R, acotada} es un espacio vectorial con las operaciones usuales de suma de funciones y multiplicación por escalar Para cada f E definimos f = sup f(x) (225) x X Muestre que en efecto se trata de una norma y dé una generalización 5 Hilbert generalizado Para cada p 1 definimos el conjunto l p de todas las sucesiones de números reales, x = (x 1, x 2, ) = (x n ) n tales que la serie n=1 x n p < Si x, y l p, muestre que x y l p y que la función d p es una métrica en l p, donde G RUBIANO d p (x, y) = ( n=1 x n y n p ) 1 p 23 Topología para una métrica Dado un espacio métrico (X, d), existen unos subconjuntos relevantes de él, capaces de describir a los vecinos de un punto controlando la

56 46 Espacios métricos distancia grado de cercanía y que además serán los encargados de definirnos la topología inherente a la métrica Definición 28 Sean x (X, d) y ε > 0 un número real Los conjuntos B ε (x) = {y : d(x, y) < ε}, (226) B ε (x) = {y : d(x, y) ε}, (227) S ε (x) = {y : d(x, y) = ε} (228) son respectivamente, la bola abierta, la bola cerrada y la esfera de centro en x y de radio ε en el espacio (X, d) Figura 23: Bola abierta, bola cerrada y esfera en R 2 G RUBIANO Figura 24: B 1 ((0, 0)) para p = 1, 2, 7 en R 3 p EJEMPLO 216 En R 3 2 una bola tiene efectivamente la forma de una bola usual ; pero esto está bien lejos de suceder cuando utilizamos en R 2 otras métricas diferentes a la usual, como en R 3 1 y R3 7 (fig 24) donde una bola puede tener otras formas, pero al fin bolas

57 23 Topología para una métrica 47 EJEMPLO 217 En el espacio (C([0, 1]), d ) (ejemplo 213) las bolas abiertas toman una forma muy especial (fig 25), son franjas abiertas llenas de todos los segmentos continuos imaginables no se alza la mano del papel al trazarlos i e, dados ε > 0 y f C(I, R), la bola B ε (f) consiste de todas las funciones que permanecen estrictamente dentro del área acotada por las funciones f ε, f + ε f + ε f ε Figura 25: Bola abierta en la métrica d para C([0, 1], R) Contrario al caso anterior, para la métrica d 1 (f, g) = 1 sobre [0, 1], las bolas son muy difíciles de imaginar 0 f(x) g(x) dx (229) Teorema 29 Si (X, d) es un espacio métrico, entonces el conjunto B = {B δ (x) : x X, δ > 0} (230) G RUBIANO de todas las bolas abiertas es base para una topología en X Demostración Sean B δ (x), B ε (y) dos bolas y p B δ (x) B ε (y) Si r > 0 es tal que r < m, donde m = mín{δ d(p, x), ε d(p, y)}, la bola B r (p) está contenida en la intersección de las dos bolas dadas (fig 26) En efecto, veamos primero que B r (p) B δ (x); a partir de la desigualdad triangular tenemos que si d(t, p) < r entonces f d(t, x) d(t, p) + d(p, x) < r + d(p, x) δ d(p, x) + d(p, x) δ

58 48 Espacios métricos δ x p y Figura 26: Las bolas en un espacio métrico forman una base De manera similar se muestra la otra contenencia Definición 210 La topología T asociada a la base formada por la totalidad de las bolas abiertas se llama topología inducida o generada por la métrica d, y la notamos T = d La definición anterior nos permite crear una clase muy especial de espacios topológicos Cuando un espacio topológico (X, T) tiene una topología tal que T = d para alguna métrica d, decimos que el espacio (X, T) es metrizable, o que su topología proviene de una métrica Las preguntas obligadas son: G RUBIANO 1 Todo espacio topológico es metrizable? 2 Pueden métricas diferentes inducir la misma topología? 3 Cómo saber cuándo un espacio es metrizable? ε 231 Métricas equivalentes Una métrica induce una base, así que la pregunta 2 puesta en términos de bases nos conduce a la siguiente definición Definición 211 Dos métricas d, m en un conjunto X se dicen topoló-

59 23 Topología para una métrica 49 gicamente equivalentes notamos d m si generan la misma topología; esto es, d = m La primera contenencia d m de la igualdad d = m implica que cada bola en d se puede expresar como una unión de bolas en m, y lo recíproco para la otra contenencia ε x y En términos más explícitos, dada Bε d (x) una bola cuadrada en d y un punto y con y Bε d (x), es posible encontrar una bola Bδ m (y) redonda en m y de centro en y de tal manera que y B m δ (y) Bd ε (x) También debemos tener lo recíproco para la otra contenencia Por qué podemos escoger la bola Bδ m (y) de suerte que resulte centrada en y? Más aún, para la equivalencia topológica entre dos métricas nos podemos reducir a la respectiva contenencia de bolas centradas en el mismo punto; esto es, para cada x X dada Bε d (x) existe Bδ m(x) Bd ε (x) y viceversa Definición 212 Un espacio métrico (X, d) es acotado si la función d es acotada De manera más general, dado A (X, d) definimos el diámetro de A como G RUBIANO diam(a) := sup{d(x, y) : x, y A} En caso que diam(a) < decimos que A es acotado El diámetro de A es la distancia entre los puntos más distantes en A (si tales puntos existen) Por ejemplo, en R si A = [0, 1) su diámetro es 1 sin que tales puntos de A existan

60 50 Espacios métricos EJEMPLO 218 Dado el espacio métrico (X, d), definimos dos nuevas métricas: 1 e(x, y) := mín{1, d(x, y)} 2 f(x, y) := d(x, y) 1 + d(x, y) Tanto e como f son métricas acotadas por 1, y lo que es aún más interesante, d e y d f En efecto, dada la métrica d y la métrica asociada e = mín{1, d} tenemos que para la bola Br d (x) radio r en la métrica d al tomar s = mín{1, r} se satisface Bs(x) e Br d (x) La otra inclusión es obvia Para el caso f = d es fácil verificar que 1 + d B f r 1+r (x) B d r (x) y B d r 1 r (x) B f r (x), r < 1 Por tanto, toda métrica es topológicamente equivalente a una métrica acotada El ejemplo anterior muestra que el espacio topológico asociado a X por medio de las métricas d y e es el mismo Luego la propiedad de acotamiento es exclusivamente métrica, que la perdemos cuando pasamos a estructuras más generales, como es el caso de la topológica Definición 213 Decimos que dos métricas d, m para un mismo conjunto X, son métricamente equivalentes o fuertemente equivalentes (ver teorema 214) si existen dos números reales positivos s, t tales que para todo par de puntos x, y X se satisface G RUBIANO d(x, y) s m(x, y), m(x, y) t d(x, y) (231) Teorema 214 Ser métricamente equivalentes implica ser topológicamente equivalentes Demostración Sean d, m dos métricas que son métricamente equivalentes; por lo tanto, existen dos números s, t que satisfacen la definición 213 Dada la bola abierta B d ε (x) tenemos que B m ε/s (x) Bd ε (x) lo cual muestra d m Similarmente B d ε/t (x) Bm ε (x) y por tanto m d

61 23 Topología para una métrica 51 EJEMPLO 219 El recíproco del teorema anterior no es cierto Sabemos que toda métrica d es topológicamente equivalente a la métrica e = mín{1, d}; pero claramente d, e no tienen por qué serlo métricamente Por ejemplo, en el caso de R n u no es posible encontrar s > 0 que satisfaga d(x, y) se(x, y) para todo par de puntos x, y R n u Sin embargo, la métrica e es métricamente equivalente a la métrica f = d pues tenemos la desigualdad 1 + d f e 2f Normas equivalentes Para el caso de un espacio vectorial normado, decimos que dos normas 1, 2 son topológicamente o métricamente equivalentes si las respectivas métricas asociadas lo son De otra parte, decimos que ellas son equivalentes si existen s, t R >0 tales que, 1 s 2 y 2 t 1 las notamos 1 2 En este caso de los espacios normados no tenemos necesidad de distinguir, como pasaba en los espacios métricos, entre distintas formas de equivalencia ya que estas tres definiciones de equivalencia son iguales, con lo cual podemos utilizar simplemente el adjetivo normas equivalentes Más aún, es posible demostrar que en un espacio vectorial normado de dimensión finita, todas las normas son equivalentes EJEMPLO 220 Las métricas l1 n, ln 2 y ln son topológicamente equivalentes Para esto, basta mostrar la desigualdad G RUBIANO B r/ 2 (x) B1 r (x) B 2 r (x) B r (x) K Para el caso del plano, al graficar las bolas B 1 ((0, 0)) para cada una de las métricas d p, obtenemos la figura 27 donde, en la medida en que p crece, obtenemos una deformación continua del rombo de d 1 al cuadrado de d, en que la circunferencia en d 2 no es más que un paso en el camino La justificación de la notación d para la métrica del sup la obtenemos del siguiente lema

62 52 Espacios métricos Figura 27: B 1 ((0, 0)) para p=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en R 2 p Lema 215 Para cada x = (x 1,, x n ) R n se tiene que Demostración Es claro que lím x p = máx{ x 1,, x n } = x p x p x 1 p + + x n p n x p (232) Si a cada lado de la desigualdad elevamos a la potencia 1/p, obtenemos x x p n 1/p x (233) G RUBIANO Como n 1/p 1 cuando p, tenemos nuestro límite Notemos que la desigualdad en 233 muestra que para cada p la norma p es equivalente a, con lo cual todas las p son equivalentes en R n, esto es, inducen la misma topología En la definición de la métrica d p para los espacios R n (ver recuadro pág 30) la condición p 1 no debe pasar desapercibida, puesto que en el caso p < 1 no obtenemos una norma y por lo tanto no inducimos una métrica Por ejemplo, para p = 1/2 y n = 2 la desigualdad triangular no se verifica en el caso de los puntos x = (1, 1), y = (0, 0), z = (1, 0) pues d(x, y) = 4 mientras que d(x, z) = d(z, y) = 1

63 23 Topología para una métrica 53 EJEMPLO 221 Una máquina para construir métricas equivalentes Dados un espacio métrico (X, d) y una función f : R + R + estrictamente creciente, con f(0) = 0 y f(u + v) f(u) + f(v), la compuesta f d es una métrica Si además f es continua en 0, las dos métricas f y f d son topológicamente equivalentes Verifiquemos, antes de todo, que m = f d definida como m(x, y) = f(d(x, y)) es una métrica 1 m(x, y) es positiva por la definición de f Por ser f creciente tenemos que f(d(x, y)) = 0 implica d(x, y) = 0 con lo cual x = y Para la recíproca de ésta afirmación recordemos que f(0) = 0 2 La simetría en m es consecuencia de la simetría en d 3 La desigualdad triangular, m(x, z) = f(d(x, z)) f(d(x, y) + d(y, z)) f(d(x, y)) + f(d(y, z)) = m(x, y) + m(y, z)) Para verificar que las dos métricas nos llevan a la misma topología, debemos tener las contenencias entre las respectivas bolas Como f es continua en 0, dado ε > 0, existe δ > 0 tal que x < δ implica f(x) < ε Por tanto d(x, y) < δ implica m(x, y) = f(d(x, y)) < ε, lo cual no es más que contenencia entre bolas Por ser f creciente se verifica que si m(x, y) = f(d(x, y)) < f(ε) entonces d(x, y) < ε, con lo cual tenemos la otra contenencia entre las bolas G RUBIANO A manera de ejemplo, notemos que las funciones αu (para α > 0), u, log(1 + u), mín{1, u}, arctan u 1 + u satisfacen las condiciones para f Qué métricas son inducidas por estas funciones?

64 54 Espacios métricos 1 Para el caso X = R con la métrica usual del valor absoluto, y la función f(u) = arctan u tenemos que su compuesta produce la métrica f(d(x, y)) = arctan x arctan y Esta nueva métrica mide el ángulo (medido en radianes) entre las rectas descritas por la figura en este x y caso se restan, pero si x y y tienen diferente signo entonces se suman Es una métrica acotada por π, y además resulta ser topológicamente equivalente con la usual ya que la función f es continua en 0 En el sentido contrario a como hemos desarrollado esta última sección, obtenemos una pregunta que ha influenciado el desarrollo de la Topología: dado un espacio topológico (X, T) existe una métrica d para X tal que la topología T sea inducida por d? El estudio de la metrizabilidad, es decir, la búsqueda de condiciones necesarias y/o suficientes para que una topología provenga de una métrica, es un capítulo abierto a la investigación con sus propios teoremas, algunos de ellos clásicos en la literatura matemática Ningún espacio topológico (X, T) donde X es un conjunto finito y T no es la discreta, es metrizable En otras palabras, si (X, d) es métrico con X finito, siempre tenemos que d = discreta Ejercicios 23 G RUBIANO 1 Muestre que la relación de equivalencia topológica para las métricas es en efecto una relación de equivalencia 2 Cómo son las bolas en la métrica del mensajero? ver pág 34 3 A partir de la definición de elipse en la métrica usual, cómo es una elipse, una circunferencia, una recta para la métrica del taxista? 4 Dados dos espacios métricos (X, m), (Y, n) muestre que las métricas d 1, d 2, d (ejercicio 1 de 21) son equivalentes

65 23 Topología para una métrica 55 Sugerencia: para todo par de puntos x, y X Y se verifica d (x, y) d 2 (x, y) d 1 (x, y) 2d (x, y) 5 Generalice el problema anterior para un producto finito cualquiera de espacios métricos 6 Muestre que toda métrica sobre un conjunto finito genera la topología discreta 7 Dé un ejemplo de una métrica sobre un conjunto enumerable que no genera la topología discreta 8 Ya hemos definido la métrica d del sup para el conjunto de las funciones continuas C([0, 1], R) Pero la notación nos lleva a conjeturar la existencia de toda la gama de métricas d p para p 1 notamos C p [0, 1] = ((C[0, 1], R), d p ) que mide la distancia entre dos funciones f, g asignándoles el número ( 1 ) 1 d p (f, g) := f(x) g(x) p p 0 El estudio de estas métricas se sale de las pretensiones de este texto Pero para el caso concreto de p = 1, 2 muestre que efectivamente se trata de métricas y que a) d d 2 b) d 2 d c) d 1 d G RUBIANO d) d d 1 Sugerencia caso a: Para la desigualdad triangular en d 2 apóyese en la desigualdad de Schwartz ( b 2 f(t)g(t)dt) a b a f 2 (t)dt b a g 2 (t)dt Para negar la contenencia considere la sucesión de funciones continuas {g n } figura 15 definidas como { 1 nx si 0 x 1 g n (x) = n 1 0 si n x 1

66 56 Espacios métricos y 1 1 n Figura 28: Las funciones g n Note que cada g n tiene un segmento de recta en el eje X cada vez más largo Es fácil ver que 1 d 2 (0, g n ) = 3n mientras que d (0, g n ) = 1 Luego la bola B 1/2 (0) en d de centro la función nula y con radio 1/2, no contiene a ninguna g n, con lo cual, no existe en d 2 alguna bola centrada en la función nula, que pueda estar contenida en B 1/2 (0) ya que 1/3n 0 cuando n Sugerencia caso c: tome δ = ε Sugerencia caso d: considere la sucesión de funciones continuas {g n } definidas como { 4nx + 4 si 0 x 1 g n (x) = 2n 1 2 si 2n x 1 G RUBIANO Para la función constante f(x) = 2 verifique que cada g n B 1 1 (f) n y g n / B1 (f) Esta contenencia no se tiene, pues siempre podemos encontrar funciones g tales que su integral (área bajo la curva) sea tan pequeña como queramos y sin embargo tengan una punta tan larga como queramos x

67 3 Bases y numerabilidad Un espacio (X, T) puede poseer muchas bases, siendo la mayor de todas la misma T Cuando en un espacio tenemos en cuenta la cardinalidad de las bases, motivamos las siguientes definiciones, cuyos nombres responden más a un carácter histórico que descriptivo 31 2-contable Definición 31 Un espacio (X, T) se dice 2-contable si entre sus bases existe alguna con un número enumerable finito o infinito de elementos Esta condición impone una cota al número de abiertos en la topología (ver ejercicio 12 de la pág 63) También nos dice que la topología puede ser descrita en términos de un número contable de piezas de información EJEMPLO 31 G RUBIANO R u es 2-contable Por supuesto la base formada por todos los intervalos abiertos no es enumerable, pero de ella podemos extraer la subfamilia enumerable B = {(p, q) : p < q, p, q Q} Esta subfamilia es de nuevo una base verifíquelo! y es enumerable ya que su cardinal es el mismo de Q Q EJEMPLO 32 (R, cof initos) no es 2-contable 57

68 58 Bases y numerabilidad Supongamos que existiera una base enumerable B = {B 1, B 2, } Cada B n es un abierto y por tanto B c n es finito, con lo cual i=1 Bc n = ( i=1 B n) c es un conjunto enumerable, luego existe un elemento y n=1 B n y como R {y} es un abierto, debe existir un j N para el cual B j está contenido en él, pero esto es imposible ya que para todo n N se tiene y B n EJEMPLO 33 X = (R N, primeriza) no es 2-contable (ver ej 4 de la pág 34) Recordemos que en este espacio lo que importa es el comportamiento inicial de las sucesiones, a diferencia de lo usual en sucesiones, donde importa el comportamiento final Si existiera una base B = {B 1, B 2, }, por cada n N tomamos un elemento (i e, una sucesión) t n = (t n k ) k=1 B n Así, la sucesión {t n 1 } n=1 está formada por la primera coordenada de cada sucesión t n Construimos ahora una sucesión q = (q n ) en la cual q 1 t n 1 para cada n, con lo que la primera componente de q es diferente de la primera componente de cada una de las sucesiones t n, lo que implica t n / B 1/2 (q) para todo n, puesto que al diferir q y t n en su primera componente, ya están lo más lejanas posible, esto es d(q, t n ) = 1 Así que ninguna B n de la base puede estar contenida en B 1/2 (q) EJEMPLO 34 El espacio H de Hilbert es 2-contable G RUBIANO Definimos una base B enumerable de la manera siguiente Sea D = D n, (n N) donde D n := {(x n ) H, x n Q : si k > n entonces x k = 0} D está constituido de todas las sucesiones en H formadas por números racionales y a la larga constantes a cero D es enumerable Definimos B := {B r (d) : d D, r Q} B es enumerable Para verificar que B es una base, probaremos que cualquier abierto U H es reunión de bolas en B En efecto, dado

69 32 1-contable 59 t = (t k ) U existe una bola B ε (t) U Ahora veamos que podemos encontrar una bola B r (q) (q D, r Q) con la propiedad que t B r (q) B ε (t) Como t H, sabemos que k=1 t2 k es convergente y por tanto existe un término x N en la sucesión, a partir del cual la suma de la serie es menor que ε 2 /9, esto es t 2 k < ε2 /9 k=n+1 De otra parte, para cada k = 1, 2,, N existe q k Q tal que q k t k < ε2 9N, y por tanto q = {q 1, q 2,, q N, 0, 0, 0, } verifica que d(q, t) < ε/3 Nótese que t B 2ε/3 (q) B ε (t) Sea r Q con ε/3 < r < 2ε/3, entonces t B r (q) B ε (t), pues si d(z, q) < r entonces d(z, t) d(z, q) + d(q, t) 2ε/3 + ε/3 = ε 32 1-contable El concepto de base para un espacio lo podemos localizar en un punto tener una definición local de la manera siguiente Definición 32 Sean (X, T) un espacio y x X Decimos que B x T es una base local para x si dado U T con x U, existe B B x tal que x B U G RUBIANO Los conceptos de base y base local están relacionados por la siguiente proposición Proposición 33 Sea (X, T) un espacio B T es una base si y solo si para cada x X el conjunto B x = {B B : x B} es base local en x Demostración ) Sea U X un conjunto abierto con x U Por la definición de base, existe B B con x B U, pero por la definición de B x tenemos B B x ) B = x X B x es una base

70 60 Bases y numerabilidad La clase de espacios topológicos que a continuación definimos es más amplia que la de los espacios métricos, y tendrá un comportamiento ideal cuando hagamos referencia a conceptos topológicos en los cuales intervenga la noción de convergencia de sucesiones Y lo que es más, en esta clase de espacios 1-contables las sucesiones resultan ser adecuadas para describir la topología Definición 34 Un espacio (X, T) se dice 1-contable o que satisface el primer axioma de enumerabilidad 1 si cada punto del espacio posee una base local enumerable EJEMPLO 35 Todo espacio métrico es 1-contable Dado x X, la familia de las bolas abiertas B x = {B 1 (x) : n N}, es una base local en el punto x EJEMPLO 36 n Todo espacio 2-contable es 1-contable Si B T es una base enumerable para un espacio (X, T) y p X, el conjunto B x = {B B : p B} es una base local y enumerable en p EJEMPLO 37 El espacio de Sorgenfrey (R, [a, b)) es 1-contable Dado x R el conjunto B x = {[x, q) : q Q, q > x} es una base local enumerable Muestre que no es 2-contable EJEMPLO 38 G RUBIANO El espacio Tω p del ejemplo 111 puede ser generado por una base constituida por dos clases de elementos: cualquier conjunto unitario diferente de {p}, o el complemento de cualquier conjunto finito de puntos Este espacio falla en ser 1-contable tan solo por uno de sus puntos Sea X un conjunto no contable y p un elemento elegido en X Esta topología para X no admite una base local enumerable en el punto p pruébelo 1 Esta clasificación se debe al matemático estadounidense Robert L Moore (Dallas, Texas Austin, Texas) en 1916 en su intento por dar fundamento a la topología en una serie de axiomas Moore es reconocido por su manera inusual de enseñar con un método llamado hoy por su nombre

71 32 1-contable 61 Definición 35 Dados un espacio (X, T) y un cubrimiento abierto U T, decimos que D U es un subcubrimiento para U si D es de nuevo un cubrimiento abierto de X Podemos descartar elementos en U Teorema 36 (Lindelöf 2 ) Sea (X, T) un espacio 2-contable De cada cubrimiento abierto U de X podemos extraer un subcubrimiento contable Demostración Sea B = {B 1, B 2, } una base para X En B consideramos el siguiente subconjunto de índices: S = {n : B n U, algún U U} Sabemos que la colección enumerable C = {B n : n S} cubre a X, pues dado x X, existe U U con x U Como B es base, existe B k B con x B k U, luego k S y por tanto B k C y así x C Por cada n S elegimos U n U tal que B n U n Definimos D el subcubrimiento contable como D := {U n : n S} Claramente C D y por tanto D es un cubrimiento de X y D U Demos nombre a la propiedad anterior Definición 37 Un espacio (X, T) se dice de Lindelöf o w-compacto si cada cubrimiento abierto de X se puede reducir a uno enumerable EJEMPLO 39 (R, coenumerables) es de Lindelöf y no es 2-contable EJEMPLO 310 G RUBIANO (R, [a, b)) es de Lindelöf y no es 2-contable Dado un intervalo [q, s) con q irracional, solo otro intervalo de la forma q [q, a) con a < s puede contener al punto q y estar contenido en [q, s) por tanto, toda base debe tener un cardinal mayor o igual al cardinal de los números irracionales Ernst Leonard Lindelöf ( ), matemático finlandés, nacido en Helsinki

72 62 Bases y numerabilidad Corolario 38 Si el espacio (X, T) es 2-contable, entonces es de Lindeloff Corolario 39 Sea (X, T) un espacio 2-contable Entonces cualquier base Q = {Q i : i I} se puede reducir a una base enumerable Esto es, no tan solo existe una base enumerable en el espacio, sino que cualquiera se puede reducir a una enumerable Demostración Sea B = {B 1, B 2, } una base para X Por ser Q una base, cada elemento B n B se puede escribir como B n = i I Q i, (Q i Q) y esta colección se puede reducir a una contable para cada B n, pues dado x B n existe Q x Q tal que x B x Q x B n B x B y la colección {B x : x B n } es claramente contable y por tanto también lo es la colección Q n = {Q x : B x Q x } Al variar n en B n, obtenemos una colección enumerable de enumerables Q n, la cual es una base Ejercicios 32 1 Muestre que R n u es 2-contable 2 Dada B x = {B 1, B 2, } una base local en x Muestre que podemos construir {B1, B 2, } base local en x, tal que B 1 B 2, esto es, existe una base local encajada 3 Muestre que (R, [a, b)) no es 2-contable 4 Sean T 1, T 2 dos topologías para X tales que T 1 T 2 Si T 2 es 2-contable (Lindeloff) puede inferirse que T 1 lo sea? G RUBIANO 5 Muestre que la topología (X, cof initos) en cualquier espacio métrico (X, d) es menos fina que la topología inducida por la métrica 6 Muestre que la topología (X, cofinitos) es la topología menos fina que es T 1 7 (R 2, lexicográfico) es 2-contable? 8 (I I, lexicográfico) es 1-contable y no es 2-contable 9 (R, cof initos) es 1-contable? 10 (N, cof initos) es 2-contable?

73 32 1-contable Cuáles de los espacios considerados en los ejercicios 8, 9, 10 son de Lindelöf? 12 Si (X, T) es 2-contable entonces T R = 2 ℵ 0 13 Si (X, T) es 2-contable y T 0 entonces X R = 2 ℵ 0 14 Muestre que si el espacio (X, T) es 1-contable y X = ℵ 0 entonces el espacio es 2-contable 15 El espacio de Arens-Fort (pág 22, ejercicio 15 de 13) no es 1- contable ya que no es 2-contable Pruébelo! 16 Muestre que las propiedades 2-contable y 1-contable son hereditarias 17 Muestre que en espacio métrico (X, d) las propiedades de 2-contable y Lindelöf son equivalentes Sugerencia: para cada n N, considere el cubrimiento abierto consistente en todas las bolas de radio 1/n La propiedad de Lindelöf dice que lo podemos reducir a uno enumerable B n Muestre que B = n B n es una base enumerable 18 Muestre que si un espacio tiene un subespacio discreto no contable entonces no es 2-contable Utilice este resultado para mostrar que (I I, lexicográfico) no es 2-contable Sugerencia: considere A = {(x, y) : y = 1/2} G RUBIANO

74 4 Funciones comunicaciones entre espacios Hasta aquí hemos definido y tenemos lo que podríamos llamar los objetos de nuestra teoría, es decir, así como en la teoría de conjuntos los objetos principales son los conjuntos, no basta el que ellos existan para que la teoría sea valorada: necesitamos contar con un medio o una manera de relacionar los conjuntos entre sí, esto es, requerimos las flechas de las funciones, para que así podamos llegar a conceptos como los de cardinalidad, infinito, isomorfismo, producto cartesiano, etc Por tanto necesitamos de flechas o medios de comunicación entre nuestros espacios topológicos Como ellos primariamente son conjuntos, nuestras flechas, en su base, serán funciones entre estos conjuntos Pero debemos enriquecerlas en el sentido que tengan en cuenta la estructura topológica adicional que hay en cada espacio; por eso, requerimos funciones con un adjetivo como lo da la siguiente definición G RUBIANO 41 Funciones continuas Definición 41 Sea f : (X, T) (Y, H) una función entre espacios Dado a X decimos que f es continua en a si dada una vecindad V f(a) en Y existe una vecindad U a en X tal que f(u a ) V f(a) Si f es continua en cada punto de X, decimos que f es continua EJEMPLO 41 La definición de continuidad del cálculo coincide con esta definición cuando a los números reales les damos la topología usual 64

75 41 Funciones continuas 65 La anterior definición puntual de continuidad es equivalente a la siguiente definición dada exclusivamente en términos de abiertos Teorema 42 f : (X, T) (Y, H) es continua si y solo si para cada V H se tiene que f 1 (V ) T, i e, f 1 (H) T Demostración ) Sea f continua y V un elemento de H; para ver que f 1 (V ) es abierto, lo expresaremos como una unión de abiertos Sea x f 1 (V ), por ser f continua existe U x abierto tal que f(u x ) está contenido en V, luego U x f 1 (V ) y así f 1 (V ) = {U x x f 1 (V )} ) Sean x X y V H tales que f(x) V Como x f 1 (V ) T y f(f 1 (V )) V, tenemos que f es continua en x, y como x fue cualquiera, f es continua Para verificar la anterior caracterización de continuidad es suficiente que verifiquemos la condición f 1 (B) T para una base B cualquiera por qué?; más aun, f 1 (S) T de una subbase S cualquiera Por supuesto la continuidad no es algo que dependa exclusivamente de la función en sí; las topologías son determinantes como lo muestran los siguientes ejemplos EJEMPLO 42 G RUBIANO 1 Cualquier función f : (X, 2 X ) (Y, H) es continua 2 Cualquier función f : (X, T) (Y, {, X}) es continua 3 La función idéntica id : R R, donde las topologías respectivas son la usual y la de complementarios finitos es una función continua, pero no lo es si invertimos las topologías K 4 La función idéntica id X : (X, T) (X, H) es continua si y solo si T es más fina que H 5 Toda función constante es continua 6 La función f(x) = x es continua para R u pero no para (R, [a, b))

76 66 Funciones comunicaciones entre espacios Para el caso de los espacios métricos la definición de continuidad adopta la siguiente forma, más familiar en términos de distancias Sean (X, d), (Y, m) dos espacios métricos f : X Y es continua en el punto a de X si y solo si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que, si x X satisface d(a, x) < δ entonces m(f(a), f(x)) < ε En otras palabras, x B d δ (a) implica f(x) Bm ε (f(a)) Un tipo de continuidad más fuerte que la usual se define para los espacios métricos de la manera siguiente Definición 43 Sean (X, d), (Y, m) dos espacios métricos Una función f : X Y se llama uniformemente continua si para cada ε > 0, existe δ > 0 tal que si d(x, y) < δ entonces m(f(x), f(y)) < ε En otras palabras, dado cualquier ε > 0, existe δ > 0 δ dependiendo únicamente de ε, con lo que δ es uniforme para todos los puntos x X a diferencia de la continuidad usual tal que para cualquier x X, f(b δ (x)) B ε (f(x)) EJEMPLO 43 Sean (X, d), (Y, m) dos espacios métricos f : (X, d) (Y, m) se llama Lipschitziana con factor de contracción k si para todo par de puntos x, y X se tiene m(f(x), f(y)) k d(x, y) con k > 0 f es uniformemente continua Dado ε > 0 tomemos δ = ε/k Para d(x, y) < δ se tiene que m(f(x), f(y)) kd(x, y) < kδ < ε Si k = 1, esto es, m(f(x), f(y)) = d(x, y) decimos que f es una isometría es continua e inyectiva Si f es sobreyectiva entonces f 1 es una isometría con lo que los espacios resultan homeomorfos G RUBIANO EJEMPLO 44 Por supuesto toda función uniformemente continua es continua Pero lo contrario no se tiene: Una función tan simple como f : R u R u definida por f(x) = x 2 es continua pero no lo es uniformemente En efecto, para ε = 1 no existe

77 41 Funciones continuas 67 δ tal que x y < δ implique x 2 y 2 < 1 para todo par x, y; por ejemplo para x = 1 δ + δ 2, y = 1 δ Pero si x2 es restringida a un intervalo cerrado y acotado [ A, A] entonces sí es uniformemente continua, pues ε x y < 2A + 1 implica x 2 y 2 = x + y x y 2A ε 2A + 1 < ε para x, y [ A, A] Contrario a la anterior función, las funciones x x + 1 y x x de R en R sí lo son 1 + x2 La propiedad de ser uniformemente continua es métrica no topológica en el sentido de que cambiando la métrica d sobre el espacio (X, d) por una métrica d topológicamente equivalente, podemos hacer que una función continua f sea o no uniformemente continua De acuerdo con el ejercicio 9 de la página 88, desde un punto de vista estrictamente topológico, todas las funciones continuas entre espacios métricos resultan ser en un sentido uniformemente continuas Aunque parezca extraño, podemos cambiar la métrica del espacio en el dominio por una equivalente que nos produzca la uniformidad EJEMPLO 45 Sea A (X, d) Dado x X, definimos la distancia d(x, A) de x a A como d(x, A) := ínf{d(x, a) : a A} La función f : X R definida como f(x) = d(x, A) es uniformemente continua G RUBIANO En efecto, dado ε > 0 encontremos δ > 0 tal que si d(x, y) < δ entonces d(x, A) d(y, A) < ε Para esto es suficiente probar que para cada par de puntos x, y X se tiene d(x, A) d(y, A) d(x, y), con lo cual δ = ε satisface la condición tenemos una contracción d(x, A) = ínf{d(x, a) a A} ínf{d(x, y) + d(y, a) a A} = d(x, y) + ínf{d(y, a) a A} = d(x, y) + d(y, A),

78 68 Funciones comunicaciones entre espacios invirtiendo los papeles de x y y obtenemos d(y, A) d(x, y) + d(x, A) con lo cual d(x, A) d(y, A) d(x, y) y d(y, A) d(x, A) d(x, y) lo que implica d(x, A) d(y, A) d(x, y) EJEMPLO 46 Dado (X, d), la función d : X X R es uniformemente continua cuando a X X lo dotamos de la métrica para x = (x 1, x 2 ), y = (y 1, y 2 ) d (x, y) = máx{d(x 1, y 1 ), d(x 2, y 2 )} En efecto, dado ε > 0 tomemos δ = ε/2 Si d (x, y) < δ esto implica que d(x 1, y 1 ) < δ, d(x 2, y 2 ) < δ Como d(x 1, x 2 ) d(x 1, y 1 ) + d(y 1, y 2 ) + d(y 2, x 2 ) entonces d(x 1, x 2 ) d(y 1, y 2 ) d(x 1, y 1 ) + d(x 2, y 2 ) < 2d (x, y) < 2δ = ε Similarmente d(y 1, y 2 ) d(x 1, x 2 ) < ε, con lo cual, EJEMPLO 47 d(x 1, x 2 ) d(y 1, y 2 ) < ε En (C(I, R), sup) la función I : C(I, R) R definida por I (f) = 1 0 f(t)dt es uniformemente continua En efecto, basta verificar la siguiente desigualdad que muestra que tenemos una contracción, f g f g f g = f g I EJEMPLO 48 G RUBIANO I I I La función f : (R, (a, b]) (R, usual) descrita en la figura es continua Si en el dominio tuviéramos la topología usual, ella es un clásico de no continuidad en un punto

79 41 Funciones continuas 69 EJEMPLO 49 Métricas exóticas para R Sean X un conjunto y (Y, m) un espacio métrico Dada una función inyectiva f : X Y, definimos una métrica d llamada la métrica inducida por la función f como d (x, y) := m(f(x), f(y)), la cual hace de f una isometría; si f es sobre entonces tanto f como f 1 resultan ser continuas Para el caso X = Y = R y m = usual, obtenemos métricas exóticas según consideremos a f Por ejemplo, d (x, y) = arctag(x) arctg(y), e x e y, o en el caso de considerar R >0 obtenemos 1/x 1/y Pero cuáles de estas métricas resultan equivalentes a la usual? Si f : (X, d) (Y, m) es un homeomorfismo f es biyectiva y tanto f como (X, d) f (Y, m) f 1 son continuas entonces la métrica d (x, y) := m(f(x), f(y)) es equivalente a la métrica d Para ello basta ver que la función identidad id X : (X, d) (X, d f 1 id X ) es un homeomorfismo ejercicio 4 pág 69 (X, d ) En el caso de la función tan : ( π/2, π/2) R y su inversa arctan, obtenemos que la métrica usual es equivalente a la métrica d (x, y) = arctan(x) arctan(y) (ver página 54) De manera similar para e x e y G RUBIANO Ejercicios 41 1 La compuesta de funciones continuas es continua 2 Muestre que f : (X, T) (Y, H) es continua si f 1 (B) T para una base B H 3 En R u muestre la continuidad de f : R R, f(x) = x 2 observando cómo es f 1 ((a, b)) 4 Sean (X, d), (X, m) dos espacios métricos Muestre que d y m son topológicamente equivalentes si y solo si las funciones identidad id X : (X, d) (X, m) y id X : (X, m) (X, d) son continuas

80 70 Funciones comunicaciones entre espacios 5 Si X, Y tienen la topología de los cofinitos, f : X Y no constante es continua si y solo si f tiene fibras finitas 6 Si X, Y tienen la topología del punto incluido, f : X Y es continua si y solo si f preserva los puntos incluidos 7 Sea (X, J ) un espacio para el cual toda f : (X, J ) R u es continua Muestre que J es la discreta 8 Decimos que una función f : X Y entre espacios es abierta (cerrada) si la imagen de un subconjunto abierto (cerrado) es un abierto (cerrado) en Y Dé ejemplos de funciones abiertas que no sean continuas, de funciones continuas que no sean abiertas, de funciones continuas y abiertas, de funciones ni continuas ni abiertas Sugerencia: considere las proyecciones de R 2 u en R u 9 Sean X, Y conjuntos linealmente ordenados Toda f : X Y estrictamente creciente x < y implica f(x) < f(y) y sobreyectiva es continua 42 La categoría Top Las definiciones de espacio topológico y función continua satisfacen los siguientes numerales: 1 Se definió una clase de objetos Top, llamada los espacios topológicos G RUBIANO 2 A cada par de objetos espacios topológicos le hemos definido un conjunto Mor(X, Y ) = {f f : (X, T) (Y, H) es continua } llamado el conjunto de las flechas o el conjunto de los morfismos de X en Y 3 Dados X, Y, W en Top existe una ley de composición Mor(X, Y ) Mor(Y, W ) Mor(X, W ) definida por (f, g) g f Además 1, 2 y 3 satisfacen:

81 42 La categoría Top 71 4 h (g f) = (h g) f asociatividad 5 Dado X en Top, existe la función idéntica id X Mor(X, X) la cual es una flecha y satisface f id X = f, id X g = g cada vez que las composiciones sean posibles Estas propiedades las podemos generalizar para llegar al concepto de categoría Definición 44 Una categoría (O, M)consiste en una colección O llamada los objetos de la categoría, y de una colección M de conjuntos cuyos elementos se llaman los morfismos o las flechas de la categoría, con la propiedad que para cada par de objetos A, B O existe un conjunto Mor(A, B) M que satisface: 1 Para cada trío A, B, C de objetos existe la composición de morfismos denotada por tal que si f Mor(A, B), g Mor(B, C) entonces g f Mor(A, C) 2 Dados los morfismos f, g, h entonces h (g f) = (h g) f cada vez que la composición esté definida 3 Para cada objeto A O existe un morfismo identidad id A Mor(A, A) con la propiedad que es neutro para la operación de composición EJEMPLO 410 G RUBIANO 1 La clase de todos los conjuntos y las funciones entre conjuntos es una categoría K 2 La clase de todos los grupos y los homomorfismos de grupos es una categoría 3 Dado un conjunto X y un orden parcial sobre X, si tomamos como objetos los elementos de X y como morfismos Mor(x, y) el conjunto unitario, o el conjunto vacío, según sea que x esté o no relacionado con y, obtenemos una categoría

82 72 Funciones comunicaciones entre espacios El concepto de categoría puede ser visto como una abstracción a las propiedades compartidas por una gran variedad de sistemas en matemáticas Ha llegado a ser también un área de las matemáticas puras con su propio interés Brevemente, una categoría es un campo del discurso matemático, caracterizado de una manera muy general y por lo tanto su teoría puede ser utilizada como un conjunto de herramientas que pueden atravesar un espectro muy amplio de la vida matemática 43 Propiedades heredables Cuando una propiedad del espacio también pasa a los subespacios, decimos que la propiedad es hereditaria; por ejemplo, la propiedad de poseer una base enumerable es hereditaria, al igual que poseer una base enumerable en un punto Otro ejemplo de una propiedad que se hereda a los subespacios es la metrizabilidad Proposición 45 Si (X, T) es un espacio metrizable, entonces para cada A X la topología T A de subespacio es de nuevo metrizable Demostración Sea d : X X R una métrica que genera la topología T; la restricción d A A de d al subconjunto A A es una métrica Para ver que la topología generada por d A A coincide con la topología T A de subespacio, basta notar que un abierto V de T A es de la forma V = U A donde U es un abierto de T, esto es, U = i I B i donde cada B i es una bola para la métrica d, con lo cual G RUBIANO U A = ( i I B i ) A = i I (B i A) Dado x B ε (y) A tomando δ = mín{d(x, y), ε d(x, y)} tenemos B d A A δ (x) B ε (y) A; luego las bolas abiertas en d A A son base para la topología inducida T A EJEMPLO 411 Si X es un espacio discreto grosero entonces cualquier A X hereda la discreta grosera como la topología de subespacio, pues dado a A el conjunto {a} = A {a} es un abierto de la topología inducida

83 43 Propiedades heredables 73 EJEMPLO 412 Sea (X, T) un espacio y (A, T A ) un subespacio de X La función inclusión i : A X con i(x) = x es una función continua, pues claramente si U es abierto de X, i 1 (U) = U A que es la forma como hemos definido los abiertos Nota Parece que la topología de subespacio de A fuese expresamente definida para hacer la función inclusión contínua de la mejor manera por qué? Ejercicios 43 1 Cuáles de las siguientes propiedades son hereditarias: discreto, 1-contable, 2-contable, T 1, Hausdorff, convergencia trivial, convergencia única, Alexandroff? 2 Teorema del pegamiento Sean (X, T) y A, B cerrados en X Si f : A Y, g : B Y son funciones continuas tales que f A B = g A B entonces h : A B Y es continua G RUBIANO K

