GEOMETRÍA PLANA. VECTORES. ÁREAS y VOLÚMENES - EJERCICIOS

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1 GEOMETRÍA PLANA. VECTORES. ÁREAS y VOLÚMENES - EJERCICIOS 1.- Calcula el valor de x en el dibujo. _Sol: 9 cm 2.- Calcula cuánto mide cada uno de los ángulos de un octógono regular. Dibujo. _Sol: 135º 3.- En un pentágono hay tres ángulos iguales y los otros dos son el doble y el triple del ángulo igual. Cuánto mide cada ángulo? Dibujo aproximado. _Sol: 67 5º, 67 5º, 67 5º, 135º, 202 5º 4.- Un palo que mide 40 cm produce una sombra de 25 cm. En ese mismo instante del día un edificio proyecta una sombra de 5,2 metros. Cuál es la altura del edificio? _Sol_ 8,32 m 5.- Completa: a) El punto donde se cortan las medianas es el... b) El centro de equilibrio de un triángulo es el... c) El ortocentro y el... no son centros de circunferencias. d) El incentro y el... siempre caen dentro del triángulo. e) El punto donde se cortan las bisectrices es el... f) El circuncentro y el... pueden caer dentro o fuera del triángulo. g) El punto de corte de las... es el..., es el punto que equidista de los lados del triángulo. h) Dos triángulos son... si tienen dos ángulos... y un lado proporcional. 6.- Calcula el área de un trapecio isósceles de base mayor 50 cm, base menor 26 cm y perímetro 116 cm. Dibujo. _Sol: A = 608 cm Calcula el área de un triángulo equilátero cuyo perímetro mide 90 m. _Sol: A 390 cm Dibuja y demuestra, aplicando algún criterio de semejanza, que los triángulos I y II son semejantes. _Sol: Rectángulos Isósceles Triángulo I: Rectángulo isósceles. Triángulo II: Lados 10 cm, 10 cm y 10 2 cm. 9.- Calcula de forma razonada los valores de los ángulos â y ê, en el dibujo. _Sol: â = 135º y ê = 157,5º 10.- Calcula el área coloreada sabiendo que la diagonal del cuadrado mide 20 cm. _Sol: A = 43 cm Son semejantes el triángulo ABC de ángulos 30º, 30º, y 120º y el triángulo DEF de lados 5 cm, 5 cm y 1 cm? Criterio aplicado. Dibujo. _Sol: Uno es obtusángulo y el otro acutángulo Dado el vector u (8,12) y v (5, 10). Calcula: w 3 u 2 v El vector AB es equipolente al vector CD(1,5). Si las coordenadas de A son (3,8). Cuáles son las de B? _Sol: w (4, 13) _Sol: B (4, 13) 14.- Los perímetros de dos triángulos isósceles semejantes miden 32 y 40 centímetros. Si el lado desigual del menor mide 8 cm. Cuánto miden los lados del mayor? Dibujo. _Sol: 15, 15 y 10 cm 15.- Tengo tres pinos en el jardín y quiero colocar un abeto a la misma distancia de los tres. En qué punto se debe colocar? Razónalo. Dibujo. _Sol: Circuncentro 16.- Dado el vector guía u (3, 8). Calcula: a) A (a,b) que es el trasladado del A(-2,1) según el vector guía u. Dibujo. _Sol: A (1, 9) b) B(c,d), siendo B (6,1) el trasladado de B según el vector guía u. Dibujo. _Sol: B (3, - 7) 17.- Dado A (-2,7) se traslada hasta B (6,-3) y este hasta C (-8,-1). Calcula los vectores guía u y v. Calcula el vector de la traslación sucesiva w. Dibujo. _Sol: u (8, - 10), v (-14, 2) y w (-6, - 8) 18.- Calcular el área de la zona blanca sabiendo que el diámetro de la circunferencia grande es 20 cm. _Sol: A = 50π = 157 cm Calcula, razonadamente, el valor del ángulo interior y el valor del ángulo central, de un polígono regular cuya suma total de los ángulos interiores es 1.260º. Calcula el área del círculo inscrito si la apotema vale 15 cm. _Sol: Interior = 140º, central = 40º y A = 706,5 cm Aplica algún criterio de semejanza para demostrar que dos triángulos rectángulos, donde el primero tiene un ángulo de 30º y el segundo dos lados de 8 cm, son o no semejantes. _Sol: No son semejantes 1

