PROIECT DIDACTIC- Distanţe şi unghiuri în spaţiu

Transcripción

1 PROIECT DIDACTIC- Distanţe şi unghiuri în spaţiu Data Clasa A VIII-a A Titlul lectiei Distanţe şi unghiuri în spaţiu Unitatea de invatare Relaţii între puncte, drepte şi plane Durata 50 minute Profesor Dorela Fainisi Obiective de referinta 1.7. să utilizeze proprietăile figurilor geometrice în probleme de demonstaţie şi de calcul 1.8. să recunoască şi să utilizeze în diverse contexte, inclusiv cotidian, proprietăţile simple ale corpurilor geometrice 2.8. să utilizeze instrumente geometrice pentru a construi diferite configuraţii geometrice 3.2. să prezinte în mod coerent soluţia unei probleme, corelând diverse modalităţi de exprimare 4.1. Să identifice utilizări ale unor concepte şi metode matematice studiate, în diferite domenii. 1. Aplicarea relaţiilor metrice din triunghiul dreptunghic Competente specifice 2. Aplicarea teoremei celor trei perpendiculare 3. Determinarea distanţei de la un punct la o dreaptă 4. Determinarea distanţei de la un punct la un plan 5. Determinarea unghiului format de o dreaptă cu un plan Determinarea unghiului diedru a două plane date. Matematică - manual pentru clasa a VIII-a, Ed. Sigma Resurse materiale Culegere de exerciţii şi probleme pentru clasa a VIII-a, Ed. Sigma Învăţarea matematicii. Elemente de didactică aplicată pentru clasa a VIII-a. Ghidul prof., Ed. Sigma Modele de teste pentru criteriile de notare - clasa a VIII-a, Ed. Sigma Fişe de lucru individual Corpuri geometrice confecţionate din carton, plexi-glass, lemn, sârmă Planşă cub: ALGEBRIC; Cretă colorată, instrumente geometrice - Explicaţia; exerciţiul, conversaţia, jocul didactic, calcul mintal, munca independentă, Proceduri problematizare;

2 Tipul lectiei Consolidare DESFĂŞURAREA METODICĂ A LECŢIEI Momentul lectiei I. Moment organizatoric Ob. Op. Continutul lectiei Pregatirea cu cele necesare desfaşurării orei de geometrie Verificarea cantitativă şi calitativă (prin sondaj ) a temei pentru acasă Metode Materiale suport Obs. II. Captarea atenţiei III. Anunţarea temei şi a obiectivelor Antrenament mental - numărare Într-un cub: 1. Câte muchii sunt paralele cu o muchie dată 2. Câte feţe sunt secante cu o muchie dată 3. Câte muchii sunt perpendiculare pe o faţă dată Distanţe şi unghiuri în spaţiu - antrenament până la atingerea desterităţilor cu date pe configuraţii geometrice asemănătoare Exerciţiul Jocul didactic Cub realizat din diferite materiale

3 Momentul lectiei IV. Reactualizarea cunoştinţelor Ob. Op. O1 Continutul lectiei Măsura unghiului a două drepte din spaţiu se determină ducând paralele la dreptele date Măsura unghiului a două drepte este cuprinsă între 0 0 şi O dreaptă este perpendiculară pe un plan dacă este perpendiculară pe două drepte concurente din acel plan Printr-un punct putem duce o unică perpendiculară pe un plan dat Distanţa de la un punct la o dreaptă sau la un plan, ca şi distanţa dintre două drepte sau două plane paralele se măsoară pe perpendiculară Dacă dreapta nu este perpendiculară pe un plan, măsura unghiului dintre dreaptă şi plan este măsura unghiului dintre dreapta dată şi proiecţia ei pe planul dat Măsura unghiului plan corespunzător unghiului diedru este măsura unghiului format de două semidrepte, situate în feţele diedrului şi perpendiculare pe muchia acestuia Măsura unghiului dintre două plane este măsura unghiului dintre două drepte, perpendiculare pe planele date. Două plane secante sunt perpendiculare dacă şi numai dacă unul dintre plane conţine o dreaptă perpendiculară pe celălalt plan. Două plane sunt paralele dacă şi numai dacă unul dintre plane conţine două drepte concurente paralele cu al doilea plan. Pb.5/138 din culegere În cubul ALGEBRIC a) Demonstrează că AI (BEL) b) Determinaţi unghiurile formate de dreptele RC, LG şi respectiv AG cu planul (BEL) Metode Materiale suport Conversatia Planşe Obs.