84 5 Filtros, convergencia y continuidad Los conceptos de filtro 1 y ultrafiltro aparecen en un espectro amplio de ramas de la matemática: teoría de modelos, topología, álgebra combinatoria, teoría de conjuntos, lógica, etc En esta sección estudiamos su relación con la topología y en especial con el concepto de convergencia 51 Filtros Recordemos que el conjunto V(x) de las vecindades de un punto x en un espacio (X, T) satisface las propiedades: 1) La intersección de dos vecindades es una vecindad cerrado para intersecciones finitas 2) Si V x es una vecindad de x entonces cualquier conjunto W tal que V x W es de nuevo una vecindad cerrado para superconjuntos La siguiente definición, que se debe a H Cartan en 1937, es dada en el espíritu de estas dos propiedades Definición 51 Dado un conjunto X, un filtro F para X es una colección, no vacía, de subconjuntos, no vacíos, de X tal que: G RUBIANO 1 Si F 1, F 2 F entonces F 1 F 2 F, 2 Si F F y F G entonces G F Si permitimos que F obtenemos (X) o el filtro impropio 1 Para el estudio de la convergencia en los espacios topológicos en general, las sucesiones ordinarias (i e, funciones definidas sobre los números naturales) son demasiado restrictivas Hoy en día existen dos generalizaciones, una es el concepto de filtro, introducido por Henri Cartan, la otra es el concepto de red, introducido por Moore y Smith Las dos teorías son equivalentes, pero si uno aprende la de filtros, estoy seguro que todo mundo estará de acuerdo que esta es de lejos la manera más natural y elegante de hacer las cosas 74

85 51 Filtros 75 EJEMPLO 51 Dados un espacio (X, T) y un punto x X, el conjunto V(x) de las vecindades de x es un filtro para X 511 Base de filtro Definición 52 Dado un filtro F decimos que B F es una base de filtro para F si dado F F existe B B tal que B F Usualmente los filtros se definen dando tan solo algunos de sus elementos, a partir de los cuales los demás pueden obtenerse por la contenencia de la propiedad 2 de la definición 51, i e, los elementos del filtro son los superconjuntos de los elementos de la base La definición de base de filtro no es puntual, como en el caso de la definición de base para una topología Teorema 53 B 2 X es una base para un único filtro F de X si y sólo si satisface: 1 / B y B, 2 Si B 1, B 2 B entonces existe B 3 B con B 3 B 1 B 2 Al filtro F lo denotamos como F = B y lo llamamos el filtro generado por B Es el filtro más pequeño que contiene a B G RUBIANO Demostración Definimos F := {F X B F para algún B B} = B F es el conjunto de todos los superconjuntos de los elementos en B Que F es un filtro es inmediato Si G también tiene como base a B, entonces es claro que G está contenido en F Para la otra contenencia notemos que B G Luego dado F F sabemos que existe B B G tal que B F con lo cual F G por ser G un filtro La condición 2 garantiza que la colección B cumple: la intersección finita de elementos de la familia nunca es vacía propiedad de la intersección finita PIF Inversamente, cualquier familia S de subconjuntos

86 76 Filtros, convergencia y continuidad de X que satisface la PIF es por definición una subbase para un filtro F en el sentido que la familia S junto con todas las intersecciones finitas de sus miembros forma una base de filtro Esta condición dice también que una base de filtro con la relación es un conjunto dirigido 2 EJEMPLO 52 1 Sea A X B = {A} es una base de filtro El filtro generado F A = A se llama filtro principal asociado a A El caso en que A = {a} un conjunto unitario es un ejemplo interesante 2 Para un punto x en un espacio, el conjunto de las vecindades abiertas es una base de filtro para el filtro V(x) Nótese que V(x) x 3 Sea B 2 N el conjunto de las colas de N, esto es B := {S n n N} con S n := {n, n + 1, } El filtro generado se llama filtro de Frèchet 4 En un conjunto infinito X, F c = {A X A c es finito} es el filtro de los complementos finitos 5 En R la colección de las colas a derecha abiertas tiene la PIF Nota Análogo a como sucede con las bases en los espacios topológicos, es de esperarse que existan bases de filtro que generen un mismo filtro; en tal caso, también es útil definir una relación de equivalencia G RUBIANO Definición 54 Sean X y B 1, B 2 dos bases de filtro en X Decimos que son equivalentes si B 1 = B 2 las notamos B 1 B 2 El ejemplo siguiente nos muestra que a cada filtro corresponde un espacio topológico el cual no puede ser de Hausdorff por qué? 2 Un conjunto dirigido (D, ) es un conjunto parcialmente ordenado con la propiedad adicional que para cada par de puntos a, b D existe un elemento c D que los supera, i e, a c y b c En particular, todo conjunto totalmente ordenado es un conjunto dirigido Un ejemplo importante de conjunto dirigido es, el conjunto de las vecindades de un punto x en un espacio topológico, dotado de la relación de inclusión donde un conjunto se dirá mayor que otro si está incluido en él Los conjuntos dirigidos son importantes, entre otras cosas, porque dan origen al concepto de red, una generalización al concepto de sucesión

87 52 Ultrafiltros 77 EJEMPLO 53 Dado un filtro F en X, T = F { } es una topología filtrosa En general, si F, G son dos filtros sobre X tales que F G, decimos que G es más fino que F este concepto corresponde al de subsucesión Esta relación define un orden parcial sobre el conjunto F il(x) de todos los filtros sobre X, y por supuesto tendremos derecho de hablar de todas las definiciones conexas a un orden En particular F il(x) es inductivo, esto es, toda cadena tiene una cota superior por qué? luego será posible zornificar como en el teorema 56 Si admitimos el filtro impropio (X) (a los demás filtros los llamamos propios) entonces F il(x) resulta ser un retículo completo 52 Ultrafiltros Definición 55 Dado un conjunto X, un ultrafiltro U para X es un elemento maximal de F il(x); esto es, ningún filtro es más fino que U Teorema 56 Dado un filtro F en X, existe un ultrafiltro U en X tal que F U Demostración (Usaremos el lema de Zorn: Si (P, ) es un conjunto parcialmente ordenado, con la propiedad que cada cadena una cadena es un subconjunto de P que sea totalmente ordenado por tiene una cota superior en P, entonces P tiene un elemento maximal ) Sea G RUBIANO M = {G F G y G un filtro en X} M se ordena por la inclusión Sea H una cadena en M Si definimos H = M, i e, H es la reunión de todos los filtros que están en M, vemos que H es un filtro y es cota superior para M; luego, aplicando el lema de Zorn, existe un elemento maximal U en M, es decir U es maximal en el conjunto de los filtros que contienen a F, por tanto es un ultrafiltro

88 78 Filtros, convergencia y continuidad Si A X con A = {a}, el filtro generado por A es un ultrafiltro llamado principal o fijo (los otros ultrafiltros se llaman no principales o libres) Fuera de este ejemplo no conocemos más ultrafiltros de manera concreta; los demás tendrán la garantía de existir pero no los conoceremos Cómo podemos reconocer si un filtro dado es un ultrafiltro? Proposición 57 Un filtro U en X es un ultrafiltro si y solo si dado A X entonces A U o A c U Demostración ) Si F es un filtro tal que U F, debemos mostrar que U = F Si existiera F F tal que F / U entonces F c U y por tanto F c F, lo cual implica que F ) Supongamos que existe A tal que A / U y A c / U La colección B := {F A F U} es una base de filtro en X, pues se tiene la PIF y si F A = para algún F esto implica F A c y por tanto A c U El filtro G = B contiene a U y es más fino ya que A G, lo cual contradice que U es un ultrafiltro Proposición 58 Sean U un ultrafiltro en X y A, B X Si A B U entonces A U o B U Demostración Si B U hemos terminado Supongamos entonces que B / U y veamos que necesariamente A U Si sucede que A / U, entonces F := {M X A M U} G RUBIANO es un filtro en X más fino que U y estrictamente más fino ya que B F K La anterior demostración nos indica una manera de crear nuevos filtros a partir de uno ya conocido y, de paso, refinarlo al tomar un elemento que no esté en él EJEMPLO 54 El filtro de Frèchet en N no es un ultrafiltro, pues N = P I los pares unidos con los impares y tanto P como I no están en Frèchet

89 52 Ultrafiltros 79 Proposición 59 Un filtro F en X es la intersección de todos los ultrafiltros en X que lo contienen Demostración Sea D la colección de todos los ultrafiltros que contienen a F Dado A D veamos que A F Si A / F entonces A c F para todo F F, luego existe un ultrafiltro D para el cual A c D con lo que A / D, y esto contradice que A D Si un ultrafiltro U contiene al filtro F c de los cofinitos entonces U es no principal o libre Lo interesante es anotar que este es el único tipo de ultrafiltro libre Teorema 510 Sea U un ultrafiltro sobre un conjunto infinito X Entonces F c U o U es principal Demostración Si no se tiene la contenencia, existe A / U con A F c Como A c es finito y A c U existe x A c con {x} U y así U es principal Si U no es principal, para todo x X tenemos {x} c U Dado A F c, la intersección finita A = {{x} c : x A c } está en U Ejercicios 52 1 Muestre que un filtro F sobre X es una familia de subconjuntos no vacíos de X que satisface la condición G RUBIANO A B F A F y B F 2 Dado un conjunto ordenado (X, ) las colas x = {y : x y} son una base de filtro en X 3 Dado un conjunto infinito X, sea X + = X {ω} con ω / X Dado un filtro F sobre X muestre que a) T(F) := 2 X {F {ω} F F} es una topología para X + b) Quién es V(x) para cada x X? c) Quién es V(ω)? d) Muestre que si F 1 F 2 entonces T(F 1 ) T(F 2 )

90 80 Filtros, convergencia y continuidad 4 Tiene la anterior construcción alguna relación con el espacio de Arens-Fort? (Pág 29) 5 Dados un conjunto X y p X, muestre que para cada ultrafiltro U en X la siguiente familia de subconjuntos define una topología G(p, U) := 2 X {p} U 6 Sea F un filtro sobre X y A X Muestre que la traza de X sobre A, esto es, F A := {F A F F} es una base de filtro en A si y solo si cada F A Cómo es la relación de contenencia entre estos filtros? (creando nuevos filtros) 7 * Sea U un ultrafiltro en un conjunto X Si T X y T S para todo S U entonces T U 8 Sea U un ultrafiltro en X Si un miembro de U es particionado en finitas partes entonces una de las partes pertenece a U 9 * Muestre que U 2 X es un ultrafiltro en un conjunto X si y solo si U es maximal en (2 X, ) con respecto a la PIF 10 * Muestre que si un ultrafiltro posee un conjunto finito, entonces es principal G RUBIANO 11 Encuentre construya un filtro en N más fino que el filtro de Fréchet 12 * Consulte una demostración de la afirmación: existe un número no contable de ultrafiltros más finos que el filtro de Fréchet en N 13 Muestre que la intersección de filtros es un filtro 14 Sea f : X Y una función sobreyectiva y F un filtro sobre Y Muestre que f (F) := {f 1 (A) : A F} es un filtro sobre X

91 53 Sucesiones Sucesiones Recordemos que una función f : N X se llama una sucesión en X y la denotamos por (x n ) donde x n = f(n) Definición 511 Sean X un espacio y (x n ) una sucesión en X La sucesión converge a un punto x X, i e, x n x si dada cualquier vecindad V x, existe k N tal que si m k entonces x m V x a la larga o finalmente todos los términos de la sucesión están en la vecindad Si una sucesión converge a un punto x, cualquier vecindad del punto es un superconjunto para alguna cola de la sucesión Es como si las colas fuesen una base para un filtro más fino que las vecindades de x EJEMPLO 55 En R con la topología cofinita casi todas las sucesiones convergen, las únicas sucesiones no convergentes son las sucesiones en las cuales existe más de un punto que se repite de manera infinita existe más de una subsucesión constante EJEMPLO 56 En (R 2, lexi) la sucesión ( 1 n, 1 ) no converge al punto (0, 0) Para que una n 2 sucesión converja a (0, 0), debe hacerlo a lo largo de una recta vertical que pase por (0, 0) EJEMPLO 57 G RUBIANO El espacio del disco tangente, plano de Moore o semiplano Niemytzki, se debe a Niemytzki, 1928 (ver fig 51) Sea P = {(x, y) y > 0} R 2 dotado de la topología T de subespacio Denotemos por L = {(x, 0) x R} al eje real Definimos una topología T para X = P L añadiendo a T los conjuntos de la forma {a} D donde a L y D es un disco abierto en P, el cual es tangente a L justamente en el punto a Notemos que (X, usual) (X, T ) donde la usual es la de subespacio de R 2 La sucesión y n = ( 1 n, 0), que en R2 u es convergente al punto (0, 0) no lo es en el semiplano de Niemytzki Una sucesión para poder converger a (0, 0) debe aproximarse por dentro de un disco de

92 82 Filtros, convergencia y continuidad Figura 51: La topología del disco tangente Definición 512 Decimos que el espacio X es de convergencia única si dada cualquier sucesión (x n ) que converge, ella lo hace a un único punto Proposición 513 Si X es un espacio de Hausdorff entonces X es de convergencia única Demostración Si (x n ) converge tanto a x como a y para x, y X, por ser X de Hausdorff existen V x, V y con V x V y = Pero de otra parte, casi toda (x n ) está en V x y casi toda (x n ) está en V y, y esto no puede suceder a menos que x = y El recíproco de la proposición anterior no se tiene puede dar un ejemplo? a menos que el espacio sea 1-contable Proposición 514 Sea X un espacio 1-contable Si X es de convergencia única entonces X es de Hausdorff G RUBIANO Demostración Si X no es de Hausdorff existen x, y X tales que para todo par V x, V y tenemos V x V y En particular para las bases locales enumerables B x = {B1 x, Bx 2, }, B y = {B y 1, By 2, } tenemos Bx n Bn y para cada n Por cada n N elegimos x n Bn x Bn y (podemos suponer que cada una de estas dos bases locales está encajada por qué? ) lo cual nos produce una sucesión (x n ) que converge tanto a x como a y, y nos contradice la convergencia única Definición 515 Un espacio (X, T) se dice de convergencia trivial si las únicas sucesiones convergentes son las sucesiones a la larga constantes; es decir, no convergen sino las inevitables

93 53 Sucesiones 83 EJEMPLO 58 Un espacio discreto es de convergencia trivial EJEMPLO 59 El espacio de Arens-Fort X = (N N) {w} (pág 22) es un espacio de convergencia trivial: 1 Ninguna sucesión puede converger a un punto de N N a menos que a la larga sea constante, ya que para estos puntos los conjuntos unitarios son abiertos 2 Ninguna sucesión puede converger a w Si x n w entonces cada fila contendrá, a lo más, finitos términos de la sucesión Excluyendo estos términos en cada una de las filas, obtenemos un conjunto abierto que contiene a w y no contiene los términos de la sucesión Por supuesto, este espacio no es discreto y además no es 1-contable precisamente en el punto w, pues de existir una base local B w = {B 1, B 2, }, por cada i N existe x i = (m i, n i ) B i con m i, n i > i; esto es, cada elemento de la base posee un punto tan arriba y tan a la derecha de la diagonal como queramos Luego el conjunto U w = (X {x i i N}) {w} es un abierto y por supuesto ningún B n satisface B n U w Las funciones continuas tienen la propiedad que respetan la convergencia en el sentido de la siguiente proposición G RUBIANO Proposición 516 Sea f : (X, T) (Y, H) una función continua entre espacios Si x n x entonces f(x n ) f(x) Demostración Si (f(x n )) no converge a f(x), existe V f(x) tal que para infinitos n N, f(x n ) / V f(x) ; luego no existiría V x tal que f(v x ) V f(x), puesto que cada V x contiene a partir de algún x k todos los demás términos de la sucesión Cuando una función f satisface la propiedad de la proposición anterior se llama secuencialmente continua o continua por sucesiones Para los espacios métricos tenemos la siguiente caracterización de la continuidad

94 84 Filtros, convergencia y continuidad Teorema 517 Una función f : (X, d) (Y, m) entre espacios métricos es continua si y solo si dada x n x entonces f(x n ) f(x) Demostración Por el teorema anterior basta probar que si la condición se tiene para f entonces f es continua Si f no fuera continua, existiría un punto x X y una vecindad V f(x) de f(x) para la cual no existe V x con f(v x ) V f(x) En otras palabras, ninguna bola B ε (x) satisface que f(b ε (x)) V f(x), luego para cada n N existe un elemento x n de X tal que x n B 1/n (x) y f(x n ) / V f(x) Claramente, para la sucesión así definida tenemos que x n x, y de otra parte V f(x) no contiene a ningún f(x n ), lo que niega la propiedad En la demostración anterior lo realmente básico para esta caracterización de continuidad es el hecho de que en (X, d) existe una base local contable en cada punto, ie, 1-contable; luego podemos generalizar el teorema anterior Teorema 518 Para los espacios 1-contable, la continuidad secuencial es equivalente a la continuidad en general Demostración Como el espacio de dominio de la función es 1-contable, por cada x X existe B x = {B 1, B 2, }, base local encajada para el punto x Para ella razonamos como en el teorema anterior y extraemos la sucesión (x n ) conveniente EJEMPLO 510 G RUBIANO La identidad id R : (R, coenumerables) (R, usual) es secuencialmente continua pero no es continua Qué sucesiones convergen en (R, coenumerables)? La siguiente definición extiende la noción de convergencia hasta el concepto de filtro Definición 519 Sea F un filtro en (X, T) Decimos que F converge al punto x X si F es más fino que el filtro de vecindades de x Lo notamos F x

95 53 Sucesiones 85 EJEMPLO Si X es un espacio y x X, el filtro principal F x x Si X tiene la topología discreta, F x converge no solo a x sino a cualquier otro punto 2 En R u el filtro F cofinitos no converge, pues todo punto tiene vecindades que no pertenecen al filtro Nota En un espacio métrico (X, d) la topología generada por la métrica puede describirse completamente en términos de la convergencia de sucesiones; esto es, un subconjunto A X es cerrado si y solo si, dada (x n ) una sucesión de puntos en A con x n x, entonces debemos tener que x A Este resultado no se generaliza a espacios topológicos arbitrarios Por ejemplo el conjunto A = (0, 1) no es cerrado en (R, coenumerables) y sin embargo satisface la propiedad, i e, toda sucesión en A que es convergente lo hace a un punto en A solo convergen las sucesiones constantes En los espacios topológicos, en general, no podemos caracterizar el ser de Hausdorff al menos sobre los que no son 1-contable en términos de la convergencia usual de sucesiones Necesitamos entonces de un mecanismo de convergencia no en términos de sucesiones Veremos que los filtros nos proporcionan este mecanismo La razón por la cual las sucesiones no son adecuadas es que, al tomar un punto x U por cada vecindad U de x, estamos en general forzados a hacer un número no contable de escogencias Esto no sería necesario si el espacio fuera 1-contable Es decir, en los espacios 1-contable las sucesiones son adecuadas para describir la topología, en particular para los espacios métricos Pero para espacios más generales necesitamos cambiar la palabra sucesión por filtro G RUBIANO Sea x un punto en un espacio X Por Conv(x) notamos el conjunto de todos los filtros F convergentes a x Todos los filtros en Conv(x) son más finos que V(x) el filtro de vecindades de x, y como V(x) Conv(x), tenemos que V(x) = F Conv(x) Esto significa que la topología de un espacio puede ser determinada por la convergencia de los filtros A cada sucesión en un espacio se le asocia de manera canónica un filtro de la manera siguiente K Definición 520 Sea (x n ) una sucesión en el espacio X y para cada

96 86 Filtros, convergencia y continuidad n N consideremos la cola X n = {x n, x n+1, } Definimos F(x n ) el filtro asociado a la sucesión como F(x n ) := {A X X n A para algún n N} F(x n ) está constituido por todos los subconjuntos de X que contienen a casi toda la sucesión Teorema 521 Sean X un espacio y (x n ) una sucesión en X x n x si y solo si F(x n ) x Demostración ) Si x n x entonces dada V x tenemos por la definición de convergencia de sucesiones que V x está en el filtro asociado ) Si cada vecindad está contenida en el filtro asociado a la sucesión, entonces dada una V x existe una cola X n tal que X n V x El hecho que el concepto de filtro sea más general que las propiedades de vecindad tiene reflejos en la continuidad entre los espacios topológicos, ya que esta continuidad se puede caracterizar en términos de filtros, así como la caracterizamos en términos de convergencia de sucesiones Proposición 522 Sea f : X Y una función entre conjuntos Dado un filtro F en X, la colección f(f) := {f(f ) F F} es una base para un filtro en Y notado f (F) Si f es sobre f(f) = f (F) Además f preserva el orden la contenencia entre filtros G RUBIANO Demostración Es claro que cada elemento de f(f) es no vacío Dados G 1, G 2 elementos de f(f), existen F 1, F 2 F con f(f 1 ) = G 1, f(f 2 ) = G 2 Como F 1 F 2 F tenemos f(f 1 F 2 ) f(f 1 ) f(f 2 ) Si f es sobre, veamos que f(f) es un filtro Supongamos que H Y es tal que G H para algún G f(f) Existe F F para el cual f(f ) = G Luego F f 1 (G) y f 1 (G) F, así pues, F f 1 (H) y por tanto f 1 (H) F Pero f(f 1 (H)) = H por ser f sobre y esto muestra que H f(f) Para mostrar que f es monótona, es suficiente mostrar que para todo filtro F se tiene A f (F) si y solo si f 1 (A) F (Ejercicio)

97 53 Sucesiones 87 Teorema 523 f : (X, T) (Y, H) es continua en el punto x X si y solo si para cada filtro F de X tal que F x el filtro f(f) f(x) Demostración ) Supongamos que f es continua y que F x Dada V f(x) vecindad de f(x), existe V x con f(v x ) V f(x) Como V x F, tenemos que V f(x) f(f) ) Si f no fuera continua en el punto x existiría V f(x) para la cual ninguna vecindad V x satisface f(v x ) V f(x) Claramente el filtro V(x) de las vecindades de x converge a x; luego, f(f) debería converger a f(x) y esto no puede suceder ya que V f(x) / f(v(x)) Ejercicios 53 1 Un espacio X es de Hausdorff si y solo si todo filtro F que converge es de convergencia única 2 Muestre que (R, coenumerables) y (R, discreta) tienen el mismo tipo de convergencia de sucesiones 3 Muestre que si (X, T) es de convergencia trivial entonces es T 1 Se tiene el recíproco? 4 Muestre que si (X, T) es más fino que (X, coenumerables) entonces es de convergencia trivial 5 Muestre que (X, T p ) punto elegido es de convergencia única excepto para la sucesión constante a p G RUBIANO 6 Sea (X, ) un conjunto linealmente ordenado y considere la topología T ad Si X tiene un elemento mínimo, entonces todo filtro es convergente 7 Muestre que en (R, cof initos) todo ultrafiltro es convergente 8 Sea F un ultrafiltro en N más fino que el filtro de Frèchet En el conjunto R N de todas las sucesiones en R, definimos la siguiente relación: (a n ) (b n ) si y solo si {n a n = b n } F Muestre que es de equivalencia El conjunto R := R N / de las clases de equivalencia es un modelo de los números reales no estándar Demuestre que esta relación es consistente con las operaciones de

98 88 Filtros, convergencia y continuidad suma, multiplicación y orden asociado a las sucesiones R es un modelo de un cuerpo ordenado no completo 9 Sea f : (X, d) (Y, m) una función continua entre espacios métricos Si definimos d (x, y) := d(x, y) + m(f(x), f(y)) muestre que d, d son topológicamente equivalentes y, además, d hace de f una función uniformemente continua Sugerencia: muestre que d, d son equivalentes si x n x en (X, d) si y solo si x n x en (X, d ) G RUBIANO

99 6 Homeomorfismos o geometría del caucho En teoría de conjuntos, dos conjuntos A, B se definen equivalentes iguales en algún sentido y el sentido es precisamente la definición de la relación de equivalencia si ellos tienen el mismo cardinal, es decir, si existe una biyección f : A B Que f sea una biyección también se puede expresar diciendo que existe g tal que f g = 1 B y g f = 1 A Al querer generalizar este concepto a los espacios topológicos, a más de la cardinalidad, parte inherente a los conjuntos, debemos pedir una relación entre las topologías de los dos espacios En una categoría cualquiera D dados dos objetos A, B decimos que son equivalentes isomorfos si existen f Mor(A, B) y g Mor(B, A) tales que f g = 1 B y g f = 1 A Modelando esta definición para el caso de los espacios topológicos obtenemos la siguiente definición 61 Homeomorfismos G RUBIANO Definición 61 Dados dos espacios (X, T), (Y, H) decimos que X es homeomorfo a Y o que X es topológicamente equivalente a Y y notamos X Y si existe una biyección f : X Y con f y f 1 continuas La función f se llama un homeomorfismo y U T f(u) H Un homeomorfismo f no es tan solo una relación biunívoca entre los elementos de los espacios, sino que también lo es entre los elementos abiertos de las topologías respectivas 89

100 90 Homeomorfismos o geometría del caucho Por tanto, cualquier afirmación sobre un espacio que se exprese solo en términos de conjuntos abiertos, junto con las relaciones y operaciones entre estos, es cierta para (X, T) si y solo si lo es para (Y, H) La relación de homeomorfismo definida en la clase de todos los espacios topológicos es de equivalencia demuéstrelo Y el gran objetivo de la topología es determinar qué espacios pertenecen a una misma clase de equivalencia A cambio de estudiar cada espacio de manera individual, estudiamos su clase de equivalencia EJEMPLO 61 La redondez es una sensación no afecta para nada el hecho que dos subespacios topológicos de R n sean homeomorfos Dado el segmento de recta L y el arco de circunferencia S, ellos son homeomorfos y el homeomorfismo f es definido como en el dibujo que muestra la proyección desde p EJEMPLO 62 El tamaño es subjetivo no interesa en topología, por ejemplo el intervalo ( 1, 1) y R, cada uno con la topología usual, son homeomorfos x mediante f : R ( 1, 1) definida como f(x) =, la cual es 1 + x un homeomorfismo Note que f tiene como inversa a g : ( 1, 1) R donde g(x) = x 1 x G RUBIANO Los dos ejemplos anteriores se pueden combinar en el siguiente EJEMPLO 63 La proyección estereográfica de S 2 {p} en R 2, donde el punto p = (0, 0, 1) es el polo norte p L S La función F es un homeomorfismo de S 2 {p} en R 2, F (x, y, z) = ( ) x 1 z, y 1 z, 0

101 61 Homeomorfismos 91 F tiene como inversa a ( G(u, v, 0) = 2u u 2 + v 2 + 1, 2v u 2 + v 2 + 1, u2 + v 2 ) 1 u 2 + v La proyección estereográfica envía a una circunferencia paralela al ecuador en una circunferencia del plano y si la circunferencia es cada vez más cercana al polo su imagen será cada vez más grande en el plano Un meridiano se envía en una línea recta p S 2 (x, y, z) F (x, y, z) Figura 61: La proyección estereográfica G RUBIANO R 2 Hay que estar atentos a los espacios involucrados La función f : [0, 1) S 1 que dobla al intervalo sobre la circunferencia como si fuesen de alambre f(x) = (cos 2πx, sin 2πx) es biyecctiva y continua pero no un homeomorfismo: la imagen de [0, 1 2 ) no es un abierto en S1

102 92 Homeomorfismos o geometría del caucho Las deformaciones realizadas sobre una estructura de goma o caucho en el sentido de poder moldearla y darle una forma arbitraria con tal de no perforarla, ni cortar de ella pedazos para suprimirlos o trasladarlos de lugar, son tan solo una manera vulgar en el sentido de vulgo de cómo construir espacios homeomorfos a partir de uno dado El sentido de homeomorfismo es mucho más amplio y formal Por ejemplo, esta figura como subespacio de R 3 es homeomorfa al toro sin que sea posible deformar la una en la otra a la manera del caucho Se trata simplemente de un Toro enredado como una manguera no nos importa el número de vueltas donde la única manera de desenredarlo sería cortando, lo que es interpretado como un paso no continuo Otro ejemplo es pensar en la cinta de Möbius 1, una tira de papel donde los bordes más pequeños se pegan identifican después de dar un giro de media vuelta (Ver ejemplo 72) Figura 62: Cinta de Möbius G RUBIANO Dos cintas de Möbius (ver fig 63) son homeomorfas si ambas tienen un número impar de giros Ellas son homeomorfas aunque en este mundo real de tres dimensiones nos sea imposible deformar la una en la otra a menos de romperlas Si el número de giros es par, obtenemos un espacio no homeomorfo a la cinta de Möbius; se trata en efecto de un cilindro 1 August Ferdinand Möbius ( ), matemático y astrónomo alemán Hizo el descubrimiento de esta superficie cuando era profesor en la Universidad de Leipzig El nombre de Möbius está ligado con muchos objetos matemáticos importantes, como la función de Möbius, que introdujo en su artículo de 1831 Über eine besondere Art von Umkehrung der Reihen (Sobre una forma especial de invertir las series), y la fórmula de inversión de Möbius

103 61 Homeomorfismos 93 Figura 63: Cintas de Möbius homeomorfas con diferente número de giros Claro que la posibilidad o no de deformación manual en estos ejemplos tiene relación directa con la dimensión del espacio en que los hemos construido y el espacio 3-dimensional en que actuamos Figura 64: Anillos homeomorfos Así como un nudo no se puede desatar en dos dimensiones sin romperlo, es por ello que su representación sobre una hoja de papel necesariamente da el sentido de autointersección, mientras que en tres dimensiones sí lo podemos desatar o su representación no se intercepta, seguramente en un mundo de cuatro dimensiones podríamos desdoblar la cinta de Möbius sin romperla para deformar una de tres giros a una de tan solo un giro Algunas veces los autores prefieren eliminar este problema de la dimensión y la realización, suponiendo que en un modelo 3- dimensional la autointersección no existe, por ejemplo la representación de una botella de Klein (ver fig 65) Es como si el grosor no existiese; en efecto, son verdaderas superficies de espesor igual a cero y, la botella pudiera pasar a través de sí misma G RUBIANO Por esto no es nada nuevo que, al pintar un nudo en dos dimensiones, su intersección la representamos como pasar por encima un trazo de línea sobre el otro uno de los dos es interrumpido

104 94 Homeomorfismos o geometría del caucho Figura 65: Botella de Klein Una de las construcciones más famosas en cuatro dimensiones es el hipercubo algo como un cubo de cubos el cual fue imaginado en tres dimensiones desdoblado y utilizado por Salvador Dalí en su pintura del año 1954 Hipercubo de Cristo (figura 66) EJEMPLO 64 La circunferencia se deforma en un cuadrado Sean la circunferencia S 1 = {(x 1, x 2 ) : x x2 2 = 1} y el rombo R = {(x 1, x 2 ) x 1 + x 2 = 1} G RUBIANO ( ) Definimos f : S 1 x 1 R como f((x 1, x 2 )) = x 1 + x 2, x 2 x 1 + x 2 f la cual es una biyección continua, con inversa también continua f( 1 ((x 1, x 2 )) = ) x 1 (x x 2 2 ) 1/2, x 2 (x x 2 2 ) 1/2 Verifique que las compuestas de estas dos funciones corresponden a la identidad respectiva

105 61 Homeomorfismos 95 EJEMPLO 65 Figura 66: Hipercubo de Cristo El plano punteado se deforma en un cilindro infinito G RUBIANO Sean el plano punteado X = R 2 {(0, 0)} y el cilindro infinito Y = {(x 1, x 2, x 3 ) x x 2 2 = 1} Definimos h : X Y como ( ) x 1 h((x 1, x 2 )) = (x x 2 2 ) 1/2, x 2 (x x 2 2 ) 1/2, 1 2 log(x x 2 2 ) donde h 1 ((x 1, x 2, x 3 )) = (x 1 e x 3, x 2 e x 3 )

106 96 Homeomorfismos o geometría del caucho h Figura 67: Del plano punteado al cilindro infinito Ejercicios 61 1 En un espacio la función idéntica es un homeomorfismo 2 La composición de homeomorfismos es un homeomorfismo 3 Una biyección f : X Y entre espacios es un homeomorfismo si y solo si a) Para cada x X, f transforma la colección V(x) exactamente en la colección V(f(x)) b) f envía la colección de todos los conjuntos abiertos de X exactamente en la colección de todos los conjuntos abiertos en Y c) Si B es una base para la topología en X entonces G RUBIANO es una base para el espacio Y f(b) := {f(b) B B} 4 Muestre que toda isometría f d(x, y) = m(f(x), f(y)) de un espacio métrico sobre otro es un homeomorfismo para las topologías inducidas por las respectivas métricas 5 Considere las veintinueve topologías posibles para X = {a, b, c} Cuántas clases de equivalencia existen en T op(x)? (ver pág 8) 6 Para X = {0, 1, 2, 3} considere las topologías a) U = {X,, {0}, {0, 1}, {0, 1, 2}, {1}}

107 62 Invariantes topológicos 97 b) V = {X,, {0}, {0, 1}, {0, 1, 2}} La función id X : (X, U) (X, V) es biyectiva, continua, pero no es un homeomorfismo 7 Muestre que dos espacios discretos son homeomorfos si y solo si tienen la misma cardinalidad 8 Sea f : (X, T) (Y, H) un homeomorfismo y sea (A, T A ) un subespacio de X Muestre que la restricción es un homeomorfismo f A : (A, T A ) (f(a), H f(a) ) 9 Sean (X, ), (Y, ) espacios totalmente ordenados Una biyección f : (X, T ) (Y, T ) es un homeomorfismo si y solo si f es estrictamente creciente 62 Invariantes topológicos Algunos autores definen la topología como el estudio de las propiedades del espacio que permanecen invariables cuando el espacio se somete a homeomorfismos Llamamos a estas propiedades invariantes topológicos Por ejemplo, la propiedad que tiene la circunferencia de dividir el plano en dos regiones teorema de Jordan 2 es un invariante topológico; si transformamos la circunferencia en una elipse, o en el perímetro de un triángulo, etc, esta propiedad se mantiene G RUBIANO Por el contrario, la propiedad que tiene la circunferencia de poseer en cada punto una única recta tangente no es una propiedad topológica, pues el triángulo no la posee en cualquiera de sus puntos vértices, a pesar de poderse obtener como una imagen homeomorfa del círculo Definición 62 Una propiedad P del espacio X se llama un invariante topológico si todo espacio Y X también satisface a P 2 Camille Jordan (Lyon 1838-París 1922), matemático francés, conjeturó y creyó haber demostrado el teorema que llevaría su nombre, pero dicha demostración era incorrecta y no pudo vencer esta dificultad Murió sin haberlo demostrado rigurosamente La primera demostración satisfactoria del teorema de Jordan debió esperar hasta 1905, y se debe a O Veblen Más tarde surgieron generalizaciones para n dimensiones con E J Brower, demostradas por J W Alexander en 1922

108 98 Homeomorfismos o geometría del caucho Cualquier propiedad que sea definida en términos de los miembros del espacio y de la topología será automáticamente un invariante topológico Formalmente, la topología es el estudio de los invariantes topológicos EJEMPLO 66 La propiedad de ser 2-contable es un invariante topológico En efecto, sean (X, T), (Y, H) espacios homeomorfos y X 2-contable; si h : X Y es un homeomorfismo y B = {B 1, B 2, } es una base para X, veamos que h(b) = {h(b 1 ), h(b 2 ), } es una base para Y Sean V un abierto de Y y y V, entonces existe U tal que h 1 (y) U y h(u) V Por ser B una base, existe B i tal que h 1 (y) B i U Luego y h(b i ) h(u) V Nota La propiedad de ser Lindeloff es un invariante topológico, pero aún más: tan solo utilizamos la continuidad de h para demostrar la invarianza topológica es decir, la imagen continua de un espacio de Lindeloff es de nuevo de Lindeloff Sin embargo, este no siempre es el caso, es decir, existen propiedades donde no es suficiente la continuidad en un solo sentido; por ejemplo id R : R u (R, grosera) es continua, mientras que el primer espacio es de Hausdorff y el segundo no Demuestre que sin embargo ser Hausdorff es un invariante topológico G RUBIANO La utilidad de los invariantes topológicos es obvia en el sentido que, si pretendemos saber cuándo dos espacios topológicos son equivalentes, basta encontrar una propiedad que sea invariante y uno de los dos espacios la posea mientras que el otro no, lo cual establece que no pertenecen a una misma clase Las siguientes son algunas de las preguntas elementales con respecto a las propiedades que son invariantes: Cuándo los subespacios heredan la propiedad? Cómo se comportan las funciones continuas con respecto a la propiedad?

