Unidad 7 Funciones polinómicas. Interpolación

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1 Unidad 7 Funciones polinómicas. Interpolación PÁGINA 137 SOLUCIONES 1. Las representaciones quedan: a) f( x ) = 4 if( x) es una función constante. Domf { } Imf = 4 Acotada por 4. 88

2 b) hx ( ) = 3x+ 1 i hx ( ) es una función afín. Domh Imh Estrictamente decreciente en su dominio. c) gx ( ) = x i gx ( ) es una función lineal. Domg Img Estrictamente creciente en su dominio. d) ix ( ) = x 4x i ix ( ) es una función cuadrática. Domi [ ) Imi = 4, + Acotada in feriormente por ( 4). Estrictamente creciente (, + ) Estrictamente decreciente (,) Mínimo en (, 4). La función queda: f( x ) = x 3. 89

3 3. La función cuadrática buscada será de la forma: Buscamos los coeficientes: f( x)= a a x a x = a0 + 5a1+ 5a = a0 + 10a a a0 = ; a1= ; a = = a0 + 5a1+ 65a Por tanto, f( x) = + x+ x Para: x= 15 f(15) = = 174, Para: x= 0 f(0) = = 56, Esta función nos permite obtener buenas aproximaciones de x= 15 y x= Queda en cada caso: a) y= x x 3 b) y= x+ 5 c) y= x x 90

4 PÁGINA 151 SOLUCIONES 1. Llamemos B a las vacas blancas y N a las vacas negras: 5 (4B+ 3 N) = 4 (3B+ 5 N) 0B+ 15N= 1B+ 0N 8B= 5N Dan más leche las vacas negras.. El número de naranjas en la pirámide es: = 1 40 naranjas. En general si el lado de la base es de n naranjas, el número de naranja en la pirámide es: n 3 n + 3n + n n = i = naranjas. 6 i = 1 3. Por medio de ensayo y error dirigido se obtiene: Con la información referida a los Reyes (R) y las Damas (D) llegamos a que puede ser RDD o DRD. Con la información referida a los Corazones (C) y las Picas (P) llegamos a que puede ser PCP o PPC. Juntando los resultados obtenidos llegamos a que la solución es: Rey de Picas Dama de Picas Dama de Corazones. 91

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6 SOLUCIONES 1. En cada caso: 3 a) La función es y = x 5 b) Es la función lineal y= x c) Su ecuación es y = 3x d) No están alineados.. Las gráficas quedan: a) f( x) = x 1 b) gx ( ) = x + x x c) hx ( ) = x x x 3. Las gráficas quedan: a) y= f( x) Domf ( ) Imf = 1, + ( ) ( + ) Estrictamente decreciente 1,1 Estrictamente creciente 1, No tiene extremos relativos. ( ) Está acotada inferiormente por 1. No es simétrica ni respecto al eje de ordenadas ni respecto al origen. 93

7 b) y = g( x) ( ] [ ) Dom g =,1, + Img ( ) ( + ) Estrictamente creciente,1, No tiene extremos relativos. No está acotada. No es simétrica ni respecto al eje de ordenadas ni respecto al origen. c) y= h( x) Dom h [ ) Imh =, + ( ) ( + ) Estrictamente decreciente, Estrictamente creciente 5, No tiene extremos relativos. Está acotada inferiormente por () y no está. acotada superiormente, luego no es acotada. No tiene simetrías. 4. La representación queda: 94

8 5. La función y la gráfica quedan: 1, si 0 < x 3 1, 4 si 3 < x 6 1, 6 si 6 < x 9 f( x) = 1, 8 si 9 < x si 7< x 30 Una carrera de 15 min 30 s cuesta, euros. 6. La solución queda: a) La función es: P= 6 + 1,8 t, donde P es el precio a pagar en euros y t el tiempo en horas. b) Queda: c) La función será: f( x) = P= (6+ 1,8 t) Todas las ordenadas de esta función quedan multiplicadas por 1,16. 95

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10 SOLUCIONES 7. Las gráficas quedan: a) f x x x ( ) = Domf [ ) Imf = 4, + ( ) ( + ) Estrictamente decreciente,4. Estrictamente creciente 4,. Mínimo relativo en (4, 4). ( ) Está acotada inferiormente por 4.Mínimo absoluto 4. Es simétrica respecto a su eje x = 4. b) gx x x ( ) = Dom g [ ) Img = 0, + ( ) ( + ) Estrictamente decreciente,3. Estrictamente creciente 3,. Mínimo relativo en (3,0). ( ) Está acotada inferiormente por 0.Mínimo absoluto en 0. Es simétrica respecto a su eje x = 3. c) hx x x ( ) = + 3 Dom h [ ) Imh =, + ( ) ( + ) Estrictamente decreciente,1. Estrictamente creciente 1,. Mínimo relativo en (1,). ( ) Está acotada inferiormente por.mínimo absoluto en. Es simétrica respecto a su eje x = 1. 97

11 d) ix x x ( ) = Dom i ( ] Im i =, ( ) ( + ) Estrictamente creciente,. Estrictamente decreciente,. Máximo relativo en (, ). ( ) Está acotada superiormente por. Máximo absoluto en. Es simétrica respecto a su eje x =. e) jx x x ( ) = Dom j ( ] Im j =,4 ( ) ( + ) Estrictamente creciente,3. Estrictamente decreciente 3,. Máximo relativo en (3,4). ( ) Está acotada superiormente por 4. Máximo absoluto en 4. Es simétrica respecto a su eje x = 3. f) kx x x ( ) = 4 4 Dom k ( ] Im k =,0 ( ) ( + ) Estrictamente creciente,. Estrictamente decreciente,. Máximo relativo en (,0). ( ) Está acotada superiormente por 0. Máximo absoluto en 0. Es simétrica respecto a su eje x =. 98