4 Momentul lectiei V. Prezentarea conţinutului şi dirijarea învăţării VI. Intensificarea retenţiei şi asigurarea transferului Ob. Op. O1 O2 O3 Continutul lectiei Se construieşte O centrul bazei şi se notează cu - intersecţia planelor (BAG) şi (BEL) este BO - notăm cu H intersecţia dreptelor BO şi AI - calculează AI = a 3, şi BO = - cos AOB = cos AIG = a AOH AIG - Unghiul H este drept AI BO - EL (AGI) EL AI AI (BEL) CR // EL, EL (BEL) CR // (BEL) AE, BEL AE, HE HEA AG, BEL AG, HO HOA LG// AE şi AH (BEL) Să se arate că H este centrul triunghiului BEL BEL echilateral, AB AE AE ABEL piramidătriunghiulară regulată înălţimea cade în centrul bazei A B C E R L I G Metode Problematiza re Conversatia Exercitiul Explicatia Materiale suport Planşă : cub ALGEBR IC Cub Obs.

5 Momentul lectiei VII. Asigurarea feedback-ului Ob. Op. O1 O2 O3 Continutul lectiei a) Se rezolva problema din testul matriţă AC se calculează folosind teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic ABC Aplicând teorema referitoare la dreapta perpendiculară pe un plan, aplică T.P. în triunghiul MAB, pentru a afla pe MB c1 c2 Calculează înălţimea într-un triunghi dreptunghic după formula h=, ip. dedusă din formula ariilor pt. Triunghi dreptunghic Aplică teorema catetei şi află BD din teorema celor trei perpendiculare se obţine MD BC, deci d(m, BC)=MD luând baza CB şi înălţimea MD calculează aria triunghiului MBC aria triunghiului MBC se poate scrie şi cu baza MB şi înălţimea d(c, MB) arată că planele (AMD) şi (MBC) sunt perpendiculare şi astfel distanţa de la punctul A la planul (AMD) se ia din A perpendicular pe MD (intersecţia planelor) unghiul planelor (ABC) şi (MBC) conform definiţiei este unghiul MDA, înscris în triunghiul dreptunghic AMD. VIII. Evaluarea Se apreciază cunoştinţele elevilor, se notează elevii care s-au remarcat la lecţie. Metode Exercitiul Conversatia Conversaţia IX. Tema pentru acasă Fişa individuală cu testul matriţă, diferenţiat pentru fiecare elev. Conversaţia Materiale suport Fişă matriţă Fişă de lucru individua l Obs.

6 ANALIZA ERORILOR Proiect cofinanțat din Fondul Social European prin Programul Operațional Sectorial Dezvoltarea Resurselor Umane Nr. crt. 1. Greşeli posibile Modalităţi de remediere Observaţii Ignorarea faptului că măsura unghiului a două drepte este cuprinsă între 0 0 şi Prin exemple Se face distincţie între măsura unghiului plan şi măsura unghiului a două drepte Măsura unghiului a două drepte în spaţiu se determină ducând paralele la dreptele date 2. Transformarea eronată prin analogie a proprietăţilor legate de perpendicularitate din plan în spaţiu. De exemplu: două drepte paralele pe o a treia dreaptă sunt paralele între ele se cere elevilor să găsească exemple şi contraexemple în contexte familiare (muchiile unui cub) 1. OA OBC OA OB OB şi OC concurente OA OC 2. MA AB NB AB MA şi NB necoplanare M A A O B C B N

7 Nr. crt Proiect cofinanțat din Fondul Social European prin Programul Operațional Sectorial Dezvoltarea Resurselor Umane Greşeli posibile Modalităţi de remediere Observaţii Aplicarea teoremei de caracterizare a dreptei perpendiculare pe plan, fără îndeplinirea tuturor condiţiilor neglijarea unora dintre condiţiile din definiţii de obicei elevii nu sunt atenţi la concurenţa dreptelor din plan se dau exemple şi contraexemple în contexte familiare (muchiile şi diagonalele feţelor unui cub) O piramidă se consideră a fi regulată dacă muchiile laterale sunt congruente, fără să se verifice că baza este poligon regulat Se prezintă elevilor machete de piramide regulate şi sunt solicitaţi să identifice diferite proprietăţi. Se formulează contraexemple pentru a justifica necesitatea tuturor condiţiilor din definiţie. O dreaptă este perpendiculară pe un plan dacă este perpendiculară pe două drepte concurente din acel plan Printr-un punct putem duce o unică perpendiculară pe un plan dat În rezolvările problemelor să aplice teorema de caracterizare a dreptei perpendiculare pe un plan în notaţie matematică Cubul ALGEBRIC - se identifică şi se arată că piramida ABEL este piramidă triunghiulară regulată şi nu este tetraedru regulat. Se insistă asupra fatului că într-o piramidă regulată distanţa dintre vârf şi planul bazei este distanţa dintre vârf şi centrul bazei.