109 62 Invariantes topológicos 99 La propiedad se comporta de manera especial en los espacios métricos? La propiedad es productiva? comportamiento en el producto de espacios El hecho de que un espacio sea metrizable obliga a que todos sus espacios equivalentes también lo sean Teorema 63 Sean (X, T), (Y, H) espacios homeomorfos y h : X Y un homeomorfismo Si X es metrizable entonces Y es metrizable Demostración Sea d una métrica en X que genera la topología T Definimos d : Y Y R, como d (y 1, y 2 ) := d(h 1 (y 1 ), h 1 (y 2 )) d es una métrica, demuéstrelo! Veamos que si W = d entonces W = H Primero verifiquemos que H W, i e, que si V entonces V se puede expresar como reunión de bolas en d Sean V H y y V ; como h 1 (y) h 1 (V ) T, existe Bε d ( h 1 (y) ) h 1 (V ) una bola según d y para este ε se tiene que Bε d (y) V, pues dado z Bε d (y) lo que es igual a decir que d (y, z) < ε tenemos d(h 1 (z), h 1 (y)) < ε, lo que implica h 1 (z) Bε d (h 1 (y)) h 1 (V ), es decir z V Para ver que W H tomemos W W y z W Existe Bε d (y) con z Bε d (y) Como h 1 (z) Bε d ( h 1 (y) ) tenemos z h ( Bε d (h 1 (y)) ) Pero Bε d (h 1 (y)) T implica h(bε d (h 1 (y))) H pues h es homeomorfismo y además h(bε d (h 1 (y)) está contenido en Bε d (y); por tanto, Bε d (y) es unión de elementos de H y esto implica que W también es unión de elementos de H G RUBIANO La siguiente definición da una propiedad invariante bajo homeomorfismo, la cual es tema central de muchos y diversos tópicos en matemáticas Definición 64 Un espacio X tiene la propiedad del punto fijo PPF si cada función continua f : X X deja al menos un punto fijo; esto es, existe un x X tal que f(x) = x Encontrar una condición necesaria y suficiente para que un espacio X tenga la PPF no es fácil; en cambio, esta propiedad nos ayuda a decidir en algunos casos no triviales si dos espacios son equivalentes o no

110 100 Homeomorfismos o geometría del caucho Teorema 65 La PPF es un invariante topológico Demostración Sea h : X Y un homeomorfismo entre espacios Si X tiene la PPF, veamos que Y también la tiene Dada la función continua f : Y Y queremos encontrar un y Y tal que f(y) = y La función h 1 f h de X en X es continua y por tanto tiene un punto fijo a, (h 1 f h)(a) = a, con lo que f(h(a)) = h(a); tomando y = h(a) obtenemos el punto fijo para f EJEMPLO 67 El intervalo unidad I = [0, 1] con la topología de subespacio de los reales tiene la PPF En efecto, dada f : I I continua, definimos g : [0, 1] R como g(x) = f(x) x; lo que g hace es medir la distancia entre (x, x) y (x, f(x)) Luego necesitamos ver que g(x) es igual a cero en algún punto de [0, 1] Si f(0) = 0 o f(1) = 1 ya lo hemos encontrado Si f(0) > 0 y f(1) < 1, tenemos que g(0) > 0 y g(1) < 0 Como g es continua, por el teorema de Bolzano del cálculo elemental, existe x tal que g(x) = 0 EJEMPLO 68 Los subespacios [0, 1] y (0, 1) de R no son homeomorfos, ya que el segundo no posee la PPF por qué? G RUBIANO Uno de los teoremas del folklore de la teoría de puntos fijos su demostración usual utiliza técnicas de la topología algebraica conocido como el teorema del punto fijo de Brower asegura que un disco cerrado homeomorfo al cuadrado [0, 1] [0, 1] tiene la PPF Una manera física de interpretar este teorema es la siguiente: tome una taza de café, revuelva suavemente el contenido y espere hasta que el café deje de moverse Cada partícula de café tiene una posición inicial y una final Como el movimiento fue suave, los puntos de la superficie, homeomorfa a I I, permanecen superficiales, de tal suerte que debe existir un punto que regresa a la posición inicial, esto es, su café no quedó bien revuelto

111 62 Invariantes topológicos 101 Ejercicios 62 1 S 1 y (0, 1) con la topología usual son homeomorfos? 2 Muestre que S n no tiene la PPF para cada n N 3 Sea X un espacio discreto (resp indiscreto) y sea Y un espacio Demuestre que Y X si y solo si Y es discreto (resp indiscreta) y X y Y tienen el mismo cardinal 4 Muestre que en R, T x T y para todo x, y R 5 Muestre que (R, [a, )) y (R, T x ) no son homeomorfos 6 * Sea f : (X, T) (Y, H) una biyección Muestre que f es un homeomorfismo si y solo si H es la topología más grande sobre Y de las que hacen continua a f 7 Considere en el producto N [0, 1) el orden del diccionario o lexicográfico y en R 0 la topología inducida por la usual de R Pruebe que estos espacios son homeomorfos G RUBIANO

112 7 Espacios de identificación cociente En un curso de álgebra se encuentran los conceptos de grupo cociente o anillo cociente, en los cuales la idea es dar una estructura algebraica al conjunto de coclases de un subgrupo o un ideal Estos conceptos (basados en una relación de equivalencia) dan una estructura algebraica a una partición del grupo o del anillo En lo concerniente a la topología, el concepto equivalente es el de espacio cociente al dar una topología a una partición del espacio donde los elementos serán ahora las clases de equivalencia inherentes a la partición Si R es una relación de equivalencia en el espacio X, cómo dar una topología al conjunto cociente X/ R (de las clases de equivalencia o elementos de la partición) a partir de la topología de X? 71 Topología cociente G RUBIANO Dados un espacio (X, T) y una relación R de equivalencia en el conjunto X, queremos ante todo que la función cociente q : X X/ R definida por x [x] sea por supuesto continua y de la mejor manera, i e, de manera que X/ R tenga la mayor cantidad posible de abiertos y q sea continua Definición 71 Dados un espacio (X, T) y una relación R definimos la topología cociente T/ R para X/ R como T/ R := {V X/ R : q 1 (V ) es un abierto de X} 102

113 71 Topología cociente 103 Un subconjunto de X que es unión de elementos de una partición se llama saturado El conjunto saturado más pequeño que contiene a A X se llama la saturación de A A es saturado si q 1 (q(a)) = A, i e, A es igual a su saturación V X/ R es abierto si y solo si V = q(a) con A X abierto y saturado EJEMPLO 71 En el intervalo [0, 1] identificamos 0 1 [0, 1] 0 1 S 1 Tenemos que la partición es {0, 1} {{a} : a (0, 1)} EJEMPLO 72 Figura 71: Esquema para la construcción de S 1 Cinta de Möbius a Muchos espacios se construyen a través de otro identificando algunos puntos; por ejemplo, M la cinta de Möbius a Esta superficie fue encontrada en 1858 por el matemático y astrónomo alemán, August Möbius ( ) Möbius fue estudiante y profesor de la Universidad de Leipzig Curiosamente, el escrito que Möbius presentó a la Académie des Sciences en el cual discutía las propiedades de una superficie de una sola cara solo fue encontrado después de su muerte G RUBIANO Figura 72: Esquema para la construcción de una cinta de Möbius A partir del rectángulo X = [0, 3] [0, 1] con la topología T de subespacio de R 2 hacemos la identificación R esquematizada por la figura

114 104 Espacios de identificación cociente 72 (observe la orientación de las flechas) donde (0, y)r(3, 1 y) y los demás puntos sólo se relacionan con sí mismos (0,y) (3, 1 y) Figura 73: La imagen inversa de un abierto en la cinta de Möbius La preimagen de un disco abierto en la cinta es, o bien el conjunto formado por los dos semidiscos abiertos, o un disco abierto interior al rectángulo En todo caso se trata de un abierto en X/ R pues su preimagen por q corresponde a un abierto en la topología del rectángulo (fig 73) La construcción anterior, hecha sobre una relación de equivalencia, puede ser también descrita en términos de la partición Definición 72 Sea (X, T) un espacio y sea R = {A i } una partición o descomposición de X Formamos un nuevo espacio Y, llamado el espacio identificación o cociente, como sigue Los puntos de Y son los miembros de R y si q : X Y es la función cociente q(x) A i si x A i, la topología para Y es la más grande para la cual q es continua, es decir, U Y es abierto si y solo si q 1 (U) es abierto en X Esta topología se llama identificación o cociente para la partición R y notamos T/ R : G RUBIANO T/ R := {U Y : q 1 (U) es un abierto de X} Pensemos en Y como esos subconjuntos de X que han sido identificados a un solo punto por medio de R Como cada partición R genera una relación de equivalencia R (notada de la misma manera), el conjunto Y también es notado como Y = X/ R De suerte que U es abierto en X/ R si y solo si q 1 (U) = [x] U[x] T

115 71 Topología cociente 105 La continuidad para estos espacios identificación está determinada por la continuidad desde el espacio inicial, como afirma el siguiente teorema de gran utilidad en topología Teorema 73 Sean X/ R un espacio identificación, Z un espacio y f : X/ R Z f es continua si y solo si f q es continua donde q : X X/ R (Si el domino es un cociente lo podemos remplazar por el espacio) q X X/ R f f q Z Demostración Si f es continua claramente f q también lo es En el otro sentido, asumamos que f q es continua y sea U Z con U T Para ver que f 1 (U) es un abierto de X/ R debemos tener que q 1 (f 1 (U)) sea abierto de X, es decir, (f q) 1 (U) lo sea 711 Descomposición canónica por una función Dada una función sobreyectiva f : X Y entre conjuntos, la colección de las fibras R f := {f 1 (y)} y Y determina una partición en X La función cociente q : X X/ Rf satisface q(x) = [x] = f 1 (f(x)); luego la función h f : X/R f Y dada por h f ([x]) := f(x) o h f (f 1 (y)) = y está bien definida y es una biyección X f X/ Rf Y G RUBIANO Teorema 74 Si X, Y son espacios y f : X Y es continua, entonces h f : X/R f Y es continua (Como f = h f q decimos que el diagrama representa la descomposición canónica de f) q h f Demostración Dado U un abierto de Y, tenemos h 1 f (U) = q(f 1 (U)), con lo cual q 1 (h 1 f (U)) = q 1 (q(f 1 (U)) = f 1 (U), y como f 1 (U) es abierto en X, tenemos que h 1 f (U) es abierto en X/R f por la definición de la topología cociente

116 106 Espacios de identificación cociente Podemos ahora preguntarnos qué tanto se identifica, i e, cuándo h f es un homeomorfismo? (teorema 75), esto es, cuándo h 1 f (y) = f 1 (y) es continua? Teorema 75 Sean X, Y dos espacios y f : X Y continua y sobreyectiva Si f es abierta o cerrada entonces h f : X/ Rf Y es un homeomorfismo Demostración Supongamos que f es abierta y veamos que h f también lo es Sea U un subconjunto abierto en X/ Rf, entonces h f (U) = f(q 1 (U)) el cual es un abierto En caso que f sea cerrada, la demostración se deja como ejercicio La siguiente clase de funciones generaliza a las funciones cociente q : X X/ R Definición 76 Sean (X, T) un espacio, Y un conjunto y f : X Y una función sobreyectiva La topología cociente o identificación sobre Y es la colección T f Y = {V Y f 1 (V ) T} La topología cociente algunas veces se llama la topología final con respecto a la función f La topología Tf Y es mucho más que requerir la continuidad, pues la requiere de la mejor manera (la más fina sobre Y que hace que f sea continua), por eso algunas veces se conoce como topología de continuidad fuerte El siguiente teorema es la razón por la cual los espacios de identificación son también llamados cociente G RUBIANO El siguiente teorema generaliza al teorema 73 Teorema 77 Supongamos que Y tiene la topología cociente T f Y para la función f : (X, T) Y Entonces 1 f : X Y es continua, y 2 Una función g : Y Z es continua si y solo si g f lo es X f g f La topología cociente es la única topología sobre Y con estas dos propiedades Y g Z

117 71 Topología cociente 107 Demostración Por la definición de T f Y la continuidad de f es inmediata pues f 1 (T f Y ) T (teorema 42) Si g es continua entonces lo es la compuesta g f En el otro sentido, supongamos que g f es continua y tomemos un abierto U Z, entonces (g f) 1 (U) = f 1 (g 1 (U)) es abierto pues g f es continua, con lo cual g 1 (U) es abierto por definición de la topología identificación Finalmente, nótese que la función idéntica id Y : (Y, T f Y ) (Y, H) es un homeomorfismo si Y está equipado de una topología H con estas propiedades Definición 78 Una función sobreyectiva f : (X, T) Y es una función cociente si la topología sobre Y es la topología cociente Esto significa que una función sobreyectiva f : (X, T) Y es una función cociente si y solo si para todo V Y f 1 (V ) es abierto en X si y solo si V es abierto en Y En este caso decimos que Y es un espacio de identificación la razón para este nombre es que Y puede ser mirado como un espacio cociente, teorema 79 Teorema 79 Sean X, Y espacios y f : X Y una función cociente Entonces Y X/R f Y es homeomorfo a identificar puntos en X Demostración Veamos que h f es abierta, esto es, h 1 f es continua Sea U un subconjunto abierto de X/R f Como f es una función cociente, basta mostrar que f 1 (h f (U)) es abierto en X Pero f 1 (h f (U)) = q 1 (U) y como q es continua, tenemos que q 1 (U) es abierto Si observamos que h f q = f obtenemos que h 1 f f = q es continua y como f es una cociente, por el teorema anterior h 1 f es continua G RUBIANO q X X/ Rf f Y h f K Cómo podemos reconocer las funciones cociente? i e, bajo qué condiciones una topología dada proviene de una función cociente? Parte de la respuesta la da el siguiente teorema

118 108 Espacios de identificación cociente Teorema 710 Sea f : (X, T) (Y, H) continua y sobre Si además f es abierta o cerrada, entonces f es una función cociente, i e, H= T Y f Demostración Debemos ver que H = T f Y Claramente H Tf Y definición de T f Y por la Para la contenencia T f Y H tomemos U Tf Y ; como f 1 (U) es abierto entonces U = f(f 1 (U)) es un abierto en H, puesto que la función f es abierta y sobreyectiva Si f es cerrada, el mismo argumento se aplica cambiando abierto por cerrado Corolario 711 Sea f : (X, T) (Y, H) continua y sobre Si además X es compacto y Y es de Hausdorff, entonces f es una función cociente Demostración El concepto de compacto se define en el capítulo 7 donde además se muestra que con la hipótesis del corolario 711 f es cerrada EJEMPLO 73 Sean X = [0, 2π] y Y = S 1 f : X Y definida como f(x) := (cos(x), sen(x)) es una identificación, con lo cual S 1 [0, 2π]/R donde R identifica los extremos, i e, a 0 con 2π EJEMPLO 74 G RUBIANO El toro Sea X = [0, 1] [0, 1] con la topología de subespacio usual de R 2 Particionamos a X en cuatro clases mediante la siguiente relación R (ver figura 74) 1 {(0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1)}: las esquinas se identifican 2 {(x, 0), (x, 1)} para cada x (0, 1): pegamos el borde inferior con el borde superior 3 {(0, y), (1, y)} para cada y (0, 1): pegamos los lados 4 {(x, y)} para x (0, 1) y y (0, 1): el interior no cambia

119 71 Topología cociente 109 Figura 74: Una partición sobre I I que conduce al Toro El espacio T asociado a esta partición es el toro, también descrito como T = S 1 S 1, el producto de dos circunferencias Estas dos descripciones coinciden Definimos f : [0, 1] [0, 1] S 1 S 1 como f(x, y) = ( e 2πix, e 2πiy) donde e 2πix := (cos 2πx, sin 2πx) y e 2πiy := (cos 2πy, sin 2πy) La relación R f en [0, 1] [0, 1] definida por la función f, es decir R f = {f 1 (a) : a T } es exactamente la partición inicial R; luego, por el corolario 711 [0, 1] [0, 1]/R f S 1 S 1 G RUBIANO ya que como [0, 1] [0, 1] es compacto y S 1 S 1 es de Hausdorff, f resulta ser una identificación Figura 75: Un famoso homeomorfismo entre una taza y el toro

120 110 Espacios de identificación cociente EJEMPLO 75 Nuevamente en X = [0, 2π] [0, 2π] nuestra hoja de papel consideramos una relación definida como en el esquema de la figura 76, donde los lados verticales nos producen el cilindro y los lados horizontales identifican la base de la botella con su boca pero en sentido contrario como lo habíamos hecho en la cinta de Möbius y es aquí donde surge la imposibilidad de realización en tres dimensiones; y hablamos de botella ya que esta construcción se conoce como botella de Klein Figura 76: Botella de Klein Curiosamente, si una botella de Klein sufriera una caída que produjera una rotura en dos partes y a lo largo, obtendríamos dos cintas de Möbius! Esto es, la botella de Klein es obtenible vía sutura para los dos bordes de dos cintas de Möbius, pero el coser estos dos bordes es imposible en nuestro universo tridimensional, aunque cada borde no sea más que una circunferencia inténtelo! G RUBIANO Ejercicios 71 1 Muestre que la topología cociente es en efecto una topología y que es la más fina para la cual la función proyección es continua 2 Muestre que un subconjunto es cerrado para la topología cociente si es la imagen de un conjunto saturado y cerrado

121 71 Topología cociente 111 Figura 77: Botella de Klein partida por la mitad 3 Sean, relaciones de equivalencia sobre los espacios X, Y respectivamente Dada una función continua f : X Y tal que a b implica f(a) f(b) entonces f : X/ Y/ definida por f([x]) = [f(x)] es una función bien definida y continua 4 Sea f : X Y una función cociente Decimos que A X es f-saturado o f-inverso si f 1 (f(a)) = A a) Muestre que A es f saturado si existe B tal que A = f 1 (B) b) Cómo caracterizar los abiertos en una función cociente? Los abiertos de Y son precisamente las imágenes por f de los subconjuntos abiertos f-saturados de X c) Puede caracterizar los cerrados en una función cociente? 5 Es la composición de funciones cociente una función cociente? 6 Sea f : X Y sobreyectiva Muestre que f es una función cociente si para todo V Y se tiene f 1 (V ) es cerrado en X si y solo si V es cerrado en Y G RUBIANO 7 Muestre que una biyección continua es una función cociente si y solo si es un homeomorfismo 8 Muestre que la topología T f Y f continua es la mejor más fina que hace a

122 K 8 La topología producto Dados dos conjuntos X, Y, una construcción familiar es su producto cartesiano, el cual se define de manera analítica como X Y := {(x, y) x X, y Y } Visto X Y de otra manera sintética y no analítica tenemos lo siguiente C g f X [f,g] Y p X py X Y 81 Definición sintética de producto entre conjuntos Si tomamos a X, Y como objetos en la categoría de los conjuntos, este producto cartesiano es un objeto que tiene asociadas de manera natural dos flechas o morfismos, las proyecciones p X : X Y X y p Y : X Y Y La propiedad fundamental de este objeto X Y y de las flechas p X, p Y que además lo caracteriza es: si existe otro conjunto C con dos funciones f : C X, g : C Y entonces estas funciones las podemos factorizar por medio de p X, p Y En otras palabras, existe una única función [f, g] : C X Y tal que el diagrama conmuta, i e, f = p X [f, g] y g = p Y [f, g] G RUBIANO Posiblemente para el lector no sea familiar esta propiedad del producto cartesiano Su valor consiste en que no hace referencia a la parte intrínseca del conjunto, sino a las propiedades que este objeto y sus flechas tienen dentro de la categoría de los conjuntos factoriza tanto a f como a g lo cual nos da una visión sintética del concepto Otro ejemplo en esta línea de pensamiento no analítico es el de las funciones inyectivas y sobreyectivas Dados dos conjuntos A, B una función f : A B notada como f Mor(A, B) es inyectiva si 112

123 82 La topología producto caso finito 113 dados cualquier conjunto C y cualquier par de flechas m, n que satisfacen f m = f n podemos concluir m = n (cancelación a izquierda) La ventaja de mirar estos conceptos en términos de flechas y diagramas consiste en que los podemos generalizar a categorías donde el concepto no depende de la definición puntual por elementos de un conjunto 82 La topología producto caso finito Una tarea importante en topología es construir nuevos espacios a partir de los ya conocidos La sección anterior motiva la definición de producto para dos espacios topológicos, donde además de mirar la parte conjuntista debemos hacer intervenir la estructura topológica; es decir, dados (X, T), (Y, H) dos espacios topológicos, el producto X Y de los dos espacios debe tener una topología que haga que las dos proyecciones sean morfismos topológicos, es decir, las dos funciones p X : X Y X y p Y : X Y Y deben ser continuas Como p X debe ser continua, dado un abierto U X, p 1 X (U) = U Y debe ser abierto en X Y ; similarmente p 1 Y (V ) = X V debe ser abierto si V lo es en Y Así que tanto U Y como X V deben ser abiertos, y puesto que queremos una topología en X Y la intersección de los abiertos tendrá que ser un abierto, i e, (U Y ) (X V ) = U V debe ser un abierto de X Y Proposición 81 Dados (X, T), (Y, H) espacios, la colección G RUBIANO B = {U V : U T, V H} es base para una topología en X Y Demostración Claramente B es un cubrimiento Sean B 1, B 2 en B con B 1 = U 1 V 1, B 2 = U 2 V 2 Dado (m, n) B 1 B 2 existe B 3 = (U 1 U 2 ) (V 1 V 2 ) tal que (m, n) B 3 B 1 B 2 con B 3 B La topología de la proposición anterior se llama topología producto en X Y para los espacios (X, T), (Y, H)

124 114 La topología producto La topología producto es la mejor, la que posee la menor cantidad posible de abiertos de tal manera que las proyecciones sean continuas, o en otras palabras, la topología producto es la intersección de todas las topologías en X Y que hacen las proyecciones continuas Definimos la topología producto para un número finito de espacios topológicos X 1,, X n como la topología generada por la subbase S formada por la colección de las imágenes inversas de abiertos por medio de las proyecciones Los conjuntos p 1 S = {p 1 (U i ) : U i abierto de X i, i = 1,, n} i i (U i ) = X 1 X 2 U i X n = U i j i X j se denominan cilindros abiertos De suerte que los elementos de la base generada (llamados cajas abiertas) son de la forma B = U 1 U 2 U n (81) Ejercicios 82 1 Es el producto de dos espacios groseros un espacio grosero? 2 Cómo es la topología para el producto de dos espacios, uno con la topología discreta y el otro con la topología grosera? G RUBIANO 3 Sean (X, T), (Y, H) dos espacios topológicos Muestre que si B X, son bases para X, Y respectivamente, entonces B Y B X B Y = {B X B Y : B X B X, B Y B Y } es una base para el espacio producto 4 Se puede localizar el anterior ejercicio para obtener una base local en el punto (x, y) X Y a partir de bases locales para x y y respectivamente? 5 Muestre que el producto finito de espacios 2 contable es un espacio 2 contable

125 83 La topología producto caso infinito Muestre que si A es cerrado en X y B es cerrado en Y entonces A B es cerrado en X Y Se tiene la recíproca?, i e, es todo cerrado un producto de cerrados? Sugerencia: (X Y )/(A B) = ((X/A) Y ) (X (Y/B)) 7 Muestre que X Y es canónicamente isomorfo a Y X 8 Muestre que (R, usual) (R, usual) = (R 2, usual) 9 Es p X : X Y X una función abierta? Una función cerrada? 10 * Sean (X, <), (Y, <) dos conjuntos ordenados linealmente Muestre que si Y no tiene máximo ni mínimo entonces la topología del orden (X Y ) < es igual a la producto X d Y < donde X d es X con la topología discreta y Y < es Y con la del orden Esta topología (X Y ) < es más fina que la producto X < Y < Sugerencia: muestre que ( ) (, (a, b)) = {x} Y ({a} (, b)) x<a 11 Cuando (X, <), (Y, <) son dos conjuntos ordenados linealmente tenemos dos topologías para (X Y ), la producto X < Y < y la del orden para el producto (X Y ) <, donde Y < es Y con la del orden Estas topologías en general no son iguales, más aún, ni siquiera comparables Considere el caso de N con el orden usual G RUBIANO 83 La topología producto caso infinito Recordemos que para una familia indizada de conjuntos {X i }, (i I) su producto cartesiano X i, (i I) se define como el conjunto de las funciones { x : I } X i x(i) Xi i I donde normalmente escribimos x i a cambio de x(i) y la llamamos la coordenada i-ésima de x = (x i ) i I El axioma de elección nos dice que este conjunto producto es no vacío si cada factor X i no lo es

126 116 La topología producto Este concepto conjuntista del producto se puede caracterizar en términos sintéticos por medio de las funciones proyección que seleccionan una coordenada específica de cada (x i ) p j : i I X i X j, p j ((x i )) = x j para cada j I De manera análoga al caso finito, la topología producto para una familia {(X i, T i )}, (i I) de espacios topológicos debe garantizar que las proyecciones sean continuas; es decir, dados i I y cualquier U i abierto de X i el subconjunto p 1 i (U i ) debe ser abierto en i I X i Así que definimos como topología producto la generada por la subbase S conformada por los cilindros abiertos p 1 (U i ), exactamente S = {p 1 (U i ) U i T i, i I} i De suerte que los abiertos U que conforman la base son las cajas abiertas formadas por la intersección de finitos cilindros, i e, U = n k=1 p 1 (U ik ) o, de manera equivalente, i k U = U i1 U i2 U in i I X i, i i 1, i 2,, i n Esto es, U es un producto donde todos los espacios coordenados son los X i salvo para un número finito de índices i k donde tenemos abiertos propios de cada uno de los espacios indizados Finalmente, un abierto de la topología producto algunas veces llamada topología producto de Tychonoff 1, será todo lo que podamos expresar como unión de cajas abiertas G RUBIANO Una manera práctica de visualizar los elementos de la subbase es presentar cada espacio X i como un segmento de recta mirarlo de lado? y observar que p 1 i (U i ) consiste de todas las funciones (x i ) en el producto que asignan a cada índice j i un punto cualquiera de X j pero a la coordenada i le debe asignar un punto dentro del abierto U i ; esto es, tenemos todas las funciones que pasan a través del intervalo U i ubicado en la recta vertical que representa al espacio coordenado X i (Ver fig 82) i 1 Andrey Nikolayevich Tychonoff ( ), matemático ruso, célebre por introducir esta topología en 1929 y demostrar el teorema que lleva su nombre, el cual también está asociado a una clase de espacios

127 83 La topología producto caso infinito 117 Figura 81: Andrei N Tychonoff y Pavel S Alexandroff G RUBIANO X 1 X 2 X 3 X i Figura 82: Un elemento en la subbase de la topología producto de Tychonoff EJEMPLO 81 Topología caja Para el caso infinito el producto arbitrario de abiertos cajas infinitas no tiene por qué ser un abierto en la topología producto de Tychonoff, pues solo para finitos índices estos factores abiertos pueden ser diferentes del espacio Si tomamos como base para una nueva topología los conjuntos que sean producto arbitrario de abiertos, esto es, definimos U i una caja, como U i := i I U i, con U i abierto en X i

128 118 La topología producto obtenemos la llamada topología caja 2, la cual posee más abiertos que nuestra topología producto y por tanto la contiene Por supuesto, en el caso de un número finito de índices, la topología caja coincide con la topología producto A menos que se especifique otra cosa, cuando hablemos del espacio producto i I X i entendemos que la topología involucrada es la producto de Tychonoff Y la hemos preferido ya que la topología caja adolece de ciertos defectos como: Posee demasiados abiertos si lo que queremos es hacer a las proyecciones continuas No siempre el producto de espacios compactos es compacto No siempre el producto de espacios conexos es conexo La continuidad de una función que llega a un espacio producto no puede ser caracterizada en términos de la continuidad de las funciones coordenadas Aun en el caso de productos enumerables no se garantiza que el producto de espacios 1-contable es 1-contable La siguiente proposición realza las propiedades de las funciones proyección Proposición 82 Si i I X i es un espacio producto, para cada i I la proyección p i : i I X i X i es continua, abierta y sobreyectiva Demostración Por la definición de producto cartesiano es inmediato que cada proyección es sobre La continuidad se sigue de la definición de la topología producto Para mostrar que cada proyección p i es abierta basta considerar los abiertos básicos de X, puesto que para toda función la imagen de la unión de una familia es la unión de la familia de las imágenes Sea G RUBIANO U = U i1 U i2 U in X i, i i 1, i 2,, i n un abierto básico; si i = i k entonces p i (U) = U ik ; si i i 1, i 2,, i n entonces p i (U) = X i En cualquier caso p i (U) es abierto en X i 2 Introducida por H Tietze en Beitrage zur allgemeinen topologie I, Math Ann 88, , (1923), e históricamente anterior a la introducida por Tychonoff

129 84 Propiedades productivas Propiedades productivas Las propiedades topológicas poseídas por un espacio producto dependen, por supuesto y en gran medida, de las propiedades poseídas por los espacios factores Definición 83 Una propiedad P de un espacio se dice productiva si un espacio producto X = i I X i tiene a P cuando cada espacio coordenado X i tiene a P A continuación veremos varios teoremas concernientes a propiedades productivas Teorema 84 Un espacio producto i I X i satisface la propiedad T k de separación (k = 0, 1, 2) si y solo si cada factor X i es un espacio T k Demostración ) Supongamos que X j no es un espacio T k para algún j I Existe entonces un par de puntos a j, b j X j para los cuales el axioma T k no se tiene Por cada índice i j escojamos un punto x i = a i = b i X i, con lo que los puntos a = (a i ), b = (b i ) son idénticos excepto por la coordenada j ésima La propiedad T k falla entonces para el par de puntos a, b del producto ya que no los podemos separar ) Si a = (a i ), b = (b i ) son dos puntos diferentes existe al menos un índice j J tal que a j b j Si X j es T 2 existen vecindades V aj, V bj abiertas y disyuntas Los abiertos U a = p 1 j (V aj ) y U b = p 1 j (V bj ) son disyuntos en el producto y además a U a, b U b ; por tanto, i I X i es de Hausdorff Si lo que tenemos en cada espacio factor es la propiedad T 0 o T 1, procedemos de manera similar G RUBIANO Si el conjunto de índices I es enumerable finito o infinito, la propiedad 1 contable es productiva Teorema 85 Un espacio producto X = i I X i es 1-contable si y solo si cada factor X i es 1-contable y, a excepción de un número contable de índices, todos los espacios tienen la topología grosera Añadir a un producto de espacios, nuevos factores con la topología grosera, es como añadir nada

130 120 La topología producto Demostración ) Cada espacio factor X i es 1-contable, ya que esta propiedad se transmite por funciones continuas, abiertas y sobreyectivas, como es el caso de las proyecciones Supongamos que existe J I, J no enumerable para el cual la topología en cada X j (j J) no es la grosera, i e, existe una vecindad abierta no trivial V j X j Definimos x = (x i ) con la condición que para las coordenadas j J, x j V j Como X es 1 contable, existe una B x base local enumerable, y por cada B n B x tenemos p i (B n ) = X i excepto para finitos índices i, ya que B n contiene a un elemento de la base de la topología Al variar n en los B n, la unión enumerable de estos finitos índices es enumerable, y como J no es enumerable, existe un índice j J para el cual p j (B n ) = X j para todo B n B x Pero para este j sabemos que existe V j X j, luego p 1 j (V j ) es una vecindad abierta de x para la cual no existe algún B n p 1 (V j ) y esto contradice a B x como base local j ) Supongamos que cada espacio factor X i es 1 enumerable y que además existe K I subconjunto enumerable tal que si i I K entonces X i es grosero Dado x = (x i ) X veamos que existe una base local enumerable B x de x Por cada x i sea B xi una base local enumerable en X i claramente B xi = {X i } si i I K Sea B = {p 1 i (U) i I, U B xi } la colección de las preimágenes de todas las bases locales que hemos considerado B es enumerable ya que para i I K tenemos p 1 i (U) = X Definimos B x como la familia de todas las intersecciones finitas de elementos de B con lo cual B x es enumerable y es base local en x G RUBIANO Cuando en un producto i I X i todos los factores X i son iguales a un mismo espacio A, i e, X i = A para todo I I, notamos A I = X i = {f f : I A = X i } i I i I

131 84 Propiedades productivas 121 EJEMPLO 82 El conjunto de las sucesiones de números reales con la topología caja ( ) X = (R N, caja) = R i, caja donde cada R i = (R, usual) i N Cada factor R i es 1 contable pero el espacio producto X no lo es Pues de existir una base local B 0 = {B 1, B 2, } en el punto 0 = (0) n la sucesión constante a cero con cada B n = i N (an i, bn i ), se tiene que para la vecindad V 0 = ( ) a n n 2, bn n 2 n N no existe B n V 0 El siguiente espacio producto conjunto de las sucesiones digitales es toda una fuente de contraejemplos EJEMPLO 83 El producto infinito de espacios discretos no necesariamente es discreto Sean ({0, 1}, discreta) y X = {0, 1} N Veamos que el conjunto unitario B cuyo único elemento es la sucesión constante a cero B = {0} = {(0) n } no es un abierto en la topología producto Como B es un conjunto unitario lo podemos expresar como B = n N B n, con B n = {0} para cada n Pero por otra parte, si B fuese de la base, los B n podrían ser unitarios únicamente para un número finito de naturales EJEMPLO 84 G RUBIANO El cubo X = [0, 1] [0,1] no es 1-contable Dado y X, supongamos que tenemos una base local contable {B 1, B 2, } en el punto y Como cada B m es un abierto, p i (B m ) = I excepto para un número finito de índices i I, digamos i m1,, i mk ; cuando m varía en los enteros positivos, obtenemos una colección enumerable de conjuntos enumerables de números y como I no es enumerable, existe i o tal que p io (B m ) = I para todo m Así, si U es una vecindad abierta de y io la

132 122 La topología producto coordenada i o de y con U I, p 1 i o (U) es una vecindad abierta de y, la cual no puede contener a ningún B m puesto que en la coordenada i o, B m tiene a I mientras que p 1 i o (U) tiene a U Ejercicios 84 1 Muestre que la topología producto es en efecto la mejor que hace las funciones proyección continuas 2 Muestre que la imagen por una función continua y abierta de un espacio 1 contable es un espacio 1 contable 3 Muestre que la imagen por una función continua y abierta de un espacio 2 contable es un espacio 2 contable 4 Es el producto de espacios groseros un espacio grosero? 5 Muestre que el producto de espacios discretos es discreto si y solo si el número de factores es finito 6 Muestre que el producto de subespacios es un subespacio del espacio producto Sugerencia: considere el espacio i (X i, T i ) Si A i X i (i I) existen dos maneras de dar topología a i A i Una como la inducida de la topología producto en i X i y otra al tomar la topología producto de todas las topologías T i Ai Muestre que estas dos topologías coinciden G RUBIANO 7 Sea X = i I X i un espacio producto Entonces X es 2 contable si y solo si cada factor X i es 2 contable y, a excepción de un número contable de índices, todos los espacios tienen la topología grosera Sugerencia: muestre que si B i = {B in } n es una base enumerable en X i (para cada i), entonces las cajas de la forma U i1 n 1 U i2 n 2 U ik n k i I X i, i i 1, i 2,, i n son una base enumerable en el espacio producto

133 85 La topología producto en los métricos Sean (X i, T i ), (i I) una colección de espacios topológicos y F un filtro en el conjunto de índices I Muestre que el conjunto de todas las cajas U i tales que {i U i = X i } F forman una base para una topología en i I X i llamada F-topología (depende de F) a) Si F = 2 I es el filtro trivial entonces la F-topología es la topología caja b) Si F es el filtro de los cofinitos para I, la F-topología es la topología producto de Tychonoff c) Si F, G son filtros con F G entonces la F-topología está contenida en la G-topología d) La U-topología en el caso de un ultrafiltro U es una ultratopología en el sentido que solo es superada por la discreta 85 La topología producto en los métricos La topología usual de los espacios euclidianos R n es precisamente la topología producto cuando cada espacio coordenado es R u Teorema 86 Sea H la topología usual de R n y sea T la topología producto para n i=1 R i, R i = R u para cada i Entonces H = T Demostración Veamos que H T Sea U H un elemento de la base, U = Bε d (x) donde x = (x 1, x 2,, x n ) y d es la métrica usual Por cada coordenada x i tomemos { U i = y R : x i y < ε } = B n ε/ n (x i ) R G RUBIANO Es claro que x U 1 U 2 U n y además U 1 U 2 U n B d ε (x) pues u = (u 1, u 2,, u n ) U 1 U 2 U n implica ( n ) 1/2 d(x, u) = (x i u i ) 2 < i=1 ( n ( ε n ) 2 ) 1/2 = ε Para verificar T H tomemos U 1 U 2 U n un elemento de la base de la topología producto y x = (x 1, x 2,, x n ) U 1 U 2 U n Para cada x i existe B εi (x i ) U i donde B εi (x i ) es una bola de la métrica

134 124 La topología producto usual de R i = R Si ε = mín{ε 1, ε 2,, ε n }, veamos que Bε d (x) U 1 U 2 U n En efecto, si y = (y 1, y 2,, y n ) Bε d (x) entonces para cada coordenada i tenemos ( n ) 1/2 x i y i x i y i 2 < ε ε i, i=1 y por tanto cada y i B d ε (x) U i, es decir y U 1 U 2 U n El siguiente teorema muestra que el producto finito de espacios métricos es de nuevo un espacio métrico Teorema 87 Sean (X 1, d 1 ), (X 2, d 2 ),, (X n, d n ) espacios métricos Entonces la topología producto proviene de una métrica en X = n i=1 X i Demostración Consideremos la métrica d : n i=1 X i n i=1 X i R ( n d(x, y) = i=1 d i (x i, yi) 2 ) 1/2 donde x = (x 1,, x n ), y = (y 1,, y n ) Procediendo como en el teorema anterior se tiene el resultado En general la metrizabilidad no es una propiedad productiva, i e, el producto de una familia infinita de espacios métricos no necesariamente es metrizable, lo cual implica que en la categoría de los espacios métricos con las funciones continuas como morfismos, no siempre el producto es de nuevo un objeto de la categoría; pero cuando el conjunto de índices es enumerable, tenemos el siguiente teorema G RUBIANO Teorema 88 Sea {(X i, d i )}, (i N) una familia enumerable de espacios métricos Entonces el espacio producto X = i=1 X i con la topología producto es metrizable Demostración Recordemos que dos métricas equivalentes generan la misma topología; así que, podemos reemplazar cada métrica d i por la métrica acotada d i (x, y) = mín{1, d i(x, y)} Definimos la función d : i=1 X i i=1 X i R como d(x, y) = i=1 d i (x i, y i ) 2 i

135 85 La topología producto en los métricos 125 donde x = (x n ), y = (y n ) Veamos que d es una métrica: 1 Por cada i N tenemos luego 2 i mín{1, d i (x i, y i )} = 2 i mín{1, d i (y i, x i )} 0, d(x, y) = d(y, x) 0 2 d(x, y) = 0 si y sólo si 2 i mín{1, d i (x i, y i )} = 0 para cada i N, esto es, para cada i se tiene d i (x i, y i ) = 0 lo cual sucede si y solo si x i = y i por cada i En otras palabras, x = y 3 Por cada i N tenemos luego lo que implica d i (x i, z i ) d i (x i, y i ) + d i (z i, y i ), 2 i d i (x i, z i ) 2 i d i (x i, y i ) + 2 i d i (z i, y i ), d(x, z) d(x, y) + d(y, z) Notemos además que d es una métrica acotada d(x, y) 1 2 i = 2 G RUBIANO i=0 Veamos ahora que la topología generada por esta métrica es la topología producto Primero veamos que la topología generada está contenida en la producto Sea Bε d (x) un elemento de la base Escojamos p 1 lo suficientemente grande para satisfacer i=p 2 i < ε/2 Para cada i N definimos una bola abierta B εi (x i ) X i de la siguiente manera: si i {0, 1, 2,, p 1} entonces ε i = ε/4; y si i p, tomamos B εi (x i ) = X i El conjunto V = B ε0 (x 0 ) B ε1 (x 1 ) B εp 1 (x p 1 ) X p X p+1 es un abierto de la topología producto que contiene al punto x Además

136 126 La topología producto V B d ε (x) pues dado y V d(x, y) = i 0 2 i d i (x i, y i ) p 1 2 i d i (x i, y i ) + i=0 i p p 1 G RUBIANO 2 i < 2 i ε i i=0 i p ( ε 2 + 4) 2 i < ε 2 + ε 2 = ε i p Para la otra inclusión, consideremos un abierto básico de la topología producto U = n N U n y un punto x U U n = X n excepto para finitos índices n 1, n 2,, n k donde U ni = B d n i ε i (x ni ) X ni Para ε = mín{ε 1 /2,, ε k /2 k } la bola B d ε (x) U, pues si y es tal que d(y, x) < ε entonces d i (x i, y i ) < 2 i ε ε i para cada i = 1, 2,, k y esto implica y ni B d n i ε i (x ni ) para cada i = 1,, k; luego y U Corolario 89 Para cada n N sea I n = [0, 1] El producto n N I n = I N llamado el cubo de Hilbert es metrizable Otra presentación del cubo de Hilbert es mostrarlo como el producto de intervalos cerrados n N [ 1 n, 1 ] n EJEMPLO 85 Para X i = ({0, 1}, discreta), (i R) el espacio i R X i no es metrizable Muestre que este espacio producto no es 1 contable, verificando que no existe una base local contable en 0 = (x i ), donde x i = 0 para cada i

137 86 Continuidad para el producto Continuidad para el producto Dada una función f : X i I Y i, usualmente f se nota f = (f i ) por medio de las funciones coordenadas f i = p i f : X i I Y i Y i La estrecha relación entre la continuidad de f y la de las f i resulta de la siguiente proposición Proposición 810 f : X i I Y i es continua si y solo si las aplicaciones coordenadas f i son continuas Demostración ) Si f es continua, claramente lo son las f i = p i f para cada i I ) Si cada f i es continua, dado un abierto básico V = i I V i = i I p 1 i (V i ) Y tenemos que cada fi 1 (V i ) es un abierto en X y por tanto, f 1 (V ) = f 1 ( i I p 1 i (V i )) = i I f i 1 (V i ) es también un abierto nótese que casi todos los fi 1 (V i ) son iguales a X excepto para finitos índices i Como es suficiente este criterio sobre los abiertos básicos, tenemos que f es continua Los espacios coordenados heredan en general muchas propiedades del espacio producto Por el teorema 82, heredan cualquier propiedad que sea invariante bajo sobreyecciones que sean continuas y abiertas Un problema más difícil e importante es deducir información acerca del espacio producto a partir de los espacios coordenados, como hemos visto en los teoremas anteriores La siguiente proposición nos dice aún más: cada espacio factor se puede sumergir en el espacio producto sin alterar su topología, de suerte que cualquier propiedad que se hereda a los subespacios de un espacio, también se hereda a los espacios coordenados cuando el espacio producto la posea G RUBIANO Proposición 811 Sea X = i I X i un espacio producto Dados a = (a i ) X y un índice i I, existe un subespacio X a i X tal que a X a i con X a i homeomorfo a X i Demostración Definimos Xi a := {(x i ) : x j = a j, si j i} Consideremos la función restricción p i X a i : Xi a X i Esta función es continua y biyectiva Resta ver que es abierta ejercicio

138 128 La topología producto EJEMPLO 86 Podemos identificar a R con el subespacio R {0} de R 2, etc Ejercicios 86 1 Sean {X i } i I y {Y i } i I familias de espacios y f i : X i Y i una función continua para cada i Entonces la función f = f i : X i Y i definida por f((x i )) = (f i (x i )) es continua 2 Si X i Y i para cada i I (homeomorfos) entonces X i Y i 3 Muestre el teorema 88 utilizando la métrica d((x n ), (y n )) = sup{ 1 n d n(x n, y n )} 4 Muestre que la proposición 810 junto con el hecho que las proyecciones son continuas caracteriza a la topología producto 87 Topologías al inicio y al final En esta sección generalizamos la construcción de las topologías producto y cociente respectivamente G RUBIANO 871 La topología inicial Dados un espacio (X, T) y A X, la topología de subespacio para A se puede definir como la mejor topología con menos abiertos que hace de la inclusión i : A X una función continua Similarmente, dada una familia de espacios topológicos {X i }, (i I), la topología producto para el conjunto i I X i fue definida como la mejor la solución más eficiente que hace cada una de las funciones proyección p i continua Si generalizamos el párrafo anterior, queremos que dada una familia de espacios {(X i, T i )} i I y un conjunto X junto con una colección de funciones G = {f i : X X i } i I, se pueda encontrar la mejor topología

139 87 Topologías al inicio y al final 129 f 1 X X 1 f 2 X 2 f i Figura 83: Objeto inicial inicial para X que haga continuas las funciones f i (la topología discreta es una solución, pero no es la mejor); esto es, la topología menos fina o más gruesa como se trata del dominio será la menor en el orden de inclusión, la que menos abiertos posea Lo que entonces queremos es que cada fi 1 (V i ) sea abierto cuando V i lo sea en X i ; esta topología inicial T G (notada T si no hacemos referencia a la familia) es la generada por la subbase G RUBIANO X 3 X 4 X i B = {f 1 (V i ) V i T i, i I} i T G también es conocida como la topología débil, inducida por la colección de funciones G La topología inicial nos sirve para caracterizar las funciones continuas que llegan a X; en efecto, tenemos el siguiente teorema Teorema 812 Sea (X, T) un espacio donde T es la topología inicial débil inducida por la familia G = {f i : X X i i I} Una función g : Y X donde Y es un espacio, es continua si y solo si la compuesta f i g : Y X Y i es continua para cada i I Demostración ) Si g es continua claramente también lo son las funciones compuestas f i g ) Sea U un abierto en X; podemos asumir que U sea un abierto de la subbase, esto es, U = fi 1 (V i ) para algún i I con V i abierto en X i Así g 1 (U) = g 1 (fi 1 (V i )) = (f i g) 1 (V i ) es abierto por hipótesis