2 21.- Dado el punto A(-3,-5) y el punto A (7,1). Calcula: a) El vector u =(a,b) que permite trasladar el punto A hasta A. Dibujo. _Sol: u (10,6) b) El giro (centro P(x,y) y ángulo ) que permite transformar A en A. Dibujo. _Sol: P(2, - 2) y 180º c) El punto B(B x, B y) simétrico de A mediante simetría axial con eje de abscisas. Dibujo. _Sol: B (-3, 5) 22.- Dado el punto C(-4,3) calcula C (x,y) transformado de C con un giro de ángulo 90º respecto del origen. Dibujo. _Sol: C (-3, - 4) 23.- Calcula el área total de un ortoedro cuya base tiene, un lado que mide 25 cm y una diagonal que mide 65 cm, siendo su volumen cm 3. _ SOL: AT = ,80 = 6.066,80 cm Calcula el área total de un cono de volumen 8.138,88 cm 3 y altura 24 cm. Dibujo. _ SOL: AT = 2.712,96 cm Calcula el volumen de una pirámide hexagonal regular sabiendo que la arista lateral mide 25 cm y el perímetro de la base mide 42 cm. _ SOL: V = cm Calcula el volumen de un cono de 12 cm de altura siendo su radio igual al radio de una esfera cuya área total es 615,44 cm 2. _ SOL: V = 615,44 cm Cuánto tendría que medir el radio de una esfera para que su área total y su volumen coincidan numéricamente aunque, por supuesto, no en unidades? S SOL: r = Calcula el radio de una esfera que tiene igual área que el área de la base de un cilindro de volumen ,68 cm 3 y altura 58 cm. Dibujo. _ SOL: r = 21 cm 29.- Dado el segmento de extremos A(2,6) y B(8,4) hacemos una simetría de centro C originando el punto B (-4,2). Calcula el centro de simetría C y las coordenadas A. Dibujo. _Sol: A (2, 0) y C(2, 3) 30.- Dado el triángulo de vértices A(0,2), B(5,0) y C(2,6). Calcula las coordenadas del triángulo simétrico respecto el eje OX. Dibújalo. _Sol: A (0, - 2) y B (5,0) y C (2, - 6) 31.- Un cilindro está inscrito en un prisma hexagonal regular de 15 cm de altura. Si el radio del cilindro vale 12 cm. Calcula el volumen del prisma expresado en litros. _ SOL: V = cm 3 = 7,56 litros 32.- Calcula el V de una pirámide cuadrangular regular de AL 544 cm 2 y AT 800 cm 2. _ SOL: V = cm Dado un triángulo equilátero de vértices ABC, traza su ortocentro y gira el triángulo 120º respecto de su ortocentro. Qué triángulo obtienes? Dibújalo. _Sol: El mismo triángulo 34.- Calcula el valor de x e y en el dibujo. _Sol: x = 12 cm, y = 21,6 cm 35.- Calcula el AT y el V de un cilindro de radio 4 cm y altura 2 cm. S SOL: V = 100,48 cm 3 y AT = 150,72 cm Calcula el área total de una esfera cuyo volumen vale 3.052,08 cm 3. Dibujo. _ SOL: AT = 1.107,36 cm En un triángulo rectángulo de catetos 5 cm y 12 cm, se traza la mediana correspondiente al vértice donde se cortan los catetos. Calcula el área de cada uno de los triángulos originados. Dibujo. _Sol: A = 15 cm Calcula el área comprendida entre un hexágono regular de perímetro 120 cm y su círculo inscrito. _Sol: A = 96 cm Calcula el área total de un prisma cuadrangular sabiendo que los lados de la base miden 12 cm y 16 cm, mientras que la diagonal del prisma mide 29 cm. Dibujo. _ SOL: AT = cm Calcula el porcentaje de aire que queda comprendido entre cuatro esferas y el ortoedro que las contiene, siendo las esferas tangentes a las paredes del ortoedro. Dibujo. _ SOL: % = 15,25 r 3 / 32 r 3 = 47,65 % 41.- Halla numérica y geométricamente el trasladado del punto P( 2,4) según el vector guía u (3,-2). _Sol: P (1, 2) 42.- El segmento de extremos A(2,6) y B(8,4) se gira 180º respecto de un punto C dando lugar al punto B (-2,-4). Calcula el centro de giro C y las coordenadas del punto A. Dibujo. _Sol: A (4, - 6) y C(3, 0) 43.- Calcula el volumen de una esfera que se encuentra inscrita en un cilindro de volumen 3.215,36 cm 3. _ SOL: V = 2.143,57 cm Calcula el volumen de un tronco de pirámide cuadrangular regular que tiene 400 cm de perímetro básico, 40 cm de apotema de la base menor y 26 cm de altura de la cara del tronco. Dibujo. _ SOL: V = = cm 3 2

3 45.- Calcula el valor de x en la figura. _Sol: x = 21 cm 46.- Podemos asegurar que dos triángulos isósceles con un ángulo de 100º son semejantes? Podemos asegurar que dos triángulos isósceles con un ángulo de 80º son semejantes? Razónalo con un criterio de semejanza. Dibujo. _Sol: Sí son semejantes. No son semejantes 47.- Calcula el volumen de un cilindro cuya área total es 5.538,96 cm 2 y su área lateral es 3.504,24 cm 2. Dibujo. _ SOL: V = ,16 cm Calcula el V y el AL de un cono de AB = 1.384,74 cm 2 y altura 20 cm. _ SOL: V = 9.231,60 cm 3 y AL = 1.912,26 cm Calcula x e y de forma razonada en el triángulo. _Sol: x = 8 e y = Dado un cuadrado de lado 10 3 cm, se dibuja su círculo inscrito y su círculo circunscrito. Calcula el área de la corona circular que forman ambos círculos. _Sol: A = 235,5 cm Calcula el volumen de una esfera que tiene un radio igual al lado de un cubo de 512 cm 3 de volumen. Dibujo. _ SOL: V = 2.143,57 cm Calcula la distancia entre los puntos A(0ºE,23ºN) y B(0ºO,37ºS) situados en la superficie terrestre. Dibujo. Tomar radio de la Tierra km. _ SOL: DISTANCIA = Km 53.