12 8. Las soluciones se presentan bajo las gráficas: 9. En cada uno de los casos: a) Hay infinitas soluciones. Todas las funciones cuadráticas se presentan según la ecuación: y = K x 1 con K. ( ) b) La representación queda: A la vista de la gráfica tenemos que : ( ) ( ) ( ) f( x) > 0 en,1 5, +. f( x) < 0 en 1,5. f( x) = 0 en x= 1y x= 5. c) Buscamos f x x x x x ( ) = Veamos los intervalos para los cuales la función g( x) = x 5x En la gráfica se observa que : ( ) ( ) gx ( ) > 0 en,1 4, +. gx ( ) = 0 en x= 1y x= 4. ( ] [ ) Luego f( x) en,1 4, + 99

13 10. En cada caso: a) Las representaciones quedan: b) En el primer caso hay que fabricar entre 0 y 80 unidades y en el segundo caso entre 3 y 7 unidades. c) En la función f( x) el mayor beneficio se produce al fabricar 50 unidades y este beneficio es euros. En la función gx ( ) el mayor beneficio se produce al fabricar 5 unidades y este beneficio es euros. 11. El precio de equilibrio se consigue cuando coinciden ambas funciones: p+ 100 = p+ p= El precio de equilibrio es de 5 000, y la cantidad de equilibrio es 000 unidades. 1. En cada caso: a) El precio de equilibrio es p = 30 euros y la cantidad de equilibrio es 40 unidades. b) Si se pone un precio de 40 euros/unidad, él oferta 70 unidades y se demandan sólo 0 unidades. Si se pone un precio de 15 euros/unidad, la oferta es de 195 unidades y se demandan de 70 unidades, es decir, se produce un desequilibrio La función demanda que obedece a estas condiciones es: f d ( p) = 300 p 3 No alquila ningún apartamento al precio de 900 euros. 100

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15 SOLUCIONES 14. La solución queda: El punto de intersección lo hallamos resolviendo el sistema: y = x + 16x x= 8 x= 1 ó y = x+ 16 y = 0 y = 14 Los puntos de intersección son (8,0) y (1,14). El ingreso total máximo se produce para x = 4 dólares. El ingreso total pasa de 14 a 4 dólares para valores de x (1,). La función f( x) que da la cantidad de producto fabricado disminuye de 14 a 1 unidades, no aumenta y el precio pasa de 1 a dólares. 15. La función de interpolación lineal es: y1 y0 4 1 y y0 = ( x x0) y 1 = ( x+ 1) y = x+ x x La función buscada es f( x) = x+ Para el valor de a = 0, obtenemos: fa ( ) = 0+ f(0) = Para el valor de a = 5, obtenemos: f(5) = 5 + f(5) = El polinomio interpolado es: Px ( )= a ax ax = a0 a1+ a a0 = 6 6= a0 a1= 5 P( x) = 6 5 x+ x 0= a0 + 3a1+ 9a a = 1 Los valores pedidos son: P(,75) = 6 5,75 +,75 = 0,1875 P( 1,5) = 6 5 ( 1,5) + ( 1,5) = 13,815 10

16 17. Considerando julio como mes 0, septiembre como mes t octubre como mes 3, obtenemos la función de interpolación cuadrática que se ajusta a estos datos: f(0) = 4,9 a0 = 4,9 a0 = 4,9 f() = 4,3 a0 + a1+ 4a = 4,3 a1= 0,7 f( x) = 4,9 0,7 x+ 0, x f(3) = 4,6 a a a a = 4,6 = 0, if (1) = 4,4; lainflación en agosto es 4,4 if (4) = 5,3; lainflación en noviembre es 5,3 18. La solución queda: P(0) = 3, a0 = 3, a0 = 3, P(6) = 7,3 a0 + 6a1+ 36a = 7,3 a1= 0,675 P( x) = 3, + 0,675x 0,0014x P(1) = 11,1 a a a a = 11,1 = 0,0014 P(18) = 14,9kg pesará a los 18 meses. Con el polinomio interpolador podemos calcular (extrapolando) el valor buscado para x = 60 que queda como P(60) = 38,66kg. Pero este valor no tiene mucho sentido porque está muy alejado de los puntos que hemos considerado para calcular el polinomio interpolador. 19. La solución queda: a) Calculamos el polinomio de interpolación lineal utilizado los puntos (160,5) y (170,60) porque la altura que nos piden está entre esos dos valores y por tanto la interpolación será más precisa: 60 5 y 5 = ( x 60) y = 0,8x 7,6 Por tanto y(168) = 58,4 kg b) En este caso: 0,8x 76 = 6,5 x= 173,15cm 0. En cada caso: a) La función es: f( x)= a a x a x Tomando como año 0, como año y como año 3, obtenemos: a0 = 1694, a0 = 1694, a0 + a1+ 4a = 1485,5 a1= 77,65 f( x) = 1694, 77,65x 13,35x a a a a = 1341,1 = 13,35 b) Los valores pedidos son: f (1) = 1603, en 1989 había 1603, ocupados. f (4) = 1170 en 199 había 1170 ocupados. 103