140 130 La topología producto La anterior propiedad de la topología inicial de ninguna manera es circunstancial; por el contrario, se llama universal en el sentido que caracteriza la topología inicial Proposición 813 Sea X un conjunto y G = {f i : X (X i, T i )} i I una colección de funciones continuas Una topología H para X es igual a la topología inicial T = T G si y solo si H satisface las condiciones del teorema anterior propiedad universal Demostración ) Ya hemos demostrado que T satisface la propiedad universal ) Supongamos entonces que H también satisface la propiedad universal y veamos que H = T Al aplicar la propiedad de H para id X : (X, H) (X, T) tenemos que f i es una función continua f i = f i id X : (X, H) (X, T) (X i, T i ); luego, si cada f i es continua, T H por definición de T Para la otra contenencia tomemos la función id X : (X, T) (X, H) Como cada f i id X = f i es continua, por la propiedad de H tenemos que id X es continua, luego H T EJEMPLO 87 Sean (X, d) un espacio métrico y f : Y X una biyección La topología inicial para Y inducida por f se puede caracterizar como la topología inducida por la métrica d f : Y Y R donde d f (m, n) := d(f(m), f(n)) Para la demostración revise el teorema que muestra la metrizabilidad como un invariante topológico d f es conocida como la métrica inducida por f G RUBIANO Ejercicios 87 1 Sea X un conjunto y G = {f i : X (X i, T i )} i I una colección de funciones continuas a) Muestre que T G de la definición de topología débil hace cada f i continua y que en efecto es la mejor b) Una sucesión (x n ) n x en X si y solo si (f i (x n )) n f i (x) para cada i c) Muestre que F x si y solo si el filtro f i (F) f i (x)

141 87 Topologías al inicio y al final Muestre que f : (X, J) (Y, H) es continua si y solo si T G J 3 Dados (X, d) y a X, la función d a : X R definida como d a (x) = d(a, x) es continua Muestre que la topología inicial sobre X inducida por la colección {(d a )}, (a X) es la topología inducida por d 4 Dada una colección {(X, T i )} i I de topologías, cómo se puede expresar el ínf de estas topologías en términos de la topología inicial? 5 Para la función f : R R u, f(x) = x 2, cómo es la topología inicial? Sugerencia Los abiertos serán los abiertos en el sentido usual que además son simétricos con respecto al origen 872 La topología final X 1 X 2 X 3 X 4 G RUBIANO X i f 1 f 2 f i Figura 84: Objeto final X De manera dual a la subsección anterior, queremos que dado un conjunto X junto con una colección de funciones G = {f i : (X i, T i ) X} i I, se pueda encontrar la mejor topología final para X (la topología indiscreta {, X} es una solución, pero no es la mejor); esto es, la topología más fina o menos gruesa como se trata del codominio será la mayor en el orden de inclusión, la que más abiertos posea que garantice la continuidad de cada f i ; lo que queremos entonces es que el conjunto U sea abierto en X si para cada i se tiene que f 1 i (U) es abierto en X i

142 132 La topología producto Esta topología final T G se define como T G = {U X : fi 1 (U) T i, para cada i I} T G se conoce como la topología final inducida por la colección G La topología final nos sirve para caracterizar las funciones continuas que salen de X; en efecto, tenemos el siguiente teorema Teorema 814 Sea (X, T) un espacio donde T = T G es la topología final inducida por G = {f i : X i X} i I Una función g : (X, T) (Y, H) es continua si y sólo si g f i : (X i, T i ) (X, T G ) (Y, H) es continua para cada i I Demostración ) Si g es continua claramente también lo son las funciones compuestas g f i ya que T G hace cada f i continua ) Sea U un abierto en Y Como fi 1 (gi 1 (U)) = (g f i ) 1 (U) es abierto para cada i, entonces g 1 (U) es un abierto en X Ejercicios 87 1 Dado un conjunto X junto con una colección de funciones G = {f i : (X i, T i ) X} i I, muestre que: a) T G es una topología sobre X b) T G es la topología más fina sobre X que hace continua a cada una de las f i : X i X G RUBIANO c) Caracterice los cerrados en T G en términos de la colección G 2 Enuncie una proposición para las topologías finales que sea dual a la proposición 813

143 9 Posición de un punto respecto a un conjunto Con conceptos relativamente simples como los de abierto y continuidad, hemos podido crear una gran variedad de espacios topológicos y, a partir de estos, otros espacios teniendo en mente algunas construcciones conjuntistas Para continuar desarrollando nuevos espacios y poderlos analizar, es necesario que tengamos más herramientas En esta sección discutiremos otras maneras de dotar de una topología a un conjunto, entre ellas el operador de adherencia en el sentido de K Kuratowski También se podrían usar otros operadores como interior, exterior, frontera o derivado dado que cualquiera de ellos determina completamente la topología sobre el conjunto 91 Conjuntos cerrados y adherencia G RUBIANO Definición 91 Sean (X, T) un espacio y F X F se llama cerrado si su complemento F c es abierto EJEMPLO 91 En R u los intervalos cerrados [a, b] son conjuntos cerrados Por supuesto un conjunto no tiene por qué ser abierto o cerrado, por ejemplo, el subconjunto N en (R, cof initos) Tampoco estos adjetivos son excluyentes, pues en un espacio discreto todo conjunto es simultáneamente abierto y cerrado, i e, aberrado En (R, Sorgenfrey) los miembros de la base [a, b) son aberrados 133

144 134 Posición de un punto respecto a un conjunto EJEMPLO 92 En un espacio (X, T), a partir de las leyes de De Morgan podemos inferir: 1 y X son cerrados 2 Si {A i } i I es una colección de cerrados entonces i A i es cerrado 3 Si {A j } j J J finito es una colección de cerrados entonces j A j es cerrado El concepto de topología se puede introducir a partir del concepto de cerrado Dado un conjunto X y una familia C de subconjuntos cerrada para intersecciones arbitrarias y uniones finitas, definimos la topología T como la colección de todos los A c con A C Las funciones continuas se pueden caracterizar en términos de los conjuntos cerrados Proposición 92 Sean (X, T), (Y, H) espacios y f : X Y f es continua si y solo si la imagen inversa por f de un subconjunto cerrado de Y es un subconjunto cerrado de X Demostración Es inmediata, si recordamos que para cualquier U subconjunto de Y se tiene f 1 (U c ) = (f 1 (U)) c EJEMPLO 93 Los cerrados del subespacio A son las intersecciones de los cerrados de X con A Sean (X, T) un espacio y A X donde A hereda la topología de subespacio Un M A es cerrado en A si M = F c para un F abierto de A, esto es M = F c = (A U) c donde U es abierto de X; luego, M = A c U c y por tanto M A = (A c U c ) A = U c A con lo cual M = N A donde N = U c es cerrado de X G RUBIANO Definición 93 Sean (X, T) un espacio y A X Decimos que b X es un punto adherente o adherido a A, si b no puede ser separado del conjunto A por ninguna de sus vecindades Esto es, para toda V b se tiene V b A efectivamente b está adherido a A El conjunto de todos los puntos adherentes a A lo notamos A y lo llamamos adherencia de A, i e, A = {x : x es adherente a A}

145 91 Conjuntos cerrados y adherencia 135 Teorema 94 Sean (X, T) un espacio y A X A es el menor cerrado que contiene a A, i e, A = {F : F es cerrado y A F } Demostración Sea x {F : F es cerrado y A F } y veamos que x A Dada V x vecindad de x existe U abierto con x U V x Si V x A = entonces U A = luego A U c, así que U c es un cerrado que contiene a A y por hipótesis x U c, lo cual es una contradicción Así que V x A para toda V x En el otro sentido, sea x A Si x / {F F es cerrado y A F } existe F cerrado tal que A F y x / F Luego x F c con F c abierto y además F c A = lo cual contradice que x A Corolario 95 Sean (X, T) un espacio y A, B X Entonces 1 = 2 A A, para cada A X 3 A es cerrado 4 A = A si y solo si A es cerrado 5 A = A 6 Si A B entonces A B 7 A B = A B 8 A B A B G RUBIANO Demostración Se deja como ejercicio EJEMPLO 94 La propiedad 7 del corolario 95 no es verdad más allá del caso finito, aún en el caso de una unión enumerable Por ejemplo, si cada A n = { 1 n } entonces { } 1 n : n N = n A n n A n = {0} { } 1 n : n N, pues en R con la usual A = { 1 n : n N} tiene como punto adherente, a más de los del propio A, el punto 0

146 136 Posición de un punto respecto a un conjunto EJEMPLO 95 Si X es un espacio infinito con la topología de los cofinitos y A X entonces A = X si A es infinito EJEMPLO 96 La topología para R determina la adherencia de [0, 1] Por ejemplo, cofinitos o coenumerables satisfacen [0, 1] = R EJEMPLO 97 En (I I, lexi), la línea A sobre el x-eje, i e, A = {(x, y) : 0 x 1, y = 0}, tiene como puntos adherentes, a más del propio A, los que están en la línea de la parte superior del cuadrado excepto la esquina (1, 1), esto es, A = A {(x, y) : 0 x < 1, y = 1} EJEMPLO 98 G RUBIANO Figura 91: Adherencia en la topología del orden lexicográfico Sean T 1, T 2 dos topologías sobre un conjunto X con T 1 T 2 Para A X notemos por A i la clausura de A con respecto a T i Entonces A 2 A 1 En T 1 hay menos abiertos y por tanto menos cerrados que en T 2 Por esta razón, la intersección de todos los cerrados en T 1 que contienen a A no puede ser más pequeña que la intersección de todos los cerrados en T 2 que contienen a A

147 91 Conjuntos cerrados y adherencia 137 En los espacios métricos el concepto de punto adherente se puede caracterizar en términos de la distancia Proposición 96 Sean (X, d) un espacio métrico y A X Para x X, x A si y solo si d(x, A) = 0 Demostración ) Si x A entonces B 1/n (x) A para cada n N Luego d(x, A) < 1/n para cada n, i e, d(x, A) = 0 ) Sea d(x, A) = 0 Si existe V x con V x A =, entonces existe n N tal que B 1/n (x) V x estas bolas forman una base local y así B 1/n (x) A =, lo cual contradice d(x, A) = 0 Si el espacio es 1-contable, las sucesiones caracterizan la adherencia Proposición 97 (Lema de las sucesiones) Sean (X, T) un espacio 1 contable y A (X, T) x A si y solo si existe una sucesión (x n ), (n N) con x n A tal que x n x Demostración ) Si x A por cada n N tomamos x n con x n B n (x) A para {B 1, B 2, } una base local en x encajada! Es claro que la sucesión así definida satisface x n x ) Si existe una sucesión (x n ) en A con x n x, entonces dada cualquier vecindad V x tenemos V x A pues por la convergencia existen infinitos x n elementos de A con x n V x A EJEMPLO 99 Si el espacio no es 1-contable, la anterior caracterización de la adherencia no siempre es cierta Este es el caso para los números irracionales I si consideramos a (R, coenumerables) no es 1-contable I = R pero no existe una sucesión (x n ) en I con x n 2 G RUBIANO El siguiente ejemplo muestra la utilidad de la proposición 97 EJEMPLO 910 (R N, caja) no es metrizable ya que no se tiene el lema de las sucesiones En efecto, sea A = {(x n ) : x n > 0, n N} el conjunto de las sucesiones de términos positivos El punto 0 = (0) la sucesión constante a cero

148 138 Posición de un punto respecto a un conjunto pertenece a A, pero no existe una sucesión de sucesiones (x n ) con x n = (x m n ) m=i convergente a 0 El producto de intervalos U = ( x 1 1, x 1 1) ( x 2 2, x 2 2) ( x 3 3, x 3 3) K es una vecindad abierta del punto 0 pero no contiene ningún elemento de la sucesión 911 Operadores de clausura En 1922 el matemático polaco K Kuratowski 1 reconoció las propiedades que tenía la adherencia y las resumió en el siguiente operador llamado de clausura Para un conjunto X la adherencia es una función K : 2 X 2 X tal que para cada A X, K(A) := A con las siguientes propiedades: 1 K( ) = 2 A K(A) expansión 3 K(A B) = K(A) K(B) 4 K(K(A)) = K(A) idempotente Teorema 98 Cualquier función K : 2 X 2 X que satisfaga 1, 2, 3, 4 del párrafo anterior se llama un operador de clausura y determina una única topología sobre X, en la cual los conjuntos cerrados son los conjuntos para los cuales K(A) = A puntos fijos del operador G RUBIANO Demostración Definimos la colección T = {U X K(U c ) = U c } Verifiquemos que T es topología Por 1, 2 tenemos, X T 1 Kazimierz Kuratowski (Varsovia, ), matemático y lógico polaco La investigación de Kuratowski se basó en estructuras abstractas topológicas y métricas Junto con Alfred Tarski y Waclaw Sierpinski, construyó casi toda la teoría de los espacios polacos, así llamados en honor a estos tres matemáticos En teoría de grafos, hizo la caracterización de los grafos planares llamada teorema de Kuratowski

149 91 Conjuntos cerrados y adherencia 139 Dada {V i }, (i I) con V i T, veamos que i I V i está en T Nótese que A B implica K(A) K(B) y por tanto (( ) c ) ( ) K V i = K Vi c Vi c para cada i, i I i I con lo cual K ( i I V i c ) i I K(V i c) i I V i c y esto junto con la contenencia en 2 nos dice que K (( i I V ) c ) i = ( i I V i) c Si U, V T, veamos que su intersección es un abierto, es decir, su complemento es un punto fijo K ((U V ) c ) = K(U c V c ) = K(U c ) K(V c ) = U c V c = (U V ) c La unicidad de T es clara, pues la definición determina la unicidad de los cerrados, que son aquellos para los cuales F = K(F ) EJEMPLO 911 Sea X un conjunto con más de un elemento Dado p X definimos K(A) = A {p}, K( ) = K satisface los axiomas del teorema anterior Cómo es la topología generada? El siguiente teorema nos muestra que la continuidad se puede caracterizar en términos de la adherencia Teorema 99 Sean (X, T), (Y, H) espacios y f : X Y f es continua si y solo si para cada A X se tiene f(a) f(a) Si x es arbitrariamente cercano a A entonces f(x) lo es a f(a) G RUBIANO Demostración ) Sean A X, y f(a) Tomemos x A tal que y = f(x) Dada cualquier V y, existe V x tal que f(v x ) V y por la continuidad Como x A, sea p V x A, con lo cual f(p) f(v x A) f(v x ) f(a) V y f(a) y por tanto y f(a) ) Consideremos un cerrado C de Y y veamos que f 1 (C) es un cerrado Como f ( f 1 (C) ) f(f 1 (C)) C, al aplicar f 1 obtenemos f 1 (C) f 1 (C) y como C = C tenemos f 1 (C) f 1 (C), luego por las propiedades de la adherencia f 1 (C) = f 1 (C), con lo cual f 1 (C) es un cerrado, es decir f es continua

150 G RUBIANO 140 Posición de un punto respecto a un conjunto 912 La adherencia es productiva Teorema 910 Sean {(X i, T i )} i I una colección de espacios topológicos y A i X i, A i para cada i Entonces i I A i = i I A i Demostración Veamos que i I A i i I A i Sea x i I A i y V x una vecindad abierta del punto x = (x i ) Existe un abierto i I U i de la base de la topología producto con x i I U i V x Como x i A i tenemos U i A i para cada i y así V x i I A i ( i I U i ) ( i I A i ) = i I(U i A i ), luego x i I A i p 1 (A) p 2 (A) A Figura 92: A i I p i(a) Recíprocamente, como cada proyección p i es continua, p i ( i I A i ) p i ( i I A i ) = A i para cada i, luego i I A i i I A i pues si A i I X i entonces A i I p i(a) (ver fig 92)

151 91 Conjuntos cerrados y adherencia 141 Corolario 911 Sean {(X i, T i )} i I una colección de espacios topológicos y A i X i, A i para cada i Entonces A i es cerrado si y solo si cada A i es cerrado (91) i I Demostración ) Sea i I A i un cerrado en el espacio producto Como tenemos A i = A i para cada i i I A i = i I A i = i I ) Como cada A i = A i entonces, i I A i = i I A i = i I Ejercicios 91 1 Dada B ε (x) en R n u, quién es su adherencia? A i (92) A i (93) 2 Dada B ε (x) en un espacio métrico, muestre que su adherencia no siempre coincide con la bola cerrada 3 La adherencia se comporta respecto a los subespacios de la siguiente manera Si A B X entonces A como subespacio de B es igual a la intersección de A como subespacio de X con B, es decir A B = A X B G RUBIANO 4 Sean (R 2, verticales) y A = {(x, y) : x 2 + y 2 = 1, x 0, y 0} ver ejercicio 2 de 12 Calcule: a) A con respecto a S 1 b) A con respecto a R 2 Qué relación existe entre estos dos conjuntos?

152 142 Posición de un punto respecto a un conjunto 5 Muestre que en un espacio cualquiera el conjunto de puntos límites de una sucesión es cerrado 6 * Sean X un espacio y A X Muestre que x A si y solo si existe un filtro F en el espacio X con A F y F x 7 Una función f : X Y entre espacios topológicos es continua si y solo si para cada B Y se tiene f 1 (B) f 1 ( B ) 8 Una función f : X Y entre espacios topológicos es cerrada si y solo si para todo A X se tiene f(a) f ( A ) 9 Una función inyectiva f : X Y entre espacios es un homeomorfismo si y solo si para cada A X se tiene f ( A ) = f(a) 92 Puntos de acumulación Si A (X, T) es claro que todo punto que está en A es un punto adherido a A Pero cómo caracterizar aquellos puntos que están adheridos a A no solo por el hecho de pertenecer al conjunto? Estos son puntos donde el conjunto A se acumula en el sentido de la siguiente definición Definición 912 Sean (X, T) un espacio y A X Decimos que b X es un punto de acumulación de A (A se acumula en b) o que b es un punto límite del conjunto A, si para cualquier V b se tiene (V b {b}) A Es decir, cada vecindad del punto b contiene puntos de A diferentes de b mismo, i e, b A {b} G RUBIANO El conjunto de puntos de acumulación de A lo notamos A a y lo llamamos derivado de A, A a = {x x es un punto de acumulación de A} Claramente todo punto de acumulación de un conjunto es un punto adherente del conjunto Teorema 913 Si (X, T) es un espacio y A X entonces A = A A a

153 92 Puntos de acumulación 143 Demostración Veamos que A A a A Si x / A, existe V x tal que V x A =, es decir x / A y x / A a Para la otra contenencia sea x tal que x / A A a ; luego existe V x con (V x {x}) A =, y como x / A podemos concluir que V x A =, con lo cual x / A Corolario 914 Sean (X, T) un espacio A X A es cerrado si y solo si A a A Demostración A = A = A A a, lo que implica A a A EJEMPLO En el subespacio A = (0, 2] {3} R u se tiene que 3 / A a aunque esté en A, mientras 0 A a aunque no esté en A 2 En el ejemplo anterior 3 A A a es un punto aislado de su comunidad 3 En (X, 2 X ) se tiene X a = 4 En un espacio X el conjunto {a} es abierto si y solo si a / X a 5 En general A a no es conjunto cerrado Para X = {x, y, z}, T = {, X, {x, y}, {z}} y A = {x} tenemos A a = {y} Aunque A a no siempre es cerrado, en los espacios de Hausdorff si lo podemos garantizar Proposición 915 Si (X, T) es un espacio de Hausdorff, entonces A a es cerrado para todo A subconjunto de X G RUBIANO Demostración De acuerdo con el corolario 914 veamos que (A a ) a A a Sean x (A a ) a y V x vecindad de x No hay pérdida de generalidad si tomamos V x como abierta, ya que si no lo es, existe U x abierto con U x V x y trabajamos con este U x Sea y (V x {x}) A a, luego y x con y A a Por tanto, V x que es vecindad tanto de x como de y satisface (V x y) A por estar y A a De otra parte, U y = (V x {x}) es un abierto que contiene a y puesto que {x} es cerrado Luego ((V x {x}) {y}) A, y por tanto podemos tomar z (U x {y}) A; claramente z (V x {x}) A con lo que x A a

154 144 Posición de un punto respecto a un conjunto Las funciones continuas e inyectivas respetan los puntos de acumulación Proposición 916 Sean (X, T), (Y, H) espacios y f : X Y continua e inyectiva Si A X y x A a entonces f(x) f(a) a f(a a ) f(a) a Demostración Sea x A a y veamos que f(x) f(a) a Como f es continua, dada V f(x) existe un abierto U x con f(u x ) V f(x) Luego f(u x {x}) V f(x) {f(x)} ya que f es 1-1 y no puede existir otro punto distinto de x cuya imagen sea f(x) Por tanto f((u x {x}) A) f(u x {x}) f(a) (V f(x) {f(x)}) f(a) con lo cual f(x) f(a) a 921 Puntos aislados Como A a A, qué podemos decir de los puntos en el otro espectro, es decir, los puntos que están en A A a? Estos son puntos x de A para los cuales existe una V x que no contiene puntos de A diferentes de x mismo puntos aislados Definición 917 Sean (X, T) un espacio y A X Decimos que b X es un punto aislado de A si existe una vecindad V b en X para la cual V b A {b} Es decir, existe una vecindad del punto b que no contiene puntos de A diferentes de b mismo EJEMPLO 913 En R u consideremos: G RUBIANO 1 El subconjunto Z Si n Z entonces {n} = Z (n 1 2, n ) Por tanto la topología de subespacio para Z es la discreta 2 Los subconjuntos P = {1/n n N} y P = P {0} Como cada punto en P es aislado, el subespacio es discreto; mientras que, al agregarle un punto y obtener P, el nuevo subespacio tiene al punto 0 como punto de acumulación, con lo cual deja de ser un espacio discreto

155 92 Puntos de acumulación 145 Proposición 918 Dado (X, T) un espacio y A X (A, T A ) es discreto si y solo si cada punto de A es aislado Demostración En el subespacio (A, T A ) un punto a A es aislado si y solo si {a} es abierto en la topología del subespacio Ejercicios 92 1 Si (X, T) es un espacio y A, B X, muestre que el conjunto derivado posee las siguientes propiedades: a) Si A B entonces A a B a b) (A) a = A a para A X c) (A B) a = A a B a para A, B X d) i I Aa i ( i I A i) a, A i X 2 En contraposición a la clausura, el segundo conjunto derivado no tiene por qué ser igual al original Dé un ejemplo donde A aa A a 3 Demuestre el teorema 915 con la condición que el espacio sea T 1 a cambio de T 2 4 Sea R con la topología generada por la base formada por las colas (a, ) Muestre que {0} a no es cerrado 5 Sea f : X Y una función uno a uno entre espacios topológicos; f es continua si y solo si f(a a ) f(a) a para todo A X G RUBIANO 6 Sea f : X Y una función entre espacios f es un homeomorfismo si y solo si f(a a ) = f(a) a para todo A X 7 Muestre que el conjunto de puntos de acumulación de una unión de conjuntos no es necesariamente la unión de puntos de acumulación de cada uno de los conjuntos 8 Sean (X, T) un espacio de Hausdorff y A X x A a si y solo si cada V x contiene infinitos puntos de A 9 Sean A (X, T) y Ais(A) su conjunto de puntos aislados Se tiene entonces que:

156 146 Posición de un punto respecto a un conjunto a) Ais(A) A a = b) Ais(A) A a = A c) Ais ( A ) Ais(A) d) Ais(A) = si y solo si A A a 10 * El filtro de las vecindades V x es un ultrafiltro si y solo si el punto x es un punto aislado de X 93 Interior exterior frontera Definición 919 Sean (X, T) un espacio y A X Decimos que b X es un punto interior de A si existe U X abierto tal que b U A Al conjunto de puntos interiores de A lo llamamos el interior de A y lo notamos A A = {x : x es interior a A} Proposición 920 Sean (X, T) un espacio y A X A es el mayor abierto contenido en A Demostración Veamos que A = A donde la familia A = {U i X : U i A y U i es abierto} G RUBIANO Si x A, existe un abierto U x con x U x A con lo cual U x A y así x A Si x A existe i para el cual x U i A y por tanto x A Corolario 921 Sean (X, T) un espacio y A X A X es abierto si y solo si A = A Demostración Es equivalente a decir que A es abierto si y solo si A es vecindad de cada uno de sus puntos Las propiedades del interior se describen en la siguiente proposición, la cual resume lo que llamamos un operador de interior

157 93 Interior exterior frontera 147 Proposición 922 Si (X, T) es un espacio y A, B X entonces 1 A A 2 (A B) = A B 3 (A ) = A 4 X = X 5 A B (A B) Demostración Se deja como ejercicio Cualquier operador I : 2 X 2 X que satisface las propiedades de la anterior proposición genera una topología G sobre X definida por G = {A X : I(A) = A} y para esta topología I(A) = A Dual al concepto de punto interior está el concepto de punto exterior Definición 923 Sean (X, T) un espacio, A X y b X Decimos que b es un punto exterior a A si existe una vecindad V b tal que V b A c El conjunto de los puntos exteriores a A se llama exterior de A y lo notamos Ext(A): Ext(A) = {x x es exterior a A} Nótese que Ext(A) es el interior de A c Un punto que no pertenece al interior ni al exterior de un conjunto se llama punto frontera Definición 924 Dados A (X, T) y b X decimos que b es un punto frontera de A si para toda V b se tiene V b A = V b A c G RUBIANO El conjunto de los puntos frontera de A lo notamos F r(a): F r(a) := {x x es un punto frontera para A} Un subconjunto A de un espacio genera una partición sobre el espacio de la siguiente manera

158 148 Posición de un punto respecto a un conjunto Proposición 925 Sean (X, T) un espacio y A X X es la unión disyunta X = A F r(a) Ext(A) Demostración Las definiciones son excluyentes EJEMPLO 914 Para Q como subconjunto de R u se tiene Q =, Ext(Q) =, F r(q) = R Cómo es la partición si tomamos a (R, cofinitos)? Ejercicios 93 1 Continuidad en términos del interior Una función f : X Y es continua si y solo si f 1 (B ) (f 1 (B)) para cada B Y 2 Muestre que: a) A = Ext(A) c b) A = (X M) c) A = X (X A) d) F r(a) = A A c e) F r(a) = F r(a c ) f ) F r(a) F r(a) G RUBIANO g) F r ( A ) F r(a) h) F r(a B) F r(a) F r(b) i) F r(a) = {x x / A y x / (A c ) } = ( A (A c ) ) c 3 Muestre que: a) A es abierto si y solo si A F r(a) = b) A es cerrado si y solo si F r(a) A c) A es aberrado si y solo si F r(a) = 4 Continuidad en términos de la frontera La función f : X Y es continua si y solo si F r(f 1 (B)) f 1 (F r(b)) para cada B Y

159 94 Subconjuntos densos Para (R 2, verticales) y (R 2, lexicográfico) cómo es la adherencia, interior, frontera y exterior de los siguientes conjuntos? a) {(0, 0)} b) {(x, y) : x 2 + y 2 < 1} c) S 1 d) {(x, y) y > 0} e) {(x, y) x > 0} f ) {(0, y) y > 0} g) R {0} h) {0} R 6 Si (X, T) es un espacio y A, B X entonces A B = (A B) Qué sucede si el conjunto de índices es arbitrario? 7 Muestre que Cl Int Cl Int A = Cl Int A, i e, ( A ) =A 8 Problema de Kuratowski, 1922 Dado un subconjunto A de un espacio, existen a lo más 14 conjuntos diferentes que pueden ser construidos aplicando cualquier permutación de la clausura, el interior y el complemento sobre A Sugerencia: recurra a la literatura Muestre que en R u el conjunto A = [0, 1] (2, 3) [(4, 5) Q] [(6, 8) {7}] {9} satisface el problema 9 Si (X, T) es un espacio y A X, muestre que la función característica Ξ A : X R u es continua en el punto x si y solo si x / F r(a) G RUBIANO 94 Subconjuntos densos Un subconjunto A que está por todas partes del espacio (X, T) merece un nombre especial Definición 926 Sean (X, T) un espacio y A, B X A se llama denso en B si B A Si A es denso en X, i e, A = X, lo llamamos denso en toda parte o simplemente denso no hacemos referencia a ningún subconjunto En otras palabras, A es denso si para cualquier V x de cualquier x X tenemos V x A

160 150 Posición de un punto respecto a un conjunto EJEMPLO 915 Los números irracionales I son densos en R con la topología usual EJEMPLO 916 Un espacio X es discreto si y solo si tiene un único subconjunto denso ) Si el espacio es discreto, cada subconjunto es cerrado y por tanto el único denso es X ) Si X no fuera discreto, existe un punto x tal que {x} no es abierto, y por tanto X {x} es denso Si el conjunto denso no es muy grande, el espacio merece un adjetivo Definición 927 Sea (X, T) un espacio Decimos que X es separable si existe A X enumerable y denso EJEMPLO 917 Cada R n es separable basta considerar a Q n Proposición 928 Si X es 2-contable entonces X es separable Demostración Sea B = {B 1, B 2, } una base enumerable Por cada B n tomamos un x n B n y formamos el conjunto D = {x 1, x 2, } D es denso, pues dado cualquier abierto U, por ser B una base, existe B i con x i B i U G RUBIANO El recíproco de la proposición anterior no es cierto en general como se muestra en el siguiente ejemplo; pero en el caso de los espacios métricos sí se tiene la equivalencia entre los conceptos 2 contable y separable EJEMPLO 918 (R, cofinitos) es un espacio separable pues N = R, pero ya sabemos que (R, cof initos) no es 2-contable (R, coenumerables) no es separable Si D R fuera denso y enumerable, entonces R D es abierto, y por tanto para x R D se tiene que x / D

161 94 Subconjuntos densos 151 Proposición 929 Si (X, d) es un espacio métrico y separable, entonces es 2-contable Demostración Sea D = {d 1, d 2, } un subconjunto denso en X La colección B = {B 1 (d m ) : m, n N} es una base enumerable para la n topología generada por d Dado un abierto U y x U existe B ε (x) U Sea d m D con d m B ε (x) La bola B ε (d m) satisface 4 2 x B ε (d m) B 2 ε (x) U pues si t B ε (d m) entonces d(t, x) d(t, d 2 m ) + d(d m, x) ε 2 + ε 4 La utilidad de la equivalencia de estos dos conceptos en los espacios metrizables se muestra en el siguiente ejemplo EJEMPLO 919 (R, [a, b)) no es metrizable, ya que es separable pero no es 2-contable EJEMPLO 920 La propiedad de separabilidad no es hereditaria (no se hereda a los subespacios); por ejemplo, en R 2 la siguiente colección B de cuadrados semiabiertos forma una base B = {[a, b) [c, d) a < b, c < d, a, b, c, d R} Un abierto básico para la topología generada tiene la forma descrita por la figura 93 Esta topología, conocida como topología de Sorgenfrey, es separable pues Q Q = R R El subconjunto formado por la recta diagonal G RUBIANO L = {(x, x) : x R} es un subconjunto cerrado pues su complemento es abierto La topología de subespacio es la discreta y, por lo tanto, L no es separable Notemos que el cubrimiento abierto de R 2 {R 2 L} {[ a, 1) [a, 1) : a R} no se puede reducir a uno enumerable y por tanto el espacio no es de Lindeloff

162 152 Posición de un punto respecto a un conjunto y Figura 93: Un abierto en la topología de Sorgenfrey En caso que el subespacio sea abierto la separabilidad sí se hereda Proposición 930 Sean (X, T) un espacio separable y A X con A abierto El subespacio (A, T A ) es separable Demostración Si D es denso y contable en X, D A lo es en T A La propiedad de separabilidad es productiva para una cantidad enumerable de factores Teorema 931 Si {(X n, T n )}, (n N) es una colección de espacios separables, el espacio producto n N X n es separable G RUBIANO Demostración Sea D n un subconjunto denso en X n, D n = {x n 0, xn 1, } Consideremos el conjunto M de todos los subconjuntos finitos de N M es un conjunto contable Para cada K M definimos x S K = {f f : K N} S K es enumerable y por tanto F := K M S K es también enumerable Dada f F definimos x f n N X n como { x n f(n), si n está en el dominio de f, x f (n) = x f (n) = x n o si n no está en el dominio de f

163 94 Subconjuntos densos 153 Sea U = U n1 U nj i n j X n un abierto básico Por cada n i escogemos m i tal que x n i m i U ni (densidad de D ni ) Para f definida como f(n i ) = m i, (i = 1,, k) se tiene que x f U Luego D := {x f : f F } es denso EJEMPLO 921 El producto arbitrario de espacios separables no siempre es separable Para cada i sea X i = ({0, 1}, discreta) donde I = 2 R es el conjunto de índices Veamos que el producto X = {0, 1} 2R = i I X i con la topología producto no es separable Supongamos que existe D X denso y enumerable Por cada índice i I consideramos el subconjunto D i := D p 1 i (1) Para cada i j se verifica que D i D j Esto define una función inyectiva h : I 2 D dada por h(i) := D i ; con lo cual el cardinal de I resulta menor o igual que el cardinal de 2 D Por supuesto, la separabilidad es un invariante topológico Teorema 932 La separabilidad es un invariante topológico G RUBIANO Demostración Sean f : (X, T) (Y, H) un homeomorfismo, D X denso y enumerable; veamos que f(d) es denso en Y Dado V H, para f 1 (V ) existe d D con d f 1 (V ) y así f(d) V solo utilizamos que f es continua y sobre Concluimos esta sección con un teorema de unicidad, en el sentido que solo hay una manera de extender una función continua a todo el espacio una vez esté definida sobre un subconjunto denso Teorema 933 Sean f, g : (X, T) (Y, H) continuas, donde Y es de Hausdorff Si f(x) = g(x) para cada x D, D denso en X, entonces f = g

164 154 Posición de un punto respecto a un conjunto Demostración Si f g sea z X para el cual f(z) g(z) Tomamos dos abiertos disyuntos U, V vecindades de f(z) y g(z) respectivamente Como z f 1 (U) g 1 (V ), que es un abierto que no corta a D, tendríamos que z / D, lo cual contradice la densidad de D EJEMPLO 922 Ser 2 contable tiene consecuencias interesantes Por ejemplo, si (X, T) es 2 contable y de Hausdorff, la cantidad de abiertos en X puede ser acotada; en efecto, el cardinal de T es a lo más el cardinal del continuo 2 ℵ 0 Como cada U T es unión de elementos de la base, hay tantos abiertos como uniones de elementos en la base enumerable; esto es, tantos como subconjuntos de un conjunto enumerable También podemos acotar el número de elementos en X Como X es de Hausdorff, la función f : X T con f(x) := X {p} es inyectiva y por tanto el cardinal del dominio es menor o igual al cardinal del codominio EJEMPLO 923 Si debilitamos aún más las hipótesis sobre los espacios del ejemplo anterior, es decir, exigimos que (X, T) sea 1 contable, separable y Hausdorff, 2 ℵ 0 = 2 ω es todavía una cota para la cardinalidad de X Como X es separable, sea S un subconjunto denso y contable de X Como X es 1-contable, para cada p X construimos una sucesión (s p ) en S que converge a p Entonces, para p q, el ser de Hausdorff implica (s p ) (s q ) El número de tales sucesiones es a lo más S N = ω ω = 2 ω, con lo cual #(X) 2 ω G RUBIANO El argumento anterior muestra que en un espacio X de Hausdorff, 1- contable y con un subconjunto denso de cardinalidad menor o igual a 2 ω, el conjunto X tiene cardinalidad menor o igual a 2 ω puesto que #(c N ) = c Dado que #(X) 2 ω y X es 1 contable, X tiene una base la unión de todas las bases locales de cardinalidad menor o igual a N 2 ω = #(N) c = c = 2 ω

165 94 Subconjuntos densos 155 Luego el número de conjuntos abiertos en X es a lo más 2 2ω Además, 2 2ω es la mejor cota sobre el número de conjuntos abiertos para estos espacios Por ejemplo R 2 con la topología de Sorgenfrey (ver ej 920) Si solo asumimos que (X, T) es un espacio de Hausdorff y separable, la mejor cota para la cardinalidad de X es 2 2ω y la mejor cota para el número de abiertos en X es 2 22ω De otra parte, 2 ω es una cota para el número de funciones continuas de X en R En efecto, sea S un subconjunto denso y contable de X El número de funciones de S en R es a lo más (2 ω ) ω = 2 ω Si f, g son funciones continuas de X en R, que coinciden sobre S, entonces f = g El hecho de que X sea de Hausdorff no se usa en este argumento Ejercicios 94 1 Muestre que A X es denso si y solo si A intercepta a todo abierto no vacío de X 2 Sean A, B subconjuntos densos en X, Y respectivamente Muestre que A B es denso en X Y 3 Muestre que C([0, 1]) con la topología d del sup es separable Sugerencia: Teorema de aproximación de Weierstrass 1885 Los polinomios con coeficientes racionales forman un conjunto denso 4 Muestre que en el espacio X + = X {ω} generalizado de Arens- Fort ejercicio 4 de 53 pág 94 X es denso en X + G RUBIANO 5 Para el caso de R + = R {ω} con el filtro de Frèchet, este espacio no es separable pero sí es de Lindeloff 6 Muestre que en (X, T p ) cada abierto no vacío es denso 7 En (X, T p ) qué subconjuntos son densos? 8 Dado un espacio (X, T), decimos que M X es diseminado o denso en ninguna parte si (M) = a) Muestre que Z es diseminado en (R, usual) En (R, cofinitos)? b) M es diseminado si y solo si (M) c es denso 9 Muestre que (I I, lexi) no es separable

166 10 Compacidad Iniciamos este capítulo recordando el célebre teorema del cálculo conocido con el nombre de Heine-Borel-Lebesgue 1 el cual resalta una propiedad importante (si no la más) de los intervalos cerrados y acotados de R que permite restringir el estudio de los cubrimientos abiertos de estos intervalos a cubrimientos finitos; esto es, tenemos una condición sobre el cardinal Definición 101 Dados un espacio (X, T) y A X decimos que una colección U = {U i } i I de abiertos (cerrados) de X es un cubrimiento abierto (cerrado) de A si A U = i I U i Si existe J I tal que {U j }, (j J) es también cubrimiento de A, a la familia {U j } j J la llamamos un subcubrimiento de U Teorema 102 (Heine-Borel-Lebesgue) Un intervalo [a, b] R tiene la propiedad que cada cubrimiento abierto U de [a, b] admite un subcubrimiento finito G RUBIANO Demostración Consideremos a [a, b] con la topología usual inducida de R y sea U un cubrimiento abierto de [a, b] Definimos M = {x b : [a, x] está contenido en un subcubrimiento finito de U} 1 Introducido por el matemático alemán Heinrich Heine (Berlín 1821-Halle 1881) en 1872 (quien también formuló el concepto de la continuidad uniforme), modificado por el matemático y político francés Félix Borel (Saint-Affrique 1871-París 1956) en 1894 y por Henri Léon Lebesgue (Beauvais 1875-París 1941), matemático francés que formuló la teoría de la medida en

167 101 Espacios compactos 157 M es no vacío y está acotado superiormente por b Así, M admite una mínima cota superior s Veamos que s M y s = b Sea U un elemento de U que contiene a s Como U es abierto, existe ε > 0 tal que (s ε, s] U si s = b o para s < b tendríamos (s ε, s + ε) U y por ser s un sup existe δ > 0 tal que δ < ε y s δ M Luego el intervalo [a, s δ] está contenido en la unión de un subcubrimiento finito de U, llamémoslo M Por tanto M {U} es un recubrimiento finito de [a, s], es decir s M Si s fuese menor que b entonces ( M) U contendría a [a, s + ε] y contradice que s es sup de M Esta propiedad de los intervalos cerrados y acotados de R la generalizamos a los espacios topológicos y con la siguiente definición 2 le damos nombre 101 Espacios compactos Definición 103 Un espacio (X, T) se dice compacto si cada cubrimiento abierto de X admite un subcubrimiento finito A X es compacto si A como subespacio de X es compacto; i e, dado un cubrimiento abierto A i I V i A = i I (V i A) es reunión de abiertos del subespacio, existe una subfamilia finita V i1, V i2,, V ik tal que A k i=1 V i k ; esto implica A = n k=1 (V i k A) La siguiente visualización de la compacidad s debe a John D Baum: G RUBIANO Supongamos que una gran multitud de personas posiblemente infinitas están afuera bajo la lluvia, y que cada una de estas personas usa su sombrilla, claramente ellas permanecerán sin mojarse Pero por supuesto es posible que ellas estén juntas de manera tan compacta, que no sea necesario sino que un número finito de ellas abran sus sombrillas y todavía permanezcan sin mojarse En este caso pensamos que ellas forman una especie de espacio compacto 2 Fue introducida en 1923 con el nombre inicial de bicompacto y de manera independiente por el gran topólogo ruso Pavel Alexandroff ( Moscú) y por el matemático ucraniano Pavel Urysohn (Odessa, Ucrania 1898 Francia 1924)

168 158 Compacidad EJEMPLO Si X es un conjunto finito toda topología es compacta K 2 (R, cofinitos) es compacto pues dado un cubrimiento abierto U, tomemos U U; como U c es finito necesitamos adjuntarle a U tan solo finitos miembros de U para obtener un subcubrimiento abierto 3 R u no es compacto pues el cubrimiento abierto formado por la colección (n 1, n + 1) para n Z no tiene un subcubrimiento finito 4 Para un conjunto infinito X y a X, (X, T a ) es compacta mientras (X, T a ) no lo es EJEMPLO 102 La compacidad no se hereda Por ejemplo, el intervalo (0, 1) [0, 1] no es compacto pues {(0, 1 1/n)} n N es un cubrimiento abierto de (0, 1) que no se puede reducir a un subcubrimiento finito En caso que el subespacio sea cerrado, la compacidad si es hereditaria Teorema 104 Sean (X, T) un espacio compacto y A X un cerrado, entonces A es compacto Demostración Sea U una familia de abiertos de X tal que A U Si añadimos a U el conjunto A c obtenemos un cubrimiento abierto de X Luego existen U 1,, U n en U tales que X = U 1 U 2 U n A c y por tanto A U 1 U 2 U n G RUBIANO EJEMPLO 103 En (R, [a, b)) el subespacio [0, 1] no es compacto, pues [0, 1) no lo es y es un cerrado en [0, 1] La compacidad es un invariante topológico; más aún, es preservada por las funciones continuas y esta es otra manera de mostrar si un espacio es compacto: viéndolo como una imagen continua de un compacto