- Dado el punto A(1,3), se traslada según el vector u =(2, 4) obteniendo el punto B(B x, B y). A continuación se traslada el punto B según el vector v =(8,6) obteniendo el punto C(C x, C y). Calcula (Se puede hacer todo en un solo dibujo, pero de forma muy clara): a) El vector w =(a,b) que permite trasladar el punto A hasta C. Cálculos y dibujo. _Sol: w (10,2) b) Las coordenadas del vector B C y su módulo. Cálculos y dibujo. _Sol: BC (8,6) y BC 10 cm c) El punto P(P x, P y) respecto del cual B es simétrico de A. Dibujo. _Sol: P(2, 1) d) El giro (centro Q(Q x, Q y) y ángulo ) que permite transformar A en C. Dibujo. _Sol: Q(6, 4) y 180º e) El punto D(D x,d y) simétrico de A mediante simetría axial de eje de ordenadas. Dibujo. _Sol: D(-1, 3) 54.- Calcula el valor de x e y. _Sol: x 17, y = 8 cm Calcula el AT y el V de un prisma de base rectangular, sabiendo que la diagonal del prisma mide 26 cm, la altura 24 cm y una arista básica mide 2 cm más que la otra. Dibujo. _ SOL: V = cm 3 y AT = 768 cm Calcula el volumen de una pirámide cuadrangular regular de 100 cm 2 de área básica y arista lateral 194 cm. Dibujo. _ SOL: V = 400 cm 2 17 cm 15 cm y x 5 cm 32/ COMPLETA: a.- La suma de los ángulos de un polígono de n lados es b.- La simetría respecto de un punto se llama c.- El incentro es el punto donde se cortan las d.- Escribe la fórmula del área del trapecio circular d.- Dos giros sucesivos de 50º y -30º equivale a un giro de amplitud 58.- Halla el área de un romboide que se ha construido con un triángulo equilátero de 10 cm de lado y pegado a él se coloca un trapecio isósceles de bases 12 y 2 cm, respectivamente. _Sol: A 103,2 cm Calcula el área lateral de un cilindro de 8 cm de altura y 803,84 cm 2 de área básica. _ SOL: AL = 803,84 cm Calcula el volumen de un cono cuyo diámetro de la base mide 30 cm, la altura mide 36 cm, la generatriz mide 39 cm y el perímetro de la base es 94,2 cm. Dibujo. _ SOL: V = cm Dado el punto A( 3, 2). Calcula: (Todo en el mismo dibujo y bien clarito) a) El punto B (B x, B y), trasladado del A con vector de traslación u (8, 4). Dibujo. _Sol: B (5, - 6) b) Calcula el simétrico de A, respecto del eje de abscisas, C (C x, C y). Dibujo. _Sol: C (-3, 2) c) Qué vector v (a,b) traslada el punto B al punto C? Dibujo. _Sol: v (-8,8) d) Qué giro (centro y ángulo) permite transformar A en C? Dibujo. _Sol: Q(-3, 0) y 180º o 180º e) Respecto de qué punto P (P x, P y) es B simétrico de A. Dibujo. _Sol: P (1, - 4) f) Qué vector w (c,d), equivale a la traslación sucesiva de vectores u y v? Dibujo. _Sol: w (0,4) 62.- En un triángulo el radio de la circunferencia circunscrita vale 12 cm. Si el baricentro y el circuncentro coinciden. Cuánto mide la distancia que hay entre el circuncentro y el punto medio de un lado? Dibujo. _Sol: 6 cm 3

4 63.- Un depósito cilíndrico contiene litros, cuando está lleno en sus tres cuartas partes. Se vierten varias esferas de metal hasta que el líquido rasa la parte superior del depósito. Cuántas esferas se han vertido si su radio es 3 m? _ SOL: 40 esferas 64.- Calcula el volumen de un tronco de cono cuya generatriz mide 10 cm, el radio de la base mayor mide 15 cm y el diámetro de la base menor mide 18 cm. _ SOL: V = ,36 = 3.692,64 cm Indica razonadamente si son semejantes el triángulo de lados 3, 4 y 5 cm y el triángulo de ángulos 45º, 60º y 75º. _Sol: No semejantes 66.- Calcula de forma razonada los valores de los ángulos â y ê en el dibujo. _Sol: â = 45º y ê = 112,5º 67.- Calcula el V de un prisma cuadrangular regular si su AT es 162 cm 2 y su altura son 12 cm. Dibujo. _ SOL: V = 108 cm 3 (Ec. 2.º grado) 68.