8 Nr. crt Proiect cofinanțat din Fondul Social European prin Programul Operațional Sectorial Dezvoltarea Resurselor Umane Greşeli posibile Modalităţi de remediere Observaţii Confundarea proiecţiei unui punct cu proiectanta Determinarea eronată a proiecţiei unei drepte pe un plan dat În locul complementului se consideră măsura unghiului dintre dreaptă şi perpendiculara dusă pe plan. se evidenţiează cât mai clar prin desene sugestive proiecţiile unor puncte sau segmente pe diferite drepte sau plane se propun exerciţii simple de citire şi identificare pe desen a unor proiecţii date prin notaţie se amintesc definiţiile şi se aplică în contexte familiare Se analizează situaţiile extreme Proiecţia unui punct este un punct, proiectanta este o dreaptă Reactualizarea teoremelor de la relaţii metrice din clasa a VII-a: teorema catetei şi teorema înălţimii Proiecţia ortogonală se realizează cu ajutorul perpendicularei Prin proiecţia ortogonală se păstrează coliniaritatea şi raportul în care un segment dat este împărţit de un punct al său. Se folosesc corpuri geometrice: cub, paralelipiped dreptunghic, prismă sau piramide regulate Se aplică simultan cele două definiţii: Măsura unghiului dintre o dreaptă şi un plan este măsura complementului unghiului format de dreapta dată cu o perpendiculară pe plan Dacă dreapta nu este perpendiculară pe plan, măsura unghiului dintre dreaptă şi plan este măsura unghiului dintre dreapta dată li proiecţia ei pe plan Dreapta perpendiculară pe plan Dreapta inclusă în plan

9 Nr. crt Proiect cofinanțat din Fondul Social European prin Programul Operațional Sectorial Dezvoltarea Resurselor Umane Greşeli posibile Modalităţi de remediere Observaţii Considerarea ca unghi plan corespunzător unui diedru a unghiului format de două semidrepte arbitrare situate pe feţele diedrului Confundarea măsurii unui diedru cu măsura unghiului dintre două plane secante folosirea materialului confecţionat se trasează în culori diferite un unghi plan al diedrului identificat măsura unui unghi diedru este cuprinsă între 0 0 şi pentru că este un unghi plan se foloseşte analogia plan-spaţiu se calculează măsura unghiului dintre două drepte secante, apoi măsura unghiului dintre două plane cub, piramidăregulată se poate folosi catalogul o carte pentru a exemplifica diedrul se stabileşte o strategie de identificare a unghiului plan corespunzător: - se determină dreapta de intersecţie a celor două plane - se ia un punct pe acestă dreaptă - în fiecare semiplan se construiesc (se identifică) semidrepte perpendiculare pe dreapta de intersecţie distincţie clară între - măsura unui unghi şi măsura unghiului a două drepte concurente - măsura unui diedru şi măsura unghiului a două plane secante atenţie: - măsura unghiului a două drepte sau a două plane secante este cuprinsă între 0 0 şi măsura unui unghi plan sau a unui diedru este cuprinsă între 0 0 şi măsura unghiului dintre două plane este măsura unghiului dintre două drepte perpendiculare pe planele date.

10 GEOMETRIE Problemã: Fie triunghiul ABC dreptunghic în A cu AB =4a şi BC =5a. În A se construieşte dreapta (d ) ABC)pe care se alege punctul M încât MA = a. Atunci: 1) Latura AC din triunghiul ABC are lungimea de. cm. 2) Latura MB din triunghiul MAB are lungimea de. cm. 3) Dacã AD este înãlţimea din A a triunghiului ABC atunci AD =. cm. 4) Lungimea segmentului BD este de. cm. 5) Distanţa de la punctul M la dreapta BC este de. cm. 6) Aria triunghiului MBC este de. 2 cm. 7) Distanţa de la punctul C la dreapta MB este de. cm. 8) Distanţa de la punctul A la planul (MBC) este de. cm. 9) Un unghi plan al unghiului diedru determinat de planele (ABC) şi (MBC) este A.. M. şi are mãsura de. 0. Întocmit, Dorela Făinişi