169 101 Espacios compactos 159 Teorema 105 Sea f : (X, T) (Y, H) sobre y continua Si X es compacto entonces Y es compacto Demostración Sea U un cubrimiento abierto de Y La familia f 1 (U) = {f 1 (U) : U U} es un cubrimiento abierto de X Como X es compacto, existe un subcubrimiento {f 1 (U 1 ),, f 1 (U n )} de f 1 (U) y por ser f sobre tenemos f(f 1 (U k )) = U k para 1 k n Así, Y = f(x) = U 1 U n y por tanto U admite un subcubrimiento finito Corolario 106 No existe f : [0, 1] (0, 1) continua que sea sobreyectiva Por tanto estos espacios no pueden ser homeomorfos Los subconjuntos compactos de un espacio de Hausdorff tienen propiedades deseables, que pueden faltarles a los espacios compactos en general Esta es una razón para que algunos autores llamen compacto a lo que nosotros hemos definido, exigiendo además que el espacio sea de Hausdorff bicompactos para la antigua escuela rusa y aun para la escuela Bourbaki Una de estas propiedades es que ellos se pueden separar de los puntos que no contienen A a x G RUBIANO U x a U a x Figura 101: Los compactos en un espacio de Hausdorff son cerrados Teorema 107 Sean (X, T) un espacio de Hausdorff y A un subespacio compacto de X Dado x X con x / A, existen vecindades disyuntas V x, V A de x y de A respectivamente En particular esto implica que A es cerrado

170 160 Compacidad K Demostración Sea a A Como X es de Hausdorff, existen abiertos disyuntos Ua x, Ux a de a, x respectivamente Cuando a varía en A, obtenemos un cubrimiento de A dado por U = {Ua x a A} y de él extraemos un subcubrimiento finito {Ua x 1,, Ua x n } Si U x = n U x ( n i=1 U a x i ) = y además A n i=1 U a x i i=1 U a i x entonces El hecho de que una función continua f sea una biyección asegura la existencia de su inversa, pero no la continuidad de esta última, i e, no podemos tener la certeza de que f sea una función abierta El teorema 108 muestra que bajo ciertas circunstancias, como en el caso de los espacios compactos, todas las biyecciones continuas son funciones abiertas En general compacidad y Hausdorff son una buena combinación, de hecho forman una propiedad óptima (realmente minimal, ejercicio 18) Una topología que es más fina que una topología de Hausdorff es de Hausdorff, mientras que una topología que es más gruesa que una topología compacta es a su vez compacta Teorema 108 Sean (X, T), (Y, H) espacios con X compacto y Y de Hausdorff Si f : X Y es una biyección continua entonces f es un homeomorfismo Demostración Solo nos resta verificar que f 1 es continua, i e, f es cerrada Si C en un cerrado de X entonces C es compacto y por tanto f(c) es compacto en Y, y como Y es Hausdorff, f(c) es además cerrado EJEMPLO 104 G RUBIANO Un camino sobreyectivo f : [0, 1] [0, 1] [0, 1] Estos caminos existen 3 aunque la intuición nos falle y se construyen mediante un proceso iterativo como en la figura 102 no puede ser inyectivo, ie, el camino pasa dos veces por el mismo punto, pues de lo contrario sería una biyección y por el teorema anterior un homeomorfismo, y ya sabemos que estos espacios no son homeomorfos 3 Fue el matemático italiano Giuseppe Peano (Spinetta 1858 Turín 1932) el primero en descubrir una de ellas, y se llaman desde entonces curvas de Peano La famosa curva de Peano que llena el espacio apareció en 1890 como un contraejemplo que usó para mostrar que una curva continua no puede ser encerrada en una región arbitrariamente pequeña Este fue un ejemplo temprano de lo que se conoce como fractal

171 101 Espacios compactos 161 Figura 102: Construcción de una curva de Peano Ejercicios Sean (X, T), (Y, H) espacios con X compacto y Y de Hausdorff Si f : X Y es continua entonces f(a) = f(a) para todo A X 2 Es la intersección de espacios compactos un compacto? Sugerencia: considere el espacio producto Grafique los subespacios X = (R, usual) ({0, 1}, grosera) a) A = [a, b] {0} (a, b) {1}, b) B = (a, b) {0} [a, b] {1} G RUBIANO Como cada abierto que contiene al punto (a, 0) contiene al punto (a, 1), entonces A y B son compactos Pero A B = (a, b) {0, 1} no es un compacto ya que el intervalo (a, b) no lo es 3 Es la unión de espacios compactos un compacto? 4 Muestre que ([0, 1), usual) no es compacto 5 Considere a (0, 1) con la base {(0, 1/n)} n N Quién es la adherencia de (0, 1/2)? Es (0, 1/2) compacto? 6 Muestre que en un espacio de Hausdorff, A es compacta si A lo es

172 162 Compacidad 7 Sea (X, T) un espacio 1-contable X es de Hausdorff si y solo si cada subconjunto compacto es cerrado 8 Sea X = ([0, 1), usual) Muestre que la función e : X S 1 definida por e(t) = (cos 2πt, sen 2πt) la restricción de la función exponencial es una biyección continua que no es un homeomorfismo 9 Muestre que el conjunto [0, 1] [0, 1] como subespacio de (R 2, lexico) no es compacto 10 Sea (X, ) un conjunto parcialmente ordenado con un primer elemento y dotado con la topología de colas x a derecha (filtros de orden principales) Muestre que X es compacto 11 Sea (X, ) un conjunto totalmente ordenado La topología del orden es compacta si y solo si X es un retículo completo Revise la demostración del teorema Muestre que un espacio discreto es compacto si y solo si es finito 13 Sean T 1, T 2 dos topologías para X Muestre que si T 1 es compacta y T 2 T 1 entonces T 2 es compacta 14 Regularidad compacidad local Muestre que en un espacio Hausdorff y compacto, dado x X y cualquier vecindad V x, existe una vecindad abierta U x tal que U x U x V x 15 No abundan los compactos Si (X, T) es de Hausdorff y todos los subconjuntos de X son compactos entonces la topología es discreta 16 Sea (X, T) un espacio La familia G RUBIANO G compacto := {U G : U c es compacto} { } es una topología compacta para X 17 Muestre que en un espacio métrico todo subconjunto compacto es cerrado y acotado Se tiene la recíproca? 18 Muestre que compacto Hausdorff es una propiedad minimal: si X es compacto y de Hausdorff con respecto a una topología T, entonces cualquier otra topología que sea estrictamente más fina que T es de Hausdorff pero no compacta, mientras que toda otra topología más gruesa que T es compacta pero no de Hausdorff Sugerencia: aplique el teorema 108 a la función idéntica de X

173 102 Dos caracterizaciones de la compacidad Dos caracterizaciones de la compacidad 1021 Compacidad vía cerrados Sean X un conjunto y A = {A i } i I, una familia de subconjuntos de X A tiene la propiedad de la intersección finita PIF si la intersección de cualquier subfamilia finita de A es no vacía, i e, si para todo J I finito se tiene j J A j El siguiente teorema da una caracterización de la compacidad en términos de los subconjuntos cerrados del espacio Teorema 109 Un espacio (X, T) es compacto si y solo si cada colección C = {C i } i I de cerrados que posee la PIF satisface que C Demostración ) Para cada i I, sea U i = X C i Si i I C i = entonces i I U i = X y por tanto {U i } i I es un cubrimiento abierto de X Como X es compacto existe U i1, U i2,, U in un subcubrimiento finito n k=1 U i k = X y al tomar complementos en esta igualdad se contradice la PIF para C ) Si X no es compacto existe {U i } i I cubrimiento abierto que no se puede reducir a uno finito Sea C i = X U i para cada i I Claramente C = {C i } i I tiene la PIF pero C =, lo que contradice la hipótesis Corolario 1010 (Encaje de Cantor) Sea (X, T) un espacio compacto Si C = {C i }, (i I) es una cadena descendente encaje de cerrados no vacíos entonces C Demostración C satisface la PIF EJEMPLO 105 G RUBIANO R u no es compacto, ya que la familia de cerrados {[z, )} z R tiene la PIF, y sin embargo la intersección de todos los elementos de esta familia es vacía La siguiente proposición generaliza el clásico teorema de B Bolzano 4 dado en 1830 en el contexto de los números reales: cada subconjunto infinito y acotado de números reales tiene un punto de acumulación 4 Matemático checo (1781 Praga-1848 Praga) Bolzano liberó de manera exitosa al cálculo del concepto de infinitesimal También dio ejemplos de funciones 1-1 entre elementos de un conjunto infinito y elementos de un subconjunto propio Se adelantó a

174 164 Compacidad Proposición 1011 (Bolzano-Weierstrass) Todo subconjunto infinito de un espacio compacto X tiene un punto de acumulación Demostración Si A es un subconjunto de X que no tiene puntos de acumulación, veamos que A es finito Como A no tiene puntos de acumulación, entonces para todo x X existe V x tal que V x A = ó V x A = {x} en el caso que x A La colección {V x }, (x X) forma un cubrimiento abierto de X (compacto) el cual admite un subcubrimiento finito V x1,, V x2 Claramente A n i=1 V x i = X y por tanto A tiene a lo más {x 1, x 2,, x n } puntos En un espacio compacto todo subconjunto que no tenga puntos de acumulación es finito, i e, todo se acumula excepto lo finito Si el espacio compacto es además de Hausdorff, el siguiente teorema da condiciones para su cardinalidad Teorema 1012 Sea X un espacio compacto y de Hausdorff, con la propiedad que cada uno de sus puntos es de acumulación, i e, no posee puntos aislados Entonces X es incontable Demostración Dado A = {a 1, a 2, } X mostremos que existe x X tal que x / A Para encontrar tal x construiremos un encaje de cerrados no vacíos C 1 C 2 C 3 con la propiedad que a n / C n y como X es compacto existe x n=1 C n Para la construcción de {C n } n utilizamos de manera inductiva el siguiente hecho: dados un abierto U y b X, existe una vecindad W contenida en U y tal que b / W (b puede estar o no en U) En efecto, sea y U con y b (si b U utilizamos que b es de acumulación, si b / U tomamos y U pues U ) Como el espacio es de Hausdorff, existen vecindades V y V y b = ; luego, W y = Vy b U satisface b / W G RUBIANO b La construcción: sea X el primer abierto y escojamos W 1 X con a 1 / W 1 Hagamos C 1 = W 1 Sea W 2 W 1 con a 2 / W 2 y C 2 = W 2 los analistas rigurosos del siglo XIX, a saber: en el concepto de función continua y en la demostración de sus propiedades, en el criterio de convergencia de series, y en la existencia de funciones continuas sin derivadas; pero por haber publicado sus escritos de análisis en Praga, ciudad entonces alejada de los centros científicos, o por permanecer inéditos, como su importante Teoría de Funciones, que apareció en 1930, la influencia de sus ideas fue escasa Definió lo que hoy se conoce como sucesiones de cauchy

175 102 Dos caracterizaciones de la compacidad 165 Continuamos este proceso escogiendo W n+1 W n con a n+1 / W n+1 y hacemos y C n+1 = W n+1 La intersección n=1 C n nos proporciona el punto x / A Corolario 1013 R es incontable 1022 Compacidad vía filtros Definición 1014 Sea F un filtro en el espacio (X, T) Un punto x X es adherente al filtro si para toda V x y todo F F se tiene V x F Es decir, V(x) F es una base de filtro Definimos F la adherencia del filtro como el conjunto de puntos que son adherentes al filtro; en particular F = {F F F} Teorema 1015 Un espacio X es compacto si y solo si cada filtro en X tiene un punto adherente Demostración ) Sean X compacto, F un filtro en X y veamos que {F F F} La colección C := {F F F} posee la PIF, pues dada F 1, F 2,, F n una subfamilia finita de C n F i i=1 n i=1 F i G RUBIANO y como F es un filtro tenemos n i=1 F i, con lo cual n i=1 F i Por tanto C y así F = C ) Para verificar que X es compacto tomemos una familia C de cerrados con la PIF C es una subbase de un filtro F pues el conjunto M de todas las intersecciones finitas de elementos de C es una base de filtro ya que 1 La intersección no vacía de dos elementos de M contiene a un elemento de M 2 M es no vacío y el conjunto vacío no es un elemento de M

176 166 Compacidad Sea F el filtro generado por M, i e, F := M = {F X : M F, algún M M} K Sabemos que F y por tanto existe x X con x {F F F} y como C F tenemos {F : F F} {C : C C} = {C : C C}, pues cada C es cerrado De tal manera que x {C : C C} EJEMPLO 106 (R, cof initos) es compacto (vía los filtros) Sea F un filtro en R y supongamos que a R satisface que a / F, i e, existen V a y F F para los cuales V a F = Luego F X V a y como la topología es la de los cofinitos F es un conjunto finito, digamos F = {x 1, x 2,, x n } Afirmamos que existe un índice i {1, 2,, n} para el cual se satisface que el punto x i está en todos los elementos del filtro, pues en caso contrario existen F 1,, F n F (uno por cada índice) tales que x k / F k, (k = 1,, n) y así F (F 1 F n ) = lo cual no puede suceder Para este índice i se tiene entonces que x i F 1023 Compacidad vía ultrafiltros La compacidad tiene una definición en términos de los ultrafiltros G RUBIANO Teorema 1016 Un espacio (X, T) es compacto si y solo si cada ultrafiltro en X es convergente Demostración ) Sea U un ultrafiltro en X y supongamos que U no es convergente; para cada x X existe V x abierta tal que V x / U, y como U es un ultrafiltro entonces Vx c U Por supuesto {V x }, (x X) es un cubrimiento abierto de X y por la compacidad lo podemos reducir a un subcubrimiento finito V x1, V x2,, V xn Así, ( n i=1 V x i ) c = n i=1 V x c i =, con lo cual estaría en U y esto no puede suceder ) Consideremos una familia C = {C i } i I de cerrados en X con la PIF y veamos que C C es una subbase de filtro, en el sentido que

177 103 Producto de dos compactos 167 la colección de las intersecciones finitas de elementos de C forman una base de filtro Sea U un ultrafiltro que contiene al filtro generado por esta subbase, C U Como U es convergente, sea p X tal que U p Tenemos que p C pues de lo contrario existe C C con p C c, luego C c U por ser vecindad de p y tendríamos que tanto C como C c están en U, lo cual no puede suceder EJEMPLO 107 (R, cof initos) es compacto (vía los ultrafiltros) Sea U un ultrafiltro en R y veamos que él es convergente Si U es principal entonces claramente es convergente Si no es principal todos sus elementos son infinitos, y por tanto dado un x y una vecindad V x cualquiera se tiene que V x U pues de lo contrario Vx c U, pero sabemos que U no la admite por ser finita Por tanto U converge a todo punto 103 Producto de dos compactos Teorema 1017 Sean (X, T), (Y, H) dos espacios La topología producto para X Y es compacta si y solo si X y Y son compactos G RUBIANO Demostración ) Si X Y es compacto, las proyecciones nos garantizan que tanto X como Y también son compactos

178 168 Compacidad ) Sea O = {O i }, (i I) un cubrimiento abierto de X Y Por cada (x, y) X Y existen abiertos Vx y X, Vy x Y tales que (x, y) Vx y Vy x O i para cada O i que contenga a (x, y) Luego es suficiente mostrar que los rectángulos básicos Vx y Vy x construidos de esta manera contienen una subfamilia finita que recubre a X Y, ya que para cada elemento de esta subfamilia tomamos uno de los O i que lo contiene Dado y Y, consideremos la familia {Vx y } x X, la cual es un cubrimiento abierto de X y por tanto existe un subcubrimiento Vx y 1, Vx y 2,, Vx y m m(y) es un entero que depende de y Por cada i = 1,, m(y) consideremos el respectivo V x i y y construyamos Q y = m(y) i=1 V x i y una vecindad abierta de y Nótese que {Vx y 1 Q y, Vx y 2 Q y,, Vx y m(y) Q y } es un cubrimiento abierto de X Q y Como este Q y fue construido para un y dado, la familia {Q y } y Y es cubrimiento abierto de Y Sea Q y1,, Q yn un subcubrimiento finito; luego la familia {V yt x k Q yt } t=1,2,,n k=1,2,,m(y t) es un cubrimiento abierto y finito de X Y Como Q y V x k {Vx y Vy x } (x,y), admite un subcubrimiento finito (x, y) X Y Cómo caracterizar los subespacios en R n u que son compactos? G RUBIANO y la familia Teorema 1018 A R n u es compacto si y solo si A es cerrado y acotado Demostración ) Si A es compacto entonces A es cerrado Para ver que es acotado notemos que {B n (0)}, (n N) con 0 = (0, 0,, 0) es un cubrimiento abierto de A Como A es compacto, está contenido en la unión de un número finito de estas bolas, pero esta unión es precisamente la bola de radio m para m el mayor de los radios ) Si A es acotado lo podemos colocar dentro de un cubo n dimensional, i e, existe un t N tal que A [ t, t] [ t, t] [ t, t] n copias de [ t, t] y como cada [ t, t] es compacto, tenemos que A es un cerrado contenido en un compacto, luego A es compacto

179 103 Producto de dos compactos 169 EJEMPLO 108 Los subconjuntos de matrices O n y SO n (ejemplo 28) son compactos por ser subconjuntos cerrados y acotados de R n2, mientras que GL n no lo es pues se trata de un subconjunto abierto; tampoco es conexo por cuanto es la unión disyunta de los abiertos formados por las matrices con determinante positivo y negativo respectivamente EJEMPLO 109 El toro T y la cinta de Möbius son compactos por ser cerrados y acotados Note que T tiene una representación en R 3 que equivale a pegar en cada punto de S 1 al mismo S 1 algo más reducido, luego lo podemos ver como el producto S 1 S 1 de dos compactos EJEMPLO 1010 Una función numérica y continua sobre un espacio compacto es acotada y tiene valores tanto máximo como mínimo En otras palabras, si X es compacto y f : X R u es continua, entonces existen a, b X tales que f(a) f(x) f(b) para todo x X Esto es consecuencia directa del hecho que el conjunto f(x) R es cerrado y acotado Proposición 1019 Sean (X, T), (Y, H) espacios topológicos con Y compacto Si M X Y es un cerrado entonces la proyección p X (M) es un cerrado en X la función proyección p X es cerrada G RUBIANO Demostración Veamos que el complemento de p X (M) es un conjunto abierto Si a / P X (M) entonces {a} Y M c Por cada (a, y) existe un abierto básico Va y Vy a M c La colección {Vy a }, (y Y ) cubre a Y y la reducimos a una finita {Vy a i } n i=1 ; entonces V a = n i=1 V y i a satisface V a P X (M) = y así V a P X (M) c EJEMPLO 1011 En la proposición 1019, si Y no es compacto p X (M) no necesariamente es cerrado; por ejemplo, si M = grafo(f) R 2 u y f(x) = 1/x

180 170 Compacidad Proposición 1020 (Wallace) Sea A B un subespacio compacto de un espacio producto X Y El conjunto {V 1 V 2 : V 1 V(A), V 2 V(B)} es un sistema fundamental de vecindades del conjunto A B A {y} V B A B A U G RUBIANO W U V Demostración Sea W un abierto con A B W Por cada (x, y) A B existe Ux y Vy x W La colección {Ux y }, (x A) es un cubrimiento de A {y} el cual reducimos a uno finito {Ux y i } n i=1 ; consideremos la vecindad V y = n i=1 V x i y Para los abiertos U y = n i=1 U x y i y V y tenemos que A {y} U y V y, luego la colección {V y }, (y B) es un cubrimiento abierto de B el cual podemos reducir a uno finito V y1,, V ym ; de suerte que U = n i=1 V y i, V = n i=1 V y i satisfacen A B U V W EJEMPLO 1012 Si A, o B no son compactos, la proposición 1020 deja de ser verdad; por ejemplo, en (R 2, usual) considere el subconjunto [1, ) [1, 2] El abierto W es asintótico a A B y por tanto no podemos encontrar U V W

181 104 Teorema de Tychonoff 171 Corolario 1021 (Teorema del tubo) Considere el espacio producto X Y, donde Y es compacto Si W es un abierto que contiene a la fibra {x 0 } Y entonces W contiene un tubo V x0 Y Demostración {x 0 } Y es un compacto en el espacio X Y Ejercicios Muestre que la caracterización en el teorema 1018 no se puede extender a los espacios métricos en general 2 La distancia o métrica de Hausdorff mide cuan lejos están uno de otro dos subconjuntos compactos de un espacio métrico Sea (X, d) un espacio métrico En H = {A X A es compacto} definimos la distancia entre dos conjuntos como d H (A, B) := máx{d(a, B), d(b, A)} donde d(a, B) := ínf{d(a, b) : b B} d(a, B) := máx{d(a, B) : a A} Muestre que d H es una métrica para H conocida como métrica o distancia de Hausdorff En general d(a, B) d(b, A) en R 2 u considere dos discos, fig 103 Es la máxima distancia de un conjunto al punto más cercano en el otro conjunto G RUBIANO 3 Sean X, Y espacios de Hausdorff con Y compacto f : X Y es continua si y solo si grafo(f) es cerrado en X Y 104 Teorema de Tychonoff Los siguientes párrafos están encaminados a demostrar el resultado que A Tychonoff presentó en 1930, el cual ha sido descrito algunas veces

182 172 Compacidad d(a, B) d(b, A) A Figura 103: Distancias d(a, B) d(b, A) entre dos discos A y B como el resultado individualmente más importante de la topología general Lo que sí es cierto sin ninguna duda, es que es uno de los medios más poderosos para garantizar la compacidad de ciertos espacios clásicos del Análisis, ya que asegura la compacidad para el producto arbitrario de espacios compactos 5 G RUBIANO B Figura 104: 5 J L Kelley mostró en 1950 que el teorema de Tychonoff es equivalente al axioma de elección; no es de extrañar así que toda demostración de este teorema involucre al Lema de Zorn o alguna otra forma equivalente al axioma de elección

183 104 Teorema de Tychonoff 173 Ya vimos como caracterizar la convergencia de una sucesión en un espacio producto en términos de la convergencia de las proyecciones Veamos ahora cómo caracterizar la convergencia para los filtros Lema 1022 Sean X = i I X i un espacio con la topología producto, x = (x i ) un punto en X y F un filtro en X F x si y solo si para cada i I el filtro dado por la proyección p i (F) x i en X i Demostración ) Como p i es continua y F x entonces p i (F) x i ) Consideremos V x X una vecindad de x No perdemos generalidad si suponemos que V x es un abierto básico: V x = U i1 U i2 U in X i, i i 1,, i n Luego p ik (V x ) = U ik es una vecindad de x ik puesto que las proyecciones son abiertas Como p ik (F) x ik, p ik (V x ) p ik (F), y por tanto existe F F tal que p ik (F ) p ik (V x ), luego F U ik i i k X i Por ser F un filtro tenemos que U ik i i k X i está en F para cada k = 1,, n Por tanto, la intersección finita lo que significa F x n (U ik k=1 i i k X i ) = V x F Teorema 1023 (Tychonoff 6 ) Sea X = i I X i un espacio con la topología producto Entonces X es compacto si y solo si cada espacio coordenado X i es compacto G RUBIANO Demostración ) Si X es compacto, por ser cada proyección p i continua tenemos que cada X i es compacto ) Veamos que cada ultrafiltro U de X es convergente Ya que las proyecciones son sobreyectivas, por cada i I, p i (U) es un ultrafiltro en X i y como cada X i es compacto, p i (U) x i para algún x i X i Por el lema 1022, U converge al punto x = (x i ), (i I) de X 6 El teorema recibe su nombre de Andrey Nikolayevich Tychonoff, quien en 1930 lo demostró para el producto del intervalo unidad [0, 1] y en 1935 lo enunció de manera más general pero anotando que la demostración en este caso discurría como en el caso anterior La primera demostración publicada se debe a Eduard Čech en un artículo de 1937

184 174 Compacidad La prueba del teorema de Tychonoff que hemos presentado es, por supuesto, diferente a la original, la cual en su tiempo no contaba con las herramientas de los filtros concepto que fue introducido para estudiar la convergencia, lo que hoy la hace tan sencilla Es posible encontrar al menos otras diez demostraciones diferentes de este teorema, una de ellas en términos de subbases, Lema de Alexander, y otra en términos de la teoría de convergencia de redes Parece que el teorema de Tychonoff marchara en contra del sentido común, pues compacidad es una propiedad de finitud (cubrimientos abiertos finitos) y no se esperaría que una construcción involucrando infinitud de espacios compactos fuese de nuevo compacta EJEMPLO 1013 El cubo I N = i N [0, 1] i es compacto si lo dotamos de la topología producto EJEMPLO 1014 Sean ({0, 1}, Sierpinski) y (X, T) un espacio topológico cualquiera Consideremos el espacio producto σ(x) = U T{0, 1} U con {0, 1} U = {0, 1} para cada U T σ(x) con la topología producto es compacto Ahora definamos la función : X σ(x) como x x(u), donde x(u) = 0 si x U o x(u) = 1 si x / U Claramente es continua ya que así lo son las funciones proyección G RUBIANO (p U ) 1 ({0}) = {x X : x(u) = 0} = {x : x U} = U; o más aun, ya que X tiene la topología inicial dada por Además es abierta pues Û = { x : x U} = { x : x U = 0} = p 1 U ({0}) X En caso que X sea T 0 tenemos que es inyectiva y por tanto un homeomorfismo sobre X, i e, X X U T{0, 1} U

185 105 Compacidad y sucesiones Compacidad y sucesiones Históricamente la primera noción de compacidad se dio en términos de la convergencia de sucesiones Esta propiedad no implica ni es implicada por la noción de compacidad que hemos definido en términos de cubrimientos abiertos Veremos que esta noción de compacidad es más fuerte que la compacidad contable pero resultan ser equivalentes en la clase de los espacios 1-contable Definición 1024 Un espacio (X, T) se dice compacto por sucesiones si cada sucesión en X contiene una subsucesión convergente EJEMPLO Todo subconjunto finito de un espacio es compacto por sucesiones (la topología de subespacio) 2 R u no es compacto por sucesiones y tampoco lo es el espacio (R, coenumerables) En ambos casos la sucesión (x n ) = N no admite ninguna subsucesión convergente Los conceptos de compacto y compacto por sucesiones no son equivalentes En general existen espacios compactos que no son compactos por sucesiones y viceversa, aunque como veremos unas líneas adelante, los ejemplos son más bien esotéricos Claro está que en el contexto de los espacios métricos estos conceptos son equivalentes (sección 106) G RUBIANO La compacidad por sucesiones es preservada por la continuidad; de aquí que sea un invariante topológico Proposición 1025 Sea f : (X, T) (Y, H) una función continua y sobre Si X es compacto por sucesiones, también lo es Y Demostración Sea (y n ) una sucesión en f(x) Definimos (x n ) en X tomando x n f 1 (y n ) Como X es compacto por sucesiones, existe una subsucesión (x nk ) y x 0 X tal que x nk x 0 Por ser f continua, en particular es secuencialmente continua y así y n f(x 0 )

186 176 Compacidad Una forma de compacidad más débil que la compacidad usual y la compacidad por sucesiones es exigir tan solo que los cubrimientos abiertos que deben tener subcubrimientos finitos sean los cubrimientos contables Esta compacidad contable posee muchas de las propiedades topológicas que posee la compacidad; más aún, en el contexto de los espacios metrizables o aun en espacios de Lindeloff ellas son equivalentes Definición 1026 Un espacio (X, T) se dice compacto contablemente o ω compacto si cada cubrimiento abierto y enumerable de X admite un subcubrimiento finito Si recordamos que un espacio es de Lindelöf si cada cubrimiento abierto admite un subcubrimiento enumerable, entonces los espacios compactos son los que son tanto de Lindelöf como ω compacto La diferencia entre compacidad secuencial y compacidad contable es tan fina que prácticamente se necesita la opinión de un experto Veamos la implicación de una de ellas sobre la otra y posteriormente en 1016 un refinado contraejemplo para la otra implicación El corolario 1032 muestra que en el marco de los espacios 1 contable los dos conceptos son equivalentes Teorema 1027 Si (X, T) es un espacio compacto por sucesiones entonces X es compacto contablemente G RUBIANO Demostración Si X no es contablemente compacto existe un cubrimiento abierto U = {U 1, U 2, } con la propiedad que no se puede reducir a un subcubrimiento finito, i e, para cada n N existe x n ( n i=1 U i) c Sea (x nk ) una subsucesión convergente de (x n ) y sea x el punto de convergencia Tomemos U j U tal que x U j Para m > j sabemos que x m ( m i=1 U i) c = m i=1 U i c luego x m Uj c Así que, para todos los elementos x nk con n k > j se tiene x nk / U j, lo cual contradice la convergencia de la subsucesión

187 105 Compacidad y sucesiones 177 EJEMPLO 1016 El cubo X = [0, 1] [0,1] es un espacio compacto y por tanto contablemente compacto, pero no es compacto por sucesiones X no es compacto por sucesiones miramos a X como el conjunto de todas las funciones de I = [0, 1] en I Definimos una sucesión de funciones (α n ) n N con α n X de la manera siguiente: dado x I, α n (x) es el n-ésimo dígito en la expansión binaria de x (α n ) n N no tiene ninguna subsucesión convergente; en efecto, si (α nk ) nk N es una subsucesión que converge al punto α X, entonces para cada x I, α nk (x) α(x) recordemos que la convergencia en la topología producto para X es puntual Sea t I con la propiedad que α nk (t) = 0 si n k es impar, α nk (t) = 1 si n k es par La sucesión (α nk (t)) = {0, 1, 0, 1, 0, 1, } no puede converger En el ejemplo 84 mostramos que no es 1-contable EJEMPLO 1017 (R, cof initos) es contablemente compacto y además compacto por sucesiones EJEMPLO 1018 (R, coenumerables) no es compacto por sucesiones El siguiente ejemplo muestra que en general, la propiedad de ser contablemente compacto no se hereda a los subespacios EJEMPLO 1019 G RUBIANO [0, 1] con la topología usual es compacto; luego en particular es contablemente compacto Pero (0, 1) [0, 1] no es contablemente compacto, ya que el cubrimiento abierto {(0, 1 1/2n)}, (n N) no admite algún subcubrimiento finito En caso que el subespacio sea cerrado, el lector debe verificar que la propiedad sí se heredatambién se debe mostrar que ser contablemente compacto es un invariante por medio de las funciones continuas Con la ayuda del siguiente concepto, más débil que el concepto de punto límite, podemos obtener una forma equivalente a la definición de compacidad contable; ver teorema 1029 K

188 178 Compacidad Definición 1028 Sean (X, T) un espacio y (x n ) una sucesión en X Decimos que x X es un punto adherido, de adherencia o de acumulación de la sucesión (x n ) n N si toda V x tiene infinitos términos de la sucesión Si una sucesión (x n ) tiene una subsucesión convergente entonces tiene un punto adherido Pero el hecho de que la sucesión posea un punto de clausura no significa que posea una subsucesión convergente, como lo muestra el siguiente ejemplo EJEMPLO 1020 El espacio X = (N N) {(0, 0)} de Arens-Fort posee una sucesión que tiene un punto de clausura y no tiene una subsucesión convergente Observemos que el conjunto X {(0, 0)} es enumerable, i e, existe una biyección f : N X {(0, 0)} f es una sucesión que tiene a (0, 0) como punto de clausura ya que toda vecindad de este punto tiene infinitos términos de la sucesión, pero ninguna subsucesión es convergente a (0, 0) pues ya hemos visto que este espacio es de convergencia trivial Por supuesto que en los espacios métricos no tendríamos este problema Más aún, en los espacios 1 contables tampoco lo tenemos; si x es un punto de acumulación de (x n ) y {B 1, B 2, } es una base local encajada para x, por cada k N podemos encontrar n k k tal que x nk B k y la subsucesión x nk x EJEMPLO 1021 G RUBIANO Dados (X, T) un espacio y una sucesión (x n ) en X, un punto x es un punto de clausura para la sucesión si y solo si x es adherente al filtro asociado a la sucesión EJEMPLO 1022 En R u, 0 es un punto de clausura para la sucesión {0, 1, 0, 1 } Teorema 1029 (X, T) es un espacio contablemente compacto si y solo si cada sucesión tiene un punto adherido en X Demostración ) Sea (a n ) una sucesión en X que no tiene un punto de adherencia, es decir, para cada x X existen una vecindad abierta

189 105 Compacidad y sucesiones 179 W x y un N N tales que W x {a N+1, a N+2, } = Por cada n N definimos U n = {W x : W x {a n+1, a n+2, } =, x X} Cada U n es un conjunto abierto y la colección {U n }, (n N) es un cubrimiento abierto de X que no admite un subcubrimientro finito, o de lo contrario para X = U i1 U im y m = máx{i 1,, i m } se tiene que U m solamente puede tener finitos términos de la sucesión que estén antes de a m+1 y así a m+2 no pertenece al subcubrimiento finito; luego X no sería contablemente compacto ) Si X no fuera contablemente compacto, existe un cubrimiento abierto {U n }, (n N) que no admite un subcubrimiento finito Por cada n N, el conjunto X n i=1 U i Sea x 1 X U 1 Definimos U n1 como el primer U i donde x 1 está Ahora tomemos x 2 X n 1 i=1 U i Supongamos que x k ha sido escogido y x k U nk ; escogemos x k+1 X n k i=1 U i Con estas definiciones, la sucesión (x k ) de infinitos términos diferentes debe poseer un punto x adherente a la sucesión y además x U n para algún n N Pero si N N es suficientemente grande, digamos N > n, tenemos que x k / U n para k > N Luego U n V(x) y contiene tan sólo finitos términos de la sucesión, es decir, x no es un punto de clausura La siguiente noción de punto de ω-acumulación para un subconjunto A una clase particular de punto de acumulación fue introducida por Hausdorff Definición 1030 Dado A (X, T), decimos que a X es un punto de ω-acumulación para A y notamos A a ω si para toda vecindad V a se tiene que V a A es un conjunto infinito Nótese que A a ω A a EJEMPLO 1023 G RUBIANO En un espacio compacto X todo subconjunto infinito A X posee al menos un punto de ω-acumulación Pues de lo contrario, por cada x X podemos encontrar una V x abierta con V x A finito; esta colección de vecindades forma un recubrimiento abierto el cual reducimos a uno finito V x1 V xn Por tanto sería finito A = A X = A ( n k=1 V x k ) = n k=1 (A V x k )

190 180 Compacidad Corolario 1031 Un espacio (X, T) es compacto contablemente si y solo si para cada A subconjunto infinito se tiene A a ω Demostración ) Sea A X infinito que no admite un punto de ω- acumulación Una sucesión (a n ) en A de términos diferentes, no tiene un punto adherido o de lo contrario A lo tendría ) Aplicamos literalmente el teorema 1029 EJEMPLO 1024 En N consideremos la topología generada por la base {{1, 2}, {3, 4}, {5, 6}, } En este espacio todo A N posee un punto de acumulación; pero, por ejemplo, los números pares no poseen un punto de ω-acumulación Note que este espacio no es compacto por sucesiones, ya que la sucesión {1, 2, 3, 4, } no contiene ninguna subsucesión convergente y tampoco admite un punto de clausura Finalmente este espacio no es contablemente compacto, pues la base misma es un cubrimiento abierto que no admite un subcubrimiento finito Corolario 1032 En un espacio 1-contable, los conceptos de compacidad contable y compacidad por sucesiones coinciden Demostración ) Sea (x n ) una sucesión en X Si A = {x n : n N} es finito existe una subsucesión constante convergente Si A es infinito, por el corolario 1031 existe un punto a de ω-acumulación, y al considerar una base encajada obtenemos una subsucesión convergente al punto a G RUBIANO ) Como en el teorema 1029 Ejercicios Muestre que la compacidad por sucesiones es cerrada-hereditaria, i e, se hereda a los subespacios cerrados 2 Si un espacio 1 contable es compacto, entonces es compacto por sucesiones

191 106 Compacidad para métricos Muestre que la compacidad contable se hereda a los subespacios cerrados 4 Muestre que el producto de dos espacios compactos por sucesiones es de nuevo compacto por sucesiones 5 Muestre que la compacidad contable es un invariante topológico 6 Dé un ejemplo donde A a ω = A a 7 Muestre que en un espacio 2-contable los conceptos de compacidad, compacidad contable y compacidad secuencial son equivalentes 8 Estudie los conceptos de compacidad para la línea de Khalinsky del ejemplo 114 (página 10) 106 Compacidad para métricos El estudio de la compacidad en los espacios métricos se facilita dado el gran número de formas equivalentes a las cuales se puede recurrir y que no se dan para los espacios en general No olvidemos que el concepto primario de compacidad viene del estudio de espacios de funciones de subespacios de R n en R m El propósito principal de esta sección es mostrar que en los espacios métricos los conceptos de compacidad, compacidad contable, compacidad por sucesiones y la propiedad B-W son equivalentes Definición 1033 Un espacio métrico (X, d) se dice totalmente acotado si dado ε > 0 existe un subconjunto finito F = {x 1, x 2,, x n } dependiendo de ε llamado ε-red tal que X = n i=1 B ε(x i ), (x i F ) Lo de ε-red se justifica porque dado x X tenemos d(x, F ) < ε; esto es, una bola de radio ε no pasa sin tocar a F G RUBIANO Como el concepto de totalmente acotado depende de la función métrica, es de esperarse que no sea una propiedad topológica En efecto (0, 1) y (1, ) son homeomorfos por medio de f(x) := 1/x, pero el segundo espacio no es totalmente acotado por qué? El concepto de totalmente acotado implica el de acotado para los espacios métricos en general; pero no todo espacio métrico acotado es necesariamente totalmente acotado

192 182 Compacidad EJEMPLO 1025 ε (1, 1) Figura 105: Un disco es totalmente acotado R con la métrica d (x, y) = ínf{1, x y } no admite una ε-red finita para ε < 1 En el caso de (R n, usual) estos dos conceptos coinciden La compacidad por sucesiones en los espacios métricos, se relaciona con la propiedad de totalmente acotado de acuerdo con el siguiente teorema Teorema 1034 Todo espacio métrico (X, d) compacto por sucesiones es totalmente acotado Demostración Si X no es totalmente acotado, existe un ε > 0 para el cual no existe ninguna ε-red finita Construimos de manera inductiva una sucesión que no admite una subsucesión convergente Sea x 1 X, como {x 1 } no es ε-red, existe x 2 con d(x 1, x 2 ) ε Supongamos que hemos construido {x 1, x 2,, x n } en X con la propiedad que d(x i, x j ) ε para todo i, j n, (i j) Como {x 1, x 2,, x n } no es una ε-red existe x n+1 con d(x i, x n+1 ) ε, (i = 1,, n) Es claro que la sucesión (x n ) no admite una subsucesión convergente G RUBIANO Corolario 1035 Todo espacio métrico (X, d) compacto por sucesiones es 2-contable y separable Demostración Como X es totalmente acotado, para cada n existe una familia de bolas abiertas B 1/n (x n1 ),, B 1/n (x nk ) que cubre a X, donde F n = {x n1,, x nk } es una 1 n red La colección de todas estas bolas nos

193 106 Compacidad para métricos 183 produce una base enumerable para X y la reunión D := n=1 F n nos da un subconjunto enumerable y denso en (X, d) Para el caso de los espacios métricos ya teníamos otra manera de caracterizar la compacidad contable Corolario 1036 Sea (X, d) un espacio métrico X es contablemente compacto si y solo si es compacto por sucesiones Demostración Por el corolario 1032 Teorema 1037 Todo espacio métrico (X, d) compacto es 2-contable Demostración Para cada (n N) la colección B n = {B 1/n (x) : x X} es un cubrimiento abierto el cual se puede reducir a uno finito A n B n La colección A := n=1 A n es contable Dado un abierto U y x U tomemos B ε (x) U y consideremos n tal que 1/n < ε/4 Existe B 1/n (y) A n con x B 1/n (y) Veamos que B 1/n (y) B ε (x) Si t B 1/n (y) entonces d(t, x) d(t, y) + d(y, x) 1/n + 1/n < ε/4 + ε/4 = ε Número de Lebesgue Dado un cubrimiento abierto {U α } α de un espacio métrico, el número de Lebesgue para este cubrimiento es un número ɛ > 0 tal que cada bola B ɛ (x) en X está contenida en al menos un conjunto U α del cubrimiento Este número depende del cubrimiento que se tome y nos informa que un cubrimiento no puede tener todos sus elementos por debajo de cierto diámetro G RUBIANO El siguiente teorema nos garantiza la existencia del número de Lebesgue para los espacios métricos compactos Teorema 1038 Sea U un cubrimiento abierto del espacio métrico (X, d) donde X es compacto por sucesiones Entonces existe un δ > 0 δ es el número de Lebesgue tal que para cada x X existe U U con la propiedad que B δ (x) U Decimos que el cubrimiento {B δ (x)} x X es más fino que U