- Calcula el AL de una pirámide cuadrangular regular cuyo volumen es cm 3, su área de la base es 196 cm 2 y el perímetro de la base mide 56 cm. Dibujo. _ SOL: AL = 700 cm Una caja de quesitos del cuaserío tiene 9 porciones. Cuántos grados ocupa cada porción? Si cada porción ocupa 78,5 cm 2. Cuál es el radio de la caja? Dibujo. _Sol: 40º y 15cm 70.- Dado el punto A( 5,3). Calcula: (Todo en el mismo dibujo y bien clarito) a) El punto B (B x, B y), trasladado del A con vector de traslación u (12, 6). Dibujo. _Sol: B (7, - 3) b) Calcula el simétrico de A, respecto del eje de ordenadas C (C x, C y). Dibujo. _Sol: C (5, 3) c) Qué vector v (a,b) traslada el punto B al punto C? Dibujo. _Sol: v (-2,6) d) Qué giro (centro y ángulo) permite transformar A en C? Dibujo. _Sol: Q(0, 3) y 180º e) Respecto de qué punto P (P x, P y) es B simétrico de A. Dibujo. _Sol: P (1, 0) f) Qué vector w (c,d), equivale a la traslación sucesiva de vectores u y v? Dibujo. _Sol: w (10,0) 71.- Calcula el volumen de un ortoedro de 8 cm de largo, 12 cm de ancho y 28 cm de diagonal del ortoedro. S SOL: V = cm Dado un punto de coordenadas geográficas A(17ºO,15ºN). Indica las coordenadas de un punto B de igual longitud y latitud opuesta. Sitúalos de forma aproximada sobre la superficie terrestre. _ SOL: B ( 17º O, 15º S) 73.- Calcula la amplitud de un giro de centro el punto O(0, 3 3 ) que transforma el punto P( 3,0) en el punto Q(3,0). Dibujo. _Sol: Equilátero: 60º 74.- Calcula el valor de x e y en el dibujo. _Sol: x = 6 cm, y = 8 cm 75.- Un contenedor con forma de cilindro tiene un radio de 10 dm y una altura de 60 dm. Se utiliza para transportar esferas de cristal. a) Calcula el V y el AT del contenedor. _ SOL: V = dm 3 y AT = dm 2 b) Calcula el volumen que queda comprendido entre el contenedor y las esferas, que son tangentes a las paredes, que caben en él. Dibujo._ SOL: V = = cm 3 c) Para evitar que se rompan las esferas, se rellena el contenedor con un líquido cuya densidad es 1,8 masa del líquido en kg. gr. Calcula la cm 3 _ SOL: Masa = Kg 76.- Calcula el volumen de un tronco de pirámide cuadrangular regular sabiendo que el área de la base mayor es 576 cm 2, la arista de la base menor es 6 cm y la apotema del tronco de pirámide es 15 cm. _ SOL: V = = cm Calcula el área de una corona circular que se forma entre la circunferencia circunscrita a un rectángulo de lados 12 cm y 16 cm, y la mayor circunferencia inscrita tangente a dos de sus lados. _Sol: A = 200,96 cm Calcula el área del rombo de diagonal menor 20 cm y perímetro 104 cm. _Sol: A = 480 cm Dibuja un ortoedro de 36 cm de altura y aristas básicas 9 cm y 12 cm. Calcula: a) Su área total. b) El volumen de una pirámide de igual base y altura. Dibujo. c) La diagonal de la base d) La diagonal del ortoedro. _ SOL: AT = cm 2 _ VPIR = cm 3 _ d = 15 cm _ D = 39 cm 80.- Calcula el volumen de un pirámide cuadrangular regular, si su arista lateral mide 26 cm y la diagonal de la base mide 20 cm. Dibujo. _ SOL: V = cm Toma el punto A(4,-5). Realiza un giro de 180º y centro O (0,0) para obtener el punto B. Indica qué vector guía u traslada A hasta B. Ahora calcula el simétrico de B respecto del eje de abscisas dando lugar a C. Qué vector guía w transforma A en C? Dibujo. _Sol: B (-4, 5), u (-8,10), C (-4,-5) y w (-8,0) 4

5 82.- Dado el triángulo isósceles del dibujo calcula el valor de a y de b. _Sol: a = 20 cm y b = 30 cm 83.- Calcula el área total de un cilindro de radio 4 cm y generatriz 17 cm. S SOL: AT = 100, ,04 = 527,52 cm Calcula el V de un cono de AB igual a 200,96 cm 2 y AL igual a 427,04 cm 2. Dibujo. _ SOL: V = 1.004,80 cm Los lados de un rectángulo miden 5 cm y 12 cm respectivamente. Halla la diagonal de un rectángulo semejante de perímetro 68 cm. _Sol: d = 26 cm 86.- Calcula el valor del ángulo â en la figura. _Sol: â = 50º 87.- Calcula el volumen de una pirámide hexagonal regular de perímetro básico 90 cm y arista lateral 25 cm. Dibujo. _ SOL: V = cm Calcula el área lateral de un cono que tiene 8.138,88 cm 3 de volumen y 18 cm de radio. Dibujo. _ SOL: AL = 1.695,60 cm El área de un trapecio isósceles es 400 cm 2. Sabiendo que la base mayor es 65 cm y la menor 35 cm. Calcula su perímetro. Dibujo. _Sol: P = 134 cm 90.