MÓDULO 11. Desigualdades cuadráticas y ecuaciones con radicales

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Francisco José Figueroa Chávez
hace 6 años
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1 MÓDULO 11 Desigualdades cuadráticas y ecuaciones con radicales Objetivo. El estudiante resolverá desigualdades cuadráticas por el método gráfico y algebraico así como resolverá ecuaciones que contengan radicales. A través de ejemplos veremos cómo se resuelven desigualdades de segundo grado. Hallar gráficamente la solución de las siguientes desigualdades cuadráticas.

desigualdad cuadrática Ejemplo ilustartivo: Resuelve

3 Gráfica de una desigualdad cuadrática: Procedimiento para trazar la gráfica del conjunto solución de una desigualdad cuadrática Ejemplo ilustartivo: Resuelve e interpreta gráficamente la inecuación: Solución: 6 0

4 La parábola y 6 corta al eje X en 3 y en. En el intervalo [3, ], toma valores negativos o nulos. Por tanto, las soluciones de la inecuación son los puntos del intervalo [3, ]. Ecuaciones con radicales Al considerar ecuaciones que comprenden radicales de índice, se puede preguntar si el proceso de elevar al cuadrado cada miembro de una ecuación siempre nos dará una ecuación equivalente. Para contestar esta pregunta, consideremos el ejemplo: Elevando al cuadrado cada miembro, obtenemos la nueva ecuación: Esta última ecuación es equivalente a: La factorización de esta ecuación es: (-4)(-1)=0 Y, para que esta igualdad se cumpla, los valores de deben ser 1 y 4, por lo que el conjunto solución de la ecuación para? es {1, 4}. Pero es =1 una solución Claro que si, porque: Ahora es =4 una solución para?.

5 Desde luego que no, porque: 4 4 Así vemos que y no son ecuaciones equivalentes. En otras palabras, no es posible depender del procedimiento de elevar al cuadrado ambos miembros de una ecuación para obtener una ecuación equivalente. Veamos que esto es así. Ciertamente, es verídico que si: =y Entonces ²=y² Pero, el proceso inverso también es verídico? Esto es, si ²=y² se puede afirmar que =y?. No. Por ejemplo ²=(-)², pero -. Esto indica que y =y no son equivalentes. Otra forma de ver esta situación es considerar estas ecuaciones en la forma -y=0 y ²=y²=0. Factorizando el lado izquierdo de ²=y², se tiene: (+y)(-y)=0 Ahora, el conjunto solución de (+y)(-y)=0 es la unión de de los conjuntos de soluciones de las ecuaciones +y=0 y -y=0. El conjunto de soluciones para la ecuación =y, es el mismo que para la ecuación -y=0, pero por el contrario, el conjunto de soluciones para ²=y² es la unión de los conjuntos de soluciones para las ecuaciones -y=0 y +y=0. Así, se ve que la ecuación ²=y² tiene el mismo conjunto de soluciones que =y, solamente si el conjunto de soluciones para +y=0 es el conjunto vacío. Esto nos lleva a un hecho importante. Como el conjunto de soluciones para (+y)(-y)=0 es la unión de los conjuntos de soluciones para +y=0 y -y=0, vemos que el conjunto de soluciones para =y será un subconjunto del conjunto de soluciones para ²=y². De este modo, hemos encontrado que el conjunto de soluciones para =y, es el subconjunto del conjunto de soluciones para ²=y². Este es un hecho afortunado, en verdad, ya que nos sirve de base para el procedimiento que emplearemos en la solución de ecuaciones que comprenden radicales de índice dos. Aunque elevar al cuadrado ambos miembros de una ecuación no siempre produce una ecuación equivalente, el conjunto de soluciones para la nueva ecuación contiene todas las raíces de la ecuación original. Así se puede determinar las raíces de la ecuación

6 dada, si encontramos las raíces de la ecuación cuadrada que la satisfacen. Esto se hace por medio de una sustitución. Emplearemos este procedimiento para resolver la ecuación: 7 Para principiar, vamos a elevar al cuadrado ambos miembros: O bien: Esta nueva ecuación puede no ser equivalente a la ecuación original, pero también sabemos que algún subconjunto de este conjunto de soluciones es el conjunto de soluciones para la ecuación 7. La ecuación también se puede escribir como: 3 0 o bien (+3)(-1)=0, cuyo conjunto solución es {-3, 1}. Con esto ya estamos preparados para encontrar el conjunto de soluciones para la ecuación original, puesto que ya sabemos que es un subconjunto del conjunto {-3, 1}. Para esto verifiquemos =1 es solución de 7?. Si, porque 1 (1) Ahora =-3 es una raíz de 7? No, porque: Como =1 es el único valor que satisface a 7, el conjunto solución de esta ecuación es {1}. Intenta resolver la ecuación 4.

7 Obtuviste =18 como única solución, es decir, el conjunto solución {8}? Perfecto. Veamos por qué: Ahora resuelve 3. La solución es inmediata verdad? El conjunto solución es Ø, por supuesto, porque 3 no puede representar un número negativo. Antes de dar por terminada esta discusión sobre la solución de ecuaciones con radicales de índice dos, hay dos importantes puntos a considerar. El primero se puede ver con el siguiente ejemplo: 4 4 Si elevamos al cuadrado ambos miembros de esta ecuación, se tiene: Está a la vista que el conjunto de soluciones para esta ecuación no es más obvio que el conjunto para la ecuación original. Así, que, lo prudente, es que antes de llevar al cuadrado una ecuación como 4 4, ésta debe epresarse en una forma equivalente, en la que el radical quede aislado en uno de los miembros de la ecuación. Al elevar al cuadrado obtendremos una nueva ecuación que está libre de radicales. El último punto que ahora consideramos es en relación con ecuaciones con más de un radical de índice dos. Por ejemplo: En estos casos, la operación de elevar al cuadrado habrá de utilizarse repetidas veces hasta que se logre una ecuación libre de radicales. Veamos cómo:

8 Esta ecuación contiene solamente un radical, y por lo tanto puede resolverse por los métodos que hemos desarrollado. Todavía hay mucho más que podríamos decir acerca de la solución de ecuaciones con radicales, pero no lo haremos por ahora. A cambio de eso puedes resolver tu autoevaluación. AUTOEVALUACIÓN Encuentra el conjunto solución de las siguientes ecuaciones: 1) 1 5 ) t 1 3) 3 3 4) 3 5) 1 1 1) {4} ) Ø 3) {1} 4) {3} 5) {1} SOLUCIONES

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