194 184 Compacidad Demostración Razonando por contradicción, supongamos que para U no existe tal número; es decir, por cada n N existe x n tal que B 1/n (x n ) no está contenida en ningún miembro de U Como X es compacto por sucesiones, la sucesión (x n ) tiene un punto adherido x Sea U U con x U Tomemos r = d(x, U c ), así r > 0 y escogemos N N el cual satisfaga simultáneamente que d(x N, x) < r/2 y 4/N < r Con estas condiciones B 1/N (x N ) U ya que si d(y, x N ) < 1/N entonces y U puesto que d(x, y) d(x, x N ) + d(x N, y) r/2 + 1/N < r/2 + r/4 < r y esto finalmente contradice la manera como escogimos a x N Con el anterior teorema podemos probar la equivalencia entre las diferentes definiciones de compacidad, cuando nos restringimos a la categoría de los espacios métricos Corolario 1039 Sea (X, d) un espacio métrico X es compacto si y solo si X es compacto por sucesiones Demostración ) Si X es compacto, entonces lo es contablemente compacto y así, es compacto por sucesiones ) Si X es compacto por sucesiones, dado un cubrimiento U abierto de X, sea δ el número de Lebesgue Al ser X totalmente acotado tomamos una δ-red ={x 1, x 2,, x n } y por cada B δ (x i ) escogemos un U i U tal que B δ (x i ) U i Luego {U 1, U 2,, U n } es un subcubrimiento finito de U G RUBIANO Corolario 1040 (Continuidad para compactos) Una función continua f : (X, d) (Y, m) de un espacio métrico compacto X a un espacio métrico Y es continua uniformemente Demostración Dado ε > 0, la colección {B ε/2 (y)} y Y es un cubrimiento abierto de Y y por tanto {f 1 (B ε/2 (y))} y Y lo es para X Si δ es el número de Lebesgue asociado a este cubrimiento, cada bola B δ (x) satisface f(b δ (x)) B ε/2 (y) para alguna bola B ε/2 (y) Por tanto, si d(x, a) < δ entonces m(f(x), f(a)) m(f(x), y) + m(y, f(a)) < ɛ/2 + ɛ/2 = ɛ

195 107 Ordinales como ejemplo 185 Ejercicios Muestre que en un espacio métrico los conceptos de compacidad, compacidad contable y compacidad secuencial son equivalentes 2 Muestre que en un espacio métrico los conceptos de separable, 2-contable y Lindelöff son equivalentes 3 Muestre que un espacio métrico compacto es Lindelöff y por tanto es 2-contable y separable 4 Muestre que todo cerrado de un espacio Lindelöff es de nuevo Lindelöff 5 Muestre que un espacio métrico (X, d) es separable si y solo si dado ε > 0 existe D X, D contable tal que X = B ε (d), (d D) 6 Sea (X, T) un espacio compacto Dada una sucesión (x n ) con un único punto de clausura, muestre que ella converge a este punto 7 Sea A (X, d) A es totalmente acotado si y solo si A lo es 8 Si U es un cubrimiento abierto del espacio métrico (X, d), el número δ de Lebesgue para U satisface: para cada A X con diam(a) < δ existe un elemento del cubrimiento que contiene a A 9 Muestre que toda función continua de un espacio compacto en un espacio métrico es acotada G RUBIANO 107 Ordinales como ejemplo Los números ordinales son la consecuencia inmediata al concepto de conjunto bien ordenado conjuntos totalmente ordenados en los cuales cada subconjunto no vacío tiene un primer elemento adjudicando a cada conjunto bien ordenado un número ordinal; dos conjuntos A, B bien ordenados tienen el mismo número ordinal, i e, son equivalentes, si son isomórficamente ordenados, es decir, existe un isomorfismo f en su categoría: f : A B biyectiva y a b si y solo si f(a) f(b) Usualmente se utilizan las letras griegas minúsculas α, β, γ, para denotar los números ordinales y la letra O para denotar la colección

196 186 Compacidad Figura 106: Números ordinales total Introducimos un orden en O de la manera siguiente Sean α, β números ordinales y A, B conjuntos bien ordenados que los representan; escribimos α β si A es isomorfo con un ideal 7 I en B Este orden sobre O es total y además cualquier subconjunto de O es bien ordenado El conjunto de los números ordinales es útil en la construcción de ejemplos en topología O es no contable y bien ordenado por El conjunto (O, ) contiene un elemento Ω con la siguiente propiedad: si α O y α Ω entonces {β β α} es contable Ω se llama primer ordinal no contable Por ω denotamos el primer elemento en O con la propiedad que el conjunto {α α ω} es contable pero no finito; ω es llamado primer ordinal infinito G RUBIANO Los números ordinales pueden representarse como O = 0, 1, 2,, ω, ω + 1, ω + 2,, 2ω, 2ω + 1, 2ω + 2,, 3ω,, ω 2, ω 2 + 1,, ω 3,, ω 4,, ω ω, ω ω + 1,, Ω, 7 Recordemos que I B es un ideal si dados x, y B con x I, y x implica y I; es decir, para cualquier elemento y I se tiene y I (todos los precedentes a él también pertenecen a I)

197 107 Ordinales como ejemplo 187 Las notaciones se deben a G Cantor pues fue él quien nos enseñó a contar Note que ω, ω + 1 son ordinales contables es decir, su cardinalidad es la misma de N ; además ω = 0, 1, 2, es diferente de ω + 1 = ω {ω} = 0, 1, 2,, ω ya que el primero no tiene un último elemento, mientrasque el segundo sí En general llamamos a un número ordinal un ordinal límite si no tiene un predecesor 8 inmediato ω es el primer ordinal límite, el segundo ordinal límite es 2ω = 0, 1,, ω, ω + 1, Así también lo son 3ω,, ω 2,, ω 3, y llegamos a ω ω donde su cardinal no es N N =c, él todavía es un ordinal contable insomnio! Si un número ordinal no es límite lo llamamos ordinal sucesor Existe un significado natural para ω ωω, y al final de esta hilera arribamos a un ordinal el cual Cantor llamó ξ Este es todavía un ordinal contable! Ahora aparece Ω, el primer ordinal no contable Finalmente, y como curiosidad, sea R = {x x es un número ordinal} R es un número ordinal y R no es un conjunto; de paso, R es el único número ordinal que no es un conjunto La siguiente propiedad de los números ordinales nos será útil Proposición 1041 Si A O es contable y Ω / A entonces sup A Ω G RUBIANO Demostración Sea X = {β β α, para algún α A}; es decir, X está formado por los elementos de A o cualquier elemento de O que preceda alguno de A X es contable ya que por cada α A el conjunto de sus predecesores es contable Como O es bien ordenado, existe un primer elemento µ de X c Así µ es una cota superior para X y además es la menor de las cotas superiores Por otra parte, {δ δ µ} es contable ya que si δ µ entonces δ X Por tanto µ no puede ser Ω; es decir, sup A µ Ω K 8 Una justificación para este nombre es que un ordinal límite es en efecto un límite en el sentido topológico de todos sus ordinales más pequeños (respecto a la topología del orden)

198 188 Compacidad En lo que sigue, los conjuntos Ω = [0, Ω) y Ω+1 = [0, Ω] son dotados de la topología del orden para la relación de orden inducida Proposición 1042 [0, Ω] es compacto Demostración Esto es consecuencia de que [0, Ω] es completo, es decir, cada subconjunto no vacío posee tanto sup como inf completez En efecto, dado U un cubrimiento abierto de [0, Ω], sea A el subconjunto formado por todos los t tales que [0, t) puede ser cubierto por un subcubrimiento finito de U Sean α = sup A y U U tal que α U, por tanto U A por qué? Luego existe (η, ζ) U tal que α (η, ζ) (a menos que α = Ω), pero como α es el sup de A, tenemos que (α, ζ) =, luego ζ A, pero esto no puede suceder, con lo cual A = [0, Ω] Note que cada subespacio cerrado [0, β] [0, Ω] es ahora compacto Proposición 1043 [0, Ω] no es 1-contable Demostración Por la proposición 1041 el punto Ω no posee una base local contable, pues si (α n, Ω], (n N) es una base local, entonces para β = sup{α n } tenemos β Ω, luego no existiría ningún elemento de la base contenido en (β + 1, Ω] Proposición 1044 [0, Ω) es 1-contable Demostración Basta verificar que el único punto en [0, Ω] que no posee una base local contable es Ω G RUBIANO Proposición 1045 [0, Ω) y [0, Ω] no son separables Demostración Demostremos que [0, Ω) no lo es Dado un subconjunto A contable, sea α = sup A Por 1041, α Ω y por tanto existe un intervalo (α + 1, Ω) A c, con lo cual A no puede ser denso Proposición 1046 [0, Ω) no es compacto ni de Lindelöff Demostración Sea U = {[0, ζ) : ζ Ω} U es un cubrimiento abierto donde cada elemento del cubrimiento es contable y U no admite un subcubrimiento finito o contable, pues si C U es contable entonces C es contable y no puede contener a [0, Ω)

199 107 Ordinales como ejemplo 189 Corolario 1047 [0, Ω) no es compacto pero sí es contablemente compacto y compacto por sucesiones Demostración Si no es contablemente compacto, existe U = {U 1, U 2, } un cubrimiento abierto para el cual no existe un subcubrimiento finito; por tanto, para cada n existe x n / U 1 U n Si α = sup n α n entonces por el teorema 1041, α [0, Ω) y ninguna subcolección finita de U cubre al compacto [0, Ω] Como es 1-contable y de Hausdorff, es compacto por sucesiones Ejercicios Revise el argumento en la demostración de la proposición 1042 y el utilizado en el teor 102 para mostrar que [0, 1] es compacto 2 Sea (X, ) un conjunto bien ordenado con la topología del orden Muestre que X es compacto si y solo si contiene un elemento maximal 3 Muestre que los ordinales finitos y ω son espacios discretos, y ningún ordinal mayor que ellos es discreto 4 Muestre que el conjunto de puntos de acumulación (o puntos límite) de un ordinal α es precisamente el conjunto de ordinales límite menores que α 5 El espacio [0, ω) es precisamente N con la topología discreta, mientras que [0, ω] es el compactado de Alexandroff de N G RUBIANO 6 Muestre que [0, Ω] coincide con N {w} donde la topología es para F el filtro de Frèchet en N T(F) = 2 N {F {w} : F F} 7 Muestre que los ordinales sucesores (y el cero) menores que α son puntos aislados en α 8 Muestre que el ordinal α es compacto como espacio si y solo si α es un ordinal sucesor 9 Muestre que cualquier ordinal es, por supuesto, un subconjunto abierto de cualquier ordinal mayor

200 190 Compacidad 108 Compacidad local Aunque el espacio no sea compacto, el concepto de compacidad lo podemos localizar en un punto Definición 1048 (i) Un espacio (X, T) es localmente compacto si cada punto del espacio posee una vecindad compacta, i e, si cada x X está en el interior de un subconjunto compacto EJEMPLO Todo espacio compacto es localmente compacto 2 (R n, usual) es localmente compacto, pues las cajas cerradas son compactas 3 Si X es infinito, la topología discreta es localmente compacta (para cada x, {x} es una vecindad compacta) pero no es compacta 4 Para X infinito, la topología I x del punto incluido es localmente compacta (pero no compacta) 5 (R, (a, )) no es localmente compacto Es común en la literatura de este tema encontrar la siguiente definición de compacidad local, diferente a la def 1048 Definición 1049 (ii) Dados un espacio (X, T) y x X, decimos que X es localmente compacto en x si dada una vecindad abierta U x existe otra vecindad V x abierta con V compacta que satisface G RUBIANO x V x V x U x Esta definición exige que para el punto x exista un sistema fundamental de vecindades cerradas y compactas Si X es localmente compacto en cada punto decimos que es localmente compacto EJEMPLO 1027 (R, cofinitos) es localmente compacto según (i) pero no lo es según (ii) pues la adherencia de una vecindad de un punto es todo R

201 108 Compacidad local 191 Sobre los espacios de Hausdorff estas dos definiciones coinciden; es decir, la existencia de una sola vecindad compacta para el punto, asegura la existencia de todo un sistema fundamental de vecindades compactas para el punto EJEMPLO 1028 Sea X un espacio de Hausdorff X es localmente compacto si, y solo si, todo filtro convergente en X tiene un miembro compacto ) Si X es localmente compacto y F es un filtro en Xconvergente a x, por definición toda vecindad de x pertence a F Pero entonces basta tomar una vecindad compacta de X (que existe porque X es localmente compacto) y se concluye que F contiene un miembro compacto ) Sea x un punto cualquiera de X Como la colección de todas las vecindades de x es un filtro que converge a x, por hipótesis debe contener algún miembro compacto, así que x posee una vecindad compacta V x EJEMPLO 1029 La topología de intervalos encajados Para X = (0, 1) R definimos T = {(0, 1 1 n )} n (n = 2, 3, 4, ) y por supuesto añadimos el y X Esto nos da un ejemplo de un espacio que satisface la definición 1048 pero no la definición 1049 puesto que la adherencia de cualquier vecindad es todo el espacio el cual no es compacto Muestre que en este espacio el único subespacio cerrado que es compacto es el vacío y que todo subespacio abierto es compacto, excepto X mismo G RUBIANO Proposición 1050 El espacio de Hilbert H no es localmente compacto Demostración Dados x H y ε > 0 veamos que la bola cerrada B ε (x) no es compacta Sea x = (x 1, x 2, ) y por cada n N definimos y n = (x 1, x 2,, x n 1, x n + ε, x n+1, ) y n B ε (x) y además d(y i, y j ) = 2ε para todo i, j N Así, la sucesión (y n ) no admite una subsucesión convergente; es decir, B ε (x) no es compacta por sucesiones, lo que es equivalente en este espacio métrico a decir que no es compacta

202 192 Compacidad EJEMPLO 1030 La compacidad local en general no es hereditaria Q con la topología de subespacio de R u no es localmente compacto en el punto 0 pues ninguna vecindad de 0 es compacta En efecto, dado un intervalo [p, q] en Q que contenga a 0, podemos obtener un cubrimiento abierto de [p, q] no reducible a uno finito; basta tomar t R Q con p < t < q y considerar la colección {[p, t 1/n) (t+1/n, q]}, (n N) trazada con Q algunas intersecciones pueden resultar vacías Claro que esto no sucede en caso que los subespacios sean abiertos o cerrados, es decir, la compacidad local es hereditaria cerrada ( demuéstrelo!) G RUBIANO Figura 107: Grafo de f(x) = sen(1/x) EJEMPLO 1031 Sea D el grafo de la función f(x) = sen(1/x) para 0 < x 1/π El conjunto D = D {(0, 0)} dotado de la topología de subespacio de R 2 u no es localmente compacto en el punto (0, 0) ya que cualquier vecindad V de este punto contiene una sucesión de puntos sobre una recta paralela al x eje que no posee un punto de acumulación en V, i e, V no es cerrada

203 108 Compacidad local 193 EJEMPLO 1032 La compacidad local no se preserva por funciones continuas en general La función id Q : (Q, discreta) (Q, usual) es continua pero no preserva la compacidad local Pero si f además de continua es abierta sí se preserva 1081 Compactación La esfera S 2 es una compactación del plano R 2 ya que la proyección estereográfica identifica al plano con la esfera punteada (el polo norte es removido) Hemos identificado un espacio no compacto con uno que sí lo es al añadirle un punto S 2 es compacto Definición 1051 Sea (X, T) un espacio Un espacio (Y, H) compacto se llama un compactado de X si existe una función f : X Y continua e inyectiva tal que f : X f(x) Y es un homeomorfismo con f(x) denso en Y En particular decimos que f realiza la compactación de X Si además Y f(x) se reduce a un conjunto unitario, decimos que Y es un compactado de Alexandroff o compactado por un punto La siguiente construcción es un método general de construir desde X un espacio compacto X = X { } que tenga a X como un espacio inmerso Proposición 1052 Sean (X, T) un espacio y un punto / X Para X = X { } definimos la topología T que tiene tanto a T como a los W X tales que W y W c es un cerrado y compacto en X G RUBIANO El par (X, T ) se llama compactado (por un punto) de Alexandroff de X K Demostración Claramente y X están en T pues es trivialmente compacto Veamos que T es cerrada para la intersección finita Si U, V T y ambos están en T entonces U V T ; si U T y V, V c es cerrado y compacto en T luego V X es abierto en X y así U V T T Si está tanto en U como en V entonces U c, V c son cerrados y compactos en X, luego (U V ) c = U c V c también es cerrado y compacto en X por ser unión de dos compactos, con lo que U V T

204 194 Compacidad Ahora examinemos la unión de una familia V = {V i } i T Si / V entonces V T T Pero si V i V entonces ( V) c V c como ( V) c es cerrado y Vi c es compacto tenemos que ( V) c es cerrado y compacto, esto es V T i ; Proposición 1053 El espacio (X, T ) es compacto Demostración Sea U un cubrimiento abierto de X Existe U 0 U con U 0 y U0 c compacto Claramente U es también cubrimiento abierto de U0 c, luego lo podemos reducir a un subcubrimiento finito U 1,, U n y así X n i=0 U i Proposición 1054 X es denso en X si y solo si X no es compacto Demostración ) Si X = X entonces X no es compacto, pues de lo contrario X sería cerrado y compacto con lo cual { } sería un abierto y { } X =, negando que X ) Basta ver que X Sea V una vecindad de en T Entonces V c es un subconjunto cerrado y compacto de X, con lo cual V c no puede ser todo X, así que V X, y por tanto X, lo que implica X = X en T En el caso de partir en la construcción desde un espacio de Hausdorff, tenemos el siguiente teorema Teorema 1055 (X, T) es Hausdorff y localmente compacto si y solo si (X, T ) es Hausdorff G RUBIANO Demostración ) Sea X localmente compacto y de Hausdorff Dados x, y X veamos que los podemos separar Si x, y X no hay nada que demostrar puesto que X es T 2 Si x =, como X es localmente compacto y Hausdorff, existe V y compacta y por tanto cerrada, luego (X V y ) T y (X V y ) V y = ) Supongamos que (X, T ) es Hausdorff X como subespacio de X es de nuevo Hausdorff Veamos que X es localmente compacto Sea x X y encontremos una vecindad compacta Existen V x, V abiertas en T con V x V =, esto es, X /V es un subconjunto cerrado y compacto de X con V x X V ; luego V x X V y por ser V x un cerrado dentro de un compacto, es compacta

205 108 Compacidad local 195 Corolario 1056 Cada espacio localmente compacto y Hausdorff es homeomorfo a un subespacio de un espacio compacto y de Hausdorff Demostración Basta considerar la inclusión i : X X Dado U X, U es abierto en x si y solo si lo es en X Luego G induce la topología original G de X (X, T) no se pierde en (X, T ) En resumen, hemos demostrado el siguiente teorema Teorema 1057 Sea X un espacio localmente compacto y no compacto Entonces i : X X la inyección canónica es una compactación de Alexandroff para X Ejercicios Muestre que en los espacios de Hausdorff la compacidad local se hereda a los subconjuntos cerrados o abiertos 2 Muestre que la compacidad local es un invariante topológico 3 Muestre que un espacio producto de espacios es localmente compacto si y solo si cada espacio coordenado es localmente compacto y todos excepto un número finito de espacios coordenados son compactos 4 Sea X = R u Muestre que X (la compactación de Alexandroff) es homeomorfo a S 1 con la topología usual G RUBIANO Sugerencia: la función f : X S 1 es un homeomorfismo si es definida por ( ) 1 x 2 f(x) = 1 + x 2, 2x 1 + x 2, x X ( 1, 0) x = 5 Sea (X, T) un espacio Hausdorff y localmente compacto Si A X y x / A, existen vecindades disyuntas de A y x podemos separar puntos de cerrados

206 11 Espacios métricos y sucesiones completez Una manera clásica de presentar al espacio R u es la siguiente: es el menor espacio métrico completo que contiene a Q como subespacio El sentido de completo y su generalización es lo que estudiamos en este capítulo Intuitivamente un espacio métrico es completo si cada sucesión que quiere converger realmente tiene a dónde hacerlo 111 Sucesiones de Cauchy Definición 111 Sea (X, d) un espacio métrico Una sucesión (x n ) en X se dice sucesión de Cauchy si dado un ε > 0 existe un entero positivo N (depende de ε) tal que si m, n N entonces d(x m, x n ) < ε podemos controlar la distancia entre los puntos a partir de un momento dado y controlarla tanto como queramos Definición 112 Un espacio métrico (X, d) es completo si cada sucesión de Cauchy en X es convergente a algún punto de X (Las sucesiones que quieren converger encuentran a quién hacerlo) G RUBIANO Proposición 113 En un espacio métrico (X, d) una sucesión de Cauchy es un conjunto acotado Demostración Existe N 1 tal que para m, n N 1, d(x m, x n ) 1 En particular para todo n N 1 tenemos d(x n, x N1 ) 1, y tomando para los términos que están anteriores a x N1 el máximo M = máx k N1 d(x k, x N1 ), tenemos que todo x n satisface d(x n, x N1 ) máx{m, 1} Proposición 114 Si una sucesión de Cauchy en un espacio métrico (X, d) tiene una subsucesión convergente entonces la sucesión converge 196

207 111 Sucesiones de Cauchy 197 Demostración Sea (x n ) una sucesión de Cauchy para la cual existe una subsucesión x nk l X Para ε > 0 existen N ε y k ε en N tales que para todo m, n N ε, d(x m, x n ) < ε 2 y para todo k k ε, d(x nk, l) < ε 2 Si M = máx{n ε, n kε } entonces para n M tenemos d(x n, l) d(x n, x nkε ) + d(x nkε, l) ε, y así x n l Las proposiciones 113, 114 implican que los espacios métricos que son compactos son completos Pero esto no significa que haya escasez de espacios métricos completos que no sean compactos, por ejemplo R u Desafortunadamente la propiedad de completez no es un invariante topológico Por ejemplo R u (0, 1) pero el segundo no es completo Como la definición de sucesión de Cauchy no es una cualidad topológica sino que depende de la métrica usada en particular, podemos tener la misma topología proveniente en un caso de un espacio completo y en otro de un espacio no completo la noción de sucesión de Cauchy no es topológica Por ejemplo, si sobre R definimos la métrica d(x, y) = x 1 + x y 1 + y, tenemos que (R, d) es homeomorfo a R u métricas exóticas pero la sucesión (n) n N es de Cauchy en la métrica d y no lo es en la usual G RUBIANO Esta situación, más bien estresante, puede ser remediada de manera parcial con la introducción del concepto de completez topológica Definición 115 Un espacio métrico (X, d) es completo topológicamente si existe una métrica m equivalente a d y (X, m) es completo K Por supuesto, los espacios métricos completos son completos topológicamente La pregunta es si todo espacio métrico puede tener una métrica equivalente que lo haga completo topológicamente Aunque la respuesta es no, por ejemplo Q, veremos en la sección 113 cómo completar cualquier espacio métrico

208 198 Espacios métricos y sucesiones completez EJEMPLO 111 (R N, d) con d la métrica primeriza o de Baire (ver pág 34) es completo Si x = (x n ) n N es una sucesión de Cauchy en R con x n = (x k n) k y donde x k n es la k-ésima coordenada del término n-ésimo de la sucesión x entonces, por la definición de la métrica de Baire, para cada k la sucesión (x k n) n es a la larga constante, digamos a x k, pues dado ɛ > 0 existe 1 N con d(x n, x m ) < 1 N para n, m > N, lo que implica que las dos sucesiones se igualan a partir del índice N en adelante Claramente x n (x k ) Esta es una métrica que haría de Q (0, 1) un espacio completo al tomar cada racional en su expansión decimal 1111 Filtros de Cauchy Así como para las sucesiones en un espacio métrico, también existe una versión de Cauchy para los filtros Definición 116 Sea (X, d) un espacio métrico y F un filtro en X Se dice que F es de Cauchy en X si para cada ɛ > 0 existe un F F tal que F F {(x, y) X X : d(x, y) < ɛ} El filtro posee elementos con diámetro tan pequeño como queramos Proposición 117 Si una sucesión (x n ) n N es de Cauchy, entonces el filtro asociado también es de Cauchy G RUBIANO Demostración Para abreviar, diremos que F X es ɛ pequeño si satisface la condición del enunciado, a saber F F {(x, y) X X : d(x, y) < ɛ} El filtro asociado F(x n ) tiene como base a las colas S k = {x n : n k} Fijado ɛ > 0, como (x n ) es de Cauchy existe r N tal que si n, m r tenemos d(x n, x m ) < ɛ Así pues la sección S r (y todas las S k, con k < r) son ɛ pequeñas y por tanto F es de Cauchy Proposición 118 Si F es un filtro de Cauchy en (X, d) entonces F converge a cada uno de sus puntos adheridos

209 111 Sucesiones de Cauchy 199 Demostración Sean F un filtro de Cauchy en X y x un punto adherente de F, es decir, x F para cada F F Para ver la convergencia es suficiente mostrar que las bolas abiertas B ɛ (x) pertenecen al filtro Pero esto se tiene ya que dada B ɛ (x) existe F F que es ɛ/2 pequeño y esto implica F B ɛ (x) En efecto, dado y F tomemos z B ɛ/2 (x) F y como F es ɛ/2 pequeño, tenemos d(y, x) d(y, z) + d(z, x) < ɛ En los espacios métricos completos los filtros de Cauchy caracterizan a los filtros convergentes Proposición 119 Sea (X, d) un espacio métrico completo Un filtro F es convergente si y solo si es de Cauchy Demostración ) Supongamos que F converge a x Entonces B ɛ/2 (x) F y además B ɛ/2 (x) es ɛ pequeña ) Sea F de Cauchy Construyamos una sucesión (x n ) de Cauchy y mostremos que F converge al punto que converge tal sucesión Dado n tomamos F n que sea 1 n pequeño y elegimos x n F 1 F n La sucesión (x n ) así definida es la que necesitamos EJEMPLO 112 La completez no es hereditaria R es completo ya que toda sucesión de Cauchy al ser acotada está contenida dentro de un subespacio compacto y por lo tanto compacto por sucesiones, con lo cual se admite una subsucesión convergente y por 114 tenemos la completez En Q con la topología de subespacio usual de R la sucesión (1, 1,4, 1,41, 1,414, 1,4142, ) es de Cauchy y no converge quiere converger a 2 que no está en Q G RUBIANO Teorema 1110 En un espacio métrico completo (X, d), los subespacios que son completos son los cerrados Demostración ) Sea A un subespacio de X Si A es cerrado, dada (x n ) de Cauchy en (A, d A ), ella también lo es en (X, d) y su límite pertenece a A ya que A es cerrado ) Si (A, d A ) es completo, todo punto b adherente a A admite una sucesión (x n ) en A que es convergente a b, pero como (x n ) es de Cauchy y A es completo, b A

210 200 Espacios métricos y sucesiones completez La propiedad de completez es más débil que la de compacidad; una evidencia de esto son los espacios métricos R n Algo más interesante aún es que, tomando separadamente la completez y la propiedad de totalmente acotado, ellas no son propiedades topológicas, pero al tomarlas simultáneamente dan un invariante topológico que es la compacidad (teorema 1111) Ya vimos en la página 197 que la compacidad en un espacio métrico implica su completez El siguiente teorema da condiciones para garantizar la inversa Teorema 1111 Sea (X, d) un espacio métrico X es compacto si y solo si X es completo y totalmente acotado Demostración ) Proposiciones 113, 114 ) Sea (x n ) en X Si un término se repite un número infinito de veces, ella contiene una subsucesión convergente constante Si este no es el caso, veamos que de todas formas existe una subsucesión convergente, lo cual muestra que X es compacto por sucesiones; lo que para nuestro caso métrico es equivalente a compacidad Dado un ε > 0 existe una ε-red finita y por tanto un cubrimiento B ε finito por bolas de radio ε Así, para cada ε existe una bola B ε (t ε ) en B ε algún t ε que contiene infinitos términos de la sucesión (x n ) Sea x n1 el primer término de la sucesión contenido en B 1 (t 1 ) Similarmente escogemos a x nj como el primer elemento de {x k : k > n j 1 } contenido en B 1/j (t 1/j ) La subsucesión (x nj ) es de Cauchy y como X es completo ella converge a algún x X La siguiente es una propiedad importante de los espacios métricos completos Es una generalización de la propiedad de Cantor en R n G RUBIANO Teorema 1112 (Encaje de Cantor) Sea (X, d) un espacio métrico completo Si A 1 A 2 A 3 es un encaje decreciente de subconjuntos cerrados de X con lím(diam(a n )) = 0 (el límite de los diámetros es cero) entonces n N A n = {x} para algún x X Demostración Por cada entero positivo n seleccionamos un x n A n Veamos que (x n ) es de Cauchy y que su límite es el punto en n N A n Dado ε > 0, existe un entero positivo N tal que diam(a N ) < ε Como la sucesión {A n } n es decreciente, para x m, x n con m, n > N tenemos d(x m, x n ) < ε, con lo cual (x n ) es de Cauchy y convergente digamos

211 112 Espacios de Baire 201 al punto x Para cada j N, la sucesión (x j+i ), (i = 1, 2, ) es una sucesión en A j con x j+i x; así, x A j para cada j pues A j es cerrado Si existiera otro punto y n N A n entonces diam(a n ) d(x, y) > Espacios de Baire El siguiente teorema fue introducido por B Baire 1 en 1889 para los números reales y por F Hausdorff en 1914 para los espacios métricos completos Teorema 1113 Supongamos que (X, d) es un espacio métrico completo y sea {D n } n N una colección enumerable de conjuntos abiertos y densos en X Entonces n N D n es densa en X Demostración Veamos que para cualquier abierto U se tiene ( ) U D n n N Como U D 1 entonces existe una bola abierta B 1 con B 1 U D 1 y diam(b 1 ) 1 De manera inductiva se puede construir una sucesión (B n ) n N de bolas abiertas con la siguiente propiedad: B n (B n 1 ) D n y diam(b n ) 1/n, (n N) Entonces G RUBIANO n N B n ( ) U D n, y como las B n forman un encaje que satisface las condiciones del teorema 1112 tenemos n N B n lo que implica U ( n N D n) n N La anterior propiedad no es exclusiva de los espacios métricos completos, más aún, puede ser poseída por espacios topológicos no metrizables Los espacios que comparten esta propiedad se conocen como espacios de Baire 1 René-Louis Baire (París, 1874-Chambéry, 1932) matemático francés, notable por sus trabajos sobre continuidad de funciones, los números irracionales y el concepto de límite Su libro Leçons sur les théories générales de l analyse (1908) se convirtió en un clásico de la didáctica del análisis matemático

212 202 Espacios métricos y sucesiones completez Definición 1114 Un espacio (X, T) se dice espacio de Baire si dada una familia enumerable {D n } n N de abiertos densos en X su intersección es densa en X Proposición 1115 Sea (X, T) un espacio de Baire Si {C n } n N es un cubrimiento por cerrados de X, entonces al menos uno de los C n contiene un conjunto abierto (tiene interior no vacío) Demostración Es una aplicación de las leyes de De Morgan Si X = n N C n tomando complementos se tiene n N C n c = y como el espacio es de Baire, alguno de los C n c no es denso, ie, C n contiene un abierto En un espacio topológico se puede pensar que los conjuntos cerrados con interior vacío son como puntos en el espacio (son demasiado delgados para contener algo ) Ignorando los espacios con puntos aislados, que son su propio interior, un espacio de Baire es grande en el sentido que no puede construirse como una unión enumerable de estos conjuntos delgados Por ejemplo en R 2 u cualquier colección enumerable de líneas, sin importar que líneas escojamos, no pueden cubrir al espacio Los conjuntos del párrafo anterior reciben un nombre especial Definición 1116 Sean (X, T) un espacio y M X Se dice que M es magro, delgado o diseminado en X si M= EJEMPLO 113 G RUBIANO Los subconjuntos finitos y Z son diseminados en R u Q no lo es Ejercicios Muestre que (x n ) es sucesión de Cauchy si d(x n, x m ) 0 cuando n, m 2 Muestre que la definición de sucesión de Cauchy es equivalente a decir que el filtro F generado por la sucesión (x n ) satisface que,

213 112 Espacios de Baire 203 dado ε > 0, existe F F tal que el diámetro de F sea menor que ε; esto es, diam(f ) = sup d(f F ) = sup{d(x, y) : x, y F } < ε 3 Muestre que en R n una sucesión converge si y solo si es de Cauchy Este ejercicio muestra que la clase de las sucesiones de Cauchy es la misma que la de las sucesiones convergentes Pero en general esto no es así para los espacios métricos, y da origen a la definición de completez 4 Muestre que el recíproco del teorema 1112 es cierto; es decir, si tenemos la propiedad para cada encaje es porque el espacio es completo 5 Sea (x n ) una sucesión en el espacio métrico (X, d) Muestre que (x n ) es de Cauchy si y solo si lím n diam(x n ) = 0 donde X n = {x n, x n+1, } 6 Muestre que H el espacio de Hilbert es completo Sugerencia: si (q m ) es una sucesión de Cauchy en H con muestre que q m = {q m1, q m2,, q mn, }, a) Para cada j, (q mj ) m N es una sucesión de Cauchy en los reales Luego existe su límite z j b) z = (z 1, z 2, ) H G RUBIANO c) q m z 7 Muestre que un espacio (X, T) de Hausdorff y localmente compacto es de Baire 8 Si (X, T) es un espacio de Baire entonces a) La unión de cualquier familia numerable de subconjuntos diseminados o densos en ninguna parte tiene interior vacío b) X no se puede expresar como una unión enumerable de conjuntos densos en ninguna parte c) Toda unión enumerable de subconjuntos cerrados con interior vacío, tiene interior vacío

214 204 Espacios métricos y sucesiones completez 9 Si (X, T) es Hausdorff y compacto entonces X es de Baire 10 Si M es diseminado en (X, T) también lo es M 11 Si M es diseminado en (X, T) entonces ext(m) es denso en X 113 Completez de un espacio métrico Uno de los métodos introducido por Hausdorff en 1914 de construir los números reales es a partir de los números racionales, usando clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy en los números racionales Por supuesto, existen otros métodos como el propuesto por Dedekind utilizando sus llamadas cortaduras y luego extendido por MacNeille para conjuntos parcialmente ordenados Lo que haremos en esta sección no es más que resaltar la belleza de la técnica utilizada por Hausdorff, para mostrar una de las formas clásicas de abstraer en matemáticas y de paso completar un espacio métrico cualquiera Recordemos que una isometría es una clase particular de función continua f : (X, d) (Y, m) entre espacios métricos que, como su nombre lo indica, no cambia la medida, esto es m(f(x), f(y)) = d(x, y) para todo x, y X Por ejemplo, R está isométricamente inmerso en R 2 a través del eje ordenado x, precisamente f : R R 2 con f(x) = (x, 0) G RUBIANO En general decimos cuando existe una isometría que el espacio métrico X está inmerso isométricamente en Y por medio de f Lo que mostraremos en estos párrafos es: si nuestro espacio métrico (X, d) no es completo podemos obtener un espacio métrico X de tal modo que X es completo y X está inmerso en X de una manera representativa; esto es, la copia de X por medio de la isometría es un subconjunto denso en X Teorema 1117 Sea (X, d) un espacio métrico Existe un espacio métrico (X, d ) completo y una isometría f : X X tal que f(x) es denso en X El par (f, (X, d )) se llama un completado del espacio (X, d)

215 113 Completez de un espacio métrico 205 Demostración Notemos por S el conjunto de todas las sucesiones de Cauchy en X Sobre S definimos la siguiente relación: (x i ) (y i ), si y solo si lím i d(x i, y i ) = 0, (i N) Es inmediato ver que es de equivalencia Sea X = S/ el conjunto de todas las clases [(x i )] de equivalencia Definimos una métrica sobre X como d ([(x i )], [(y i )]) = lím d(x i, y i ), (i N) i Para ver que d es una métrica basta notar que si (x i ), (y i ) S entonces (d(x i, y i )) es de Cauchy en R, por lo cual su límite existe Cada elemento x X lo identificamos en X con la sucesión x = (x) constante al punto x, con lo cual f : (X, d) (X, d ) definida por f(x) = x = [(x)] es una isometría con X := f(x) Para verificar que X = f(x) es denso en X consideremos (x n ) S y veamos que [(x n )] X Dado ε > 0, sea [x i ] = [(x i, x i, )] para cada i note que [x i ] = f(x i ) pertenece a f(x) Como (x 1, x 2, ) es de Cauchy, existe un entero N tal que d(x i, x j ) < ε para cada i, j N Luego d([(x n )], f(x N ) = lim n d(x n, x N ) < ε, así, [(x n )] es un punto adherente a X (f(x N ) es un punto en f(x)), luego X = f(x) es denso en X Finalmente revisemos la completez Sea (x n ) una sucesión de Cauchy en X donde x n = [(x n 1, xn 2, xn 3, )] Podemos asumir que el diámetro del conjunto {x n i i N} es menor que 1/n ya que para algún K, d(x n i, xn j ) < 1/n, para i, j K y así (xn 1, xn 2, ) es equivalente a (x n k, xn k+1, ) con lo cual (x n) puede ser representada por ésta última sucesión G RUBIANO Veamos que x = (x 1 1, x2 2, x3 3, ) es una sucesión de Cauchy Dado ε > 0 existe N tal que d(x m, x n ) = lím k d(x k n, x k m) < ε para m, n > N Luego para algún K fijo K N, tenemos d(x K n, x K m) < ε/3 para m, n > N Escojamos M tal que 1/M < ε/3 Entonces para m, n N tenemos d(x m m, x n n) d(x m m, x K m) + d(x K m, x K n ) + d(x K n, x n n) < 3ε/3 = ε Como d(x m, [x]) = lím K d(x K n, x K K ) < ε/3 para n N entonces (x n) [x], es decir X es completo

216 206 Espacios métricos y sucesiones completez Corolario 1118 Un espacio métrico X es completo si y solo si X X homeomorfos Demostración ) Si X X entonces X es completo ) Si X es completo, dado x X con x representado por la sucesión de Cauchy (x 1, x 2, ) entonces (x 1, x 2, ) x, (x X) y así (x 1, x 2, ) es equivalente a (x, x, ), con lo cual x puede representarse por (x, x, ) y por tanto x X 114 Espacios de funciones Recordemos que si X es un conjunto y (Y, d) es un espacio métrico, sobre el conjunto B(X, Y ) de todas las funciones acotadas de X en Y, definimos la métrica d (f, g) = sup x X {d(f(x), g(x))} Esta métrica genera la topología del sup o topología de la convergencia uniforme Definición 1119 Sean (X, T) un espacio, (Y, d) un espacio métrico y (f n ) n N una sucesión de funciones f n : (X, T) (Y, d) Supongamos que para cada x X el lím n (f n (x)) existe Si definimos f(x) como el valor de este límite, entonces f(x) define una f : (X, T) (Y, d) En este caso decimos que (f n ) converge puntualmente a f G RUBIANO Si suponemos en la definición anterior que cada f n es continua, en general no podemos esperar que f también sea continua Necesitamos entonces un tipo de convergencia más fuerte para una sucesión de funciones evoquemos lo que es la continuidad uniforme para una función f de tal manera que la función límite pueda heredar la continuidad a partir de las f n Definición 1120 Sean (X, T) un espacio, (Y, d) un espacio métrico y (f n ) una sucesión de funciones con f n : (X, T) (Y, d) Decimos que (f n ) n converge uniformemente a una función f si para cada ε > 0 existe N N tal que si n N entonces d(f n (x), f(x)) < ε para cada x X

217 114 Espacios de funciones 207 Si (f n ) f uniformemente, en particular lo hace puntualmente; esto es, la continuidad uniforme de funciones implica la convergencia puntual, pues el N de la definición de convergencia uniforme depende únicamente de ε mientras que en la puntual también debe depender del punto x Teorema 1121 Sean (X, T) un espacio, (Y, d) un espacio métrico y (f n ) con f n : (X, T) (Y, d) una sucesión de funciones continuas Si f n f uniformemente entonces f es continua Demostración Dados a X y ε > 0 veamos que existe una V a tal que para cada x V a se tiene d(f(x), f(a)) < ε Como f n f, existe N N tal que d(f N (x), f(x)) < ε/3 para todo x X De otra parte, d(f(x), f(a)) d(f(x), f N (x)) + d((f N (x), f( N (a)) + d(f N (a), f(a)) < d(f N (x), f N (a)) + 2ε/3 y como f N es continua, existe V a tal que para x V a, d(f N (x), f N (a)) < ε/3, con lo cual se satisface que, x V a implica d(f(x), f(a)) < ε La siguiente es la razón por la cual la métrica d sobre B(X, Y ) se llama la distancia de la convergencia uniforme Teorema 1122 Sean (X, T) un espacio, (Y, d) un espacio métrico y (f n ) una sucesión en B(X, Y ) En (B(X, Y ), d ), f n f si y solo si la convergencia es uniforme Demostración ) Como f n f en la topología del sup, dado ε > 0 existe N N tal que para n N se tiene d (f, f n ) < ε Luego en particular para cada x X tenemos que G RUBIANO d(f(x), f n (x)) sup{d(f n (x), f(x))} = d (f n, f) < ε x ) Dado ε > 0 existe N N tal que para n N se tiene d(f n (x), f(x)) < ε/2 para cada x X Luego si n > N entonces sup x {d(f n (x), f(x))} ε/2 < ε con lo cual d (f, f n ) < ε para n > N Proposición 1123 Sean (X, T) un espacio y (Y, d) un espacio métrico completo El espacio B(X, Y ) de las funciones acotadas con la métrica d de la convergencia uniforme es completo