- Indica dos movimientos que transformen el punto A(5,7) en el A (-5,-7). Dibujo. Traslación :u(-10,14); Giro (O,180º ) y Simetría Central O(0,0) _Sol: 91.- Calcula el AT y el V de un prisma hexagonal regular de altura 18 cm y apotema de la base 26 cm. _ SOL: V = cm 3 y AT = cm Calcula el AT y el V de una pirámide cuadrangular regular de AL 720 cm 2 y apotema de la pirámide 15 cm. _ SOL: V = cm 3 y AT = cm COMPLETA: a.- Dos vectores equipolentes tienen b.- El circuncentro está a la misma distancia de c.- El punto simétrico de P(3,-2) respecto al eje OY tiene las coordenadas d.- Dos polígonos son semejantes si e.- Si A(5,-2) y B(4,-5) las coordenadas del vector A B serán 94.- Son semejantes dos triángulos rectángulos, uno con catetos de 8 cm y 15 cm, y otro con un cateto de 30 cm e hipotenusa de 34 cm? Razónalo con un criterio de semejanza. _Sol: Sí, lados proporcionales 95.- Calcula el V y el AT de un cono de AL igual a 753,6 cm 2 y radio 12 cm. Dibujo. _ SOL: V = 2.411,52 cm 3 y AT = 1.205,76 cm Calcula el AT de un cono de volumen 1.004,8 cm 3 y altura 15 cm. _ SOL: AT = 200, ,04 = 628 cm Calcula, razonadamente, el número de diagonales, el valor del ángulo interior y el valor del ángulo central, de un polígono regular cuya suma total de los ángulos interiores es 1.080º. _Sol: 20 diagonales, interior = 135º y central = 45º Calcula el área de la zona blanca si el diámetro del círculo mide 10 cm. _Sol: A = 60,75 cm En un cilindro se introduce una esfera de volumen 904,32 cm 3, que encaja perfectamente en dicho cilindro. Calcula el % de aire respecto del volumen de la esfera que queda entre la esfera y el cilindro. _ SOL: 50% Calcula la distancia entre dos puntos de la superficie terrestre cuyas coordenadas son A(43ºE,0ºN) y B(47ºO,0ºS), sabiendo que un meridiano mide ,88 km y supuesta la Tierra perfectamente esférica. Dibujo. _ SOL: DISTANCIA = ,47 Km Dado el punto A(3,1) calcula el punto B(x,y) que se obtiene mediante una traslación de vector u (2,7). A continuación aplica al punto B una traslación de vector v (a, b) que lo lleve hasta el punto C( 3,1). Calcula las coordenadas de B, de v y de w (vector suma de u y v ). Mediante giro de qué centro y de qué amplitud se pasa de A a C? Indica una simetría central y otra axial que permitan transformar A en C. Dibujo de todo. Centro : (0,1) _Sol: B (5, 8), v (-8,-7), y w (-6,0). Giro, central de centro (0,1) y axial de eje x 0 (Eje y) 180º Dado el triángulo rectángulo de vértices A(0,0), B(25,0) y C(9,12), gíralo 180º respecto al punto H( 25,0). 2 Dibuja dicho giro e indica qué figura forman los dos triángulos el ABC y el A B C. _Sol: A (25, 0), B (0,0) y C (16,-12). Un rectángulo 5

6 SEMEJANZA - TALES Calcula el valor de x e y. _Sol: x = 24 cm, y = 12 cm Un árbol de 4,8 m tiene una sombra de 34 cm. En ese momento del día, un edificio tiene una sombra de 57,8 cm. Qué altura tiene el edificio? Dibujo. _Sol: 8,16 m Una torre de 8,16 metros de alta, produce una sombra de 57,8 cm. En ese momento, un árbol de 4,8 metros. Qué sombra produce? Dibujo. _Sol: 34 m Dados dos triángulos rectángulos uno con un ángulo de 45º y el otro con dos catetos iguales, indica si son o no semejantes razonándolo con algún criterio de semejanza. _Sol: Sí semejantes PUNTOS NOTABLES Y POLÍGONOS Qué puntos notables caen siempre dentro del triángulo? Dibuja un caso. _Sol: Baricentro e incentro Qué triángulo tiene el circuncentro en la mitad del lado mayor? Dibujo. _Sol: Triángulo rectángulo Traza el ortocentro de un triángulo rectángulo. Qué rectas has dibujado para obtenerlo? _Sol: Las alturas Indica los cuatro puntos notables de un triángulo y las rectas cuyos cortes los originan. _Sol: Teoría En un triángulo escaleno de base 16 cm y altura 6 cm, se traza una mediana que divide al triángulo en otros dos. Cuál es el área de cada uno? _Sol: A = 24 cm 2 ÁREAS FIGURAS PLANAS Calcula el área de un trapecio isósceles de base mayor 65 cm, base menor 35 cm y perímetro 160 cm. _Sol: A cm Calcula el área de un trapecio isósceles cuyos lados miden 5, 6, 5 y 12 centímetros. _Sol: A = 36 cm Calcula el área de una corona circular que se