218 208 Espacios métricos y sucesiones completez Demostración Sea (f n ) n N una sucesión de Cauchy en B(X, Y ), i e, dado ε > 0, existe N ε N tal que para m, n N ε se tiene sup d(f n (x), f m (x)) ε x X En particular para un x fijo, la sucesión (f n (x)) n es de Cauchy en el espacio completo (Y, d) y por tanto existe su límite, el cual notamos como f(x) = lím n (f n (x)) Hemos definido así f : X Y Veamos que ella es acotada Existe N 1 N tal que d (f N1, f n ) 1 para todo n N 1 Sea a Y y notemos por a la función a : X Y constante a a Para todo x X y n N 1, d(a, f n (x)) d(a, f N1 (x)) + 1 d (a, f N1 ) + 1 Fijando x y tomando el límite cuando n obtenemos d(a, f(x)) d (a, f N1 ) + 1 y como esto es independiente de x, tenemos que f B(X, Y ) Veamos por último que efectivamente f n f Para ε > 0 y x X tenemos la desigualdad d(f n (x), f m (x)) ε si m, n N ε Tomando el límite cuando m y fijando a x obtenemos d(f n (x), f(x)) ε para todo x y n N ε Como N ε no depende de x, tenemos d (f n, f) ε Por tanto, lím n d (f n, f) = 0 y así f n f Corolario 1124 Sean (X, T) un espacio y (Y, d) un espacio métrico completo El espacio C B (X, Y ) de las funciones continuas y acotadas con la métrica d de la convergencia uniforme es completo G RUBIANO Figura 111: La convergencia uniforme Demostración Sea (f n ) n N una sucesión de Cauchy en C B (X, Y ) Solo nos falta verificar que f de la demostración del teorema 1123 es continua

219 114 Espacios de funciones 209 Sea a X y veamos que f es continua en a Dado ε > 0 existe un entero N tal que d(f n (x), f(x)) < ε/3 para n N y cada x X Como f n es continua existe una vecindad abierta U a de a, tal que para cada x U a, d(f n (x), f n (a)) < ε/3 Luego d(f(x), f(a)) d(f(x), f n (x))+d(f n (x), f n (a))+d(f n (a), f(a)) < 3 ε 3 = ε Así, f es continua en a En particular, C B (X, Y ) es un subconjunto cerrado de B(X, Y ) Corolario 1125 Sean (X, T) un espacio compacto y (Y, d) un espacio métrico completo El espacio C(X, Y ) de las funciones continuas con la métrica d de la convergencia uniforme es completo G RUBIANO

220 12 Los axiomas de separación La definición de espacio topológico es en sí muy general: una colección de subconjuntos con dos propiedades de clausura, una para la unión y otra para la intersección; por tanto, no muchos teoremas pueden demostrarse a menos que limitemos las clases de espacios a considerar Para obtener estas clases específicas, debemos imponer condiciones de suerte que, a más condiciones, más específica sea la clase y entonces más teoremas propiedades puedan ser demostrados Hemos visto cómo algunas propiedades topológicas de un espacio (X, T) dependen directamente de condiciones impuestas sobre la cardinalidad de T o más precisamente de la cardinalidad de sus bases, por ejemplo 2-contable, 1-contable, ejerciendo a su turno un control sobre la cantidad de abiertos involucrados en el espacio Esta cardinalidad también afecta a la continuidad, en el sentido de que, a mayor cantidad de abiertos para el espacio en el dominio, la posibilidad de continuidad aumenta, o disminuye para el caso del codominio G RUBIANO 121 T 0, T 1 y T 2 o de Hausdorff Otras condiciones que interesan y comenzamos a estudiar son la manera como los abiertos están distribuidos sobre el espacio Estas separaciones fueron estudiadas por Alexandroff y Hopf 1, bajo la denominación de axiomas T k, k = 0, 1, 2, 3, 4, los cuales nos muestran básicamente el grado en que puntos y conjuntos pueden mantenerse aparte, o separarse por medio de conjuntos abiertos Este estudio surge en relación con los problemas de seudometrización 1 En un excelente libro sobre Topología del año

221 121 T 0, T 1 y T 2 o de Hausdorff 211 y metrización de un espacio topológico Pretendían encontrar una condición de separación, bajo la cual los espacios topológicos resultaran metrizables o bien seudometrizables Figura 121: P Alexandroff y H Hopf, Zürich, 1931 Al hablar de separación en un espacio topológico nos referimos a la separación que podemos inducir entre los puntos del espacio valiéndonos de los conjuntos abiertos En un espacio indiscreto, por ejemplo, esta separación es nula pues para cualesquiera dos puntos es imposible hallar un abierto que contenga a uno de ellos sin contener al otro Nuestro estudio se limitará a los axiomas T k mencionados, aunque no dejan de existir esfuerzos en crear cada día otro T k, k-racional, donde podría pensarse que la separación óptima la poseen los espacios métricos El axioma de separación más primitivo afirma que, dados dos puntos del espacio, al menos uno de ellos se puede separar del otro por medio de un abierto 2 Definición 121 Un espacio (X, T) es T 0 o de Kolmogoroff 3 si, dados x, y X con x y, existe una vecindad abierta U x de x que no contiene G RUBIANO 2 En 1935 se publicó el libro Topologie I de Pavel S Alexandroff y Heinz Hopf En éste se indica que el axioma de separación más débil fue introducido por Andrei Kolmogoroff 3 Andrei Kolmogoroff (Tambov 1903-Moscú 1987), matemático ruso que hizo progresos importantes en los campos de la teoría de probabilidad y de la topología En particular, desarrolló una base axiomática que supone el pilar básico de la teoría de las probabilidades a partir de la teoría de conjuntos Trabajó al principio de su carrera en lógica constructivista y en la serie de Fourier Fue el fundador de la teoría de la complejidad algorítmica

222 212 Los axiomas de separación a y o existe una vecindad abierta U y de y que no contiene a x EJEMPLO 121 El espacio de Sierpinsky {0, 1} (pág 13) es T 0 EJEMPLO 122 Dado un conjunto parcialmente ordenado (X, ), el espacio (X, T d ) con la topología generada por las colas a derecha cerradas es T 0 Ser T 0 es equivalente a cualquiera de las siguientes afirmaciones: 1 Dados x y, x / {y} ó y / {x} 2 Si x y y son puntos distintos de X entonces {x} {y} EJEMPLO El espacio del ejemplo 1029 intervalos encajados no es T 0 pues todo abierto no vacío contiene simultáneamente a los puntos Dado un conjunto X y a, b X definimos G := {A X : {a, b} A} { } En este espacio los puntos a, b no se pueden distinguir topológicamente G RUBIANO 3 Si (X, T) un espacio T 0 y 2-contable, la cardinalidad del conjunto X queda acotada por X 2 ω Si B := {B 1, B 2, } es una base la función f : X 2 B definida por f(x) = {B B : x B} es inyectiva y por tanto X 2 B 2 ω 10, Definición 122 Un espacio (X, T) es T 1 o accesible 4 si, dados x, y X con x y, existen vecindades abiertas U x, U y tales que y / U x y x / U y Este axioma algunas veces es referido como de Frèchet o axioma de separación de Riesz 4 En 1907 Friedrich Riesz introdujo el axioma de separación T 1

223 121 T 0, T 1 y T 2 o de Hausdorff 213 EJEMPLO 124 (R, cofinitos) es un espacio T 1 Nota La definición de T 1 es equivalente a que cada conjunto unitario {a} del espacio sea cerrado En efecto, el complemento de {a} es un conjunto abierto, pues por cada x a tomamos una vecindad abierta Vx a de x tal que a / Vx a, y así {a} c = x a V x a El axioma de separación más conocido fue introducido por Hausdorff 5 y es el que nosotros hemos exigido en la definición de un espacio de Hausdorff o T 2 Algunas veces este espacio se llama separado, que no debe confundirse con separable, lo cual tiene un significado completamente diferente Ya hemos visto que esta es una propiedad heredable y productiva, la cual resulta de un valor apreciable cuando se trata de espacios compactos En los espacios de Hausdorff la convergencia de una sucesión o de un filtro, en caso de existir, es única, lo que es uno de los requisitos mínimos para desarrollar una teoría de convergencia EJEMPLO Todo espacio métrico es de Hausdorff 2 (R, cofinitos) es T 1 pero no es T 2 3 Muchos otros ejemplos de espacios que no son de Hausdorff pueden ser construidos, pero ellos de alguna manera son no naturales 4 Por supuesto tenemos la implicación T 2 T 1 T 0 G RUBIANO Ejercicios Muestre que, en un espacio T 0, la relación x y si x {y} es de orden en el conjunto X 2 Muestre que, un espacio (X, T) es T 0 si y solo si para todo par x, y X con x y se tiene {x} {y} K 5 El 1914 Felix Hausdorff introdujo el axioma de separación T 2 en su famoso libro GrundzÄuge der Mengenlehre

224 214 Los axiomas de separación 3 Muestre que, en un espacio (X, T), ser T 1 es equivalente a cada una de las siguientes afirmaciones: a) Todos los conjuntos unitarios son cerrados b) Todos los subconjuntos finitos son cerrados c) Para cada A X la intersección de todos los abiertos U A que contienen a A es el propio A d) Para cada a X la intersección de todos los abiertos U a que contienen al punto a es {a} e) Cada subconjunto de X es unión de subconjuntos cerrados f ) Cada subconjunto no vacío contiene algún subconjunto cerrado no vacío g) Para cada x X el conjunto {x} a = h) Para cada A X, A a = A a ω (definición 1030) 4 Un espacio (X, T) es T D si y solo si para todo x X el conjunto {x} a es cerrado Muestre que T 1 implica T D 5 Muestre que si (X, T) es T 1 entonces A a es cerrado para cada A X 6 Muestre que todo espacio finito que es T 1 necesariamente es discreto 7 Muestre que la definición de un espacio (X, T) de Hausdorff es equivalente a: G RUBIANO a) Para cada a X la intersección de todas las vecindades cerradas del punto a es el conjunto {a} b) La diagonal X = {(x, x) : x X} es cerrada en el espacio producto X X c) La convergencia de filtros es única 8 Muestre que la propiedad de ser T 2 no es equivalente a la propiedad de la convergencia única por sucesiones

225 121 T 0, T 1 y T 2 o de Hausdorff Sea f : (X, T) (Y, H) continua y (Y, H) un espacio T 2 Entonces el grafo de f, G f := {(x, f(x)) x X}, es cerrado en el espacio producto X Y Sugerencia: considere la función Entonces h = (f, id Y ) : X Y Y Y, h 1 ( Y ) = h 1 ({(y, y) y Y }) (x, y) (f(x), y) = {(x, y) f(x) = y, x X} = {(x, f(x)) x X} = G f 10 Sean f, g : (X, T) (Y, H) continuas y (Y, H) un espacio T 2 Entonces el subconjunto de coincidencia C(f, g) = {x X : f(x) = g(x)} donde f y g coinciden, es cerrado Sugerencia: considere la función (f, g) : X Y Y 11 Las propiedades T 0, T 1, T 2 son hereditarias? 12 Muestre que T 0, T 1, T 2 son invariantes topológicos G RUBIANO 13 Muestre que T 0, T 1, T 2 son productivas, i e, el espacio producto i I (X i, T i ) es T 0, T 1, T 2 si y solo si cada espacio factor lo es 14 Muestre que si f : (X, T) (Y, H) es una función inyectiva y continua con (Y, H) de Hausdorff entonces X es de Hausdorff 15 (R, co-compacto) En R definimos C R cerrado si C es cerrado y acotado en el sentido usual Muestre que este espacio es T 1 pero no es T 2 16 (X, T) es T 2 1 o de Urysohn, si todo par de puntos puede ser 2 separado por vecindades cerradas Un espacio T 2 1 es de Hausdorff 2

226 216 Los axiomas de separación 122 Regulares, T 3, Tychonoff En esta sección vemos la separación entre puntos y conjuntos, con un axioma introducido por Vietoris 6 en 1921 Definición 123 Un espacio (X, T) es regular si, dados x X y un cerrado F X con x / F, existen abiertos V x, V F disyuntos que contienen a x y a F respectivamente Algunos autores prefieren llamar a estos espacios T 3 EJEMPLO 126 Un espacio que es T 2 pero no es regular En R definimos una subbase añadiendo a la topología usual el conjunto Q La topología generada T es T 2, pues esta subbase es más fina que la usual Nótese que hemos agregado los intervalos que constan únicamente de números racionales o unión de los intervalos usuales con los intervalos formados exclusivamente por racionales El conjunto I de los números irracionales es cerrado en (R, T) pero no lo podemos separar del punto x = 0, pues cualquier vecindad V I necesariamente tiene que ser igual a R EJEMPLO 127 En R consideremos el conjunto A = {1/n n N} Definimos una topología T para R así: V T si y solo si V = U B c donde U es abierto de la topología usual de R y B A Esto es, los elementos de la topología son los abiertos de la usual, con el derecho a extraerles cualquier cantidad de números de la forma 1/n Note que la usual está contenida en T y por lo tanto T es Hausdorff Sin embargo, este espacio no es regular pues el punto 0 y el conjunto cerrado A (A es cerrado ya que A c = R A c es abierto) no pueden separarse Por qué? G RUBIANO 6 Leopoldo Vietoris (1891 Radkersburg, Austria Innsbruck, Austria 2002) Vivió 110 años (de hecho casi 111, murió menos de dos meses antes) en tres siglos diferentes Es conocido principalmente por sus estudios en topología, rama de las matemáticas de la que se le considera uno de los fundadores e impulsores También se interesó por la historia de las matemáticas, la filosofía y fue un gran alpinista y esquiador Durante toda su vida publicó 80 trabajos en diversos campos, el último de ellos a los 104 años

227 122 Regulares, T 3, Tychonoff 217 La siguiente es una caracterización local de los espacios regulares y es quizás la forma más útil de presentar este axioma Teorema 124 Un espacio (X, T) es regular si y solo si para cada subconjunto abierto U y para cada x U existe un abierto V x tal que x V x V x U Un espacio (X, T) es regular si para cada x X las vecindades cerradas de x forman un sistema fundamental de vecindades de x; i e, cada vecindad de x contiene una vecindad cerrada Demostración ) Sean U abierto y x U Como U c es cerrado existen vecindades disyuntas abiertas V, W de x y U c respectivamente Así, x V W c y como W c U tenemos x V V U ya que W c es cerrado ) Dado un F cerrado y x / F, el conjunto F c es una vecindad abierta de x Así que existe V x tal que V x V x F c Si tomamos U = ( ) c V x entonces F U y además Vx U = EJEMPLO 128 Bajo la anterior caracterización es claro que la topología de los complementos finitos en R no es regular, ya que ninguna vecindad de un punto es cerrada No siempre es el caso que cada espacio regular implique los demás axiomas de separación T 0, T 1, T 2 Por ejemplo (X, grosera) es regular pero no necesariamente es T 2 pues un punto no necesita ser un conjunto cerrado Es por ello que a los espacios regulares los reforzamos en la siguiente definición para que así T i implique T i 1 G RUBIANO Definición 125 Un espacio (X, T) que es regular y además T 1 se llama un espacio T 3 Esto es, además de poder separar puntos de conjuntos cerrados, exigimos que los conjuntos unitarios sean cerrados Proposición 126 La propiedad de ser T 3 es hereditaria Demostración Sea A (X, T) donde X es T 3 Basta notar que, para x A, si V(x) es un sistema fundamental de vecindades cerradas de x en (X, T) entonces V A (x) = {V A : V V(x)}

228 218 Los axiomas de separación es un sistema fundamental de vecindades cerradas de x en (A, T A ) Proposición 127 Un espacio producto X = i I X i con la topología producto es regular si y solo si cada X i es regular Demostración ) Supongamos que para algún índice i 0, X i0 no es regular y veamos que entonces X tampoco lo es Luego existen x i0 X i0 y un cerrado A i0 X i0 que no contiene a x i0, los cuales no pueden separarse Definimos un punto x = (x i ) X tomando a x i0 en la componente i 0 y en las otras i ordenadas elegimos un punto cualquiera x i para cada i Sea A = p 1 i 0 (A i0 ) = i i 0 X i A i0 el cilindro ; consideremos U x = U xi, (i I) una vecindad cualquiera de x y U A cualquier vecindad abierta de A Entonces U Ai0 := {y i0 y = (y j ) U A y y i = x i para cada i i 0 } hemos elegido las coordenadas i ésimas de estos puntos y = (y i ) es un abierto en X i0 con A i0 U Ai0, con lo cual U xi0 y U Ai0 también se interceptan Por tanto U x y U A se interceptan, es decir, x no puede ser separado de A ) Supongamos que X i es regular para cada i Sea U x = U xi, (i I) un abierto de x en X no perdemos generalidad si lo suponemos básico Si U xi = X i definimos V i = X i Si U xi X i escogemos V i abierto tal que x V i V i U xi Entonces V = V i, (i I) es abierto y V i, (i I) es un cerrado con x V V U x, es decir X es regular Corolario 128 El espacio X = X i, (i I) con la topología producto es T 3 (regular y T 1 ) si y solo si cada X i es T 3 G RUBIANO Demostración Muestre que un espacio producto es T i, (i = 0, 1) si y solo si cada espacio factor lo es (ejercicos 71) EJEMPLO 129 Sorgenfrey (R, J + ) es T 3 Dados U abierto y x U existe [a, b) tal que x [a, b) U Recordemos que esta topología es más fina que la usual; así, los intervalos abiertos también son abiertos de esta topología, con lo cual los elementos [a, b) de la topología son simultáneamente abiertos y cerrados Por el teorema 124 tenemos la regularidad Solo resta verificar que el espacio es T 1

229 122 Regulares, T 3, Tychonoff 219 De manera más general tenemos el siguiente ejemplo EJEMPLO 1210 Sea (X, ) un espacio totalmente ordenado Entonces las topologías J 0, J +, J son T 3 (pág 23) 1 J 0 Un sistema fundamental de vecindades de x es V(x) = {(a, b) : a < x < b} Es suficiente mostrar que todo elemento en V(x) contiene una vecindad de x que es cerrada Sea (a, b) V(x): a) Si existen t, t tales que a < t < x y x < t < b entonces x (t, t ) [t, t ] (a, b) b) Si no existe t tal que a < t < x entonces: o bien existe t con x < t < b, con lo cual x (a, t ) [a, t ] (a, b), o bien no existe t con x < t < b, con lo cual (a, b) = {x} es vecindad cerrada de x c) Si no existe t tal que x < t < b, razonamos como en (b) 2 T + Sabemos que es T 2 y recordemos que los abiertos [x, y) son igualmente cerrados pues 3 T Como en (2) 1221 Inmersión en cubos [x, y) c = [a, x) b) a<x y<b[y, G RUBIANO La siguiente clase de espacios asegura la existencia de funciones sobre el espacio continuas y no constantes con valores en los números reales Definición 129 Un espacio (X, T) se dice completamente regular si para cada cerrado F X y cada x / F existe una función continua f : X [0, 1] tal que f(x) = 0 y f(f ) = 1 se dice que f distingue puntos de cerrados La razón del nombre para estos espacios es que son más que regulares; en efecto, los conjuntos f 1 ([0, 1/2)) y f 1 ((1/2, 1]) son vecindades disyuntas de x y F respectivamente

230 220 Los axiomas de separación Definición 1210 Un espacio (X, T) completamente regular y T 1 se llama espacio de Tychonoff o T 3 1 estos espacios están entre los T 3 2 y T 4 Fue Tychonoff quien en 1930 dio un ejemplo de un espacio T 3 que no es completamente regular Recordemos que los productos de la forma [0, 1] I = i I [0, 1] i donde cada [0, 1] i es el intervalo unidad con la topología usual con la topología producto de Tychonoff son llamados cubos I-dimensionales En particular, el cubo I ℵ 0 se llama cubo de Hilbert Si (X, T) es un espacio de Hausdorff y F = {f f : X [0, 1]} es la familia de todas las funciones continuas, la función evaluación e : X f F[0, 1] f definida por e(x) := (f(x)) f F es una función continua (ver teorema 810) e es inyectiva si y solo si la familia F es capaz de distinguir puntos; en otras palabras, para cada par de puntos x, y X existe f F con f(x) f(y) Si F distingue puntos de cerrados o X es completamente regular entonces e es una función abierta de X en e(x) En efecto, dado un abierto U X veamos que e(u) es abierto en e(x) Sean q e(u) y p U con e(p) = q Como X U es cerrado y p / X U existe g F con g(p) / g(x U) la adherencia tomada en g(x) El conjunto V = {y f F[0, 1] f : g(y) / g(x U)}, G RUBIANO es un abierto básico de la topología producto con lo que V e(x) es un abierto básico en e(x) para el cual q = g(p) V e(x) e(u) y así e(u) es abierto en e(x) Por tanto X e(x) f F [0, 1] f Hemos demostrado el siguiente teorema Teorema 1211 Cada espacio de Tychonoff puede ser inmerso en un cubo Como e(x) es determinado completamente por la familia F, podemos afirmar que las funciones continuas son adecuadas para describir la topología en X

231 123 Normales, T Ejercicios Sea (X, T) un espacio T 3 Muestre que para cada F cerrado, F X tenemos F = {V V V(F )} 2 Es la regularidad un invariante continuo? 3 Demuestre que regular, completamente regular y Tychonoff son propiedades hereditarias 4 En R considere la topología J definida como el sup de la usual y coenumerables Es (R, J ) un espacio T 3? Sugerencia: muestre que U es un abierto en J si y solo si U = V A donde V es un abierto de la usual y A es un subconjunto enumerable 5 Muestre que (X, T) es completamente regular si y solo si T es la topología inicial para la familia de funciones continuas F = {f f : X [0, 1]} 6 Muestre que (X, T) es completamente regular si y solo si para cada X X y cada V x existe una función continua f : X [0, 1] tal que f(x) = 0 y f(x V x ) = 1 G RUBIANO 123 Normales, T 4 La normalidad fue introducida por Tietze en 1923; veremos que en algunos aspectos se comporta muy diferente a los otros axiomas de separación, ya que no es una propiedad hereditaria ni pasa al producto; mas no por ello es menos importante Definición 1212 Un espacio (X, T) se dice normal si cada par de subconjuntos cerrados y disyuntos F, G pueden separarse por abiertos; es decir, existen abiertos disyuntos U F, U G conteniendo a F y G respectivamente

232 222 Los axiomas de separación EJEMPLO 1211 Sean X = {a, b, c, d, e} y T = {X,, {a, b, c, d}, {a, b, c}, {b, c, d, e}, {b, c, d}, {b, c}, {b}, {b, d, e}, {b, d}, {d, e}, {d}} (X, T) es normal, pero no es regular ya que {a, d, e} es un cerrado que no puede ser separado del punto {c}, c / {a, d, e} Lo anterior no se puede dar en el caso que los conjuntos unitarios sean cerrados Definición 1213 Un espacio (X, T) que es normal y T 1 se dice T 4 Proposición 1214 Si (X, T) es T 4 entonces es T 3 Demostración Si X es T 1, el conjunto {x} es cerrado para cada x X, y ser regular es un caso particular de ser normal Teorema 1215 Un espacio (X, T) es normal si y solo si para cada abierto U y para cada cerrado F U existe un abierto V tal que F V V U Demostración Como F y U c son cerrados disyuntos, por ser X normal existen abiertos disyuntos M, N que los contienen respectivamente, y así F M M N c U Para verificar la normalidad tomemos F, G cerrados disyuntos; como F G c, existe una vecindad V F de F con F V V G c y por tanto F V y G X V El siguiente ejemplo muestra que los espacios normales son abundantes EJEMPLO 1212 G RUBIANO Todo espacio métrico (X, d) es normal En efecto, dados dos cerrados F, G disyuntos, por cada g G tomamos ε g > 0 tal que B εg (g) F = recuerde que d(g, F ) > 0 puesto que g no es adherente a F Entonces Bεg/2(g), (g G) es un abierto que contiene a G y no intercepta a F De manera similar construimos un abierto para F que no corte a G Muestre que realmente estos abiertos no se cortan Por supuesto existen espacios normales que no son metrizables

233 123 Normales, T EJEMPLO 1213 Sea R con la topología T definida como: U T si U c es contable o 0 / U La topología T es de Hausdorff, pues dados x y, uno de los dos, digamos x, es diferente de 0; por tanto {x} y R {x} son abiertos Para ver que (R, T) es normal tomemos F, G cerrados disyuntos no vacíos; uno de los dos no contiene al punto 0, digamos F, luego F es abierto y F c es también un abierto conteniendo a G De otra parte, no existe una base local enumerable para el punto 0 ya que si existiera {B 1, B 2, } tenemos que n=1 B n = {0} y de otra parte n=1 Bc n debería ser contable puesto que 0 B n para cada n, y como cada B n es abierto, solo puede serlo si Bn c es contable Puede ver usted el filtro involucrado en este ejemplo y la construcción en general? EJEMPLO 1214 El semiplano de Niemytzki del ejemplo 57 es un espacio que muestra que ser T 4 no es consecuencia de ser T 1 y regular Veamos a continuación sus principales propiedades: Para ver que (X, T ) es regular utilicemos la caracterización local; es decir, dado un abierto U y b U, existe V b abierta tal que V b V b U Sean U T y b U Si b P, como U es abierto existe una B ε (b) U, luego para V b = B ε/2 (b) tenemos la condición Si b L, existe D un disco tal que {b} D U, esto es (B ε ((b, x)) {b}) U algún x Así B ε/2 ((b, x/2)) satisface la condición G RUBIANO Ahora mostremos que no es normal En efecto, construyamos dos subconjuntos cerrados que no se pueden separar Dado A L, A c es abierto en T con lo cual cada A L es cerrado diferente a decir que todo A L es abierto, pues el complemento se toma en todo X Por tanto, los subconjuntos Q = {(x, 0) x es racional}, I = {(x, 0) x es irracional} son cerrados, y veremos que Q, I no pueden separarse por abiertos Sean V Q, V I abiertos disyuntos separando a Q, I Por cada (x, 0) I V I existe un disco D x V I de radio r x y tangente a L en el punto (x, 0) Sea S n = {(x, 0) I r x > 1/n} Así, S n S n+1 y la colección {S n } junto con los puntos de Q forman un cubrimiento contable de L

234 224 Los axiomas de separación Veamos que en R sucede lo siguiente: Si R es una unión contable de los subconjuntos {S n } entonces por lo menos uno de ellos contiene un intervalo abierto Supongamos que cada S n tiene interior vacío, esto es, dado cualquier intervalo I L, existe un subintervalo J I tal que S n J = (recuerde que S n es cerrado y esto es equivalente a decir que el interior de la adherencia de cada S n es vacío, es decir S n es denso en ninguna parte) Como los racionales son enumerables, sea {q 1, q 2, } una enumeración de ellos Para n = 1 tomamos un intervalo I 1 tal que q 1 / I 1 ; así, existe J 1 I 1 tal que J 1 S 1 = Si q 2 J 1, tomamos un subintervalo I 2 J 1 tal que q 2 / I 2 y de éste extraemos J 2 tal que J 2 S 2 = ; si q 2 / J 1 tomamos un I 2 J 1 tal que I 2 S 2 = De esta manera, construimos inductivamente una sucesión de intervalos cerrados I n tal que I n+1 I n con q n / I n y I n S n = Por el principio de Cantor para los intervalos encajados, existe un número t tal que t n NI n Claramente t no es un número racional y para algún n suficientemente grande tenemos t S n, pero esto contradice que I n S n = Luego para algún número natural n se debe tener que existe un intervalo I de la recta real tal que cada subintervalo de I corta a S n Así que cada punto de I es un punto de acumulación de S n ; en particular existe un racional r con r S a n Sea B δ ((r, 0)) V Q Para x 1 S n suficientemente cercano a r, existe un disco B ε ((x 1, 0)) con B δ ((r, 0)) B ε ((x 1, 0)), y esto contradice que V Q, V I son disyuntos En un espacio las propiedades de ser Hausdorff, normal y compacto se relacionan de acuerdo con el siguiente teorema G RUBIANO Teorema 1216 Si (X, T) es un espacio de Hausdorff y compacto entonces X es normal Demostración Si F, G son dos cerrados disyuntos, como el espacio es de Hausdorff y es compacto ellos son compactos Dado g G, lo podemos separar de cada punto f F por medio de vecindades disyuntas Vg f, V g f de g y f respectivamente La colección {V g f f F } es un cubrimiento abierto de F, el cual lo podemos reducir a un subcubrimiento finito {V g Definimos V g = n i=1 V f i g f i }, (i = 1, 2,, n) la intersección de las vecindades de g corre-

235 123 Normales, T spondientes a estos f i y definimos U g F = n f i Así F U g F Repitiendo el anterior proceso para cada g G, obtenemos un cubrimiento {V g g G} de G el cual lo reducimos a uno finito V g1, V g2,, V gm Finamente M := m i=1 V g i y N := m disyuntas de G y F respectivamente EJEMPLO 1215 i=1 U g i F i=1 V g son vecindades abiertas Tablón de Tychonoff Sea X = [0, ω] [0, Ω]; cada factor es un espacio compacto, pues cada una de sus topologías provienen de un orden completo X es normal de acuerdo con el teorema 1216 Definimos W el tablón de Tychonoff como el espacio X menos el punto (ω, Ω), i e, W = X {(ω, Ω)} = [0, ω] [0, Ω] {(ω, Ω)} Probemos que el tablón no es normal con la topología de subespacio, negando así que la normalidad sea hereditaria Ω ω A 4 B ω (ω, Ω) G RUBIANO Figura 122: El tablón de Tychonoff Para ello construyamos dos cerrados disyuntos A, B en W y mostremos que es imposible separarlos A = {(x, Ω) x [0, ω)} la última fila superior, B = {(ω, y) y [0, Ω)} la última columna a la derecha Son cerrados en la topología de subespacio de W ya que sus complementos en W son claramente abiertos

236 226 Los axiomas de separación Supongamos que existen U A, U B abiertos que separan Entonces por cada α [0, ω) sea β α el menor elemento en [0, Ω] tal que (α, β) U A para β > β α La colección S = {β α }, (α [0, ω)) es contable, luego s o = sup S < Ω (proposición 1041) y por tanto {(α, β) α < ω, β > s o } U A Notemos que para β con s o < β < Ω se tiene que el punto (ω, β) U B, luego puntos cercanos a él, están tanto en U A como en U B Ejercicios Muestre que el producto de espacios normales no necesariamente es normal, aun en el caso de un número finito de factores Sugerencia: considere el espacio ejemplo 920 con la topología de los cuadrados semiabiertos de Sorgenfrey y considere los subconjuntos F, G en la diagonal, dados por los puntos con componentes racionales y los puntos con componentes irracionales respectivamente Este ejemplo muestra también que T 3 no implica T 4 2 El espacio de Sierpinski es un ejemplo de un espacio normal que no es regular 3 Muestre que la normalidad se respeta por homeomorfismos, pero no es un invariante bajo continuidad Qué sucede si f es continua, cerrada y sobre? G RUBIANO 4 Muestre que en el ejemplo 1214, X es separable pero el subespacio L no lo es 5 Muestre que si un espacio producto es normal, entonces cada espacio factor es normal 6 Si (X, T) es regular y de Lindelöf entonces es normal 7 Si (X, T) es regular y 2-contable entonces es normal 8 Revise el ejemplo 1213 y generalícelo para cualquier filtro en cualquier conjunto X

237 124 Lema de Urysohn o existencia de funciones Lema de Urysohn o existencia de funciones El objeto de esta sección es resaltar la relación entre la normalidad en el espacio X y la existencia de funciones f : X R u continuas y no constantes Definición 1217 Dados (X, T) y A, B X, decimos que A, B son separados por funciones continuas si existe f : X R con f(a) = 0, f(b) = 1 Nótese que si esto sucede entonces A y B son disyuntos pues el conjunto cerrado f 1 (1) contiene a A y por tanto contiene a A Lo mismo sucede para f 1 (0) y B Podemos preguntarnos: si A, B son subconjuntos cerrados disyuntos, existirá f que los separe? Para los espacios métricos la respuesta es afirmativa B A Figura 123: Una función que separa G RUBIANO B A 0 1 Proposición 1218 Si A, B son dos cerrados disyuntos no vacíos de un espacio métrico (X, d) entonces existe f : X [0, 1] continua y tal que f(a) = 0, f(b) = 1 Demostración Definimos f como f(x) := d(x, A) d(x, A) + d(x, B) Lo que veremos ahora es que esta propiedad creación de funciones continuas puede usarse para caracterizar la normalidad Tenemos el siguiente lema el cual es un teorema Teorema 1219 (Lema de Urysohn) Un espacio (X, T) es normal si y solo si dado un par de subconjuntos A, B cerrados, disyuntos y no vacíos de X, existe u : X [0, 1] continua y tal que u(a) = 0, u(b) = 1

238 228 Los axiomas de separación Figura 124: Construcción en el lema de Urysohn Demostración La idea en la demostración es brillante pero no por eso complicada; la función u es obtenida como la última (el límite) de una sucesión de funciones escalonadas que al ir definiéndolas en una región que se expande entre A y B c (figura 124) crecen gradualmente desde u(a) = 0 hasta u(b) = 1 Estas funciones en cada paso incrementan el número de escalones a fin de dejar una función definida de manera continua con rango en [0, 1] El número de escalones en cada paso está dado por una cadena enumerable de subconjuntos entre A y B c : A = A 0 A 1 A n B c y la función escalonada se define involucrando los índices de cada A i Como queremos que A i 1 nunca toque la frontera de A i a fin de garantizar la construcción de los escalones, debemos garantizar entonces que A i 1 A i y es aquí donde de manera inductiva aplicamos la normalidad del espacio En [0, 1] tomamos los números racionales de la forma p 2 n, 0 < p < 2n donde p, n son enteros positivos Este conjunto de números se llama fracciones diádicas fracciones cuyo denominador es una potencia de 2 y lo denotamos por D { 1 D = 2, 1 4, 3 4, 1 8, 3 8, 5 8, 7 8, 1 16,, 15 } 16, G RUBIANO es denso en [0, 1], pues se obtiene de dividir sucesivamente de dos en dos el intervalo [0, 1]; efectivamente, dado (a δ, a + δ) para a [0, 1] veamos que existe d D con d (a δ, a + δ) Como 1 0 existe una 2n

239 124 Lema de Urysohn o existencia de funciones 229 Figura 125: Un paso no permitido en la construcción de las funciones escalonadas potencia q = 2 N tal que 0 < 1/q < δ Ya que [ [0, 1] = 1, 1 ] [ 1 q q, 2 ] [ 2 q q, 3 ] [ q 2 q q 1, q 1 ] [ ] q 1, 1 q q [ ] existe m con a m q, m+1, luego m q a m+1 y como 1/q < δ entonces a δ < m q a < a + δ q A continuación definimos una colección de abiertos {U d d D} con la propiedad que si d 1 < d 2 entonces A U d1 U d1 U d2 U d2 B c G RUBIANO Además utilizamos sistemáticamente la siguiente propiedad: en un espacio normal, dado un cerrado A y un abierto U conteniendo a A, existe un abierto V tal que A V V U Luego existe un abierto llamémoslo U 1/2 con A U 1/2 U 1/2 B c Al aplicar de nuevo la propiedad obtenemos abiertos U 1/4, U 3/4 tales que q A U 1/4 U 1/4 U 1/2 U 1/2 U 3/4 U 3/4 B c A partir del paso anterior ya podemos inducir cómo es el siguiente en nuestra construcción de la colección {U d }; a manera de ejemplo, el paso siguiente nos daría todos los U d para d = 1/8, 2/8, 3/8,, 7/8 caso en el cual solo hemos agregado los U 1/8, U 3/8, U 5/8, U 7/8 Esto es, del paso

240 230 Los axiomas de separación U k/2 n al paso U k/2 n+1 únicamente resta por agregar los abiertos U k/2 n+1 para los k = 2i + 1 impares Para un tal k = 2i + 1 existe un abierto U con la propiedad U 2 i /2 n+1 U U U 2 i+1 /2n+1 Bc y es a este U al que llamamos U 2 i+1 /2n+1, con lo cual tenemos la manera inductiva de crear a D Notemos que la colección {U d }, (d D) es un encaje para el orden natural en D Definimos la función u : X [0, 1] como { 0, si x U d para todo d u(x) = sup{d : x / U d }, en caso contrario tomamos el índice del conjunto U d más grande que no contiene a x Por la definición tenemos u(a) = 0 pues si x A entonces x está en todos los U d Por otra parte, u(b) = 1 pues x B implica que x no está en U d para todo d, con lo cual el sup es 1 Para ver que u es continua en el punto x, basta ver que u 1 ([0, a)) y u 1 ([a, 1)) son abiertos para todo 0 < a < 1 ya que los intervalos de la forma [0, a), (a, 1] son una subbase cuando 0 < a < 1 En efecto, verifiquemos que u 1 ([0, a)) = {x u(x) < a} = d<a U d G RUBIANO lo cual muestra que se trata de un abierto: dado x u 1 ([0, a)) tenemos u(x) [0, a), o lo que es igual, 0 u(x) < a; existe entonces d x D tal que u(x) < d x < a, lo que significa u(x) = sup{d x / U d } < d x < a y esto implica x U dx y por tanto x d<a U d y así u 1 ([0, a)) d<a U d De otra parte, dado y d<a U d existe d y D tal que d y < a y y U dy Luego u(y) = sup{d y / U d } d y < a y por tanto y u 1 ([0, a)), con lo cual d<a U d u 1 ([0, a)) De manera similar, u 1 ([a, 1)) = {x u(x) > a} = d>a U d c

241 124 Lema de Urysohn o existencia de funciones 231 es un abierto ya que u(x) > a si y solo si x / U d para algún d > a Para la recíproca es suficiente considerar a u 1 ([0, 1/2)) y u 1 ((1/2, 1]) El lema anterior no depende de la forma de D, tan solo de la propiedad topológica de denso Tampoco nos garantiza que u(x) = 0 únicamente para x A, o que u(x) = 1 únicamente para x B, es decir A = u 1 (0), B = u 1 (1) Para que una función así exista u es llamada de Urysohn debemos exigir además que los conjuntos A, B sean G δ La notación G δ proviene del idioma alemán: G simboliza la palabra Gebiet región y δ la palabra durchschniff intersección Un G δ es un conjunto que puede expresarse como una intersección enumerable de abiertos EJEMPLO 1216 Trivialmente, todo subconjunto abierto es un G δ En un espacio métrico los conjuntos cerrados son G δ pues si A (X, d) es un cerrado, entonces A = n N S 1/n(A), donde y por tanto es un abierto S 1/n (A) = {x : d(x, A) < 1/n} La necesaria generalización del Lema de Urysohn a intervalos cerrados cualesquiera es inmediata G RUBIANO Corolario 1220 Sea (X, T) un espacio X es normal si y solo si dados A, B subconjuntos cerrados, disyuntos y no vacíos, existe g : X [a, b] continua con g(a) = a, g(b) = b Demostración Recordemos que la función h : [0, 1] [a, b] definida por h(x) = (b a)x + a para cada x [0, 1] es un homeomorfismo con h(0) = a y h(1) = b Si u es una función con las propiedades del lema de Urysohn entonces g = h u satisface las condiciones de nuestro corolario

242 232 Los axiomas de separación 125 Tietze o extensión de funciones Definición 1221 Dados A X y una función f : A Y, decimos que la función F : X Y es una extensión de f si para cada a A, f(a) = F (a) De la anterior definición, el lema de Urysohn puede interpretarse como un teorema que garantiza la existencia de la extensión de una función; dados A, B dos subconjuntos cerrados disyuntos del espacio (X, T) la función f : A B [0, 1] definida como f(x) = 0 si x A, f(x) = 1 si x B es una función continua definida sobre el subespacio A B pues A, B son simultáneamente abiertos y cerrados en este subespacio admite a la función u : X [0, 1] dada por el lema de Urysohn como una extensión Por supuesto el problema de garantizar la existencia de extensiones de funciones no es trivial y en general no es posible encontrar tales extensiones Por ejemplo, para f : (0, 1] R dada por f(x) = sen( 1 x ) la curva seno del topólogo es imposible 137 encontrar una extensión continua para el espacio [0, 1], pues, no importa el valor que le asignemos a f(0) siempre es posible encontrar una sucesión convergente a 0 y cuya imagen no es convergente a f(0) tomar líneas paralelas al eje x El siguiente teorema garantiza una solución al problema cuando de los espacios normales se trata Fue demostrado por Urysohn, pero lleva el nombre de Tietze, ya que fue éste último quien antes lo había demostrado para los espacios métricos G RUBIANO Teorema 1222 (Extensión de Tietze) Sea (X, T) un espacio normal Dada f : L [a, b] una función continua de un subespacio cerrado L X, existe una extensión F de f con F : X [a, b] Demostración Sea f : L [ 1, 1] continua Tomamos a [ 1, 1] en lugar de [a, b] y esto no es pérdida de generalidad ya que [a, b] y [ 1, 1] son homeomorfos A continuación definimos una sucesión de funciones g 1, g 2, definidas sobre todo X, la cual nos definirá a nuestra extensión F de acuerdo con la fórmula F (x) = n=1 g n(x) F (x) es por definición el límite de la sucesión infinita de sumas parciales (s n (x)) con s n (x) = n i=1 g i(x)

243 125 Tietze o extensión de funciones 233 Sean A 0 ={x L : f(x) 1/3} = f 1 ([ 1, 1/3]) B 0 ={x L : f(x) 1/3} = f 1 ([1/3, 1]) A 0, B 0 son cerrados y disyuntos Por el lema de Urysohn existe g 1 : X [ 1 3, 1 3 ] continua y tal que g 1 (A 0 ) = 1 3, g 1(B 0 ) = 1 3 ; luego para cada x L, f(x) g 1(x) 2 3 nótese que los puntos 1 3 y 1 3 dividen el intervalo [ 1, 1] en tres partes iguales de longitud 2 3 Definimos f 1 := f g 1 la cual es una función continua con [ f 1 : L 2 3, 2 ] 3 Sean A 1 = f1 1 ([ 2 3, 1 3 (2 3 )]), B 1 = f1 1 ([1 3 (2 3 ), 2 3 ) Nuevamente, y como antes, existe [ g 2 : X 1 ( ) 2, 1 ( )] 2, con g 2 (A 1 ) = 1 3 ( 2 3 ), g 2(B 1 ) = 1 3 ( 2 3 ) y además ( ) 2 2 f 1 (x) g 2 (x), 3 G RUBIANO para x L; esto es, f(x) (g 1 (x) + g 2 (x)) ( 2 3 )2 Supongamos que g 1, g 2,, g n han sido definidas sobre X con la propiedad f(x) g i (x) 1 ( ) 2 i n ( ) 2 n g i (x) para x L 3 i=1 De manera inductiva definimos n f n (x) = f(x) g i (x) i=1

244 234 Los axiomas de separación Así obtenemos dos conjuntos disyuntos A n, B n definidos como ([( A n =fn 1 2 ) n, 1 ( ) 2 n ]) ([ ( ) 1 2 n ( ) 2 n ]) B n =fn 1, con lo cual el lema de Urysohn asegura la existencia de [ g n+1 : X 1 ( ) 2 n, 1 ( ) 2 n ] con g n+1 (x) 1 ( y además n+1 f(x) ( ) 2 n+1 g i (x) para x L 3 i=1 La sucesión {g 1, g 2, } es una sucesión de funciones continuas sobre X tal que Luego G RUBIANO ) n g n (x) 1 ( ) 2 n 1, x X (121) 3 3 n ( ) f(x) 2 n g i (x), x L (122) 3 i=1 g n = sup{ g n (x) : x X} 1 ( ) n 1 y como i=0 ( 1 2 )( 2 3 )n = 1 tenemos que i=1 g i es uniformemente convergente y converge a la función F definida como F (x) = i=1 g i(x) F es continua ya que es el límite uniforme de la sucesión de funciones continuas s n con s n (x) = n i=1 g i(x) Finalmente, por la desigualdad en 122 tenemos que para x L, F (x) = f(x) Corolario 1223 Si un espacio (X, T) tiene la propiedad de extender funciones como en el teorema anterior, entonces es normal Demostración Es suficiente ver que un espacio con esta propiedad satisface las condiciones en el lema de Urysohn y este último asegura entonces que X es normal

245 125 Tietze o extensión de funciones 235 EJEMPLO 1217 El disco unitario cerrado D R 2 es un espacio métrico y por tanto es normal Entonces para cada función continua f : S 1 [0, 1] existe una extensión continua al disco D Como una curiosa consecuencia de este ejemplo, tenemos la siguiente: tomamos la temperatura como una función continua Supongamos que tenemos una moneda, y la consideramos como el disco unidad D Podemos afirmar que dada una temperatura en el borde de la moneda, es posible repartir calor en toda la moneda de forma que la temperatura en el borde coincida con la dada en su borde Si en el teorema 1222 omitimos la condición de cerrado para L, entonces el teorema no se tiene Por ejemplo para X = [0, 1], L = (0, 1] y f(x) = sen(1/x), 0 < x 1; ya hemos visto que f no puede ser extendida de manera continua Nota Cuando un espacio Y se comporta como el espacio R para el teorema de Tietze 1222, lo llamamos un RA o retracto absoluto Definición 1224 El espacio (Y, H) es un RA si para cada espacio (X, T) normal y para cada L X cerrado, dada f : L Y continua, existe una extensión continua F : X Y G RUBIANO EJEMPLO 1218 Los espacios R n u y los cubos de dimensión finita (I n, usual) son retractos absolutos Para ver que R n es un retracto absoluto consideremos f : L R n continua Si p i es la proyección i-ésima entonces f i = p i f es continua como función de L en R y sea F i su extensión a todo X Si definimos F : L R n como F (X) = (F 1 (x),, F n (x)), F es continua y además es extensión de f

246 236 Los axiomas de separación EJEMPLO 1219 Existencia de homotopías Sean (X, T) normal y A X cerrado Dada f : A R n existe F : X R n extensión de f; en efecto, para cada función coordenada f i = p i f existe una extensión continua F i : A R y por tanto la función F = (F i ) 1=1,2,,n es continua El espacio (I I, usual) es normal y el subconjunto A formado por los lados superior e inferior del cuadrado unidad es cerrado, i e, A = {(x, y) : y = 1} {(x, y) : y = 0} Si f : A R 2 es continua, existe una extensión continua llamada homotopía F : (I I, usual) R 2 Ejercicios Decimos que (X, T) es un espacio completamente normal si la propiedad es hereditaria, ie, cada subespacio de X es normal Muestre que (X, T) es completamente normal si y solo si todo par de conjuntos separados pueden ser separados por vecindades 2 (X, T) es un espacio T 5, o un espacio completamente T 4, si es completamente normal y Hausdorff, o, equivalentemente, si cada subespacio de X es T 4 G RUBIANO (X, T) es un espacio perfectamente normal si cada par de conjuntos cerrados disjuntos pueden ser separados exactamente mediante una función continua f : X [0, 1], ie, ellos son las imágenes inversas de 0 y 1 respectivamente 3 Muestre que el teorema de Extensión de Tietze sigue siendo válido para funciones continuas f : L R; es decir, no tenemos necesidad de restringirnos en el codominio a intervalos cerrados 4 Sea Y = R {0} con la topología de subespacio usual de R Consideremos A = [ 1, 1/2] [1/2, 1], i A : A Y Muestre que i A es continua y no admite una extensión a todo R Ve la importancia del codominio?