forma entre la circunferencia circunscrita y la circunferencia inscrita a un cuadrado de 64 cm 2 de superficie. _Sol: A = 50,24 cm Dibuja un cuadrado de 10 cm de lado, traza sus circunferencias inscrita y circunscrita. Señala y calcula el área de la corona circular que has obtenido. _Sol: A = 78,5 cm Calcula el radio de un sector circular de 100º que mide 31,4 cm 2. _Sol: r = 6 cm Calcula el área de la corona circular formada por la circunferencia inscrita y circunscrita a un hexágono regular de lado 10 cm. _Sol: A = 25π cm 2 = 78,5 cm 2 VECTORES TRASLACIÓN GIRO SIMETRÍA Traslada el punto A( 8,4) mediante el vector w que lo coloca en el punto C(6,0). Calcula las coordenadas de w. Calcula dos vectores u y v que permitan pasar de A a B (punto cualquiera) y de B a C. Calcula el punto P respecto del cual A es simétrico de C. Dibujo de todo. _Sol: w (14, - 4), u (7, - 2), v (7, - 2) B(-1,2) y P(-1,2) ( u, v y B pueden ser otros) El producto de dos traslaciones sucesivas es w (-5,9). Si el punto A(8,-2) se convierte primero en B(0,3) con vector guía u. Calcula el punto C homólogo del B y los vectores guía u y v. Dibujo. _Sol: C(3, 7), u (-8, 5), v (3, 4) Considera el punto A(2,5). Aplícale sucesivamente las traslaciones de vectores guía u (-1,5) y v (a, b), obteniendo el trasladado A (8,2). Cuál es el punto A trasladado de A con u? Cuáles son las coordenadas de v? Cuál es el vector guía resultante de la traslación sucesiva? Dibujo. _Sol: A (1, 10), v (7, - 8), w (6, - 3) Dibuja y calcula las coordenadas del punto A(x,y), si A (5,2) es el trasladado de A con vector guía u (7,5). Qué vector guía v (a, b) debemos aplicar para trasladar el punto A hasta A (1,4)? _Sol: A(-2, - 3), v (-4, 2) Dado un vector u (7,4) el vector u se llega al punto A. Dibujo. y un punto A(5,3), calcula las coordenadas de un punto B(x,y) que al trasladarlo con _Sol: 34 m Dado el punto A( 5, 4), se traslada hasta el punto A ( 1,2) con vector de traslación u. El punto A se traslada con vector de traslación v hasta el punto A (5, 2). Calcula el vector w que equivale a la traslación u v. Desde qué punto el A es simétrico del A? _Sol: u (4, 6), v (6, 0), w (10, 6) y P (0,-1) 36 cm 13 cm x y 4 cm 8 cm El punto E (8,3) es el transformado de E(x,y) con el vector u(4,5). Calcula las coordenadas del punto E. Dibujo. _Sol: E(4, - 2) 6

7 125.- Dado el punto A(x,y) se traslada hasta el punto A (8,7) con vector de traslación u. El punto A se traslada con vector de traslación v hasta el punto A (x,y ). Calcula las coordenadas de A y A siendo u (2,-3) y v (-8,1). _Sol: A (6,10), A (0,8) Dibuja un cuadrado de vértices ABCD, traza sus diagonales y gíralo 45º respecto de su centro F obteniendo los vértices A B C D. Qué figura componen los vértices AA BB CC DD al unirlos? Dibujo. _Sol: Octógono regular Mediante un giro de 90º y centro el origen de coordenadas transforma el punto B(6,2) en B (x,y). Dibuja el eje respecto del cual B y B son simétricos. Calcula las coordenadas del punto respecto del cual B y B son simétricos. _Sol: B (-2, 6), Dado el punto D(-5,7) calcula D (z,t) simétrico de D respecto del punto P(2,3). Dibujo. _Sol: D (9,-1) Dado el segmento AB, siendo A(2,3) y B(9,2), gíralo respecto del origen de coordenadas 180º. Dibujo. Indica las coordenadas de los extremos C y D del segmento obtenido. Dibuja el segmento A B simétrico del segmento AB, respecto del eje de ordenadas. A continuación dibuja el segmento A B simétrico del A B respecto del eje de abscisas. Qué giro (centro y ángulo) permitiría transformar AB en A B? M(2,4) _Sol: C (-2, - 3) y D (-9,-2). A (-2, 3) y B (-9,2). A (-2,- 3) y B (-9,-2). Giro (O,180º) Calcula el simétrico del punto E( 2, 4) respecto del punto P(5,0). Dibujo. _Sol: E (12,-4) Dibuja el lugar geométrico de los puntos que equidistan de A(3,7) y de B(5,2). _Sol: Mediatriz de AB 132. Dos puntos A y B están situados en el plano a una distancia de 10 cuadraditos. Determina todos los puntos que están a 8 cuadraditos de A y a 6 cuadraditos de B. Dibujo. _Sol: Dos puntos PRISMAS Calcula la diagonal de un ortoedro sabiendo que sus medidas en centímetros son los siguientes números: el largo coincide con el número de husos horarios, el ancho es igual al doble del número de paralelepípedos existentes, y el alto es la mitad del número de caras de un dodecaedro. Cuántos litros caben en dicho ortoedro? Dibujo. _ SOL: D = 26 cm y V = 1,152 litros Calcula el volumen de un prisma hexagonal regular de perímetro básico 180 cm, radio de la base 30 cm, altura del prisma 45 cm y apotema de la base 26 cm. Dibujo. S SOL: V = cm Calcula el AT de un prisma cuadrangular regular de 25 cm 2 de área de la base y 18 cm de altura. Dibujo. S SOL: AT = 410 cm Calcula el V y el AT de un prisma pentagonal regular de AB igual a 202,25 cm 2, la altura de una cara es 25 cm y el PB es 50 cm. Dibujo. S SOL: V = 5.056,25 cm 3 y AT = 1.654,50 cm 2 PIRÁMIDE Calcula el área lateral de una pirámide cuadrangular regular de perímetro básico 64 cm y volumen cm 3. Dibujo. _ SOL: AL = 544 cm La arista lateral de una pirámide hexagonal regular mide 29 cm y su altura mide 20 cm. Calcula el perímetro de la base. Dibujo. MS SOL: PB = 126 cm Calcula el volumen de una pirámide cuadrangular regular con apotema de la pirámide 26 cm y perímetro de la base 80 cm. Dibujo. S SOL: V = cm Calcula el área total de una pirámide cuadrangular regular donde la altura de la pirámide es 12 cm, la arista básica es 10 cm y la apotema de la pirámide es 13 cm. Dibujo. S SOL: AT = 360 cm 2 CILINDRO Cuánto debe medir la altura de un cilindro para que su volumen sea igual al volumen de una esfera de radio el radio de la base del cilindro? Dibujo. _ SOL: h = 4r/ En un cilindro de altura 20 cm se introduce un prisma de igual altura y base un triángulo rectángulo de catetos 12 cm y 16 cm. Calcula el volumen de aire comprendido entre el cilindro y el prisma expresado en litros. _ SOL: V = = cm 3 = 4,36 litros Calcula el volumen de un cilindro de generatriz 16 cm y diámetro 10 cm. Dibujo. MS SOL: V = cm Calcula el volumen de un cilindro de radio 5 cm y altura 40 cm. Dibujo. MS SOL: V = cm Calcula el área lateral de un cilindro cuyo radio mide 8 cm, la altura es 15 cm, tiene un área de la base de 200,96 cm 2 y la generatriz 15 cm. Dibujo. MS SOL: AL = 753,60 cm 2 7

8 CONO Calcula el área total de un cono de altura 12 cm y radio 5 cm. Dibujo. S SOL: AT = 282,60 cm Calcula el volumen de un cono de radio 25 cm y altura 60 cm. Dibujo. MS SOL: V = cm 3 ESFERA Calcula el V de una esfera que dentro de un cubo de 216 cm 3, roza sus paredes. S SOL: V = 113,04 cm Calcula el área total de una esfera de 113,04 cm 3 de volumen. Dibujo. _ SOL: AT = 113,04 cm 2 VARIOS DE ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS Calcula el volumen comprendido entre un cilindro de radio 10 cm y altura 30 cm y un prisma cuadrangular regular inscrito en él. S SOL: V = = cm Un cilindro de radio 2 cm y altura 12 cm contiene todas las esferas que puede. Calcula el volumen de aire que queda entre las esferas y el cilindro. Dibujo. _ SOL: V = 150,72 100,48 = 50,24 cm Escribe el nombre de tres poliedros regulares y de dos superficies esféricas. _ SOL: Cubo, tetraedro, octaedro, dodecaedro, icosaedro. Hemisferio, casquete esférico, zona esférica, huso esférico Escribe el nombre de tres paralelepípedos, el nombre de la región de la esfera limitada por dos meridianos y las coordenadas terrestres del polo norte. _ SOL: Cubo, ortoedro, romboedro. Huso. Longitud: No tiene y Latitud: 90ºN Calcula la diagonal de un ortoedro de lados 8 cm, 9 cm y 12 cm. Dibujo. MS SOL: D= 17 cm Un cubo está lleno de un líquido de densidad 1,6 gr. Si la masa del líquido es 12,8 kg. Cuál es el AT de la cm 3 mayor esfera que se puede introducir en dicho cubo? _ SOL: AT = cm Calcula la distancia entre dos puntos de la superficie terrestre cuyas coordenadas son A(83ºE,50ºN) y B(83ºE,10ºS), sabiendo que el ecuador mide ,88 km. Dibujo. _ SOL: DISTANCIA = 6.668,31 Km 8