247 125 Tietze o extensión de funciones De manera análoga a la definición de los conjuntos G δ, decimos que A X es un conjunto F σ si A se puede representar como una unión enumerable de cerrados Muestre que A es G δ si y solo si A c es F σ G RUBIANO

248 13 Conexidad Algunos espacios topológicos, como el intervalo unidad, la recta real, el toro (con las topologías usuales), parece que están formados de una sola pieza o literalmente sus partes constituyentes no están desconectadas, como sucede en contraste con ciertos subespacios en R 2, entre ellos: 1 El constituido por dos segmentos de línea que no se interceptan 2 El complemento de una circunferencia en el plano, el cual resulta ser unión disyunta de dos subespacios abiertos G RUBIANO Figura 131: Dos globos en R 3 constituyen un subespacio no conexo A continuación precisamos este concepto de conexidad y veremos que resulta ser de valor topológico; es decir, es un invariante 131 La conexidad como invariante topológico Definición 131 Dado un espacio (X, T), una separación para X la constituye un par A, B de subconjuntos no vacíos, abiertos y tales que 238

249 131 La conexidad como invariante topológico 239 A B = X y A B = Nótese que en la definición anterior los conjuntos A y B son complementarios entre sí; esto es equivalente a requerir que A y B sean ambos cerrados a cambio de abiertos, o que exista A X no vacío, abierto y cerrado, i e, aberrado Además, no es suficiente con exigir que A y B sean disyuntos, pues todo espacio con más de un punto sería trivialmente no-conexo Queremos que realmente A y B sean dos piezas separadas; esto es, que no haya puntos de A adherentes a B o viceversa Luego A debe estar contenida en B c, A B c, y como A = B c, concluimos que A y B deben de ser ambos cerrados o equivalentemente ambos abiertos Definición 132 Un espacio (X, T) es conexo si no existe una separación para X Por supuesto un subespacio será conexo si visto como espacio es conexo; claramente, la posible conexidad del subespacio solo depende de él y no del espacio que lo contiene EJEMPLO 131 La figura 132(a) es una región circular conexa y 132(b) es el subespacio de R 2 formado por las circunferencias de centro el origen y radio 1 1/n, (n N) atadas por el segmento de recta [1/2, 1), junto con S 1 Teorema 133 R u es un espacio conexo G RUBIANO Demostración Supongamos que existe una separación A, B para R Veamos que algún punto de A es un punto de acumulación de B o viceversa, lo cual muestra que ambos no pueden ser cerrados simultáneamente Sean a A, b B con a < b Definimos M := {x A a < x < b} M es acotado y sea m = sup M Supongamos que m A, con lo cual m < b, y entonces todos los puntos que están entre m y b están en B y por tanto m es un punto de acumulación de B, con lo cual B no sería cerrado De otra parte, si m / A entonces m B y en este caso m sería un punto de acumulación de A, lo cual contradice la manera como hemos elegido a A

250 240 Conexidad (a) G RUBIANO Figura 132: (a) es conexo; aunque menos obvio, (b) también es conexo El siguiente teorema caracteriza los subconjuntos de R que pueden ser conexos Teorema 134 Un subconjunto A no vacío de R u es conexo si y solo si A es un intervalo Demostración ) Si A es conexo y no es un intervalo, existen a, b A y un punto p / A tal que a < p < b Sean U = (, p) A, V = (p, ) A; claramente U, V son una separación para el subespacio A ) Si A es un intervalo, para verificar su conexidad la demostración del teorema anterior se adapta fácilmente EJEMPLO 132 (R, cof initos) es conexo Lo mismo sucede para todo subespacio infinito de este espacio La línea de Sorgenfrey (R, [a, b)) no es conexa pues [7, ) es aberrado (b) EJEMPLO 133 Todo espacio no unitario con la topología discreta es no-conexo, mientras que todo espacio con la topología grosera es conexo La siguiente caracterización para la conexidad en términos de funciones continuas, aunque aparentemente no nos exprese directamente el concepto intuitivo de la conexidad, es útil y fácil de aplicar

251 131 La conexidad como invariante topológico 241 Teorema 135 Un espacio (X, T) es conexo si y solo si toda función continua f : X {0, 1} {0, 1} con la discreta es constante Demostración ) Si X es conexo y existe f : X {0, 1} continua y sobre, los conjuntos f 1 (0), f 1 (1) forman una separación para X ) Si X es no conexo, existe una separación A, B para X Si definimos f : X {0, 1} como f(x) = 0 para x A y f(x) = 1 para x B, tenemos que f es continua y sobre, lo cual contradice nuestra hipótesis EJEMPLO 134 Por el anterior teorema, no existen funciones continuas sobreyectivas de un espacio conexo en uno no conexo Por ejemplo, no existe una sobreyección continua R R {0} 1 La n esfera S n es conexa si n > 0, ya que podemos definir una sobreyección continua f : R n+1 {0} S n por f(x) = x (el corolario 1311 muestra que R n+1 {0} es conexo) 2 El espacio GL(3, R) no es conexo, ya que R {0} no lo es y existe una función det continua y sobreyectiva det : GL(3, R) R {0} definida por M det(m) ( determinante de M Es sobreyectiva: t 0 0 ) para t R {0} la matriz es invertible y tiene determinante t G RUBIANO Es intuitivo que si a un subespacio conexo le agregamos parte de sus puntos adherentes seguimos teniendo conexidad (ver figura 132 donde agregamos S 1 ) Este es el tema del siguiente teorema x Teorema 136 Sea A un subconjunto conexo de un espacio topológico (X, T) Si B es tal que A B A entonces B es conexo Demostración Sea f : B {0, 1} continua Sabemos que f(a) es un conjunto unitario puesto que la restricción f A es continua y A es conexo, luego f(b) f(a) f(a) es también unitario y así f no es sobreyectiva

252 242 Conexidad Proposición 137 Sea (X, T) un espacio y A, B una separación de X Si C es un subespacio conexo de X entonces C A ó C B Demostración Si se diera simultáneamente A C y B C, entonces estos dos conjuntos formarían una separación para C Veamos ahora que la conexidad es respetada por las funciones continuas y por tanto es un invariante topológico Teorema 138 Sean (X, T), (Y, H) espacios Si X es conexo y f : X Y es continua entonces f(x) es conexo Demostración Si f(x) es no conexo, existe g : f(x) {0, 1} continua y sobre Por tanto g f es continua y sobre, lo cual contradice que su dominio X es conexo El siguiente corolario nos explica por qué algunas veces al tener una función f : R R decimos que es continua, si al dibujar su grafo no hay necesidad de levantar el lápiz del papel; es decir, su grafo es un solo trazo, con lo cual es conexo Corolario 139 Sean (X, T), (Y, H) dos espacios Si X es conexo y f : X Y es una función continua entonces G f := {(x, f(x)) x X} X Y el grafo de f es un subespacio conexo Demostración La función g : X X Y definida como g(x) = (x, f(x)) es continua ya que sus proyecciones son la función id X y f G RUBIANO Nota Tenemos aún más de lo que dice el anterior corolario El espacio X es homeomorfo a G f ; esto es, X es homeomorfo a su imagen dada por f en X Y Consideremos la biyección h : X G f dada por h(x) = (x, f(x)) La función h es continua ya que sobre la base {G f (U V ) : U T, V H} tenemos h 1 (G f (U V )) = U f 1 (V ) De otra parte, para U T, h(u) = {(x, f(x)) x U} = G f (U V ) también es un abierto en G f, con lo que h 1 es continua Moraleja: Dada f : R R continua, no importa lo que hagamos con R, el gráfico de la función es de nuevo R

253 131 La conexidad como invariante topológico 243 Conexidad en el producto Aunque la intersección de dos espacios conexos no necesariamente es conexa por qué?, sí lo es su producto cartesiano Teorema 1310 Si (X, T), (Y, H) son espacios conexos entonces el espacio producto X Y con la topología producto es conexo Y b 2 a 2 h g a 1 b 1 G RUBIANO X Figura 133: Conexidad en el producto Demostración Si X Y no es conexo, existe f : X Y {0, 1} continua y sobre Sean a = (a 1, a 2 ), b = (b 1, b 2 ) tales que f(a) = 0, f(b) = 1 Definimos las funciones (fig 133) g : X {0, 1}, h : Y {0, 1} como g(x) := f(x, b 2 ) y h(y) := f(a 1, y) g, h son continuas lo son sus proyecciones con lo cual g(x) y h(y ) son conjuntos unitarios Por ser g(b 1 ) = f(b 1, b 2 ) = 1 tenemos g(a 1 ) = 1 Por otra parte, como h(a 2 ) = f(a 1, a 2 ) = 0 tenemos h(b 2 ) = 0, de donde obtenemos f(a 1, b 2 ) = g(a 1 ) = 1 0 = h(b 2 ) = f(a 1, b 2 ), lo cual contradice la definición de función de f Así que X Y debe ser conexo Corolario 1311 R n u es conexo Lema 1312 Sea (X, T) un espacio Si {C i } i I es una familia de subconjuntos conexos de X con la propiedad que existe un índice j I tal que para cada i I tenemos que C i C j, entonces C = i I C i es conexo

254 244 Conexidad Demostración Si A, B es una separación de C entonces para cada C i tenemos que C i A ó C i B Si suponemos que C j A entonces, para ningún índice i, C i está contenido en B puesto que C j no es disyunto de algún C i Así, todos los C i estarían en A obligando a que B sea el conjunto vacío, lo cual contradice que A, B es una separación Veamos que en el teorema 1310 no es relevante la cardinalidad en el número de factores Teorema 1313 (La conexidad es productiva) Sea X = i I X i un espacio producto con la topología producto Si cada espacio coordenado X i es conexo entonces X es conexo Demostración Sea a = (a i ) i I un elemento arbitrario pero fijo de X Sea C a la unión de todos los conjuntos conexos en X que contienen al punto a C a es la componente conexa de a Como el conjunto unitario {a} es conexo, por la proposición anterior tenemos que C a es conexo Ahora veamos que C a es un subconjunto denso en X, lo cual muestra que X es conexo por ser la adherencia de un conexo Para cada J, J I y finito, el subespacio A J = i J X i i/ J{a i } G RUBIANO es conexo ya que es homeomorfo a i J X i un producto finito y además contiene al punto a Por tanto, A J está contenido en C a para cada J finito Dado un abierto básico U cualquiera U = U i1 U in X i, en este caso J = {i 1,, i n } i i k A J corta a U, i e, C a corta a U, con lo cual C a es denso Ejercicios En R 2 u es: Q Q conexo? (R Q) (Q R)? (No, sí)

255 131 La conexidad como invariante topológico Si {A a }, (a L) es una colección de subespacios conexos de un espacio X y para cada par a, b L tenemos que A a A b entonces a L A a es conexo 3 Dé un argumento envolviendo la conexidad para mostrar que (0, 1) y S 1 no son homeomorfos 4 Pruebe el teorema del cálculo conocido como teorema del valor intermedio para funciones utilizando argumentos de esta sección 5 Muestre que R n {0} es conexo para n > 1 6 Muestre que la esfera S n R n+1 es conexa para n 1 7 Muestre que el espacio de Sorgenfrey (R, J + ) no es conexo 8 Muestre que un espacio (X, T) es conexo si y solo si para todo A X, A se tiene que F r(a) 9 Dados un espacio (X, T) y A, B X con A un subespacio conexo, muestre que si A B A B c entonces A F r(b) Esta propiedad se conoce con el nombre de teorema del paso de aduana 10 Revise el corolario 139 y de topologías para R de tal manera que exista una función f continua y su grafo no sea un solo trazo G RUBIANO 11 Sea (X, T) conexo y R una relación de equivalencia en X Muestre que el espacio identificación X/R es conexo 12 Muestre que si n > 1 entonces R n no es homeomorfo a R 13 Toda topología por debajo de una conexa es conexa Si (X, T) es conexo y H T entonces (X, H) es conexo 14 Los espacios finitos (no unitarios) conexos y T 1 no existen Muestre que si (X, T) es conexo y T 1 entonces X es infinito o unitario

256 246 Conexidad 132 Subespacios conexos maximales Un espacio no conexo obviamente puede tener subespacios conexos, y entre estos vamos a analizar aquellos que son maximales con respecto a la relación de inclusión, lo cual nos brinda una manera natural de definir una partición del espacio, haciendo uso del concepto de conexidad En otras palabras, vamos a definir una relación de equivalencia Definición 1314 Sean (X, T) un espacio y A un subespacio de X Decimos que A es una componente conexa de X o un conexo maximal en X si A es conexo y no es subconjunto propio de algún otro subespacio conexo de X Como la adherencia de un conexo es de nuevo conexa (teorema 136) las componentes son subconjuntos cerrados del espacio, y cada punto x X pertenece a una única componente: exactamente a la unión de todos los subespacios conexos que contienen el punto x Así, el conjunto de las componentes conexas de un espacio X determina una partición de X Si las componentes son únicamente conjuntos unitarios tenemos la siguiente definición Definición 1315 Un espacio (X, T) se llama desconectado totalmente si las componentes conexas son los conjuntos unitarios {x} EJEMPLO 135 Cada espacio discreto es desconectado totalmente; pero existen espacios desconectados totalmente que no son discretos, por ejemplo X= {0} {1/n n N}, o X = Q (como subespacios de (R, usual)) G RUBIANO Por supuesto todo espacio desconectado totalmente es T 1 Más aún, cualquier subespacio contable de un espacio métrico es totalmente desconectado, y algunos no contables, como los irracionales I R u Ejercicios Muestre que (R, [a, b)) es totalmente desconectado

257 133 El conjunto C de Cantor Muestre que las componentes conexas en un espacio X son conjuntos disyuntos no vacíos cuya reunión es X 3 Sea (X, T) un espacio La relación x y si y solo si x, y pertenecen a la misma componente conexa es una relación de equivalencia 4 Sea (X, T) un espacio Muestre que si X tiene finitas componentes conexas entonces, para cada x, la componente conexa que contiene a x es un aberrado 5 Muestre que un espacio es conexo si y solo si posee una única componente conexa 6 Sea (X i, T i ), (i I) una familia de espacios topológicos Dado un punto x = (x i ) en el espacio producto de esta familia, muestre que la componente conexa del punto x es igual al producto de las componentes conexas de cada x i 7 Muestre que el número de componentes es un invariante topológico 8 Muestre que si A (X, T) es un subespacio conexo y además aberrado entonces A es una componente conexa de X 9 Si (X, T) es un espacio con la propiedad que: dado cualquier par de elementos x, y X existe un subespacio conexo de X que los contiene entonces X es conexo 133 El conjunto C de Cantor G RUBIANO El siguiente espacio totalmente desconectado es uno de los espacios más patológicos e interesantes que ha acompañado a la topología desde sus inicios Fue introducido independientemente por G Cantor 1 y por H J Smith en 1875; Cantor lo construyó para resolver de manera afirmativa un problema que se había planteado en el marco de la naciente 1 Georg Cantor (San Petersburgo, 1845-Halle, 1918), matemático alemán, inventor con Dedekind y Frege de la teoría de conjuntos, que es la base de las matemáticas modernas Gracias a sus atrevidas investigaciones sobre los conjuntos infinitos fue el primero capaz de formalizar la noción de infinito bajo la forma de los números transfinitos (cardinales y ordinales) Murió en una clínica psiquiátrica de monjas, aquejado de una enfermedad maníaco-depresiva (la cual se le atribuye a su edad)

258 248 Conexidad topología, a saber, si existía o no un subconjunto compacto no vacío de R que fuera totalmente desconectado y denso en sí mismo Posteriormente se demostró que todos los conjuntos con estas características son topológicamente equivalentes homeomomorfos Hoy se conoce como el conjunto C de Cantor C es un subconjunto no contable del intervalo [0, 1]; exactamente consiste de todos los números reales x que pueden ser representados de la forma x = α n 3 n, i=1 donde α n {0, 2} para cada n N Aunque hablamos del conjunto de Cantor, él lleva intrínsecamente la topología de subespacio de (R, usual) La definición anterior hace que algunas veces se le llame conjunto triádico o ternario de Cantor En otras palabras, C es el conjunto de todos los números x [0, 1] cuya expansión x = 0x 1 x 2 x n en la base 3 no utiliza el dígito 1, esto es x i 1 para todo i con lo que x i {0, 2} Debido a esta descripción un punto x C es en la práctica un elemento x {0, 2} N, x : N {0, 2} lo cual nos hace pensar en un producto cartesiano Geométricamente puede describirse formando los siguientes subconjuntos A n cerrados en [0, 1]: A 0 =[0, 1] G RUBIANO A 1 =[0, 1/3] [2/3, 1] A 2 =[0, 1/9] [2/9, 1/3] [2/3, 7/9] [8/9, 1] A 3 =[0, 1/27] [2/27, 1/9] [2/9, 7/27] [8/27, 1/3] [2/3, 19/27] [20/27, 7/9] [8/9, 25/27] [26/27, 1] etc; en general A i+1 se obtiene de A i removiendo la tercera parte en el medio de cada una de las componentes de A i, con lo que C = i N A i

259 133 El conjunto C de Cantor 249 Nótese que cada punto en los extremos de las componentes de los A i pertenece a C A 0 A 1 A 2 A G RUBIANO Figura 134: Conjunto de Cantor Tenemos así dos definiciones para C, una en términos de sucesiones y otra de manera constructiva No es difícil ver la relación entre estas dos definiciones si notamos que al construir A 1, cuando retiramos el intervalo (1/3, 2/3) lo que hacemos precisamente es eliminar todos los números reales en [0, 1] que requieren x 1 = 1 en su desarrollo en base tres, i e, los números que empiezan por 0,1 (menos el 1/3 que también se puede escribir 0, en base tres) Como segundo paso, en A 2 retiramos los intervalos intermedios de [0, 1/3] y [2/3, 1] los números reales en [0, 1] que requieren x 2 = 1 en su desarrollo triádico eliminando así el intervalo (1/3, 2/3) que corresponde a los números que empiezan por 0,1 (menos el 1/3 que también se puede escribir 0, en base tres) y el intervalo (1/9, 2/9) que corresponde a los números que empiezan por 0,01 y así sucesivamente Por ejemplo 1 4 =,020202, 2 3 =,2000, 1 =,222 Las dos presentaciones anteriores motivan la siguiente proposición Proposición 1316 El conjunto C de Cantor es homeomorfo al espacio producto X = i N X i, donde X i = ({0, 2}, discreta) para cada i Este espacio se llama discontinuo de Cantor Demostración Sea x X, con x = (x 1, x 2, ) donde x n {0, 2}

260 250 Conexidad Definimos f : i N X i C como f(x) := x n 3 n con lo cual f es una función biyectiva Para verificar la continuidad de f tomemos un x X y por cada n N consideremos G RUBIANO i=1 V x (n) := {q X : q i = x i para i n} los que coinciden con x en las primeras n-componentes Dado ɛ > 0, existe N N tal que la serie ( ) 2 n < ɛ 3 n=n+1 y por tanto si q V x (N) entonces x i q i f(x) f(q) = n=n+1 3 n n=n+1 ( ) 2 n < ɛ 3 esto es, f es continua Como X es compacto y C es de Hausdorff, entonces f 1 también es continua Por construcción C es cerrado y es compacto, pues es la intersección de subconjuntos cerrados del espacio compacto [0, 1] Luego es un espacio métrico completo y por tanto satisface todos los axiomas T i de separación Si µ es la función de medida longitud en R, entonces C tiene medida 0 pues la medida de su complemento con respecto a [0, 1] es la medida de la unión de las terceras partes medias, esto es µ(c c 2 i 1 ) = 1/3 + 2/9 + 4/27 + 8/81 + = 3 i = 1 2 i 2 3 i = 1 Pero como [0, 1] tiene también medida 1, entonces C tiene medida cero Así que el todo no es mayor que cada una de sus partes i=1 i=1 C no tiene puntos aislados, es decir C C a, todo punto es de acumulación de C mismo Dado x C, x es un punto de acumulación de C {x} pues dado p C cualquier abierto U p C contiene puntos de C distintos de p; por tanto, C es denso en sí mismo X es denso en Y si Y X

261 133 El conjunto C de Cantor 251 Pero de otra parte C es denso en ninguna parte con respecto a [0, 1] pues dados x, y C con x < y, existe un intervalo J = (a, b) C c tal que x < a < b < y mire la expansión binaria de los puntos x, y, esto es, (C) = C = C es también totalmente desconectado dados x, y X existe una separación A, B de X tal que x A, y B pues las componentes conexas de cada punto se reducen al propio punto [0, 1] es una imagen continua de C La función f : C [0, 1] definida por f(x) = ( ) 1 2 x n 2 n para x = i=1 x n 3 n es continua y sobreyectiva Esto muestra que C no es contable En general cualquier espacio métrico que sea compacto, totalmente desconectado, denso en sí mismo todo punto sea de acumulación, es homeomorfo al conjunto de Cantor Así que las anteriores propiedades topológicas son una carta de presentación para C, excepto por la forma disfrazada con que se presente el espacio homeomorfo Pero en topología el color no nos concierne C es homeomorfo a C C Considere a f : C C C definida como f((a 1, a 2, a 3, ), (b 1, b 2, b 3, )) := (a 1, b 1, a 2, b 2, a 3, b 3, ) G RUBIANO i=1 Figura 135: Variación fractal en el conjunto de Cantor

262 252 Conexidad Como un último comentario, si al lector le incomoda la base 3, defina el conjunto de Cantor como los puntos de [0, 1] que tienen en su expansión decimal tan sólo 0 o 9 Cómo será su representación gráfica? Inténtelo! En una frase final, C tiene una infinidad no enumerable de puntos pero ningún intervalo cabe en él, es denso en sí mismo pero también denso en ninguna parte y contiene muchos más puntos que los extremos de los intervalos en el proceso de construcción 134 Conexidad local Casi de igual manera a como fue localizado el concepto de compacidad podemos localizar la conexidad en un punto Definición 1317 Un espacio (X, T) es localmente conexo en el punto x X si dada cualquier vecindad U x existe una vecindad abierta y conexa V x tal que x V x U x Si X es localmente conexo en cada punto decimos que es localmente conexo cada punto posee un sistema fundamental de vecindades conexas EJEMPLO 136 El siguiente espacio no es conexo localmente Por cada entero positivo n definamos el segmento de recta A n R 2 como A n = {(x, 1 n ) : 0 x 1} y A 0 = {(x, 0) : 0 x 1} Sea X = A 0 ( n=1 A n ) Las componentes conexas de X son A 0, A 1, A 2, Sabemos que A 0 es cerrada, pero claramente no es abierta en X Esto nos produce un ejemplo de un espacio cuyas componentes no necesitan ser abiertas G RUBIANO K El siguiente teorema muestra que para los espacios localmente conexos no se tiene la consecuencia del ejemplo 136 Podrá ser esta una justificación para haberlos definido? Teorema 1318 (Caracterización) Un espacio (X, T) es localmente conexo si y solo si las componentes de cada subespacio abierto de X son abiertas

263 134 Conexidad local 253 Demostración Supongamos que X es localmente conexo y que C es una componente de un subconjunto U abierto Dado c C existe una V c conexa y abierta según X tal que V c U; así V c C, pues C es maximal y por tanto C es abierta En el otro sentido, dados x X y U x vecindad abierta de x, la componente conexa V x de U x que contiene a x es abierta y x V x U x Luego X es localmente conexo Corolario 1319 Cualquier componente en un espacio localmente conexo es abierta y cerrada aberrada Demostración Considere a X como un subconjunto abierto de sí EJEMPLO 137 La curva seno del topólogo Es definida como la unión A B en R 2 del grafo A de la función sen ( 1 x), (0 < x 1 π ) con el segmento B de recta en el eje Y dado por los puntos {(0, y) 1 < y < 1} y un arco de circunferencia que une los extremos de la curva y la recta (ver figura 84) Este espacio es conexo pero no localmente conexo en cada uno de los puntos del segmento {(0, y) 1 < y < 1} Note que A = A B La imagen por una función continua de un espacio localmente conexo no es en general localmente conexa; de lo contrario, todo espacio (X, T) sería localmente conexo, puesto que es imagen del espacio (X, discreta) por medio de la función idéntica El siguiente teorema nos da las condiciones necesarias (en particular muestra que la conexidad local es un invariante topológico) G RUBIANO Teorema 1320 Sean (X, T), (Y, H) espacios con X localmente conexo y f : (X, T) (Y, H) una función continua, cerrada (abierta) y sobre Entonces Y es localmente conexo Demostración Sea U H y sea C una componente conexa de U Por el teorema 1318 debemos ver que C es abierta Por cada x f 1 (C) sea C x la componente conexa de x en f 1 (U) Sabemos que C x es abierta

264 254 Conexidad y como f(x) C el conjunto conexo f(c x ) debe estar contenido en C Así, f 1 (C) = {C x : x f 1 (C)} con lo que f 1 (C) es abierto Como f es cerrada y sobre f(f 1 (C) c ) = C c, con lo cual C c es cerrado ya que f 1 (C) c es un cerrado; esto demuestra que C es abierta Es un ejercicio demostrar el teorema con la hipótesis de f abierta a cambio de cerrada EJEMPLO 138 Sean X = {0, 1, 2, }, Y = {0, 1, 1/2, 1/3, } con la topología de subespacios de (R, usual) La función f : X Y definida por f(0) = 0, f(n) = 1/n es una biyección continua; pero X es localmente conexo mientras que Y no lo es, pues en el punto 0 se acumula el espacio, impidiendo así tener vecindades conexas Teorema 1321 El producto finito de espacios localmente conexos es localmente conexo Demostración Sean X 1,, X n espacios localmente conexos y X = Xi, (i = 1,, n) el espacio producto Sean x = (x 1,, x n ) X y U un abierto en X tal que x U Existe un abierto básico U 1 U n U conteniendo a x, y como cada X i es localmente conexo, tomemos por cada i un V i abierto y conexo tal que x i V i U i Entonces V = V 1 V n es un abierto y conexo contenido en U y que tiene a x G RUBIANO Ejercicios Muestre el teorema 1320 suponiendo que f es abierta a cambio de cerrada 2 Es necesaria en el teorema 1321 la condición sobre el cardinal para el número de factores? 3 Sean X = {a, b, c, d}, T = {, {a}, {a, b}, {a, b, c}, X} Es (X, T) un espacio conexo? Localmente conexo? 4 Muestre que todo espacio finito es localmente conexo

265 135 Conexidad por caminos Muestre que ser localmente conexo no es una propiedad hereditaria 6 Muestre que todo subespacio abierto de un espacio localmente conexo es localmente conexo 7 Muestre que si un espacio tiene un número finito de componentes entonces cada componente es aberrada 135 Conexidad por caminos La primera noción de conexidad fue dada por K Weierstrass 2, la cual en el contexto de R 2 intuitivamente significa lo siguiente: un subconjunto M R 2 es conexo si dos puntos cualesquiera de M pueden ser conectados por un camino que no se sale de M EJEMPLO 139 La figura (un disco con una circunferencia exterior) es no conexa según este criterio ya que todo camino que vaya de la circunferencia al disco, tiene que pasar por fuera de las dos regiones la región comprendida entre ellas Claro que en este ejemplo el criterio de conexidad de Wierstrass y el que vimos en la sección anterior coinciden, pero no siempre es el caso G RUBIANO Definición 1322 Un camino en un espacio X es una función continua f : [0, 1] X Si f(0) = a, f(1) = b, decimos que el camino tiene punto inicial en a y punto final en b f conecta a con b El concepto de camino es mucho más sutil de lo que aparenta En la mayoría de los casos al camino lo identificamos con f([0, 1]) y es en esta situación cuando nos sorprende lo que pueda llegar a ser un camino Jordan en 1877 y Peano en 1890 anunciaban la existencia de curvas capaces de llenar un cuadrado Se trataba de monstruos desprovistos de utilidad? En un comienzo se creyó así, pero poco a poco se apropiaron, con justa razón y valor, de su propio derecho a existir y hoy en día

266 256 Conexidad los podríamos ubicar como pioneros de la teoría de los fractales de Mandelbrot Cerremos este comentario evocando las palabras de Cantor a Dedekind, 20 junio de 1877: (ver figura 102 de la página 161) lo veo pero no puedo creerlo se trata de mostrar que las superficies, los volúmenes e incluso las variedades continuas de n dimensiones pueden ponerse en correspondencia unívoca con curvas continuas, o sea con variedades de una sola dimensión, y que por consiguiente las superficies, los volúmenes y las variedades de n dimensiones tienen también la misma potencia que las curvas Definición 1323 Un espacio (X, T) es conexo por caminos si dados x, y X, existe un camino f con punto inicial en x y punto final en y Cada par de puntos en X puede ser unido por un camino EJEMPLO Para cada n N, R n u es conexo por caminos 2 Para cada n N, la esfera S n es conexa por caminos 3 S = {0, 1} con la topología de Sierpinski es conexo por caminos f : [0, 1] S definida por f(t) = 0 si t [0, 1) y f(1) = 1 es continua G RUBIANO El concepto de conexidad por caminos es más fuerte que el de conexidad Teorema 1324 Si (X, T) es conexo por caminos entonces es conexo Demostración Sea a X Para cada x X existe un camino α x : [0, 1] X que conecta a con x α x ([0, 1]) X es conexo para cada x X; además, α x (0) = a = x α x ([0, 1]) y por el lema 1312 esto implica que X = x α x ([0, 1]) es conexo

267 135 Conexidad por caminos 257 EJEMPLO 1311 X = [0, 1] [0, 1] con el orden lexicográfico es conexo pero no conexo por caminos Si existe α : [0; 1] X con α(0) = (0, 0), α(1) = (1, 1), α tiene que pasar por todos los valores intermedios, esto es Im(α) = X Entonces para cada intervalo vertical U x en X, U x = ((x, 0), (x, 1)), α 1 (U x ) es un abierto no vacío y podemos encontrar un intervalo abierto I x [0, 1] tal que α(i x ) U x Como los I x son disjuntos, tenemos que [0, 1] contiene a una unión no numerable de intervalos disjuntos y esto es imposible Producto de caminos En el conjunto C([0, 1], X) de los caminos sobre X subconjunto de X I introducimos una operación interna Definición 1325 (multiplicación de caminos) Dados un espacio X, y dos caminos f, g con f(1) = g(0), definimos un nuevo camino f g: { f(2t) si 0 t 1/2 f g(t) := (131) g(2t 1) si 1/2 t 1 G RUBIANO f g Figura 136: En f g los caminos f, g se recorren a doble velocidad

268 258 Conexidad Básicamente, f g consiste en poner un camino a continuación del otro, pero para no gastar más tiempo en el recorrido (el tiempo es [0, 1]) cada uno de los caminos se recorre ahora a doble velocidad como en la ecuación 131 (f(2t) y g(2t 1)) f g es una función continua, puesto que f(2t) y g(2t 1) están definidas sobre los conjuntos cerrados [0, 1/2], [1/2, 1] y el conjunto donde coinciden es {1/2}, que es la intersección de los dos intervalos cerrados (para t = 1/2 tenemos f( ) = f(1) = g(0) = g(2 2 1)) La demostración se basa en el siguiente hecho bien conocido de extender la continuidad Teorema 1326 (Teorema del pegamiento de funciones) Si A, B son subconjuntos cerrados del espacio X y existen funciones continuas f : A Y, g : B Y sobre un espacio Y tales que f y g coinciden sobre la intersección A B, entonces podemos extender la continuidad a una función H : A B Y definida de manera natural como h(x) = f(x) si x A o h(x) = g(x) si x B Si f es un camino desde a hasta b en X, entonces existe el camino inverso f r (el reverso de f) desde b hasta a dado por f r (t) = f(1 t); nótese que f r tiene el mismo lugar de f, pero su dirección es la contraria f r f es entonces un camino cerrado el punto inicial coincide con el punto final Por comodidad también notaremos f r = f r EJEMPLO 1312 G RUBIANO Un espacio que es conexo, pero no conexo por caminos es la curva seno del topólogo (pág 253) puesto que no existe un camino que una al punto ( 1 π, 0) con (0, 0) Si existe un camino α : [0, 1] X con α(0) = ( 1 π, 0) y α(1) = (0, 0), al ser α([0, 1]) conexo tenemos α([0, 1]) = X por qué? Seleccionamos en [0, 1] una sucesión de puntos x 1 < x 2 < con x n 0 y además α(x n ) teniendo como segunda componente a 1 ó 1 según que n sea par o impar Por tanto α(x n ) no converge y α no sería continua Este ejemplo muestra que, contrario a la conexidad, la conexidad por caminos no pasa a la adherencia

269 135 Conexidad por caminos 259 Para obtener una condición, la cual garantice que los espacios conexos también sean conexos por caminos, debemos hacer local nuestra definición Definición 1327 Un espacio (X, T) es localmente conexo por caminos si dados x X y un abierto U x existe un abierto V conexo por caminos V considerado como subespacio tal que x V U x Teorema 1328 Si (X, T) es un espacio conexo y localmente conexo por caminos entonces X es conexo por caminos Demostración Sea x X y considere el conjunto A = {z X existe un camino de x a z} A es no vacío y veamos que A es aberrado en X Dado z A, por ser X localmente conexo por caminos existe V z X, V z abierto y conexo por caminos; luego V z está contenida en A y, así, A es abierto Para ver que A c es abierto tomemos z A c y sea W z una vecindad de z conexa por caminos Si A W z, existe un punto w en la intersección de tal manera que x se puede conectar por un camino con z, lo que contradice que z A c Así W z A c, es decir A c es abierto Como X es conexo A = X, esto es, cada punto en X se puede conectar por medio de un camino con x, lo que implica que X es conexo por caminos Corolario 1329 Los subconjuntos conexos y abiertos de R n u son conexos por caminos G RUBIANO Demostración Cada bola abierta es una vecindad conexa, lo cual produce un sistema fundamental de vecindades conexas Definición 1330 Un espacio (X, T) compacto, conexo y Hausdorff es llamado un continuo EJEMPLO 1313 Cada subconjunto cerrado, acotado y conexo de R n es un continuo EJEMPLO 1314 La unión de dos continuos que se interceptan es un continuo

270 260 Conexidad Por la definición misma, ser continuo es un invariante topológico Definición 1331 Un espacio métrico (X, d) continuo y localmente conexo se llama un continuo de Peano Definición 1332 Un arco en un espacio (X, T) es una inmersión f : [0, 1] X con I f(x) homeomorfos Esta definición, de sencillez aparente, esconde formas inimaginables; H Mazurkiewicz demostró en 1913 que todo continuo de Peano es una imagen continua del arco I = [0, 1] Por tanto, existe una función continua y sobreyectiva de I en el cubo n-dimensional o, aún más asombroso, de I sobre el cubo de Hilbert El descubrimiento hecho por Peano en 1890 de que I podía ser enviado de manera continua sobre todo el cuadrado unidad creó (como ya dijimos pero insistimos en repetir) un estremecimiento en el mundo matemático de la época en otros mundos nadie dijo nada Aunque no demostraremos este hecho, a cambio damos un ejemplo universal, motivo de la portada de este texto G RUBIANO Figura 137: La curva universal o esponja de Menger

271 135 Conexidad por caminos 261 EJEMPLO 1315 La curva universal o esponja de Menger Este es un continuo de Peano de dimensión uno con la propiedad que cada continuo 1-dimensional puede ser inmerso en ella La construcción se basa en el procedimiento de Cantor o en las llamadas carpetas de Sierpinski Comenzamos con el cubo unidad, dividimos cada una de sus caras en nueve cuadrados iguales; hacemos un agujero a través del interior de los cuadrados centrales y extraemos hacia el interior del cubo (ver figura 137) Esta extracción nos produce a M 1 formado por 20 nuevos cubos En cada uno de ellos, procedemos como en el paso anterior y obtenemos a M 2 formando 400 nuevos cubos, etc En la sexta iteración M 6 tenemos cubos La esponja es quien está al final del proceso, i e, es el objeto límite dado por la intersección n M n G RUBIANO Figura 138: Dentro de M Ejercicios 135