9 EXAMEN GEOMETRÍA PLANA y VECTORES MARZO Se traslada el punto A( 4, 3) según el vector u =(12,5) obteniendo el punto B(B x,b y). A continuación se traslada el punto B según el vector v =(a,b) obteniendo el punto C(8, 3). Calcula (Se puede hacer todo en un solo dibujo, pero de forma muy clara): a) Las coordenadas del punto B y las coordenadas del vector v =(a,b). _Sol: B (8, 2) y v (0, - 5) b) Qué giro (amplitud) de centro C permite transformar A en B? _Sol: Imposible c) Dibuja el triángulo simétrico respecto del origen de coordenadas del triángulo ABC. _Sol: A (4, 3), B (-8,-2) y C (-8,3) d) Los módulos de los vectores A B, B C y A C. Qué tipo de triángulo es? _Sol: AB 13, BC 5 y AC 12 _ Rectángulo escaleno 2.- Indica si son semejantes, aplicando algún criterio de semejanza, los triángulos: (Ejercicio 8) I: Rectángulo isósceles II: Lados de 4cm, 4cm y 4 2 cm. _Sol: Rectángulos Isósceles 3.- Dibuja un triángulo que cumpla cada una de las siguientes condiciones: Tiene el ortocentro en un vértice. _Sol: Triángulo rectángulo Tiene el circuncentro fuera del triángulo. _Sol: Triángulo obtusángulo El circuncentro y el incentro coinciden. _Sol: Triángulo equilátero Tiene el baricentro dentro del triángulo. _Sol: Cualquier triángulo 4.- Calcula el valor de â y de ê en la figura. _Sol: â = 105º y ê = 45º 5.- El área de una corona circular es 314 cm 2. Si el radio de la circunferencia exterior es 26. Cuánto mide el radio de la circunferencia interior? _Sol: r=24 cm 6.- Un árbol de 8,8 m tiene una sombra de 3,3 m. En ese momento, un edificio tiene una sombra de 93 m. Qué altura tiene el edificio? Dibujo. _Sol: h = 248 m EXAMEN ÁREAS y VOLÚMENES ABRIL Dado un prisma cuadrangular regular de volumen cm 3, se inscribe en él una pirámide cuya altura de la cara mide 26 cm. Calcula el volumen de aire comprendido entre ambos poliedros. Dibujo. _ SOL: V = = cm Una esfera cuya área lateral es 314 cm 2 se pinta en 12 minutos. Cuánto se tardará en pintar una esfera cuyo radio sea el triple? Dibujo. _ SOL: 108 minutos 3.- Un ortoedro está lleno en sus tres cuartas partes lo que suponen 6.104,16 litros. Se vierten en él unas esferas de radio 30 cm y se aumenta su volumen hasta las siete octavas partes del ortoedro. Cuántas esferas se han introducido? Dibujo. _ SOL: 9 esferas 4.- Calcula el área total y el volumen de un cono cuya altura mide 21 cm y su generatriz mide 29 cm. Dibujo. _ SOL: AT = 3.077,2 cm 2 y V = cm Calcula el volumen de un cilindro cuya área total es 785 cm 2, sabiendo que su generatriz mide 20 cm y su radio mide 5 cm. Dibujo. _ SOL: V = cm Calcular el volumen y el área total de una pirámide cuadrangular regular de perímetro básico 80 cm y altura de la cara 26 cm. Dibujo. _ SOL: V = cm 3 y AT = cm 2 9

10 EXAMEN GEOMETRÍA MARZO 2017 NOTA: Son ejercicios sacados de los apuntes de teoría. 1.- Dado un triángulo I rectángulo de catetos 4,2 m y 5,6 m y otro triángulo II de lados 3 m, 4 m y 5 m. Demostrar que son semejantes aplicando un criterio de semejanza. _Sol: I _4,2 5,6 7 (Pitágoras) Lados proporcionales _ II Rectángulo (Pitágoras = 5 2 ) Un ángulo recto igual y los catetos proporcionales. 2.- Calcula el área de un triángulo isósceles de lado desigual 40 cm y perímetro 98 cm. _Sol: A = 420 cm Calcula el área total y el volumen de una pirámide cuadrangular regular cuya arista básica mide 16 cm y la apotema de la pirámide mide 17 cm. _Sol: AT = 800 cm 2 _ V = cm El punto A( 6,2) se traslada con vector de traslación u (7,3) llegando al punto B(B x,b y). A continuación se traslada el punto B con vector v (5, 4) terminando en el punto C(C x,c y). a) Calcula las coordenadas del punto B, homólogo del A mediante traslación de vector u. b) Calcula el vector de traslación sucesiva w, equivalente a las traslaciones de vectores u y v. c) Calcula las coordenadas del punto D(D x,d y) que se obtiene al girar el punto A con centro O(0,0) y α=180º. Dibujo. d) Qué tipo de simetría permite transformar el punto A en el punto D? _Sol: B(1, 5) _ w (12,-1) _ D(6, - 2) _ Central de centro O(0,0) 5.- Calcula el valor de x e y en la figura. _Sol: x=30 m, y=57,6 m 6.- Dibuja un hexaedro regular y comprueba que se cumple la fórmula de Euler. _Sol: C + V = A = Calcula el área lateral de un cilindro, sabiendo que el área de su base mide 615,44 cm 2 y que su generatriz mide 50 cm. _Sol: AL = cm 2 10